Exemplos_Exerc_Trab_Equipe_2_Sem_1-2019

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1 
 
EXEMPLOS DE EXERCÍCIOS DO TRABALHO EM EQUIPE 2 
 
09) Um caça níquel tem dois discos que funcionam independentemente um do outro. Cada 
disco tem 10 figuras: quatro maçãs, três bananas, duas peras e uma laranja. Uma pessoa 
paga R$ 8,00 e aciona a máquina. Se aparecerem duas maçãs, ela ganhará R$ 4,00. Se 
aparecerem duas bananas, ela ganhará R$ 8,00. Ela ganhará R$ 14,00 se aparecerem 
duas peras e, ainda, ganhará R$ 18,00 se aparecerem duas laranjas. Qual a esperança 
de ganho numa única jogada? Interprete esse valor. 
 Etapas: 
a) Identifique a variável aleatória X e classifique-a em discreta ou contínua; 
b) Explicite a distribuição de probabilidade que representa esse problema, isto é: 
 • se a variável aleatória X for discreta dê: o quadro esquemático que relaciona 
X e P(X=x); a função de probabilidade; a função distribuição; 
• se a variável aleatória for contínua dê: a função densidade de probabilidade; 
a função distribuição 
c) Para cada função dê o domínio, o contradomínio, a lei de associação do domínio com 
o contradomínio e a representação geométrica do gráfico da função. 
d) Responda a questão do problema. 
 
Solução: 
 
X: Ganho, em reais, numa única jogada 
Espaço amostral de X: Ω𝑋 = { −8,−4, 0, 6, 10} 
X é variável aleatória (v. a.) discreta 
 
Quadro esquemático para captar a função de probabilidade da v.a. X, que é discreta 
X 
 (Ganho, em R$) 
Evento equivalente a X = x, no espaço 
amostral do experimento aleatório 
P (X = x) ( x, P(X=x) ) 
− 4 M, M 0,4 ∙ 0,4 = 0,16 (−4; 0,16) 
0 B, B 0,3 ∙ 0,3 = 0,09 (0; 0,09) 
6 P, P 0,2 ∙ 0,2 = 0,04 (6; 0,04) 
10 L, L 0,1 ∙ 0,1 = 0,01 (10; 0,01) 
− 8 Duas frutas diferentes 1 − 0,3 = 0,70 (−8; 0,70) 
 Total 1,00 
 
Nota: M: maçã, B: Banana, P: pera, L: laranja 
2 
 
Função de probabilidade da v. a. X: 
P: {−8, −4, 0, 6, 10} → [0, 1], definida por P(X = x) = 
{
 
 
 
 
0,70 , se 𝑥 = −8
0,16 , se 𝑥 = −4
0,09 , se 𝑥 = 0
0,04 , se 𝑥 = 6
0,01 , se 𝑥 = 10
 
 
Função distribuição acumulada da v. a. X: 
 
𝐹𝑋: R → [0, 1], definida por 𝐹𝑋 (x) = P(X ≤ x) = 
{
 
 
 
 
0 , se 𝑥 < −8
0,70 , se − 8 ≤ 𝑥 < −4
0,86 , se − 4 ≤ 𝑥 < 0
0,95 , se 0 ≤ 𝑥 < 6
0,99 , se 6 ≤ 𝑥 < 10
1,00 , se 𝑥 ≥ 10
 
 
 
(a) (b) 
Gráfico 1 – Função de probabilidade (a) e função distribuição acumulada (b) do ganho, em 
reais, numa única jogada, num caça-níquel 
 
Fonte: A autora. 
Nota: O valor esperado de ganho, numa única jogada, é de − 𝑅$ 5,9 com desvio-padrão de 𝑅$ 3,87, aproximadamente. 
 
