Aula 3 - Estatística - Distribuição de Frequencia - Cópia

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Estatística
3ª Aula
Profa. Rossana Silva
rsilva5@area1.edu.br
Distribuição 
de 
Freqüência
 Conteúdo programático
Unidade 1 - Introdução Geral: conceitos básicos 
Unidade 2 -Tabelas Estatísticas. Séries e gráficos
Unidade 3 - Medidas de Posição
Unidade 4 - Medidas de Dispersão
Unidade 5 - Distribuição de Frequências: variável discreta
Unidade 6 - Distribuição de Frequências: variável contínua
Unidade 7 - Probabilidade: conceitos iniciais
Unidade 8 - Probabilidade: definição e cálculo
Unidade 9 - Probabilidade Condicional e Eventos Independentes
Unidade 10 - Distribuição Normal: definição e propriedades
Unidade 11 - Distribuição Normal Padrão: Uso da tabela
Unidade 12 - Aplicações da Distribuição Normal
Unidade 13 - Amostragem
Unidade 14 - Correlação e Regressão
Mapa da Aula:
Tabela primitiva
Suponhamos termos feito uma coleta de dados 
relativos à estaturas de quarenta alunos, que 
compõem uma amostra dos alunos de um colégio A, 
resultando a seguinte tabela de valores.
A esse tipo de tabela, cujos elementos não foram
numericamente organizados, denominamos tabela primitiva.
Dados 
Brutos
Exemplo: tabela da pesquisa do IMC
Rol
 Partindo desses dados, é difícil averiguar em torno de que
valor tendem a se concentrar as estaturas, qual a menor ou a
maior estatura, etc...
 A maneira mais simples de organizar os dados é através
de uma certa ordenação (crescente ou decrescente). A tabela
obtida após a ordenação dos dados recebe o nome de rol.
Ordem 
crescente
No Excel – Recurso Classificar e Filtrar 
Exemplo:
Observe as informações da Tabela 5.2. (rol) e responda:
É uma forma eficiente de apresentação de dados?
E se fossem pesquisados 1.000 alunos?
Vamos agora verificar como fica quando utilizamos a 
Distribuição de frequência.
Distribuição de Frequência 
A DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA É UMA FORMA 
EFICIENTE E ADEQUADA PARA RESUMIR 
INFORMAÇÕES.
Distribuição de Frequência 
Denominamos frequência (f) o número de alunos que fica
relacionado a um determinado valor da variável. Obtemos,
assim, uma tabela que recebe o nome de distribuição de
frequência:
Mas o processo dado ainda é inconveniente, já que exige
muito espaço. Sendo possível, a solução mais aceitável, pela
própria natureza da variável contínua, é o agrupamento dos
valores em vários intervalos.
Desse modo, estaremos agrupando os valores da variável
em intervalos, sendo que, em Estatística, preferimos chamar
os intervalos de classes.
Chamando de frequência de uma classe o número de
valores da variável pertencente à classe, os dados podem ser
dispostos como segue, numa tabela denominada distribuição
de frequência com intervalos de classes.
Distribuição de Frequência 
Distribuição de frequência
Distribuição de Frequência com 
intervalos de classe
Elementos de uma distribuição de 
frequência
Classes de frequência ou, simplesmente, classes, são 
intervalos de variação da variável. 
As classes são representadas simbolicamente por i,
sendo i = 1, 2, 3, ..., k (onde k é o número total de classes de
distribuição).
1. Classe
3ª Classe,
i=3
K=6
2. Limites de classe
Denominamos limites de classe os extremos de cada classe.
O menor número é o limite inferior da classe (li) e o
maior número, o limite superior da classe (Li).
l3 =158 e L3= 162
3. Amplitude de um intervalo de classe
Amplitude de um intervalo de classe, ou simplesmente 
intervalo de classe, é a medida do intervalo que define a 
classe. 
Ela é obtida pela diferença entre os limites superior e
inferior dessa classe e indicada por hi.
iii lLh 
l3 =158 e L3= 162
h3=162-158
h3=4 cm
4. Amplitude Total da Distribuição
Amplitude total da distribuição (AT) é a diferença entre o 
limite superior da última classe (limite superior máximo) e 
o limite inferior da primeira classe (limite inferior mínimo). 
   minmax lLAT 
Lmax = 174
lmin = 150
AT = 174-150
AT = 24 cm 
5. Amplitude Amostral
Amplitude amostral (AA) é a diferença entre o valor 
máximo e o valor mínimo da amostra:
(min)(max) xxAA 
AA = 173 –
150
AA = 23 cm
6. Ponto médio de uma classe
Ponto médio de uma classe (xi) é, como o próprio nome 
indica, o ponto que divide o intervalo de classe em duas 
partes iguais. 
2
ii
i
Ll
x


