PESQ_Volume 4 - Dinâmica das máquinas Elétricas I

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I
Titulo do original:
Electrical Machine Dynamics I
Direitos para o Brasil reservados à Centrais Elétricas 
Brasileiras S.A. - ELETROBRÂS
Av. Presidente Vargas, 624 - 109 andar 
Rio dè Janeiro - RJ
1979
F I C H A C A T A L O G R Ã F I C A
Mello, F.P. de w
M527d Dinâmica das máquinas elétricas I |por| F.P. de 
Mello. Trad. |de| Arlindo R.Mayer e Somchai Ansuj . 
Santa Maria, Universidade Federal de Santa Maria, 
1979.
224p. ilust. 23cm (Curso de Engenharia em 
Sistemas Elétricos de Potência - Série PTI, 4)
Título original: "Electrical Machine Dynamics I" 
I. Mayer, Arlindo Rodrigues, 1940 - (trad.) II. 
Ansuj, Somchai, 1949 - (trad.) III. Título
CDD 621.313 3 
CDU 621.313 3
Obra publicada 
Com a colaboração
do Fundo de Desenvolvimento Tecnológico 
da CENTRAIS ELÉTRICAS BRASILEIRAS S.A — ELETROBRÁS
em Convênio com a
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA — UFSM
APRESENTAÇÃO
Há cerca de 10 anos vem a ELETROBRÂS patrocinan­
do a realização de Cursos na área de Sistemas Elétricos 
de Potência, visando o aperfeiçoamento de engenheiros 
eletricistas das Empresas do Setor de Energia Elétrica. 
Assim, cerca de 200 profissionais, nesse período, recebe­
ram formação a nível de Mestrado, tanto no exterior como 
no Brasil, em obediência a currículos estabelecidos pela 
ELETROBRÂS, tendo em vista as necessidades detectadas por 
seu pessoal especializado.
Como resultado da experiência de realização des­
ses e de outros Cursos, por vezes contando com a partici­
pação de professores estrangeiros especialmente contrata­
dos para reforçar as equipes docentes nacionais, vêm sen­
do publicados livros especializados em regime de co- 
edição com Universidades, e â conta de Recursos do Fundo 
de Desenvolvimento Tecnológico da ELETROBRÂS.
É constante a preocupação desta Empresa em 
apoiar as Instituições de Ensino Superior, razão pela qual, 
entre outras ações, têm sido sistematicamente oferecidas 
vagas a docentes universitários, sempre que grupos de en­
genheiros são enviados ao exterior para freqüência a cur­
sos especiais ainda não oferecidos regularmente no Brasil. 
Isso tem propiciado mais rápida resposta das Universidades 
no atendimento de necessidades especiais no Setor de Ener­
gia Elétrica, inclusive pela imediata implantação de tais 
cursos no País, a mais baixo custo e possibilitando am­
pliar a faixa de atendimento de profissionais das Empre-. 
sas.
Em uma dessas ações, a ELETROBRÂS contratou com 
o Power Technologies, Inc. - P.T.I., de Schenectady -USA, 
a ministraçãó de um curso especial em Sistemas Elétricos, 
e constante dos tópicos que se seguem:
1 - Análise de Sistemas Elétricos de Potência
2 - Teoria das Linhas de Transmissão
3 - Releamento - Características e Princípios
Fundamentais de Operação dos 
Relês
4 - Coordenação de Isolamento
5 - Operação Econômica e Planejamento
6 - Dinâmica e Controle da Geração
•7 - Dinâmica das Máquinas Elétricas
8 - Métodos Probabilísticos para Projeto e
Planejamento de Sistemas Elétricos
9 - Economia das Empresas de Energia Elétrica
Esses tópicos, na forma como foram inicialmente 
ministrados pela equipe do P.T.I., e posteriormente re­
produzidos por outros docentes brasileiros em diversas 
oportunidades, constituem, a nosso ver, uma fonte de in­
formações capaz de proporcionar uma formação equilibrada 
de profissionais de alto nível que se destinam âs Empresas 
de Energia Elétrica e que delas precisem ter inicialmente 
boa visão técnica de conjunto. Posteriormente tais profis­
sionais poderão aprofundar seus estudos em tópicos especí­
ficos, conforme necessário ãs suas áreas de atuação.
Foi, pois, com esta intenção que a ELETROBRÂS de­
cidiu adquirir ao P.T.I. os direitos de reprodução do Cur­
so, e contratou com a Universidade Federal de Santa Maria 
a tradução e edição do mesmo, visando sua distribuição às 
Empresas do Setor de Energia Elétrica e demais Institui­
ções de Ensino Superior que ministram cursos na área de 
Engenharia Elétrica. Estamos certos de que a divulgação 
desse material, agora em língua portuguesa,atingirá apre­
ciável número de profissionais e estudantes universitários 
proporcionando-lhes um nível de aperfeiçoamento mínimo ho­
je desejável naquelas Empresas, e ao mesmo tempo consti­
tuindo-se em obra de referência para docentes especiali­
zados.
Arnaldo Rodrigues Barbalho 
Presidente da ELETROBRÂS
PREFÁCIO
Raros são os livros publicados em português so­
bre Sistemas Elétricos de Potência. Isso fez com que os 
professores do Departamento de Engenharia e professores que 
atuam no Curso de Põs-Graduação em Engenharia Elétrica,da 
Universidade Federal de Santa Maria, aceitassem o desafio 
de realizar a estafante, porém, atraente tarefa de tradu­
ção, revisão e acompanhamento na impressão do Curso orga­
nizado por Power Technologies, Inc. - PTI, e cujos direi­
tos de reprodução foram adquiridos pela ELETROBRÂS.
Foi muito valiosa, para a realização desta ta­
refa, a união e o espírito de equipe de um conjunto de 
professores que, além de suas atividades docentes, admi­
nistrativas e de pesquisa, passaram a dedicar-se a mais 
essa importante tarefa.
Ê nosso dever deixarmos assinalados os nossos a- 
gradecimentos a todos os que contribuiram para a elabora­
ção dessa obra. Destacamos a ajuda prestada pelo Diretor do 
Centro de Tecnologia, Prof. Gilberto Aquino Benetti, pelo 
Diretor da Imprensa Universitária, Prof. José Antonio Ma­
chado, pelo Chefe do Departamento de Engenharia Elétrica, 
Prof. Wilson Antônio Barin, pelo Coordenador do convênio UFSM/ 
ELETROBRÂS, Prof. Arlindo Rodrigues Mayer, como também pelos 
Professores Waldemar Correia Fuentes, Nilton Fabbrine Nor- 
berto V. Oliveira.
Pela Companhia Estadual de Energia Elétrica -CEEE - 
tiveram participação destacada, nesta realização, o Eng9 
Paulo Roberto Wilson, Coordenador do Convênio CEEE/UFSM , 
e os Engenheiros José Wagner Kaheler e Fritz Stemmer, to­
dos eles Professores visitantes do CPGEE da UFSM.
Nossos agradecimentos ã Professora Celina Fleiq 
Mayer e ã Jornalista Veronice Lovato Rossato, pelos seus 
vários serviços de revisão. E ã Professora June Magda Scham- 
berg pelo seu auxílio na organização das fichas catalográ- 
ficas dos vários volumes.
Nossos agradecimentos, também, ao datilografo U- 
byrajara Tajes e ao desenhista Dêlcio Bolzan.
Aos Professores Ademir Carnevalli Guimarães e 
Hélio Mokarzel, da Escola Federal de Engenharia de Itaju- 
bã, agradecemos a gentileza de nos terem enviado a tradu­
ção parcial de alguns dos volumes, os quais serviram como 
valiosas referências em nosso trabalho.
Finalmente, nosso dever deixar registrado 
nossos agradecimentos à Centrais Elétricas Brasileiras 
S.A. - ELETROBRAS, por seu apoio e confiança em n5s depo­
sitados.
De rb1ay Ga1vão 
Reitor
SUMÁRIO
PROGRAMA DE ESTUDO ................................. 1
Capitulo 1 - INTRODUÇÃO ............................ 3
Capítulo 2 - DESCRIÇÃO DE UMA MÁQUINA SÍNCRONA ... 5
Capítulo 3 - DESENVOLVIMENTO DAS EQUAÇÕES BÁSICAS. 10
Fluxo e enlaces de fluxo na armadura.......... . 13
Enlaces de fluxo no rotor...................... 17
Equações de tensão.............................. 18
A transformação d, q, o ......................... 20
Enlaces de fluxo do rotor em ccmpónentes d, q, o . 24
Enlaces de fluxo da armadura em componentes d,
q# 0 .............................. *.............. 24
Equações de tensão em componentes d, q, o .... 26
Conjugado e potência............................ 29
Resumo das equações básicas.................... 31
Capítulo 4 - SISTEMA POR UNIDADE .................. 34
Equações gerais..........................'....... 35
Estator.......................................... 36
Rotor............... 38
Escolha de kVA base do rotor................... 41
Escolha da corrente base do rotor............. 45
Resumo - Equações por unidade.................. 47
Circuitos equivalentes...... 52
Capítulo 5 - COMPORTAMENTO DAS MÁQUINAS SlNCRONAS-
OPERAÇÃO EM REGIME PERMANENTE ....... 54
Saturação desprezada............................54
Operação em circuito aberto.................... 61
Efeito da saturação............................. 63
Saturação em máquinas de rotor cilíndrico............ 64
Saturação em máquinas de pólos salientes............. 66
Capitulo 6 - COMPORTAMENTO DAS MÁQUINAS SÍNCRONAS-
ANÃLISE TRANSITÓRIA .................. 69
Métodos operacionais de analise da maquina........... 70
Reatâncias transitória e subtransitõria e 
constantes de tempo da maquina................. 75
Resumo das constantes da maquina.............. 85
Constantes fundamentais..................... 85
Constantes de tempo.... ...................... 86
Indutâncias derivadas....................... 87
Curto-circuitos................................. 87
Correntes de falta simétricas iniciais - Curto- 
circuito trifãsico.............................. 95
Constantes de tempo de curto-circuito do rotor....... 101
Efeito de impedância externa.................... 106
Transitórios na corrente de campo.............. n o
Conjugados de curto-circuito.................... 118
Capítulo 7 - MODELOS DAS MÁQUINAS ..... ...........129
Maquinas de pólos salientes sem amortecedores..........129
Maquinas de pólos salientes ocm amortecedores........ 134
Maquinas de rotor cilíndrico com amortecedores....... 141
Capítulo 8 - FALTAS DESEQUILIBRADAS ............... 142
Curto-circuito entre duas fases............ 142
Harmônicos - Curto-circuito entre duas fases.......... 149
Procedimento pratico de calculo para falta entre duas 
fases.............................................. 151
Curto-circuito entre fase e neutro........... 152
Harmônicos - Curto-circuito entre fase e neutro...... 154
Falta de duas linhas para a terra............. 156
Reatância de seqüência negativa................ 159
Resistência de seqüência negativa.............. 160
Impedância de seqüência zero.................... 161
Potência no entreferro e no eixo da maquina para
faltas desequilibradas.................... 163
Capítulo 9 - MÁQUINAS DE INDUÇÃO ................... 166
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS --------- --------- .----, 174
PROBLEMAS.................. . -..................... . 17 5
Sessão Tópicos Estudo Recomendado
I Descrição da 
maquina síncrona
Páginas 3 a 51
Desenvolvimento das 
relações básicas. 
