PESQ_Volume 3 - Teoria de linhas de transmissão 2

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TEORIA DAS
IINHÂS DETRANSMISSÁOII
RELAÇÃO DE VOLUMES E TRADUTORES
1 - Análise de Circuitos de Sistemas de Potência -
Arlindo R. Mayer
2 - Teoria das Linhas de Transmissão I - J.Wagner Kaheler
3 - Teoria das Linhas de Transmissão I I - Felix A. Farret
4 - Dinâmica das Máquinas E létricas I - Somchai Ansuj,
Arlindo R.Mayer
5 - Dinâmica das Máquinas E létricas Í I - Elvio Rabenschlag
6 - Dinâmica e Controle da Geração - Almoraci S. Algarve,
João M. Soares
7 - Proteção de Sistemas Elétricos de Potência -
Fritz Stemmer
8 - Coordenação de Isolamento - J. Wagner Kaheler
9 - Operação Econômica e Planejamento - Paulo R. Wilson
10 - Métodos Probabilísticos para Projeto e
Planejamento de Sistemas Elétricos - M.Ivone Brenner
Coordenação Geral: Arlindo R. Mayer
CENTRAIS ELÉTRICAS BRASILEIRAS S.A. 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA
TEORIA DASUNHAS DE
TRANSMISSÃO N
D. E. HEDMAN
Tradução: Felix A. Farret
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D O T Í
AG
X / Í - . 3 , ? *>
lUiSEli;. 5|
Professor do Depto. de 
Eng. Elétrica da UFSM
CURSO DÉ ENGENHARIA EM 
SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA 
SÉRIE P. T. I.
SANTA MARIA .R S - 1978
Título do original:
Transmission Line Theory - I I
Direitos para o Brasil reservados às Centrais Elétricas 
Brasileiras S.A. - ELETROBRAS
Av. Presidente Vargas, 624 - 109 andar 
Rio de Janeiro - RJ
1978
F I C H A CA T A L O G R Â F I C A
H455t
Hedman, D.E.
Teoria das linhas de transmissão II |por| D.E. 
Hedman.|de| Felix A. Farret. Santa Maria, Uni­
versidade Federal de Santa Maria, 1978.
182p. ilu st. 23cm (Curso de Engenharia em 
Sistemas Elétricos de Potência - Série PTI, 3
Título original: "Transmission Line Theory II" 
I. Farret, Felix Alberto, 1947 - (trad.) II .T í­
tulo
CDD 621.319 2 
CDU 621.315 1
Obra publicada 
Com a colaboração
do Fundo de Desenvolvimento Tecnológico 
da CENTRAIS ELÉTRICAS BRASILEIRAS S.A — ELETROBRÁS
em Convênio com a
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA — UFSM
APRESENTAÇÃO
Há cerca de 10 anos vem a ELETROBRÂS patrocinan­
do a realização de Cursos na área de Sistemas Elétricos 
de Potência, visando o aperfeiçoamento de engenheiros 
e letric istas das Empresas do Setor de Energia Elétrica. 
Assim, cerca de 200 profissionais, nesse período, recebe­
ram formação a nível de Mestrado, tanto no exterior como 
no B rasil, em obediência a currículos estabelecidos pela 
ELETROBRÂS, tendo em vista as necessidades detectadas por 
seu pessoal especializado.
Como resultado da experiência de realização des­
ses e de outros Cursos, por vezes contando com a partic i­
pação de professores estrangeiros especialmente contrata­
dos para reforçar as equipes docentes nacionais, vêm sen­
do publicados livros especializados em regime de co- 
edição com Universidades, e à conta de Recursos do Fundo 
de Desenvolvimento Tecnológico da ELETROBRÂS.
É constante a preocupação desta Empresa em 
apoiar as Instituições de Ensino Superior, razão pela qual, 
entre outras ações, têm sido sistematicamente oferecidas 
vagas a docentes universitários, sempre que grupos de en­
genheiros são enviados ao exterior para freqüência a cur­
sos especiais ainda não oferecidos regularmente no Brasil. 
Isso tem propiciado mais rápida resposta das Universidades 
no atèndimento de necessidades especiais no Setor de Ener­
gia E létrica, inclusive pela imediata implantação de tais 
cursos no País, a mais baixo custo e possibilitando am­
p lia r a faixa de atendimento de profissionais das Empre­
sas.
Em uma dessas ações, a ELETROBRÂS contratou com 
o Power Technologies, Inc. - P .T .I ., de Schenectady -USA, 
a ministraçãò de um curso especial em Sistemas Elétricos, 
e constante dos tópicos que se seguem:
1 - Análise de Sistemas Elétricos de Potência
2 - Teoria das Linhas de Transmissão
3 - Releamento - Características e Princípios
Fundamentais de Operação dos 
Relês
4 - Coordenação de Isolamento
5 - Operação Econômica e Planejamento
6 - Dinâmica e Controle da Geração
■7 - Dinâmica das Máquinas Elétricas
8 - Métodos Probabilísticos para Projeto e
Planejamento de Sistemas Elétricos
9 - Economia das Empresas de Energia Elétrica
Esses tópicos, na forma como foram inicialmente 
ministrados pela equipe do P .T .I ., e posteriormente re­
produzidos por outros docentes brasile iros em diversas 
oportunidades, constituem, a nosso ver, uma fonte de in­
formações capaz de proporcionar uma formação equilibrada 
de profissionais de alto nível que se destinam às Empresas 
de Energia Elétrica e que delas precisem ter inicialmente 
boa visão técnica de conjunto. Posteriormente tais p ro fis­
sionais poderão aprofundar seus estudos em tópicos especí­
ficos, conforme necessário âs suas ãreas de atuação.
Foi, pois, com esta intenção que a ELETROBRÂS de­
cidiu adquirir ao P .T .i. os direitos de reprodução do Cur- 
po, e contratou com a Universidade Federal de Santa Maria 
a tradução e edição do mesmo, visando sua distribuição âs 
Empresas do Setor de Energia Elétrica e demais In stitu i­
ções de Ensino Superior que ministram cursos na área de 
Engenharia E létrica. Estamos certos de que a divulgação 
desse material, agora em língua portuguesa,atingirá apre­
ciável número de profissionais e estudantes universitários 
proporcionando-lhes um nível de aperfeiçoamento mínimo ho­
je desejável naquelas Empresas, e ao mesmo tempo consti­
tuindo-se em obra de referência para docentes especiali­
zados.
Arnaldo Rodrigues Barbalho 
Presidente da ELETROBRÂS
PREFACIO
Raros são os livros publicados em português so­
bre Sistemas Elétricos de Potência. Isso fez com que os 
professores do Departamento de Engenharia e professores que 
atuam no Curso de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica,da 
Universidade Federal de Santa Maria, aceitassem o desafio 
de rea lizar a estafante, porém, atraente tarefa de tradu­
ção, revisão e acompanhamento na impressão do Curso orga­
nizado por Power Technologies, Inc. - PTI, e cujos d ire i­
tos de reprodução foram adquiridos pela ELETROBRÂS.
Foi muito valiosa, para a realização desta ta­
refa , a união e o espírito de equipe de um conjunto de 
professores que, além de suas atividades docentes, admi­
nistrativas e de pesquisa, passaram a dedicar-se a mais 
essa importante tarefa.
É nosso dever deixarmos assinalados os nossos 
agradecimentos a todos os que contribuiram para a elabo­
ração dessa obra. Destacamos a ajuda prestada pelo Dire­
tor do Centro de Tecnologia, Prof. Gilberto Aquino Benet- 
t i , pelo Chefe do Departamento de Engenharia Elétrica,Prof. 
Wilson Antônio Barin, pelo Coordenador do convênio UFSM/ 
ELETROBRÂS, Prof. Arlindo Rodrigues Mayer,como também pe­
los Professores Waldemar Correia Fuentes,Nilton Fabbrin e 
Norberto V. O liveira.
Pela Companhia Estadual de Energia Elétrica -CEEE - 
tiveram participação destacada, nesta realização, o Eng9 
Paulo Roberto Wilson, Coordenador do Convênio CEEE/UFSM , 
e os Engenheiros José Wagner Kaheler e Fritz Stemmer, to­
dos eles Professores visitantes do CPGEE da UFSM.
Nossos agradecimentos às Professoras Neuza Mar­
tins Carson e Celina Fleig Mayer e â Jornalista Veronice Lo- 
vato Rossato, pelos seus vários serviços de revisão. Ã aca­
dêmica Maria Carmelita Teixeira Gorski pela colaboração no 
manuscrito da tradução. E ã Professora June Magda Scharn - 
berg pelo seu auxílio na organização das fichas catalogrã- 
ficas dos vários volumes.
Nossos agradecim entos, também, aos d a t i l õ g r a f o s 
Ubyra jara T a je s e Wandir Queirós e aos desenh is tas D e lc io 
Bolzan, Lauro C. Ztigel e Lu iz C arlos Menezes.
Aos P ro fe s so re s Ademir C a rn e v a l l i Guimarães e 
H é l io M okarze l, da E sco la Federa l de Engenharia de I t a ju - 
bã, agradecemos a g e n t i l e z a de nos terem enviado a tradu­
ção p a r c ial de alguns dos volumes, os quais serv iram como 
v a l io s a s r e f e r ê n c ia s em nosso tra b a lh o .
F ina lm ente , ê nosso dever d e ix a r r e g is t r a d o 
nossos agradecimentos ã C en tra is E lé t r i c a s B r a s i l e i r a s
S.A. - ELETROBRAS, por seu apo io e con fiança em nós depo­
s i ta d o s .
