PESQ_Volume 5- Dinamica das Maquinas Eletricas II

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DINÂMICA DAS 
MÁQUINAS EIÉIRICAS-II
CURSO DE ENGENHARIA 
EM SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
- SÉRIE PTI -
RELAÇÃO DE VOLUMES E TRADUTORES
1 - Analise de Circuitos de Sistemas de Potência -
Arlindo R. Mayer
2 - Teoria das Linhas de Transmissão I - J.Wagner Kaehler
3 - Teoria das Linhas de Transmissão II - Felix A. Farret
4 - Dinâmica das Maquinas Elétricas I - Somchai Ansuj,
Arlindo R.Mayer
5 - Dinâmica das Maquinas Elétricas II - Elvio Rabenschlag
6 - Dinâmica e Controle da Geração - Almoraci S. Algarve,
João M, Soares
7 - Proteção de Sistemas Elétricos de Potência -
Fritz Stemmer
8 - Coordenação de Isolamento - J. Wagner Kaehler
9 - Operação Econômica e Planejamento - Paulo R. Wilson
10 - Métodos Probabilísticos para Projeto e
Planejamento de Sistemas Elétricos - M.Ivone Brenner
Coordenação Geral: Arlindo R, Mayer
CENTRAIS ELÉTRICAS BRASILEIRAS S.A. 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA
DINÂMICA DAS 
MÁQUINAS EIÉIRICAS-II
F. P. DE MELLO
Tradução: Elvio Rabenschlag
B--------1» H ira i ■ ■ lill — li |
E L E T R O B R Á S
Nucíeo do Documentação Tfcwtca - DOTE 
R D T - _ ............
D A T A . Í.X/...3.3
Prof. Adj. no Depto de 
Eng. Elétrica da UFSM
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E X E M P L A R D O D O T E I
CURSO DE ENGENHARIA EM 
SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA 
SÉRIE P. T. I.
SANTA MARIA ■ RS ■ 1979
Título do original:
Electrical Machine Dynamics II
Direitos para o Brasil reservados â Centrais Elétricas 
Brasileiras S.A. - ELETROBRÂS
Av. Presidente Vargas, 624 - 109 andar 
Rio de Janeiro - RJ
1979
F I C H A C A T A L O G R Â F I C A. --- - ---- - ■ - — -%---------
M527d
Mello, F.P. de
Dinâmica das máquinas elétricas II |por| F.P. de 
Mello. Trad. |de| Elvio Rabenschlag. Santa Maria, 
Universidade Federal de Santa Maria, 1979.
109p ilust. 23cm (Curso de Engenharia em 
Sistemas Elétricos de Potência - Série PTI, 5)
Título original: "Electrical Machine Dynamics II" 
I. Rabenschlag, Elvio, 1940 - (trad.) II. Título
CDD 621.313 3 
CDU 621.313 3
Obra publicada 
Com a colaboração
do Fundo de Desenvolvimento Tecnológico 
da CENTRAIS ELÉTRICAS BRASILEIRAS S.A — ELETROBRÁS
em Convênio com a
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA — UFSM
APRESENTAÇÃO
Há cerca de 10 anos vem a ELETROBRÂS patrocinan­
do a realização de Cursos na área de Sistemas Elétricos 
de Potência, visando o aperfeiçoamento de engenheiros 
eletricistas das Empresas do Setor de Energia Elétrica. 
Assim, cerca de 200 profissionais, nesse período, recebe­
ram formação a nível de Mestrado, tanto no exterior como 
no Brasil, em obediência a currículos estabelecidos pela 
ELETROBRÂS, tendo em vista as necessidades detectadas por 
seu pessoal especializado.
Como resultado da experiência de realização des­
ses e de outros Cursos, por vezes contando com a partici­
pação de professores estrangeiros especialmente contrata­
dos para reforçar as equipes docentes nacionais, vêm sen­
do publicados livros especializados em regime de co- 
edição com Universidades, e â conta de Recursos do Fundo 
de Desenvolvimento Tecnológico da ELETROBRÂS.
Ê constante a preocupação desta Empresa em 
apoiar as Instituições de Ensino Superior, razão pela qual, 
entre outras ações, têm sido sistematicamente oferecidas 
vagas a docentes universitários, sempre que grupos de en­
genheiros são enviados ao exterior para freqüência a cur­
sos especiais ainda não oferecidos regularmente no Brasil. 
Isso tem propiciado mais rápida resposta das Universidades 
no atèndimento de necessidades especiais no Setor de Ener­
gia Elétrica, inclusive pela imediata implantação de tais 
cursos no País, a mais baixo custo e possibilitando am­
pliar a faixa de atendimento de profissionais das Empre­
sas .
Em uma dessas ações, a ELETROBRÂS contratou com 
o Power Technologies, Inc. - P.T.I., de Schenectady -USA, 
a ministração de um curso especial em Sistemas Elétricos, 
e constante dos tópicos que se seguem:
1 - Análise de Sistemas Elétricos de Potência
2 - Teoria das Linhas de Transmissão
3 - Releamento - Características e Princípios
Fundamentais de Operação dos 
Relês
4 - Coordenação de Isolamento
5 - Operação Econômica e Planejamento
6 - Dinâmica e Controle da Geração
•7 - Dinâmica das Máquinas Elétricas
8 - Métodos Probabilísticos para Projeto e
Planejamento de Sistemas Elétricos
9 - Economia das Empresas de Energia Elétrica
Esses tópicos, na forma como foram inicialmente 
ministrados pela equipe do P.T.I., e posteriormente re­
produzidos por outros docentes brasileiros em diversas 
oportunidades, constituem, a nosso ver, uma fonte de in­
formações capaz de proporcionar uma formação equilibrada 
de profissionais de alto nível que se destinam às Empresas 
de Energia Elétrica e que delas precisem ter inicialmente 
boa visão técnica de conjunto. Posteriormente tais profis­
sionais poderão aprofundar seus estudos em tópicos especí­
ficos, conforme necessário às suas áreas de atuação.
Foi, pois, com esta intenção que a ELETROBRAS de­
cidiu adquirir ao P.T.I. os direitos de reprodução do Cur­
so, e contratou com a Universidade Federal de Santa Maria 
a tradução e edição do mesmo, visando sua distribuição às 
Empresas do Setor de Energia Elétrica e demais Institui­
ções de Ensino Superior que ministram cursos na área de 
Engenharia Elétrica. Estamos certos de que a divulgação 
desse material, agora em língua portuguesa,atingirá apre­
ciável número de profissionais e estudantes universitários 
proporcionando-lhes um nível de aperfeiçoamento mínimo ho­
je desejável naquelas Empresas, e ao mesmo tempo consti­
tuindo-se em obra de referência para docentes especiali­
zados.
Arnaldo Rodrigues Barbalho 
Presidente da ELETROBRÂS
PREFÁCIO
Raros são os livros publicados em português so­
bre Sistemas Elétricos de Potência. Isso fez com que os 
professores do Departamento de Engenharia e professores que 
atuam no Curso de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica,da 
Universidade Federal de Santa Maria, aceitassem o desafio 
de realizar a estafante, porém, atraente tarefa de tradu­
ção, revisão e acompanhamento na impressão do Curso orga­
nizado por Power Technologies, Inc. - PTI, e cujos direi­
tos de reprodução foram adquiridos pela ELETROBRÂS.
Foi muito valiosa, para a realização desta ta­
refa, a união e o espírito de equipe de um conjunto de 
professores que, além de suas atividades docentes, admi­
nistrativas e de pesquisa, passaram a dedicar-se a mais 
essa importante tarefa.
Ê nosso dever deixarmos assinalados os nossos a- 
gradecimentos a todos os que contribuiram para a elabora­
ção dessa obra. Destacamos a ajuda prestada pelo Diretor do 
Centro de Tecnologia, Prof. Gilberto Aquino Benetti, pelo 
Diretor da Imprensa Universitária, Prof. José Antonio Ma­
chado, pelo Chefe do Departamento de Engenharia Elétrica, 
Prof. Wilson Antônio Barin, pelo Coordenador do convênio UFSM/ 
ELETROBRÂS, Prof. Arlindo Rodrigues Mayer, como também pelos 
Professores Waldemar Correia Fuentes, Nilton Fabbrine Nor- 
berto V. Oliveira.
Pela Companhia Estadual de Energia Elétrica -CEEE - 
tiveram participação destacada, nesta realização, o Eng9 
Paulo Roberto Wilson, Coordenador do Convênio CEEE/UFSM , 
e os Engenheiros José Wagner Kaheler e Fritz Stemmer, to­
dos eles Professores visitantes do CPGEE da UFSM.
Nossos agradecimentos ã Professora Celina Fleiq 
Mayer e ã Jornalista Veronice Lovato Rossato, pelos seus 
vários serviços de revisão. E ã Professora June Magda Scham- 
berg pelo seu auxílio na organização das fichas catalogrã- 
ficas dos vários volumes.
Nossos agradecimentos, também, ao datilõgrafo U- 
byrajara Tajes e ao desenhista Delcio Bolzan.
Aos Professores Ademir Carnevalli Guimarães e 
Hélio Mokarzel, da Escola Federal de Engenharia de Itaju- 
bã, agradecemos a gentileza de nos terem enviado a tradu­
ção parcial de alguns dos volumes, os quais serviram como 
valiosas referências em nosso trabalho.
Finalmente, ê nosso dever deixar registrado 
nossos agradecimentos ã Centrais ElétricasBrasileiras 
S.A. - ELETROBRÂS, por seu apoio e confiança em nós depo­
sitados.
Derbday Galvao 
Reitor
SUMÁRIO
PROGRAMA DE ESTUDO................................ 1
Capítulo 1 - INTRODUÇÃO........ 3
Capítulo 2 - CONCEITO DE ESTABILIDADE - MÁQUINAS
IDEALIZADAS.......................... 5
- Fenômeno de estabilidade................... 5
- Relação potência-ângulo.................... 8
- Potência de saída........................... 12
- Estabilidade em regime permanente......... 14
- Diagrama do círculo de Clarke............. 17
- Estabilidade transitória................... 20
- Critério de igualdade das áreas........... 21
- Sistemas de duas máquinas.................. 25
Capítulo 3 - ANALISE DE ESTABILIDADE MULTI-
MAQUINA.............................. 32
Capítulo 4 - EFEITOS DAS MÁQUINAS SlNCRONAS..... 41
- Relações potência-ângulo................... 41
- Curvas de capacidade da estabilidade...... 55
- Efeitos da saturação - Estabilidade em
regime permanente......................... 61
- Estabilidade dinâmica...................... 74
- Efeitos da máquina de indução............. 86
- Auto-excitação.................... *95
BIBLIOGRAFIA....................................... 109
PROGRAMA DE ESTUDO
Sessão Tópicos '*= Estudo recomendado
I Conceitos de Estabilidade
Máquinas Idealizadas
Relações Potência-Ãngulo
Potência de Saída
Estabilidade em Regime Perma­
nente.
Diagrama do Círculo "de 
Clarke.
Introduction to Problems 
of System Stability, E.W. 
Kimbark, Ref.3, pag.5-10.
Dinâmica das Máquinas E- 
lêtricas II, pag. 3-31.
II Maquinas Idealizadas
Estabilidade Transitória
Caso de Duas Maquinas
Critério de Igualdade de 
Ãreas.
Análise de Estabilidade 
Multimãquina.
Cálculos Passo a Passo
Seqüencia Negativa da 
Potência de Frenagem
Dinâmica das Máquinas E- 
lêtricas II, pag.32-40.
Westinghouse T § D Book,
Cap. 13, pag. 433-443.
Transient Stability So- 
lution Techniques, G.W. 
Stagg, Ref.3, pag.47-52.
Apêndice D, Ref. 7
Ref. 8, pag.145-148
Ref. 8, pag.148-156
III Efeitos das Maquinas 
Elétricas
Relações Potência-Ãngulo 
Regimes Subtransitorio, 
Transitório e Permanente
Curvas de Capacidade de 
Estabilidade: Efeitos da 
Saturação
Estabilidade Dinâmica
Dinâmica das Máquinas E- 
lêtricas II, pag. 41-74.
