Apresentação Capítulo 6 parte 1

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6.1 Introdução
• A solução de muitos problemas da Mecânica dos Fluidos por métodos
puramente analíticos é, em geral, difícil e trabalhosa, e às vezes
impossível, devido ao grande número de variáveis envolvidas. Por causa
disso, desenvolvem-se métodos experimentais que permitem, nesses
problemas, produzir modelos matemáticos condizentes com a realidade.
A análise dimensional, como será visto, é uma teoria matemática que,
aplicada à Física, e especificamente à Mecânica dos Fluidos, permite
tirar maiores proveitos dos resultados experimentais, assim como
racionalizar a pesquisa e, portanto, diminuir-lhe o custo e as perdas de
tempo.
• A teoria da semelhança, ou teoria dos modelos, é baseada em princípios
abordados pela análise dimensional e resolve certos problemas através
da análise de modelos convenientes do fenômeno em estudo.
• Assim como nos outros capítulos, o objetivo não é desenvolver a teoria
de forma matematicamente precisa. O que o leitor deve aproveitar são as
idéias desenvolvidas, de forma a adquirir técnicas para a utilização
prática da matéria.
Grandezas fundamentais e derivadas. Equações 
dimensionais
• Para descrever um certo fenômeno físico, devem-se construir funções que interliguem
grandezas como espaço, tempo, velocidade, aceleração, força, massa, energia cinética,
trabalho etc. Após examinar esse conjunto, verifica-se que as grandezas não são
independentes, isto é, grande parte delas está interligada pelas equações que descrevem as
leis físicas e as definições.
• Assim, por exemplo, se um sistema percorre, com movimento retilíneo uniforme, 100 m em 20
s, não se pode dizer que a sua velocidade média é 10 m/s, já que, pela definição, ela deveria
ser 5 m/s.
• Da mesma forma, se a massa de um corpo for 20 kg e a sua aceleração, 10 m/s2, a força
resultante que age nele será 200 N e não outro valor qualquer, já que, pela segunda lei de
Newton da dinâmica, F = ma.
• Uma pesquisa no conjunto de grandezas da Mecânica mostra a existência de somente três
grandezas independentes, a partir das quais podem ser relacionadas todas as demais. A
escolha dessas grandezas é feita de forma conveniente e o conjunto delas é chamado base
completa da Mecânica.
• A escolha, em geral, recai no terno FLT (força, comprimento e tempo) ou MLT (massa,
comprimento e tempo). Ao longo destas anotações, será preferida a base FLT.
• Todas as outras grandezas que não fazem parte da base completa são ditas grandezas
derivadas e podem ser relacionadas com as grandezas fundamentais por meio das
equações da Mecânica.
• A equação monômia que relaciona uma grandeza derivada com a base completa é
chamada equação dimensional.
EXEMPLO
Escrever a equação dimensional da viscosidade 
cinemática na FLT.
Solução
Pelo Capítulo 1, a viscosidade cinemática é dada por:
Por definição:
Na base FLT, a massa é uma grandeza derivada e deve ser 
relacionada com as grandezas fundamentais. 
A equação que permite tal relacionamento é a lei de Newton F = ma 
ou
A força é uma grandeza fundamental; logo:
Pela Cinemática, sabe-se que a aceleração é um comprimento 
dividido por um tempo ao quadrado. Logo:
Pela Geometria, sabe-se que o volume é um comprimento ao cubo:
Logo: 
• Esse exercício, além de mostrar a técnica de obtenção das equações dimensionais numa
certa base, visou também a estabelecer as equações das grandezas ρ e µ, que serão
freqüentes no estudo a seguir e nos exercícios do fim do capítulo.
• Até aqui, o raciocínio foi desenvolvido considerando a existência de três grandezas
fundamentais, o que é verdadeiro no caso mais geral da Mecânica. Porém existem
fenômenos particulares em que as grandezas fundamentais envolvidas são apenas
duas.