Derblay Galvão 
R e i t o r
S U M Á R I O
C ap ítu lo 6 - FUNDAMENTOS DE ONDAS VIAJANTES
MONOFASICAS.......................................................... 1
I . In trodu ção ........................................................................ 1
I I . As equações da l in h a de transm issão .................. 2
A. Solução para as equações da l in h a de
transm issão ................................................................ 5
B. Relação en tre as so luções de tensão e de
c o r r e n t e ....................................................................... 7
I I I . Term inais e descontinu idades das l in h as de
transm issão .................................................................... 10
A. Terminal da l in h a - Extremidade a b e r t a . . . 11
B. Terminal da l in h a - R e s is t ê n c ia ................... 13
C. Terminal da l in h a - In te rp re ta çã o a l t e r ­
n a t i v a ......................................................................... 15
D. Nomenclatura da onda v i a j a n t e ........................ 17
IV . Term inais g e ra is da l in h a de t ra n sm issã o . . . . 19
V. Estabe lec im ento das condições i n i c i a i s .......... 21
Apêndice A ....................................................................... 24
Apêndice B....................................................................... 26
Apêndice C....................................................................... 37
Problemas - Transformadas de L a p la c e ............... 54
Problemas - D escrição da onda v i a j a n t e ........... 62
Problemas - Construção de formas de on d a . . . . 65 
Problemas - Ondas v ia ja n t e s ................................... 69
C ap ítu lo 7 - FUNDAMENTOS DE ONDAS VIAJANTES -
DIAGRAMA EM TRELIÇAS..................................... 75
I . In trodu ção ...................................................................... 75
I I . Conceitos b ás icos do diagrama em t r e l i ç a s . . . 75
A. Diagrama em t r e l i ç a s para uma l in h a
s im p le s .................................................................. . . 78
B. Diagrama em t r e l i ç a s c on ven c ion a l............... 80
I I I . Método do r e g i s t r o em t a b e la ................................ 85
A. Um exemplo de c a l c u lo , usando o c i r c u i t o
e q u iv a le n t e .............................................................. 87
B. Método o rgan izad o ................................................. 89
Problemas - Relações fundamentais......................... 92
Problemas - Cálcu los da l in h a de t ra n sm issã o .99
C ap ítu lo 8 - ONDAS VIAJANTES POLIFÂSICAS..................... 109
I . In trod u ção .................................................................... 10 9
I I . Desenvolvimento das equações da onda
v ia ja n t e p o l i f ã s i c a ................................................ 109
I I I . C o e f ic ie n t e de r e f l e x ã o p o l i f ã s i c o ................ 115
IV. C ir c u i t o e q u iva len te p o l i f ã s i c o de uma
lin h a te rm in a l .................................. ......................... 117
Prob lem as...................................................................... 121
C ap ítu lo 9 - SURTOS DE DESCARGAS ATMOSFÉRICAS EM
LINHAS DE TRANSMISSÃO................................ 132
I . In trod u ção ................................................................... 133
I I . As descargas a tm o s fé r ic a s ................................... 134
- Magnitude da descarga a tm o s fé r ic a ............... 135
I I I . Uso das técn ica s de ondas v ia ja n t e s para 
c a lc u la r o e f e i t o de uma descarga atmos­
f é r i c a numa l in h a de transm issão ..................... 136
- Descarga no topo da t o r r e ................................ 136
- Descarga no condutor f a s e ................................ 136
- E f e i t o dos cabos de c o b e r tu ra ....................... 137
- E f e i t o da r e s is t ê n c ia de a terram en to ......... 138
- E f e i t o de to r r e s a d ja c e n te s ............................ 139
- Descargas a tm os fé r icas nos cabos de
co b e r tu ra .................................................................. 143
IV . Representação da t o r r e .......................................... 145
V. Tensões a través da cade ia de i s o la d o r e s . . . . 149
- Medições da tensão de su rto em m od e lo s . . . 152
V I. Falhas na blindagem (descargas d i r e ta s nos
condutores f a s e ) ....................................................... 152
V I I . Outras c on s id e ra ções .............................................. 15 3
R e fe rên c ia s B ib l i o g r á f i c a s .................................. 155
Prob lem as...................................................................... 157
C ap ítu lo 10 - SOBRETENSÕES DE IMPULSO - TERMINAIS. 162
I . In trod u ção ................................................................... 16 2
I I . A n a lise do enrolamento de t ra n s fo rm a d o r . . . . 162
A. Equação d i f e r e n c ia l da bobina de uma
camada...................................................................... 16 3
B. Solução da equação d i f e r e n c ia l da
bobina de uma camada........................................ 166
C. In te rp re ta çã o dos resu ltados das
o s c i la ç õ e s na bob ina ........................................ 172
I I I . P ro teção de p ã r a - r a io s ......................................... 175
A. H ipóteses consideradas na a n a l i s e ............... 176
B. Solução do caso b ã s ic o .................................... 177
C. Solução in c lu in d o o p ã r a - r a io s ................... 179
D. Fatores a d ic io n a is ............................................. 181
R e fe rên c ia s B i b l i o g r á f i c a s ................................................. 182
CAPÍTULO
FUNDAM ENTOS DE ONDAS VIAJANTES MONOFÁSICAS
I . INTRODUÇÃO
0 aspecto fundamentalmente único das l inhas de 
transm issão, r e l a t i v o aos c i r c u i t o s mais comuns de constan­
te s concentradas, r e s u l t a , grandemente, do aspecto f in ito da 
v e lo c id a d e da luz e , p o r tan to , da propagação da en e rg ia e lé ­
t r i c a e magnética ao longo da l inha como uma onda viajante. Se 
uma va r ia çã o de co rren te ou de tensão o co rre em um te rm ina l 
de uma l in h a longa de transm issão, o ou tro te rm ina l não t o ­
ma conhecimento desta v a r ia çã o , enquanto a onda e lé tr ica per­
co rre o comprimento da l in h a com a v e lo c id a d e da lu z . Po r­
tan to , o te rm in a l , no lado re c ep to r desta l in h a de tra n s ­
missão, não pode in f lu e n c ia r a tensão fo rça n te da fo n te , 
a té que a onda tenha v ia ja d o da fon te a té a ponta re cep to ra 
e , a tra vés da in te ra çã o en tre e s te te rm in a l e a l in h a de 
transm issão, s e ja enviada uma resposta de v o l t a â fon te .Por­
ta n to , os s in a is e l é t r i c o s tendem a se propagar para f r e n te 
e para t r á s , como ondas v ia ja n t e s , normalmente dissipando e - 
nerg ia .em perdas no m a te r ia l .
Um exame deta lhado da f í s i c a e le trom a gn é t ica do 
problema r e s u l ta numa a n a l is e , mostrando que ondas e l e t r o ­
magnéticas v ia ja n te s guiadas o co rre rão em qualquer l inha de 
transmissão aérea aberta . Uma an a lis e mais profunda das 
equações e le trom agné t icas mostra que qualquer s istema com 
ba ixa perda pode, também, se r an a lisado , prim eiram ente, e s - 
p e c i f ic a n d o -s e a indutânc ia e a c a p a c i tâ n c ia , separadamente 
e d a í , usando-se e s te s istem a de constantes concentradas 
para formar uma malha. A equação d i f e r e n c ia l , que descreve 
e s ta malha p red iz o e f e i t o da onda v ia ja n t e . O segundo mé­
todo serã usado nestas notas.
Uma vez que as equações d i f e r e n c ia i s da l in h a de 
transmissão são u t i l i z a d a s para desenvo lver uma so lução ge ­
r a l para as ondas v ia ja n te s na l in h a de transm issão, cond i­
ções de contorno devem ser usadas para c a lc u la r a solução 
e s p e c í f i c a da onda v ia ja n t e . Nestas notas, o problema das 
condições de contorno serã r e fe ren c ia d o como problema de 
te rm in a l. As so luções nos term ina is r e su lta rã o em c o e f i c i ­
entes de r e f l e x ã o e de r e f r a ç ã o , os quais são funções dos 
v á r io s te rm in a is . Este problema da condição te rm ina l serã 
abordado de duas maneiras, uma das quais é baseada em uma 
rep resen tação do c i r c u i t o eq u iv a len te da l in h a de transm is­
são, redu z in do -se , assim, o problema, a um c i r c u i t o nor­
mal .
I I . AS EQUAÇÕES DA LINHA DE TRANSMISSÃO
O c i r c u i t o e q u iv a le n te , usado para o c á lcu lo do 
fenômeno da onda v ia ja n t e , ê o mesmo usado no C ap ítu lo 1 
para d esen vo lv e r as so luções em freqü ên c ia constante da e - 
quação da l in h a de transm issão. O c i r c u i t o e q u iva len te e 
a equação da tensão increm enta i para e s te c i r c u i t o estão r e ­
p e t id a s a s e g u ir , para uma f ã c i l r e f e r ê n c ia .
As equações da co rren te e da tensão são, en tão :
i(x+Ax,t) = i(x ,t ) - GAx v(x,t) - CAx crt
( 6 . 0 1 )
v(x+Ax,t) = v(x,t) - LAx ~ RAx i(x+Ax,t)
i (x,t) 
o—
v(x,f)
LGax
Lax Rax
■vVsA1
i(x+Ax.t)
, CAX
V (xtAX.t)
onde:
X, *2
L = Henrys/metro 
C = Farads/metro 
R = Ohms/metro
Ax = - x^
Fig. 6.01
A corrente e a primeira derivada parcial da cor­
rente podem ser expandidas numa série de Taylor, como:
i(x+Ax,t) = i(x ,t ) ♦ Ax + ...5x
3i(x+Ax,t) ̂ ai(x,t) + a2j(x ,t ) 
st at axat
(6 . 0 2 )
Ax * . . .