Enlaces de fluxo, 
tensões, correntes
Transformação d ,q ,o 
Sistemas por unidade
Apêndice B do livro 
Dinâmica e Controle 
da Geração
Problemas n9 1 e 2
II Sistemas por unidade Páginas 52 a 68
Circuitos equivalentes Problema n9 3
Diagrama vetorial no 
regime permanente
Saturação
III Comportamento da 
maquina síncrona- 
Análise transitória
Curtos-circuitos
Páginas 69 a 105 
Problemas n9 4 e 5
IV Comportamento da 
máquina síncrona- 
Análise transitória
Páginas n9 106 a 163 
Problemas n9 6 e 7
Faltas desequili­
bradas
V Potência no entre- 
ferro e no eixo
Páginas 163 a 174
Máquinas de indução Problemas n9 9 e 10
CAPITULO 1 
INTRODUÇÃO
0 comportamento dinâmico de maquinas em Sistemas 
de Potência é de importância fundamental para o desempenho 
global e continuidade do fornecimento de potência. Neste li­
vro tentamos desenvolver uma compreensão do comportamento de 
maquinas com deduções de modelos e técnicas de modelagem ba­
seadas nas leis físicas que descrevem os fenômenos pertinen­
tes relacionados a fluxos, tensões, correntes e velocidades 
rotacionais. Daremos mais ênfase ao desenvolvimento e com­
preensão das características do comportamento dinâmico de 
máquinas do que â exploração de métodos de projeto de má­
quinas .
Tradicionalmente, o comportamento de maquinas tem 
sido examinado sob condições de regime permanente e sob con­
dições transitórias. Algumas vezes, a ligação entre as duas 
condições não tem sido muito clara. Varias simplificações 
foram usadas no passado para aproximar os efeitos sob con­
dições transitórias. Tentaremos apresentar o assunto como 
um tratamento unificado, onde as equações de regime perma­
nente surjam naturalmente da solução geral.
No tratamento da teoria dos circuitos CA temos 
representado o gerador síncrono por uma fonte ideal de ten­
são através de uma impedância.
Fig. 01
Este ê um conceito muito útil, mas pode servir co­
mo uma restrição desnecessária no entendimento do desempenho 
das maquinas síncronas. A fim de explanar o desempenho das ma­
quinas, com esse modelo simplificado, necessita-se adotar al­
guns conceitos artificiais como a mudança das tensões da fon­
te e a mudança das reatâncias.
Sob um ponto de vista conceituai, é melhor começar 
dos primeiros fundamentos e visualizar a tensão gerada cano o 
produto do fluxo pela velocidade angular. A FEM, assim ob­
tida, ê a fonte de tensão que ê ligada â rede CA através da 
reatânciá de dispersão e da resistência do estator.
O comportamento do fluxo do entreferro, como fun­
ção da carga da maquina, da excitação, etc., é regido por 
equações diferenciais que definem sua resposta a estas va­
riáveis. Desta forma, o modelo do gerador ê descrito canona 
FicTura 02 .
Fig. 02
Com este comentário introdutório, desenvolveremos 
agora as equações que descrevem o comportamento da máquina, 
a partir das equações fundamentais de fluxo, FMM, tensão e 
corrente.
CAPITULO £.
DESCRIÇÃO DE UMA MÁQUINA SÍNCRONA
A Figura 03 é uma representação esquemática de uma 
máquina síncrona de dois pólos. Os enrolamentos do estator 
são trifásicos, uniformemente distribuídos com centros de­
fasados de 120°.
As equações básicas são as mesmas para máquinas com 
mais de dois pólos, visto que a armadura é igualmente enro­
lada com conjuntos correspondentemente múltiplos de bobinas. 
Portanto, se definimos as equações em termos de graus elé­
tricos, onde 180 graus elétricos é o ângulo entre pólos nor­
te e sul adjacentes, o número de pares de pólos rião fará ne­
nhuma diferença na maneira de se analisar uma máquina.
A relação entre graus elétricos e mecânicos é:
p/2 (graus mecânicos) = graus elétricos 
onde p/2 é o número de pares de pólos.
Examinemos, primeiramente, a força magnetomotriz 
produzida por correntes senoidais equilibradas passando pe­
lo estator. A distribuição dós enrolamentos em volta do es­
tator é usualmente projetada para fornecer um formato de curva 
bastante senoidal, com pouco conteúdo harmônico.; Como ilus­
tração, entretanto, examinemos o caso da-Figura-Õ4r-que -de-
'jj C ,/> *senvolve o enrolamento de um alternador trifasico com duas 
ranhuras por polo por fase e um* enrolamentio dé 'paáso 5/6. As 
ranhuras são rotuladas por numeròs, e- as ?lettasV Ã>B è Ç in­
dicam os lados das bobinas para as fases a, b e c. Os cír-
A
 w
 r
o 
—
 o
 —
 r
oo
i-
^o
i
Fig. 03
Fig. 04
culos em volta das letras representam os lados de trás da 
bobina. Os enrolamentos de passo 5/6 significam que os la­
dos da bobina marcados com A, que se acham no alto da ranhu­
ra 1 e na base da ranhura 6 , estão na mesma bobina. Os lados 
da bobina para as três fases estão deslocados de 120°. Os 
lados da frente da bobina estão delimitados por linhas pon­
tilhadas .
Examinemos as condições no instante em que a cor­
rente da fase "a" estã no pico da senõide, ou seja, i = I . 
A partir das relações de fase indicadas na Figura 04, as
correntes nas fases i, e i serão i, = -I /2 e i = -I /2.Ab c b m c m
força magnetotriz desenvolvida ao longo da periferia do es- 
tator ê prontamente estabelecida pela superposição das con­
tribuições de cada bobina carregando o valor apropriado da 
corrente no instante em questão. Vê-se que isto aproxima uma 
senõide com o pico colocado mais ou menos no centro da fase 
Ha". Com um grande número de ranhuras, a distribuição dos 
enrolamentos pode ser feita de maneira a fornecer uma dis­
tribuição espacial da FMM quase puramente senoidal. Isso é 
desejável para se minimizar perdas e interferências telefô­
nicas devidas aos harmônicos.
Se examinarmos, agora, as condições em um instan­
te posterior, digamos 90 graus elétricos mais tarde, e re­
petirmos o procedimento com os valores de corrente para es­
te instante, ou seja, i = 0 , i,= + (/3/2) I , i = -(^572)1 
notaremos que a onda da FMM avançou, agora, 90° em sua dis­
tribuição espacial.
Um estudo gráfico da onda de FMM, em instantes su­
cessivos de tempo, dá uma concepção visual do ruovimento de 
campos magnéticos girantes. Estes campos girantes ocorrem so­
mente em máquinas polifãsicas, tanto síncronas como de in­
dução. A velocidade de rotação da onda da FMM em volta da 
periferia do estator é proporcional à freqtiência das corren­
tes da armadura e, para condições de regime permanente no­
minais, ê exatamente igual à velocidade de rotação da onda da 
FMM, devido ao movimento do campo do rotor em máquinas sín­
cronas .
O efeito de rotação da onda da FNMpode ser deduzido 
matematicamente, como segue:
Seja a o ângulo que define um ponto na periferia 
do estator, em relação ao centro da fase "a". .A seguir, con­
siderando uma distribuição espacial, senoidal, equilibrada e 
uniforme das bobinas das fases ao longo das ranhuras do es­
tator, a contribuição da FMM em cada fase, em qualquer ins­
tante, é proporcional a:
FMM oc a i, a cos a
oc Ab cos (a - 2ir/3) (01)
FMM oc c 1c cos (a + 2it/3)
onde y i, e i b c são os valores instantâneos das correntes
nas três fases.
Para correntes senoidais equilibradas com ampli-
tude máxima I e m freqüência a), podemos escrever
i = I sen ü)ta m
Lb
= Im sen (wt - 2ir/3) (02)
= Im sen (wt + 2 tt/3)
onde escolhemos arbitrariamente a contagem de tempo t, a par­
tir do instante em que i está passando através de zero e au­
mentando .
De (01) e (02), a onda total da FMM é proporcio­
nal a:
• FMM I [sencot cos a + sen(wt - 2tr/3) cos (a - 2it/3)
+ sen (cot + 2ir/3) cos (a + 2tt/3)J (03)
Por meio de identidades trigonométricas (03) ê re­
duzida a:
FMM •“ 3/2 I sen (wt - a) (04)m
A expressão (04) mostra que a onda de FMM caminha ao longo 
da periferia, com uma velocidade w. Portanto, para condições
de operação com velocidade síncronae correntes equilibradas
no estator, a onda de FMM, produzida por essas correntes, 
parece estacionária quando vista do rotor.
A Figura 05 ilustra este fato, mostrando a estru­
tura do rotor relativa â FMM do estator.
Fig. 05
Na Figura 05 é também mostrada a FMM devida ã ex­
citação no campo do rotor. A FMM líquida, que produz fluxos 
através do entreferro, ê obtida pela superposição destes dois 
componentes. A fase da FMM de reação da armadura relativa à 
FMM de excitação de campo ê uma função da carga, tanto em 
amplitude como em fator de potência.
CAPITULO 3
DESENVOLVIMENTO DAS EQUAÇÕES BÁSICAS
Nesta seção desenvolveremos, dos primeiros prin­
cípios, as equações fundamentais que descrevem a máquina. O 
desenvolvimento inclui a importante transformação d, q, con­
duzindo às equações de Park, que são universalmente usadas 
para descrever o comportamento da máquina.
Embora o desenvolvimento seja direto, o perigo é 
ficarmos confundidos com a terminologia e símbolos. Por esta 
razão ê apresentada aqui, e mostrada esquematicamente na Fi­
gura 06, uma descrição introdutória do desenvolvimento.
19 Passo
A máquina ê composta de um numero de enrolamentos 
no estator e no rotor. As características eletromagnéticas 
desses enrolamentos e a estrutura magnética associada podem 
ser expressas com a ajuda da teoria fundamental de circui­
tos, relacionando enlaces de fluxo a correntes, através das 
auto e mutuas indutâncias. As indutâncias* básicas dos enro­
lamentos (auto e mútua) são definidas pela letra minúscula 
l com o subscrito apropriado, ou seja:
ANALISE D£ MAQUINAS SlNCRONAS
EIXO 
» d
Fig. 06
ENR0LAMENT0
a
m m
ENR0LAMENT0S 
DO ESTATOR
t {
ENROLAMENTO ESTRUTURA
f MAGNÉTICA
ENR0LAMENT0 
DO ROTOR
L = INDUTANCIA PRÓPRIA 
aa DO ENROLAMENTO a
L,,= INDUTANCIA PRÕPRIA 
TT DO ENROLAMENTO f
L .= INDUTANCIA MOTUA 
aT ENTRE ENROLAMENTOS
o o
Fig. 07
29 Passo
As indutâncias dos enrolamentos físicos básicos 
são descritas como funções trigonométricas da posição do ro­
tor com relação ao estator. Os coeficientes constantes, que 
entraram nestas expressões trigonométricas para a indutân- 
cia, são denominados com letras maiusculas, isto é:
1afd L ,, cos 0 afd
onde é uma constante igual à indutância mútua entre o 
campo e o enrolamento da fase "a", na posição de máximo a- 
coplamento entre estes dois enrolamentos (0 = 0o).
39 Passo
Os enlaces de fluxo são, então, expressos em ter­
mos das correntes dos enrolamentos (ia , i^, ic, para os en­
rolamentos das fases e i^, i^, i^ , etc. para os enrola­
mentos do rotor) e das indutâncias (auto e mútuas) que, por 
seu lado, são expressas como funções trigonométricas da po­
sição do rotor. Nestas relações, as combinações das corren­
tes de fase, multiplicadas pelas funções trigonométricas do 
ângulo do rotor das expressões das indutâncias, sugerem o 
uso de componentes d, q, e das relações de transformação:
i^ = 2/3 [i cos 0 + i^ cos (0 - 120°)+ic cos (0+120°)] 
i =-2/3 [ia sen 0 + i^ cos (0 - 120°)+ic cos (0+120°)]
49 Passo
As equações dos enlaces de fluxo para os enrola­
mentos do rotor são, em seguida, expressos como função das 
correntes dos enrolamentos do rotor e dos componentes d, q, 
das correntes da armadura. As equações assim obtidas possuem 
correntes d, q multiplicadas por termos de indutâncias cons­
tantes.