Ref. 4
Apêndice E , Ref. 7
IV Estabilidade Dinâmica
Efeitos da Excitação
Efeitos das Máquinas dè 
Indução
Dinâmica das Maquinas E- 
lêtricas II, pag. 74-95.
V Auto-Excitação
Simuladores de Sistemas 
Elétricos de Potência
Dinâmica das Máquinas E- 
lêtricas II, pag.95-108.
"The Synchronous Machine", 
C .C . Young, Ref. 3, pag. 
11-24.
CAPÍTULO I 
IN T R O D U Ç Ã O
O sucesso da operação de um sistema de potência 
CA depende da habilidade de várias máquinas síncronas man­
terem o sincronismo em condições transitórias que podem ser 
criadas por possíveis distúrbios. O estudo do comportamento 
transitório das máquinas síncronas envolve tanto o fenôme­
no elétrico, que relaciona fluxos e correntes, como o fenô­
meno mecânico, que descreve as variações da velocidade do 
eixo e do ângulo do rotor, como função do desequilíbrio en­
tre potências elétrica e mecânica.
O comportamento transitório das máquinas síncro­
nas tem sido caracterizado pelos utilíssimos conceitos de 
"estabilidade em regime permanente" e "estabilidade dinâmi­
ca" . Muito tem sido escrito sobre esses assuntos em livros 
textos e publicações técnicas,"papers", e a intenção, aqui, 
não ê substituir esta riqueza de material de referência,mas 
apresentar alguns conceitos fundamentais em forma tutorial 
conveniente.
’ Visto que o assunto inteiro da estabilidade da o- 
peração síncrona pode ser descrito por um detalhado conjun­
to de equações dinâmicas, uma diferenciação muito útil tem 
sido desenvolvida pela classificação de certos fenômenos bá­
sicos em formas que permitem suposições simplificadas par­
ticulares.
Vamos explorar o assunto e a maior parte dos con­
ceitos de estabilidade de sistemas de potência, consideran­
do primeiro o caso de máquinas ideais representadas por fon­
tes atrás de reatâncias equivalentes; estas fontes têm os 
ângulos de fase correspondentes â posição do eixo do rotor 
do gerador.
Os efeitos adicionais, devido ao fato de que a má­
quina síncrona comporta-se diferentemente da fonte ideal a- 
trãs de uma reatância constante, serão consideradas separada­
mente, seguindo uma exposição de conceitos de estabilidade 
básica em sua forma mais simples.
CAPITULO
CONCEITO DE ESTABILIDADE — MÁQUINAS IDEALIZADAS
f e n Om e n o de e s t a b i l i d a d e
O mecanismo pelo qual as máquinas síncronas se man­
têm em sincronismo, ou permanecem "em compasso" com uma ou­
tra, ê feito através de forças restauradoras, tal que,a ca­
da instante, uma dada unidade tende a acelerar ou desacele­
rar com respeito a outras unidades ligadas à mesma rede.
A velocidade constante no eixo ê mantida quando e- 
xiste equilíbrio entre o conjugado mecânico e o conjugado e- 
létrico. Qualquer desequilíbrio entre esses dois conjugados 
produz aceleração ou desaceleração do rotor da máquina, se­
guindo as leis de rotação de um corpo.
As derivações da equação do movimento e as cons­
tantes de inércia M e H foram desenvolvidas no volume sobre 
Dinâmica e Controle da Geração. Para uma rápida referência, 
elas são resumidas aqui por:
P{ «=> - i r j tTm - TJ dt ' 1 >
onde pô(t) ê igual ao desvio da freqüência normal, em por 
unidade.
Tm = conjugado inicial, em p.u.
Te = conjugado elétrico, em p.u.
M = 2H
H = constante de inércia,em segundos
H = 0>231 x wR^ x (r.p.m.)^ x 10 ^ ( 2 )
kVA base
t = tempo em segundos
No livro sobre Dinâmica e Controle da Geração foi 
mostrado que (1) pode ser expresso, com pequeno erro, por:
p« «=> - ir [Pm - P 1 dt L m eJ ( 3 )
onde Pm e são, respectivamente, as potências mecânica e 
elétrica em p.u.
A Figura 1 mostra um diagrama de bloco, que des­
creve a equação do momento (também chamada equação de osci­
lação) na forma incrementai, aplicado a uma máquina simples.
Fig. 1
A potência de aceleração (P^ = APM - APE ) se trans­
forma por integração na variação de uma velocidade (pô) que 
por sua vez é integrada na variação de um ângulo. (Aô). A va­
riação na potência elétrica (APE ) é vista como consistindo 
de dois componentes, um que é função da velocidade e o outro 
que ê função de um ângulo. Na forma^ linearizada, estas fun­
ções podem ser representadas por constantes. D = 3PE/3pô é 
chamado de coeficiente de amortecimento. T = 3PE/3ô é chamado
de coeficiente de potência de sincronização.
A estabilidade deste sistema pode ser analisada por 
álgebra padrão de diagrama de bloco, a fim de se obter as 
raízes da equação característica.
s 377.T M ( 4 )
Aprendemos anteriormente que um sistema com laço 
fechado ê estável quando as raízes da equação característi­
ca não possuem parte real.
A aplicação desse critério em (4) requer que D >. 0
E>2
e T — Tx377M Para a estabilidade. Este resultado correspon­
de bem à ressonância física, uma vez que valores negativos de 
D e T constituiríam um laço de realimentação positiva,o que, 
obviamente, conduziría â instabilidade.
Como apresentado aqui, na forma mais fundamental, 
devemos concluir que existe um único "tipo de análise de es­
tabilidade (ou instabilidade). Veremos, entretanto, que as 
equações linearizadas não são adequadas, e que critérios mais 
rigorosos são necessários. A fim de se tornar mais ameno o 
entendimento de nossa análise, vamos pensar, conceituaimente, 
em termos de três tipos de estabilidade.
1) Estabilidade em Regime Permanente que pode ser in­
vestigada por meio de variações graduais nas condi­
ções do sistema. Estas variações são suficientemente 
lentas, de maneira que podemos considerar o siste­
ma em regime permanente. A estabilidade em regime 
permanente ê uma função do sistema e não depende da 
magnitude do distúrbio que, por definição, ê infi­
nitamente pequeno. Ela é basicamente relacionada com 
a existência ou não de conjugados de sincronização 
do regime permanente.
2) EstabilidadeTransitória que, tal como o nome indi­
ca, ê baseada no estudo de transitórios, ou distúr­
bios. Embora possamos esperar variações da veloci­
dade durante tais alterações, verificaremos que o 
fenômeno predominante ê fundamentalmente uma função
da característica potência-ângulo e da gravidade do 
distúrbio.
3) Estabilidade Dinâmica que é baseada nas proprieda­
des dinâmicas linearizadas do sistema, as quais po­
dem ser descritas pelas raízes da equação caracte­
rística do sistema inteiro, incluindo controles. No 
estudo da estabilidade dinâmica veremos que o com­
portamento transitório dos fluxos da máquina podem 
ter alta importância. Como no caso de estabilidade 
de regime permanente, a estabilidade dinâmica não é 
função do distúrbio.
RELAÇÃO POTfiNCIA-ÃNGULO
Consideramos o sistema da Figura 2 mostrando duas 
fontes síncronas ligadas por uma impedância Z.
Fig. 2
O diagrama vetorial das correntes e tensões é mos­
trado na Figura 3.
P1
z
EjZ«i
Fig.. 3
Em notação vetorial:
I = Er E2 ( 5
Também a expressão para a potência ê:
EI* j
Logo:
P = Re
P-, = Re
= Re
E ^ * = Re
- Re
Ei V - Ei V
Ei V
( 6 )
E1 E1E2— i— sen a + — i— ,— sen (ô, - 6» Z Z 1 2 - a ) ( 7 )
”1 Ronde: Z = R + jX = | Z | / 90-ot = | Z | (sen a + jcos a), a = tg (-rr-)
Similarmente: 2
EÍ sen a EiEo
P2 = ---- [Zl---- + — [ Z ] ~ Sen (ô2 ' 61 " a) ( 8 )
onde a direção do fluxo da potência ê, por convenção, sele­
cionada como sendo a de saída da fonte.
As equações (7) e (8) são as expressões familia­
res de potência-ângulo que relacionam a potência, que flui 
entre duas fontes síncronas de tensão, como função do ângu­
lo de fase entre elas.
A Figura 4 traça P^ e P^ para o caso = E^.
* Significa conjugado
Fig. 4
Notemos a forma senoidal da função potência-ângulo. No­
temos também que (P^ - P2) representa perdas e que, para o 
caso de uma reatância pura, Z = jx, o caso sem perdas, a ex­
pressão da potência-ângulo ê uma onda senoidal.
E E
P = — sen (ôx - ô2) ( 9 )
como mostra a Figura 5.
Fig. 5
O ângulo das fontes de tensão E^ e pode ser re­
lacionado ao ângulo do eixo do rotor da máquina. Estes ro­
tores produzem FMM e ondas de fluxo,cuja rotação, com res­
peito ao estator, gera tensão CA.
Ê evidente, a partir do diagrama vetorial da Fi­
gura 3 e das expressões (7) e (8), que a transferência de 
potência através de impedâncias envolve uma variação no ân­
gulo entre as tensões através da impedância.
versas fontes, como na Figura 6, as expressões de potência- 
ângulo são:
Fig. 6
No caso geral de uma rede de impedâncias entre di-
sen + E1E3sen (̂S12-a12^+ ----- sen(<$13-a13)
P.2 (10)
P3
onae:
Z ^ = impedância de entrada = Z ^ / ^ ® -an
Z ^ = impedância de transferência = Z ^ / ^ ® ~ a ± 2
Z^3 = Impedância de transferência = Z^3 y/90-a^3
É interessante notar que, para o caso de séries pur-
ras de resistência e reatância indutiva entre duas fontes, 
Z1X = Z^2 = Z22' e ° an<?ul° ai2 a positivo tal que o pico da 
curva potência-ângulo ocorre num ângulo, entre as fontes 
(6 ̂ - ô2) de (90+a^2), como ê mostrado na Figura 4.
No caso de haver impedâncias em paralelo, como na 
Figura 7, Z ^ ^ Z^2 e ' Para redes com resistênciase reatân- 
cias indutivas, a^2 © negativo,
P1 -P„
Fig. 7
tal que o pico da curva potêncià-ângulo ocorre em (ô^ - ô2), 
abaixo de 90ò , como ê mostrado na Figura 8.
POTÊNCIA DE SAÍDA
Consideremos o sist^pia com uma única maquina sín- 
crona conectada a uma barra infinita por uma linha de trans-
missão, como ê mostrado na Figura 9.
;E2/0°
Notemos que a máquina, aqui, ê representada por 
uma fonte de tensão constante atrás de uma re:atância equi­
valente. Sem elaboração e desconsiderando a saliência, di­
remos que o estudo do diagrama vetorial de regime permanen­
te da Figura 9, visto em Dinâmica das Máquinas Elétricas I,
mostra que a reatância é a reatância síncrona X = X, = X ^ eq d q
e que a tensão E^ ê proporcional à tensão devida à corrente 
de campo (X ^I^) •
A aplicação de (7) nos permite derivar a relação 
potência-ângulo.