Substituindo-se a equação (6.02) (desprezando-se 
os termos de ordem mais a lt a ), na segunda equação de (6.01), 
obtém-se:
v(x+Ax#t) - v(x,t) “ - LAx “ RAx i(x ,t)at
2- * * ' 2 3i(x,t)■r. 2 3 i(x ,t ) <- LAx — , * L - RAx 3x3t 3x
Os termos de segunda ordem Ax desaparecerão 
limite e, usando-se a definição de derivada 
lim v(x+Ax,t) - v(x,t) = 3v(x,t)
no
x2 ■ * i
Obtêm-se \
dx
- - Ri(x,t) ♦ L â M í i l
Por um processo semelhante, uma segunda equação 
diferencial parcial, de primeira ordem, pode ser desenvol­
vida para produzir o par de equações 
dv . r 31
V = v(x,t) 
i = i(x,t)
Estas duas equações d i f e r e n c ia i s p a r c ia is são u- 
sadas para formar a equação do t e l e g r a f i s t a , ou equações da 
" l in h a de transm issão" mostradas abaixo:
uma função que descrevera o comportamento de "v " e " i " , ao 
longo da l in h a de transm issão. O fa to de que ambas "v " e 
" i " devam s a t i s f a z e r a mesma equação d i f e r e n c i a l , não quer 
d iz e r que co rren te e tensão são a mesma função de x e t em 
um problema p r a t ic o . A d i fe r e n ç a r e su lta rá das condições de 
contorno.
e e la s são raramente usadas na an á l is e de problemas de s i s ­
temas de p o tên c ia . Uma solução bem mais s im ples , que c l a ­
ramente demonstra os c o n ce ito s , ê ob t id a para o caso " sem 
perdas". Esta solução simples será usada nestas notas por­
que a a va l ia çã o de t r a n s i t ó r io s de duração muito pequenas, 
t a i s como condições de impulso, são, gera lm ente , rep resen ­
tadas muito adequadamente, p e lo caso "sem perda ".
Para R = G = 0, as equações d i f e r e n c ia i s da ten ­
são e da co rren te tornam-se:
(6.04)
(6.05)
A solução destas equações d i f e r e n c ia i s fo rn ece rá
As equações (6.04) e (6.05) podem ser r e s o lv id a s 
de uma forma compacta, mas as so luções são muito complexas
(6.06)
A. Solução para as equações da linha de transmissão
Matemáticos reconheceriam estas equações como e- 
quações da onda viajante, mas este aspecto pode ser fa c i l ­
mente deduzido, tomando-se a transformada de Laplace das e- 
quações. Por enquanto, somente a solução da tensão será le ­
vada em conta.
- A c V(s,x) (6.08)
Onde V(s,x) = transformada de Laplace de v(x,t)
Esta transformada de Laplace assume condições 
quiescentes para a tensão em t = 0. As condições in ic ia is 
podem ser incorporadas mais tarde,quando forem aplicadas as 
condições de contorno. A solução para a equação (6.08) pode 
ser obtida supondo-se uma solução da forma.
V(s,x) - M(s) a1"* <6- ° 9>
onde "m" é o parâmetro a ser calculado, a partir da equação 
diferencial. Substituindo-se a equação (6.09) na equação
(6.08) resulta em:
m ^s) e*"1* - LCs2 M(s) e*"* (6.10)
Para "m" ser válido para todo e qualquer valor de 2x, vemos que m deve ser igual ao coeficiente do lado d i­
reito da equação, ou:
2 2 m = sLC
ou (6.11)
m = ± s/LC
Este valor de "m" pode ser substituído novamente 
na equação (6.09), a qual, devido a 6.08 ser uma equação 
diferencial de segunda ordem, requer duas constantes arb i­
trárias a serem calculadas pelas condições lim ite.
Então, a solução pode ser escrita como:
V(s,x) = A(s) e~S ^ x + B(s) e+Sx/^ x (6.12)
Nesta solução, uma descrição espacial completa pa­
ra a porção, que é função de x, está contida na exponencial, 
enquanto que a solução no tempo, ou da porção que é função 
do tempo, estã incluída tanto nas constantes arbitrarias A(s) 
e B(s) como na exponencial.
Os exercícios, no uso da transformada de Laplace, 
~ — z sdemonstram que a expressão e , quando transformada para 
o domínio do tempo, resulta em um degrau unitário u (t-z ) a- 
trasado. Também é facilmente demonstrável que u (t-z ) ê uma 
representação matemática da onda viajante. Na equação(6.12) 
a mesma interpretação pode ser fe ita , isto é, ambas as por­
ções da solução da tensão são ondas viajantes; então, usan­
do a relação
^ £u(t-z)*f(t-z)J = e ZS F(s)
(6.13)
■ F(s)
A solução no tempo para a equação (6.12) pode ser 
escrita como;
v(t,x) - A(t- y/LC x )• u(fc— y/Ic x) B(t+ v/LC x)*u(t+ y/Í£ x)
(6.14)
Este resultado pode ser interpretado como duas on­
das viajantes, uma direta, ou na direção +x e a outra na 
direção -x . Ambas as ondas estão viajando com a velocidade;
1
(6.15)
Notar que se pode deduzir a direção do movimento 
da onda examinando-se o argumento das funções A e B na equa­
ção (6.14) . Qbserve-se que, para a função A, se ^ cresce na mes­
ma taxa com t, o argumento da função A permanece constante 
e, portanto, deve ser interpretado como uma onda movendo-se 
na direção positiva de x. A função B pode ser interpretada
de uma maneira semelhante. Neste caso, x deve crescer num 
sentido positivo, para manter o argumento da função constante 
e, portanto, a função B ê interpretada como uma onda viajante 
negativa, ou uma onda que se move na direção negativa de x.
B. Relação entre as soluções de tensão e de corrente
A solução para a tensão foi desenvolvida a partir 
da equação (6.06) e resultaram duas constantes arb itrarias, 
que, como mostra a equação (6.14), podem ser funções arbi­
trarias do tempo. Devido à semelhança das equações (6.06) e
(6.07), uma solução correspondente pode ser obtida para a 
corrente (equação (6 .07 )). A solução pode ser escrita dire­
tamente, tanto no domínio da transformada de Laplace,a qual 
corresponde à equação (6.12), como no domínio do tempo,cor­
respondente •à equação (6.14).
I(s,x) - D(s)e~S ^ x + E(s)e+S ^ x (6.16)
i (t ,x ) » D(t- \/LC x).u(t-v/LC x) ♦ E(t+ /̂LC x) u(t+\/LC x ) (6.17)
A equação (6.16) e a equação (6.17)também podem 
ser interpretadas como soluções positiva e negativa da onda 
viajante da corrente. Assim, nestas duas soluções para ten­
são e corrente existem quatro constantes arb itrárias re la ­
tivas a x, as quais são A, B, D e E. Estas quatro constan­
tes foram desenvolvidas e incorporadas devido às equações 
(6.06) e (6.07) serem, cada uma, equações diferenciais de 
segunda ordem. Mas as equações (6.06) e (6.07) foram de­
senvolvidas a partir da solução simultânea de duas equações 
diferenciais de primeira ordem em t; portanto, somente duas 
constantes arbitrárias podem ser mantidas para este conjun­
to de soluções. Assim, A, B, C e D não são todas constan­
tes arb itrárias mas, de fato, estão relacionadas de algum 
modo. A relação entre as equações da tensão e da corrente 
pode ser achada substituindo-se a solução (equação (6.12) e
(6.16)) na forma "sem perda" da equação (6.03) mostrada a- 
baixo, como a transformada de Laplace da equação desejada.
_ dV(s,x) 
dx
_ = sC.V(s,x) (6 .Í9)
Substituindo-se as equações (6.12) e (6.16) na e- 
quação (6.18) obtém-se:
+ s /lC-A(s ) - e~S ^ x - s \/bC*B(s ) • e+S ^ x -
y t\/ \ \/lC x . - x +s v^C xsL*D(s) • e ♦ sL*E(s) * e v
(6 . 2 0 )
Os termos de mesmos exponenciais podem ser colo­
cados juntos como:
“ [s y/LC*A(s) - sL-D(s)] . e~S^ x
“ [s v/LC*B(s ) ♦ sL*E(s ) ] • es ^ x = 0
(6 .21)
Se esta equação (6.21) é verdadeira para todos os 
valores de s e x, é evidente que os coeficientes das expo­
nenciais devem, independentemente, ser iguais a zero, por­
tanto:
yíÕA(s) = L D(s)
1
OU
ou
D(s ) - A(s )ã .
y/ÊC B(s ) = - L E(s )
E(s) = - -à : B(s )
í
( 6 . 22 )
(6.23)
Como foi demonstrado nas equações (6.22) e (6.23), 
as constantes D e E podem ser expressas como funções de A e 
B e as soluções das equações (6.12) e (6.16) podem ser es­
critas como:
V(s,x) = A(s ) - e~S ' f á X ♦ B(s ) • e+S ^ x (6.24)
_ A(s ) -s y/LC x _ B(s ) +s v/LC xI(s,x) = e (6.25)
Nesta expressão, o termo Zc é chamado impedância 
de surto da linha de transmissão e, porque L e C são fun­
ções somente da geometria da linha, Zc ou a impedância de 
surto é, também, uma função da geometria da linha.
Impedância I u 2 ^
de Surto: = Z » ~ = / —------—c J C / 2ne
* r
A impedância ê referenciada como a impedância 
de surto, porque esta impedância fornece a relação entre a 
tensão de surto e a corrente de surto para uma tensão e cor­
rente , as quais são unidimensionais na linha de transmissão* 
Também nas equações (6.24) e (6.25) vê-se que as ondas da 
tensão e da corrente possuem, basicamente, a mesma forma, 
com a onda da corrente reduzida, em sua magnitude, de 1/Zc . 