 
Cálculo da esperança matemática, da variância e do desvio-padrão da v. a. X: 
 
Esperança de ganho, numa única jogada (que, neste caso, é esperança matemática para 
v. a. discreta) 
 
E(X) = ∑ 𝑥 ∙ 𝑃(𝑋 = 𝑥)𝑥 = (−8) ∙ 0,7 + (−4) ∙ 0,16 + 0 ∙ 0,09 + 6 ∙ 0,04 + 10 ∙ 0,01 = − 𝑅$ 5,90 
 
Variância e desvio-padrão do ganho, numa única jogada 
 
V(X) = E( [ X − E(X) ]2 ) = ... = E(X2) – [ E(X) ]2 
 
Como, neste caso, a v. a. é discreta, tem-se: 
 
V(X) = E(X2) – [ E(X) ]2 = ∑ 𝑥2 ∙ 𝑃(𝑋 = 𝑥)𝑥 – ( ∑ 𝑥 ∙ 𝑃(𝑋 = 𝑥)𝑥 )
2 
 
V(X) = (−8)2 ∙ 0,7 + (−4)2 ∙ 0,16 + 02 ∙ 0,09 + 62 ∙ 0,04 + 102 ∙ 0,01 − (−5,9)2 = 14,99 reais2 
 
D.P.(X) ≅ √14,99 ≅ 𝑅$ 3,87 
 
0,7
0,16
0,09
0,04 0,01
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12
Probabilidade
P(X = x)
Ganho, em reais, numa única jogada 
0,7
0,86
0,95
0,99 1
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12
Probabilidade
acumulada
P(X  x)
Ganho, em reais, numa única jogada
3 
 
18) A probabilidade de um produto fabricado não atender as especificações de projeto é 
igual a 5% (produto não-conforme). São selecionadas ao acaso oito unidades desse 
produto. Qual a probabilidade de no mínimo três estarem conforme as especificações 
de projeto? 
 a) Defina uma variável aleatória X nesse experimento e indique o modelo de distribuição 
de probabilidades mais adequado para descrever o comportamento probabilístico de X. 
b) Determine a função de probabilidade de X, seu domínio, imagem e representação 
geométrica; 
c) Determine a função distribuição de X, seu domínio, imagem e representação geométrica; 
d) Responda a questão do enunciado. 
e) Determine a esperança matemática e a variância de X. Interprete essas medidas. 
f) Qual a probabilidade de observarmos um valor entre a média e dois desvios-padrões? 
Compare esse resultado com o obtido através da desigualdade de Chebyshev. 
 
Solução: 
 
X: Número de produtos conforme as especificações do projeto, numa amostra 
aleatória de tamanho n = 8, sendo de 0,95 a probabilidade de um produto estar 
conforme o projeto 
Espaço amostral de X: Ω𝑋 = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } 
X é variável aleatória (v. a.) discreta 
Sucesso (S): O produto sob exame está conforme o projeto → p = 0,95 
Fracasso (F): O produto sob exame não está conforme o projeto → q = 1 − p = 0,05 
 
Quadro esquemático para captar a função de probabilidade da v.a. X, que é discreta 
X 
(Nº de produtos conforme) 
Evento equivalente a X = x, no espaço 
amostral do experimento aleatório 
P (X = x) ( x, P(X=x) ) 
0 F, F, F, F, F, F, F, F 0,058 ( 0; 0,058 ) 
1 S, F, F, F, F, F, F, F 𝑃8
1; 7 ∙ 0,95 ∙ 0,057 ... 
2 S, S, F, F, F, F, F, F 𝑃8
2;6 ∙ 0,952 ∙ 0,056 ... 
3 S, S, S, F, F, F, F, F 𝑃8
3;5 ∙ 0,953 ∙ 0,055 ... 
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 
8 ... ... ... 
 Total 1,00 
 
Notas: 1) S: sucesso, F: fracasso. Sucesso e fracasso são conceitos técnicos, em probabilidade, não 
havendo neles sentido de mérito. "Sucesso" significa ocorrer o evento que se está controlando e 
"fracasso" significa não ocorrer o evento que se está controlando. 
2) 𝑃𝑛
𝑛1; 𝑛2 é permutação com repetição. 
4 
 