E1 E1E2PjL = -jYj- sen a + -y^j- sen ^ - a) (11)
onde:
Z = r + j(X+Xeg) = |Z| / 9 0 - a 
a = tg_1 (r/(X+Xeq))
|z| = (r2 + (X + Xeq)2)T
O coeficiente da potência de sincronização para a 
máquina é a inclinação da curva potência-ângulo, ou:
T 9P1 V 2T ’ * z c°s <S1 - “ >
a qual ê não-negativa sempre que -90 + a < ô ^ < . 9 0 + a
A potência mãxima que pode ser estavelmente trans­
ferida ocorre, conseqüentemente, quando ô = 90 + a. Esta po­
tência ê chamada "potência máxima de sincronismo com corrente de campo 
cónstante". Sua magnitude ê dada por (13):
E1 EiE2
PMAX | Z | Sen 01 + [z] (13)
ESTABILIDADE EM REGIME PERMANENTE
Embora o conceito de potência de salda seja um 
conceito essencial, o caso de maquinas síncronas com corren­
te de campo constante não ê, usualmente, encontrado na pra­
tica. Os geradores mais modernos são equipados com regula­
dores automáticos de tensão que ajustam a corrente de campo 
a fim de manter constante a tensão terminal (e^). Seria mais 
útil, pois,desenvolver o equivalente da potência mãxima de sincronismo 
para o caso de e^ constante do que para E ^ constante. Este 
limite ê referido como "potência limite para o regime per­
manente" .
O diagrama vetorial para o sistema da Figura 9 po­
de ser desenhado como na Figura 10, usando a corrente como 
referência.
Se começamos sem carga, com fator de potência u- 
nitãrio, então I = 0 e E^ = e^. Ã medida que aumentamos a 
carga, são necessários valores cada vez mais altos de E^ pa­
ra manter et constante. Podemos, então, dizer que a excita­
ção em regime permanente ê uma fiihção da potência em regime
permanente, = E^(P). Para cada valor de E^(P), podemos de­
finir uma potência máxima de sincrcnismo com corrente de campo constan­
te, como uma função da- potência em regime permanente e es­
crita como em (14).
■ W (p>
(E. (P))2 sen a + E.(P)E2
[r2 + (X + Xeq)2] 1/2
(14)
onde:
sen a = --- -------------- - -7 ■—
[r2 + (X + Xeg)2]1/2
Obviamente, a definição para limite de potência em regime per­
manente ê quando:
W p) ' (15)
Exemplo:
Esse conceito pode ser mais., facilmente visualiza­
do através de um exemplo. Usando o sistema das Figuras 9 e 
10 e dando os seguintes dados em por unidade:
r = 0
X 1,0
X 1,5eq
E2 = H O
et = 1,0
Por meio de análise trigonométrica do diagrama ve- 
torial (não apresentado aqui) , podemõs obter os seguintes da-
relacionados com 
P
E^ e P: 
E ^ P }
0,00 1,00,25 1,110,50 1,420,75 1,881,0 2,92
Para o valor de P = 0,25, calculamos: 
ô12 = sen-1 (0,25 x ^ x+ ) = 34,2°
e, também:
p = 1,0 x 1,11
MAX (1 + 1,5) 0,445
Podemos repetir este procedimento para cada valor 
de potência e compilá-los na seguinte Tabela:
Ponto P E ^ P } 612 „ . E1{PÍE2MAX X + X_ eq
1 0 1,00 0 0,400
2 0,25 1,11 34,17 0,445
3 0,50 1,42 61,98 0,566
4 0,75 1,88 85,32 0,752
5 1,00 2,92 120,96 1,166
A Figura abaixo mostra os resultados graficamente.
Fig. 11
Embora o conceito de estabilidade em regime per­
manente tenha sido discutido em termos de uma ou duas má­
quinas, os princípios envolvidos são gerais. O critério ge­
ral de estabilidade em regime permanente para um sistema mul- 
timáquina é que dP^/dô^, conhecido como coeficiente da po­
tência de sincronização em regime permanente, seja positivo 
para cada máquina. 0 problema aparece no cálculo de dP^/dô^ 
para grandes sistemas, porque seu cálculo é influenciado por 
todos os efeitos de interação das máquinas, conjunto de con­
troles, reguladores de tensão, etc.. O Capítulo 3, da refe­
rência 1 apresenta uma discussão muito boa sobre este assun­
to.
DIAGRAMA DO CÍRCULO DE CLARKE
Uma das dificuldades da análise da estabilidade de 
um sistema em regime permanente ê a complexidade das relações 
trigonométricas do diagrama vetorial. Um método gráfico para 
determinar os limites de estabilidade em regime permanente, 
para um sistema de duas máquinas, foi desenvolvido por Edith 
Clarke e apresentado no Capítulo 6 da referência 1.
Consideremos o sistema de duas máquinas da Figura12.
Fig. 12
A informação necessária para o cálculo do limite 
de potência em regime permanente consiste dos valores de im- 
pedância e tensões terminais efĉ e e ^ •
Construímos o diagrama tomando a corrente como re­
ferência e construindo o diagrama vetorial das quedas de 
tensão através do sistema, como mostrado na Figura 13.A es­
cala ê arbitrária. O problema, então,se resume em obter a 
origem "O" do diagrama vetorial (Figura 13e) a fim de deter-
minar a magnitude e as relações angulares.
6 90° + a; a tg (x + x +
eql eq2
Sem provar, afirmamos que o lugar geométrico das 
possíveis origens "O" que satisfazem a equação (16) ê um cír­
culo cuja circunferência contêm e e cujo centro es­
ta sobre uma linha reta que passa pelos pontos E£ e e ^ - A 
locação grafica do centro deste círculo ê mostrada na Figu­
ra 13b. A porção do círculo que interessa ê a do maior arco, 
como o mostrado por uma linha solida da Figura 13c.
A outra informação dada ê a magnitude de e ^ e e ^ * 
Entretanto, como ainda não estabelecemos a escala para o dia­
grama, não podemos usar estas magnitudes diretamente. Toda­
via, a razão e ^ / e ^ ® independente da escala e. pode ser u- 
sada. A Figura 13d mostra a construção grafica do lugar geo­
métrico das possíveis origens "O" que satisfazem a relação 
dada e ^ / e ^ * A interseção deste lugar geométrico com o 
círculo previamente desenhado satisfaz ambos os critérios e 
deve ser, portanto, o ponto ,fO n.
A Figura 13e mostra o diagrama vetorial final com 
todos os arcos auxiliares, linhas, etc. removidos. Agora po­
demos determinar a escala, por comparação com o comprimento 
do vetor et^, que ê conhecido. O limite de potência em re­
gime permanente, para este diagrama vetorial, ê dado por (13).
S evidente que o diagrama de Clarke pode ser mui­
to útil na visualização de variações nas impedâncias e de 
níveis de tensão do sistema estável em regime permanente.
A equação (17) ê uma relação conveniente para es­
timar os limites de estabilidade em regime permanente. Ela 
pode ser obtida a partir do diagrama de Clarke pela suposi­
ção de que e ^ = e ^ = 1/0 e que r = 0.
'MAX
J (Xeqi + f)(Xeq2 + f)
(l> 2 + «eql + I > <Xeq2 + !>
LUGAR GEOMÉTRICO DA RAZÃO
Fig. 13
A equação (17) também pode ser usada para calcular 
os limites de estabilidade para linhas de transmissão com 
impedincias em derivação, mediante a aplicação do Teorema de 
Thévenin, como ê mostrado na Figura 14.
eql
E1— nnp.
t1
TI
Z
n m m n n -
z eq2
n m m — E2
ftl z et2
i — ^npO"1 1 .4
z ’eql
Fig. 14
onde:
Jeql 1 -
'eql
Z . Y. eql 1
z ' = ___ !ê 22____
e,52 1 - Zeq2Y2
Para que este método seja válido, Z e Y devem 
ser sem perdas, tal que a potência interna seja igual â po­
tência terminal.
ESTABILIDADE TRANSITÕRIA
Até este ponto estudamos aqueles aspectos da es­
tabilidade que podem ser analisados pelas relações do regi­
me permanente. Estas relações são baseadas em pequenas per­
turbações em torno de vim dado ponto de operação e em equa­
ções de oscilação linearizadas em torno daquele ponto. Na 
discussão da estabilidade em regime permanente, limitamos 
nossa atenção testando, para coeficientes positivos da po­
tência de sincronização, todas as mãqufhas do sistema. No 
estudo da estabilidade transitória tratamos aqueles casos 
onde a magnitude dos distúrbios são tais que a não-lineari- 
dade assume um papel importante.
CRITÉRIO DE IGUALDADE DAS ÁREAS
Muito se tem aprendido sobre estabilidade .tran­
sitória, a partir do estudo da equação do momento básico
(*) .
p6(t) = -i- (PM - PE )dt ( 3 )
Sabemos, por definição, que no regime permanente 
(se existe um regime permanente), pô(t) = 0 pára uma máqui­
na, se ela permanece em sincronismo com o sistema, operando 
em freqüência nominal. Então:
0 1 fM (PM (t) - P£ (t))dt + pô (0) (18)
Partindo de um regime permanente inicial, pô(0)=0. 
Conseqüentemente, (18) se torna:
0
00
PA (t)dt (19)
Uma interpretação física de (18) pode ser feita 
se entendermos as unidades da integral como potência vezes 
tempo, ou energia. Se a carga elétrica é maior do que (me­
nor do que) a entrada mecânica, a diferença pode ser supri­
da pela energia cinética liberada (armazenada) pela desa­
celeração (aceleração). Se partimos da velocidade síncrona 
e voltamos à mesma velocidade, seguindo um distúrbio, a e- 
nergia líquida armazenada ou liberada pela inércia do rotor 
é zero.
A Figura 15 mostra o gráfico de PA e pô contra o 
tempo. A interpretação gráfica de (19) é que a área de ace­
leração líquida (PA > 0) deve ser igual à área de desace­
leração (PA < 0), a fim de que pô retorne a zero.
(*) NOTA - A potência em por unidade ê usada no lugar de 
conjugado, baseado no fato de que a velocidade 
permanece muito próxima da unidade.
Sem perda de generalidade/ gostaríamos de expor 
novamente a equação (19) em termos de ângulo (ô)/ em vez de 
desvio de velocidade (pô)/ jã que esta forma pode ser mais 
útil. A equação que relaciona o ângulo com PA é:
a S(t)._ = _ 377 {
dt2 M PA (t)
(20)
dôMultiplicando ambos os lados por 2
ou
_d6_ , d i _ _dô_ . 377 .
^ dt dt2 dt 1 M
* , dô ,2 _ 2 x 377 „
d (~dt-) ------ M---- PA dÔ
Integrando
, dô x 2 
1 dt 'ô.
2 x 377 
M / p a a5 +
61 1
( 21 )
Supondo um regime permanente inicial à velocidade slncrona,
o para 6 = 0 , : o 1 , dô .2 _ 2
(~ d ^ )ô1 " “o
Logo, para a condição subseqüente ̂ e dô/dt = ü)q para Ô = Ô2» 
(21) torna-se:
620 = P* dô (22)
Exemplo:
Vamos aplicar (22) ao sistema da Figura 16, que 
mostra uma máquina simples ligada a uma barra infinita.
Fig. 16
A equação potência-ângulo para este sistema é:
E E
PE = X Sen ^12^ = PMAX Sen ^12^
que ê mostrado graficamente na Figura 17. Vamos supor a po­
tência mecânica (PM ) constante. O ponto de operação, no re­
gime permanente inicial, é estabelecido como sendo o ângulo 
para o qual PE = PM «
EM REGIME PERMANENTE
Fig. 17
Suponhamos, agora, que um circuito de transmissão 
sofreu uma falha, tal que a reatância liquida X foi aumen­
tada de XB para X ^ . Com uma reatância mais alta, teremos que 
operar com um ô maior para poder transmitir a mesma potên­
cia em regime permanente, tal que:
E1E2 e iE2
PM S6n ÓB 5 Ç ~ sen ôA
como é mostrado na Figura 18.
(24)
Fig. 18
No momento em que ocorre a falha, movemo-nos do 
ponto (1) para o ponto (2) na Figura 18, uma vez que o ân­
gulo não pode variar instantaneamente.
A potência de saída mais baixa cria uma potência 
de aceleração PA na direção do aumento de velocidade e do 
aumento de 6. Quando atingimos o ponto em que 6 = ( ponto
(3)), as potências mecânica e elétrica se equilibram e a a- 
celeração i zero. Entretanto, a velocidade neste ponto é 
ainda maior que a normal, e o ângulo continua crescendo a- 
lém de ô = 6^. Nesta região, porém, a potência mecânica ê me­
nor que a potência elétrica (PA < 0) e a mâquinar, então,co­
meça a desacelerar. Em algum ponto (ponto (4», a máquina terã 
retomado sua velocidade normal e o ângulo terã atingido o 
máximo (6 = ^MAX). àMAX é o ângulo que satisfaz a equação(25).