• Em todos os fenômenos da Cinemática, que é a parte da Mecânica que não se preocupa
com forças, serão suficientes as grandezas fundamentais L e T para relacionar todas as
grandezas derivadas. Em outros campos da Física, o número poderá ser maior que três,
como, por exemplo, na Termodinâmica ou no Eletromagnetismo, em que deverão ser
introduzidas grandezas fundamentais que relacionem as grandezas que descrevem
fenômenos térmicos ou elétricos. Fica estabelecido desde já que, no caso em estudo, o
número de grandezas fundamentais será menor ou igual a três, pois todos os
fenômenos serão referentes à Mecânica.
Sistemas coerentes de unidades
Dada a equação dimensional de uma grandeza, é fácil escrever sua unidade, desde
que seja escolhido um certo sistema.
Denomina-se Sistema Coerente de Unidades aquele que define somente as
unidades das grandezas fundamentais. Por exemplo, um sistema que define as
unidades das grandezas
Qualquer outra unidade nesse sistema será produto de potência dessas três. Por
exemplo, no caso da massa específica, pela Equação 6.1, tem-se:
Outros sistemas coerentes de unidades são o Sistema Internacional (SI) e o
CGS, que adotam como grandezas fundamentais o terno MLT. Para esses sistemas,
a força é uma grandeza derivada.
No SI, as unidades fundamentais são:
metro ou unidade de L
quilograma ou unidade de M
segundo ou unidade de T
A unidade de força é denominada Newton (N) e deve ser considerada 
como:
Como esse assunto já é conhecido da Física, não se farão outras
considerações sobre ele. Note-se, porém, que tal assunto deve ser de pleno
conhecimento do leitor, já que as transformações de unidades dele
dependem.
• Números adimensionais
Um número é adimensional quando independe de todas as grandezas fundamentais, isto é, sua 
equação dimensional apresenta expoente zero em todas as grandezas fundamentais (F°L°T°).
No Capítulo 3, foi apresentado um número adimensional: o número de Reynolds. Lembre o leitor 
que:
onde:
Pelo exemplo resolvido anteriormente: 
ou
Nota-se, então, que Re independe das grandezas fundamentais, 
sendo, por definição, um número adimensional.
Os números adimensionais costumam ser indicados pela letra grega 
π e, pelo exposto, qualquer n resultará em:
Alguns deles, devido à sua importância, como, por exemplo, o 
número de Reynolds, receberão nomes especiais e serão apresentados 
por símbolos especiais (por exemplo, o número de Reynolds será 
indicado por Re).
Vantagem da utilização dos números adimensionais na 
pesquisa de uma lei física
A seguir será mostrada, por meio de exemplo, a vantagem do uso dos
números adimensionais, no que diz respeito à economia de tempo e
recursos na pesquisa de um certo fenômeno físico.
O exemplo será abordado de forma qualitativa, não sendo
apresentado nenhum resultado numérico.
Suponhamos que se deseja determinar a força F de resistência ao
avanço de uma esfera lisa mergulhada num fluido. Tal força costuma ser
chamada de força de arrasto ou arraste.
Note-se que tal determinação será feita em laboratório, num túnel
aerodinâmico ou num canal de provas, dependendo de o fluido ser um gás ou
um líquido, respectivamente. A medida da força será efetuada por meio de
um dinamômetro, ao qual serão fixadas esferas de diferentes diâmetros. As
velocidades do líquido ou gás são variadas, de forma a se obter o efeito do
movimento relativo entre o fluido e a esfera. A pesquisa visa a determinar seja
analítica ou graficamente.
Inicialmente serão fixados construindo F em função
de D utilizando a velocidade como parâmetro. Posteriormente,
deverão ser verificadas as variações da força com a viscosidade e
com a massa específica. Essa determinação implica a construção
de inúmeros diagramas, desde que se queira uma idéia precisa
dessa variação. Em cada caso, deverá ser fixada uma massa
específica e será variada a viscosidade, e vice-versa. A Figura 6.2
mostra claramente o grande número de diagramas que deverão
ser construídos na pesquisa.
