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Modelagem Matemática para
Controle de Ńıvel de um Tanque
Leonardo Tôrres
Dep. de Engenharia Eletrônica – UFMG
Fevereiro de 2014
Leonardo Tôrres Dep. de Engenharia Eletrônica – UFMG
Controle Digital: Exemplo de Aplicação
Tanque Cônico: Modelagem Matemática I
Considere que se deseja controlar o ńıvel de um reservatório cuja área da
seção transversal varia com o ńıvel, como mostrado abaixo:
1R
0R
in
q
out
q
H
h
Atuador
LT
LC
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Controle Digital: Exemplo de Aplicação
Tanque Cônico: Modelagem Matemática II
O balanço de massa neste sistema determina que uma variação de
volume ∆V (em m3) ocorrerá devido a uma diferença entre as vazões de
entrada qin e de sáıda qout (ambas em m
3/s), durante um determinado
intervalo de tempo ∆t (em segundos):
∆V = qin∆t− qout∆t, (1)
sendo que a variação de volume pode ser aproximada pela área da seção
transversal vezes uma variação na altura
∆V = π[r(h)]2∆h, (2)
r(h) = R0 + αh.
A variação do raio do tanque cônico com a altura está associada ao valor
do parâmetro α = R1−R0H (vide figura no slide anterior).
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Controle Digital: Exemplo de Aplicação
Tanque Cônico: Modelagem Matemática III
Assumindo-se que a vazão de entrada qin é a variável manipulada para se
conseguir controlar o ńıvel no reservatório, tem-se que
qin(t) = u(t). (3)
Considerando-se uma aproximação para a Equação de Bernoulli que
relaciona as vazões e pressões entre o ponto superior do reservatório e a
sáıda do tanque, pode-se escrever que:
qout(t) = Cv
√
h, (4)
sendo Cv o coeficiente de descarga da sáıda do tanque.
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Tanque Cônico: Modelagem Matemática IV
Desta maneira, combinando-se as equações (1) a (4), tem-se que:
π[r(h)]2∆h = u∆t− Cv
√
h∆t,
∆h
∆t
=
−Cv
√
h
π [R0 + αh]
2 +
u
π [R0 + αh]
2 .
Fazendo o limite ∆t→ 0, e definindo-se x = h, Cv/π = a e 1/π = b,
podemos escrever que:
ẋ =
−a
√
x
[R0 + αx]
2 +
b
[R0 + αx]
2u, (5)
y = x.
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Controle Digital: Exemplo de Aplicação
Observações Importantes
Note que mesmo para um problema de controle aparentemente
simples, o sistema é não linear.
A equação (5) está representada na chamada forma não linear,
afim em relação à entrada u:
ẋ = f(x) + g(x)u, (6)
y = h(x).
Além disso,
r(x) = R0 + αx, α > 0,
de modo que g(x) = b[r(x)]2 > 0, ∀x ≥ 0.
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Determinação da Condição de Equiĺıbrio
Para se obter o modelo dinâmico linear local, em torno de um
ponto de operação, antes é preciso encontrar uma condição de
operação válida.
Como iremos supor que o sistema se encontra relaxado, antes de se
alterar/variar quaisquer entradas, uma condição de operação válida
será representada por
ẋ = 0 ⇒
−a√xeq
[R0 + αxeq]
2 +
b
[R0 + αxeq]
2ueq = 0,
e, portanto, para um valor constante de vazão de entrada ueq, o
ńıvel de equiĺıbrio será atingido quando a vazão de sáıda for igual à
vazão de entrada, i.e.
ueq =
a
b
√
xeq ⇒ qin = Cv
√
h︸ ︷︷ ︸
qout
. (7)
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Linearização Anaĺıtica I
1 Para proceder à obtenção do modelo linear local em torno de uma
condição de operação desejada (para valores dados e consistentes de
vazão constante de entrada e ńıvel correspondente do tanque),
pode-se definir as variáveis desvio:
δx = x− xeq,
δy = y − yeq,
δu = u− ueq.