A onda viajante da corrente, em uma direção negativa, tam­
bém tem sinal oposto àquele da onda de tensão associada. Um 
esboço das ondas de tensão e da corrente em uma linha de 
transmissão pode ser usado para fornecer uma interpretação 
clara do significado do sinal menos, na onda movei negativa 
da corrente.
onda 
via jante 
positiva
onda
viajante
negativa
O s in a l n ega t ivo na co rren te não é misterioso quando 
nos damos conta que a co rren te tem uma d ire ção assoc iada ã 
sua magnitude e matematicamente usamos a d ire çã o p o s i t i v a de 
x, como a d ire çã o p o s i t i v a da co rren te . A tensão em uma l i ­
nha de transmissão ê medida, como magnitude, a p a r t i r da l i ­
nha para a t e r r a , enquanto a co rren te ê medida como magni­
tude, de um ponto a ou tro , long itud ina lm en te . Um f lu x o de 
co rren te p o s i t i v o , na d ire çã o p o s i t i v a , é aquele que produz 
uma d e f le x ã o p o s i t i v a no amperímetro
0 amperímetro e conectado de maneira 
a produzir uma deflexão positiva para 
uma corrente positiva.
■■ m X
F ig . 6.03
Assim, quando a onda de tensão p o s i t i v a passa pe­
lo amperímetro, na d ireção p o s i t i v a de x, a co rren te en tra ­
ra p e lo te rm ina l p o s i t i v o , produzindo uma d e f le x ã o p o s i t i v a . 
Analogamente, se uma onda de tensão, movendo-se na d ire ção 
-x , passa p e lo amperímetro, a onda da co rren te en tra ra p e lo 
te rm ina l n ega t iv o e , com i s s o , p roduz ira uma d e f le x ã o nega­
t i v a no amperímetro. Em problemas p r á t ic o s , em g e r a l , não é 
d i f í c i l manter os s in a is c o r re to s da c o r ren te , por um c r i ­
t é r i o mais ou menos de bom senso. O diagrama acima seria pro­
v e i t o s o em algumas s itu ações que poderiam tender a se tomar 
con fusas .
I I I . TERMINAIS E DESCONTINUIPAPES DAS LINHAS DE TRANSMISSÃO
A seção a n te r io r demonstrou que qualquer onda via­
ja n te , em uma l in h a de transm issão, pode ser decomposta em 
componentes d i r e t a e in ve rsa da tensão e da c o r ren te . Esta 
re la ção pode se r e s c r i t a , de uma forma reduz ida , como:
= v^ + v^ (corresponde à equação (6 ,1 4 ) ) (6 .27)
i = (corresponde à equação (6 .1 7 ) ) (6 .28)
onde
f = d i r e t a 
r = in ve rsa
Em cada ponto da l in h a , a segu in te re la ção também 
deve s e r v e rd a d e ira :
v^ = Z^i^ (corresponde à equação (6 .2 2 ) ) (6 .29)
v r = Zc i r (corresponde à equação (6 .2 3 ) ) (6 .30)
Estas quatro r e la ç õ e s , equações (6.27) , (6.28) , (6.29)e 
(6 .3 0 ) , são verdade ira s para qualquer onda, em qualquer pon­
to da l in h a de transmissão e , p o r tan to , são verdade ira s em 
qualquer descontinu idade ou term ina l desta l in h a . Assim,uma 
so lução simultânea das quatro equações da l in h a de transmis - 
são acima e as equações , que definem o te rm in a l , r e s u l t a ­
rão em um conjunto de condições de contorno, que define com­
pletam ente o problema que e s tá sendo ana lisado .
A. Term inal da l in h a - Extremidade aberta
Para o caso de uma l inha de transm issão oom uma ex­
tremidade aberta , pode-se cons idera r uma onda chegando,como 
ê mostrado p e lo degrau u n itá r io na F ig . 6 .04.
fit)
| Vy s tensão terminal
F ig . 6.04
Assim, se as equações (6.27) e (6 .28 ) são v á l id a s 
em qualquer ponto, são v á l id a s no term ina l e , p o r tan to , po­
dem se r re la c ion adas à tensão e co rren te do te rm in a l, como 
e s tá demonstrado nas equações (6.31) e (6 .3 2 ) .
VT = Vf + Vr (6 .31)
*T " ° = *■£ * (6 .32)
Usando-se as equações (6.29) , (6 .30 ) e a equação
(6.32) r e s u l ta na expressão onde v é função da onda d i r e t a
ou que chega.
vf vr
’ 0 ” r " Z (6 .33)
ou c c
V = v~r f (6 .34)
Po r tan to , a tensão term ina l vT ê
vT ■ 2vf (6 .35 )
e , a p a r t i r da equaçao (6.32)
*r = ~ (6 .36 )
Assim, vemos que, se uma onda chega a uma ex ­
tremidade aberta de uma l in h a de transm issão, a tensão do 
term ina l é ig u a l ã duas vezes a tensão que e s tá chegando. A 
tensão r e f l e t i d a é ig u a l ã tensão chegando e a co rren te r e ­
f l e t i d a é ig u a l ã menos a co rren te chegando. I s t o e s tá mos­
trad o , esquematicamente, na F ig . 6.05.
■vtl
vfl
'fi —
I i '— r l |
F ig . 6.05 *--------1
N o te -s e , na F ig . 6 .05, que esse e f e i t o de tensão 
dupla propaga-se de v o l t a ao longo da l inha de t ra n s m is s ã o e , 
para o caso de um degrau u n i t á r io , even tua lm ente , c a r r e g a r ia 
completamente a l inha numa tensão de 2 por unidade. Analo­
gamente, a co rren te chegando, com a onda d i r e t a , ê " e l im i ­
nada" p e la co rren te n ega t iv a r e f l e t i d a , deixando a linha com 
co rren te z e ro , en tre o term ina l aberto e a onda r e f l e t i d a . 
I s t o pode se r re la c ion ad o com a f í s i c a fundamental do p ro ­
blema.
Desde que ̂ a onda de tensão o r i g in a l se propaga pe­
la l in h a , para a extrem idade aberta , a en e rg ia desta onda ê 
armazenada nos campos magnético e e l é t r i c o em torno da l i ­
nha de transm issão. Metade da en erg ia ê armazenadano campo 
- 2e l e t r i c o (1/2 Cv ) e a ou tra metade e armazenada no campo
2 ~ magnético (1/2 L i ) . A en e rg ia armazenada na r e g iã o , apos a
onda r e f l e t i d a passar, ê de natureza d i f e r e n t e daquela da 
onda v ia ja n t e d i r e t a o r i g in a l . Devido à co rren te se r z e ro , 
não e x i s t e en e rg ia magnética armazenada na l in h a , enquanto 
a tensão dupla in d ic a uma maior magnitude da en e rg ia e l é ­
t r i c a armazenada.
B. Terminal da l inha - R es is tên c ia
O term ina l r e s i s t i v o ê ca lcu lado de maneira muito 
s im i la r aquela da l in h a de c i r c u i t o aberto . A q u i, a r e s t r i ç ã o 
a d ic io n a l é que a tensão e a co rren te te rm ina l são r e l a c i o ­
nadas p e la l e i de Ohm. O c i r c u i t o usado no c a lcu lo desta con­
d ição é mostrado na F ig . 6.06.
F ig . 6.06
As c inco equações segu in tes definem , completamen­
t e , a in formação conhecida no term ina l da l in h a de tran s ­
missão .
VT “ Vf * Vr (6 .38)
ÍT “ + *-r (6.39)
iT R = vT 
Vf = Zci f
(6.40)
(6.41)
v =-Z 1 r c r
Conhecidos v f , R, Z£ C
Desconhecidos vT, i T, vr , i f , i r
(6.42)
Nestas cinco equações existem cinco incógnitas ,co- 
mo foi mencionado; portanto, a solução para o sistema de e- 
quações ê possível. As equações acima podem ser manipuladas 
da seguinte maneira:
^ + i r
V* V
Z Z Tc c
v f + \ m
ou R R
Vf + Vr = Zc Vf “ Zc Vr
Resolvendo para v
r - (1 + z ) “ vf (z - 1)
c c
ou R - Zc
vr " R ♦ Zc Vf
(6.43)
As equações acima, para a onda re fletida da ten­
são, podem ser interpretadas com relação â fís ic a do proble- 
/
ma. A impedancia de surto da linha e a impedancia terminal 
são, ambas, resistivas. A onda refletida terã a mesma forma 
da onda direta, mas serã modificada em sua magnitude, como 
determinado pelo coeficiente de na equação (6.43). Este 
coeficiente de é comumente chamado de coeficiente de re­
flexão para a linha de transmissão.
Coeficiente de reflexão 
da tensão (6.44)
A equaçao acima poderia, também, ser resolvida pa­
ra a corrente re fle tida , como uma função da corrente direta. 
O coeficiente da reflexão da corrente vem a ser, então:
Nota-se que na equação (6.45) o sinal menos entra 
no problema, pela mesma razão do sinal menos para a onda via­
jante negativa da corrente.
Os coeficientes de reflexão acima podem ser in­
terpretados, considerando-se várias situações específicas . 
Por exemplo, se a linha termina em uma resistência, R = Zc , 
o coeficiente de reflexão é zero e não ocorre onda de ten­
são ou corrente re fle tida . Se R é menor que Z^, a onda re­
fle tida da tensão é negativa e a onda re fle tida da corrente 
é positiva. Se R é maior que ZQ a onda re fle tida da tensão 
ê positiva e a onda re fle tida da corrente é negativa. Essas 
equações podem ser usadas para calcular o coeficiente de re­
flexão, para condições de circuito aberto ou curto-circuito, 
fazendo R tornar-se in fin ito ou zero, respectivamente.
C. Terminal da linha - Interpretação alternativa
Uma interpretação comum do coeficiente de re fle ­
xão é ú t il em muitos problemas, porém uma alternativa de en­
carar esta questão estende seu conceito a um ponto que é 
mais proveitoso para muitas situações de engenharia. Se fo­
rem usadas as equações (6.38) e (6.43) para calcular a ten­
são terminal, pode-se obter a tensão terminal como lima fun­
ção da onda chegando ou direta.
Coeficiente de reflexão 
da corrente:
(R-Z ) Z -R
(6.45)
(6.46)
Essa equação para a tensão term ina l pode ser in ­
te rp re ta d a como resu ltado do c i r c u i t o mostrado na F ig . 6.07.