59 Passo
A transformação d, q ê também aplicada aos enlaces
de fluxo e tensões da armadura. As equações de tensão 
enrolamentos da armadura
ea
a*a
dt ria
dos
são assim expressas em termos das variáveis de transformação 
d, q conduzindo às equações de Park
a#lea = -ar* * “♦q * rla)
FLUXO E ENLACES DE FLUXO NA ARMADURA
0 fluxo produzido por uma FMM dada é uma função da 
relutância do circuito magnético sobre o qual a FMM age.
A relutância de um material é definida como a re­
lação da ação da FMM sobre ele e o fluxo resultante
onde
R = relutância 
$ = fluxo em webers
F = força magnetomotriz (ampêres-espiras)
A relutância da trajetória fechada do fluxo através do fer­
ro do estator, através do entreferro, através do ferro do 
rotor e de volta do entreferro, é uma relutância composta, 
constituída de contribuições devidas ao entreferro e âs par­
tes de ferro.
R = RA + R± (06)
A permeância é a recíproca da relutância. Visto ser 
a relutância inversamente proporcional â permeabilidade do 
material, uma grande contribuição para esta relutância é <3e~ 
vida ao entreferro.
Visualizando o circuito magnético para as forças
magnetomotrizes no estator, notamos que a permeância deste 
circuito ̂ mudará com a posição do rotor, graças às variações 
no entreferro. Isso ê mais pronunciado no caso de maquinas 
de põlos salientes.
Em geral, esta variação será periódica, comum pe­
ríodo igual ao espaço entre pólos. Uma boa estimativaé a de 
que esta variação é senoidal. Portanto, a permeância do cir­
cuito magnético, conforme visualizado de um ponto fixo no 
estator, poderia ser expressa como uma função do ângulo en­
tre aquele ponto e a localização do centro de um pólo no ro­
tor, ou seja,
P = PQ + P2 cos 2 0 (07)
onde 0 é a distância angular entre o ponto no estator e o 
centro de um pólo. A permeância é uma propriedade que entra 
na determinação da indutância de enrolamentos. Realmente, a 
indutância de uma bobina pode ser definida como a relação dos 
enlaces de fluxo na bobina para a corrente da bobina que pro­
duz esses enlaçamentos de fluxo. Quando a permeância é in­
dependente do fluxo, a indutância ê uma constante. A partir 
da teoria do acoplamento magnético de circuitos, conforme ê 
usado na análise de transformadores, para qualquer instante 
de tempo dado, podemos definir indutância própria e mutua 
entre circuitos da armadura e circuitos do rotor e escrever
como
fluxo total no circuito
Z i + Z , i. + Z iaa a ab b ac c
+ Z r: afd if d + Z , , i, , + Z akd kd (08)
onde £ ̂ = auto-indutâncias do enrolamento "a" no estator aa
&ak = indutâncias mútuas entre os enrolamentos "a" e ”b"
Z = indutâncias mutuas entre os enrolamentos "a" e "c" ac
afd akd' akq são indutâncias mútuas entre o enro-
lamento "a" no estator eo campo do rotor, amortecedor 
do eixo direto e do amortecedor do eixo em quadratura 
respectivamente.
Neste ponto deveriamos deixar claro o que queremos 
dizer com eixos d e q, e circuitos :amortecedores e de campo.
Observando as faces dos pólos do rotor, a Figura 
08 identifica os eixos d e q, bem como os circuitos do rotor 
compostos de circuitos de campo, amortecedor de eixo d e a- 
mortecedor de eixo q.
Fig. 08
O eixo d esta localizado no pico da onda da FMM produzida 
pelo campo, enquanto que o eixo q esta 90 graus elétricos 
adiantado. Hã numerosas trajetórias fechadas para correntes 
no rotor. Elas podem ser concentradas em circuitos equivalen­
tes, conforme segue:
1. Um circuito de campo que carrega a corrente contínua 
do campo.
2. Um circuito equivalente fechado, que enlaça o fluxo 
do eixo d, chamado de enrolament;o amortecedor do ei­
xo d. Em maquinas de pólos salientes, isso é composto 
de barras condutoras, deliberadamente inseridas na 
face do pólo. Em maquinas de rotor cilíndrico de fer­
ro sólido produzem um efeito amortecedor equivalente.
3. Um ou mais circuitos fechados equivalentes, concên­
tricos com o eixo q, chamados de amortecedor do eixo
q.
Se a maquina fosse um dispositivo estático,as vá­
rias indutâncias em (08) seriam constantes como no caso de 
um transformador. Na máquina síncrona, entretanto, por causa 
do movimento do rotor, estas indutâncias de enrolamento da 
armadura são uma função da posição do rotor. Da discussão an­
terior sobre a variação da permeância em função da posição 
do rotor, be.m como da consideração do acoplamento variável 
entre circuitos do rotor e circuitos da armadura em função 
da posição do rotor, segue-se que as indutâncias mútuas en­
tre circuitos do rotor e do estator são:
lafd Lafd COS
í , , akd ~ Lakd COS
l , akq Lakq sen
6
0
0
(09)
(10) 
(11)
onde L L . - e L , são constantes; e são os valores mã-afd' akd akq
ximos destas indutâncias mútuas que ocorrem quando os cir­
cuitos de campo correspondentes estão concêntricos com o cir-
(0 = 0).
As equações para as indutâncias mútuas das outras 
fases "b" e "c" são semelhantes àquelas para a fase " a " e x ­
ceto que o ângulo 0 é substituído por (0 - 2tt/3) e (0 + 2tt/3) , 
respectivamente.
A indutância própria na fase "a", £ , tem a for-aa
ma da equação da permeância (0 7) .
Iaa Laao + Laa2 cos 2 0 (12)
Da geometria da trajetória magnética, fica evidenciado que 
a indutância mútua entre as fases do estatorê um mínimo toda 
vez que o eixo q bissecciona o ângulo entre as fases,ou se­
ja:
li-Qaí
O* Labo + Lab2 cos <2e +ir/3) (13)
*ac = L + L _ cos (29 aco ac2 -ir/3) (14)
Por causa da simetria, os coeficientes L , , L , L, sãoabo aco' bco
todos iguais, como também são os coeficientes ' Lac2/Lbc2
Laa2 ' Lbb2 e Lcc2*
Quando as equações (12), (13) e (14), bem como as
semelhantes a estas, com deslocamento de fase apropriado 
para as fases "b" e "c", são substituídas em (08) ou em ex­
pressões anãlog .s para as fases "b" e "c", notamos que a ex­
pressão do enlace de fluxo, em termos de correntes de fase 
instantâneas, torna-se uma função da posição do rotor.
Uma tal expressão está incluída na equação (15) ,
para ilustrar a forma. Expressões semelhantes, com mudanças 
apropriadas nos subscritos, são aplicadas ãs fases "b" e "c".
-i (L + L „ cos 20) a aao aa2
+ L „ i, cos (20 + 60°) aa2 b
+ L ... iCJ cos 0 + L . , afd fd akd
- L , i, sen 0 akq kq
ENLACES DE FLUXO NO ROTOR
■ L , (i, + i ) abo b c
+ L _ i cos (20 aa2 c - 60)
, . cos 0 kd (15)
Os enlaces de fluxos nos circuitos do rotor podem 
ser escritos usando-se as equações (09), (10) e (11) para as
indutâncias mútuas entre os circuitos do estator e os cir­
cuitos do rotor. As auto-indutâncias dos circuitos do rotor 
são constantes, desde que as permeâncias dos circuitos mag­
néticos nos eixos d e q sejam constantes.
As equações de enlaces de fluxo do rotor são es­
critas como:
^fd Lffd 1fd + Lfkd 1kd Lafd COS'0
+ i^ cos (0 - 2ir/3) + i cos (0 + 2ir/3)
kd Lfkd xfã + Lkkd 1kd " Lakd 
cos (0 - 2tt/3) + i cos
i cos 0 + a
( 9 + 2ir/3) (17)
kq Lkkq 
+ ic
■̂ kq + Lakq ̂
sen ( 0 + 2tt/3)
senô + sen ( 0 - 2 tt/3 )
(18)
Aqui, Lkkd e Lkkq s^° aS auto-indutancias dos circui­
tos do campo, do amortecedor de eixo direto e do amortece­
dor de eixo em quadratura, respectivamente. L ^ ^ é a in- 
dutância mútua entre o campo e o amortecedor de eixo dire­
to. Devemos notar que não hã acoplamento magnético entre os 
eixos d e q, visto serem eles órtogonais, ou seja, deslo­
cados de 90°.
EQUAÇÕES DE TENSÃO
As leis da indução eletromagnética aplicadas a um 
circuito fechado ou bobina, como é mostrado na Figura 09, 
podem ser expressas como:
e = ---r i (19)
r
-VWSAr
e
Fig. 09
onde e ê a tensão que aparece nos terminais da bobina, ij; é 
o enlace de fluxo na bobina, i ê a corrente circulando na 
bobina e r ê a resistência da bobina. Observemos as direções 
da tensão e corrente na Figura 09.
A equação (19) aplicada ao caso de um circuito es-
tático, como o da bobina de um transformador ou linha de trans­
missão, pode ser expressa como:
e = L - - ■■ - r i (20)dt
onde L = — ê a indutância do circuito. Deve ser salien­
tado que a equação (20) é um caso especial da equação geral 
(19), para o caso do circuito estático e linear.
Em geral,a taxa de variação do enlace de fluxo 
dty/dt pode ser composta de termos devidos a correntes va­
riantes (ação transformadora), bem como de termos devidos a 
enlaces de fluxo sendo cortados por rotação ou movimento, 
ou de termos devidos a alterações das propriedades magnéti­
cas, como ocorre com a saturação de materiais magnéticos.
A equação (19) aplicada a circuitos
torna-se:
dipa -Ja dt — r a
d^b
b dt — r db
d^c
c dt r Xc
da armadura
(20)
Aplicada ao circuito de campo, dá
fd
'fd dt + rfd 1fd (21)
Notemos que a escolha de sinais é devida ã definição da di­
reção da corrente relativa à tensão através do enroiamento. 
No caso do campo, ê costume considerar a corrente fluindo no 
campo, como um resultado da tensão e ^ aplicada.
De modo semelhante, para os circuitos amortecedores nos ei­
xos direto e em quadratura, temos: 
d̂ i0 =
0 =
rkd
dt
dijjkq
dt
+ rkd 1kd
+ r, i, kq kq
(22)
(23)
Os zeros no lado esquerdo de (22) e (23) provêm da natureza
fechada dos circuitos, com tensão aplicada nula.
As equações (20) a (2 3) pode riam ser resolvidas, des­
sa forma, com as relações dos enlace de fluxo descritas em 
termos das correntes reais da fase e do rotor, e indutâncias 
que são funções de posições do rotor (veja equações (15) , (16), 
(17) e (18)).
As equações,em termos destas variáveis, são não- 
lineares e bastante complicadas. Concluímos que um tratamen­
to matemático mais simples e mais elegante pode ser obtido 
pelo uso de novas variáveis transformadas para circuitos, ten­
sões e fluxos.