O tempo gasto nessa construção seria enorme, além
dos problemas de ordem prática provocados pela
necessidade de obtenção de fluidos de massa específica
fixa e viscosidade variável, e vice-versa.
Diante das dificuldades dessa operação, vejamos como ela poderia 
ser simplificada em termosde tempo e recursos. Suponha-se a 
existência dos seguintes números adimensionais:
e (número de Reynolds)
Note-se que, por enquanto, não se sabe como foram obtidos, nem 
se a pesquisa que faremos é válida. O que se quer é motivar o leitor 
para o próximo item deste capítulo, que irá garantir o processo que aqui 
será descrito.
O leitor já deve ter observado que, em conjunto, os dois adimensionais, π1 e π2 contêm
todas as variáveis da função em estudo. Vejamos agora como o uso dos adimensionais facilitaria
o trabalho.
Seja uma única esfera de diâmetro D e um único fluido de massa específica e viscosidade µ.
Varia-se v e medem-se as variações de F no dinamômetro. Obtida uma tabela de F em
função de v, pode-se tabelar, π1 e π2 sendo que os dois adimensionais estão interligados
pela existência da velocidade em ambas as expressões. Logo, para cada π1 existe um π2 e
será possível construir o diagrama
Note-se que, sendo π1 e π2 números adimensionais, as coordenadas de 
cada ponto da curva independem dos valores individuais de ; 
dependem da combinação de todos esses valores. 
Assim, o fato de se ter utilizado uma única esfera e um único fluido não 
influirá na generalidade da pesquisa. 
Dessa forma, por exemplo, o ponto indicado na Figura 6.3 cujas coordenadas 
são = 0,4 pode corresponder a qualquer conjunto de valores
desde que =100, e a qualquer combinação de 
desde que
Cada ponto da curva da figura envolve as infinitas combinações de 
valores das variáveis do fenômeno. O problema da determinação da 
força de arrasto sobre a esfera fica assim resolvido. Vejamos um 
exemplo numérico baseado no ponto indicado na Figura 6.3.
O diagrama da Figura 6.3, válido para o estudo geral da força de arrasto, que age sobre uma 
esfera e é construído por meio de números adimensionais, chama-se diagrama universal do 
fenômeno.
A essa altura, o leitor deve ter percebido a grande vantagem de, numa pesquisa de um 
certo fenômeno, trabalhar com números adimensionais que englobem as variáveis, em vez 
de trabalhar com elas próprias.
O item seguinte, como já foi dito anteriormente, apresentará o teorema que garante a 
existência dos números adimensionais, ao mesmo tempo que garante o seu uso para o 
estudo de um certo fenômeno.
Teorema dos π
Será aqui apresentado o enunciado do teorema anteriormente
mencionado. Não será feita a sua demonstração, se bem que ela seria útil
para a construção dos números adimensionais a serem utilizados num certo
fenômeno. Tal construção será indicada posteriormente por meio de regras
práticas e de um exemplo.
O enunciado do teorema será um pouco modificado em relação ao
tradicional, já que não interessa a sua demonstração, mas somente as
conclusões construtivas que dele podem ser obtidas.
Note-se que, em todos os adimensionais de um certo fenômeno, os primeiros r
fatores são os mesmos, com exceção do expoente. Esse conjunto de r fatores será
denominado 'base' das grandezas envolvidas no fenômeno. As grandezas da base devem
ser independentes.
Para sua escolha, escreve-se a equação dimensional de todas as grandezas e
seleciona-se um número r delas, de forma que cada uma difira da anterior por pelo
menos uma grandeza fundamental. (Note-se que tal critério não é obrigatório, mas, se
não é adotado, pode-se incorrer em erros, a menos que se faça o estudo da chamada
matriz dimensional, que não será apresentada aqui.)