Generalização da função de probabilidade, para x sucessos, em n=8 ensaios independentes: 
 
𝑃(𝑋 = 𝑥) = 𝑃8
𝑥;8−𝑥 ∙ 0,95x ∙ 0,058-x = 
8!
𝑥!(8−𝑥)!
∙ 0,95𝑥 ∙ 0,058−𝑥, com 𝑥 = 0, 1, 2, 3, ..., 8 
 
Com o auxílio de uma planilha eletrônica (Excel, Calc), tem-se: 
 
1º jeito: 
 
 
 
ou 
 
2º jeito: 
 
X ~ Binomial (n = 8; p = 0,95) 
 
 
5 
 
 
Função distribuição acumulada para a v. a. X: 
 
𝐹𝑋: R → [0, 1], definida por 𝐹𝑋 (x) = P(X ≤ x) = 
{
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0 , se 𝑥 < 0
3,91 ∙ 10−11 , se 0 ≤ 𝑥 < 1
5,98 ∙ 10−9 , se 1 ≤ 𝑥 < 2
4,00 ∙ 10−7 , se 2 ≤ 𝑥 < 3
1,54 ∙ 10−5, se 3 ≤ 𝑥 < 4
0,00037 , se 4 ≤ 𝑥 < 5
0,00579 , se 5 ≤ 𝑥 < 6
0,05724 , se 6 ≤ 𝑥 < 7
0,33658 , se 7 ≤ 𝑥 < 8
1,00 , se 𝑥 ≥ 8
 
 
 
 
 (b) 
Gráfico 2 – Função de probabilidade (a) e função distribuição acumulada (b) para o número 
de produtos conforme as especificações do projeto, numa amostra aleatória de 
tamanho n = 8, sendo de 0,95 a probabilidade de um produto estar conforme o 
projeto 
 
Fonte: A autora. 
Nota: O valor esperado para o número de produtos conforme as especificações do projeto, na amostra, é de 7,6 produtos, com desvio-
padrão de 0,62 produtos, aproximadamente 
 
 
d) 
𝑃(𝑋 ≥ 3) = 1 − 𝑃(𝑋 ≤ 2) = 1 − 𝐹𝑋(2) = 1 − 4,00 ∙ 10
−7 ≅ 0,999 ≅ 99,9% 
 
 
f) P( E(X) – 2 DP(X) ≤ 𝑋 ≤ E(X) + 2 DP(X) ) = P( 𝜇𝑋 – 2𝜎𝑋 ≤ 𝑋 ≤ 𝜇𝑋 + 2𝜎𝑋 ) = 
 = P( 7,6 – 2 ∙ 0,62 ≤ 𝑋 ≤ 7,6 + 2 ∙ 0,62) = P( 6,36 ≤ 𝑋 ≤ 8,84 ) = P( 𝑋 = 7) +𝑃(𝑋 = 8) ≅ 
≅ 0,279 + 0,663 ≅ 0,942 ≅ 94,2% 
 O teorema de Chebyshev afirma que P( 𝜇𝑋 – 2𝜎𝑋 ≤ 𝑋 ≤ 𝜇𝑋 + 2𝜎𝑋 ) ≥ 0,75, não 
importando a forma da distribuição de probabilidade da variável aleatória. 
 Logo, neste exercício, o referido teorema foi confirmado, pois 0,942 > 0,75 . 
 