Para obtermos o ponto médio de uma classe, calculamos
a semi-soma dos limites da classe:
X3 = 162 +158
2
X3 = 160
7. Frequência simples ou absoluta
Frequência simples ou frequência absoluta ou, 
simplesmente, frequência de uma classe ou de um valor 
individual é o número de observações correspondentes a essa 
classe ou a esse valor. 
A frequência simples é simbolizada por fi.
f2 = 9
Números de Classes – Intervalos de 
classe
A primeira preocupação que temos, na construção de
uma distribuição de frequência, é a determinação do número
de classes e, consequentemente, da amplitude e dos limites
dos intervalos de classe.
Para a determinação do número de classes de uma
distribuição podemos lançar mão da regra de Sturges, que
nos dá o número de classes em função do número de valores
da variável:
nki log3,31 
n – número 
de valores
Capa
da ObraEssa regra nos permite obter a seguinte tabela, de
acordo com o exemplo trabalhado nesse capítulo:
Lembrando: no 
exemplo tínhamos 
40 alunos
Número de 
classes: 6
Números de Classes – Intervalos de classe
Além da regra de Sturges, existem outras fórmulas
empíricas que pretendem resolver o problema da
determinação do número de classes que deve ter a
distribuição.
Entretanto, a verdade é que essas fórmulas não nos
levam a uma decisão final; esta vai depender, na realidade, de
um julgamento pessoal, que deve estar ligado à natureza dos
dados, da unidade usada para expressá-los, etc...
Números de Classes – Intervalos de classe
Decidido o número de classes que deve ter a distribuição,
resta-nos resolver o problema da determinação da amplitude
do intervalo de classe, o que conseguirmos dividindo a
amplitude amostral pelo número de classes:
i
AA
h 
h = 173-150 =3,8 cm
6
h =4 cm
Atenção: Apenas neste caso sempre arredondar para mais.
E x e r c í c i o
1. Dispor os números 17, 45, 38, 27, 6, 48, 11, 57, 
34, 22 em um rol. Determine a amplitude total 
amostral.
E
x
e
r
c
í
c
i
o
Capa
da ObraTipos de frequências
  nfi
Frequências simples ou absolutas (fi) são os valores que 
realmente representam o número de dados de cada classe.
Capa
da Obra


i
i
i
f
f
fr
Frequências relativas (fri) são os valores das razões entre 
as frequências simples e a frequência total:
Qual a frequência 
relativa a terceira classe?
fr3 = 11/40 = 0,275
ou
27,5%
Capa
da Obra
  

kifF
ou
fffF
ik
kk
,...,2,1
...21
Frequência acumulada (Fi) é o total das frequências de 
todos os valores inferiores ao limite superior do intervalo de 
uma dada classe:
F3 = f1 + f2 + f3
F3 = 4 + 9 + 11
F3 = 24 