Nessa trinca, L é um comprimento característico do fenômeno,
podendo ser um diâmetro, um raio, uma altura ou qualquer grandeza cuja
equação dimensional seja L. Quando essa trinca estiver presente entre as
grandezas do fenômeno, deverá ser preferida, já que a maioria dos
adimensionais conhecidos tem origem nela.
O último fator de cada adimensional será constituído de cada uma das
grandezas não incluídas na base.
A determinação dos adimensionais será mais bem esclarecida pelos
dois exemplos que veremos a seguir.
EXEMPLOS
1) Verificou-se em laboratório que a força de arrasto, que age numa 
esfera lisa que se movimenta num fluido, é dada por uma função do tipo 
F = f (v, D, ῥ, µ). Determinar a função de números adimensionais, equi-
valente à função indicada.
2) A velocidade de um corpo em queda livre é função somente 
da aceleração da gravidade g e da altura de queda h. 
Determinar a função de números adimensionais referente ao 
fenômeno.
Alguns números adimensionais típicos
Entre as grandezas que mais frequentemente comparecem nos
fenômenos da Mecânica dos Fluidos, tem-se: massa específica (ρ),
velocidade característica (v), comprimento característico (L),
viscosidade dinâmica (µ), variação de pressão (Δp), aceleração da
gravidade (g) e velocidade do som (c). A combinação dessas grandezas,
ao se adotar ρ,v,L como base, dá origem a quatro adimensionais que,
devido à sua frequente presença no estudo da Mecânica dos Fluidos,
possuem nomes próprios. Verifica-se que cada um desses quatro
adimensionais representa uma relação entre forças de origens
diferentes, que agem no escoamento de um fluido.
a) Número de Reynolds (Re)
Já foi visto que
O número de Reynolds, de uma forma mais geral, é escrito:
onde L é um comprimento característico do escoamento, sem ser necessariamente um diâmetro.
Chamando de F= ma as forças de inércia do escoamento e de as forças viscosas, verifica-se a seguir o resultado
da relação entre essas duas forças:
ou: O número de Reynolds é proporcional ao quociente das forças de inércia e
viscosas do escoamento.
Já foi visto no Capítulo 3 que o movimento em tubos é laminar quando Re < 2.000
e é turbulento quando Re > 2.400. Isso significa que as turbulências denotam um
predomínio das forças de inércia sobre as viscosas, enquanto no laminar a
predominância das forças viscosas não permite agitações e, portanto, acelerações
das partículas.
Daqui se conclui que, quanto maior for o Re, menor será o efeito das forças viscosas no
conjunto de forças que agem no fluido. Nessas condições, o número de Reynolds
caracterizará, nos fenômenos, o efeito da viscosidade comparativamente com outros
efeitos. Conclui-se que valores muito elevados do número de Reynolds
representam um efeito desprezível da viscosidade no fenômeno em estudo.
Número de Euler (Eu)
O número de Euler é dado por:
O número de Euler ou coeficiente de pressão indica a relação entre as forças de pressão
e as forças de inércia no escoamento de um fluido.
O Eu comparece no estudo de escoamentos em torno de perfis, em tubos, em máquinas
hidráulicas etc.
No estudo do escoamento em volta de objetos imersos, em movimento relativo com o
fluido, costuma-se usar o adimensional:
que é proporcional ao número de Euler, já que representa uma área.
Esse adimensional é chamado 'coeficiente de arrasto' e será a força de arrasto ou
força de resistência ao avanço de uma superfície sólida que se desloca num fluido.
Número de Froude (Fr)
Representa a relação entre as forças de inércia e as forças
devidas à aceleração da gravidade. É importante em
escoamentos onde há superfícies livres com possibilidade de
formação de ondas. São casos desse tipo: ação das ondas em
flutuantes, escoamento em canais, escoamento em
vertedores, em orifícios etc.