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 2 4 6 8 10
P
ro
b
ab
ili
d
ad
e 
P
(X
 =
 x
)
Nº de produtos conforme o projeto
 
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 2 4 6 8 10P
ro
b
ab
ili
d
ad
e 
 a
cu
m
u
la
d
a 
P
(X
<=
x)
Nº de produtos conforme o projeto
6 
 
Exercício 18, feito no software estatístico R 
 
 
 
 
 
 
7 
 
 
0 2 4 6 8
0
.0
0
.4
0
.8
1
.2
Nº de produtos conforme o projeto
P
ro
b
a
b
il
id
a
d
e
 P
(X
 =
 x
)
0 2 46 8
0
.0
0
.4
0
.8
1
.2
Nº de produtos conforme o projeto
P
ro
b
a
b
il
id
a
d
e
 a
c
u
m
u
la
d
a
 P
(X
 <
=
 x
)
0 2 4 6 8
0
.0
0
.4
0
.8
1
.2
Nº de produtos conforme o projeto
P
ro
b
a
b
il
id
a
d
e
 P
(X
 =
 x
)
0 2 4 6 8
0
.0
0
.4
0
.8
1
.2
Nº de produtos conforme o projeto
P
ro
b
a
b
il
id
a
d
e
 a
c
u
m
u
la
d
a
 P
(X
 <
=
 x
)
8 
 
19) Num lote de 30 peças, há quatro defeituosas. Em cinco peças extraídas ao acaso e 
sem reposição, qual a probabilidade de se encontrar pelo menos uma peça defeituosa? 
 a) Defina uma variável aleatória X nesse experimento e indique o modelo de distribuição 
de probabilidades mais adequado para descrever o comportamento probabilístico do 
experimento (inclusive com função de probabilidade, domínio, imagem e 
representação geométrica); 
b) Determine a esperança matemática e a variância de X. Interprete essas medidas. 
c) Responda a questão do enunciado. 
d) Qual a probabilidade de se observar um valor entre a média e dois desvios-padrões? 
Compare esse resultado com o obtido através da desigualdade de Chebyshev. 
e) Nesse experimento, poderíamos utilizar uma aproximação pelo modelo binomial, 
considerando constante a probabilidade de um sucesso individual como p=4/30? 
Justifique. 
f) Responda os itens a, b, c considerando um modelo binomial de parâmetro p = 4/30 e 
compare as respostas encontradas com os resultados obtidos por meio da 
distribuição hipergeométrica. 
Solução: 
 
X: Número de peças defeituosas, numa amostra aleatória de tamanho n = 5, extraída 
sem reposição a partir de um lote com 30 peças, das quais quatro estão defeituosas 
Espaço amostral de X: Ω𝑋 = { 0, 1, 2, 3, 4} 
X é variável aleatória (v. a.) discreta 
Sucesso (S): A peça sob exame está defeituosa → p não é constante 
Fracasso (F): A peça sob exame não está defeituosa → q = 1 − p não é constante 
 
Quadro esquemático para captar a função de probabilidade da v.a. X, que é discreta 
X 
(Nº de peças defeituosas) 
Evento equivalente a X = x, no espaço 
amostral do experimento aleatório 
P (X = x) ( x, P(X=x) ) 
0 F, F, F, F, F 
26
30
∙
25
29
∙
24
28
∙
25
27
∙
24
26
 ... 
1 S, F, F, F, F 𝑃5
1;4 4
30
∙
26
29
∙
25
28
∙
24
27
∙
23
26
 ... 
2 S, S, F, F, F 𝑃5
2;3 ∙
4
30
∙
3
29
∙
26
28
∙
25
27
∙
24
26
 ... 
3 S, S, S, F, F 𝑃5
3;2 ∙
4
30
∙
3
29
∙
2
28
∙
26
27
∙
25
26
 ... 
4 ... ... ... 
 Total 1,00 
 
Notas: 1) S: sucesso, F: fracasso. Sucesso e fracasso são conceitos técnicos, em probabilidade, não 
havendo neles sentido de mérito. "Sucesso" significa ocorrer o evento que se está controlando e 
"fracasso" significa não ocorrer o evento que se está controlando. 
2) 𝑃𝑛
𝑛1; 𝑛2 é permutação com repetição. 
9 
 
Generalização da função de probabilidade, para x sucessos, em n=5 ensaios dependentes: 
 