Zc
Assim, vê -se que a representação do c i r c u i t o da 
equação (6 .46) ê , rea lm ente , a representação do eq u iv a len te 
Thêvenin do c i r c u i t o . I s t o ê , a impedância do s istem a Ẑ , ê 
aquela v i s t a , olhando-se para o i n t e r i o r da l in h a de t ra n s ­
missão com a fon te de tensão c u r to - c i r c u i ta d a e a tensão in­
te rn a , 2 v^ , ê ig u a l a tensão de c i r c u i t o a b e r to , sem carga 
te rm ina l no s istem a. Usando e s te c i r c u i t o e q u iv a len te Thê­
ven in , a carga term ina l R pode se r lo c a l i z a d a no c i r c u i t o e 
a tensão te rm ina l vT , pode, en tão , se r ca lcu lada .
Este ê um c i r c u i t o pa rt icu la rm en te ú t i l em muitos 
problemas do t ip o impulso de sobretensão. Observe-se que se 
uma onda chegando de uma l in h a de transmissão pode p rod u z ir 
uma tensão de 2 por unidade no c i r c u i t o ab er to , a tensão do 
te rm in a l , sob qualquer carga r e s i s t i v a , pode, en tão , ser cal­
culada imediatamente, usando-se o con ce ito d i v i s o r de ten ­
são, esp ec if icam en te mostrado na equação (6 .46) e mostrado, 
esquematicamente, na F ig . 6 .07.
Se v T é ca lcu lada usando e s te c i r c u i t o equ iva len ­
t e , a tensão r e f l e t i d a pode s e r ca lcu lada a p a r t i r da equa­
ção (6 .38 ) .
ou v r = VT ~ v f (6 .47 )
Este método de c a lc u la r a tensão r e f l e t i d a é ú t i l 
em alguns c i r c u i t o s , onde o método do c i r c u i t o e q u iv a len te 
ê usado para c a lc u la r , d ire tam en te , a tensão te rm in a l .
D. Nomenclatura da onda v ia ja n t e
O con ce ito de uma tensão r e f l e t i d a é bastante cla­
ro e ú t i l em uma l in h a simples de do is te rm in a is . Muitas ve­
zes , em sistemas com mais de do is te rm in a is , é conven iente 
in t r o d u z i r o c on ce ito de onda de tensão r e t r a t a d a . A onda 
de tensão r e fra ta d a no c i r c u i t o e q u iva len te é , justam ente,a 
tensão te rm in a l. I s t o se torna mais c la r o a p a r t i r de um 
exemplo simples da junção de duas l in h as .
Vi
Linho 1 
Z = 300
Unho 2 
Z -3 0
C o e f ic ie n te ^ _ 30~300 ̂ ~270 9
de r e f l e x ã o I ~ 30+300 * 33^ ~ 11
F ig . 6.08
A onda de tensão r e f l e t i d a é -9/11 se v^ = 1 e 
tensão no te rm in a l, vT , é ig u a l a 2/11.
v + v- « 1.0 a i 11
2_
11
A tensão , propagando-se para a d i r e i t a , na l in h a 
2 , . é ig u a l a 2/11 e é frequentemente chamada de tensão r e - 
f r a ta d a .
O con ce ito de onda de tensão r e f r a ta d a é bastante 
ú t i l em problemas s im p les . Mas, para p ro p ó s ito s de d iscussão 
de problemas de s istem as m u lt i t e rm in a is , to rn a -se confuso, 
quando v á r ia s ondas de tensão chegando, r e f l e t i d a s e r e f r a ­
tadas são d is cu t id a s no mesmo problema. P o r tan to , o c on ce i­
to de tensão r e fra ta d a não será usado nestas notas. A d i s ­
cussão v a i , somente, se r e f e r i r à ondas de tensão chegando 
e r e f l e t i d a s , que serão d e f in id a s como:
1) Onda chegando: Qualquer onda de tensão chegando da
l in h a de transmissão para o term inal.
2) Onda r e f l e t i d a : Qualquer onda de tensão deixando uma barra
e propagando-se em uma linha de transmissão
Usando-se e s ta convenção, a tensão na lin h a 2, a- 
cima, p od er ia s e r tra tad a como uma onda de tensão r e f l e t id a .
Pode pa recer que as regras acima complicam o c a l ­
cu lo da co rren te no c i r c u i t o , porque e x is t e uma diferença de 
s in a l nas ondas de co rren te chegando e r e f l e t i d a , a qual in­
f lu e n c ia ra a resp os ta ; i s t o é , devemos saber qual é a onda 
d ir e ta , para determ inar a convenção de s in a l apropriada,quando 
ca lcu lando a c o rren te .
P e la convenção acima, pode-se d e f in i r a onda che­
gando e a r e f l e t id a em cada term in a l de cada linha.Para cal­
cu la r a c o r re n te , com o s in a l c o r r e to , é n ecessá r io conhe­
c e r -s e as ondas de tensão , d ir e ta e re v e rsa , e u sá -la s na 
equação (6 .29 ) e equação (6 .3 0 ). Assim , em cada te rm in a l de 
uma lin ha ê n ecessá r io in d ic a r por "d ir e ta " a tensão "ch e­
gando" e " in v e rs a " a " r e f l e t i d a " . O problema to rn a -se a r b i­
t r a r um sen tid o "p o s i t iv o de x" para a lin h a e e s te ,e n tã o , 
d e fin e a in d ica ção corresponden te.
Terminai de linha 1 Terminal de Linha 2__________________________________________________________ \
va 2 
vr2
/ --------------------- \ /--------------------- V̂l" - — V
v chegando = vQj r onda inversa v chegando - vq2 = onda direta
v refletido = v rj = onda direta v refletido = vr2 = onda inversa
F ig . 6.09
Em problemas p rá t ic o s , e s ta "con fusão de convenção" 
não é tão confusa como pode p a rece r de um ponto de v is t a ge­
r a l . Quando os dados do problema são organ izados em forma de 
ta b e la , a con fusão, n este ponto, pode ser e lim in ada . Esse 
problema será melhor d is cu tid o no C ap ítu lo 7.
IV. TERMINAIS GERAIS DA LINHA DE TRANSMISSÃO
As seções anteriores consideraram ambos terminais 
da linha, aberto e resistivo e são üteis em muitos proble­
mas práticos de engenharia. A mesma técnica, descrita aci­
ma, pode ser usada para calcular qualquer condição terminal, 
mas o método do circuito equivalente, detalhado em III-C a- 
•cima, é particularmente ú til para o cálculo do problema das 
condições terminais genéricas.
A descrição do equivalente Thévenin, acima, usou 
o caso do terminal resistivo para desenvolver o método do 
circuito equivalente, mas não contou com o fato de que o ter­
minal era resistivo. Isto é, uma fonte de tensão interna, 
com uma tensão igual a duas vezes a tensão chegando e com 
uma impedância da fonte igual a impedância de surto da l i ­
nha, é um circuito equivalente geral. Qualquer carga pode 
ser colocada neste circuito equivalente. Portanto, este c ir ­
cuito equivalente pode ser usado no cálculo de problemas de 
transitórios até para terminais não resistivos. Se for in­
terpretada a fonte de tensão no domínio (s) (transformada de 
Laplace da fonte de tensão) e considerada a transformada de 
Laplace da impedância terminal, Z (s ), obter-se-á o circuito 
equivalente mostrado na Fig. 6.10.
Zc
Z(s) Vr
Z(s) = Transformada da impedância de entrada do circuito 
V(s) = Transformada de Laplace da fonte de tensão
F ig . 6.10
Para e s te caso , a tensão term in a l pode se r c a l ­
culada como:
VT (S) - 2 Vf W z J ' !S>z ( s)
onde o c o e f ic ie n t e de r e f le x ã o pode se r achado de 
vr = vT - vf ou VT(s ) « VT(s ) - Vf (s )
(6 .48 )
OU
' V s>
Z(s) - Z
V s) = Z ~ T 'z (s ) Vf (s )
(6 .49]
P o rta n to , no sen tid o da transform ada, a onda r e ­
f l e t i d a pode ser ca lcu lad a . Em muitos problemas de circuitos, 
o c a lcu lo desta expressão complexa é mais d i f í c i l que c a l ­
cu la r a tensão te rm in a l, d iretam ente no c ir c u it o eq u iva len ­
t e . Uma vez ca lcu lada a tensão te rm in a l, a onda re fle tid a pode 
ser ca lcu la d a , numericamente, usando-se a equação (6 .4 7 ).
Por exemplo, se a lin h a de transm issão term ina em 
uma ca p a c itâ n c ia :
Z(s) = sc
e a tensão term in a l ê encontrada
JL̂ 
sc
ou
VT (s ) - 2 Vf (s )
VT(s ) - 2Vf (s )
Z + —
C SC
Z c c
s ♦
V
o c a lcu lo desta equaçao d i f e r e n c ia l é sim ples e pode se r en­
contrado em muitas tab e la s de transform ada. (Ver problema 
6.13)
Este c o n ce ito pode se r usado para uma grande va­
r iedade de problem as. Considerando-se o caso da capacitância 
co locada no cen tro de uma lin h a de transm issão muito longa.
c
F ig . 6.11
Como in d ica d o , a impedância da fo n te , para o e q u i­
v a len te Thêven in , ê uma impedância de su rto da l in h a ,â qual 
o su rto e s ta chegando. A ca p a c itâ n c ia é considerada como uma 
carga nos term in a is da lin h a 1 , enquanto a lin h a 2 , saindo 
da junção/ também atua como carga r e s i s t i v a , onde R é ig u a l 
â impedância de su rto da lin h a 2 . 0 c ir c u it o e q u iva len te re­
su lta n te é mostrado na F ig . 6.10.
