BasesMatemáticas_Tema1_Módulo4

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Prof.ª Luciana Neves
Matemática, 1º Ano, Aplicações da 
Matemática Financeira: capital, montante, 
juros
Fundamentalmente, a Matemática Financeira estuda os
procedimentos utilizados em pagamentos de empréstimos, bem
como os métodos de análise de investimentos em geral.
Isso não impede, porém, que alguns conceitos da Matemática
Financeira, como o de porcentagem, por exemplo, possam ser
utilizados em problemas que não envolvem dinheiro.
Exemplo: Podemos calcular o percentual de aumento na altura
de uma planta em determinado intervalo de tempo.
Matemática, 1º Ano, Aplicações da 
Matemática Financeira: capital, montante, 
juros
Quando uma pessoa empresta a outra um valor monetário,
durante um certo tempo, essa quantia é chamada de capital (ou
principal) e é indicada por C.
O valor que o emprestador cobra pelo uso do dinheiro, ou o valor
pago pelo tomador do empréstimo é chamado de juros e indicado
por J.
Matemática, 1º Ano, Aplicações 
daMatemática Financeira: capital, 
montante, juros
A taxa de juros, indicada por i (do inglês interest, que significa
juros), é expressa como porcentagem do capital. Ela representa os
juros numa certa unidade de tempo, normalmente indicada da
seguinte forma: ao dia (a.d.), ao mês (a.m.), ao ano (a.a.), etc.
Matemática, 1º Ano, Aplicações da 
Matemática Financeira: capital, montante, 
juros
De modo geral, os juros no período são iguais ao produto do
capital pela taxa, isto é:
J = C ∙ i (juros no período da taxa)
Se o pagamento do empréstimo for feito numa única parcela, ao
final do prazo do empréstimo, o tomador pagará a soma do capital
emprestado com o juro, que chamaremos de montante e
indicaremos por M.
M = C + J
Matemática, 1º Ano, Aplicações da 
Matemática Financeira: capital, montante, 
juros
Juros Simples
Nesta modalidade, os juros são sempre calculados sobre um valor
fixo (o capital). Assim, considerando um capital C aplicado a uma
taxa i por período e durante t períodos de tempo, os juros simples
da aplicação serão iguais à soma de t parcelas iguais a C ∙ i, ou
seja:
J = C ∙ i + C ∙ i + C ∙ i + ... + C ∙ i
Portanto:
J = C ∙ i ∙ t
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Matemática Financeira: capital, montante, 
juros
Juros Compostos
Nesta modalidade os juros são calculados de acordo com o
montante acumulado até o período anterior, ou seja, o montante
após uma quantidade t de períodos de tempo é:
Mt = Mt − 1 + Mt − 1 ∙ i
Em resumo:
Mt = C ∙ (1 + i)
t
A fórmula acima é indicada habitualmente sem o índice,
escrevendo-se simplesmente:
M = C ∙ (1 + i)t
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Matemática Financeira: capital, montante, 
juros
Bina deseja comprar um automóvel que custa, atualmente,
R$ 48 000,00. Ela fez uma pesquisa e constatou que esse
modelo vem aumentando seu valor a uma taxa de 1% ao mês.
Bina aplicou seus R$ 36 000,00 em um fundo que rende 4% ao
mês. Em quanto tempo Bina terá o dinheiro suficiente para
comprar o seu carro, considerando que essas condições se
mantenham por todo o período?
Matemática, 1º Ano, Aplicações da 
Matemática Financeira: capital, montante, 
juros
Para respondermos à pergunta do problema de Bina, devemos
saber ainda se os reajustes e os rendimentos do fundo são em
juros simples ou compostos.
Vejamos, então, os seguintes casos:
•Os reajustes e os rendimentos são em juros simples;
•Os reajustes e os rendimentos são em juros compostos;
•Os reajustes são em juros simples e os rendimentos em juros 
compostos;
•Os reajustes são em juros compostos e os rendimentos em juros 
simples.