A TRANSFORMAÇÃO d, q, o
0 estudo das expressões (16), (17) e (18) mostra 
que, nas equações de enlaces de fluxo do rotor, as correntes 
da armadura- se combinam de uma maneira clara, envolvendo a 
posição do rotor, conforme segue:
Para o eixo d:
1 cos 0 + i, cos (0 - 2tt/3) + i cos (0 + 2tt/3)a b c
0 é o ângulo do qual o eixo direto está adiantado do centro
da fase "a"; e, para o eixo q:
i sen 0 + i, sen (0 - 2tt/3) + i sen (0 + 2tt/3)a b c
Isso leva à definição de novas variáveis definidas como i^ e
1 por:
q
i, = K i cos 0 + i, cos(0 - 2tt/3) (24)d a b
+ i cos ( 0 + 2 /3) c
i = -K i sen 0 + i, sen (0 - 2tt/3) q L a k
+ i sen(0 + 2tt/3) c
O valor da constante K ê escolhido de modo que,para
as correntes senoidais equilibradas i , i, , i_ com intensi-a o c
dade de pico I : r m
i = I sen u)ta m
= Im sen(o)t - 2tt/3) (26)
ic = Im sen(o)t + 2tt/3)
As intensidades de pico de i, e i são iguais a I .c d q ̂ m
Substituindo-se (26) em (24) e (25):
i, = K I sen wt cosQ + I sen (cot - 2ir/3) oos(0 - 2tt/3) d [ m m
+ I^seníwt + 2ir/3) cos (0 + 2tv/3)
= K 3/2 I sen (ajt - 0) (27)m
i = -K
q
Imsen totsenO + I^seníuit - 2tr/3)sen(0 - 2ir/3)
+ I msen(o)t + 2ir/3)sen(0 + 2tr/3)j= -K 3/2 I cos (cot - 0) (28)
Escolhendo-se K = 2/3, temos:
id = 2/3 ĵ ia*cos0 + ifa cos (0 - 2ir/3) + i c
que, para correntes equilibradas, como em (26)
= I sen (wt - 0) m
cos ( 0 + 2ir/3) 
(29)
iq = “2/3 £iasen0 + ibsen(0 - 2ir/3) 
+ icsen(0 + 2ir/3) 1
que, para correntes equilibradas, como em (26):
= -I cos(wt - 6) m
As equações (29) e (30) são chamadas as transfor­
mações d e q das correntes trifãsicas. Para generalizar com­
pletamente, ou seja, para dar completa liberdade aos valores 
das correntes de fase ia , i^ e ic , precisamos expressá-las 
por meio de três novas variáveis, das quais duas foram se­
lecionadas como i, e i . Uma terceira variável conveniente ê d ̂ q
a corrente se seqüência zero definida como:
i = 1/3 |i + i, + i I (31)o ' a b cl
Sob condições equilibradas, ou quaisquer condições nas quais
i + i, + i = 0 , i será igual a zero. a b c ' o ^
As equações (29), (30) e (31) podem ser expressas,
convenientemente em notação matricial, como:
2/3 cos6 2/3 cos (9-2ir/3) 2/3 cos (9+2ir/3)
i
q
= -2/3 sen6 -2/3 sen (0-2tt/3) -2/3 sen(6+2ir/3)
i o 1/3 1/3 1/3
i a
*b (32)
ic
A transformação inversa de (32) é:
cos e - sen 0 1
cos (6- 2tt/3) - sen(0 - 2ir/3) 1
cos (0 — 4ir/3) - sen ( 0 - 4it/3) 1
id
i
q
(33)
io
Transformações semelhantes se aplicam a enlaces de fluxo e
tensões, ou seja, as tensões nas fases e , e , e podem ser,a d c
de modo semelhante, transformadas em componentes e^, e^ e 
eQ e vice-versa.
0 significado físico dos componentes i^ e i é que 
eles são proporcionais aos componentes da FMM nos eixos di­
reto e em quadratura, respectivamente, produzidos pela re­
sultante de todas as três correntes da armadura i , i, e i .a b c
No caso das correntes equilibradas de freqüência w e uma 
velocidade de rotor oj* , as equações (27) e (28) tornam-se:
1 , = I sen (wt - a)' t + 0) (34)d m
i = -I cos(o)t - io't + çó) (35)q m
onde 0 = w 't - 0 é o ângulo entre o eixo d e centro da fa­
se "a". Se a freqüência das correntes do estator é síncrona 
com a freqüência do rotor, então, co = m' e (34) e (35) tor­
nam-se :
id = Im sen 0
i = -I cos 0
q m
(36)
(37)
As equações (36) e (37) mostram que os componentes i^ e i^ 
são quantidades CC (constantes) para o caso das correntes de 
armadura equilibradas, com freqüência síncrona e com a velo­
cidade do rotor. Este fato combina muito bem com o conceito 
da onda rotativa de FMM gerada pelas correntes da armadura 
equilibradas, descritas no Capítulo 1. Esta onda daEflM ca­
minha com a mesma velocidade do rotor e, portanto, em rela­
ção ao rotor, a onda parece estacionada. O fato de que, em 
operação de regime permanente equilibrado, as correntes i^ 
e i são quantidades CC, merece ser lembrado especialmente 
porque, mais tarde, na construção de diagramas vetoriais de 
regime permanente, i^ e i^ são tratados como fasores que re­
presentam a distribuição espacial das forças magnetomotrizes. 
Isto pode ser confundido facilmente com fasores represen­
tando quantidades CA.
Em (34) e (35) , quando u ^ u ', i , e i serão se-ci q
nõides com freqüência de escorregamento de (w - w ') . Isto a- 
contece no caso de motores de indução para os quais w > to' , 
e de geradores de indução para os quais w < io'.
ENLACES DE FLUXO DO ROTOR EM COMPONENTES d, q, o
Expressando as equações de enlaces de fluxo do ro­
tor, as equações (16), (17) e (18), em termos de i, e i for-Q q
necem:
*fd " Lffd Afd + Lfkd 1kd
2 L ±2 Lafd d (38)
*kd = Lfkd ifd + Lkkd 1kd
3
2 akd1d (39)
^kq ■^kkq ±kq " 1 L v i2 akq q (40)
0 fato de que o componente "i^ 1 não entra nas equações de 
enlaces de fluxo do rotor é significativo. Significa que 
componentes de seqüência zero da corrente da armadura não 
produzem nenhuma FMM líquida através do entreferro. Este fato 
é evidenciado, também, na expressão básica para FMM, devido 
âs correntes da armadura, conforme deduzido de:
FMM a i^cos0 + i^cos(0 - 2tt/3) + i^cosí© + 2tt/3) (41)
Para qualquer componente i de seqüência zero, a substituição
de i = i, = i = i em (41) mostra que a FMM, devida a estes a b c o
componentes, é nula.
Todas as indutâncias de (38) a (40), excluindo os efeitos de 
saturação, são constantes.
ENLACES DE FLUXO DA ARMADURA EM COMPONENTES d, q, O
O uso das mesmas transformações d, q, o (32),para 
enlaces de fluxo e correntes, converte as equações de enla­
ces de fluxo da armadura (15) em equações de componentes d, 
q, o de enlaces de fluxo da armadura.
Isto quer dizer que as novas variáveis são:
= 2/3 iĵ ĉosO + ^cos(0 - 2tt/3) + i|;ccos(0 + 2tt/3)
=-2/3 h|> sen0 + i|>,sen(0 - 2ir/3) + \p sen(0 4 L a. D ^
*o = 1/3 [*a + *b + *c]
2tt/3) J
(42)
e existem equações semelhantes para i^, i e iQ .
Este processo é um exercício em álgebra e identidades trigo- 
nométricas, que gera as seguintes equações de enlaces de flu­
xo da armadura:
iK = -(L +L , +3/2 L „)i,+L £Ji£J+L . ,i. ,d aao abo aa2 d afd fd akd kd (43)
4> = - (L +L , -3/2 L „)i +L , i.rq aao abo aa2 q akq kq
= - (L -2L , ) iro aao abo o
(44)
(45)
Definindo um novo conjunto de indutâncias da armadura como:
d L̂aao + L , + 3/2 L _) abo ' aa2 (46)
, = (L q aao + L , - 3/2 L _) abo ' aa2 (47)
, = (L o aao - 2L , ) abo (48)
as equações de enlaces de fluxo da armadura tornam-se:
'"d =-L ,i , + L c , i,., + L , ,i, , d d afd fd akd kd (49)
=—L i + L . i, q q akq kq (50)
*o 0
•H0A1II (51)
Notemos que as equações (49), (50) e (51), em termos das va­
riáveis transformadas, contêm todos os termos de indutância 
constantes. Esta ê a razão básica para o uso dos componentes 
d, q, o, ao trabalharmos com problemas de máquinas elétri­
cas .
Embora as variáveis d, q tenham completo signifi­
cado físico quando aplicadas a condições no rotor, seu sig­
nificado relativo ãs quantidades do estator é algo mais abs­
trato, sendo uma transformação matemática, da mesma maneira 
que no caso com componentes simétricos.
EQUAÇÕES DE TENSÃO EM COMPONENTES d, q, o 
(Equações de Park)
As equações básicas de tensão para os circuitos 
da armadura são:
d<|<.
ea = dt - ri
diK
eb dt - n.
dü
e = c dt - ri
(52)
As equações de transformação de tensão são:
e^ = 2/3 |eaoos0 + e^oosíe - 2ir/3) + eccos(0 + 2rr/3)J
eg = -2/3 Fe^senO + e^sen(0 - 2ir/3) + ecsen(0 + 2tt/3)J (53)
e = 1/3 (e + e, + e ) o a b c
A substituição de (52) em (53) e o uso das relações de trans­
formação d-q para correntes geram:
ed 2^3 ÓOS0 dt + cos (0 - 2ir/3) dt + oos(0
cnj>
+ 2”/3) dT -ri
di|i.
sen(
di|v
0 -sr + sen(0 - 2tt/3) + sen(0 + 2tt/3)dt
avc
dt -riqe = -2/3q
d*o . 
eo dt rlo
Expressando , ik e i|j em termos de ip , tp e ip com o usoKa' yb
da transformação inversa (33) :
d' yq
ip = cos0 \p, -sen0 íp + ipYa rd yq yo
= c o s ( 0 " 27r/ 3 ) ,l'd ” s e n < e ” 2 i r / 3 ) t|> +i|>0 (55)
ip = cos (0 - 4n/3)ip, - sen (0 - 4 i r / 3 ) i|> +t|> c a C[ o
Diferenciando (55) com relação a "t":
ãp. de d0 chp ch|>
dt = ^ ã 3^ 6 dt + 0030 dT 0036 cft " ***« dt + dE
dhb
dt -^d sen (0-2T r/3)|| + oos ( 0 - 2 ir /3 ) ~ - \pL cos (0 -2rr/3)^
chp_ dijj
- sen (9-2u/3) -gS + (56)
dl̂ c d0 dito. ia
-gjr- = ~ ií»dsen(0-4Tr/3)^ + cos (0-4tt/3) ~ - q̂oos(0-4ir/3)^r
dtp ch|>
- sen (0-4ir/3)-̂ r? +dt dt
Substituindo as equações (56) na primeira equação de (54): 
2
ed 3 -t|j,cos0 sen0^ + cos20-^^ - ip cos20 d dt dt dt
<3sp cUp
- sen0 oos0 + oos0 ~ -t|j cos ( 0 - 2 tt/ 3 ) sen ( 0 - 2 tv/ 3 ) ^ -
+ oosz (0-2tt/3) ~^r ~ ^co s 2 ( 0-2tt/3) ̂ - sen(0-2Tr/3)oos(0-2ir/3)-^dt
dip
— £
dt
dij;
+ oos (6-2ir/3)-̂ ̂- ^oos (0-4ir/3) sen ( 0 - 4 tt/ 3 ) ̂ + oos2 (0-4ir/3)-̂
2 dfi <%, <*0
- (0-4ir/3)^£ + sen(0-4ir/3)<x>s(e-4Tr/3)-^^ +oos(0-4ir/3)
- n.
dt 
( 5 7 )
Reunindo o? termos nas equações (57) e simplificando com i- 
dentidades trigonométricas:
• a - !
1
2
♦ 5 9 + í awd dt dt sen 2 0 + sen (20-4ir/3) +sen ( 2 0 - 8 tt/ 3 )
^ d . d0 
dt vq dt j (l+oos20) + | (1+oos (20-4ir/3))
+ j (1+cos (20-8ir/3)) - ri. (58)
Simplificando ainda mais a equação (58) pelo re­
conhecimento de que:
sen 20 + sen (20 - 4ir/3) + sen (20 - 8ir/3) = 0 
e deque a expressão que se multiplica
d0
It
difi
u 3
^3t” - ^q dt 6 d9uad a f' entao' (58) se reduz a:
ed " dt d|_ _ riq dt d (59)
Um procedimento semelhante, levado a efeito pela substitui­
ção de (56) na segunda e terceira equações de (54) , gera:
di|i
e = — t q dt r M . . ri d dt q (60)
dt.e = o - ridt (61)
As equações (59), (60) ^ (61) são chamadas equações de Park,
em honra de R. H. Park que desenvolveu seu uso.