’ÔMAX E.E0
(PM ---- ± - £ - * S e n S ) d ôx M X_
J ô B
0 (25)
Graficamente, ® ° an9ul° que causa a área de 
desaceleração (Ârea B, Figura 18) para igualar a área de a- 
celeração (Ârea A, Figura 18).
Notemos que não há restrição a que seja me­
nor que o ângulo para estabilidade em regime permanente (:90o 
para este exemplo).
Agora que atingimos o ponto (4) , no qual o desvio 
de velocidade é trazido novamente a zero, a velocidade di­
minuirá se uma potência de desaceleração líquida existir no 
ponto (4), e o ângulo diminuirá, conseqüentemente.
Num sistema sem perdas, o ângulo oscilará para fren­
te e para trãs entre e Na situação real, devido 
âs perdas e amortecimento, estas oscilações irão diminuindo 
com o tempo.
SISTEMA DE DUAS MÁQUINAS
Para ilustração deste conceito, vamos agora con­
siderar a condição de falta no sistema de duas máquinas fi­
nitas da Figura 19.
LINHA DE TRANSMISSÃO
Fig. 19
Agora que temos mais de uma máquina, temos também 
mais de uma equação de oscilaçãoa considerar. Logo, não po­
demos usar a equação (22). Entretanto, podemos derivar uma 
fórmula mais geral para o critério de igualdade das áreas, 
como segue: 0
« «1 - 377 r
dt2 M 1 A1
d2ô.
dt A2
d2 6
dt
12 _ 377
M, Al
377
M_ ' A2
dô
Multiplicando por 2 — ^12
dô1? dz619 , dô._ „ P_, P_, dô
2 dt 1 dt2 ; dt * dt ' ' K M1 M2 ; dt
Integrando:
^^12 2( - ^ ) = 2 x 3 7 7 (-^=---- ^ “ ) dô + (M, M, dt ô.
dô12E quando ( d ô ^ / d t ) ^ = 0 =
f s.
0 = Al ' A2M, M, ■) dô =
Al
H.
A2
H, •) dÔ (26)
A equação (26) é equivalente à (22) para um sis­
tema de duas maquinas. Podemos fazer interpretações gráfi­
cas de (26) semelhantes àquelas da Figura 17. A chave para 
uma tal interpretação advêm das equações potência-ângulo nos 
terminais dè transmissão e recepção combinados.
Para o sistema da Figura 19, vamos desprezar a re­
sistência, de tal modo que:
1 _ 1
H, H,
E1E2
X12
sen ô12); ^ H,
1 . E 1E2 
H2 X12 sen ^21^
p
H
2
2 12 H
1
2
(-sen <$12^
12 (27)
A Figura 20 mostra a interpretação gráfica de (27).
Nesta forma, o critério de igualdade de ângulo (26) pode ser 
aplicado diretamente.
parece nas equações (26) e (27), mas não aparece,de maneira 
alguma, nas equações (22) e (23). Acontece que o caso de uma 
máquina simples contra uma barra infinita ê tom dos casos es­
peciais de (26) e (27), no qual o termo da inércia desapa­
rece. Primeiro, notemos que as inércias na equação (27) se 
combinam como resistências em paralelo. Sé é pequeno com­
parado com H2, podemos desprezar
Se permitimos aproximar-se do infinito, então a 
equação (26) se reduz à equação (22). O outro caso é quando 
todas as resistências são desprezadas, tal que -Pe2 = p e 1 e
Fig. 20
É interessante notar que a inércia das máquinas a­
0 dô lf-) dôH2
Al dô
0 Al dô
que é a própria equação (22).
Voltando ao nosso exemplo da Figura 19, vamos des­
prezar todas as resistências. Vamos supor, também, uma rea- 
tância de transferência inicial (X_.) , uma reatância de trans-
D
ferência de falta (X^) e uma reatância após a falta (XA )ob­
tida pela abertura dos disjuntores em A e A'. Devemos es­
perar que X^ < Xg < XA>
A Figura 21 ilustra este exemplo. Como antes, pe­
lo aparecimento de uma reatância mais alta, uma potência de 
aceleração instantânea é causada (troca do ponto (1) para o 
ponto (2)- Figura 21) na direção do aumento de ô ^ (na máqui­
na 1 a velocidade aumenta, e na máquina 2 a velocidade di­
minui) . Em algum ponto no tempo, a falta serã eliminada(no 
tempo t coresponde â característica de operação de pós-falta) 
(troca do ponto (3) para o ponto (4) - Figura 21).
Tal como àntes, uma vez que o ângulo passou do pon­
to de operação em regime permanente (ponto(6) - Figura 21), 
PA serã negativa causando uma desaceleração. A aplicação do 
critério de igualdade de ãreas estabelece . o máximo ângulo 
S v (ponto (5) - Figura 21) onde a ãrea B ê igualã ãrea A.
Consideremos agora o mesmo caso, mas com os dis­
juntores operando mais lentamente, como é mostrado na Figu­
ra 22. Por comparação com a Figura 21, vemos que um aumento
no tempo de falta, (t ), causa um aumento no ângulo de eli-
cminaçao da falta, (ôc), movendo a linha 3 - 4 - 5 para a di­
reita, aumentando, então, a ãrea A e diminuindo a ãrea B. Se
o ângulo avança até o ponto (6) da Figura 22, e a área B ê 
ainda menor que a área Ã, estaremos em dificuldade ,pois maio­
res angules serão acompanhados mais por aceleração do que por 
desaceleração, e a maquina perderá o sincronismo tão logo o 
ângulo continue aumentando. Em tais casos, diremos que as má­
quinas estão em instabilidade transitória na primeira osci­
lação.
POTÊNCIA
PRE - FALTA
POS - FALTA
P = - P M1 M2
DURANTE A FALTA
° ° 4b «a E l im in a ç ã o 90
DA FALTA
Fig. 21
ESTÁVEL
12
P612
INSTÁVEL
Dado um exemplo como acima, podemos definir o ca­
so limite onde o sistema é ainda estável. Da Figura 22, ve­
mos que este caso é aquele em que a área 1 - 2 - 3 - 4 - 1 , 
é exatamente igual à área 4 - 5 - 6 - 4. 0 tempo de desliga­
mento para este caso é chamado de "tempo crítico de desli­
gamento" . Ele é válido para as tensões e potências supos­
tas, como para os valores de reatância admitidos. Por outro 
lado, podemos definir uma máxima potência, transferida pa­
ra a primeira oscilação em estabilidade transitória, apli­
cável para a tensão suposta, e reatância e tempo de elimi­
nação da falta admitidos.
É de se observar que, a partir do diagrama potên­
cia- ângulo, usando o critério de igualdade de área, pode-se 
determinar o ângulo crítico de eliminação da falta. Para 
determinar o tempo crítico de eliminação, as relações entre 
tempo e ângulo devem ser usadas envolvendo potência de ace­
leração e inércia equivalente.
CAPÍTULO
ANÁLISE DE ESTABILIDADE MULTIMÁQUINA
O desenvolvimento anterior dos conceitos básicos 
de estabilidade tem sido limitado a casos muito simples,en­
volvendo somente uma ou duas máquinas.
Embora os princípios fundamentais sejam perfeita­
mente gerais, sua aplicação a sistemas de três ou mais má­
quinas, por meios algébricos ou meios gráficos, envolve so­
luções das equações gerais (10). Geralmente, fórmulas res­
tritas de solução dessas equações são extremamente cansati­
vas e consideradas impraticáveis.
Antes do advento dos analisadores de redes CA e 
dos computadores, muito esforço foi dedicado ao desenvolvi­
mento de fórmulas restritivas de solução aproximada para du­
as ou três máquinas, f reqüentemente usando alguma espécie de 
equivalência concentrada para o restante do sistema. Méto­
dos mais modernos calculam curvas de oscilação por meio de 
procedimento de integração numérica.
Partindo de vim regime permanente inicial, a osci­
lação transitória começa com a aplicação do distúrbio sob 
estudo (falta, desligamento da linha, etc.). Com as tensões 
internas da máquina mantidas em ângulos correspondentes aos 
ângulos iniciais do rotor, a potência elétrica e,conseqüen- 
temente, a potência de aceleração são obtidas para cada máqui­
na, a partir do fluxo de potência da rede.
Determinadas essas potências de aceleração, as va­
riáveis de velocidade e ângulos são calculados em um peque­
no intervalo de tempo At, usando as equações de oscilação(a 
integração da aceleração conduz à velocidade, e a integração 
da velocidade coniduz ao ângulo) .
A solução do fluxo ê, então, repetida para novos 
intervalos de tempo t + At, tendo-se os rotores de todas as 
máquinas (tensões internas) com seus novos ângulos calcula­
dos, e o processo se repete.
O uso dos análisadores de rede era feito para con­
duzir soluções rápidas do fluxo de potência, e a integração 
numérica para as variações de ângulo era executada manual­
mente. Hoje, todo o processo de integração das equações de 
oscilação, bem como a solução do fluxo de potência, é feito 
por métodos numéricos em computadores digitais de grande por­
te .
A representação do sistema de equações envolvidas 
ê mostrada na Figura 23 para apenas uma máquina.
A Figura 23 mostra as variáveis básicas das ten­
sões internas e ângulos da máquina. Se fizermos a suposição 
simplificada de que a tensão interna da máquina ê constante 
e a potência da máquina primária também é constante, então o 
conjunto de equações se reduz a uma equação diferencial de 
segunda ordem para cada máquina (equação de oscilação), e o 
serviço de computação que resta ê a solução do fluxo de po­
tência, que ê a solução de equações algébricas.
Logicamente, uma vez que a computação ê feita di- 
gitalmente, ê natural estender o programa a fim de eliminar 
muitas das simplificações inerentes ao uso das linhas sõli-
das somente, no diagrama da Figura 23. Estas equações adi­
cionais são equações diferenciais que descrevem as variações 
dos fluxos e tensões internas nas máquinas, em resposta ãs 
tensões de excitação e corrente nas máquinas. Da mesma for­
ma, as equações diferenciais descrevem o comportamento das 
tensões de excitação e potência da máquina primária, onde o 
sistema de comando pode ser representado.
Fig. 23
A solução de equações diferenciaispor técnicas nu­
méricas foi descrita no Apêndice D de "Dinâmica e Controle 
de Geração", usando um único algoritmo de integração. Exis­
tem muitos métodos de integração numérica, abrangendo desde o 
simples método de Euler até métodos mais refinados como Run- 
ge-Kutta.
Em todos os casos, a acuracidade é aumentada pela 
diminuição do intervalo de tempo. Deve haver um compromisso 
entre a acuracidade necessária e a quantidade de cálculo. Os 
procedimentos envolvidos nos cálculos passo a passo sobre a 
curva de oscilação serão ilustrados com um exemplo simples, 
usando o método de Euler de integração numérica. Neste exem­
plo, a máquina será representada por uma fonte de tensão a- 
trás de uma reatância equivalente, supostamente igual à re- 
atância transitória, X^. O materiai subseqüente neste livro
dirá respeito a refinamentos das representações das máqui­
nas .
Exemplo:
Um alternador mostrado na Figura 24 está gerando 
potência de 1 p.u. com fator de potência unitário e tensão 
também unitária. Calcular a velocidade da máquina e as va­
riações do ângulo causadas por uma falta trifãsica no lado 
de alta tensão do transformador elevador, com duração de 0,04 
segundos e eliminada pelo desligamento da linha de trans­
missão.
X’ = 0 ,40 Xe = 0 ,50
X t= 0,15 H = 4
Fig. 24
1. Cálculo das condições iniciais
O primeiro passo é calcular uma base para o fluxo 
de potência em regime permanente. A Figura 25 mostra o dia­
grama vetorial, do qual obtemos a tensão interna da máquina, 
a tensão da barra infinita e o ângulo entre os dois.