𝑃(𝑋 = 𝑥) = 𝑃5
𝑥;5−𝑥 ∙
4!
(4−𝑥)!
 ∙
26!
(26−(5−𝑥))!
∙
1
30!
(30−5)!
= 
= 
5!
𝑥!(5−𝑥)!
∙ 
4!
(4−𝑥)!
 ∙
26!
(26−(5−𝑥))!
∙
(30−5)!
30!
= 
=
4!
𝑥! (4 − 𝑥)!
 ∙
26!
(5 − 𝑥)! (26 − (5 − 𝑥))!
∙
5! (30 − 5)!
30!
= 
= 𝐶4; 𝑥 ∙ 𝐶26;5− 𝑥 ∙
1
𝐶30;5
=
𝐶4; 𝑥 ∙𝐶26;5− 𝑥
𝐶30;5
 , com 𝑥 = 0, 1, 2, 3, 4 
Portanto, a função de probabilidade de X é dada por: 
 
P: {0, 1, 2, 3, 4} → [0, 1], definida por 
P(X = x) = 
𝐶4; 𝑥 ∙𝐶26;5− 𝑥
𝐶30;5
= 
4!
𝑥!(4−𝑥)!
 ∙
26!
(5−𝑥)!(26−(5−𝑥))!
∙
5!(30−5)!
30!
 
 
 
Com o auxílio de uma planilha eletrônica (Excel, Calc), tem-se: 
 
1º jeito: 
 
 
 
 
ou 
 
2º jeito: 
 
X ~ Hipergeométrica (N = 30; K = 4; n = 5) 
 
 
 
10 
 
Função de probabilidade da v. a. X: 
 
 
 
Função distribuição acumulada da v. a. X: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráfico 3 – Distribuição de probabilidade para o número de peças defeituosas, 
numa amostra aleatória de tamanho n = 5, extraída sem reposição a 
partir de um lote com 30 peças, das quais quatro estão defeituosas 
 
Fonte: A autora. 
Notas: 1) O valor esperado para o número de peças defeituosas na amostra é de 0,67 peças, com desvio-padrão de 0,71 
peças, aproximadamente. 2) O valor x = 0 pertence à função de probabilidade e à função distribuição acumulada. 
 
 
c) P(X ≥ 1) = 1 – P(X < 1) = 1 – P(X  0) = 1 – P(X = 0) ≅ 1 – 0,462 ≅ 0,538 ≅ 53,8% 
 
d) P( E(X) – 2 DP(X) ≤ 𝑋 ≤ E(X) + 2 DP(X) ) = P( 𝜇𝑋 – 2𝜎𝑋 ≤ 𝑋 ≤ 𝜇𝑋 + 2𝜎𝑋 ) = 
 = P( 0,67 – 2 ∙ 0,71 ≤ 𝑋 ≤ 0,67 + 2 ∙ 0,71) = P( −0,75 ≤ 𝑋 ≤ 2,09 ) = 
= P( 𝑋 = 0) + 𝑃(𝑋 = 1)+𝑃(𝑋 = 2) ≅ 0,462 + 0,420 + 0,109 ≅ 0,991 ≅ 99,1% 
 
 O teorema de Chebyshev afirma que P( 𝜇𝑋 – 2𝜎𝑋 ≤ 𝑋 ≤ 𝜇𝑋 + 2𝜎𝑋 ) ≥ 0,75, não 
importando a forma da distribuição de probabilidade da variável aleatória. 
 Logo, neste exercício, o referido teorema foi confirmado, pois 0,991 > 0,75 . 
 
e) Fator de correção para população finita, na distribuição hipergeométrica: 
𝑁−𝑛
𝑁−1
 . 
 Para população finita, a aproximação da distribuição hipergeométrica (que representa 
uma amostragem sem reposição) por meio da distribuição binomial (que representa uma 
amostragem com reposição) é adequada quando 
𝑁−𝑛
𝑁−1
 é aproximadamente 1. 
 