Essas equações estão em forma bastante semelhante
a das equações de uma bobina estática, exceto pelos termos
rotacionais de "fem" - \p - e \ ^ - resultantes do mo-q dt rd dt
vimento do rotor, onde d0/dt = o) = velocidade angular do ro­
tor em radianos elétricos por segundo.
Estes termos rotacionais de nfem" são os termos
d^ddominantes das equações (59) e (60). Os termos d ^ d 
são,algumas vezes, referidos como termos de ação de transfor­
mador. Notemos que, sob condições de regime permanente com 
correntes senoidais equilibradas nas fases da armadura, os
fluxos iK e íp , bem como as tensões e,, e e as correntes i., „ d rq d' q dtb, d^u d'
i sao quantidades CC (ou seja, os termos — d t ” e — dt s^°
nulos). Hã muitas condições em que estes termos podem ser 
retirados das equações sem causar erros de nenhuma signifi- 
cância. Em outras situações, como as que encontraremos na 
determinação de conjugados de curto-circuito, transitório e 
deslocamento CC em correntes de curto-circuito, estes ter­
mos têm um importante papel e não podem ser desprezados.
Em muitos textos referentes a máquinas síncronas, 
o símbolo d/dt ê representado pelo operador "p". Nesta for­
ma, as equações de Park são:
ed = P^d - *qP0 - rid (621
e = pii;- + iKp6 - ri q rrq rdr q (63)
e = pijj - ri o o o (64)
CONJUGADO E POTÊNCIA
A potência instantânea medida nos terminais da má­
quina é dada por:
P = e i + e, i, + e i L a a b b c cj
Em termos de componentes d, q, o, a expressão pa­
ra potência ê:
P = 3/2 e ..i + e i + 2e id d q q o o (65)
Sob operação equilibrada normal, com eQ e iQ nulos:
P = 3/2 e.i. + e i d d q q (66)
Se não houvesse perdas na maquina, nem alteração na energia 
magnética armazenada, o conjugado seria igual a P/o), onde m 
é a velocidade do rotor.
Uma analise mais completa da expressão para potên­
cia pode ser obtida pela substituição de (59), (60) e (61) 
em (65), dando:
3/2 I V
d<i>d
dt
. d 0 . . *jç[
dt " rid)+1q (~ ^dt <» ■ A+*d dt ‘ rlq +2io "dt" -rlo>
(67)
Os termos de (67) podem ser reordenados como:
P = 3/2 (i + ii - V + 2id dt q dt o dt° ) + 3/2(i <K - ijit) d0qyd drq dt
2 2 2 - 3/2 r (i, + i + 2i )/ d q o (68)
Esta equação pode ser interpretada como:
Saída de potência = (taxa de redução da energia magnética da armadura) 
+ (transferência de potência através do entreferro)
- (perda por resistência da armadura)
O conjugado do entreferro pode ser obtido a partir do segun­
do termo de (68), dividindo-se a potência do entreferro pe­
la velocidade d0/dt do rotor.
T 3/2 i - q d (69)
A equação (69) poderia também ter sido deduzida da conside­
ração bãsica de forças atuantes em condutores, como sendo o 
produto de correntes vezes o fluxo.
RESUMO DAS EQUAÇÕES BASICAS
Recapitulemos rapidamente o desenvolvimento des­
tas equações básicas:
1. Os enlaces de fluxo foram deduzidos para cada enro- 
lamento físico do estator e rotor, usando correntes 
reais de fase, correntes reais do rotor, auto-indu- 
tâncias mútuas entre os enrolamentos, ou seja:
£aa1a+í'abÍb+ílac:Lc+í'afd:Lfd+£akdÍkd+2'akq;Lkq (08)
2. Os valores das indutâncias foram estabelecidos como 
função da geometria do circuito magnético e da po­
sição do rotor, ou seja:
1aa L + aao
^afd = Lafd
l . = ab L , + abo
3. Vimos que
aa2 
cos 0
Lab2
cos 2 0
cos (20 + tt/3)
(12)
(09)
(13)
cuitos do estator e do rotor, em termos das indu­
tâncias fundamentais de enrolamento e correntes bá­
sicas, envolvem termos de indutâncias não lineares 
variando senoidalmente com a posição do rotor.
As expressões básicas para tensão da forma:
_ dx/; 
dt n (19)
podem ser escritas para todo circuito. Entretanto, 
usando as equações dos enlaces de fluxo, expressas 
em termos de correntes e indutâncias de fase, as e- 
quações de tensão resultantes são não linearese com­
plicadas .
5. A transformação d, q, o foi introduzida pelo reco­
nhecimento de um agrupamento lógico de correntes, 
multiplicado por funções trigonomêtricas apropria­
das do ângulo do rotor relativo ao centro da fase 
"a". Com essas transformações de variáveis, a forma 
das equações torna-se um conjunto de equações algé­
bricas lineares para fluxos enlaçados e equações dife­
renciais lineares para tensões. A transformação d, 
q, o para toda variável Y, tal como corrente,tensão 
ou enlaces de fluxo, ê:
/ N
Yd 2 /3 oos0 2 /3 cos(0-2tt/3 ) 2 /3 cos (0+2tt/3 )
Y
q
-2 /3 sen8 -2 /3 sen (0-2tt/3 ) -2 /3 sen(0+2Tr/3)
Y
l o J
1/3 1 /3 1/3
e a transformaçao inversa ê:
Y 1a COS 0 - sen 0 1 Ya
Yb = cos (0—2tt/3) - sen(0-2n/3) 1 Yq
Yc
V. y
cos (0-4tt/3 - sen(0-4Tr/3) 1
J
Yo
onde Y seria ip, e , ou i.
6 . Em termos das variáveis transformadas i^, i^ e iQ , 
as equações de enlaces de fluxo do rotor tornam-se 
equações lineares com termos de indutância constan­
tes , ou seja,
*£d " Lffd ±fd + Lfkd - 3/2 Lafd 1d (38)
^kd Lfkd 1 fd + Lkkd '''kd - 3/2 Lakd ^d (39)
^kd Lkkq '''kq 3/2 Lakq iq (40)
7. De maneira semelhante, expressos em termos de variã-
veis d, q, o, as equações de enlaces de fluxo da ar­
madura tornam-se equações lineares com termos de in- 
dutâncias constantes, conforme segue:
Ld1d + Lafd 1fd + Lakd 1kd (49)
q
-L i
q q
+ Lakq kq + Lakq kq (50)
*o -L io o (51)
8. As equações de tensão básicas, quando expressas em 
termos de componentes d, q, o, transformam-se nas bem 
conhecidas equações de Park relacionando tensões a 
fluxos, taxas de variação de fluxos, velocidades ro- 
tacionais e correntes, ou seja,
d*d - ip
q
de
dt dt
dip
q + * de
dt + d dt
ri
eo
dipYo
dt rio
(59)
(60) 
(61)
9. As equações de tensão para as bobinas do rotor são:
e fd
0
dxpfd
dt -t- rfd xfd
d*kd
dt rkd kd
d*kq
dt rkq ikq
(21)
(2 2 )
0 (23)
CAPÍTULO
SISTEMA POR UNIDADE
A finalidade fundamental do desenvolvimento de um 
sistema por unidade para as maquinas slncronas ê permitir que 
a forma das equações que descrevem a maquina possam ser ex­
pressas em termos de um circuito elétrico equivalente.
O comportamento das variáveis da maquina é, assim, 
melhor entendido pela visão, que é trazida por um circuito 
equivalente, e as leis familiares que regem o comportamento 
dos mesmos.
Os passos, no desenvolvimento que segue, são:
1. Expressar as equações da maquina (em componentes d-q) 
em valores por unidade, dividindo as variáveis por 
quantidades base apropriadas.
2. A escolha dos kVA bases do rotor e do estator é es­
tabelecida pela conveniência de se ter indutâncias 
mutuas recíprocas entre o rotor e o estator nas e- 
quações de enlaces de fluxo.
3. A escolha das correntes base dos enrolamentos do ro­
tor é estabelecida pelo desejo de se ter a mesma in- 
dutância mutua em p.u. entre os circuitos da arma­
dura e do rotor, da mesma forma que é feita a esco­
lha das correntes base nos transformadores que con­
duzem a um circuito equivalente, sem a necessidade 
de relações de transformação ideais.
EQUAÇÕES GERAIS
No que foi exposto anteriormente, as unidades pa­
ra as diversas variáveis foram:
i = ampêres
= weber-espiras
FMM = ampêres-espiras
e = volts
R = ohms
L = henrys
e = radianos
t = segundos
Há muitas vantagens em se expressar equações em 
forma normalizada ou adimensional. Isto requer uma discussão 
d© sistema por unidade tratado neste Capítulo.
Visto que, com o sistema por unidade, os termos da 
equação tornam-se adimensionados através da divisão das va­
riáveis e dos parâmetros por seus valores "base", é fácil 
perder de vista as dimensões que precisam necessariamente 
permanecer implícitas. Por exemplo, quando a freqüência ba­
se é tomada como freqüência nominal, a indutância por uni­
dade torna-se igual ã reatânciapor unidade. Em alguns tex­
tos, os símbolos de reatância (X) são usados onde, na ver­
dade, deveriam ser usados símbolos de indutância (L).
Em todas as equações básicas anteriores, as cor­
rentes e tensões foram expressas como valores instantâneos. 
No caso das quantidades senoidais do estator, elas foram ex­
pressas em termos dos valores de pico de onda senoidal.Deve 
ser lembrado que, na escolha de quantidades base, uma vez 
que tensão, corrente e freqüência tenham sido escolhidas,as 
bases para variáveis restantes ou parâmetros de circuitos, 
tais como enlaces de fluxo, resistência, indutância, etc., 
são automaticamente estabelecidas pelas equações fundamen­
tais, como por exemplo:
^base
'base
03
^base
ebase
1base
base 'base
base base ^base 1base
Outro ponto a ser lembrado ê que, na dedução de 
quantidades por unidade, as variáveis devem ser divididas 
por suas bases apropriadas. Por exemplo, se o valor da ten­
são é um valor de pico, ;para que- seja expresso em valor por 
unidade, ele deve ser dividido pela "tensão de pico base".
Definiremos agora quantidades "base", como segue:
ESTATOR (70)
e , = valor pioo da tensão nominal de linha para neutro
s Dase (volts)
= valor de pioo de corrente de linha nominal (ampê-s base resj
u) , = velocidade síncrona = 27rfn = 377 rad/s paramãqui-
Dase nas de 60 Hz U
Js base
s base
s base 
1s base
^base
(ohms)
(henrys)
ase
s base Ls base "Ssase
es base
0) , base
(weber-espiras)
Na definição de uma potência base ou volt-ampêre 
base, seguindo as práticas em análise de transformadores e 
de circuitos trifãsicos de sistema de potência, os volt-am- 
pêres trifásicos base são definidas como:
onde
3(> VAbase - 3 Es base x 3s base
E , ê a tensão eficaz da linha para o neutros base
(71)
E = e , , /=• voltss base s base//2
e I ê a base de corrente eficaz na fase
*s base = is base//? am?êres 
Portanto, 3* V A ^ = 3/2 (es fcase) U s base>
6 VSbase = ^ 2 <es base» (is base»
Usando as definições acima, façamos a conversão das 
equações básicas de Park (60) e (61) em equações por unida­
de. Daqui em diante, todas as quantidades com uma barra se­
rão entendidas como estando em valores por unidade. Tomemos 
a equação (59):
ed
d*d
dt
de
dt ri (59)
Dividindo-a toda por e i , definida por (70]s o ase
dijr de n
's base dt (es base íes base^ dt ês base^
(76)
Usando as equações (70) , onde eg base = ^ s A a s e
Z , i , , e lembrando que a> = d0/dts base s base ^
torna-se:
e onde es
a equação
base
(76)
e , =
d dt (̂ ) ã s e base base 00 base - (̂ -- ) (— u )s base s base
ed (<w } dt ( ^d J “ “ ( r )( id >
(77)
Em (77), as unidades t são segundos. Também ê co­
mum expressar-se a equação por unidade (77), em termos de u- 
ma unidade de tempo não-dimensional, cuja basee definida por:
tbase 03 base
1_______
(rads./s) segundos
= tempo em que a onda elétrica de 60Hz percorre 
1 radiano.