(8)
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Linearização Anaĺıtica II
2 Em seguida, obtém-se uma aproximação para a maneira como o
desvio da condição de operação ocorre ao longo do tempo. A partir
da equação (6), e usando o desenvolvimento em série de Taylor para
as funções não lineares:
d
dt
{δx} ≈ f(xeq) + g(xeq)ueq︸ ︷︷ ︸
=0 (por definição)
+
[
∂f
∂x
∣∣∣∣
x=xeq
+ ueq
∂g
∂x
∣∣∣∣
x=xeq
]
︸ ︷︷ ︸
A
δx (9)
+ g(xeq)︸ ︷︷ ︸
B
δu.
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Linearização Anaĺıtica III
3 A partir da expressão (9), podemos escrever que
L
{
d
dt
{δx}
}
≈ L{Aδx+Bδu} ,
sX(s) ≈ AX(s) +BU(s).
E tendo em vista que A ∈ R, B ∈ R, e δy = δx⇒ Y (s) = U(s),
tem-se que
Y (s)
U(s)
=
B
s−A
. (10)
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Linearização Numérica
O processo de obtenção do modelo linear local pode ser conduzido de
outras duas maneiras:
1 Cálculo numérico dos coeficientes do sistema linear por meio de
funções já prontas do MATLAB que retiram a informação desejada
de um diagrama de simulação contendo o modelo não linear do
processo;
2 Realização de um teste em malha aberta (em simulação ou, se
posśıvel, na realidade) em torno da condição de operação desejada.
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Linearização Numérica: MATLAB I
Suponha que exista um diagrama MATLAB/Simulink chamado
“tanque nl MA.mdl”, como mostrado abaixo (note que os terminais de
entrada e de sáıda foram explicitados):
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Linearização Numérica: MATLAB II
Obtenção da condição de equiĺıbrio:
% Est . i n i c i a l para a cond . de e q u i l i b r i o
x0 = 0 . 5 ;
% Valo r da en t r ada de e q u i l i b r i o
u0 = 1 ;
% Nas opcoes aba i xo in forma−se que
% o a l g o r i tmo nao deve a l t e r a r
% o v a l o r da en t r ada de e q u i l i b r i o
% e s c o l h i d a
x0 = t r i m ( ’ tanque nl MA ’ , x0 , u0 , [ ] , [ ] , 1 )
x0 =
4 . 0 0 0
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Linearização Numérica: MATLAB III
Cálculo numérico do modelo linear local, via cômputo aproximado
das derivadas parciais como diferenças finitas:
[ A , B, C ,D] = t r i m ( ’ tanque nl MA ’ , x0 , u0 )
A =
−0.1105
B =
0.8842
C =
1
D =
0
Portanto, a partir de (10),
G(s) ≈ 0,8842
s+ 0,1105
=
8
9,05s+ 1
.
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Controle Digital: Exemplo de Aplicação
Linearização Numérica: Curva de Reação I
Um modelo linear local pode ser rapidamente obtido, por inspeção
da resposta do sistema a uma variação em degrau na variável
manipulada:
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Controle Digital: Exemplo de Aplicação
Linearização Numérica: Curva de Reação II
Do resultado obtido anteriormente, vê-se que:
1 A resposta ao degrau é t́ıpica de um sistema de primeira ordem;
2 Não parece haver tempo morto;
3 O ganho estático do processo é
lim
t→∞
δy
δu
≈ (4,82− 4)
(1,1− 1) = 8,2m/(m
3/s).
4 A constante de tempo pode ser estimada como
5τ ≈ (60− 5) = 55 s ⇒ τ ≈ 11 s.
e, portanto, o modelo linear local obtido por inspeção da curva de
reação à resposta ao degrau será:
G(s) ≈ 8,2
11s+ 1
.
Comparem com a FT obtida
anteriormente!
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