Número de Mach
onde c é a velocidade do som no fluido em escoamento.
Semelhança ou teoria dos modelos
Devido ao grande número de variáveis envolvidas, é
normalmente impossível a determinação de todos os resultados
numéricos referentes a um certo fenômeno da Mecânica dos
Fluidos, por via puramente analítica. Uma das formas de
simplificar as pesquisas é a construção de um modelo em escala
que simula as condições do fenômeno em escala real, que será
chamado protótipo.
Para que os resultados das grandezas medidas no modelo tenham valor prático em relação ao
protótipo, certas
condições deverão ser cumpridas. Tais condições são:
a) entre modelo e protótipo deveexistir semelhança geométrica, isto é, o modelo e o protótipo poderão
ter dimensões diferentes, mas devem ter o mesmo formato. As suas dimensões correspondentes deverão
ser proporcionais;
b) entre modelo e protótipo deve existir semelhança cinemática, isto é, as velocidades das partículas de
fluido homólogas deverão manter uma relação constante (Figura 6.4);
Note-se que, daqui em diante, o índice m denotará modelo e o índice p, protótipo.
c) entre modelo e protótipo deve existir semelhança dinâmica, isto é,
as forças que agem em pontos homólogos deverão manter relações
constantes.
Para que todas essas condições sejam obtidas, verifica-se que os
adimensionais referentes ao protótipo devem ser iguais aos
respectivos adimensionais referentes ao modelo.
Se, por construção, essa igualdade é conseguida, diz-se que o
fenômeno referente ao protótipo e o referente ao modelo mantêm
uma semelhança completa. Note-se que nem sempre isso é possível
e depende da experiência do pesquisador de associar ao protótipo
os resultados obtidos no modelo.
Escalas de semelhança
Chama-se escala de semelhança a relação entre uma grandeza referente ao modelo e a 
mesma grandeza referente ao protótipo.
As escalas de semelhança serão indicadas pelo símbolo K.
onde x representa uma grandeza física qualquer referente ao fenômeno.
Relações entre escalas
Foi visto que, para que modelo e protótipo
mantenham semelhança completa, é necessária a
igualdade dos respectivos números adimensionais. Tal
igualdade conduz a relações entre escalas que deverão
ser observadas para que os resultados referentes ao
modelo tenham significado para o protótipo. A seguir
serão determinadas essas relações quando Re, Eu e Fr
forem adimensionais característicos do fenômeno.
Note-se que, em geral, Kg = 1 para fenômenos realizados na Terra, pois a
aceleração da gravidade varia muito pouco de um local para outro.
EXEMPLOS
1. Quer-se determinar a força de arrasto que age no 'sonar' de um
submarino por meio de testes efetuados com um modelo na
escala 1:5. Os testes são realizados em água a 20°C, a uma
velocidade de 60 km/h, e a força de arrasto medida é 30 N.
Sabendo que o protótipo será utilizado em água a 4,0°C,
calcular a velocidade do submarino em condições de
semelhança completa e, nessas condições, determinar a força
de arrasto correspondente.
Solução
Como o escoamento realiza-se sobre um corpo totalmente submerso, o número de
Froude não influirá no fenômeno, conforme já foi dito anteriormente; logo, sendo
desprezíveis os efeitos da gravidade mediante as forças viscosas e de arrasto, a função
representativa do fenômeno será:
que leva a
Note-se que poderia ter sido usado o coeficiente de arrasto em vez do número de Euler. A
função de números adimensionais nos levará às equações 6.7 e 6.8.
De uma tabela, devem ser determinadas as propriedades da água a 20°C e 4°C.
Pela Equação 6.7:
Logo, em condições de semelhança completa, o sonar, 
fixo ao submarino, deverá se deslocar com uma 
velocidade de aproximadamente 19 km/h ou 5,28 m/s.
A força de arrasto no sonar real será de 75 N.