Portanto, tempo por unidade é:
^ a s e
Substituindo
ü), t base
(78) em (77) :
(78)
ed = dt
( ) - ( i|> ) • u> - r (79)
Todas as variáveis em (79) são em valor por unidade, com 
bases conforme definidas anteriormente.
De modo semelhante, as outras equações podem ser 
expressas na forma por unidade como:
e
q
dijj _ _
— + 4* j • w
at d
eo
dij;yo
dt
r io
(80)
(81)
Notemos que a) 0)ü),base
pode também ser expressa como:
ü) d6dt
1
Cl),base
d9
dt
ROTOR
Os princípios básicos de transformação de equações 
â forma por unidade são os mesmos, tanto para as equações do 
rotor como para as equações do ciruito do estator. No caso 
das equações do estator, por causa da simetria, as quanti­
dades base para cada uma das 3 fases foram escolhidas iguais, 
e a idéia de ter uma base diferente para cada fase nunca sur­
giu.
No caso dos circuitos do rotor, estes são circui­
tos acoplados desiguais e, portanto, a escolha da base para 
cada circuito deve ser feita seguindo-se as mesmas regras de­
senvolvidas para quantidades base nos enrolamentos de um 
transformador. Lembremo-nos de que a base volt-ampêre de en-
rolamentos estáticos acoplados deve ser escolhida com o mes­
mo valor, para que o circuito equivalente por unidade tenha 
impedâncias mutuas que sejam recíprocas. Os enrolamentos de 
campo e os amortecedores no rotor são estáticos em relação 
um com o outro; e são acoplados, isto ê, todos os enrola­
mentos do rotor do eixo d (de campo e amortecedor) são aco­
plados uns com os outros. Da mesma forma, todos os circui­
tos amortecedores do eixo q são acoplados uns com os outros, 
embora não sejam acoplados aos circuitos do eixo d. Portan­
to, para assegurar reciprocidade entre circuitos do rotor, 
eles deveriam ter a mesma base volt-ampêre.
Outra importante consideração, na escolha de quan­
tidades base nos circuitos do rotor, diz respeito aos efei­
tos de acoplamento com os enrolamentos do estator.
Lembremo-nos das equações de enlaces de fluxo da 
armadura (49), (50) e (51), que reescreveremos abaixo in­
cluindo, para generalização, mais de um amortecedor em cada 
eixo
(50)
ib = -L i o o (51)
Expressando estas , em forma por unidade:
*s base Ls base 's base Ls base 1fd base *s base
Lakd k̂d1 **kd-, base
Ls base
----- *— ) (1— 1-----)kd-j base s base
Lakd
(i--------> ^ ------kdg base s baseL
e, de maneira semelhante, para as equações (50) e (51) 
Notemos que ainda não formulamos as relações
em (82). Definindo,tre i_, , , i, ,fd base kd
(82) : 1 base
kd 2 base
-afd
-afd
's base
 ̂ s base ̂
Vd base
‘akd.
"akd.
"s base M
 ̂ s base ^
kd-j base
"akd.
"akd. ('s base . 
"s base ' i , ’kd^ base
Podemos reescrever (82) como
' Ldi d + La fd i fd + Lakd1i kd1 + Lakd2i kd2 +
Através de desenvolvimentos análogos podemos colocar ( 
(51) em valores por unidade, na forma mostrada por (87)
' ■ V q + Lakq1’kq1 + Lakq2'kq2 * •••
*0 - - roTo
onde
_____ kakq^ 1kqi base
Lakql Ls base ̂ ’ s base ^
e
_____ kakq„ 7kq0 base
W = r ~ <r-7— )2 s base s base
en-
em
(83)
(84)
(85)
(86)
30) e
e (88)
(87)
(88)
(89)
Tomemos, agora, as equações de enlaces de fluxo do 
rotor (38), (39) e (40), novamente generalizadas para incluir 
a possibilidade de mais um circuito amortecedor.
%d Lffd1fd + Lf kd-j1 kd] + '-fkd^kdg +
* - 3/2 Lafd1d (38)
♦kd, Lfkd-j1fd + Lkkd]1kd1 + Lkd12\ d 2 - 3/2 Lakd]1 d (39)
♦kdj = Lfkd2’fd + Lkd211kd] + Lkkd21kd2 + ....
- 3/2 Lakd21d (39A)
\ ” Lkkq]1kq1 kq12 kq2 - 3/2 ^ k q ^ q (40)
OOar = X z 1kq-, kkq2 kq2
- 3/2 Lakq21q (40A)
onde Lr , L, , , L, . ... são as auto-indutancias do cam-ffd kkdl kkd2
po de eixo direto, circuito amortecedor 1 e circuito amor­
tecedor 2, respectivamente, e termos como ^^^2 denotam a 
indutância mútua entre os circuitos amortecedores 1 e 2.
ESCOLHA DE kVA BASE DO ROTOR
Na parte que se segue, vamos nos limitar à ilus­
tração dos métodos para desenvolvimento da forma por unida­
de das equações (38) e (39). Por analogia, todas as equações 
necessárias para as equações restantes serão óbvias.
Dividindo os termos de (38) e (39) pelas quanti­
dades base apropriadas:
•'fd -ffd 'fd
ip
Lfkd, 1kd, ^..base
. ----------- L_ (_------ !-------- ) — !____
fd base ufd base 'fd, kfd base \d, base fd basebase I
Lfkd„ 1kd kd.-----} ( J ^ a s e )
*"fd base \d£ base Vd base
3 afd , 'd w s base »9 I \ i ) V j )Lfd base s base Vd base (91)
onde j;,ase Lfd base'*'fd base
*kd Lj1 -fkd1 (t 'fd ( fd base ^k̂d-j base kkd.j base Vd base ̂kd-j base
Lkkd, "'kd,
1 (? 1 -) +
'kd12 1kd0 1kd0base2 -) (r- 1----)Lkd, base 'kd, base Lkd,base 'kd„base ’kd,base'1 '1 V
3 akdl (t - 9- ) (l s base9 1 ' í ' ' ikd̂ base s base kd-j base (92)
onde
Kkd 1 base Lkd, , 1kd1 ,1 base 1 base
A partir dos termos em (91), podemos definir 
indutâpcias por unidade, como segue:
as
■afd = L
 ̂fd base^ fda
fkd 
"fd base
Lfkd,
1 = L
 ̂fd base^ fkd.
’ kd1 base
-fkd.
fd base,fd base b------ )
'kd2 base
"ffd
-fd base -ffd
A equação (91) pode agora ser escrita, na forma por 
como:
f̂d Lffd nfd + Lfkd] 1kd] + Lfkd2 \d2 ' Lfda ’d
De modo semelhante, a equação (92) pode ser escritai 
ma por unidade, como:^kd] Lkd]f Vd + Lkkd] 1kd] + Lkd12 \ d z " Lkd1a ''d
onde
"akd.
â i
3 kdl base *s base
7kd, base 
(r- 1----- )
= Lkdi a
-fkd1
1kd-| base 
kdl base (ifd base ’
= Lkd-jf
"kkd1 = L,
(94)
(95)
(96)
unidade,
(97) 
na for-
(98)
(99) 
(100)
'kd
"kd-jbase
base
« r -1-------->kd^ base
'kd12 (102)
(97) e (98) L
Examinemos, primeiramente, os termos mútuos em
Para que estes sejam recípro-fdk, kd^f
cos, devemos igualar as equações (94) e (100), do que con­
cluímos :
Lfd base(’fd base ) , LM) base base ,
Vd base'kd1 base
ou
f̂d base ^fd basê *"kd-j base k̂d-j basê (103)
A equação (103) confirma simplesmente que, para se obter in- 
dutâncias mútuas recíprocas por unidade, entre quaisquer dos 
dois circuitos estáticos, os volt-ampères base, em ambos os 
circuitos, devem ser os mesmos. Isso é deduzido da equação 
(10 3) , multiplicando-se ambos os lados por ^ ase e usando a 
identidade:
ubase Lbase "''base ebase.
A seguir examinemos os termos mútuos entre os cir­
cuitos do rotor e da armadura e vice-versa nas equações (97) 
e (86) , ou nas equações (9 8) e (87) .
Para que os termos mútuos sejam recíprocos em (97)
e (86) :
Lafd ~ Lfda
ou seja, das definições de L&fd e Lfda em (83) e (93):
'afd 'afd
's base vi
 ̂ s base^
fd base 3 fd base vi
ç fd base^
s base
isto e;
2 2 2 
Ls base ^ s base^ ~ 3 Lfd base ^ f d base^ (104)
Pela multiplicação de ambos os lados da equação (104)
por ü), , e usando a identidade w, L, i. = e,r base base base base base,
temos:
2 ebase '"'s base efd base ^fd base (105)
De (74) observamos que (105) é equivalente a es­
tabelecer, para que as indutâncias mútuas em valor por uni­
dade entre os circuitos do rotor e da armadura sejam recí­
procas, que a base volt-ampêre, nos circuitos do rotor, de­
ve ser igual aos volt-ampêres eficazes trifásicos base es­
colhidos para o estator.
Uma dedução semelhante, usando as equações (98) e 
(87), irã fornecer a mesma conclusão em conexão com a exi­
gência de indutâncias mútuas recíprocas em p.u. entre qual­
quer outro circuito do rotor e armadura.
ESCOLHA DA CORRENTE BASE DO ROTOR
Tendo concluído que todos os circuitos do rotor 
deveriam ter sua base volt-cunpêre igual aos volt-ampêres tri- 
fãsicos base escolhidos para o estator, a prõxima decisão diz 
respeito â escolha de uma tensão ou corrente base paraoscir­
cuitos do rotor.
Nesta escolha somos levados pelo desejo de desen­
volver, tão simplesmente quanto possível, um circuito equi­
valente de maneira o mais semelhante possível ao que ê fei­
to no caso de transformadores onde, pela escolha apropriada 
das bases de tensão para os enrolamentos, os circuitos equi­
valentes podem ser deduzidos sem necessidade de interposi- 
ção de transformadores ideais.
Com referência a (49) e (50) , as auto-indutâncias 
da armadura e dos enrolamentos de eixos d e q podem ser 
subdivididas em um componente de dispersão correspondente aos 
enlaces de fluxo de dispersão que não enlaçam o rotor, e um
componente mutuo correspondente aos enlaces de fluxo que en­
laçam o rotor, ou seja:
Ld = £d + Lad (106)
L =
q J£q + Laq (107)
Devemos notar que as indutâncias de dispersão nos eixos d e 
q são em geral consideradas iguais e designadas . Esta a- 
proximação é, geralmente, justificada, especialmente no ca­
so de máquinas de rotor cilíndrico (ou de pólos lisos).
Agora, de modo semelhante aos desenvolvimentos de 
circuitos equivalentes nos transformadores, podemos evitar a 
interposição de transformadores ideais entre os enrolamentos 
no circuito equivalente, tomando as bases de maneira tal 
que todas as reatâncias mútuas por unidade, entre os enro­
lamentos, sejam iguais.
Com referência â (86), (87) e (89), vamos impor a 
condição de que:
Lad = Lafd = Lakd1 " Lakd2 (108)
'aq = Lakq-. = Lakq.<1 “*"«2 
De (108) e usando (83) 
L.
"ad
"ad
's base
= Lafd
akd.
= Lakd.
