Geometria dos Cilindros

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MATEMÁTICA
F B O N L I N E . C O M . B R
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Professor(a): Fabrício Maia
assunto: GeoMetria dos cilindros
frente: MateMática i
016.448 - 14180219
AULAS 54 E 55
EAD – ITA/IME
Resumo Teórico
Geometria dos cilindros
É o sólido geométrico limitado por uma superfície lateral 
cilíndrica fechada e por duas superfícies planas circulares (bases B
1
 e 
B
2
) contidas em planos paralelos (a
1
 e a
2
).
e: eixo
g: geratriz
α
1
B
1
B
2
r
α
2
h
Elementos do cilindro circular
• B1 – base circular superior.
• B2 – base circular inferior.
• h – altura do cilindro = dist(a
1
 e a
2
)
• r – raio das bases do cilindro.
• e (eixo) – reta que passa pelos centros das bases.
• g (geratriz) – segmento com extremidades nas circunferências 
das bases e paralelos ao eixo (e).
Classificação dos cilindros circulares
• Cilindro reto: as geratrizes são perpendiculares às bases.
r
r
g = h → cilindro reto
• Cilindro oblíquo: as geratrizes não são perpendiculares às bases.
h < g → cilindro oblíquog
• Cilindro equilátero: é o cilindro reto cuja altura é igual ao 
diâmetro da base.
h = 2 r → cilindro equilátero
2r
Área da superfície lateral e total do cilindro reto
h
2r
2πr
h
lateral
lateral planificada
Área da superfície lateral do cilindro reto = 2πrh
A
L
 = 2πrh
Área da superfície total do cilindro reto = 2πrh + πr2 + πr2
A
T
 = 2πrh + 2πr2 = 2πr(h + r)
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Módulo de estudo
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Volume do cilindro
O Princípio de Cavalieri assegura que os sólidos a seguir são 
equivalentes, isto é, têm o mesmo volume.
h
r
h
S: área da base S: área da base
Volume (cilindro) = Volume (prisma)
SS SS
Volume (cilindro) = Volume (prisma)
Como o volume do prisma é o produto da área da base S pela 
altura h, segue-se que o volume do cilindro é dado por:
Volume (cilindro) = (área da base) × (altura) = πr2 · h
Exercícios
01. Um cilindro circular reto tem área total A, raio da base R e altura h.
Se o volume máximo desse cilindro é expresso por um número real 
m e a função f da variável real x é definida por f x x( ) = ( ) +2 12
1
3π , 
pode-se dizer que f(m)
A) 
1
3
A
B) A + 3
C) 
1
3
3A +( )
D) 
1
3
3A −( )
E) A
2
3
1+
02. Um cilindro neto de altura h = 1 cm tem sua base no plano xy 
definida por x2 + y2 – 2x – 4y + 4 ≤ 0.
Um plano, contendo a neta y – x = 0 e paralelo ao eixo do cilindro, 
o secciona em dois sólidos. Calcule a área total da superfície do 
menor sólido.
3. No sistema xOy os pontos A=(2,0), B = (2,5) e C = (0,1) são vértices 
de um triângulo inscrito na base de um cilindro circular reto de 
altura 8. Para este cilindro, a razão 
volume
rea total da erf cieá ísup
, em 
unidade de comprimento, é igual a
A) 1 B) 100
105
C) 10
11
 D) 100
115
E) 5
6
04. Um cilindro circular reto é seccionado por um plano paralelo ao 
seu eixo. A secção fica a 5 cm do eixo e separa na base um arco 
de 120°. Sendo de 30 3 2cm a área da secção plana retangular, 
então o volume da parte menor do cilindro seccionado mede, em 
cm3,
A) 30 10 3π −
B) 30 20 3π −
C) 20 10 3π −
D) 50 25 3π −
E) 100 75 3π −
05. Considere um cilindro circular reto, de volume igual a 360π cm3, e 
uma pirâmide regular cuja base hexagonal está incrita na base do 
cilindro. Sabendo que a altura da pirâmide é o dobro da altura do 
cilindro e que a área da base da pirâmide é de 54 3 cm2, então, 
a área lateral da pirâmide mede, em cm2,
A) 18 427
B) 27 427
C) 36 427
D) 108 3
E) 45 427
06. O raio de um cilindro de revolução mede 1,5 m. Sabe-se que a área 
da base do cilindro coincide com a área da secção determinada 
por um plano que contém o eixo do cilindro. Então, a área total 
do cilindro, em m2, vale
A) 3
4
2π
B) 9 2
4
π π+( )
C) π π2 +( )
D) π
2
2
E) 
3 1
2
π π +( )
07. Um posto de gasolina possui um reservatório cilíndrico horizontal 
com dimensões internas de 2 metros de diâmetro por 10 metros 
de comprimento. O posto iniciou as vendas do dia com o 
reservatório cheio de gasolina. Após uma hora, verificou-se que o 
nível de gasolina no reservatório havia baixado meio metro, como 
representado na figura a seguir.
2 m
10 m
1 2m
Diante do exposto, determine quantos litros de gasolina foram 
vendidos nesse período de uma hora.
Dados: π = 3,14
3 1 73= ,
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Módulo de estudo
08. Seja um cilindro circular reto com raio da base de comprimento 
r = 2 cm e altura de comprimento h. Seja d a maior distância 
entre dois pontos desse cilindro, como ilustra a figura a seguir.
d h
r
A) Supondo que o cilindro tenha volume igual a um litro, calcule 
sua área de superfície total.