0,420
0,109
0,009 0,000
0,4616
0,8812
0,9907 0,9998 1,0000
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5
P
ro
b
ab
ili
d
ad
e
Nº de peças defeituosas
Função de probabilidade P(X = x) Função distribuição acumulada P(X <= x)
12 
 
 Neste exercício, como 
𝑁−𝑛
𝑁−1
=
30−5
30−1
≅ 0,8621, a aproximação não será 
adequada. Vejamos: 
 Seja a variável aleatória Y ~ Binomial (n = 5; p = 4/30). Então, sua função de 
probabilidade será dada por 
𝑃(𝑌 = 𝑦) = 𝑃5
𝑦;5−𝑦
∙ (
4
30
)𝑦 ∙ (
26
30
)5−𝑦= 
5!
𝑦!(5−𝑦)!
∙ (
4
30
)𝑦 ∙ (
26
30
)5−𝑦, com 𝑦 = 0, 1, 2, 3, 4 
 
 
 
 Comparação entre a função de probabilidade da variável aleatória X, com 
X ~ Hipergeométrica (N = 30; K = 4; n = 5), e a função de probabilidade da variável aleatória 
Y, com Y ~ Binomial (n = 5; p = 4/30). 
 
 
 
 
 
13 
 
Tais variáveis aleatórias representam: 
X: Número de peças defeituosas, numa amostra aleatória de tamanho n = 5, extraída sem 
reposição a partir de um lote com 30 peças, das quais quatro estão defeituosas 
Espaço amostral de X: Ω𝑋 = { 0, 1, 2, 3, 4} 
 
Y: Número de peças defeituosas, numa amostra aleatória de tamanho n = 5, extraída com 
reposição a partir de um lote com 30 peças, das quais quatro estão defeituosas 
Espaço amostral de Y: Ω𝑌 = { 0, 1, 2, 3, 4, 5} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráfico 4 – Função de probabilidade P(X = x) da variável aleatória X, que segue o modelo 
hipergeométrico com parâmetros N = 30, K = 4, n = 5, e função de probabilidade 
P (Y = y) da variável aleatória Y, que segue o modelo binomial com parâmetros 
n = 5 e p = 4/30 
 
Fonte: A autora. 
 
Nota: X: Número de peças defeituosas, numa amostra aleatória de tamanho n = 5, extraída sem reposição 
a partir de um lote com 30 peças, das quais quatro estão defeituosas. Espaço amostral de X: 
 Ω𝑋 = { 0, 1, 2, 3, 4}. Y: Número de peças defeituosas, numa amostra aleatória de tamanho n = 5, 
extraída com reposição a partir de um lote com 30 peças, das quais quatro estão defeituosas. Espaço 
amostral de Y: Ω𝑌 = { 0, 1, 2, 3, 4, 5} 
 
 
 
 
 
 
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0 1 2 3 4 5 6
P
ro
b
ab
ili
d
ad
e
Nº de peças defeituosas
P(Y = y) P(X = x)
14 
 
Exercício 19, feito no software estatístico R 
 
 
 
 
 
 
15 
 
 
0 1 2 3 4 5
0
.0
0
.4
0
.8
1
.2
Nº de peças defeituosas
P
ro
b
a
b
il
id
a
d
e
 P
(X
=
x
)
0 1 2 3 4 5
0
.0
0
.4
0
.8
1
.2
Nº de peças defeituosas
P
ro
b
a
b
il
id
a
d
e
 a
c
u
m
u
la
d
a
 P
(X
<
=
x
)
0 1 2 3 4 5
0
.0
0
.4
0
.8
1
.2
Nº de peças defeituosas
P
ro
b
a
b
il
id
a
d
e
 P
(X
=
x
)
0 1 2 3 4 5
0
.0
0
.4
0
.8
1
.2
Nº de peças defeituosas
P
ro
b
a
b
il
id
a
d
e
 a
c
u
m
u
la
d
a
 P
(X
<
=
x
)
16 
 