écl
*c2
V. ESTABELECIMENTO DAS CONDIÇÕES IN IC IA IS
Uma solução fundamental para a onda v ia ja n te dada 
nas equações (6 .14 ) e (6 .17 ) f o i d esen vo lv id a para condições 
in i c i a i s ze ro . Se esse sistem a f o i en erg izad o por um período 
co n s id e rá ve l de tempo, a n te r io r ao problema do impulso ou da 
tensão t r a n s it ó r ia em con s ideração , algumas condições i n i ­
c ia is de estado permanente serão e s ta b e le c id a s no sistem a e 
é d e s e já v e l in c o rp o rã - la s aos con ce ito s jã d esen vo lv id o s .
Pode nem sempre s e r p o s s ív e l e s ta b e le c e r cond ições in i c i a i s 
p re c is a s para todas as s itu a ç õ e s , mas uma aproximação in tu i­
t i v a pode s e r usada para e s ta b e le c e r cond ições in i c i a i s pa­
ra a m a io r ia das a p lic a çõ es de engenharia .
Por exem plo, c o n s id e re -se uma lin h a de transm is­
são que é aberta em ambas as extrem idades e na qual e x is t e 
uma carga armazenada. Pode s e r in te re s sa n te estu dar os r e ­
su ltados do fechamento de uma chave, na extrem idade desta l i ­
nha de transm issão. Para e s te caso , mostrado na F ig . 6 .13a, 
usa-se o método do e q u iv a len te Théven in . A tensão in te rn a 
e q u iv a len te é ig u a l â carga armazenada na lin h a de tra n s ­
missão e a impedância de en trada é a impedância de su rto da 
lin h a . Esta tensão in te rn a não é dobrada, porque não é uma 
onda d ir e ta ou que chega. Mas, mais p rec isam en te, ê a ten ­
são e q u iv a len te Thévenin t o t a l . E, p o rta n to , a tensão in ­
tern a t o t a l no c ir c u it o eq u iv a len te ê :
Circuito •quivalento do 
terminal chaveaóo.
Se esse sistem a e s t iv e s s e sendo im pulsionado por 
uma fon te de tensão de 60 c ic lo s , em vez da carga armazena­
da do exemplo acima, a tensão in te rn a s e r ia ig u a l à tensão 
in te rn a na lin h a , ou a onda de tensão de 60 c ic lo s , a qual 
s e r ia medida sob cond ições de c ir c u it o a b erto . Qualquer tran­
s i t ó r i o gerado por um e f e i t o term in a l de in te rru p çã o , ou da 
sob repos ição de uma tensão nos term in a is/p rod u zirá uma ten ­
são te rm in a l, ca lcu lad a usando-se esse c i r c u i t o e q u iv a le n te , 
do qual a onda r e f l e t i d a pode ser ca lcu lad a . (Ver equação 
(6 .47 )
A tensão in te rn a e f ic a z do eq u iv a len te Ihevenin de­
sen vo lv id a desse modo, a p a r t i r das cond ições in i c i a i s , s e ­
jam e la s uma carga armazenada, ou uma fon te de tensão senoi- 
d a l , não será m od ificada por qualquer e f e i t o term in a l e po­
de se r m od ificada por ondas de tensão chegando a e s te s t e r ­
m inais. P o rta n to , o c i r c u i t o eq u iva len te g e r a l , in c lu in d o as 
cond ições in i c i a i s e quaisquer tensões m od ificadas ocorridas 
dev ido a t r a n s it ó r io s chegando da lin h a de transm issão, são 
mostrados na F ig . 6 .14 .
Condição inicial
+
2 ^ Vf (s)
ZC
Z(s)
F ig . 6.14
Com es te c i r c u i t o pode-se c a lc u la r vT e , portan to , 
a tensão r e f l e t id a .
APÊNDICE A
TABELA DAS TRANSFORMADAS DE LAPLACE BASICAS
Pares Operadores
O-l f (t ) F(s) «= f ° ° f(t )e~stdt 
j O
0-2 a f (t ) a F(s)
0-3 f(t/a) a F(as)
0-4 f(t -a ) f (t -a ) = 0 0<t <a e”asF(s)
0-5 e ^ f d ) F(s+ã)
0-6 í£ ÍÜdt a F(s) - f +(0)
0-7 J” f (t)dt i f(8 ) * h m
Pares trans formados
T-l impulso 1
T-2 u(t) degrau unitário 1/s
T-3 r (t ) *= tu(t) rampa 1/b2
T-4 —at e
1
s+a
T-5 ia
1
s(s+a)
T-6
-at -pte -e 1
P*~a (s+a)(s+p)
T-? sen (ut)
T-8 cos (ut)
T-9 \ (1“ cos ut)
0)
T-10 e~a ̂ sen ut
_ -atT -ll e cos ut
u
2 2 
8 +U
2 2 
6 +u
/ 2 . 2 » 
s ( s +U )
u
(s+a)^+u^
(s-»cc)
(s+a)*>u^
APÊNDICE B
SISTEMAS DINÂMICOS, EQUAÇÕES DIFERENCIAISSOLUÇÕES TRANSITÓRIA E PERMANENTE 
IMPEDÃNCIA OPERACIONAL
O estudo de "c o n tr o le e dinâm ica" requer o uso de 
c e r ta s ferram entas e té cn ica s m atem áticas, as quais to rn a ­
ram-se uma p a rte e s s e n c ia l da te c n o lo g ia de c o n tro le . Estas 
ferram entas e s tão todas re la c ion ad as com os métodos de so­
lução e a n a lis e de sistem as d e s c r ito s por equações d i fe r e n ­
c ia is . Não é in ten ção e s tu d a r , detalhadam ente, o d esen vo l­
vim ento t e ó r ic o da matemática p e r t in e n te que forma a base 
para v á r ia s ferram entas de a n á lis e . Existem numerosos t e x ­
tos que podem se r consu ltados para esse p ro p ó s ito , alguns 
dos quais e s tã o na l i s t a de r e fe r ê n c ia s 25. O tra tam en to , 
nestes apênd ices , será na forma de uma re v is ã o b reve de a l ­
gumas té c n ic a s , para suplem entar e su s ten ta r o m a te r ia l no 
te x to p r in c ip a l , em "d inâm ica e c o n tro le de g e ra çã o ".
SISTEMAS DINÂMICOS
0 comportamento dos sistem as dinâm icos ê expresso 
por equações d i fe r e n c ia is que re lacionam as v a r iá v e is do 
sistem a. Em muitos casos, e s ta s equações são, ou podem se r 
aproximadas por equações d i fe r e n c ia is l in e a r e s . Quando e s te 
é o caso, so lu ções da forma c lá s s ic a ou fechada podem se r 
o b t id a s .
Para o caso g e ra l de equações d i fe r e n c ia is não l i ­
neares, as so lu ções devem ser procuradas a tra vés do uso de 
sim ulação, por métodos de computação a n a ló g ica , ou por t é c ­
n icas de in te g ra çã o executada por computadores d i g i t a i s .
Ainda que qualquer problema possa se r r e s o lv id o 
por esses métodos de sim ulação, o d isce rn im en to , que pode ser 
ob tid o a p a r t i r da a n á lis e de sistem as l in e a r e s , é in e s t i ­
mável como gu ia para cá lcu lo s de p r o je to e perform ance de 
sistem as de c o n tro le .
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DO SISTEMA
Os sistemas dinâmicos podem ser térmicos, mecâni­
cos, elétricos ou uma combinação destes. A fim de permanecer 
num campo fam iliar, pode-se ilu strar com um exemplo e lé t r i­
co e lim itar a discussão â equações diferenciais lineares.
Considerando o circuito da Fig. B -l
I _____________
Fig. B -l
A equação diferencial é
E iR ♦ L
di
dt (B.01)
Pela separação das variáveis, a equação A -l pode ser posta 
na forma de B-2
1 J é k - J dt
A integração da equação A-2 produz
(B.02)
(B .03)
Onde é a constante de integração.
A equação (B.03) também pode ser expressa na for­
ma exponencial como:
i = E/R + C2e~ ^ * (B .04)
Onde C2 ê obtida das constantes de integração,as quais, por 
sua vez, são determinadas pelas condições in ic ia is em ele­
mentos de armazenamento de energia. A corrente, na indutân- 
cia L, no tempo t=0, antes da chave ser fechada, é Í q=0.
A substituição de i=0 em t=0, na equação (B .04),
r e s u lta :
C2 = - E/R
E a equação (B .04) pode s e r e s c r i t a como
1 - | [ l - e - ^ * ]
d e s c r ita na F ig . B-2 como função do tempo
(B .05)
(B.06)
contendo d o is componentes.
1 . O componente de estado permanente
i = E/R
» (B.07)
o qua l tem a mesma forma da tensão a p lica d a .
2 . O componente t r a n s i t ó r io
E - ü/L t
H ~ R ® (B .08)
o qual d ec resce , exponencia lm en te, a té z e ro .
Um método a lt e r n a t iv o para a solução da c o rren te , 
no c ir c u it o da F ig . B - l , ê r e s o lv e r , separadamente, os com­
ponentes de estado permanente e t r a n s i t ó r io , como segue:
1 - V 1»
S u bstitu in do-se a equação (B .09) na equação (B .01)
(B .09)
di di
E = V 4 L 5 T 4 * L ~dt (B .10)
Como E ê constante, d ig/dt = 0
Por definição, também î _ e di^/dt = 0, no estado permanen­
te.
Daí i = E/R (B. 11)
Substituindo-se a equação (B .ll ) na equação (B.10), obtém- 
se a relação, a partir da qual pode-se resolver o componen­
te transitório, isto é:
d it
Bit + L JJJ- = ° (B. 12)
Por definição, o componente transitório é de natureza ex- 
ponencial e pode ser expresso como
' v pt
Substituindo-se a equação (B.13) na equação (B.12)
(B.13)
(R*pL) ITePt “ 0
Da equação (B .ll ) o valor de p é determinado como
(B. 14)
P = - n/t (B .15)
o qual, como se pode notar, é independente da tensão ap li­
cada "E" mas é, meramente, uma função dos parâmetros do c ir ­
cuito.