Matemática, 1º Ano, Aplicações da 
Matemática Financeira: capital, montante, 
juros
Os reajustes e os rendimentos são em juros 
simples
Neste caso, temos que:
J = C ∙ i ∙ t
E o montante do valor do automóvel será igual ao montante do
investimento:
Ma = Mi
Logo:
Ca + Ca ∙ ia ∙ t = Ci + Ci ∙ ii ∙ t
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Matemática Financeira: capital, montante, 
juros
Assim:
48 000 + 48 000 ∙ 0,01 ∙ t = 36 000 + 36 000 ∙ 0,04 ∙ t
48 000 + 480t = 36 000 + 1 440t
1 440t − 480t = 48 000 − 36 000
960t = 12 000
t = 12 000 : 960
t = 12,5 meses
Matemática, 1º Ano, Aplicações da 
Matemática Financeira: capital, montante, 
juros
Os reajustes e os rendimentos são em juros 
compostos
Neste caso:
Ca ∙ (1 + ia)
t = Ci ∙ (1 + ii)
t
48 000 ∙ (1 + 0,01)t = 36 000 ∙ (1 + 0,04)t
Aplicando logaritmo aos dois membros:
log [48 000(1,01)t] = log [36 000(1,04)t]
log 48 000 + t ∙ log 1,01 = log 36 000 + t ∙ log 1,04
4,68124 + 0,00432 ∙ t = 4,5563 + 0,01703 ∙ t
Portanto:
t  9,83 meses
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Matemática Financeira: capital, montante, 
juros
Os reajustes são em juros simples e os 
rendimentos em juros compostos
Agora, temos:
48 000 + 48 000 ∙ 0,01 ∙ t = 36 000 ∙ (1 + 0,04)t
480(100 + t) = 36 000(1,04)t
Aplicando logaritmo, teremos:
log [480(100 + t)] = log [36 000(1,04)t]
log 480 + log (100 + t) = log 36 000 + log (1,04)t
log (100 + t) − log (1,04)t = log 36 000 − log 480
Daí resulta:
log [(100 + t)/(1,04)t] = log (36 000/480)
Matemática, 1º Ano, Aplicações da 
Matemática Financeira: capital, montante, 
juros
Portanto:
(100 + t)/(1,04)t = 75
100 + t = 75 ∙ (1,04)t
Fazendo os gráficos das funções y = 100 + t e y = 75 ∙ (1,04)t, 
temos:
Assim, a abscissa positiva do ponto de intersecção nos dará a 
resposta:
t  9,7 meses
Matemática, 1º Ano, Aplicações da 
Matemática Financeira: capital, montante, 
juros
Os reajustes são em juros compostos e os 
rendimentos em juros simples
De forma idêntica ao caso anterior, teremos:
48 000 ∙ (1 + 0,01)t = 36 000 + 36 000 ∙ 0,04 ∙ t
Seguindo-se os passos anteriores chegamos, finalmente, a:
75 + 3t = 100 ∙ (1,01)t
Matemática, 1º Ano, Aplicações da 
Matemática Financeira: capital, montante, 
juros
Fazendo-se, então, os gráficos das funções y = 75 + 3t e y = 100(1,01)t, 
teremos:
A abscissa positiva do ponto de intersecção é:
t  12,9 meses
Matemática, 1º Ano, Aplicações da 
Matemática Financeira: capital, montante, 
juros
Atividades Resolvidas
1) Qual o montante de uma aplicação de R$ 12 000,00 a juros
simples, à taxa de 18% a.a. durante 5 anos?
C = R$ 12 000,00
i = 18% a.a. = 0,18 a.a.
t = 5 anos
M = C + J → M = C + C ∙ i ∙ t → M = C ∙ (1 + i ∙ t)
Portanto:
M = 12 000 ∙ (1 + 0,18 ∙ 5)
M = 12 000 ∙ 1,90
M = 22 800 reais
Matemática, 1º Ano, Aplicações da 
Matemática Financeira: capital, montante, 
juros
2) Um capital de R$ 20 000,00 é aplicado a juros simples, durante
2 anos, à taxa de 2% a.m. Qual o montante obtido?