20) Entre os candidatosa um certo cargo, 15% possuem as qualificações exigidas pela 
empresa contratante. Qual a probabilidade de se ter que entrevistar dez candidatos 
para encontrar um com perfil desejado? 
a) Defina uma variável aleatória X nesse experimento e indique o modelo de distribuição 
de probabilidades mais adequado para descrever seu comportamento probabilístico. 
b) Determine a função de probabilidade de X, seu domínio, imagem e representação 
geométrica; 
c) Determine a função de distribuição de X, seu domínio, imagem e representação 
geométrica; 
d) Determine a esperança matemática e a variância de X. Interprete essas medidas. 
e) Qual a probabilidade de observarmos um valor entre a média e dois desvios-
padrões? Compare esse resultado com o obtido através da desigualdade de 
Chebyshev. 
 
Solução: 
 
X: Número de candidatos entrevistados até se encontrar o primeiro com o perfil 
desejado, sendo de 0,15 a probabilidade de encontrar um candidato com o perfil 
desejado 
Espaço amostral de X: Ω𝑋 = { 1, 2, 3, 4, … } 
X é variável aleatória (v. a.) discreta 
Sucesso (S): O candidato sob entrevista tem o perfil desejado → p = 0,15 
Fracasso (F): O candidato sob entrevista não tem o perfil desejado → q = 1 − p = 0,85 
 
Quadro esquemático para captar a função de probabilidade da v.a. X, que é discreta 
X 
(Nº de candidatos entrevistados) 
Evento equivalente a X = x, no espaço 
amostral do experimento aleatório 
P (X = x) ( x, P(X=x) ) 
1 S 0,15 (1; 0,15) 
2 F, S 0,85 ∙ 0,15 ... 
3 F, F, S 0,852 ∙ 0,15 ... 
4 F, F, F, S 0,853 ∙ 0,15 ... 
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 
 Total 1,00 
 
Notas: 1) S: sucesso, F: fracasso. 2) Sucesso e fracasso são conceitos técnicos, em probabilidade, não 
havendo neles sentido de mérito. "Sucesso" significa ocorrer o evento que se está controlando e 
"fracasso" significa não ocorrer o evento que se está controlando. 
 
17 
 
Generalização da função de probabilidade, para x tentativas independentes até se obter o 
primeiro sucesso: 
 
𝑃(𝑋 = 𝑥) = 0,85x-1 ∙ 0,15 , com 𝑥 = 1, 2, 3, 4, ... 
 
 
Com o auxílio de uma planilha eletrônica (Excel, Calc), tem-se: 
 
1º jeito: 
 
 
 
ou 
 
2º jeito: 
 
X ~ Geométrica (p = 0,15) 
 
Observação: a distribuição geométrica e a distribuição de Pascal são também denominadas 
"distribuição binomial negativa", sendo que na geométrica busca-se o primeiro 
sucesso e na de Pascal o k-ésimo sucesso, ambas em x tentativas 
independentes. 
18 
 
 
 
 
 
 Como a soma ainda está muito longe de 1, mesmo com 20 tentativas, não será 
possível obter a esperança matemática e a variância, por meio de aproximação numérica 
(com a planilha eletrônica). Será preciso obtê-las algebricamente. 
 Utilizando progressão geométrica (P. G.) é possível mostrar que a esperança 
matemática e a variância de variável aleatória que segue distribuição geométrica são dadas 
por E(X) = 1/p e V(X) = (1 - p)/p2 . 
 Assim, neste exercício, 𝐸(𝑋) =
1
0,15
≅ 6,7 candidatos, 𝑉(𝑋) =
0,85
0,152
≅ 37,7778 
candidatos2 e 𝐷. 𝑃. (𝑋) ≅ √37,7778 ≅ 6,15 candidatos. 
 