(84) e (85) :
Lafd
's base
s base
fd base-)
"akd1
's base
 ̂s base ̂
1kdj base
^akd0
s base ̂
kd2 base
(109)
Da equação (110) deduzimos as relações entre as bases de cor­
rente para os vários circuitos no eixo d.
ifd base (■dd ) i, base Lafd s
kd-jbase
/ - \ i
'i ' 's baseakd1
(tâí<L) i'* ' 'fd base"akd1
íkd„base ÍT^-) * Lakd_ s base
( afd \ i 
lLakd2 fd base
bakd^
' w ,1 X base (111)
De maneira semelhante, para o eixo q:
'kqi base " X X <s base
- (■~aqkq2 base - 'L > Ç base ‘ 'l~ ' 'kq, base
akcji
■ (l--- l) i, (112)
Completamos, agora, a dedução das constantes por unidade pa­
ra vim sistema de representação de máquinas síncronas,conhe­
cido como o sistema recíproco por unidade.
As diversas equações serão aqui repetidas para uma 
referência mais rápida.
RESUMO - EQUAÇÕES POR UNIDADE
Enlaces de fluxo do estator (113)
(Lü + Lad^ ''d + Lad nfd + Lad 1kd] + Lad \ d ? + ***
+ Laq^ nq + Laq \ q ^ + Laq \ q 2 
% = - roTo
Notemos que
e
L + Lad = L
LZ + Laq
Enlaces de fluxo do rotor (114)
^ d = " Lad ’d + Lffd Vd + Lfkd] 1kd] + Lfkd2 \ d 2
k̂d-j = " Lad ’d + '-fkd^fd + Lkkd] \ d } + Lkd12 \ d 2
’í>Kd2 = " Lad U + Lfkd21fd + Lkd]2 1kd] + Lkkd2 1kd2
k̂q̂ " “ Laq 1q + Lkkq1\q1+ Laq 1 kq£
^kq2 ” " Laq *q + Laq ikq1 + Lkkq2 \q2
Notemos que as diversas auto-indutâncias em valor por uni­
dade podem ser subdivididas em um componente de dispersão e
um componente mutuo com o estator que, pela escolha do sis­
tema por unidade, ê L , no eixo d e L no eixo q, ou seja: ̂ ad aq
Lffd Lad + Lfd
k̂kd-j *"ad + k̂d-j
*"kkd2 ^ad + ^ 2
Lkkq1 = Laq + Lkq]
Lkkq2 ~ Laq + ^kq2
Devemos notar que os componentes de dispersão en­
tre os circuitos do rotor seriam como segue:
Indutância de dispersão entre o amortecedor kd^ e
campo
Lkkd1 “ Lfkdi
Indutância de dispersão entre o amortecedor d^ e 
amortecedor d^
= Lkkd, - Lkd 12
Enquanto que, para serem perfeitamente generali­
zadas, as indutância mútuas por unidade entre os circuitos 
do rotor devem ser diferentes da indutância mútua por uni­
dade entre os circuitos do rotor e da armadura (L^) / faz-se
usualmente a aproximação’ = L
12 ad
Tensões do estator
ed =
eo =
L - *q » - rid
dt
ri— \b + Ü)i W - . .n
dt q d q
— ijT" - r i”
dt 0 °
(115)
Tensões do rotor
'fd
0
0
0
0
£ *fd + rfd !fd
(116)
dY k̂d-j+ rkkd] 1kd1 + rkd]2 \d2
— ipi-. ri.j ii.j + r,.,. i
dt kd2 + kd12 kdl kk2 kd2
TI Kn +r dt
+ r,kcj-j kkq^ kq*j ^ 1 2 ^^2
dt ^kcl2 + r,cq12 1|cql + r,ckq 1|<q2
Notemos que, nas equações do rotor acima, os termos r.
________ _ _ kd12'
r, são, então, resistências mútuas por unidade entre os kq12
circuitos amortecedores.
Potência e conjugado (117)
A equação (65) , expressa em valores por unidade na 
base de potência trifãsica (74), torna-se:
p = e .T. + e T + 2 e T d d q q 0 0
De modo semelhante, a equação do conjugado por u­
nidade é:
T = T \b , - T.úqyd d rq
Quantidades base por unidade (118)
Em todas as equações por unidade acima, as quan­
tidades base são as seguintes:
e s base valor de pico da tensão nominal da linha para 0 neu­tro no estator
is base valor de pi 00 da corrente nominal na linha
Es base - tensão eficaz nominal da linha para 0 neutro no es- 
takac = es base 7 75
Is base - corrente eficaz nominal na linha = i , / /Is base
30 ase = 4 (es base s base ) = 3(E
Js base
's base 
‘s base
Es base 
"s base
s base s base
(Lad>
fd base ~ (Lafd>
■ -LS base
,Laa» - iskd base ~ (Lakd1) base
(L )ag
kq base (L , ) akqx is base
30 VA base _ 3
fd base ~ xfd base 2 ad
/2 Js base
(̂ f d _ )
ad
fd base
'fd base 
'fd base
(30 VA) base 
, 2(Ifd base
'fd base
'fd base wbase
Z. , base = kd
(30 VA) base
c \2^ k d baseJ
kd base
Jkd base 0) base
'base a) , 377base
segundos para sistemas de 60 Hz
Notemos que, expressas neste sistema de unidades, 
as indutâncias por unidade têm o mesmo valor que as rea- 
tâncias por unidade X^.
CIRCUITOS EQUIVALENTES
Embora o comportamento de máquinas síncronas pos­
sa ser analisado diretamente de uma solução das equações de
conforme resumido nas equações (113) a (118), é mais útil 
visualizar o significado destas equações, exprimindo-as na 
forma de circuitosequivalentes. O velho adágio "uma gravu­
ra vale mais que mil palavras" poderia ser bem errpregado neste 
contexto, como "um circuito equivalente vale mais que uma dú­
zia de equações" (*).
para incluir um circuito amortecedor em çada eixo. A técni­
ca básica pode ser aplicada de modo semelhante,para incluir 
mais circuitos amortecedores quando necessário.
com as equações de tensão do rotor (116), estão representa­
das, convenientemente, em termos dos circuitos equivalentes 
dos eixos d e q da Figura. 10.
desempenho, relacionando fluxos, tensões e correntes
Neste desenvolvimento limitaremos a representação
O conjunto de equações (113) e (114), juntamentê
CIRCUITO EQUIVALENTE PARA 0 EIXO d
U
CIRCUITO EQUIVALENTE PARA 0 EIXO q
Fig. 10
(*) A partir desta seção, todas as variáveis e parâmetros 
da máquina serão usados na forma por unidade; a barra 
acima da variável, para designar valor em p.u. será omitida.
Notemos que os circuitos equivalentes acima modelam as e- 
quações dos enlaces de fluxo da armadura e as relações de 
correntes, tensão e enlaces de fluxo do rotor expressas em 
termos de componentes d e q. Estes circuitos não resolvem as 
equações de tensão da armadura (115) mas, simplesmente, es­
tabelecem a relação entre os enlaces de fluxo da armadura
ty, e tf; , correntes da armadura i , e i e outros enlaces de Td q d q
fluxo, correntes e tensões do rotor da máquina.
O termo no circuito equivalente da Fi­
gura 10 é, geralmente, pequeno e freqüentemente desprezado, 
o que equivale a fazer a estimativa de que = La<j* Nes~
te caso, o circuito equivalente do eixo d torna-se como o da 
Figura 11.
onde
e
LL
Lf ” Lffd " Lad 
Lkd = Lkkd ” Lad
(119)
(120)
O comportamento da máquina, sob uma variedade de 
situações transtõrias e de regime permanente, pode ser de­
duzido da solução das equações representadas por estes cir­
cuitos, juntamente com fis equações adicionais necessárias 
representando a armadura e o sistema conectado. Desenvolve­
remos, primeiramente, as equações que descrevem a operação 
da máquina em regime permanente.
CAPITULO 5
COMPORTAMENTO DAS MÁQUINAS SÍNCRONAS 
-O PER A Ç Ã O EM REGIME PERMANENTE
SATURAÇÃO DESPREZADA
O familiar diagrama vetorial de regime permanente 
da maquina, para operação em uma dada carga de regime per­
manente, será agora deduzido desprezando-se a saturação.
Faz-se referência ao circuito equivalente da Fi­
gura 11 e às equações de tensão por unidade do estator (115) .
Consideremos o caso de uma máquina que opera como 
um gerador fornecendo potência a uma barra infinita em seus 
terminais.
Sejam as tensões de fase da máquina em valores por
unidade:
e = e cos (w t)d
= e cos (u> t -
e = e cos (ca t + c °
Seja também a corrente de fase por unidade, 
está sendo suprida pelo gerador:
(121)
que
i = 1 COS (<1> t - 0)d
ib = 1 COS (u t - ^ - 0) (122)
ic = Í COS (ü) t + ^1 - 0)
Aplicando as transformações d, q, o de (32) em (121): 
ed = -| £eacos0 + e^cos (6- ̂ ) + eccos(0+ -4^-)J 
e
| jje^senS + e ^ s e n O —^ - ) + e c s e n (0 +-4^-)J (123)
^ e + e, + e o 3 I a b cj
onde 0 = wt - 0 é o ângulo entre o eixo d e o centro da o
fase "a". Visto estarmos examinando uma operação de regime 
permanente, a velocidade por unidade do rotor, w, ê a mesma 
da freqüência w das ondas de corrente e tensão.
Substituindo (121) em (123):
e, = e cos 0 d o
(124)
e = e sen 0 q o
De modo semelhante para as correntes (122):
id = i cos (0 - 0) 
iq = i sen (0Q - (?)
(125)
As equações (124) e (125) mostram que, para operação de re­
gime permanente equilibrada, ed , e^, id e i são quantidades 
constantes (CC). Com isto em mente, olhemos as equações de 
enlaces de fluxo e de tensão.
As equações de tensão do estator (115), sob con­
dições de regime permanente, tomam-se:
e = +1Í)A - ri eq vd q
Visto que, para condições equilibradas de regime 
permanente:
~ffF e ^q) = 0 e w = lí0
Observando as equações de tensão do rotor (116) e 
visualizando-as a partir do circuito equivalente da Figura 
11, para condições de regime permanente, podemos fazer to­
das as taxas de variação dos enlaces de fluxo iguais a zero, 
de onde:
efd ' ’fd rfd
1kd ' 0
*kq ' °
(127)
Também as equações de enlaces de fluxo, para estas condições, 
tomam-se:
*"ad Vd " *"d d̂
♦q ' -Lq 1q
♦fd * Lffd 'fd ' Lad ’d 
*kd * Lad <1fd - *d>
(128)
Das equações (127), ifd 
ção (128), fornece:
que, quando usada na equa-
(129)
(130)
Lembrando que as equações (129) e (130) represen­
tam enlaces de fluxo em eixos ortogonais, podemos desenhar 
estas equações como vetores, conforme é mostrado na Figura 
12. Embora todas as quantidades nas equações acima se jam es­
calares, elas podem ser expressas, simbolicamente, como ve­
tores onde todas as quantidades do eixo q estejam 90° adian­
te das quantidades do eixo d. Uma escolha de relações veto- 
riais seria ter o eixo d como eixo real e o eixo q como eixo 
imaginário. Devemos lembrar que estes eixos giram no espaço 
â velocidade elétrica do rotor e, neste sentido, estão con- 
ceitualmente relacionadas ao fasor que representa uma quan­
tidade CA, a qual gira em velocidade síncrona. A Figura 12 
define as tensões e correntes em forma vetorial.