C = R$ 20 000,00
t = 2 anos = 24 meses
i = 2% a.m. = 0,02 a.m.
M = C ∙ (1 + i ∙ t)
M = 20 000 ∙ (1 + 0,02 ∙ 24)
M = 20 000 ∙ 1,48
M = 29 600 reais
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Matemática Financeira: capital, montante, 
juros
3) Determine o capital que, aplicado a juros simples, à taxa de 2,5%
a.m., durante 2 anos, resulta em um montante de R$ 16 000,00.
i =2,5% a.m. = 0,025 a.m.
t = 2 anos = 24 meses
M = R$ 16 000,00
M = C ∙ (1 + i ∙ t)
16 000 = C ∙ (1 + 0,025 ∙ 24)
16 000 = 1,6 ∙ C
C = 16 000
1,6
C = 10 000 reais
Matemática, 1º Ano, Aplicações da 
Matemática Financeira: capital, montante, 
juros
4) Calcule o capital que, aplicado a juros simples, durante 11
meses, e à taxa de 1,5% a.m., proporciona juros de R$ 825,00.
t = 11 meses
i = 1,5% a.m. = 0,015 a.m.
J = R$ 825,00
J = C ∙ i ∙ t
825 = C ∙ 0,015 ∙ 11
825 = 0,165 ∙ C
C = 825 .
0,165
C = 5 000 reais
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juros
5) Qual o montante de uma aplicação de R$ 3 000,00 a juros
compostos, durante 10 meses, à taxa de 1,4% a.m.?
C = R$ 3 000,00
t = 10 meses
i = 1,4% a.m. = 0,014 a.m.
M = C ∙ (1 + i)t
M = 3 000 ∙ (1 + 0,014)10
M = 3 000 ∙ (1,014)10
M  3 000 ∙ 1,15
M  3 450 reais
Matemática, 1º Ano, Aplicações da 
Matemática Financeira: capital, montante, 
juros
6) Uma empresa tomou um empréstimo bancário de R$80 000,00
pelo prazo de 1 ano. Calcule o montante pago sabendo que o
banco cobrou juros compostos à taxa de 5% a.t.
C = R$ 80 000,00
t = 1 ano = 4 trimestres
i = 5% a.t. = 0,05 a.t.
M = C ∙ (1 + i)t
M = 80 000 ∙ (1 + 0,05)4
M  80 000 ∙ 1,2155
M  97 240,00
Matemática, 1º Ano, Aplicações da 
Matemática Financeira: capital, montante, 
juros
Atividades Propostas
1) Um capital foi aplicado em regime de juros simples à taxa de 
1,5% a.m., por 3 meses. Ao final desse período, apresentou um 
rendimento de R$ 135,00. Qual o capital aplicado?
2) Qual é a taxa mensal de juros simples que faz um capital de R$ 9 
500,00 produzir um montante de R$ 11 900,00 ao fim de 1 ano?
3) O preço à vista de um eletrodoméstico é R$ 350,00. Dando-se uma 
entrada de R$ 80,00, financia-se o restante em 12 meses com juros 
simples de 4% ao mês. Qual será o valor de cada prestação?
Matemática, 1º Ano, Aplicações da 
Matemática Financeira: capital, montante, 
juros
4) Andrea deseja aplicar R$ 18 000,00 a juros compostos de 0,5% ao 
mês. Que montante ela terá após 1 ano de aplicação?
5) Um capital foi aplicado em regime de juros compostos, por 24 
meses, a uma taxa de 7% ao mês. Sabendo que o montante da 
aplicação foi de R$ 12 825,00, qual o valor aplicado?
6) Ana quer aplicar R$ 6 000,00 com o objetivo de, após 1 ano e 3 
meses, ter guardado R$ 9 348,00. Que taxa mensal sua aplicação 
deverá ter para que ela consiga o valor desejado?