 
 
 
 
 
19 
 
Função distribuição acumulada para a v. a. X: 
 
𝐹𝑋: R → [0, 1], definida por 𝐹𝑋 (x) = P(X ≤ x) = 
{
 
 
 
 
0 , se 𝑥 < 1
0,15 , se 1 ≤ 𝑥 < 2
0,278 , se 2 ≤ 𝑥 < 3
0,386, se 3 ≤ 𝑥 < 4
0,478, se 4 ≤ 𝑥 < 5
⋮
0,999, se 𝑥𝑖 ≤ 𝑥 < 𝑥𝑖+1
, com 𝑖 → +∞ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráfico 5 – Distribuição de probabilidade para o número de candidatos 
entrevistados até se obter o primeiro com o perfil desejado, sendo 
de 0,15 a probabilidade de um candidato ter o perfil desejado 
 
Fonte: A autora. 
 
Notas: 1) O valor esperado para o número de candidatos entrevistados é de 6,7 candidatos, com desvio-padrão de 6,15 
candidatos, aproximadamente. 2) O valor x = 1 pertence à função de probabilidade e à função distribuição acumulada. 
 
 
e) P( E(X) – 2 DP(X) ≤ 𝑋 ≤ E(X) + 2 DP(X) ) = P( 𝜇𝑋 – 2𝜎𝑋 ≤ 𝑋 ≤ 𝜇𝑋 + 2𝜎𝑋 ) = 
 = P( 6,7 – 2 ∙ 6,15 ≤ 𝑋 ≤ 6,7 + 2 ∙ 6,15 ) = P( −5,6 ≤ 𝑋 ≤ 19 ) = 
= P( 𝑋 = 1) + 𝑃(𝑋 = 2)+⋯+𝑃(𝑋 = 19) ≅ 0,954 ≅ 95,4% 
 
 O teorema de Chebyshev afirma que P( 𝜇𝑋 – 2𝜎𝑋 ≤ 𝑋 ≤ 𝜇𝑋 + 2𝜎𝑋 ) ≥ 0,75, não 
importando a forma da distribuição de probabilidade da variável aleatória. 
 Logo, neste exercício, o referido teorema foi confirmado, pois 0,954 > 0,75 . 
 
 
 
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
P
ro
b
ab
ili
d
ad
e
Nº de candidatos entrevistados
Função de probabilidade P(X = x) Função distribuição acumulada P(X <= x)
20 
 
No software estatístico R, há as seguintes funções computacionais para 
 distribuições de probabilidade de variável aleatória discreta: 
 
 
"dbinom" e "pbinom", que calculam a função de probabilidade e a função distribuição 
acumulada, respectivamente, para variável aleatória com distribuição binomial. 
 
"dhyper" e "phyper", que calculam a função de probabilidade e a função distribuição 
acumulada, respectivamente, para variável aleatória com distribuição hipergeométrica. 
 
"dnbinom" e "pnbinom", que calculam a função de probabilidade e a função distribuição 
acumulada, respectivamente, para variável aleatória com distribuição binomial negativa. 
 
"dgeom" e "pgeom", que calculam a função de probabilidade e a função distribuição 
acumulada, respectivamente, para variável aleatória com distribuição geométrica. 
 
"dpois" e "ppois", que calculam a função de probabilidade e a função distribuição 
acumulada, respectivamente, para variável aleatória com distribuição de Poisson. 
 
 
Para ver os argumentos de cada uma dessas funções, digite no console do R os comandos 
abaixo, um de cada vez: 
?dbinom ?pbinom 
?dhyper ?phyper 
?dnbinom ?pnbinom 
?dgeom ?pgeom 
?dpois ?ppois 
 
Há, ainda, as funções computacionais, abaixo, que fornecem valores de quantis (q) e geram 
amostras aleatórias (r): 
qbinom rbinom 
qhyper rhyper 
qnbinom rnbinom 
qgeom rgeom, 
qpois rpois