B) Determine o valor de d no caso em que (r, h, d) seja uma 
progressão geométrica.
09. Considere a parábola de equação y = 1 – x2. Para x0 0 1∈[ ], , 
inscrevemos, entre o eixo horizontal e a parábola, um retângulo 
de vértices (x
0
, 0), (– x
0
, 0), (– x
0
, y
0
) e (x
0
, y
0
). Note que os dois 
vértices (– x
0
, y
0
) e (x
0
, y
0
) pertencem à parábola.
Giramos o retângulo ao redor do eixo y, obtendo, assim, um 
cilindro circular reto.
a) Determine, em função de x
0
, o raio da base, a altura e o volume 
do cilindro.
b) Calcule o volume do cilindro para x0
2
3
= .
c) Encontre o valor de x
0
 para o qual o cilindro tem volume 
máximo. Determine este volume máximo.
10. Um cilindro circular reto, branco, possuí 20 cm de diâmetro da 
base e 80 cm de altura. Sobre a lateral desse cilindro, foi pintada 
uma faixa marrom de largura uniforme igual a 3,14 cm. A faixa 
completou duas revoluções ao redor do cilindro, como mostra a 
figura.
figura fora de escala
Nas condições descritas, a faixa marrom ocupou, da área lateral 
do cilindro, aproximadamente,
A) 5%
B) 25%
C) 0,5%
D) 2,5%
E) 10%
11. Observe a charge a seguir.
Disponível em: <http://veronicauerj.blogspost.com.br>. 
Acesso em: 28 mar. 2012. Adaptada.
Considerando-se que as toras de madeira no caminhão são 
cilindros circulares retos e idênticos, com 10 m de comprimento e 
que a altura da carga é de 2,7 m acima do nível da carroceria do 
caminhão, então a carga do caminhão corresponde a um volume 
de madeira, em metros cúbicos de, aproximadamente,
Dados: 3 1 7 3 1≅ ≅, ,e π
A) 17,2
B) 27,3
C) 37,4
D) 46,5
E) 54,6
12. Uma lata de querosene tem a forma de um cilindro circular reto 
cuja base tem raio R. Colocam-se três moedas sobre a base 
superior da lata, de modo que estas são tangentes entre si e 
tangentes à borda da base, não existindo folga. Se as moedas 
têm raio a e encontram-se presas, então o valor de R em função 
de a, vale
A) 
1 2 3
3
+( )a
B) 
3 2 3
3
+( )a
C) 
3 3
3
+( )a
D) 1 2 3+( )a
E) 3 2 3+( )a
13. Um cilindro circular reto tem por secção meridiana um retângulo 
ABCD, o qual, representado no sistema de coordenadas 
cartesianas ortogonais, tem como vértices os pontos A(2,8), B(4,8), 
C(4,0) e D(2,0).
Sendo o eixo do cilindro paralelo ao segmento DA e as medidas 
do cilindro dadas em centímetros, a área lateral do cilindro é, em 
cm2, igual a
A) 8π
B) 16π
C) 32π
D) 10π
E) 18π
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Módulo de estudo
14. Um cilindro circular reto é inscrito em um cone, de modo que os 
eixos desses dois sólidos sejam colineares, conforme representado 
na ilustração a seguir.
A altura do cone e o diâmetro da sua base medem, cada um, 
12 cm.
Admita que as medidas, em centímetros, da altura e do raio do 
cilindro variem no intervalo ]0;12[ de modo que ele permaneça 
inscrito nesse cone.
Calcule a medida que a altura do cilindro deve ter para que sua 
área lateral seja máxima.
15. Um designer deseja projetar um recipiente para perfume no 
formato da figura 1. O recipiente é resultado da intersecção 
de 2 cilindros iguais com 10 cm de altura cada um, cujas bases 
possuem raio igual a 6 cm. Sabe-se que o segmento de reta AB, 
representado na figura 2, une a intersecção das circunferências das 
bases de centros C1
, e C
2
 e passa exatamente pelo ponto médio 
do segmento C
1
C
2
. É correto afirmar que o recipiente comportará 
um volume igual a
Figura 1 Figura 2
C1
B
C2
A
A
C1 C2
B
A) 240 360 3 3π − cm
B) 240 180 3 3π − cm
C) 120 180 3
3π − cm
D) 120 90 3
3π − cm
E) 60 270 3 3π − cm
Gabarito
01 02 03 04 05
C – B E A
06 07 08 09 10
B – – – A
11 12 13 14 15
D B B – B
– 02. π + −( )2 1 ua. .
– 07. 6175 litros.
– 08. 
A) 8 125 2⋅ +( )π cm
B) 1 17+ cm
– 09. 
A) A mdida do raio é x
0
.
 A medida da altura é y
0
.
 O volume será dado por: V x x= ⋅( ) ⋅ − ( )( )π 0 2 0 21
B) V = ⋅
20
81
π
C) Volume máximo = V quando x= =
π
4
2
20
.
– 14. 6 cm.
Anotações
SUPERVISOR/DIRETOR: MARCELO PENA – AUTOR: FABRÍCIO MAIA
DIG.: SOFIA – REV.: CARLA ARAÚJO