Ei = 1 + IjXi
Ê ■ - 1 - íj <xt + - f >
onde
I = (P " jQ) = í1 " j°)
= 1,0 + jO,4 = 1,078 / 21,80 
= 1,0 - jO,4 = 1,078 /-21,8o 
Logo, antes da falta, as condições iniciais são:
Ô1 - 21,8°
62 - -21,8°
“ (o) = 1,0 p.u.
PM(o)= PE(o) = 1 '° P -U
2. Calculo do fluxo de potência no instante t = 0+
A ocorrência de uma falta trifãsica no lado de al­
ta do transformador causa um novo fluxo de potência. Acon­
tece que, para este simples caso, desprezando a resistência, 
a potência de saída transferida da máquina 1 para a barra in­
finita é zero. Logo, a potência de aceleração que atua na 
máquina 1 ê ^M (0+) “ p e ( o + ) = Desde que definimos a
máquina 2 como infinita, não estamos interessados na solução 
das condições de oscilação na máquina 2.
3. Integração numérica passo a passo das equações de oscilação
No gerador 1, a velocidade e o ângulo da fase, no 
instante = t + At, são obtidos a partir das equações inte­
grais :
Aw(t + At) = (»)(t + At) - tü = o o o
180f
H
t + At o
(PM - P£)dt (28)
e
6 (t + At)
t + At
° (io - oj ) dt + 6 . .t o (o)
o
(29)
usando a aproximação de uma derivada como: dü)dt
Ao)
At At -> 0
e usando uma formulação de diferença central:
Au>
t^ + At/2 
tx - At/2
180f
H At x PA (t1)
onde Aw ê a variação no intervalo de tempo de t^ - At/2 a 
t^ + At/2, e PA é o valor da potência de aceleração no ins­
tante t^.
Analogamente, a variação do ângulo t^ até t^ + At 
é obtida pela integração da velocidade média no intervalo de 
tempo, que pode ser aproximada para a velocidade no instan­
te t = t^ + At/2.
No instante do desligamento, a potência de acele­
ração, como mostrada na Figura 26, pode sofrer uma repenti­
na descontinuidade. Portanto, conservando o objetivo de uti­
lizar a média no intervalo, a potência de aceleração duran­
te o intervalo de tempo, colocada centralmente com respeito 
à descontinuidade, ê a média dos valores antes e depois da 
descontinuidade.
x
3t
Fig. 26
O procedimento passo a passo, usado na época do 
analisador de redes, ê ilustrado com a tabela da Figura 27 
aplicada ao exemplo acima:
K = PP^ (At)^ = 1,08 para At = 0,02
Tenpo Potência
PE
Potência de 
aceleração
P _pM E ^ A
f V Aô =Aô ,+KP n n-1 A 6 =6 ,+Aô n n-1 n
0 0 l x ~ r 0,54 • 21,8°
0,54
al 0 1 1,08 22,34°
1,62
2At- 0 -L 23,96°
Elimi­
nação
da
falta
Media 0,604
2At+ 0,7915 0,2085 0,652 2,273At 0,822 0,1915 0,207 26,23°2,484At 28,71°
Fig. 27
Neste exemplo, a falta foi eliminada em t = 0,04 
segundo e, novamente, a descontinuidade é considerada como 
a média da potência de aceleração antes e depois da operação 
de desligamento. Observemos que, em t = 0,04+ , a eliminação 
da falta deixou o sistema sõ com uma linha de transmissão. 
A potência de saída da máquina, em t = 0,04+ , ê obtida do 
fluxo de potência para as condições do novo sistema e para 
a condição do ângulo do rotor da máquina em é^2= (23,96+21,8), 
isto é:
EjE2 sen(S12) 
E = (X'+Xt+Xe)
1,078 x 1,078 sen(45,76) 
1,05 0,7915p.u
A Figura 28 mostra o gráfico de potência e ângulo 
como funções do tempo, para este exemplo.
Fig. 28
No caso geral de multimáquinas, a curva de osci­
lação é traçada para cada máquina. Uma inspeção das curvas 
revelará se o sistema ê estável ou instável, desde que se 
observe o comportamento da diferença angular entre as máqui­
nas. Se a diferença angular começa a decrescer, mostrando a 
tendência das máquinas de se aproximarem uma da outra^sis­
tema ê estável (Figura 29a). Se a diferença angular aumenta 
indefinidamente, o sistema ê instável (Figura 29b).
Como derivado na seção sobre entreferro das má­
quinas e potência no eixo para faltas desequilibradas (pá­
ginas 164-165), de "Dinâmica das Máquinas Elétricas I", o 
efeito das faltas desequilibradas nas cargas das máquinas pode 
ser obtido pela aplicação das. ligações das redes de seqüência 
zero e negativa, correspondendo ao caso de falta através dá 
rede de seqüência positiva. Ou seja, entre o ponto de falta 
e a barra de potência zero, a impedância de falta ZQ + Z2 ê 
aplicada para o caso de falta linha-terra, e a impedância de 
falta Z ^ Z ^ / { Z ^ + Z ^ ) aplicada para o caso de uma falta de duas 
linhas para terra. Além disso, para a potência elétrica su­
prida por cada fonte de seqüência positiva, existem compo­
nentes de seqüência negativa de perdas no rotor e que são su­
pridas pela energia mecânica do eixo. Estes componentes de 
potência de frenagem devem ser considerados no cálculo da 
potência de aceleração de cada fonte.
Fig. 29
Portanto, onde os efeitos da seqüência negativa são 
importantes, os componentes da potência de frenagem devem ser 
calculados como segue:
1. Determinar,para cada fonte,as correntes Ij de se­
qüência negativa.
2 ^2. Determinar I~ (r, ~ r) <*e cada gerador, onde r. é á
resistência ae seqüência negativa e r ê a resis-r 
tência do estator para o referido gerador.
3. Incluir estes termos como potência de frenagem adi­
cional em cada máquina na solução das equações de 
oscilação.
CAPITULO
EFEITOS DAS MÁQUINAS SÍNCRONAS
RELAÇÕES DE POTfiNCIA-ANGULO
No tratamento anterior, os conceitos básicos de 
estabilidade foram introduzidos com a suposição de que uma 
máquina poderia ser apresentada por uma fonte ideal, atrásde 
uma reatância equivalente, e o ângulo de fase da fonte sen­
do dado como a posição angular do rotor da máquina com re­
ferência ao vetor girante slcrono.
Em "Dinâmica das Máquinas Elétricas I" vimos que 
o comportamento da máquina elétrica síncrona ê influenciada 
pelas Variações dos fluxos do rotor com respeito ao tempo, 
o que faz a máquina exibir diferentes valores de reatância 
efetiva como função do tempo. As variações destes fluxos são 
uma função do tempo das correntes da armadura e da excitação 
de campo, como descrito na Figura 30, onde as indutâncias 
operacionais da máquina são:
Ld <s)
-Aií>d (s) 
Aid (s)
Lq(s) -
e -A^q(s)
4V S)
Fig. 30
Lembremo-nos que, desprezando os termos de ação 
transformadora, as equações dos componentes d e q da tensão 
nominal são:
ed rid
eq - V - riq
Também,
^ = G(s) Efd - id (s) Ld (s)
*q “ - iq (s) Lq (s)
Portanto: e , = ig (s) Lg(s)ü) - rid
- y s> Xq (s) - r±d
e = ü)G(s )q Efd - id (8) Ld (s)ü) - rid
= ujG(s ) Efd ' id (s) xd (s) - rid
(30)
(31)
(32)
Na obtenção do comportamento da máquina sob ação
de curto-circuito ou outras variações bruscas de carga, vi­
mos que era impossível descrever as condições finais em ter­
mos de uma tensão interna inicial em cadaeixo e uma rea- 
tância em cada eixo. A tensão interna era estabelecida a par­
tir das condições iniciais tiradas do diagrama vetorial da 
máquina.
Conceitualmente, podíamos visualizar a máquina co­
mo uma fonte em cada eixo, através de alguma reatância equi­
valente. Logicamente, tanto esta fonte como areatância são 
funções variantes no tempo. Onde a máquina é representada por 
equações diferenciais, como na Figura 30, estas variações 
são obtidas automaticamente como parte da solução.
O método de representação da máquina como uma ten­
são fixa atrás de uma reatância fixa, e o uso de diferentes 
valores desta tensão e a reatância como uma aproximação do 
comportamento da máquina para efeitos de curta, médiae lon­
ga duração, ê um expediente útil para reduzir as relações a 
equações algébricas.
A Figura 31 ê uma revisão do diagrama vetorial em re­
gime permanente estabelecendo os enlaces de fluxo ou tensões 
atrás das reatâncias subtransitõrias, transitóriase síncro­
nas .
Fig. 31
Do diagrama vetorial:
E * - E cos6= i . (X + X *) + i r q a e a q e
E sen 6 - E * = i , r + i (X + X *) a a e q e q
(33)
onde E^* e E^* são tensões nos eixos d e q geradas pelos en­
laces de fluxo nos eixos d e q, derivadas das reatâncias cor­
respondentes X^* e Xg* que podem ser subtransitõrias, tran­
sitórias ou síncronas, dependendo do caso em questão.
Resolvendo as correntes a partir de (33):
(E * - E cos 6) (X + X *) - r (E sen 6 - E *) . _ q e d e d
1d 2
r “ + (X * + X ) (X * + X ) e q e d e
q =
(E sen 6 - E *) (X + X.*) + r (E * - E cos 6) ___________ d e d_____ e q___________
r2 + (X * + X ) (X* + X ) e q e d e
(34)
A potência de saída da máquina ê:
P_ = e . i, + e i E d d q q (35)
“ < V + S Xq*> *3 + (Ec* _ d d r) i
= E *i. + E *_ d d q qi_ ~ ^ (XÍ - Od q a q (36)
Substituindo i. e i d q
mais simples, supondo r & = 0:
J -l XJ
p = -a-,----E X,* + X X * +q
e, para tornar as expressões
(X * - X *) d q
2(X * + XJ (X * + X ) d e q e
sen26 (37)
Notemos que os primeiros dois termos de (37) são 
componentes da potência que variam senoidalmente com o ân­
gulo, enquanto o terceiro termos ê uma componente saliente 
da potência que varia com um ângulo de segunda harmônica.
Notemos, especialmente, que o coeficiente do ter­
ceiro termo de (37) ê uma função de:
(X* - X *)_________ã .___ £[_________2 (X,* + X ) (X * + X J d e q e
Isto se torna insignificante para X^ -*■ = X^, ou
quando X » X, ou X .e d q
Observemos também que o 29 termo ê proporcional a 
E^*, a tensão atrás da reatância apropriada no eixo em qua- 
dratura.
Se os efeitos transitórios são desprezados no eixo
em quadratura, X * = X e E,* = 0 .q q u
Os efeitos da saliência são, evidentemente, uma 
função da velocidade do fenômeno estudado. Se apareoem tran­
sitórios rápidos, estaremos envolvidos com saliência tran­
sitória, que ê a diferença nas reatâncias transitórias nos
dois eixos. Para este caso, X,* = X l e X * = X 1 , ou algu-d d q q
mas vezes X^* = X^. Se aparecem variações lentas do fenôme­
no, estaremos envolvidos com efeitos de saliência em regime 
permanente, isto é, a diferença entre X^ e X^.
Exemplo:
Para a condição da Figura 32, o traçado das cur­
vas potência-ângulo supõe:
1. éfeitos subtransitõrios
2. efeitos transitórios
3. condições de regime permanente
Nota:
A maioria dos transitórios, que envolvem varia­
ções do ângulo do rotor, são por demais lentos para que pos­
sam ser considerados como condições subtransitõrias.
Condições iniciais: 
et = 1,0 
P = 1,0 + jO
0,12
0,14
0,35
r \
P+ jQ J
". t x. “ 0'5 I
0,70 Fig. 32
1,70
1,60
Condições iniciais tiradas do diagrama vetorial em regime 
permanente:
e q
=
1,0 + (1,0 + 
1,888 / 58°
j0) jl,6
Ad = 1,0 sen 58° = 0, 848
*q = 1,0 cos 58° = 0, 53
ed = 1,0 sen 58° = 0, 848
eq = 1,0 cos 58° = 0, 53
e " d = ed ' i X " =q q 0, 848 - 0,074 = 0,774
e "q = e +q i,x,n = d d 0, 53 + 0,102 = 0,632
e 'ed = ed - i X ' =q q 0, 848 - 0,371 = 0,477
e ■q = e +q W = 0, 53 + 0,297 = 0,827
EI = e +q V d = 0, 53 + 1,44 = 1,97
Tensão na barra infinita em volts: E = e.,. -ji Xt e
c u r v a s p o t Bn c i a -An g u l o
a) Subtransitória; usando (37):
e " E sen ô ed" E cos 6 E^(X^" - X ") sen 26 
PE = X^" + Xe Xq " + Xe +2(Xd" + X0) (Xq " + Xe >
= 2,42 sen (6 - 49,4) - 0,059 sen 26
b) Transitória:
e ' E sen 6 e , • E cos 6 E2 (X,' - X ') sen2Ô0 _ _q__________ d__________ _____ a q_________
*E X,' + X X ' + X 2(X ' + X ) (X ' + X )d e q e d e q e
= 1,42 sen (6 - 20,57) - 0,294 sen 26
c) Regime permanente:
E t E sen 6 E2 (X, - X ) sen 26 , = _í_________+ d q_________E X , + X 2 (X, + X ) (X^ + X )d e d e q e
= 1,03 sen 6 + 0,0144 sen 26
Obtenhamos as curvas potência-ângulo do regime per­
manente e transitório para uma máquina de pólos salientes típica, 
com as seguintes constantes, operando sob as mesmas condições 
que a máquina da Figura 32.
X ' = 0,30 d '
X ' = X = 0 ,8 0 q q
Xd - 1,2
As condições iniciais obtidas do diagrama vetorial 
em regime permanente são:
Eq = 1,0 (1,0 + j,0) jO,8 = 1,28 / 38,6°
ed = 1,0 sen 38,6°
6q
= 1,0 cos 38,6°
Ad = 1,0 sen 38,6©
■̂q
= 1,0 cos 38,60
V = 0,781 + 0,625
EI = 0,781 + 0,625
= 0,625
= 0,781
= 0,625
= 0,781
x 0,30 = 0,9685 
1,2 = 1,531
CURVA POTÊNCIA-ANGULO PARA O REGIME TRANSITÓRIO
„ _ 0,9685 x 1,044
*E 0,6 sen 6 -
1,044' x 0_£_50
2 x 0,6 x 1,1 sen 26
P,_ = 1,685 sen 6 - 0,413 sen 26£* '
As curvas potincia-ângulo para estes casos estão 
traçadas na Figura 33. Em particular, o efeito da saliência 
que pode adicionar ou subtrair o termo de segunda harmôni­
ca, depende se X^* é maior ou menor que Xg*.
curva de potência-Angulo para o regime permanente
, _ 1,531 x 1,044 ___ x . (1,044)2 (0,4) sen 26
e ------ T7T“C---sen 6 + ----2 k (i/sl-TiTil--
= 1,068 sen 6 + 0,1322 sen 26
Ilustraremos as demais implicações dos efeitos 
transitórios da máquina com os seguintes exemplos. Observe­
mos que a característica potência-ângulo da máquina ê uma 
função variante no tempo. É possível uma máquina ser tran­
sitoriamente estável (primeira oscilação) e instável em re­
gime permanente.
P
O
TÊ
N
C
IA
 
PO
R 
UN
ID
AD
E
Capítulo 4 
Efeitos das m
áquinas síncronas
Exemplo:
A máquina hidro, mostrada na Figura 34, ê subme­
tida a uma falta trifãsica durante 0,14 segundos, seguida pela 
perda de alguma transmissão, de tal modo que a reatância de 
de transmissão de põs-falta é Xe = 0,5 e uma reatância ded
prê-falta Xe^ = 0,3.
C M
o x n r ^
!
xd = 1,2
V = 0,3
X = 0.8q
H II O
Fig. 34
Supondo o enlace de fluxo constante atrás da rea­
tância transitória no eixo d, é estável o sistema na primei­
ra oscilação ?
Como no exemplo anterior, as condições iniciais 
para este caso são:
e ' = 0,9685q
6 = 38,6° + 16,7° = 55,3°
E = 1,044
Para a condição de põs-falta, a curva potência-ângulo
tem a seguinte expressão:
e ' E E2(Xd' ~ V
PE = (x ' + Xe ) sen 6 + 2(X ' + Xe ) (X + Xe ) sen 26 a a a a q a
= 1,266 sen $ - 0,262 sen 26
Para uma falta trifásica que dura 6 ciclos,supon­
do completa perda de potência, o ângulo mudará de 55,3° pa­
ra
55,3° + 180fH
'0,1
• 0
dt dt
= 55,3° + 180fH
0,1
0
= 55,3° + 13,5° = 68,8°
A Figura 35 mostra a curva potincia-ângulo. Des­
ta curva podemos determinar o ângulo no qual P£ = PM - 1,0 e 
dP„/d<$ é negativa. Isto ocorre para ô = 144°. Agora, a e-
t i
nergia de aceleração durante a falta ê proporcional a P x[l3,5] = 
13,5.
A máxima energia de desaceleração disponível é: 
144
[1,266 sen 6 - 0,262 sen 2<5]dô - 1,0 x (144-68,8°)
68,8
180
ir
180
ir - 1,266 oos 6 + 0,262 cos 26
144
68,8
75,2
= 92,5 - 75,2 = 17,3
Esta área de desaceleração, (17,3), é maior que a 
área de aceleração (13,5). Portanto, o sistema ê estável na 
primeira oscilação, supondo-se um enlace de fluxo constan­
te.
Agora, supondo que a excitação não varie, será o 
sistema estável em regime permanente ?
A curva de potência-ângulo em regime permanente 
para este sistema ê tirada das condições iniciais:
E = 1,531
PE
E t E sen 6 E2 (X, - X )
^__________ -L . _______________ 3_____(X, +X ) 2(X, + X ) (X + X )d e d e q e
sen 26
1,531 x 1,044 
1,7 sen 6
1,044 x 0,4 
2 x 1,7 x 1,3 sen 26
= 0,941 sen 6 + 0,0945 sen 26
O pico de potência désta expressão é menor do que 
PM = 1,0. Logo, o sistema será instável em regime permanen­
te para suposição de excitação constante.
Agora, suponhamos que a excitação mantenha a ten­
são terminal de 1,0 p.u.. Será o sistema estável em regime 
permanente ?
Para a potência transferida de 1,0 p.u. entre o 
terminal da máquina e o sistema de recepção, E = 1,044, o 
ângulo através da reatância do sistema externo, Xe = 0,5, é:cl
e E
- 77--- sen 6 = 1,0
ou
6 = sen"10 Sen 1,0 x 1,044 = 28,6C
Então, a corrente da maquina é: 
et - E /-28,6o
í = 3X,ea
= jQ1 5 {1,0 - 1,044 [cos 28,6 - j sen 28,6]}
= 1,0 - jO,164 = 1,0137-9,3° 
e um novo diagrama vetorial do regime : • nte dá:
Eq = 1,0 + (1,0 - j0,164) j0,8 = 1,131 + j0,8 = 1,387 /35,27o
ed = 1,0 sen 35,27° = 0,578
e = 1,0 cos 35,27° = 0,816
4
id = 1,0 sen (35,27° + 9,3°) = 0,702
Et = 1,0 + 0,702 x 1,2 = 1,842
i = 1,0 cos (35,27° + 9,3°) « 0,712
P£ = — ^ sen 6 + 0,0945 sen 26
= 1,132 sen 6 + 0,0945 sen 26
Esta expressão mostra que o pico excederá PM = 1,0. 
Assim, o sistema será estável em regime permanente.
Dos exemplos acima notamos a diferença entre o com­
portamento das máquinas em regime transitório e em regime per­
manente. Em particular, devemos notar que o assim chamado 
critério de regime permanente, nos exemplos acima, ê basea­
do na condição da excitação não ser controlada. Evidente­
mente, este critério ê pessimista, uma vez que o controle au­
tomático de tensão compensa o efeito desmagnetizante que ê 
o responsável pela transição da característica do regime tran­
sitório para o regime permanente. A título de ilustração, 
citamos que dois diferentes testes podem ser feitos: um para 
a estabilidade em regime permanente, baseado nas condições de 
excitação para as condições iniciais de prê-falta; o outro 
teste pode ser feito para a potência de sincronização, ba­
seado nas condições de excitação para uma põs-falta em re­
gime permanente, se ê que existe tal regime permanente.
Podemos apreciar, agora, que a complexidade do 
problema torna necessário o emprego de suposições simplifi-
cadoras, a fim de se estabelecer níveis de referência. Hoje 
em dia, com a capacidade de cálculos dos computadores digi­
tais, não hã necessidade de «se fazer muitas destas suposi­
ções, já que todos os efeitos transitórios podem ser consi­
derados. Entretanto, a habilidade em estabelecer níveis de 
referência, com suposições simplificadoras, continua sendo 
da mais alta importância.
Fig. 35
Uma das suposições mais usadas universalmente ê a 
do enlace de fluxo de campo constante, isto ê, a suposição
de que os enlaces de fluxo, atrás da reatância transitória, 
são constantes durante o tempo crítico da primeira oscila­
ção (1/2 a 1 segundo). Freqüentemente, a reatância transi­
tória ê usada em ambos os eixos.
Estudos demonstram que uma resposta do sistema de 
excitação entre 1 e 2 p.u. ê uma suposição muito boa para 
estabelecer os eféitos da primeira oscilação.
Em muitas situações, o desempenho da estabilidade 
pode ser determinado por simulações através dè oscilações 
subseqüentes, onde os efeitos da máquina e ao controle de 
excitação devem ser considerados (Referência 9).
CURVAS DE CAPACIDADE DA ESTABILIDADE
A maneira útil de se dar informações sobre a es­
tabilidade está na forma de traçar os lugares.geométricos de 
estabilidade do plano ativo e reativo da carga (P,Q) na má­
quina, para uma tensão terminal fixa. A Figura 36 mostra o 
caso que está sendo considerado.
Fig. 36
Desprezando a resistência e a saturação, a expres­
são da potência-ângulo em regime permanente, originário de 
(37), ê:
PE
EjE
XJ + X, sen ô +
<xa - sen 26
2(X,+X ) (X +X ) d e q e
(38)
Agora, para as curvas da capacidade , onde P,Q e
e são dados, o valor de e E são variáveis dependen­
tes que variam em função das condições de carga. Considere­
mos, primeiro, o caso da máquina de rotor cilíndrico (istoé, 
= Xg). A Figura 37 mostra o diagrama vetorial, onde I e 
IQ são componentes da potência real e reativa da corrente nos 
terminais da máquina.
IqX<J
Desse diagrama, podem ser derivadas as seguintes
relações:
P EIe2 
xd + xe
sen 6 (39) f
EI2Xe
Q =
<Xd + Xe )
-- Eje2 cos ^
XQ - X. e d
(Xa + Xe > (Xe + xd)'
(40)
p - et1p (41)
Q = etIQ (42)
El2 - let + V d >2 + « W 2 (43>
e22 = <et - V e * " + (IPXe>2 <44>
De (39):
dP
Substituindo o valor de cos 6 de (40):
E e„1 2
(X, + X ) d e
cos ô (45)
dP
dó
E_X
(X* + Xe) (Xd - Xe>
e„X
(Xa +
2 d
X) (X, - e a V
Q(Xd + V (46)
O limite de estabilidade em regime permanente ocorre quando 
dP/dó = 0, ou de (46), quando:
Q =
2ET X I e e22íid
(X- + X ) d e (X, + X ) d e
(47)
2 2Substituindo (43) e (44) por E^ e e2 ' (47) pode ser re­
duzida â equação:
2PX.
<— f> +
et
QX, i X,__É_ + _L_ d ___â.)2 2 u X ’ i - d + ^ - ) (48)e
A equação (48) é a equação de um círculo no plano P,Q, com 
centro em:
P
Q
e
)
enquanto que o raio é: ^ (1 +
Fig. 38
A Figura 38 mostra curvas normalizadas do limite
2 2de estabilidade no plano PX^/et e QX^/e^ .
Notemos que as curvas determinam os pontos onde o 
coeficiente de potência de sincronização em regime permanente 
é zero, dP/dô = 0. Pontos à esquerda da curva são pontos de 
operação estável, enquanto que os pontos à direita da curva 
são pontos de operação instável.
No caso de máquina de pólos salientes, o diagrama 
vetorial é o da Figura 39.
Fig. 39*
Como já tinhamos anteriormente:
EIe2
P = (X, + ^d e
sen <5 + e2 (Xd - ^2 <xd + X J <x„ + x„>a e q e
sen 26
(49)
Diferenciando a expressão (49)
dP
dô
EIe2
(X, + X)d e
cos 6 +
(X, - X ) d _q_
(X, + X ) (X + X ) d e q e
cos 26 (50)
A equação (50) pode ser escrita em termos de e^, P e Q por 
substituição de E^, e ô expressos em termos dessas variá­
veis. O resultado da expressão é mais cômodo e mais prático 
de resolver, para determinar os limites de estabilidade por 
tentativa e erro.
As expressões para E^ e em termos» de e^, P e
Q, são:
=
(e. + — X )2+(-^-X )2+(X,-X ) t e. q' e. q d q Ê-£-)2X +— (e +-2-X ) et q et t et q
/ (e, + (Q/et)Xq )2 + <P/et)2Xq2
e
= / (et - Q/et .Xe)2 + (P/et .Xe)2
Dois pontos no plano P-Q podem ser obtidos pela so­
lução de (50) fazendo-se igual a zero com a condição P = 0 
de carga, para a qual ô = 0.
Nesta situação:
e
e2 = [et -<Q/et,Xe]
A substituição destes valores em (50) conduzâex-_ 2 _ pressão quadrãtica (Q/efc), cujas raízes sao:
Q
et
1
+
JL
Xe
e
A razão para o limite de estabilidade em P = 0, Q = 
1/Xe ê que a tensão do sistema receptor neste ponto ê e2= 0. 
Noutro extremo, o limite de estabilidade é alcançado num pon­
to de excitação negativa E^, tal que a contribuição negativa 
do primeiro termo de (50) é igual ao segundo termo de (50), 
que é o coeficiente do conjugado de sincronização devido à 
saliência.
Ou seja:
Ei 
xd + x
e2 (Xa - X^)
(Xa + Xe)<Xg f Xe>
= 0
A Figura 40 mostra curvas típicas de estabilidade em regime 
permanente para uma maquina de pólos salientes.
EFEITOS DA SATURAÇÃO ~ ESTABILIDADE EM REGIME PERMANENTE
O método de tratamento da saturação em máquinas 
de rotor cilíndrico e de pólos salientes foi discutido em 
"Dinâmica das Máquinas Elétricas I", páginas 58-63.
No caso da máquina de rotor cilíndrico, o efeito 
da saturação foi levado em conta na redução da reatância sín- 
crona em ambos os eixos. Esta redução era uma função do ní­
vel de fluxo atrás da reatância de dispersão ou reatância de 
Potier. Evidentemente, o efeito da saturação ê aumentar os 
limites de estabilidade, especialmente nas condições de qpe-
peração onde o nível de saturação ê alto* A Figura 41 mostra 
efeitos típicos da saturação no gráfico de estabilidade.
O método de tratamento da saturação para a máqui­
na de põios salientes consiste em modificar a corrente de 
campo, calculada sem considerar a saturação, por uma compo­
nente de saturação "S" correspondente a algum nível de fluxo 
no eixodireto , tal como o nível de fluxo proporcional â 
tensão atrás da reatância transitória.
0 efeito da saturação pode ser melhor explorado quan­
do se escreve as equações dinâmicas da máquina, desprezando- 
se os efeitos amortecedores. Como ponto de revisão do assun­
to apresentado em "Dinâmica das Máquinas Elétricas I", a Fi­
gura 4 2 dá o circuito equivalente para uma máquina de • pólos 
salientes sem os efeitos amortecedores.
Fig. 42
A curva de saturação em circuito aberto, bem como 
a função de saturação "S" dos enlaces de fluxo que descrevem 
o excesso de força magnetomotriz requerida pela saturação, são 
mostradas na Figura 4 3.
Fig. 43
A equação da tensão de campo é: 
d*fd
efd dt +rfd1fd (51)
Integrando:
♦fd (efd rfd 1fd) dt + ipfdo (52)
XadMultiplicando tudo por -=---
Xffd
¥ Xadfd Xffd- eq*
X
(e ad Lfd
x
fdXffd X£fd Xad W dt + X
ad
4>
ffd fdo
isto e:
'q' do
[Efd “ Xad 1fd]dt + X
ad
ffd fdo
(53)
onde:
Jfd - 2 L erfd fd
do
_ xffd
fd
Se a saturação não foi considerada, os enlaces de 
fluxo de campo são:
^fd Xffd ■̂fd “ Xad Ad
O U
Xad*fd
Xffd
=X , i_. ad fd M - id^ffd
Notemos que:
X, = X . + X 0 d ad l
X . X _ _ 
v * — v -i- I uxd x,ffd
Portanto:
ad
ffd ' - * 1 >
A equação (54) pode ser expressa, então, como:
(54)
= Xad fd eq ; (Xd ~ d' ) i. (55)
Convêm lembrar que estas equações correspondem à- 
quelas do Apêndice I, da Referência 3, páginas 22 e 23, re­
ferente ao Modelo III.
Considerando a saturação, (54), fica modificada pelo 
termo "S", o qual podemos escrever como sendo:
ad rfd
= f C x - ] ou « W - ]ffd
isto e:
X ^ i-, ad fd ffd ffd
ou
EI = Xad 1£d ' eq' + <Xd - Xd > + « t - ] <56>
As deduções acima completam o assunto anterior e 
permitem um entendimento mais fácil do tratamento que se se­
gue sobre a saturação em máquinas de põlos salientes.
Partindo das equações (53) e (56) que serão repe­
tidas, aqui, na forma equivalente, com oi = 1,0:
o 1 _ Ef d - Ei , e 1qo (57)q sT'do S
Ei = Xad 1fd = eq + f(eq » + <Xd - Xd ^ d (58)
*d = e = e ' - x JLq q d X i (59)
Podemos definir a inclinação da função saturação, 
num- dado ponto de operação, como um fator:
K ds
deq
4(Xad ^ d - e'
Ae'q e 1qp
As relações acima podem ser postas, então, na forma incre­
mentai como segue:
AE -. (s) - AEt (s )
de ■ ( s ) ---------- & W ------- í -------- (6 0 )
ao
AEj.(s) = Aeg' (s) (1 + K) + (Xd - XJ ) Aid(s) (61)
Aeg (s) = Ae^ (s)
Lembramos que, na 
quina foi expresso como:
- Xd' Aid (s) (62)
Figura 30, o comportamento da mã-
 >d (s) = AEf d (s) G(s) - Ld (s) id (s)
a qual, com a suposição de que W = 1,0 e desprezando o ter­
mo ã t y / ã t , também pode ser escrita:
Aeg (s) = AEfd(s) G(s) - Xd (s) Aid (s) (63)
Eliminando Ae , e AE em (62), com o uso de (60) 
e (61), podemos expressar (62) na mesma forma de (63), onde
1G (s) — (1 + K) + sT' do
(64)
X, + KX ' + sT' X'X l s ) = d d_______ do dAd' ; (1 + K) + sT' (65)do
Visto que,no estudo da estabilidade em regime per­
manente, estamos interessados somente no regime permanente 
ou nos valores de freqüincia zero da reatância da máquina, 
da equação (65) observamos que a reatância efetiva em regi­
me permanente saturado Xd da máquina ê:
asat
X '
V 1 + kttd
sat 1 + K
(66)
O ganho da máquina em regime permanente ê:
Aeq
AEfd id = 0
1
1 + K (67)
Verificando-se, portanto, a estabilidade em regime
permanente, impõe-se, em primeiro lugar, estabelecer as con­
dições de operação em regime permanente, determinar os pa­
râmetros linearizados relativos a estas condições de opera­
ção e calcular o coeficiente da potência de sincronização 
AP/Aô, usando estas condições de operação para estes parâ­
metros linearizados. Tomando o diagrama vetorial da Figura 
44, para o caso de resistência zero, e concentrando nossa a- 
tenção ao caso do regime permanente:
/
/
Fig. 44
e ^ = e^ - ij Xe = Corponente da tensão da barra segundo o eixo q
e ^ = e^ + i Xg = Gcrnpcnente da tensão da barra segundo o eixó d
(68)
Da Figura 45, para pequenas variações no ângu­
lo Aô, e para pequenos valores desse ângulo, podemos escrever:.
/ / EIXO q
Fig. 45
Ae, = -e, , A<5 bq bdo
Ae, , = e, Aô bd bqo
Também, de (68) :
Ae, = Ae - Ai, X bq q d e
Ae,, = Ae, + Ai X bd d q e
Equacionando (69) e (70):
Ae - Ai, X = -e, , Aô q d e bdo
(69)
(70)
'bqoAe, + Ai X d q e AÔ
De (63) e (64), a parte do regime permanente destas relações 
conduz a:
Aeq AEfd 1 + K
Xd-
xd (1 + K - T ~ )
‘ (1 + K) Aid (72)
enquanto que, para o eixo em quadratura, supondo nenhum a- 
mortecimento e nenhuma saturação:
Ae, = + X Aid q q (73)
Substituindo (72) e (73) em (71):
onde:
Ai = bdoA6 AÉ . 1 . 1
A d (X^+X, ) + AEfd {1 + K* (X + X , )e ds e ds
Ai =
e, Aô bqo
7 x~ + T Te q
XJ = X
sat
Xd a + K
(1 + K>
(74)
Agora, P = edid + eqiq
.*. AP = e. Ai, + i _ Ae, + e Ai + i Ae do d do d qo q qo q
Usando (72), (73) e (74), AP pode ser expresso como uma fun­
ção de A6 e AE^.
Para a estabilidade em regime permanente, consi­
deremos nenhum controle de excitação; logo,AE^ = 0 e AP é 
uma função de Aô somente.
(e + i, x ) (e. + i X ) (-e, + i X , J*p /*í _ qo do q do qo e do qo d sat
X + X “ X. + X. .q e e d sat
A equação (75) pode ser usada para determinar o 
limite de estabilidade em regime permanente, como será de­
monstrado no seguinte exemplo.
Um gerador de pólos salientes, com parâmetro ecur­
va de saturação indicados na Figura 46, ê ligado a um sis­
tema infinito através de uma impedância externa que pode ser 
aproximada para uma reatância simples Xg = 0,5 p.u.
Achemos o limite de estabilidade em regime perma­
nente, para controle manual da máquina, supondo a tensão ter­
minal unitária e o fator de potência também unitário.
Como se compara este limite de estabilidade, cal­
culado sem se levar em conta a saturação ?
SOLUÇÃO: Este problema requer uma solução por tentativa e 
erro.
Supomos a condição de operação de PQ = 1,2 + jO
para et = 1,0. o
Do diagrama vetorial:
V eto [ (eto + - I ç V - V eto xq ]
90 Aeto + Q0/et0 Xq >2 + <P0/et0Xq ) 2
■do
(P /et )2 X + (Q /et ) (et + ■ .0 X ) o o q o' o o etQ q
/(et + Q /et X )2 + (P /et X )2o q o q
(et + Q /et X )et o o o q o
qo
/ <eto + V eto Xq> 2 + (Po/eto Xq>2
e 1 - e + i , X 'qo qo do d
e, = i X do qo q
E = et - (P /et - jQ /et ) jx o o o o J o o J e
sen 6
et P/et (X + X ) o o q eo
E E qo o
Da curva de saturação podemos desenhar o fator de 
que é mostrado na Figura 47.saturação K = ôs/ôe 1 ,
Fig. 47
Do ponto de operação da primeira tentativas
II0Ü1
•H 1/2 (1)
Á 2 + 0,7922
■» — 1,22 x 0,66do 1,28
e _ = 0,783qo
ll0d) 0,620
= 0,936
= 0,742
e' = 0,783 + 0,742 x 0,24 = 0,961go ' ' '
K = 0,77
Conseqüentemente:
1,14(1 + 0,77 x )
ds 1,77 = 0,749
Usando os valores acima em (75): AP/Aô = 0,383.
Se a saturação não for desconsiderada: AP/Aô = 0,153.
Para a próxima tentativa toma-se P = 1,8; Q = 0 .
iqo = 1,16
1do = 1,38
0D1
<ü = 0,645
edo = 0,765
6qo . = 0,976
.*• K O00«koII
ds = 0,74
Usando estes valores em (75): AP/Aô = -0,163;
K1
variações do conjugado elétrico para 
uma variação no ângulo do rotor, com 
enlace de fluxo constante segundo o 
eixo d.
K2 6
variação do conjugado elétrico para 
uma variação no eixo d do enlace de 
fluxo com o ângulo constante do ro­
tor.
K3
K4
K5
K6
fator de impedância = (X̂ + Xe)/(X^ + Xq) , para o ca­
so onde a impedância externa ê uma reatância pu­
ra X . e
AEq
AÔ
efeito desmagnetizante de uma varia­
ção do ângulo do rotojr.
variação da tensão terminal com a va­
riação do ângulo do rotor para E' 
constante. ^
Ae,
AE1q
variação na tensão terminal com a 
variação de E' para um ângulo cons­
tante do rotor?
Ti = constante de tempo do campo em circuito aberto.
T'dz K3Tdo = constante de tempo efetiva do campo sob 
carga.
É importante reconhecer que, com excessão de K^, 
o qual é somente uma função da relação de impedância, todos 
os outros parâmetros variam com a carga, fazendo com que o 
comportamento da máquina seja bastante diferente nos diver­
sos pontos de operação.
K1 =
X - X'q ax + X' e di E sen Ô + qo o o
E E cos 6 qo o o
X + X e q
K2
sen 6o
+ Xd
Interpolando, o limite de estabilidade serã apro­
ximadamente em P = 1,62 p.u.
Desconsiderando a saturação, para P = 1,8 e Q = 
0, AP/Aô = -'■0,441. Interpolando, o limite sem saturação ê a- 
proximadamente 1,355.
ESTABILIDADE DINÂMICA
Os aspectos de estabilidade, com pequenas pertur­
bações linearizadas consideradas até aqui, envolveram tes­
tes para verificar a existência de potência de sincroniza­
ção,, isto ê, para verificar se o coeficiente AP/Aô ê posi­
tivo.
O uso de reguladores de tensão atuando continua­
mente asseguram um AP/Aô positivo para a maioria das situa­
ções praticas. A instabilidade, entretanto, não resulta u- 
sualmente da falta de potência de sincronização, mas sim, 
devido à ausência de amortecimento positivo na sucessão de 
oscilações resultantes das equações de oscilações descritas 
no diagrama de bloco da Figura 1.
As referências 4 e 5 cobrem os conceitos de esta­
bilidade dinâmica afetados pelo controle da excitação. O mé­
todo para compreender o problema ê através do desenvolvi­
mento das relações linearizadas, a partir de correntes não- 
lineares do comportamento da maquina síncrona. Um exemplo de 
tais relações linearizadas ê mostrado no Apêndice A da re­
ferência 4.
O diagrama de bloco básico que descreve o fenôme­
no ê repetido neste livro por conveniência (Figura 48 e 49). 
Também, para o simples caso de uma máquina ligada através de 
uma reatância externa a uma barra infinita, com a máquina 
representada sem os efeitos amortecedores, os parâmetros no 
diagrama de bloco são:
Relações de conjugado-ângulo da maquina
H-vQ.
4̂00
Capítulo 4 
Efeitos das m
áquinas síncronas
K3 "
K4 =
*5
xd + Xe
+ Xd e
X, - X'd d
X + X*e d
X
____SL
e.do
(76)
E sen 6 o o
xá
X + X e. e q to
E cos ô - ■■ - > * --- 32. E gen go x + X' e. o oe d to
X
K. = X + X' e d
' 3 2 .
' t o
Os métodos de análise usam a técnica da resposta de 
freqüência. O material no Apêndice E de "Dinâmica e Contro­
le da Geração", será útil para a compreensão destas técni­
cas (referência 7).
Fig. 49
Diagrama de blocos de uma máquina simples alimentando 
uma barra infinita através de uma impedância externa, 
incluindo efeitos do sistema excitação-regulador de
tensão.
O uso desses métodos de análise será ilustrado com 
alguns exemplos.
Seja o caso do exemplo anterior de uma máquina cujos 
dados são apresentados na Figura 45, e para a mesma condição 
de carga considerada anteriormente de P + jQ = 1,0 + jO e 
efc = 1,0, Xe = 0,4, H = 5.
Desprezando a saturação e usando (76) para as con­
dições de operação com
i = 0,835, e = 0,835qo qo
idQ = 0,550, edo = °'550
E = 1,20 , E = 1,077qo ' o '
6 = 55,22°
Os parâmetros linearizados do diagrama de bloco da 
Figura 49 são:
K1 — 1,174
K2 *= 1,47
K3 = 0,36
K4 = 1,88
K5 = -0,117
K6 = 0,301
Qual é o coeficiente de potência de sincronização 
para enlaces de fluxo constantes ?
K1
ATe
A<$ 1,174 p.u./radiano
Qual ê a freqüência de oscilação das equações de 
oscilação da máquina, supondo os enlaces de fluxo constan- 
tes ?
ton
377 Kx 
2H 6,65 rad/s
Qual o coeficiente de potência de sincronização em 
regime permanente, considerando a ausência de ação regula­
dora (tensão de campo constante) ?
3T
Em regime permanente 36 = Kx - K2K3K4 = 0,180
*fd
Qual o valor de que faria o coeficiente da po­
tência de sincronização em regime permanente igual àquele ccm 
enlaces de fluxo constantes ?
AE'/Aí "K4 K3 1 + KeK3K6
KCK K0 5 e 3
1 + K e 3 6
e o coeficiente de sincronização em regime permanente é:
= K1 - K2
K.K, + KCK K0 4 3 5 £/ 3
1 + K K_K, e 3 6
Da equação acima, com os valores de a Kg calculados, te­
mos que:
K£ = 16,1 p.u. AE^/p.u.
Isto mostra o uso de um regulador com ganho razoa­
velmente baixo para contrabalançar o efeito da desmagneti- 
zação da reação da armadura e faz a máquina apresentar um 
coeficiente de potência de sincronização em regime permanente 
igual àquele com os enlaces de fluxo constantes.
Supondo nenhuma ação reguladora (tensão de campo 
constante) na freqflência natural de oscilação, qual ê a mag-
nitude do conjugado de amortecimento devido às perdas de 
campo ?
Sem nenhuma ação reguladora, os conjugados de amor­
tecimento recebem contribuição da serie de blocos, cuja fun­
ção de transferência combinada ê:
-K4 Kj Kj
1 + SK3Tà>
Para a freqüência de oscilação ü)n = 6,65 rad/s e 
= 8 segundos.
Esta componente do conjugado tem a seguinte mag­
nitude e fase relativa ao ângulo:
-0,994 
1 + j 19,1 = 0,0520 / 93°
Desde que a velocidade adianta o ângulo de 90°, o 
componente do conjugado em fase com a velocidade é 0,0520- 
cos 3o = 0,052. Notemos que o componente do coeficiente do 
conjugado de sincronização nessa freqüência é negativo,isto 
é, -0,0520 sen 3o = -0,00272.
Para uma amplitude de oscilação angular de 1 ra- 
diano, a 6,65 rad/s,- a amplitude de oscilação de velocidade 
em p.u. é de 6,65/377 = 0,0177. Logo, a constante de amor­
tecimento equivalente D = AT/pô, nesta freqüência,é 0,0520/ 
0,0177 = 2,94.
A razão de amortecimento representada por esta quan­
tia de conjugado amortecedor pode ser obtida aproximadamen­
te como segue.
A equação característica de um sistema de segunda 
ordem, representada pelo diagrama de bloco da Figura 50, é:
K1 + s +
2s =M M 0.
Fig. 50
Comparando essa expressão com a forma quadrática:
2 2 ü) + 2ç ü) s + s = 0 o * o
onde / K, 377
ü) = / ----n---
2 S K 1 M377'
Para s = jmn , o coeficiente de amortecimento equivalente ê 
D = 2,94 p.u.
Assim, a razão de amortecimento produzida pelas per­
das no campo é, aproximadamente:
ç l _ x 2,94________2 ✓ 1,174 x 10 x 377
0,022
Supondo um regulador-excitatriz idealizado, a fun­
ção AE'/AÔ toma-se:
AE' -K,[k . + K Kc]q _ 3L 4 e 5J
Aô (1 + sK-T' + K K_KC)3 do e 3 6
K «»ecom
AE^/AS = -K5/K6 
e
AT/AÔ = [K1 - K2K5/K6]
Notemos que, sob esta situação idealizada de ga­
nho infinito e constante de tempo nula, a variação do con­
jugado obtida pela variação do fluxo está em fase com o ân­
gulo e , conseqüentemente, não tem componente de anorteciirento.
Vejamos também que, devido a K,. ser negativo, o
coeficiente da potência líquida de sincronização é maior do
que com enlaces de fluxo constantes. Ou seja, K, - K_K,./K =i z d o
1,745 comparado com = 1,174 para enlaces de fluxo cons­
tantes.
Ainda, o coeficiente da potência de sincronização, 
para o caso ideal de reatância nula da máquina (tensão ter­
minal constante) sob estas condições de carga, ê:
e E
— y 4° cos 21,8 = 2,5
Tomemos agora o caso dò sistema de excitação que 
tem considerável atraso e é descrito pela função
K___________ e__________
(1 + sT ) (1 + sT ) e v
Seja:
K = 20e
T£ = 0,5
Tv = 0,2
Quais são os conjugados de amortecimento produzi­
dos pelas variações no fluxo, na freqttência m = 6,65 rãd/s ?
O ponto de operação é estável com este sistema de excitação?
Referindo-nos ao diagrama de blocos da Figura 49 
e designando a função do regulador de tensão-excitatriz por 
G(s), os conjugados resultantes das variações em E' são:
-K K32 1 + sK3T*o
k4 + k5g(s)
KKG(s) 11 3 6 
1 + sK3Tdo
AÔ (s)
Substituindo s = j6,65 e G(s) = 20/((1 + s0,2) (1 + s0,5)) , a 
expressão acima com T' = 8 segundos se torna:
= 0,0.626 / 98,55 
= o,0093 + jO,0619
isto é, o conjugado de amortecimento desenvolvido por osci­
lações do ângulo de amplitude de 1 radiano, na freqüincia de 
6,65 rad/s, ê 0,0619 p.u., ou seja, a amplitude de conjuga­
do em fase com a velocidade ê (0,0619 A ô ) . Parece que este 
ponto é estável.
Notemos que a estabilidade pode ser determinada pelo 
critério de Nyquist com uma verificação do ângulo de fa­
se sobre todas as funções de laço aberto mostradas na Figu­
ra 51, na freqüência para a qual a razão de amplitude desta 
função é unitária. Fizemos a suposição que esta freqüincia 
está próxima à freqüência natural wn (supondo constantes os 
enlaces de fluxo).
A t0
Esta suposição é boa quando a magnitude da função 
de realimentação (AE^/Aô) for pequena com respeito a K^.
Tomemos,