i
i
i
f
F
Fr
Frequência acumulada relativa (Fri) de uma classe é a 
frequência acumulada da classe, dividida pela frequência total 
da distribuição:
Fr3 = 24/40
Fr3 = 0,6 
F3 = f1 + f2 + f3
F3 = 4 + 9 + 11
F3 = 24 
Distribuição de frequência sem intervalos de
classe
Quando se trata de variável discreta de variação
relativamente pequena, cada valor pode ser tomado como um
intervalo de classe (intervalo degenerado) e, nesse caso, a
distribuição é chamada distribuição sem intervalos declasse, tomando a seguinte forma:
Distribuição de frequência sem intervalos de classe
Distribuição de frequência sem intervalos de classe
4
Correção
Exercício
Representação gráfica de uma distribuição
Uma distribuição de frequência pode ser representada
graficamente pelo histograma, pelo polígono de
frequência e pelo polígono de frequência acumulada.
Histograma
O histograma é formado por um conjunto de retângulos 
justapostos, cujas bases se localizam sobre o eixo horizontal, 
de tal modo que seus pontos médios coincidam com os pontos 
médios dos intervalos de classe. 
As larguras dos retângulos são iguais às amplitudes dos
intervalos de classe. As alturas dos retângulos devem ser
proporcionais às frequências das classes, sendo a amplitude
dos intervalos iguais.
Histograma
Polígono de frequência
O polígono de frequência é um gráfico em linha, sendo as 
frequências marcadas sobre perpendiculares ao eixo 
horizontal, levantadas pelos pontos médios dos intervalos de 
classe. 
Para obter um polígono (linha fechada), devemos
completar a figura, ligando os extremos da linha obtida aos
pontos médios da classe anterior à primeira e da posterior à
última, da distribuição.
Polígono de frequência
À distribuição da Tabela 5.6 corresponde o seguinte
polígono de frequência:
Assim, à distribuição da Tabela 5.6 corresponde o
seguinte polígono de frequência acumulada:
Polígono de frequência acumulada
O polígono de frequência acumulada é traçado marcando-
se as frequências acumuladas sobre perpendiculares ao eixo 
horizontal, levantadas nos pontos correspondentes aos limites 
superiores dos intervalos de classe. 
Polígono de frequência acumulada
Assim, à distribuição da Tabela 5.6 corresponde o
seguinte polígono de frequência acumulada:
A curva de frequência
A curva de frequência. Curva polida
Como, em geral, os dados coletados pertencem a uma
amostra extraída de uma população, podemos imaginar as
amostras tornando-se cada vez mais amplas e a amplitude
das classes ficando cada vez menor, o que nos permite
concluir que a linha poligonal tende a se transformar numa
curva _ a curva de frequência.
Podemos dizer que enquanto o polígono de frequência
nos dá a imagem real do fenômeno estudado, a curva de
frequência nos dá a imagem tendencial.
A curva de frequência. Curva polida
Assim, após o traçado de um polígono de frequência, é
desejável que se faça um polimento, de modo a mostrar o
que seria tal polígono com um número maior de dados.
Esse procedimento não nos dará uma certeza absoluta de
que a curva obtida _ a curva polida _ seja tal qual a curva
resultante de um grande número de dados. Podemos, porém,
afirmar que ela se assemelha mais à curva de frequência do
que ao polígono de frequência obtido de uma amostra limitada.
O polimento, geometricamente, corresponde à eliminação
dos vértices da linha poligonal. Consegue-se isso com o
emprego de uma fórmula bastante simples, a qual, a partir
das frequências reais, nos fornece novas frequências _
frequências acumuladas _ que se localizarão, como no
polígono de frequência, nos pontos médios.
A curva de frequência
A curva de frequência. Curva polida
A fórmula que nos dá a frequência calculada (fci) é:
4
2 11   iiii
fff
fc
A curva de frequência. Curva polida
A curva de frequência. Curva polida
As formas das curvas de frequência
Curvas em forma de sino
As curvas em forma de sino caracterizam-se pelo fato de
apresentarem um valor máximo na região central.
São muitos os fenômenos que oferecem distribuições em
forma de sino: a estatura de adultos, o peso de adultos, etc...
Distinguimos a curva em forma de sino simétrica e
assimétrica.
As formas das curvas de frequência
- Curva simétrica
Essa curva se
caracteriza por apresentar
o valor máximo no ponto
central e os pontos
equidistantes desse ponto
terem a mesma
frequência.
Em 
forma 
de Sino
As formas das curvas de frequência
- Curva assimétrica
Na prática, não encontramos distribuições
perfeitamente simétricas. As distribuições obtidas de
medições reais são mais ou menos assimétricas, em relação
á frequência máxima.
Assim, as curvas correspondentes a tais distribuições
apresentam a cauda de um lado da ordenada máxima mais
longa do que do outro.
- Curva assimétrica
Se a cauda mais alongada fica à direita, a curva é
chamada assimétrica positiva ou enviesada à direita. Se
a cauda se alonga à esquerda, a curva é chamada
assimétrica negativa ou enviesada à esquerda.
Assimetria + Assimetria -
As formas das curvas de frequência
Curvas em forma de jota
As curvas em forma de jota são relativas a distribuições
extremamente assimétricas, caracterizadas por apresentarem
o ponto de ordenada máxima em uma das extremidades.
As formas das curvas de frequência
Curvas em forma de U
As curvas em forma de U são caracterizadas por
apresentarem ordenadas máximas em ambas as extremidades.
As formas das curvas de frequência
Distribuição retangular
Essa distribuição, muito rara na verdade, apresenta todas as
classes com a mesma frequência.
Curva de frequência Bimodal
Quando a curva de frequência tem dois máximos
Curva de frequência Multimodal
Quando a curva de frequência tem mais de dois máximos
Referências Bibliográficas
CRESPO, Antonio Arnot. Estatística fácil. São Paulo: Saraiva, 
2009.