Substituindo-se na equação (B.15) na equação (B.13)
obtém-se:
* t - V
- Tt/L t
(B .16)
0 valor de IT é determinado pelas condições in ic ia is , isto
é, o valor de i em t=0. A corrente total i = i + i. será:s t
i = E/R + ITe“ t
em t=0 1 = E/R ♦ Iy = 0 
onde IT = -E/R.
A expressão resultante para a corrente ê , naturalmente, a 
mesma que a obtida pela solução clássica:
i = e/r-ç/r* “R//L 1
Esse exemplo foi usado para um sistema descrito 
por uma equação diferencial de primeira ordem. Para um s is ­
tema geral de enésima ordem, o componente transitório deve
ser escolhido na forma t ePnt. os valores de p são calcula-
n d t ndos, fazendo-se o coeficiente de I e^n igual a zero. Essesn
princípios estão encobertos em outros métodos mais comuns de 
solução de equações diferenciais, como aqueles que usam o 
método da transformada de Laplace. Não se prosseguirá com o 
método clássico da solução de equações diferenciais, exceto 
para introduzir a idéia de "equação característica", a qual 
ê básica e também será obtida com o método da transformada 
de Laplace.
EQUAÇÃO CARACTERÍSTICA
A escolha de uma forma exponencial para o transi­
tório da solução de um conjunto linear de equações diferen­
ciais fo i orientada pelos resultados da solução clássica.
Esta forma de solução tem as seguintes interes­
santes propriedades.
Se
i = I eP* (B .17)
então
(B .18)
e
4 - ip2*pt
dt2 (B .19)
também
J i d t . í . * (B .20)
Portanto, na equação para a solução transitória,
se " i " é substituído por Ie^*", os termos na equação 
dn
dtn n fn n -são substituídos por p e os termos ( ) dt Osao substi-
T\ "tuídos por 1/p .
Por exemplo, a equação diferencial
dni d11”1
a — - ♦ a. — — r i ♦ . . . . a i + a , | i dt
° dtn 1 dtn 1 n n+1
• . • &n+m J i dtm = f ( t )
(B.21)
com i Iept torna-se
n-1 V n+1 n*mm ) Iept = f (t) (B .22)
A forma polinomial da equação, obtida através da 
substituição de derivadas e integrais por operadores p e 1/p 
apropriados, é chamada forma operacional da equação.
A équação básica que determina o modelo transitó­
rio é independente da função forçante f ( t ) aplicada. Ela é 
conhecida como equação característica do sistema e, no exem­
plo acima, é:
(a„P
n n -1 . „ . a (n+l) a (n+mK _
. +a^p ♦ . . . . an ♦ '■ +. ‘ ** m ) ~ 0
ou (B.23)
t n+ni n+m-1 \ - n(a©P +axP + . . . . anp ♦ . . . . an+m) - 0
m
Os valores de p, que satisfazem a equação (B .23), 
são as raízes da equação característica e os valores que a- 
parecem na solução i= inePnt, determinando a forma transitó­
r ia do sistema.
A equação característica de um sistema e suas ra í­
zes são fundamentais no cálculo das reações e estabilidade 
de sistemas dinâmicos.
Exemplo 1
A Fig. B-3 mostra uma rede KLC, série, conectada a 
uma fonte E ( t ) , por uma chave S, em t=0.
A equação do circuito, para o tempo após o fecha­
mento de S, é
Ri + 1C Jidt = E(t)
(B .24)
Fracionando a solução em duas componentes (estado permanen­
te, com a mesma forma de E(t) e estado transitório) s e ê le ­
vado a examinar o caso em que E = constante. A solução do 
estado permanente ê tirada da equação (B .24), notando-se que
i tem a mesma forma que E ( t ) , isto é:s
0
Substituindo-se a equação (B.25) na equação (B.24)
(B .25) 
(B.26)
A única forma de i g ser uma constante e satisfazer a equa­
ção (B.26) é
l, - 0 e - è - 1 V * - E-
A solução transitória ê achada escrevendo-se o lado esquer­
do da equação (B.24) na forma operacional e igualando-se a 
zero, isto é:
(Lp+R+ -) • i = 0 (B .27)
onde " i" é da forma I ePntn
A equaçãocaracterística da equação (B.27) é 
CLp2 + RCp + 1 = 0 
a qual produz as raízes
Dependendo de (R/L) ser > ou < (4/LC) 
serão reais ou complexas.
A expressão para a corrente 
P-it P2t
h = + I 26
Para calcular 1 ̂ e , nota-se que as 
sistema eram i = 0 e a tensão através 
isto é:
' 3 3 ra íZeS P 1 6 P 2 
transitória é
(B .29)
condições in ic ia is do 
do condensador = 0
i = 0 (B. 30)
èJ i dt (B. 31)
Visto que o componente do estado permanente i = 0 , a con­
dição da equação (B.30) aplicada â equação (B.29), produz: 
11 = - I 2 (B .32)
Aplicando-se, também,as equações (B.30) e (B.31) â equação 
(B .24) em t=0+
d Pl1 *2\ 4- (I,e 1 ♦ I„e )
L St ( I 1
= E
t**o
isto ê: _ _ E
I 1PJ.+12P2 * I
Resolvendo-se as equações (B.32) e (B.33) 
T - E T _ E
h l(P;l-p2) ' x 2 l(p2-p1)
E a solução total para i é
" P,t p f
, E e -e *
i = L
i fo i__
_
Para o caso em que p^ e
(B.33)
(B .34)
(B .35)
( (^ _ ) 2 < _i_ )
{ 1 L ' LCJ '
isto é, onde P1 = *” a +
6 P0 = - a - jp
Substitu indo-se estes va lores na equação (B .35)
2JP (B .37)
Que pode s e r exp ressa , a p a r t i r da d e f in iç ã o de sen B t,c o ­
mo
A = “ _ Qpn flt
(B .38)
E e~a*'
1 - S V sen pt
t ó r ia
A F ig . B-4 mostra a natu reza da co rren te t r a n s i-
Exemplo 2
Tomando-se o mesmo exem plo, ex ce to que a tensão 
ap lica d a é uma função sen o ida l, e = E cos w t, com a chave no­
vamente fechada em t = 0
Tomando-se, novamente, a so lução do estado perma­
nen te, a equação (B .24) to rn a -se
Ri *L 
8
di __s
dt ♦
(B .39)
onde e4jtt*+e"3wb
2
é a forma expon en cia l de cos w t.
Uma vez que i g , por d e f in iç ã o , 
ma da tensão a p lic a d a , pode-se d i v id i r i 
correspondem às da tensão a p lic a d a .
ts = iy * *
será da mesma fo r ­
em componentes que
(B .40)
-ju t
oncte I + ê a magnitude complexa de i g+ e I_ é a magnitude com­
p lex a de i g_ . Considerando-se e s te s componentes in d iv id u a l­
mente , a p a r t i r da equação (B .39)
ou
[ V MK J V M<
C. .** . U , ^ ■ IBI+ « - **L+ ^ ■ Cjy
D iv id in d o -se ambos os lados por
E
M. * * c * ; = 2
(B .42)
OU (B .43)
r =
4 2 (R+j(wL - - ) )
Uma conduta s im ila r para I_ dará 
i . e ^ -
- ' 2 (R-JíuL - S » (B .44)
A equaçao (B .43) pode
I = ^JL. 
2 Z
An a
(B .45)
UIlUC
z = /r2 ♦ (■A - s >2 (B .46)
A - 1
e = tan z R (B.47)
da mesma forma
e
2 Z (B .48)
 co rren te t o t a l do estado permanente é i = i ,+ i . Usan- s+ s -
dose a equação (B .42) e a equação (B .43) e su b s titu in d o -se 
as equações (B .47) e (B .48)
j (cot-e ) -j(u t - e )
E ,e 2 ♦ e 2
i8 = t cos (wt-ez)
Z ê a impedância da rede e in d ic a a taxa da tensão na co r ­
ren te de estado permanente, para uma tensão ap lica d a s en o i- 
dalm ente. A equação (B.49) ê da mesma forma da tensão a p l i ­
cada E*coso)t. Sua magnitude é E/Z e o ângulo de fa s e , em r e ­
lação à tensão ap licad a s en o id a l, ê 0 .
z 1 
O co n ce ito da im pedancia op era c ion a l Z(p)=R+Lp+ p—
to rn a -se e v id en te na equação (B.2 7) . S u bstitu in do-se p=ja) , 
pode-se o b te r a impedância para uma tensão a lte rn ad a f ix a 
de freq tiên c ia o) rad/seg.
Esses con ce ito s são im portantes na a p lic a çã o das 
técn ica s de "re sp o s ta em freq tiên c ia " que ca rac te r izam o s i s ­
tema, em termos de seu comportamento, como uma função da fre- 
qüência da função e x c ita n te , a).
Embora o exemplo f o i o de um c ir c u it o e lé tr ico p ro ­
duzindo a re la çã o en tre co rren te e tensão , o método é igual­
mente a p l ic á v e l a quaisquer v a r iá v e is de um s istem a, sejam 
e la s m ecânicas, e lé t r ic a s ou té rm icas , desde que sejam r e ­
lac ionadas por equações d i fe r e n c ia is l in e a r e s .
APgNDICE C
2 2 7
TRANSFORMADAS DE LAPLACE '
As seções a n te r io re s revisaram o método c lá s s ic o 
de so lução de equações d i fe r e n c ia is l in e a r e s . V e r i f ic o u -s e 
como as so lu ções t r a n s i t ó r ia e a de estado permanente são 
ob tid a s e d esen vo lveu -se o con ce ito de impedância o p e ra c io ­
n a l e impedância para uma função de e x c ita ç ã o com freqü ên - 
c ia constante a p lic a d a .