11 m e °
A
€q = jeq
A A
‘ d * « d ed = «d
Fig. 12
Escrevendo-se o sinal " para denotar uma quantidade veto- 
rial, podemos estabelecer:
A
* d = 1 d
A
^ d
A
= * d e d = e d
A A
( 1 3 1 )
1q = j Í q * q B j * q 6 q = j e q
A partir das <equações ( 1 2 1 ) e ( 1 2 4 ) :
A
e
= e d + j 6 q =
e cos 9q + je sin 9Q ( 1 3 2 )
Notemos-que a equação ( 1 3 2 ) foi deduzida de uma definição de
e^ = e cos (ü)t) e 0 = (u)t-0 ) , (0 é o ângulo pelo qual oei- 
xo d está adiantado do centro da fase "a") . Em t = 0, o ei­
xo d está atrasado da fase "a" de 0q . Portanto, podemos ver
que exprimir "e " no plano dos eixos d-q equivale a alinhar a
o vetor "e " com e conforme dado pela equação (132) da qual a
se nota que ea está adiantado do eixo d de 0Q . Na dedução 
do diagrama vetorial, são necessárias relações geométricas 
para localizar os eixos d e q, dadas a tensão e a corrente 
do terminal da máquina. Isto será feito pelas seguintes re­
lações de vetor, também descritas no diagrama da Figura 13. 
Por definição, o eixô d é o eixo real e o eixo q ê o eixo 
imaginário.
Tomemos as equações (129) e (130) expressas na 
forma vetorial:
'fd (133)
4V = -J L q ’ q (134)
Substituindo as equações (133) e (134) em (126) e 
exprimindo-as em forma vetorial (embora w = 1,0, e o s L e X 
sejam iguais, as dimensões de X estão implícitas nas equa-
ções de tensão):
x q "*q • r i d (135)
en = j efd ' J ^ - J rifd d 'd
J efd ̂~ ̂Xf1 1h ” ̂ ^ “ j rlfd q 'd J Vrtd q; 'd [136)
Combinando (135) e (136):
A A
ed + eq ' ed + 3 eq
* 3 Vo <5^> - JXq (1d+Jfq> - 3 « W ''d
- r (id+Õiq)
Transpondo a equação (137) :
Xad
ed + j 6q + ^1 d+^1 q ̂ r+ ̂Xq} = j efd " j
J E q
O lado esquerdo da equação (138) forma um vetor ao longo do 
eixo q, como está evidente pelo fato de que todos os termos 
do lado direito são imaginários, portanto no eixo q. A ten­
são fictícia E é obtida somando-se ã tensão terminal ê, um 
aumento de tensão devido a corrente da armadura i através da 
impedância (r + j X^). 0 ângulo de fase de relativo a "e" 
localiza o ângulo do eixo q relativo ao ângulo da tensão ter­
minal na fase "a". Notemos que a tensão E é usada somente
qpara determinar o ângulo do eixo q, e não tem nenhum outro 
significado físico.
A tensão de campo, ou melhor, corrente de campo:
(137)
< v y U
(138)
efd «r4) - ifd fd ad
pode ser facilmente determinada da equação (138).
O procedimento para determinar as relações de re­
gime permanente, partindo das condições de tensão e de cor­
rente nos terminais (Figura 13) é:
1. Tomemos como referência a tensão nos terminais ê = e. 
Partindo do conhecimento da carga, determinemos a 
corrente i em amplitude e fase relativa a ê (i=|i |/8 ).
\
Fig. 13
2. Façamos a soma vetorial:
Êq = e + i (r+j Xq) = |Eq|/i
Notemos que ô ângulo 6 é conhecidocomo o ângulo de potência 
interno da máquina. Esta variável terá maior significado quando 
for discutido o assunto de estabilidade. A direção do eixo q 
é determinada pela direção Ê^.
3. Os componentes d e q de tensão e corrente podem ser,
~ A Aagora, determinados pela decomposição de e e 1 nos 
eixos d e q:
e^ = e sen 6
e = e COS 6
q
Ad = i sen (6 - 0)
i = i COS (6 - 0)
q
4. A FMM interna do campo e ^ — ---- ou é de-
f d _
terminada a partir de qualquer das seguintes equações que 
são equivalentes, conforme vemòs no diagrama vetorial da Fi­
gura 13.
i., X . = E + (X.-X ) i. fd ad q d q d
= e + ri + X, i . q q d d
(139)
Devemos notar, que a saturação não foi, acima,levada em con 
sideração. Também devemos compreender que a expressão
rfd
somente ê igual a i ^ Xa(j em regime permanente.
OPERAÇÃO EM CIRCUITO ABERTO
A operação em circuito aberto de regime permanen­
te é analisada, tendo-se i^ = 0 , e i^ = 0 nas equações aci­
ma. Quando isso é feito, observamos que:
e
q
Eq -fd ad = e (140)
e e, = 0. d
Em todas as deduções acima notamos que a quanti­
dade significativa no campo é Xa<j i ^ que, em valor por uni­
dade, tem uma magnitude comparável à magnitude da tensão. 
No caso da operação em circuito aberto de regime permanente,
Xad fd eq e .
Portanto, em vez de falarmos sobre a corrente de 
campo em ê costumeiro e conveniente falar sobre
Xad 1fd em p ’u *
Da dedução das quantidades por unidade,observamos 
que, para se obter um circuito equivalente com indutâncias 
mútuas recíprocas, a base volt-ampêre no campo tem que ser 
igual â base volt-ampêre trifãsica do estator. Visto que,na 
operação real, os volt-ampires de campo são da ordem de 0,5% 
dos volt-ampêres do estator, o valor de e ^ por unidade,pa­
ra condições típicas de operação, acabariam sendo um número 
da ordem de 0,005 p.u.
Por esta razão, outro conjunto de quantidades por 
unidade é geralmente usado na analise de operação de maqui­
na. Ainda preservando as relações do sistema por unidade com 
indutâncias mútuas recíprocas, definiremos uma variável a- 
dicional como:
e t = X . i_, I ad fd (141)
que é uma variável proporcional â corrente de campo i ^ , de 
modo que, quando i ^ = 1 / X ^ p.u., E^ .= 1/0 p.u. Novamen­
te, em circuito aberto, desprezando a saturação, quando E =1,0, 
ou (tensão por unidade) = 1,0.
O ponto a lembrar é que E^ ê proporcional â corrente ou FMM
de campo e não â tensão de campo.
A tensão de campo é somente proporcional â corrente de cam­
po, no regime permanente, ou seja:
e ,'fd
■fd no regime permanente (142)'fd
Quando a tensão de campo ê objetivada, a equação (141) pode 
ser expressa usando-se a equação (142), como:
(143)adfd fd 'fd
Temos, agora, uma nova variável proporcional ã tensão de campo E^.
Observemos que, em regime permanente:
E., = E-r = X , i-, = X , — fd I ad fd ad r ^
e todas estas quantidades são iguais a 1,0 p.u., quando ea
ou = 1,0. Notemos também que, quando = 1,0, é da
ordem de 0,005.
EFEITO DA SATURAÇÃO
As relações de circuito aberto, que acabaram de 
ser deduzidas, são mostradas na Figura 14.
c _ Xqd
E,d" Tfã e,<l
Fig. 14
Essa figura mostra a relação em linha reta "não sa­
turada" entre a tensão da armadura E em p.u. e a excitação 
de campo em p.u. E^ = X ^ i ^ , ou tensão de campo era p.u. (E^ por 
unidade recentemente definida) .
Os efeitos da saturação são indicados na Figura 14, 
mostrando que a excitação real é maior que a mostrada pela 
linha reta, também conhecida como a linha do entreferro■ A
quantidade de excitação "S", em excesso àquela mostrada pe­
la linha do entreferro, necessária devido à saturação,ê uma 
função do nível de fluxo nas partes saturãveis da maquina.
A curva de saturação do circuito aberto ê geral­
mente fornecida como parte dos dados em parâmetros de máqui­
na. Para prevermos os efeitos da saturação sob condições de 
carga, seria necessário uma grande quantidade de informação 
sobre a distribuição de fluxo nas várias partes do ferro. En­
tretanto, as aproximações são feitas e a curva de saturação 
em circuito aberto é geralmente usada nestas aproximações. 
As aproximações envolvem a determinação do nível de fluxo 
interno correto da máquina que, quando usado com as carac­
terísticas de saturação em circuito aberto, dá a quantidade 
certa do efèito da saturação sob condições de carga.
Certo numero de métodos que levam em conta a sa­
turação foram apresentados no passado. Alguns desses estão 
bem descritos nas referências 2 e 3 da Bibliografia (Capí­
tulo 5) .
Descreveremos aqui métodos que estão sendo usados 
atualmente em representações de máquinas síncronas em com­
putador. Para o caso de máquinas de rotor cilíndrico, o mé­
todo usado é semelhante ao descrito na referência 4.
SATURAÇÃO EM MÃQUINAS DE ROTOR CILÍNDRICO
E feita a hipótese de que a relutância da traje­
tória magnética é quase homogênea em volta da periferia do
rotor (L - = L ) e que o efeito da saturação pode, portan- ao. aq
to, ser representado por variações percentuais iguais, na
indutância do entreferro L , e L . Nesta técnica, as üni-ad aq
cas indutâncias que se saturam são estas indutâncias mútuas
estator-rotor L . e Lad aq
Uma consideração mais rigorosa da saturação deve­
ria reconhecer que algumas das indutâncias de dispersão de 
campo também se saturam. Enquanto estes refinamentos não a- 
fetam a solução de regime permanente, e que serão tratados 
na discussão de representações computacionais da máquina,
apresentaremos o método que pode ser caracterizado como téc­
nica do "fator de saturação".
Com referência ã Figura 14 e ao circuito equiva­
lente da Figura 11, a relação linear na linha do entreferro 
da curva de saturação do circuito aberto é entre Ea = i[>a^ 
e X ^ i ^ e / pela escolha do sistema por unidade, esta rela­
ção linear tem uma inclinação de 1,0. Em todo ponto onde a 
curva de saturação se desvia da linha do entreferro,confor­
me ê mostrado na Figura 15, a inclinação Xa{j i ^ / E a é maior 
que 1,0. Seja esta inclinação, chamada "k", o fator de sa­
turação. A Figura 15 mostra também este fator de saturação, 
traçado como função da tensão, do entreferro.
O procedimento consiste em determinar, a partir da 
tensãô do terminal e condições da corrente, a tensão do en­
treferro em p.u., ou fluxo ^a(j. A seguir, é determinado o 
fator saturação "k", correspondendo a esse nível de fluxo que 
que se lê na Figura 15. Os valores de Xa(j e X são ajusta­
dos para valores saturàdos, dividindo-se os mesmos pelo va­
lor "k".
Especifioamente, a ordem seria esta:
1. Encontre o fluxo do entreferro, partindo da tensão 
terminal e da carga.
A / \ A A A
' + = e + (1) (r + j Xü)^ad yaq
2. Determine k em f(j^_|)
3. Ajuste valores de e X , conforme segue;
X H - Xad = (Xd - X*>
ads ~ r — k—
aqe
ísa , <xq - V
4. Prossiga com o método normal de construção do dia­
grama vetorial, conforme descrito na Figura 13, u- 
sando as constantes ajustadas, como:
XH " X0
x„ - h
5. Obtenha E , o valor de excitação baseado no diagra- 
±sma vetorial com valores de reatância saturados.
6 . A corrente de campo real é, então, k Én
SATURAÇÃO EM MÃQUINAS DE POLOS'SALIENTES
Em maquinas de pólos salientes, por causa do en­
tre ferro muito maior no eixo q, o fluxo neste eixo raramen­
te experimentara saturação. Portanto, no caso de maquinas de 
pólos salientes, a saturação é úma função do fluxo no eixo 
d, em vez do fluxo total, como no caso das maquinas de rotor cilín­
drico. Visto que a saturação não ocorre no eixo q, serã e­
vidente, da construção do diagrama vetorial da Figura 13,que 
o ângulo de potência <5 da maquina não serã afetado pela sa­
turação, no caso da maquina de põlos salientes, enquanto notamos que 
a saturação, através de seus efeitos em e X^, no caso da maquina de 
rotor cilíndrico, afeta de fato o ângulo de potência ô. Estes efei­
tos serão discutidos mais tarde sob o assunto "estabilidade”.
0 procedimento para determinar a corrente de cam­
po sob condições de carga em regime permanente para maquinas 
de põlos salientes ê: