Caldeiraria-estruturas metálica

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Formação 
Montador 
Caldeiraria e 
Estruturas 
Metálicas 
Matemática 
CENTRO DE DESENVOLVIMENTO DE PESSOAL 
-. . . . - . -*- 
I:. , 
USIMINAS CENTRO DE FORMACÃO PROFISSIONAL - PHD 
MÓDLZO - i : NLTMEROS RACIONAIS 
- Frações 
- Leitura de frações 
- A generalidade das frações 
- Forma mista 
- Porcentagem 
- Frações equivalentes 
- Propriedade fundamental das frações 
- Simplificação de frações 
- Frações irredutíveis 
- Números racionais absolutos 
- Redução ao menor denominador comum 
- Adição e subtração de frações 
- Transformação de forma mista em fração 
- Multiplicação de frações 
- A divisão de frações 
- Potenciação, radiciação e expressões numéricas 
- Adição e subtração de números decimais 
- Multiplicação de números decimais 
- Divisão de números decimais 
MÓDLZO - 2 : RAZÃO E PROPORÇÃO 
- Razão 
- Proporção 
- Regra de três simples 
- Regra de três composta 
- Porcentagem 
- Juros 
MODLZO - 3 : UNIDADES DE MEDIDAS 
- Medida de comprimento (sistema métrico decimal) 
- Medida de comprimento (polegada) 
- Medida de tempo. Operações 
MODIJZO - 4 : EXTRAÇÃO DE R A k QUADRADA 
- Raiz quadrada de número inteiro 
- Raiz quadsada de número decimal 
- Raiz quadrada de fração 
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MÓDULO - 5 : CONJXJNTO DOS N T E R O S REAIS 
- Função 89 
- Representação gráfica de urna função 94 
- Representação dos pares ordenados 96 
- Equações 101 
- Inequações 101 
- Resolução de equações do 1 " grau 107 
- Sistema de equações do 1" grau ( métodos: substituição e adição) 112 
- Equação do 2" grau 116 
- Um tipo especial de equação do 2" grau 116 
- A fórmula da Bhaskara 117 
- A dedução d fórmula de Bhaskara 128 
- Equações do 2" grau incompletas 121 
- Resolução das equações incompletas, com i3 = O 121 
- Resolução das equações mcompletas, com C = 0 122 
- A soma e o produto das soluções da equação do 2" grau 125 
MÓDITLO - 6 : GEOMETRIA I 
- Triângulos 130 
Elementos principais 130 
Classificação 131 
Propriedades 133 
Congruência 135 
Semelhança 139 
- Quadriláteros 144 
Trapézios 144 
Paralelograrnos 145 
Circunferência e circulo 147 
Elementos da circunferência 148 
- Segmentos proporcionais 150 
Feixe de paralelas 151 
Teorema de Tales 152 
- Poligonos regulares inscritos e circunscritos a uma circunferência 154 
Elementos principais de um polígono regular 154 
MÓDULO - 7 : GEOMETRIA 2 
- Perímetro de polígonos 
- Compnmento da circunferência 
- Medida de superfície 
Múltiplos e submúkiplos do metro quadrado 
Área do retângulo 
Área do quadrado 
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Área do paralelogramo 
Área do triângulo 
k e a do losango 
Área do trapézio 
Área de um polígono regular 
Área do círculo 
Área da coroa circular 
- Medida de volume 
Múltiplos e submúltiplos do metro cúbico 
Volume dos prismas 
Volume do cubo 
Volume do paralelepípedo retângulo 
Volume do cilindro de revolução 
Volume das pirâmides retas 
Volume dos cones circulares retos 
Volume do tronco de pirâmide 
Volume do tronco de cone 
Volume da esfera 
- Medida de massa 
MODULO - 8 : GEOMETRIA 3 
- Relação de Pitágoras 
- Relações métricas no triângulo retângulo 
- Relações métricas no triângulo qualquer 
- Relações trigonométricas no triângulo retângulo 
Seno 
Coseno 
Tangente 
- Relações trigonomémcas em um triângulo qualquer 
Lei dos senos 
Lei dos cosenos 
- Relações métricas na circunferência 
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Já vimos as frações mais simples. Agora, vamos dar a definição geral de fração. 
numerador 
Dois números naturais escritos na forma formam uma fração: denominador 
o denominador, que não pode ser zero, indica em quantas partes o todo deve ser 
dividido; 
o numerador indica quantas dessas partes devem ser consideradas. 
O numerador e o denominador são os termos da fração. 
Vejamos um exemplo. 
5 - do retângulo 7 
Leitura de fracões 
As frações com denominadores menores que 10 e as com denominadores 10,100, 
1000, ... têm nomes especiais. 
denominador nome de cada parte 
- - - -. . - -. .- . .. .- - -- -. . . . - denorninaâor nome de cada parte . . ...- . . - .. . .. - - . . . L .- . - . - . - 
terço (ou terça parte) 
quarto (ou quarta parte) 
10 décimo 
100 . centésimo 
1000 ! milésimo 
10000 décimo de milésimo 
Para ler uma fração, primeiro leia o numerador e, depois, o nome de cada parte. 
3 7 (três sétimos) . - 21 (vinte e um centésimos) 100 
I - (um décimo) 0 - 49 (quarenta e nove 1 O00 
milésimos) 
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8 Para ler as fracões com denominadores maiores que 10, mas diferentes de 100, 
1 000, 10000, etc., leia o numerador, depois o denominador e, finalmente, a 
palavra avos. 
--- e (oito onze avos) C - 
7 1 9 inove dezesseis avos) 16 
A generalidade das fracões 
Aqui, vamos pensar em tabletes de chocolate. Vamos dividir um tablete em 6 partes 
iguais. 
Cada parte é -L do tablete. 6 
6 Considerando 6 dessas partes, temos - do tablete. 
6 
6 - do tablete são o tablete todo, 6 
Também podemos considerar 7 das 6 partes em que cada tablete foi dividido. 
7 1 - do tablete são u m tabiete mais -de outro tablete 6 6 
Veja ainda estes exemplos: 
- do tablete 
6 
- " do tablete 
6 
Costuma-se usar a palavra fracáo com o significado de parte, pedaco. Mas, na 
matemática, a fracão pode ser: parte do objeto, o objeto todo, o objeto todo mais 
parte dele, dois objetos, dois objetos mais parte dele, etc. 
Assim, a idéia de fracão é mais genérica na matemática do que na linguagem 
comum. 
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Forma mista 
Veja: 
- T9 do tablete 15 
- do tablete são 1 tablete mais do tablete. Por isso, a fração 19 também 15 15 15 
pode ser escrita assim: I ----- (um inteiro e quatro quinze avos) 15 
Dizemos que 1 - 19 é'a forma mista da fração - 15 1 5 ' 
Toda fração com numerador maior que o denominador pode ser escrita na forma 
mista. A forma mista é uma mistura de um número natural com uma fração de 
numerador menor que o denominador. Veja estes exemplos: 
3 2 - (dois inteiros e três quartos) 5 
4 3 - (três inteiros e cinco oitavos) 8 
Porcentagem 
Veja: 
a do retângulo 
1 O0 
A fração também pode sei escrita assim: 50%. 1 o0 
Dizemos que 50% é a fração escrita na forma de porcentagem. 
Toda fração de denominador 100 pode ser escrita na forma de porcentagem. 
- é 9% (nove por cento) 1 O 
1 O0 
10% (dez por cento) é - 
1 O0 
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. Fracões equivalientes. Simplificacão c 
de fraeões 
1 2 Observe que - e representam a mesma porcáo do retângulo. 2 
1 2 - Dizemos então que e sao .fraqões equivalentes iequí significa igual; equivalente 4 
quer dizer de igual valor). 
Duas ou mais fracões são equivalen:es quando elas representam a mesma 
porcão do todo. 
Por exemplo: 
Propriedade fundamental das fra~ões 
2 2 Esta figura representa - , ou seja, - do retângulo estão pintados. 
3 3 
Agora dividimos cada terça parte em 5 partes iguais 
Da primeira para a segunda figura, veja o que aconteceu: 
o número de partes foi multip!icado por 5: passou de 3 para 7 5: 
o número de partes assinaladas também foi multiplicado por 5: passou de 2 
para 10; 
a porcáo do retângulo assinalada continuou a mesma. 
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Tudo isso pode ser esquematizado assim: 
2 - 3 0 - = - 
3 
'-..-2- 
15 
- 5 
2 Na figura que representa - poderíamos ter dividido cada terca parte em 2 partes 
3 ' 
iguais, ou 3, 4, 5, 6, ... partes iguais. Assim, veríamos que: 
2 Quando multiplicamos o numerador e o denominador de - por um mesmo número 
3 
2 natural não-nulo, obtemos uma fraqão equivalente a -. 
3 
Isso vale para qualquer fracão. É a propriedade fundamental das fracões: 
Multiplicando o numerador e o denominador de qualquer fração por um 
mesmo número natural. não-nulo. semsre se obtém uma fracão 
equivalente a inicial. 
2 Por exemplo, -5 = --- 1 2 . 15 = 30 
7 5 
Simplificagão de frasões 
A propriedade fundamentalnos mostra que, tendo-se uma fracão qualquer, existem 
infinitas fraqões equivalentes a ela. Por exemplo: 
Todas essas fracões representam a mesma porqão do todo, mas, quanto menor 
forem o numerador e o denominador, mais simples será a fracáo. Por exemplo, - 
12 - são fracões equivalentes, mas - 12 
:o e 
20 é mais simples que -- 1 o 20 ' 
,. 
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Exemplo 
45 Vamos simplificar - 
60 . 
3 45 Então, - é uma forma simplificada de -- 
4 60 ' 
Fracões . irredutíveis 
Quando uma fracão não ouder ser simolificat da, diremos que se trata de uma fracão 
inedutível. portanto, numa fração irredutívei, o único divisor comum do numerador e 
do denominador é 1. 
24 - 12 4 24 12 = - = - - = - - 4 
30 d5b? 30 15 -?r 
-L .7- I 
- 2 - 3 frações fr&o 
redutivets irredutivel 
4 A fracão - é irredutível, mas - e - 5 24 ' não são irredutiveis 30 15 
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Imagine esta situacão: um chocolate será igualmente dividido entre três criancas. 
Nesse caso, a divisão com números naturais não resolve o problema: 
1 3 - 
1 o 
Cada crianca receberia O chocolate, sobraria 1 e ninguém sairia satisfeito. Porém, 
com as frações, é possível fazer essa divisao de $ por 3 
1 dividido por 3 ou 1 + 3 
1 1 Cada crianca recebe -do chocolate. Entso, o resultado de 1 + 3 é -- 
3 3 ' 
1 Nessa divisão, o dividendo é 7 , o divisor é 3, o quociente é -, e o resto é 0. 
3 
Qualquer fracão é O resultado da divisão do seu numerador pelo seu denominador. 
2 Veja na figura a seguir que o resultado de 2 + 3 é - 
3 ' 
Qualquer fração é o resultado da divisão do numerador pelo denominador 
(que não é zero jamais!). 
As frações são resultados de divisões entre números naturaisl Por isso, vamos 
considerar que frações também são números, chamados de números racionais. 
A palavra racionalse refere justamente a divisão. Sua origem é ratío, que na 
antiga língua dos romanos (o latim) quer dizer divisão. Veja que até hoje usamos a 
palavra rateio com esse significado de dividir. 
1 Por exemplo, 3. é um número racional absoluto. Ele é o resultado de 1 c 3. 
1 Agora, atenção! Sabemos que existem infinitas frações equivalentes a -. 
3 ' 
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- 
1 Todas essas frações equivalentes a 3 representam, portanto, u m só número 
racional. 
2 Também sabemos que existem infinitas fraçóes equivalentes a 5.: 
Todas essas fraçóes representam um outro número racional. 
Números naturais e números racionais 
Agora, você já conhem dots rtpos ue ~~birneros: os naturais (0, I , i, 3, ...) e os 
racionais (que são quocientes de dois naturais). 
Repare que a divisão de dois números naturais pode também ser um número 
natural. Exemplo: 12 : 4 = 3 
Por isso, os números naturais também são racionais. 
Aliás, isso você já pode ter notado anteriormente, porque os números 
naturais podem ser escritos na forma de fração. Por exemplo: 
USIMINAS CENTRO DE FORMACÃO PROFISSIONAL - PHD o 
Comparar dois númeíos racionais é dizer se eles são ou não iguais; e, se não forem, 
dizer qual deles é o maior. 
1 Ex@mpaB@ s 
3 5 Vamos comparar o s nUmeros racionais -7 e 7. 
Que tal fazer duas figuras para representa-los? Comece com dois retângulos iguais. 
5 3 Veja que -7.2 7. 
5 3 A comparação d e 7 e 7 também pode ser feita diretamente, sem figuras, 
Quando duas frações têm denominadores iguais, a maior fração é a que tem maior 
numerador: 
5 7 Sem fazer figuras, vamos comparar - e - 8 10' 
Como os denominadores não são iguais, a compara@o é mais trabalhosa. A idéia é 
esta: 
5 Substituir 8- por urna fração equivalente. 
/ Substituir 1(> por uma fraçso eqtrivaiente. 
USIMINAS CENTRO DE FORMACÃO PROF~SS~ONAL - PHD 'A ., 
r As duas frações "substitutas" devem ter denominadores iguais. 
Comparando as fraçães "substitutas", faz-se a comparação das fracões 
"originais". 
Mas, como encontrar esse denominador comum? 
5 Como ele é o denominador de uma fracão equivalente a 8, ele deve ser um 
múltiplo de 8. 
Pelo mesmo raciocínio, ele deve ser um múltiplo de !O. 
Por isso, para denominador comum, escolhemos o mmc (8, 10). 
8. 101 2 
4, 5 2 
2, 51 2 mrnc (8, 10) = Z 3 . 5 = 40 
1, 1 
0 s novos denominadores devem ser iguais a 40. 
5 2 5 7 28 Então: - = - 
8 
e --- = - 
40 1 O 40 
Agora é fácil comparar, pois os denominadores são igua~s. Portanto: 
25 28 
ãiT w 
=-5 - 7 < - 
f 
8 1 O 
Para comparar fracões com denominadores diferentes: 
reduzimos as fracões ao menor denominador comum, isto é, calculamos o mmc 
dos denominadores e, a seguir, encontramos fracões equivalentes as iniciais, que 
tenham nos denominadores esse mmc: 
P comparamos as fracões equivalentes as iniciais, 
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AdidicBo , e subtração de frações 
Com os números racionais tambbm se fazem cálculos, como adições, subtrações, 
multiplicações e divisões. Começaremos com a adição e a subtração. 
Como exemplo, vamos efetuar: 
2 3 Podemos fazer essa adição numa figura, juntando as partes que representam 7 e 7. 
Na adicão de frações com denominadores iguais, somamos os numeradores, 
mantendo o denominador comum. 
5 1 1. Vamos efetuar + 72 , sem fazer figuras: 
6 . 
Observe que 5 e uma fração que pode ser simplificada: 
5 
Então: 3 7 1 + - - - 12 - 2 
9 4 2. Vamos efetuar 11 - sem fazer figuras: 
9 - 4 5 
11 11 - 11 
Na subtracao de fracões com denominadores iguais, subtraimcs os 
numeradores, mantendo os denominadores. 
USIMINAS CENTRO DE FORMACÃO PROFISSIONAL - PHD , 7 - 
1 . ' Vamos efetuar - T -L 
2 3 
Queremos somar "um meio" com "um terco". Neste caso, o s cálculos s ã o mais 
trabalhosos, porque o s denominadores s ã o diferentes. Por isso, vamos reduzir as 
fracões ao menor denominador comum. 
mmc 12, 3) = 6 
1 1 5 Então: - i- - = - 
2 3 6 
Também podemos usar esse procedimento para efetuar subtracões de fracões com 
denominadores diferentes. 
Na adicão. ou suotracão. d e irasões ùe Cenoininaaores diferentes: 
reduzi rn~s âs fracoes a o menor oenorninador comum; 
somamos. olr srb:rairnos. a s fracões equivalentes a s iniciais. 
3 1 Vamos efetuar: - - - 
4 10 
mmc 14, 10) = 20 
3 1 13 Então: - - -- = - 
4 10 20 ' 
USIMINAS CENTRO DE FORMACÃO PROFISSIONAL - PHD Z 
3 Desenhando figuras, já sabemos transformar, por exemplo, a forma mista 2 - numa 5 
fracão. 
Agora vamos fazer isso sem usar figuras. Observe: 
3 3 2 - 6 0 mesmo que 2 i - 5 5 
Então, basta efetuar essa adicáo: 
Desse modo, pode-se fazer qualquer transformacão de forma mista em fracão. E se 
tivermos uma fracão com o numerador maior que o denominador, podemos fazer o 
caminho contrário. 
Por exemplo, considere a fracão =. Vamos procurar a sua forma mista 
5 
- l 3 é o mesmo que 13 + 5 
5 
Então, efetuamos essa divisão: 
13 /5 
3 2 
Essa divisão resulta em 2 inteiros, e indica que ainda restam 3 para se dividir por 5. 
3 Como 3 + 5 = -, concluimos que: 5 
USIMINAS CENTRO DE FORMACÃO PROFISSIONAL - PHD - 
Expressões como "o dobro de" ou "um quarto de" correspondem a multiplicaçóes 
1 na linguagem matemática. O dobro de 5 e 2 - 5; um quarto de 16 e - . 16. 4 
1 2 Pensando dessa maneira, os matemáticos antigos sabiam efetuar 3- . - por meio 5 
de desenhos. 
2 Primeiro, eles representavam -g-. 
A seguir, eles representavam um terço da parte que já tinha sido assinalada. 
Finalmente, eles comparavam a parte encontrada com a figura toda. 
2 Lanfira: a parte assinalana e - na tlgura inicial. 15 
Assim, eles concluíam que: 1 2 2 
Para multiplicar fracões, muitiplicamos seusnumeradores e também os seus 
denominadores. 
Por exemplo: 
USIMINAS CENTRO DE FORMACÁO PROFISSIONAL - PHD 
Uma espbcie de simptlficação: o cancelamenfo 
Veia este exemplo: 
Neste caso, simplificamos depois de obter o proauto. No entanto, é mais fácil fazer o 
cancelamento, simplificando antes de efetuar a muitiplicação: 
Veja o exemplo de ca'ncelamento: - 
A divistio de fre@k.i 
Algumas divisões de Sracõespodem ser feitas com o uso de desenhos. 
1 Vamos efetuar 3 + - 4 ' 
1 Representando 3 com três retângulos, é possivel ver quantas vezes -- cabe em 3: 
4 
1 Veja: 7 cabe 12 vezes em 3. 
1 Acon?ece que, para saber quanlaç vezes -; cabe em 3, deve-se efetuar a divisão 
7 Entáo: 3 i = 72 
1 
Observe que a divísi;a por tem o mesmo resuttado que a mu/tip/icaç30 pejo seu 
inverso: 
1 a + - - - 
4 - 1 2 e 3 . 4 = 1 2 
19 
USIMINAS CENTRO DE FORMACÃO PROFISSIONAL - PHD 4 
2 7 Vamos efetuar 7 c r 
2 1 1 2 Representando -3- e 6- com figuras, pode-se ver çuantas vezes - cóbe em 7: 
1 2 2 1 Veja: -6. cabe 4 vezes em 7. Logo, 4 e o resu!tado da divisáo -; -. 3 . 6 
1 
Observe que a divisão por -6- tem o mesmo resultado que a multiplica@o pelo seu 
Exempb 3 
3 Vamos efetuar ;i- + 2. 
3 Com figuras, não é possível ver quantas vezes 2 cabe em 7 Mas podemos repartir 
3 - em duas partes iguais. 4 
2 Lembrando que 2 =-i-, observe que a divisão por 2 tem o mesmo resultado que a 
multiplicação pelo seu inverso: 
USIMINAS CENTRO DE FORMACÃO PROFISSIONAL - PHD \ 
Para toda divisão de fracões vale esta regra prática, que observamos nos três 
exemplos anteriores: 
Para dividir uma fracão por outra, multipkamos a primeira pela inversa da 
segunda. 
Por exemplo: 
. .. .. . ~ . " . . e c; i - >.*r'..: .- = <. ---.~--- - = .;r--ns, " . .. . : . . . . - - z .. ..cyr-S 
Sabemos que toda fracão indica o quociente da divisão do seu numerador pelo seu 
3 denominador. Por exemplo, - = 3 f 4. Então, o traco da fracão representa o sinal 
4 
de divisão i+). 
Veja este exemplo: 
Potenciacão, . raiz quadrada 
e expressões numéricas 
Potenciacão 
As potências de números racionais são definidas da mesma maneira que as 
potências de números naturais. 
-. ($1 =j potência 
base / 
Neste tipo de indicação, a base é o fator que será multiplicado tantas vezes quanto o 
expoente indicar. A base é um número racional e o expoente, um número natural. 
Veja os exemplos. 
USIMINAS CENTRO DE FORMACAO PROFISSIONAL - PHD - 
Raiz quadrada 
Raiz quadrada e a operacão inversa de se elevar um número ao quadrado. 
Seu simbolo é \--. 
8 1 Por exemplo, vamos obter . - 
1 25 
1 Procuramos uma fração que, elevada ao quadrado, dá '25: 
Portanto: 
Expressões numéricas 
Nas expressóes numéricas com números racionâis, continuam valendo as convençóes 
que você já conhece. 
USIMINAS $ 2 
Números decimais 
Adkão a e sarlbtracão C de rrie eras decimais 
Os decimais são um outro modo de escrever as fracões. No entanto, no dia-a-dia, e 
mais comum se encontrar números decimais em vez de fracões. 
Por exemplo, quando o assunto é dinheiro, estamcs acostumados com os decimais. 
77 Escrevemos RS 42,77, e não RI; 42 ?õõ- 
Quando o assunto é a nossa altura ou então o comprimento de uma mesa, também 
usamos os decimais. Por exemplo, é costume escrever que a altura de uma pessoa é 
1,53 metro. e não 1 A-- 53 do metro. 
1-00 
Agora, vamos estudar a maneira de fazer caicuios com os nomeros decimais. 
Os números decimais formam um sistema posicional. Então, na adicão desses 
números, precisamos somar: centésimos com centésimos, décimos com décimos, 
unidades com unidades, dezenas com dezenas, centenas com centenas, etc. Por isso, 
escrevemos esses números de modo que uma vírgula fique sobre a outra: assim, as ' 
posicões de mesmo valor também ficarão uma sobre a outra. 
Exemplo 1 
Vamos efetuar 15,47 + 6,884. 
I dezenas ' I % 
, , 
unidaoes , , , 
décimos I ; ! I I 
cent4simos 
Observe que, na casa dos centésimos, efetuamos: 7 + 8 = 15. 
Encontramos, assim, 15 centésimos. Mas 15 centésimos va!em 1 décimo 
(10 centésimos) mais 5 centésimos. Então, no resultado, escrevemos 5 na casa dos 
centésimos; na conta, acrescentamos 1 na casa dos décimos. Isso explica o "vai 
um" da casa dos centésimos para a dos décimos. 
USIMINAS Ç c 
MuliiplicaeGo a de núrmeros decimais 
Muiltiplica~úo de números decimais por potgncias de 10 
Vamos comecar muitiplicando decimais por 10, 7 00, 1 000, etc. Para isso, 
transformaremos os decimais em fracões e iremos efetuar as multiplicações com 
essas fracões. 
Vamos multiplicar 1,223 por 10, 7 00 e por 1 000. 
Lembrando que 1,223 = : $: , temos: 
Multipiicanao um número decimal por 10, a virgula avança uma posição 
para a direita; por 100, a virguia avança duas posições para a direita; por 
! 000, avançõ tr&s: e assim por diante. 
Por exemplo: 
0,08 . 10 = 0,s 
0,08 . 100 = 8 
23.27 . 1000 = 23210 
Multiplica~Qo de dois números decimais 
Para entender como são efetuadas as multiplicacões de dois números decimais, 
inicialmente, vamos transformá-los em fracões. 
Vamos efetuar 2,5 . 1,3. 
i I 5 
1 casa 1 casa 
decimal decimal 
i 
2 casas 
decimais 
As casas decimais de um número são as posicões que ele apresenta depois da 
vírguta. Observe que, quando efetuamos 2.5 . 1,3. encontramos uma fracão: o 
seu numerador é 25 . 13 e o seu denominador é 100. 
U S I M I ~ ~ S CENTRO DE FORMA-O PROFISSIONAL - PHD 
Exemplo 2 
Vamos efetuar 1,11 . 2,003. 
2 caças 3 casas 5 casas 
decimais decimais decimais 
Observe que, quando efetuamos 1 ,I 1 . 2,003, encontramos uma fração: seu 
numerador é 1 1 1 . 2 003 e o seu denominador é 100 000. 
A partir de exemplos como esses, chega-se à seguinte regra: 
.- . . . . . . . . . . - - - .. . . - . . . . . . . . . . . - - -- - - . . . . - 
Para multipiicar dois números decimais, mukipiique os números da mesma 
forma que muttipiicamos os números naturais: coloque a vírgula no 
resuitado obtido: o número de suas casas decimais 4 a soma dos números 
das casas decimais dos fatores. 
8 1 , E 7 2 casas decimas 
X 3,j1i casa dec-a! 
16314 
+ 2447 1 2 + 1 = 3 
261,024 3 casas decimais 
- 4 
i ,i 4 '2 casas decimais 
X 0,B 7 2 cases decimais 
114 
+ 228 2 + 2 = 4 
0,2394 4 casas decimais 
&enc!o ,-- 3 miii*ir';-s-5~ .: .-,.. L. .+-.--A "Em -.., i w - i - d ~ +..-.E..- 
Para encontrar três décimos de 40, você já conhecia dois modos: 
Agora, temos uma terceira maneira: 
0'3 . 40 = 12,O 
JA mencionamos que toda frabão de denominador í 00 e uma porcentagem 
21 Assim, - = 21%. 
100 
21 Como - 
1 o0 - 0,21, as porcentagens também podem ser escritas na forma de . . 
números decimais. Por exemplo: 
67% = 0,67 8% = 0,08 50% = 0,5 
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Divisão de números decimais 
Divisão de números naturais cem quociente decimal 
Exemplo i 
Vamos efetuar .I 7 + 5 com quociente decimal 
O corneco você já conhece: 
17 1 5 L 
3 C ,, ' f 
unidades 
Restam 2 unidades, que são 20 décimos. 
Então podemos prosseguir, dividindo 20 décimos por 5. Dividindo esses décimos, o 
resultado também será em décimos. Por isso, colocamos uma vírgula no quociente: o 
algarismo que vier depois dessa virguia indicará os d6cimos. 
décimos 
' / 
décimos 
Observe que a divisão de 17 por 5 tem um resultado quando é efetuada em IN, e 
outro quando efetuada em a: 
O quociente é 3 e o resto é 2. 
1 7 + 5 
+O quociente é 3,4 e o resto é 0. 
Daqui em diante, sempre que mencionarmos uma divisão, estaremos nos referindo a 
divisão com quociente decimai. 
Exemplo 2 
Vamos efetuar 91 + 4. 
\ 
décimos 
26 
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Agora restam 2 décimos, que são 20 centésimos. 
Então, acrescentamos o O e completamos a divisão: 
Divisão de dois números decimais 
Vamos efetuar: 0,54 + 0,36. 
Multiplicando o dividendo e o divisor por 100, o resu!rado da divisão não muda. Mas, 
com isso, as vírgulas vão avancar duas casas e passaremos a ter esta divisão: 
Vamos efetuar: 8,72 + 3,2. 
Primeiro, igualamos o número de casas decimais do dividendo e do divisor, 
escrevendo 3'20 no lugar de 3,2. 
Para eliminar as vírgulas de 8,72 + 3,20, multiplicamos o dividendo e o divisor por 
100. 
Para dividir aois números decimais, iguale o número de casas decimais 
desses números; elimine as virguias; efetue a divisão. 
.. 
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EXERCICIOS 
i. Efetue: 
a ) 0 ,s +0,32 = 
b) 0,0710,01 = 
c ) 0,009+0,002 = 
d ) 8+0,5 = 
e)' i + 0,s = 
f) $,8 t. 2 = 
! 2-. 2. Calcoie o valor de x, em polegadas: 
a Resp.: ........ 
3. Efetue: 
4 . Calcule as diferencas: 
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5, Calcule o diâmetro x . 
7 . Se um q u i l o d e ferro custa 8 14,OC, yuanto sagarei por 
70 qui los ? 
8 r U= m t r o de f i o de cobre custa â 18,550. 3 ~ 3 1 o preFo de 
15 m desse f i o ? 
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9 Efetue: 
a ) 1 ,68 : 4 = 
t i ) 2,486 : 7 = 
c ) 3 6 , 1 : 5 = 
20 Efetue a s d i v i s õ e s : 
11 Calcule o quociente das d i v i s s e s : 
2 ) Dois décimos : c inco centésimos = 
b) 16 milésimos : quatro décimos = 
c> 69 centésimos : três mi1;simos = 
12 C & o s ouocientes , dividindo a t é milésimos (aprcxizzdaaen- 
t e C,001). 
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13. Efetue a rad ic iaqão , observando o exmplo: 
fh. Retire o denon ikdo r do r a d i c a l , Siga os exemplos: 
.. 
Para r e t i r a r o denominador do Radical, observam-se a s s e g u i n t e s 
propriedades: 
l a ) a r a i z de uma f ração e a . r a i z do numerador sobre a r a i z do d e ~ o - 
minador. 
2%) empregando un mul t ip l icador comum aos termos de uma f r a ç ã o ob - 
tém-se ou t ra equivalente . 
35) o produto de r a i z e s é a r a t z do produto. Note também queo mul - 
t i p l icador comum escolhido deve s e r t a l que o produto s e j a una 
potzncia de expoente fgual ao i n d i c e da r a i z . 
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76 - Hélio gastou num dia, 'i, de seu dinheiro e no outro 'li. Ficou ainda com R$360,00. 
Quanto possuía ? 
17 - Um excursionista fez uma viagem de 360 km . Os % do percurso foram feitos de trem ; 
'I8 a cavalo e o resto de automóvel . Quantos km andou de automóvel ? 
A parte percomda de automóvel que fraqão que fração representa da viagein total ? 
18 - Mozart sacou de um banco 3!7 da quantia depositada .Alguns dias depois depositou 
R$600,00 e ficou com o dobro do deposito inicial. Calcular a importância retirada . 
19 - A quantia de R$186,00 foi dividida entre Vinícius o Marcelo e Lea , de modo que o 
primeiro e o segundo receberam respectivamente 5, e da importância de Lea . 
Quanto coube a cada um ? 
20 - IValter distribuiu 2!S das laranjas que possuía . -4 seguir, distribuiu ' i 3 do resto e . . 
finalmente, % do novo resto ficando com 36 laranjas . Quantas possuia inicialmente ? 
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2! - Um operário fazia certo trabalho em 9 h . Outro fazia o mesmo trabalho em 6 h . 
Se trabalhassem juntos durante meia hora, que fração do trabalho executariam ? 
22 - Para carregar um caminhão de areia, um operário sozinho precisa trabalhar 2 h e outro, 
3 h . Se trabalhassem juntos em quanto tempo deveriam carregá-lo ? 
23 - Uma torneira enche um tanque em 4 h e uma válvula o esvazia em 6 h . Achando-se o 
tanque vazio e abrindo-se simultaneamente a torneira e a válvula, em quanto tempo deverá 
encher o tanque ? 
24 - Um automóvel pode andar, sem se abastecer durante 5 h .Tendo saído com um furo no 
tanque de gasoiina somente pode andar 250 minutos. Se este automóvel estivesse parado 
durante 25 minutos , quantos litros de gasolina perderia, sabendo-se que a capacidade de 
seu tanque é de 60 litros? 
25 - Para os exercícios de educação física , os alunos de um colégio foram separados em 
Irês gnipos : no primeiro ficaram 2.'5 mais 30 alunos ; no segundo 3;8 mais 50 alunos e 
no terceiro os 100 alunos restantes. Calcular o número de alunos deste colégio . 
26 - Duas torneiras enchem um tanque em 4 h . Se uma delas gasta 7 horas para 
encher o mesmo tanque, quanto tempo gastana a outra ? 
M Ó D ~ O - 2 : WÃO E PROPORÇÃO 
- Razão 
- Proporção 
- Regra de três simples 
- Regra de três composta 
- Porcentagem 
- Juros 
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Recordando a sucessão de Rbíltiplos de 6 e 8, tms: 
Se indicams a divisão de cada termo da primeira sucessão pelo seu corres- 
6 - 12 18 pondente na segunda, ocorre: t) , 16 , - 24 , ... 
Observa-se, então que todos os quocientes indicados constituem a ctasse de 
equivai~ncia [$I 
Assim: 
3 onde -4 fi a mZKO m às duas s s 
cessões acima: a e b. 
3 - representa o valor de qualquer um dos quocientes indicados anterior 4 
mente, tanatém chamados IU1a0; portanto, 
MZÃO entre múneros dados é o quociente do primeim pe- 
Zo segundo. 1 
Assim, A razão entre 3 e 4 é ou 0,75 
36 
- 
UÇIMINAS CENTRO DE FORMACÃO PROFISSIONAL - PHD - 
... A razão entre 4 e 3 é ou 1,333 
12 A razão entre 12 e 2 é ou 6 
3 
3 2 3- A razão entre 2 -g- e 6,5 é 615 - 
A razão entre 15 e 17 é .......... ou .......... 
A razão entre 17 e 15 é .......... ou .......... 
3 - - 4 ........... .......... A razão entre .......... e e -3- OU 
Numa razão, o dividendo 6 denominado ~TECEDE.FdTE:e o divisor é o CONÇEQENTE. 
NOTA 
O Conseqüente deve ser sempre diferente de zero. 
Assim: I ) a razão t rês para quatro pode ser escri ta 
3 - ou 3 : 4; em que 3 é o antecedente 4 
e o 4 é o conseqüente. 
fa to este, em que 
as duas KAZÕES são 
11) a razão quatro para très pode ser escri ta "":a* 
4 - ou 4 : 3; emque o termo 4 é o 3 
antecedente e o 3 é O conseqüente. 
3 é...- 4 - Assim, o inverso de -g- e o inverso de -=j- e ... ... 
37 
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atrSCRVAÇW 
1. Nas RAZõES EiJTíZE GRRNDEZAS. O antecedente e o conseqltente de- 
vem ser grandezas de mesma espéch e de mesm. unidada. 
Obesrwplo: Note que m desapar&eu, 
2, Hã R(IZUES ESPECWS em que o antecedente e o conseqltente são 
gnmdeaae d&fewntes. 
ExempZoe: 7 ) Velocidade: distãncia pelo tempo / 450km = 9 0 k m / h 5 h 
e,: 450km em 5 h 
2 40 2) Densidade Oemogr~tica: popula$o [ /= . . . hab/ . . . 
e área 
E : 2 400 hab. em 200 km 
3) Massa especifica: massa e volume f "". '. - - e . . . . . . /. . . . . . 
a - . . . . . 
Ex.: 59,5 kg em 7 dms 
Quando tratamos do valor comum das raz%s, apresentam 
0 
A essa equiva&da ma-8 duas ou ma66 ~ " e a , chamamos PROPOR#O. Nas DE 
porções de duas razões, o prinwrlro e O Último t e m recebem o nm de EXTREMOS 
e os outros dois recebem o nome de MEIOS, 
&i os 
Assim: Extremo, &i0 
9 6' 
- = - 8 12 OU 9 : 1 2 = 6 * 8 
/ \ 
Meio Extremo Extrenos / \ 
lê-se: S e& para 12 ms&i cmo 6 está para 8 . 
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Examine o que ocorre nas proporções abaixo: 
/4 x 6 = 24 
6 3~ ~6 a ) Seem = -g- , f i z e r n i ~ s ~ , = , ~ 
'3 x 8 = 24 
Concluimos que: 
. . 
O produto dos erffanos é.. ... .......... ... . pFoduto dos m&s 
I *Z uo/difemte do 
Esta é a PROPRIEDADE PVnDAMEFm'AL DAS PROPORÇdES (P . F. P . ) da qual nos valemos 
para calcular un temo desconhecido de uma proporção. 
IMPo'xMh" 
As propor$ões sáo resolvidas nos conjuntos que excluem o zero. Nas 
proporções costuma-se guardzr o lugar do termo desconhecido pelas 
le t ras x, y, r , w, t, ou qualquer outro simbolo. 
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Achar o valor de y: 
Dada a proporção: 
Observe que: 
2 + 5 - = + j5 pois, p 
5 15 
d a i a propriedade: 
1 A s m dos w p r ~ ~ g i r o s tem8 estã p m o (ou pl.i 
I - 
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Dada a proporçáo: 
iserve aue: 
dai a propriedade: 
6 2 Verifique se a propriedade é válida trocando 15 por -5- 
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1. No estudo das razões, vimos que as duas sucessões de números 
3 t& uma razão coml;m, que é 4. . M s e caso, d i z e m que os IYLIMEROS da primei - 
ra sucessão são DIiIETAML'NTE PliOPORCION.4JS aos da segunda. 
Ao abastecermos um veiculo num posto, quanto m i s gasolina colocarmos no tan - 
que, mais cruzeiros pagaremos. 
Assim, ao aumentarmos a gran- 
deza "gasolina" ( l i t ro s ) , a o 2 
t r a grandeza, "preço" (cruzei - 
TOS), aumentaráo mesmo núme- 
ro de vezes, ou seja , as gran - 
dezas variam no mesmosentido. 
As grandezas "gasolina" e "preço" são 
D I R ~ N T E PROPORCIONAIS 
2. Nem todas as sucessões de niimzros apresentam uma razão comum. Para cow 
provar tal fato, considere as duas sucessões: 
1s sucessão: 2, 3, 6; . . . 
2s sucessão: 12, 8, 4 , .. . 
e complete como sinal = (igual) ou # (diferente), os trgs itens que seguem: 
portanto, essas duas i i l t ims sucessões não têm urea razão comum e, por isso, 
não' são diretamente proporcionais. 
42 
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Mo entanto, invertendo cada termo da 23. sucessão, i s to é de 12, 8, 4, ..... 
. 1 1 fazendo , -g- . .., ..., ..., ..., obtém-se: 
sucessão: 2 3 6 , ... - - - 
1 1 m ~ m da 22 sucessão: , $ , 4 , . . . 
Através das razões assim estabelecidas observams: 
Continue verificando: 
Já que ocorre a propriedade fundamental das proporções, concluimos qoe flã uma 
razão comum (no caso, 24) entre a 1% sucessão e o iiWl?BSO da 2a. @ando is - 
t o acontece, dizmos que os N?&BoS d a i a suces são são IATYERSAZERTE PRC 
PoRCIDNAIS aos da 22. 
Isto eouivale, nas sucessões dadas, a mujtiplicar cada termo da l g sucessão 
pelo seu correspondente na . . . sucessão. 
- Assím: 2 x 12 = 3 x ... - 
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Exemplo de grandezas invers-aae?te proporcionais: 
- r 89 de oper9rio.s fazendo uma tarefa e tempo gasto para &er. a 
i nesma tarefa. 
I 
d u m e n i 4 o número de operãri os, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o tempo 
gasto na tarefa. (d iminui rã/aumentarã) 
3. Levando em conta que: 
i é encontrada L I I v D ~ ~ v W S E cada temo da 15 pelo seu correspon j dente na 2%. 
I 
Nas sucessões de I@@~os I~VK?RS.ME~?TE PROPORCXO~~AIS, a r a zão 
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- - - - - - 
Verifiquemos como os números das sucessões seguintes se comportam 
(DIRETA eu I ~ ~ S M ~ J L T m o m c l o i m ) : 
C o m z ~ s ã o : 
Os números da sucessão F são &retamate prapor&mds aos da su- 
cessão B. /E 
' L 1 Modelo 11) C = 9 6 -j- 
conczusão: 
Os números da sucessão C são i m e r s m t e p~oporc?:onais aos da sg 
cessão D. 
E x I R ~ f ç i O s DE REFORr$O: 
Siga os modelos para d i ze r s e os números das sucessões abaixo r e p r e s e n t a m 
sucessões de n-&teros diMeta ou inversamente proporcionais: 
a ) Valores da çranaezi (i: é 1 8 48 91 
Valores da grandeza R: 8 2Q 3 0,5 240 
Resp.: ........................................................... 
5 ) Valores da grandeza M: O.& 10 16 13 0 , l 2,5 18 2,5 
Valores da grandeza N: 2 , A 60 96 60 0,6 15 1 W 15 
Resp.: .......................................................... 
45 
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Cano vimos, bá grandezas que variam proporcionalmente 6x1 relação a ou t ras . 
Essa proporcionalidade nos fornece uma REG% que permite solucionar proble- 
mas. Esses problmas propõem a deteminação de um temo desconhecido atra- 
vés de três outros conhecidos; dai a regra citada chamar-se REGRA D6 RzEs. 
. - 
Ezenp.ito 1: Se 3 limas custam Cr$144,00 quanto se pagarã por 7 limas i g u a 3 s - 
as primeiras? 
Convencionapemos o seguinte procedimento: 
1' - Organizam-se as sucessões'com elementos da msma espécie. E 
comum fonnar as sucessões na posição vertical. 
1 imas Cr$ 1 
A seta, convencionalmente, deve 
apontar para . 
Cano colocã-Ia na 15 sucessão? Valem-nos do seguinte rac i o c l 
nio: se 3 limas custam Cr$144,00, 7 limas custarão mais, is to é, 
a aummtando as limas, mera& os cruzeiros, logo a seta da 1- 
sucessão apontará no mesmo sentido que em - x . 
A REGRA DE T@S é dita então DIRETA. 
2' - Resolve-se a proporção. 
Resp.: O preço de 7 limas é Cr$ .. ... . 
46 
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-20 2: Ihn certo serviço é fe i to em 72 horas ccm 8 níaqvinas impressoras. 
Em quanto tempo, 6 dessas máquinas farão o mesmo ie-Aço? 
máquinas horas 
X 1 
As setas têm sentido i : ivcso, pois urr, racicclnio, cx!: o anterior, 
acusa que x é maior que 72. Teriaras, ontão, de ir. e r t e r unra das 
razões para podermos q ' j c a r a prop~iedade fundâmn-a? das pro - 
porções; entretanto, prelicamente: OS produtos s? fazem sempre 
entre o termo que está na ponta de una seta e o que está no i n í - 
cio da outra seta. 
Observe como determinamos o vilor de - r : 
Vimos que a sucessão GJe ccntzm - x serve dc 5ase rãia j?.ber s e qual - 
quer uma outra é direta [d) ou inversâ (i j . {Se C i l-etc recebe 
as setas no xsmo sen-id? e s i inversa, EX jen t i c 'c c opostos). 
Quando servir mais do um? voz. tono bise c3mpdmtivi, tezos o que 
se chama de REG% DE ?&; Co@OSm. 
REGRA DE IliES COMPOSTA 
Seja o problema: 
* &I grupo de 30 ope~arioc. zritaitisrico 3 h ~ r a s t i B > - i a s , fundiu 
400 kg de ferro em 10 d:ã;, Qwntcs o;?e:r?r:os siri: necissãrios 
para f u n d i r 600 kg trrbblhzn?9 1 5 aias ce 6 h x d i ? 
Oisposiç~o dci dados p<ra reccni;ec?n.erito so a rejrs de trss é d i - 
reta ou inversa: - * opernr ;?c tnra;/dia kg dias 
i 30 402 
/ x 6 S I C l0 15 / I 
47 
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Raciocinemos para colocar as setas: 
1' - diminuindo o número de horas/dia 
aumentará o no de operários 
z9 - aumentando o nQ de operãríos au- 
mentará o nQ de kg 
3' - aumentando o n9 de operários di- 
minuirá o n9 de dias 
Observe que o numerador será consti tuido pelo produto do valor que 
está no inicío da seta do pelos valores que estão nas pontas das 
demais setas, e o denominador ê o produto dos demais valores. 
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Q Numa turma de 1 ano há 50 alunos dos quais 30 obtiveram conceito Õ t i 
dernos, então, estabelecer a razão entre o n k r u de alunos com conceito Ó t i m o 
e o total de alunos. 
N-wro de alunos com conceito Ó t i m o - 30 
Total de alunos 50 
Como, nnrltiplicando-se ou dividindo-se os tenros de usa razão pelo mesmo ng 
mero, o seu valor não se altera, podemos escrever a razão de vários ag 
dos, entre eles: 
Observe-que está Últiaa razão possui conseqtlente 100. 
 esse caso, a razão recebe o nome de P O R ~ A G E M ; 
assim: 
, &uaZquer maio cujo conseqhrte é 100 é danormMda 
Itssim: 30 alunos em uma classe de 50 alunos, é o mesmo que 60 alunos em 
uma classe de 100 alunos. . * 
2 
A razão pode ser escrita tanb&n . que se 1. 60 por cento. a 
O sinal % indica uma porcentagen. 
Complete agora; 
45 - - 
1 O0 escreve-se .. . . . . ... .. .. . .% e le-se 45 ... ... , ..... .. . 
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Qualquer razão pode ser escrita sob a forma de porcentagm e v i ce-versa . 
Basta deteminamos a razão equivalente com denm5i ador 100 e resolvermos a 
proporção (regra de trk direta). 
EzmnpZos: 
1 a) Escreva 5 sob a forma de porcentage- 
Siibstituindo & na razão temos a porcentagem 20 ou 20%. 
3 b ) Escreva ò. razão sob a forma de porcentaitr. 
Resposta: % ou ... 
c ) Escreva 30% sob a forma de fração irreduiível 
3 Resposta:' -ig- 
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Para resolvermos um problema de percentagem, podemos u t i l i z a r sempre uma 
regra dci trés s*Zss direta. 
E preciso lembrar que 300% es tá sempre para o todo. 
&mplos: a ) Determine 3% de 600 peças. 
O to ta l de peças (600) corresponderá a 100%. 3% é a parte d9 todo 
que se deve calcular, logo estã para - x. 
Peças Por cento 
....... +==+ = """' 1 O0 = peças 
bf Qual e o n"mm de peças cujos 3% são íguafs a 18 pesas? 
O problema consiste em calcular qusntg corresponde a 1OM (que é 
c total de peças). 
Por cento Peças 
- ........ +=+ = """" - peças ........ 
c ) José comprou um aparelho de t e l e v i s ã o de CrSl 800,OO por 
Cr$l 440,OO. Quantos por cento obteve de desconto? 
Vai or Por cento 
O que Jose pagou corresponde, portanto, a 80%; logo, o desconto 
obtido foi de: 100% - <c. % = X. % 
Resposta : 20% 
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- - - 
d) Um livro que custa Cr$ 25,OO vai ter o seu preço auntentado em 
2 . Qual serã o seu novo preço? 
O pr&o do-objeto antes do aumento é representado por 100%; p o ~ 
tanto, depois do auntento, serã representado por 100% i 20%=120%. 
Podemos, então, aratar o problema: 
Resposta: Cr$ 30,OO 
e ) lim corte de fazenda que foi comp?ado com um abatimento de 15% 
custou Cr$ 170,OO. Qual o vaior real desse corte? 
O preço do corte de fazenda era representado por 100%; depois do 
abatimento, será representado por 100% - 25% ou seja 85%. 
Resposta: Cr$ 200,OO 
Retoolen#ts o 19 exemplo apresentado: 
taxa ( i ) Principal (c) 
57 
Porcentagem (p) 
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Recordando: para encontrar a porcentagem, f í z m s : 
% pegas 
' 3 - 3 * - = - =$ x = 
/ I 0 0 - SW i00 600 
Indicando a taxa 3 por i 
o pri ncf pal ó00 por c t e m s : p = ,W) 
a percentagem x por p 
A part i r dessa fórmula, usando a proppiedadef*pntaZ dasproposções, vem: 
Resolva aplicando as fórmulas anteriores : 
a ) Calcule 8% de 320 pregos. 
320 . 8 = c - i - ...... P " 100 - 100 
b) Quantos por cento Crá5,OO é de Cr$30,00? 
c) 18 alunos representam 60% de uma turma. Quanto~ alunos tem e2 
sa tu&? 
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Quando se empresta oficialmente uma certa quantia, a importância que se re- 
cebe, como compensação, denomina-se J U R O ( j j. A quantia -restada é d i t a 
CAPITAL (c). TAXA (i! é o juro mla t ivo a 100 unidades mortelãrias, por uni - 
dade de tempo (t). 
Assjm: ~m & 6% ao a, significa que para cada 100 cruzeiros do capf- 
t a l emprestado, recebe-se 6 cruzeiros de juros por ano. 
Se o capital permanece invariãvel, durante toda a transação, os ju - 
ros são simples. 
Os juros são propor&mis ao CAPITAL, ã TAXA e ao TEWO. 
Como o problema só envolve grandezas proporcionais, sua resolução pode s e r 
f e i t a por m i o de REGRA DE CWOSTA. 
Veja como se consegue a FdhMiLA GERAL: 
Convenciona-se, para a obtenção da mesma: 
c = capital ; t = tempo 
j = juros; i = taxa 
Se um capital de CrS100,OO colocado taxa de 1% ao ano, rende Cr$l,OO, 10- 
go, c Cruzeiros aplicados i% renderão j em 1 ano. 
- 
EsquemaLicamente teraos: 
c. i. t 
=$ j = C i pela p.e.n.m 3 j a--- @ 1. 1. 100 
Esta e a fórmula dos juros 
54 
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j - '' ( o divisop. 7 5 neutro) Rssini: - - 1 7 0 0 
Aplicando a PFP, resulta: 
100 j = c. i. t. 
egando o conhecimento de operação inv ?.a, tiramos as seguintes formulas: 
Taxa i = 100 . j c. t O 
Tempo t = c. 1 
Capital c = 1 w . j 7 . t @ 
Problemas reso'lvi&s, utilizando as fórmulas vistas: 
1. Calcule o capital que em 4 anos, empregado ã taxa de 8% ao ano, produz 
Cr$22,40 de juros: 
Dados : 
j = Cr$22,40 
i = 8% 
t = 4 anos 
Usando a formula, temos 
'O0 22y40 donde c = CrS700,OO Capital: c = 
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2. A que taxa anual se deve empregar um capital de Cr$120,00 para queno fim 
de 3 meses, produza Cr$2,88 ? 
Dados : 
j = Cr$2,88 3 1 i =Cr$'f20,00 t = 3 m e s e s = - ~ - a = q a 
Usando a formula. tentos: 
3. Cùicule por quanto tempo deve-se empregar, à taxa de O,5% ao mês, um ca- 
pital de Cr$&?3,3t) para s e obter Cr$280,@2 de juros. 
Dados : 
c = CrF800,OO j = Cr$280,00 i = 0 3 x 12m = 6% aoano. 
Usando a fórmula. temos: 
Tempo: t = 5 : donde t = 5 g a = 5 anos e 10 meses. 
4. Calcule os juros produzidos por um capital de Cr$20 000,OO colocadosãta - 
xa de 12% ao ano, durante 3 anos. 
Dados: 
c = 20 000,OO i = 12% t = 3 anos 
Usando a fónnula, temos: 
j = 2 0 0 0 0 . 1 2 . 3 
1 O0 logo j = C157 200,OO 
- 
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Resolva agora os exercicios abaixo, seguindo a seguinte explicação: 
. Reparta Cr$144,00 em partes inversamente proporcionais aos nümeros 3 , 4 e 12. 
Is to equivale a determinar t rês quantias: x, y e z , t a i s que x + y + z 
Cr$l44,00 e que sejam, inversamente proporcionais respectivamente aos nú 
meros 3, 4 e 12. 
2 ,Tendo-se que construir a seguinte alatianca: 
i 
4 0 c m 
Y i 
pergunta-se: a quantos centímetros do gancho de 3 kgf (medida x) 
se deve colocar o ponto d e apoio para equilibrá-la? 
3 . Uma firma inst i tuiu um premio de Cr$470,00 para s e r distribuido entre os 
aprendizes de marcenaria, na ordem inversa das fa l tas dos mesmos. No fim 
do semestre, fez-se a distribuição entre três aprendizes que tiveram 3, 
5 e 4 f a l t a s , respectivamente. Quanto recebeu cada um? 
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.?rCa'lcule por quanto tempo se deve empregar, ã taxa de 7% ao ano, um capi - 
t a l de CrS800,OG para s e obter Cr$280,00 de juros. 
cãzcuzo: 
Resp.: ......... 
5 ,Calcule o capital que, em 3 anos, rendeu Cr$270,OO, a 5% ao ano. 
6. A que taxa s e devem colocar Cr$850,00, durante 2 anos, para que rendam 
Cr$51,00? 
Resp. : 
7 . A que taxa anual foi empregado um capital de Cr$12 000,OO que em 9 meses 
rendeu Cr$450,00 de juros? 
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EXERCICIOS COMPLEMENTARES 
i - Resolva os sistemas abaixo, aplicando as propriedades das proporções : 
( 3 
2 - Divida i2 em partes diretamente proporcionais a 3 e 5 
3 - Divida 52 em partes inversamente proporcionais a 2 , 3 e 4 
4 - Divida 36 em partes inversamente proporcionais a ' i2 , 'i3 e ' i, 
5 - Se 15 % de um de um total em real são r% 8.000,00 , quantos reais s%o 27 % do total ? 
59 
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6 - Acendendo uma lâmpada durante 3 h por dia, juca teve a despesa de RS 9 90,OO com a energia dispendida em certo 
periodo. Quai seria a despesa se tivesse mantido a lâmpada acesa 7 h por dia, d w t e o memo período ? 
7 - Para fmrem um. muro, 10 operários l e v a i dias. Em qumtos dias 5 operários fariam o mesmo trabdho nas mesmas 
condições ? 
8 - Se três operáxios levam 8 dias para reabrem d e t e m d o trabalho; mantidas as mesmas condições, em quantos dias 4 
operários farão o mesmo trabalho ? 
9 - Cinco torneiras iguais enchem um tanque em 108 min. Três destas tomeim demo- quanto tempo para encher este 
tanque ? 
?O - Mantendo a velocidade de 90 im í h um trem faz determinado trajeto em 8 mio. Se tivesse a velocidade de 60 im i h , 
em quanto tempo faria o mesmo trajeto ? 
7 -Duas rodas dentadas, uma com 33 dentes e outra com 12 dentes, esta0 engrenadas uma na outra Enquanto a menor dá 11 
voltas. a roda maior dá quantas voltas ? 
2 2 -Uma turma de 15 homens extrai 3,6 ton. de carvão? em 30 dias . acrescentando -se mais 5 homms i turma. em q~mtgs 
dias espera -se que sejam extraidas 5,6 ton. de carvão ? 
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13 -Em 13 dias, trabalhando 6 h por dia, foram feitos 2 / r de uma tarefa. Nas mesmas condições, trabalhando 8 h por dia, 
em quantos dias será concluída a tarefa ? 
-- 
14 - Com 6 in;pressoras iguais são feitas 1300 folhetos em 5 minutos . Emquantos minutos serãoprodUndo~5000 folhetos, em 
2 destas impressoras ? 
15 -Um navio com 300 pessoas a bordo, necessitana de 120.000 litros de água para uma viagem de 20 dias . Recebendo mais 
50 pessoas a bordo e mais 6.000 litros de água ao iniciar a viagem, deseja-se saber ; se for mantido o mesmo nivel de 
consumo por pessoa o navio tem água suficiente para uma viagem de quantos dias ? 
16 -Uma equipe de 16 datilógrafos, trabaihando 5h 40mhpor dia, durante 10 dias, fez 24.000 fichas . Outra equipe, de 22 
datilógrafos, trabalhando durante 9 dias fez 29.700 fichas . Sabendo que os elementos das duas equipes tem a me- 
capacidade de produção, quantas horas por dia trabaihou a 2 O equipe ? 
17 Certa sociedade constituída por três sócios (A , B e C). obteve em determinado penodo de tempo 
um lucro de R$27 000,00 Qual a parte desse lucro que coube a cada socio, se A entrou com ' i 3 do 
capital, B com i 5 e C com o restante 9 
18 Certa sociedade constituida por três sócios (A , 3 e C), obteve em determinadoperíodo de tempo 
um lucro de R$27.000,00 . Qual a parte desse lucro que coube a cada sócio, se A entrou com ' ! 3 do 
capital, B com ' í 5 e C com O restante ? 
MÓDULO - 3 : UNIDADES DE MEDIDAS 
- Medida de comprimento (sistema métrico decimal) 
- Medida de comprimento (polegada) 
- Medida de tempo. Operações 
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I - Medida de comprimento 
h d i r uma g r a n d e z a É compar;-la com o u t r a da mesma e s p é c i e , 
tornada como u n i o a d e . 
2 - Unidades de comprimento 
De a c o r d o com o s i s t e m a i n t e r n a c i o n a l de un idades , e u n i d a d e 
f u n d a m e n t a l de comprimento é o -. 
o a r a medidas menores usam-se s u b m ú l t i p l o s do metro. 
P a r a comprimentos mui to g r a n d e s usam-se m ú l t i p l o s . 
C c o n j u n t o formado p e l o met ro , s e u s m ú l t i p l o s e submú:tiplos 
c o n s t i t u e o s i s t e m e m é t r i c o decimal . 
Obs.: Ex i s t em m ú l t i p l o s maiores que o k a e s u b m Ú l t i F l o s me- 
n o r e s que c am. 
Exeaplo: f im(micrÔmet ro ) , que É a mi l i cn&ima p a r t e do 
metro . 
3 - Escrita 
S e j a e s c r e v e r t&s m r t r o s e d o i s c e n t i n e t r o s . 
S o l u ç S 0 
a ) E s c o l h e - s e uma u n i d a d e como p r i n c i p a l (m), 
b ) Coloca-se a v í r g u l a à d i r e i t a do (s) a i g e r i s m o s ( s ) que 2 
r e p r e s e n t a . 
c ) E s c r e v e - s e o s í m b o l o da un idade e s c o l h i d s e d i s t r i b u i - s e 
o s o u t r o s a l g a r i s m o s n a s d i v e r s a s c a s a s , 
Exemp7o 
39 2 m A c a s a v a z i a completa-se com z e r o : 3,D2 rn 
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4 - L e i t u r a 
Lê-se a p a r t e i n t e i r a s e g u i d a do nome d a u n i d a d e p r i n c i p a l e 
d e p o i s a p a r t e d e c i m a l s e g u i d a do nome da ú l t i m a ordem. 
Exemplo 
i ) 1 6 , 4 cr* -Lê-se: D e z e s s e i s c e n t i m e t r o s e q u a t r o milíme- 
t r o s . 
2: 1C,36 n =r L;-se: Dez m z t r o s e t r i n t a e s e i s centíme:ios. 
5 - Mudanca de u n i d a d e 
A u n i d a d e e s c r i t a r e f e r e - s e a o a l g a r i s m o que e s t i à e s q u e r d a 
da v f r g i i l a . 
P a r a mudar de u n i d a d e , b a s t a l e m b r a r o p r i n c í p i o d a numera- 
ção decimal . 
Exemplos 
1) 45,87 dm = b.587 m ( a v i r g u i a f o i d e s l o c a d a uma orcem 
p a r a a e s q u e r d a ) . 
2 ) 8,48 = 348 cm ( d u a s o ~ d e n s p a r a a d i r e i t a ) . 
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7 . Complete: 
a ) Em 1 km h2 ............ motros 
b) Em 1 hm iiá ............ metror 
c) Em 1 dam h2 ........... metros 
d ) Em 3 m há ............. decimetros 
e ) Em 5m há ............. centimetror 
f) Em 10 m há ............ milimetros 
L. 
2 . Responda: 
3 . Substitua os pontos pelos valores correspondentes: 
4 . Coloque convenientemente cs simbolos nas seguintes conversões: 
USIMINAS 
5 . Preencna: 
6 . De ma barra de ferro que sedia 7,50m foram tirados t rês pedaços medi2 
do, respectivamente, 25 cm, 125m e 0,4 dm . Quantos miíimetros resta- 
ram sabendo-se que houve ma perda de 1,5 m no corte? (desenhe) 
7 . Um rolo de f io de cobre tem 1 000dm de comprimento. Deseja-se c o r t ã - 
-10 em oitenta partes conçruentes. 3uantos miiímetros meairá cada pa' 
te, supondo-se que .não hzverá perda no corte? Ouantos cones deverão 
ser dados? 
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8 . Calcu la r 2,46 m - 3 nm = mm . 
'9. Calcu la r 2 , 4 6 km - 30 m + 4,b cm = m. 
10, Três chapas, medindo respec t ivamente 2,40 m; 1,60 me0,80 m 
foram emendadas. Ca lcu la r o comprimento r e s u l t a n t e , s e ca- 
da so lda aumenta 3 mm. 
1 1 Quanto c u s t a r & 16,4C m de f i o a B 15.01 o n e t r o ? 
12 Para ancariar água a uma d i s t S n c i a de 7 ,2 km, quantos canos 
de 12 m s e r ã o necess;r ios ? 
13. Um f i o de cobre , medindo 3,536 km f o i co r t zdo ei. 205 peda- 
;os igua i s . Zumtos metros mede caca p s ~ a ~ o ? 
USIMINAS 
1 - ~ o n s i d e r a ç õ e s 
3á vimos que o s i s t e m a m é t r i c o dec imal é u n i v e r s a l , s e n d o a - 
d o t a d o l e g a l m e n t e no B r a s i l . 
No e n t a n t o , a i n d a e x i s t e um g r a n d e nYrnero de desenhos , f e r - 
r a m e n t a s e equ ipamentos c u j a s medidas s ã o i n d i c a d a s em p o l e - 
gada , o que j u s t i f i c a s e u e s t u d o , p - i n c i p a l m e n t e n a i n d ú s - 
t r i a . 
2 - P o l e s a d a 
* 
~ h b o l o s : " ou i n em i n g l e s , a b r e v i a t u r a de i n c h , é a u n i d a d e 
do s i s t e m a i n g l ê s de medida e e q u i v a l e a 25,L am. 
3 - L e i t u r a na r é g u a g r a d u a d a 
Faz-se como na l e i t u r a de f r a ç ã o . 
A = 6 = 3" - - P O P ~ U S es tamos c o n s i d e r a n d o a 
E 4 ., d i v i s a o da p o l e ç a d a em 8 p e r t e s 
õ = i g u a i s 2 t o m n d o 6 p a p t e s . 
Medidas 
c = 
- 
Y - Transfoima$!zo da p o l e g a d a em m e . 
Exemplo 
1" = 1 x 25 ,1 mm = 25,4 na 
2" = 2 x 25,4 mn = 5G,I mm 
1 1" 5" 5 x 25,4 zm = 127,O - 31,75 miz 
4 - 
Polegada x 25,4 mz = n i l l m e t t n 
ronc1usSo 
F e r a s z t r a n s f o r m a r p c l e g a d a s em mi t , b a s t a m u l t i p l i c a r o n& 
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mero expresso sm polegada por 25,h mm. 
Exe rc i c ios 
1 -Transforme em mm a s s e g u i n t e s medidas, dadas em polegadas: 
2 - ~ r a n s f c r m a c ã o de mi l ímet ro e a polesadas 
Divide-se o n;mero r ep resen tado em m m por 25,h. 
Exemplo 
Observa-se que, com e s t e procedimento, encontramos a polega- 
62 na forma decimal. 
? a r a passa r da forma decimal pa re a f r a c i o n á r i s , mu l t ip l i ca - 
s e o r e s u l t a d o o b t i d o por 128 (ou f r a y õ e s e q u i v a l e n t e s ) . 
128 
iransfcrrne e s medidas a e 5 acima em pclegada f i a c i 0 ~ l ~ i 2 r 
a: 
b j 
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0bservacÜes 
Ma p r á t i c a , podemos t r a b a l h a r com a s s e g u i n t e s formas, s i m - 
p l i f i cadas : 
1%) mm x 0,03937 = Polegada decimal 
( É o mesmo que mm x 1 . Dividindo-se l p o r 
25,4 25,4 
25 ,1 obtém-se o f a t o r 0,03937). 
23) mm x 5.04 - Polegada f r a c i o n á r i a 
128 - 
'28 ma x 128 
25,4 129 
Efetuanoc 128 : 25,a = 5,CO + x 5,04 = 
= mm x 5 01 
l 2 - F 
~ x e r c f c i o s 
U t i l i z a n d o os f a t o r e s , transforme: 
8 ) 3@,4 m m = t, ( f r e c i o n á r i e ) 
b ) 16,48 mm = " 
c ) 15,2 m e = " ( d e c i n a l ) 
d ) 50,& m m = " (dec imal) 
e ) 80,OE mm = ( f r a c i c n á r i e ) 
Problemas 
1 ) A pega abaixo e s t á co tada e= polegada. Escreva 20 lado 
s u a s c o t a s en mm. 
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- 
2 ) Uma barra redonda de aço, com 1,OD m de comprimento, v a i 
s e - cortada em p a i t e s iguais de 2", para c o ~ f e c ~ ã o de pa- 
rafusos. Desprezando as perdas nos cor tes , quantos para- 
f u s t s s e i 8 0 obt idos e qual z sobrz de material , en pole- 
gadas ? 
3 ) 3 ~ 2 1 é z chave de menor medida ? 
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->Tal como as outras grandezas, os intervalos de tempo também pdem ser medi- 
dos. A AcndamentaZ u t i 1 i zada para medi r o tempo é o SEGUIJDO. 
pondénci as são: 
= 1 s 
minuto (min) = 60 s 
hora (h) 60min 1 3 600s 
dia (d) )t. 24h = 1 44O.min = 86 400s 
Exemplos resolvi dos: 
suEl'i?a@0 
Exemplos resolvidos: 
17 h 90min 
16 h 50min .. 
- 12 h 30nin 1 7 h 45min 
4 h 20min 45 min 
Obsewe o Gltimo exemplo: como nos conjuntos em que estaaos trabalhandonão 
é possivel subtrair 45min de 30 min,pedthx emprestado uma unidade naordem 
imediatamente superior (no caso 18 h emprestou 1 h ): 1 h tem 60min que com 
30 min resul taram os 90 rnin . 
OBSERVAÇAO: 
5 h 30 min é diferente de 5,30 h 0,30 de 60 min - 18,OOrin 
5,30 h equivale 5 h 18min 30 x 6Iòmin = 18min 
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............ a) 2,5h equivale a 
b) 14,25h equivale a .......... 
.......... c) 32,N h &uivate a 
d) 2,Z h equivale a ............ 
Assinale a resposta correta: 
( ) 16,80h 
( ) 16h mmin 
( ) 1 6 h 20min 
( ) 16,20h 
( ) nenhuma das respostas anteriores 
( 4930h 
( ) 4970h 
( ) 4h 70min 
( ) 4 h Nmin 
( ) nenhuma das respostas anteriores 
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M ( I L Z ~ " U C A Ç ~ ~ 
A mltiplicação é uma adição de parcelas . . . . . . .. . . . . (iguais, diferentes); 
portanto, o processo para muttfplicar apresenta as asmas caractdst icas 
do usado para adicionar. 
Exenpto: 
Seja fazer a miltipl icação equivalente a 
cada ma. 
A di9posição do cálculo i! a seguinte: 
6 h 14min 29 s 
x 5 
30 h 70 m i n 
i 
1 4 5 s k 
+ 
1 h 2 min 25s 2min 
31 h 72 min 
12min 1 h 
Resp.: ( 6 h 14min 2 9 s ) . 5 = 3 1 h 12min 25s 
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A divisão é a operação inversa da . . . . . . . . . . . .; portanto, para ver i f icar se 
a w l t ip l l zação anterior está correta, basta fazer a seguinte diuLsã0: 
31 h 12min 25 s 1 5 
1 
x 6 0 
320 s 6 h 14acin 29s 
72min 
60 min 22 45 
2 o 
x 60s 
120 s 
De fato, o quociente encontrado é o rnultiplisandn que aparece na 
operação anterior. 
MÓDLZO - 4 : EXTRAÇÃO DE RAíZ QUADRADA 
- Raiz quadrada de número inteiro 
- Raiz quadrada de número decimal 
- Raiz quadrada de fiação 
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1 - g a i z S u a d i z d a de número i n t e i v o 
Na ext-a$o d a -ai2 quad-ada i-amos a d o t a - a s e t j u i n t e d i s p o - 
sil&: 
? r e c i s a m o s s a b e - os q u a d ~ a d o s aos nÚme-os n a t u r a i s de 1 e 9. 
S e j a po- exemplo, de te rmina- a r a i z quad-ada de 8296. 
Sepa-am-se n? r a d i c a n d o gyupoe de 2 a l g a r i s m o s da ù i ~ e i t a pa- 
r a a Esquerda . 
D 1 s g-UPO poder: c o n t e r um ou Oois a l g a r i s m o s . 
E x t i a i - s e z o a i z quad-=da dc 1 5 g-u7o ( 8 2 ) . 
Essa r a i z É 9 po- f a l t a . 
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Baixa-se a c l a s s e s e g u i n t e a o Lado do r e s t o , s e p a r a n d o - s e , 
no nÚae-o fo-madc, o a l g a r i s m o da d i r e i t a com um ponto , 
8 2.9 6 
f 9.6 
Acha-se o dcb-o da r a i z ( 9 x 2 = 18: 
Div ide - se o núme-o à e s q u e r d a do p o n t o ( 1 9 ) p e l o dobro da 
r a i z ( 1 s ) . 
Co loca-se o q u o c i e n t e e n c o n t r a d o (I) i d i - e i t a do dobro da 
r a i z ( 1 8 ) ; f i c a r 6 formado o número ( 1 8 1 ) que será m u l t i p l i - 
cada p s l c mesmo q u o c i e n t e ( 1 ) . 
Obs.: Se o q u o c i e n t e encon t -ado f o r maio- que 9, e s c r e v e 9. 
Se f o - menor do que 1, a n o t a - s e ze-o. 
A s e g u i r , e s c r e v e - s e o p r o d u t o o b t i d o (181: embaixo do nUvo 
r a d i c a n d o ( 1 9 6 ) e s u b t - a i - s e ; o ç u c z i e n t e (1: s e r á e s c - i t c n a 
r a i z , a q u a l F a s s a - á a s e r 91. 
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A s s i m : fi est; e n t w 9 1 e 92 
ou se ja 
9 1 <= < 92 
Conc lusão 
9 1 é a r a i z ap-oximzda por f a l t a e 92 é a r a i z ap -ox inada por 
e x c o s s o , Rmbas d i f e r e m da r a i z quadrada e x a t a a menos de uma 
u n i d a d e , ou s e j a , com e-ro meno? do que 1. C o s t u ~ a - s e tomar 
como i a i a , a r a i z ap-cximada por f a l t a . 
Logo: m 6 = 9 1 
O r e s t o d a r a d i c i a ç ã o não pode s e r maior do que o d c b t o d a 
r a i z . 
2 - C a l c u l e a r a i z q u a d r a d a dos s e ; u i n t o s nÚme-os. 
a ) 256 
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3 - E x t r a i a a r a i z quadrada por f a l t a , a menos de um intei-o, dcs 
segu in tes números: 
a ) 1099 
4 - Ra iz quadzada de nÚmero decimal 
Para se e fe tuar a r a d i c i a ç z o de um número dec ima l devemrs sa- 
b e r con ta r o número de ordena decimais. k p a r t e dec ima l do 
~ ú m e - O será: 
- 32 otdem pa?,se e l a f o r c o n s t i t u í d a de u m número pa r de a l - 
ga-ismos, ou se j z , 2 , 4, 6, e tc . algar ismos. 
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Exemplo: 
4 
Paote decimal - 4 a lgar i smos -ordem par 
- de o-dem ímpar s e fo - c o n s t i t u í d a de um núme-o ímpar de 21- 
gz-isfflos ou s e j a 1, 3, 5, e t c . a lgar i smos , 
i 
Pa-te decimal -.----. 3 a tgar i smos -ordem h p a r 
.. 
A e x t - a ~ a i da r a i z uuad-ada de um nimero decimal s Ó pode ser 
i n i c i a d a s e c n;maro de ordens d e c l n a i s fo- pai. Caso con- 
t-;rio acrescentamos um ze-o i d i c e i t a da p a i t e decimal. 
Exemplo 
E x t r a i r a r a i z quadrada de 2,187. 
- Como a p a r t e decimal de 2,187 6 de o-dem ímpar ( 3 a l g a r i s - 
mos!, devamos to rná - l a de o-dem pa-. 
Exemplo 
e * 
O-dem m p a r -.----+ Ordem pa- 
- e fe tua - se en tão a r a d i c i a f ó o como s e o número f o s s e i n t e i - 
-0, obtendo-se: 
V _____I 2 1 8 7 0 z f 4 7 
- separa-se depois na r a i z quadrada (147) um n;msro de or- 
dens d s c i a a i s i g u a l à metade do nÚce-o de ordens decimais 
da ra5icando. 
5 - Coloque z ~ i - ~ u l a nos r e s u l t e d o s Cas r a i z e s quadrarias de 2- 
co-do com i n6r.e-o do c-d=ns d e c i n a i s dos r aCicanr i s , Obser- 
ve z p-imeira i g u a l d z i e que e s t á dada para exempl i f icar . 
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6 - Efe tue a r a d i c t a ~ a c dos s e g u i n t e s nÚme-os i ec ima i s : 
a: = 
b ! W 4 = 
c ) = 
? - Ca:cule z r a i z quzdrada com aproxima& de O , l . 
a ) LL;5 = 
b: I/c = 
8 - Calcule a r a i z Suad-ada com z p r o x i m a ç ~ o de 0,31. 
e ) vsti = 
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ou racionalizando: 
'--i 
e P + V 7 = V - L L I I t . = 3 + 4 = ? 
Resolva cor -e tame~te 
J-$7 = 
~ x e r c i c i o s 
* ". 
11) Efetue a? -ac i c iaçoes das s egu in te s fraçoes . 
MÓDULO - 5 : CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS 
Função 
Representação gráfica de uma função 
Representação dos pares ordenados 
Equações 
Inequações 
Resolução de equações do 1" grau 
Sistema de equações do 1" grau ( métodos: substituição e adição) 
Equação do 2" grau 
Um tipo especial de equação do 2" grau 
A fórmuia da Bhaskara 
A dedução d fórmuia de Bhaskara 
Equações do 2' grau incompletas 
Resolução das equações incompletas, com B = O 
Resolução das equações incompletas, com C = O 
A soma e o produto das soluções da equação do 2" grau 
Gráfico da equação do 2" grau 
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CONJ@eW iKS i@k+ER0~ BE&iS 
o cmftdz& ;OS V k m Re& é IRBIS òatplo que o conjunto dos rat*onaiç, pois 
mcontkt eese últiaa. t$n coracei to rrai s exato de N k m Real você terá quando 
estu& r.?& c i e o : ar você terá d2 diferenciã-10s dos &meros imgfnários, 
os qilaise junto com ss ?sais, f 0 ~ ~ o QrWe conjunto dos complexos, cujo 
sTm3l3 F i: 
I1ázwo írracicrtsl é õquole que náo dã para escrever sob fom de razão. 
Chm-se de AZTA RDL a representkção grãfica dos &ms Re&. 
- 3 Q= r . . . ; 3.5; . . - ; - 1 ~ ... ; 1 ; . -0,5; ... ; O; ...; 2. 3 , ... ;]. 
Po&n ser re2rc5eritad~s y-ítficrt?ente por alguns pontos da Reta Real como se 
6 a sqPr: 
FtOTA 
Entre dois ~ h r o s racimais sempre existe um outro numero real. 
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6s ope-ções,;.ae~trsdo-conjunto .. dos . > números reais já foram ari&rfomnte 2 
alizadas, pois. todo núrci?m ricional . é , n-wro real. O que acontece é que nem 
todo n h r o rgsl é n%tro . . .. . ... . ... .... . . . Isso~pode-se perceber atra- 
vés. do seguinte diagrsmõ: .. 
3 conjunra dos &&s = R contk o cxjuntc 60s ~ i w r o s R?nor.$s = $ e 
cont& ai,ida o conjunto dos Zrracionais, cujo simbolo não aparece no diagrama. 
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O estudo das sentenças matemãticas será aplicado para estabelecer R E L A Ç D E S 
entre os elementos de dois conjuntos. 
Assim, na sentença: " x é maior que y", a expressão; é maior que, apl i cada 
entre os dois conjcntos A (dcs x) , B (dos y ) a seguir, determina: 
OBSERVE: 
Que as setas substituem mior que 
Çue os ~iementcis dos conjuritos A e B que tornam fechada e verda- 
deira a sentença "x é maior que y", são: 
Esses três pares são chamados PARES ORDENADOS porque devem obedecer a ordem 
i ndicada pelas setas. 
O conjunto desses três PARES OriDENADOS constitui O que se chama de RELAÇÃO, 
e que é representada: 
a ) por extensão: R = í(3;Z) (5;Z) (5;4)> 
b) por compreensão: R = I(x;y) / x > y} onde 
I x > y 1 é a caracteristica da RELAçAO. 
USIMINAS 
.- 
E x i s t a relações 
exemplos abaixo, a Relação (característ ica) : 
I. ser &quina de 
A = Conjunto de partida ou domínio. 
B = conjunto de chegada, conjunto intagen ou contradomínio. 
Não sobram elementos no conjunto de partida. . 
Un eleatento de A se corresponde com um só de B. 
Nesse casp a reZa& é di ta PUiVÇ&?. 
2. ser - de 
VERIFICAÇÃO: 
Esgota o conjunto de partida. 
Un elemento de A (vitória) s e corresponde com dois de B. 
Diz-se, nesse caso, que a re2ação RXO E R3HÇAO. 
MRIFICACÃO: 
Hão esgota o conjunto de partida. 
Ta&& nesse caso, diz-se que a reZ&.o EXD E PUNÇKO. 
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VERIFI CAÇKO: 
Sobra um elemento no conjunto de partida. 
ün elemento de A se corresponde com dois elementos de B . 
Neste caso, a relaçáo não é função por duplo motivo. 
De um modo geral, observamos, que as relações são funções, quando: 
1' - Não sobram elementos no Dominio (conjunto de partida). 
2' - Cada elemento do Domínio está associado a um só elemento do 
. Contradmínío (conjunto imagem, conjunto de chegada). 
Assim, temos a definição: 
Função é uma relação especial entre dois conjuntos A e B que as- 
cia a cada elemento do conjunto A um Único elemento do conjunto B. 
Indica-se f : A -, B . (lê-se: "f aplicada a A leva valores em B") . 
A = Conjunto de partida 
B = Conjunto de chegada 
D ( f ) = Domínio de f 
Imíf 1 = tmogam de f 
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EBRC~CIOS DE REFORÇO: 
Agora, coarplete considerando os quatro exemplos de relações ( R ) contidas no 
conjunto universo Z . Considere "x" como variável para os elementos de A 
e "y" com variável para os elementos de "B". 
I ) R = f9,3). (8,211 
Sua Caracteris tica: 1 x é múltiplo de y: / 
R ....... Função, porque no conjunto A sobrou o elemento 7. 
é/náo é 
Seu diagrama A 
11) R Z = {(2,4), (2,5), (4.5)) 
Sua Característica: F I 
P Em 11, o 1 elemnto dos pares ordenados é repetido, por isso, 
R z . . . . . . . Função, is to é, porqw em A existe o elemento . . . . . . 
é/não é 2/4/5 
de onde partem duas setas. 
Seu dia/grama: 
111) R3 = f(3,3), (2,2), (? , I )? 
Sua caracteristi ca: 
P 
ixlyJ 
Em 111, o 1 elemento de cada par.. . . . . . repetido.R~ é Função, 
é/não é 
porque, no conjunto.. . .. não sobrou nenhum elemento e porqw de 
A/B 
cada elemento dele sai apenas uma seta. 
Seu diagrama : 
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I V ) R* = I( -1,01, (0,0), (1,O)I 
Sua característica: ly=o.xl 
RI, é Função, porque no conjunto..<. .hão sobrou nenhum e l m n t o 
A/B 
e porque para cada elemento do conjunto A. h z apenas uma seta: 
o p r f r i r o elemento de cada par não se repete. 
Seu diagrama: A 
B 
Dos exemplos anteriores, concl uimos que: 
20 - O primeiro elemento de cada par não pode ser repetido. 
Para tornar mais segura a sua compreensão, complete com "Fn as relações que 
forem funções: 
Can a mesma fi na1 idade, observando os 4 exerc'icios acima, complete cm as ex - 
presshs: j h & ~ ou reZ4ç90: 
Toda função é uma ................ .....-, mas nem toda ....... 
é uma .................... 
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Exaeiine o exemplo e complete com as palavras dependente ou indepsndgnte. 
O Contradominio é o conjunto de constantes que ocupam o 1 ugar da 
varf ável ...................... 
O Dodnio o conjunto das constantes que ocupam o lugar da varih 
vel ........................... 
Seja y = 3 x, a caracteristica da função. 
Para x 2, tesas y = 3 x 
1 
y = 3.2 = 6 
- 
Para x = 5,teiwSY = 3~ 
\ 
y = 3.-5 = -15 
Representando em diagramas : 
y = 3 x - 
"x" é dita variável aBpcandente 
"y" ii dita variável Independetrte 
Pelos diagramas examinados, você pode observar que uma função ua conjunto 
............... de pares ordenados, tal que os primeiros elementos repetem. 
se/nEo se 
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REPRESE~AÇKO C&?ICA DE CW FVrI$& 
UIM. função pode ser representada sob forma i l u s t r a d a chamada g r á f i c o . 
h dos objetivos dos grãficos é dar uma percepção mais rãpida e precisa d e 
infomçÕes de ordem qualitativa e quanti tatfva, constituindo-se numa 1 i n- 
guagem valiosa para a coauni caçáo de dados cien tif icos . 
Exemplo: 
"Uma viagem de automõvel". Sua le i tura perni t e saber: 
a ) Depois de quantas horas de viagem foi f e i t a a la parada ( 2 h ) 
b) Durante quanto tempo o carro esteve parado (th, entre 2 h e .3. h ) 
c) Depois de guantos km a velocidade foi maior ( .i:. ;...I 
- - + + Como já vimos, o conjunto I.. ., 2, 1, O, 1 , 2, . . . I pode s e r represen- 
tada por; 
- * - - - - v v 
I l / I l - 2 - 1 o ' i '2 
Esse conjunto pode, ainda, s e r representado verticalmente: '2 
(I 11 
O 
-1 
- 2 
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Como uma relação tem pelo menos dois conjuntos: A (dos x) e B (dos y) então 
as duas retas podem ser usadas simultawarnente, cano segue: 
Geralmente, convencima-se representar: 
Os elementos do Dominio (conjunto dos x) na reta horizontal, d i t a 
tm'o dos t. 
Os elementos do Contradominio (conjunto dos y j na reta v e r t i c a l , 
dita EIXO dos y. 
O eixo dos x é também chamado de Zno DAS ABCISSAÇ. Abcissas são 
todas as paralelas ao eixo dos x. 
O eixo dos y é também cbnhecido por EIXO DAS ORDENADAS. Ordenadas 
são todas as paralelas ao eixo dos y. 
Os dois eixos de origem cowm O recebem o nome de EIXOS CARESIL 
PW. As intersecções das abcissas com as ordenadas consti tum o 
que se chama de CRdFIm CAL?ZZSZMLJ (nome em homenagem a René 
Descartes l . 
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~ R E S E P J T A @ O LQS PARES ORDENA^ 
Costuma-se r e p r e s e n t a r x = 2 Dor urna ordenada que passa pe lo elemento 2.do 
e i x o dos x. A abc i s sa que passa pelo elemento -3 do e i x o dos y é usada pa- 
r a r e p r e s e n t a r y * -3 
1 
Portanto , o ponto comum d e s s a 
abc i s sa com e s s a ordenada, ser - 
.2 , - 1 o * I ve para r e p r e s e n t a r x 1 2 e 
y = -3 ao mesmo tempo, isto é, 
-3 Y: -3 
s e r v e para r e p r e s e n t a r o p a r 
N 3 - 7 ordenado ( ..i., e .> ). 
l; i 
x Y 
Considere, agora o conjunto dos pontos abaixo: 
Complete: 
1) O ponto "aw represen ta o p a r ordenado ( 1, 1 
O ponto "b" represen ta o p a r ordenado (.-.'.,:i. 
O ponto "c" r e p r e s e n t a o p a r ordenado (.c., .<. 
O ponto "du represen ta o p a r ordenado ( .c., .k. 
O ponto "e" r epresen ta o p a r ordenado ( .:q,. i. 
2) Faça um c i r c u l o em v o l t a dos pontos que representam: 
(-2, +2); (4, 7); (-1, -2); (0, 0); (2, -1) 
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~ R E S E ~ A Ç A O GRAPIcA DE ~ ~ z i l rUNçk"0 (bráf ico Cartesiano) 
Na representaçãode uma função, cuja caracterist ica é y = 2 x c 1 o primeira 
elemento "x" do par ordenado ( x , y ) É dado somo c o n s t a n t e no dominio da 
função. 
O 2P elemento "y" do par ordenado, :.ai de3ender da caracte&stlcada função. 
Assim sendo, dado o domínio: 
A = 1-2, -1, 0, 1, 21 onde deve ser apl icadar i L.--L i x j ? 
Verificamos que esta função caracte&stica é uma sentaça aberta. 
Para torná-la fechada, substi tuimos a vari ãvel " x " pelos valores do daninio. 
O 
Efetuando os cálculos, encontramos o Valor Numérico do 2' elemento de cada 
par ordenado. E o que se faz a seguir: 
x 2 x i 1 I y I pontos então, 
F = {(-2, -3 ) ; ( - 1 , ...) ; (...,... ); ( 1 , 3 ) ; (...,... 1 
A representação desses 5 pares ordenados constituem o gráfico da função c02 
s i derada: 
o 
- -.*-- I 
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Se para a característica L= 2 x + 1 1, c daaínio for o conjuntoR,a Função 
será um conjunto Ynensm>rente gnmde (2nfCnitol. 
Sua representac;ão gráfica é a reta que passa pelos pontos do grãfico anterior: 
Quanáo se incluirem duas ou mais retas em representações gráficas cosro as 
que acabamos de ver, podemos resolver prdbleaits, cor& veremos mais adiante. 
B@RESh'RTAÇ& G&FICA DA P V W 
d t v t s e n d o v = c t e = Z m / s 
Leitura 
OBSERVAÇKO 
Para obter m gráfico mais perfeito usa-se papel milinetrado. 
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Observa-se que no eixo das d i s tãnci as (eixo dos y ) , cada divisão corresponde a 1 
segundo (1 s ) e no eixo dos tempos (eixo dos x ) , cada divisão corresponde a Im. 
Observe o gráfico e complete: 
a ) no fim de 3 s a distância percorrida será de 6m. 
b) no fim de 2 s a distância percorrida será de . . . . . 
c) no fim de , .. . . a distãncia percorrida serã de 8m. 
d ) no fim de 7 s a distância percorrida será de . . . . . 
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C o n s i d e r ~ s o conjunto: N = {O, I , 2, 3 , 4, 5, ....... n .... .! e usemos 
os seus elementos para tornar fechada a sentença "x 3". N é. pois, o con - 
junto proposto, para nele se trabalhar. Portanto, N é o CGNJUMTG U N I - 
mRSG i u i. 
Tornando fechada a sentença "x 3", surgem as seguintes possibilidades: 
se x = 0, temos O 3 sentença verdadeira 
s e x = 1, temos 1 3 sentença verdadeira 
se x = 2, temos ...c 3 sentença .......... 
se x = 3, temos . . . c 3 sentença ........... 
se x = 4, temos . . . c 3 sentença fa lsa 
Dessas ?os$ ibi 1 idades, observa-sé que os n h r o s menores que 3 são ....... 
......... e ............ Para qualquer um desses t rês elementos do Conjun 
to Univsrso N , a sentença "x < 3" é verdadeira. Para os outros elemen- 
tos do Conjunto Universo, é fa lsa . 
Na caso, os t rés elementos mencionados formam em N , o subconjunto {O, 1,2i 
que, po- conter todas as respostas verdadeiras, tem por notação: 
V = 10, 1, 21 
que si gif f i ca CDNJüZiTO VERDADE. Há autores que o chamam de COHJUNTU SO&UÇãa. 
OBSERVAÇKO 
1) para o exemplo anterior, tomamos N como Conjunto Universo mas 
poderiamos twnar um subconjunto (S) . Considerando os cinco sub - 
conjuntos de N : 
SI = i l , 2, 3, 4, 5, 61 
S I C {O, 1, 2 , 3, 41 
s3 = {O, 1, 21 
S4 = 18, 9, 10, .... n , . ..) 
... S g = {O, 1, .... n, ) 
e neles aplicando a mesma sentença acima "x < 3", vo& pode notar que a i - 
guns desses subconjuntos "S" podem s e w í r de Conjunto Universo que contenha 
o Conju~to Verdade acima. São eles: ............ e ...... 
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EQUAÇ&B E X E Q V A W 
Chama-se E@UAÇXO ou INEQVRÇKO a toda sentença sobre urn universo U, cujo con - 
junto 'V é m subcon junto desse universo. V C U 
Exeslplos : 
wçm 
1) Em N , determinar o n-kro que adicionado ã 2, produz a som 8. 
Solução : 
S e n d o x u r n n P ~ N 1 ~ 1 ~ ~ ] 
OU 
] =$ V = {6 ) 
2) Determinar o n-mro inteiro cujo t r iplo seja 12. 
Solução: 
x f N o u U = N 
INEQUAÇ~ES 
1 ) Em N , determinar quais os n-mros que adicionados a 2, produ - 
zern a soma menor ou i Qual a 8. 
Solução: 
Para x E N {+] ,C [ Y T G - ~ f ~ f * V = {O, 1, 2, 3, 4, 5, 61 
2) Determinar os n-mros inteiros cujos t r iplos sejam menores que 12. 
Solução: 
Analisando os exemplos, verificamos que a determinação do "Conjunto Verda - 
dea foi f e i t a c m o emprego das relações existentes entre uma OPE~XÇXOESUA 
.rlwEm. 
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CONCLUS~ES 
1) Equação é toda sentençe sobre inn Universo U, que expressa uma 
igual dade. 
2) Inequação é toda sentença sobre um Universo U, que expressa uma 
desigual dade. 
3) Tanto nas igualdades como nas desigualdades, o Conjunto Yerda- 
de é um subconjunto do Universo dado. V c U 
Nas equações estudadas, nos exemplos an te r io res , temos : 
19) x + 2 = 8 + V = f 6 1 
20) 3 x = 12 =$ \( = c43 
Dizemos , então: 
6 é a r a i z da equação x + 2 = 8 
e 4 é a r a i z da equação 3 x = 12 
Di zemos , então : 
0 , 1 , 2, 3, 4, 5, 6 são ra ízes da inequação x + 2 4 8 
0, 1, 2 , 3 são ra ízes da inequação 3 x < 12 
Define-se, pois : 
RAIZ de uma equação ou de uma inequação qualquer elemento de seu 
Conjunto Verdade. 
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N&ÂO DE Q U W I F I C m I : ( 3 x, if x, tr x ) 
1. Voltando aos exemplos anteriores, verificamos que: 
a) na equação n Q 1: x + 2 = 8 x = 6 ( 
b ) na inequação no 1: [ x l 2 x = 10, 1, 2,3 ,4 ,5 ,6} 
Os valores de x são as RAIZES que permitem tomar as sentenças transformo- 
do-as em vafoms ntrrnérícos iguais. 
Quando esses valores podem ser determinados, dizemos que existe x e i nd i co 
mos por 3 x e s e l ê : 
para o i tea a) e&te x (existe UM raiz) 
para o item b) e d t e algum x (existem algumas raizes) 
2. Experfmnte, agora, detenninar a raiz da equaçzo: x + 5 = x + 7 
............. 
Ta1 sentença não tem solução. E falsa. Indica-se por 3 x 
e se lê: niio e&& x 
3. Vamos procurar a solução para a 
tes para x: 
Sendo x = 1, a igualdade 
igualdade abaixo, usando valores diferen - 
í 2 ( x + l l = 2 x + 2 l 
ficará transfomda para 
Faça,.agora, com x x 3 + ..................................... 
Faça, agora, a tentativa com x = 5 
Agora, com os valores que você quiser. 
Com você acabou de verificar, qualquer valor de x torna a sentença verda- 
deira, is to é. qualquer Conjunto Universo e igual ao Conjunto Verdade. 
Para indicar que qualquer valor de x torna a sentença verdadeira, escreve-se: 
vx 
e se 1ê qca2quer que seja x 
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PRIHc~~Io ADITIVO DA IGUALDADE (Propriedade do elemento inverso aditivo) 
Exemplo 1 
Se em I adicionamos 2 a cada membro, surge a igualdade 
....... . . S . ' . . 
No exemplo, vê-se que o sinal = de I pemnece em I1 
Exemplo 2 
1 ) 3 . 2 + 4 = 3 + 7 
6 + 4 - 3 + 7 
10 = 10 
Adícionando[ll a cada membro resulta: 
1.1) 3 . 2 +a+ 4 =o+ 3 + 7 
6 + 1 + 4 = 1 + 3 + 7 - 
.... ........ 
....... Observe se em I1 a igualdade se verifica e responda:. 
Exemplo 3 
l8 = x + 2 . 3 I ) 5 + 9 
Adicionando a cada membro, temos : 
Desenvolva e verifique se o sinal = é válido também em II 
Resposta: ........ 
SimíNão 
pelos exempt os acima podemos concluir que: 
SOMANDO O ESMO VALOR A AMBOS OS MEMBROS DE UMA IGUAiDADE, ELAPER - 
MANECE UMA IGUALDADE. 
Este é O PRINC~FIO ADITIVO IO IGUAZDADE (PMI. 
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P P ? C ~ P I G DE E@UTJALE?JCIR IPRTI Observe que no lugar de um dos termos de ca - 
da exemplo a n t e r i o r está, agora, a VARIAVEL x. 
Exemplo t 
I ) x + 2 = 4 + 1 
I I ) x + 2 + @ = 4 + 1 + @ 
Verifica-seque1 CiS I I , i s t o é : x + 2 = 4 + 1 x+2+@= 4+1+@ 
Exemplo 2 
1 ) 3 . 2 + x = 3 + 7 
Aqui ta&: I * 1 1 , i s t o é : 3 . 2 + x = 3 + 7 ( $ 3 . 2 + ~ + 1 = 1 + 3 + 7 
Exemplo 3 
18 I ) 5 + - = x + 2 . 3 9 
Estabeleça você a equivalência e n t r e I e I1 neste Último exemplo, 
PRIii'CfPIO MJLTRLICATIVO DA IGUALDADE (Propriedade do e1 emento inverso moi-