Estes mesmos resu ltad os podem se r ob tid o s de uma 
maneira muito mais s im p les , a tra vés do uso da transform ada 
de Lap lace d ir e ta e in v e rs a , que abrange tan to so lu ções do 
estado permanente como do t r a n s i t ó r io . O c á lc u lo o p e ra c io ­
n a l da transform ada de Lap lace é a peça fundamental na aná­
l i s e de sistem as de c o n tro le .
ALGUNS TEOREMAS BÁSICOS DA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Uma função do tempo, f ( t )
Lap lace F (s ) onde
roo
F(s) = f (t ) e_stdt
tem uma transform ada de
(C.01)
O v a lo r da transform ada de Lap lace e s tá no fa to de 
que uma equação d i f e r e n c ia l ou expressão da v a r iá v e l " t " , 
transform a-se em uma equação a lg é b r ic a , ou exp ressão ,da va ­
r iá v e l " s " . Esta expressão a lg é b r ic a , em t r o c a , pode ser o - 
perada e con ve rtid a numa forma fa c ilm en te re c o n h e c ív e l, em 
termos de uma função do tempo. O p rocesso de obtenção da fun­
ção do tempo, a p a r t i r da expressão transform ada, é conse­
gu ida ap lican d o -se a transform ação in ve rsa de Lap lace . Ope­
rações m atem áticas, que no domínio do tempo envolvem convo- 
lu ções , convertem -se em sim ples m u lt ip lic a ç õ e s a lg é b r ic a s no 
domínio "s " . Um sumário dos teoremas im portan tes , que go­
vernam o uso da transform ada de L ap la ce , são :
f (t ) e-st dt 
o
2. A transform ada de Lap lace in v e r s a X ̂ é d e f in id a, im­
p lic ita m e n te , p e la re la ç ã o :
. = f ( t ) 0 = t (C .03)
3. Se as funções f ( t ) , f ^ ( t ) e f 2 <t) tem transform adas L 
para F ( s ) , F^ (s ) e F2 ( s ) , resp ec tivam en te , e "a " é uma cons­
tan te de uma variável , a qual é independente de t e s , então:
£a f (t )J = a F(s) (C .04)
X [ * 1 « - f 2(t)] * 1 V ’ > (C .05)
também
£ 1 £a F(s)J = a f ( t ) O i t (C .06)
<£ 1 [̂ (s) t r2(.)] = fx(t) ♦ f2(t) o = t (c.07)
4. Se uma função f ( t ) tem transform ada*^ para F ( s ) , en tão :
X - » f(3) * r (o.) (C .08)
onde f ( 0 + ) é o v a lo r de f ( t ) em t=0+ . Então é e v id e n te que
^ í í l l = 82 F(s) - s f(0) - f ‘ (0) 
cX. dtZ
(C .09)
e
n
(t) = s M s ) - J
k-1
5. Se a função f ( t ) tem transform ada F ( s ) sua in t e g r a l
f ( X) (t) = J f (O d t = J r ( t )d t ♦ f ^ ( 0+) tem transform ada
^ [ J f ( t ) d t ] = £ M , í ^ « e u ,
analogam ente,
^ [ f (_2) ( t ) ] = + (C .12)
X [ í ( ’ n) w ] - ' f * £
8 k**l 8
M (C .13)
6 . As transform adas de Lap lace de algumas funções 
sã o .
f ( t ) 0 ~ t U ü
1 ou u (t ) í
8
1
S ♦ O
r sen pt 
P
1
2 2 8 ♦
COS pt 8
2 2 8 ♦ P^
1 -atõ e sen ut
p
1
(s + a) 2
comuns
(C .14)
t 2s
] n-1
(n - 1)!
_1
ns
-att e
1
(s ♦ a)
1 ,n-1 -at 1
(n - 1) ! 1 e (s ♦ a )n
u (t - a) 1 -as — e s
u (t - aj - u (t - b) 1 / -as -bsx - (e - e )
Impulso u n itá r io
/. \ , . u(t) - u(t-a)
U-J t̂) *= X1CT --------
a-^o
A transformação.-
A p l ic a r - s e -ã , a p a r t i r de agora , os métodos da 
transform ada de Lap lace na so lução de equações d i f e r e n c ia is . 
Tome-se, por exem plo:
A + B 5t + Cy = y “ ̂ (C. 15)
dtr
onde A, B e C são constantes conhecidas.
A in c ó g n ita y ( t ) será chamada função re sp o s ta , e 
f ( t ) , conhecida , será chamada função fo rç a n te . Os v a lo re s i - 
n ic ia is de y ( t ) e sua derivada p r im e ira são y ( 0 ) e y ' ( 0 ) . 
A p lican do-se a transform ação ^ a ambos os membros da equa­
ção (C .15 ) , tem -se:
Chama-se F (s ) ã transform ada de f ( t ) e Y ( s ) A | y ( t ) | â
transform ada re sp o s ta , usando-se a Equação (C.08) e equação 
(C.09 ) , obtém -se:X . [/' = sy(3) “ y(°)
X [V" = 3 2 y(5) ” y(°) s - y' (0)
I s t o r e v e la o modo no qual as cond ições in i c i a i s 
y ( 0 ) e y * ( 0 ) são in corporadas na solução durante o processo 
de transform ação.
A equação (C .16) to rn a -se
*dt] + c X [ y ] = ̂ >í‘(t )t
&
dt2
+ BX
A [ s2Y (s) - y (0 ) s - y • (0 ) ] ♦ B [sY (s ) - y (0 )J ♦ CY(s) '= F (s) 
ou
? (C .17)
( A s S B s + C) Y (s) = F (s) ♦ y (0 )(A s+ B) ♦ y ' (0 ) A
A equação (C .17) é chamada equação transform ada.O
2
c o e f ic ie n t e p o lin o m ia l de y ( s ) - n este caso (As +Bs+C) - e 
chamado de função c a r a c t e r ís t ic a , jã que c a r a c te r iz a comple­
tamente o s istem a f í s i c o d e s c r ito p e la equação d i f e r e n c ia l . 
N o te -se que e s ta ê id ê n t ic a â equação c a r a c t e r ís t ic a do s i s ­
tema, o b tid a no apêndice A, ex ce to p e la v a r iá v e l "s " em vez 
do operador "p " . A equação formada, igu a lan d o-se a z e ro , é 
chamada equação c a r a c t e r ís t ic a do s istem a. R eso lvendo , a lg e - 
b ricam en te, a equação (C .17)
Y (s ) - p ]F (s ) ♦ y (0 )(A s ♦ B) ♦ y f (0) a! ( c .18)
A s ' + B s + C l J *
Esta equação a lg é b r ic a tem a forma t íp i c a de todas as s o lu ­
ções transform adas, ou se j a :
Resposta transform ada = Função do sistem a x Função e x c ita ç ã o
A função do s is tem a , neste exemplo, é a re c íp ro ca 
da função c a r a c t e r ís t ic a , mas, em g e r a l , serã uma fra çã o ,d a 
qual a função c a r a c t e r ís t ic a é o denominador. E la in c o rp o ra , 
em uma função, todo o conhecimento e s s e n c ia l a r e s p e ito do 
sistem a f í s i c o .
A função ex c ita çã o in c lu i a transform ada fo rça n te 
e as cond ições in i c i a i s . E la contém todas as e s p e c if ic a ç õ e s 
e s s e n c ia is das e x c ita ç õ e s ap licad as ao s istem a.
Quando a forma da função fo rça n te f ( t ) é e s p e c i­
f i c a d a , a forma a lg é b r ic a de y ( s ) pode ser determ inada e
7<t> - X ' 1 [ W l - X ' 1 [> ( * ) - y ( ° m ■ - »>
L J L As + B s + C
M J (C .19!
A s“ + B s + C
Se y ( s ) fo sse uma função a lg é b r ic a , na forma de 
uma das v á r ia s transform adas re la c ion ad as a té agora , o in ­
verso p od er ia se r e s c r i t o im ediâtam ente, consu ltando-se a 
ta b e la . Mas, uma vez que y ( s ) ê uma função mais complexa do 
que as re la c io n a d a s , t a l método d ir e t o , para a determ inação 
da tvansform ada in v e rsa , fa lh a .
Esta d if ic u ld a d e pode ser superada reso lven d o -se 
a função como uma soma de componentes mais s im p les , cu jas 
transform adas in ve rsa s são prontamente re c o n h e c ív e is .
Transform açao
Considerando a fra çã o ra c io n a l g e ra l 
. * ♦ a .sP" 1 4A / \ A a S + a 1 Sv(s\ - i i ú à _£_______E I Í -
F( ' " B(s) _q . v _q-i
. a2 - aQ
B<s) sq * b .a* q- 1
(C .20)
onde p < q .
Reso lvendo-se para as ra íz e s da equação B(s )=0 e 
chamando suas r a íz e s de s^, s ^ . - . s ^ , a fra çã o pode ser ex ­
p ressa como:
v(s) = àíú = , ---------_ _______ A(s) _________ _____ t (C. 21)
' ' B(s) (s - s1)(s “ s2)(s - s^) . . . (s - s^J
e , a fra çã o acima, por sua ve z , pode ser e s c r i t a como uma
soma de fra çõ e s p a r c ia is , cada uma tendo por denominador um
dos fa to r e s de B(s).
E x is t ir ã o "q " destas fra çõ es p a r c ia is .
a
7----3— (c. 22)(s - s j
- A(s) K1 K2 K3
i s t o e § t y - ( s _ S i) + s ) + * ■
Para c a lc u la r o c o e f ic ie n t e t íp ic o , m u lt ip l ic a -s e ambos 
os membros da equação (C.22) por (s -s^ ) , ob tendo-se
(s - Sk)A(s) (s - 3k) (s - S ) (s - 5 )
— Bijy- - K1 * k2 w ^ t27 * - 4 V Kq s n r - s V 3-23»
Na fra çã o que forma o membro da esquerda da equação (C.2 3) , 
(s -s ^ ) é um fa t o r de ambos, numerador e denominador, e deve 
s e r s im p lif ic a d o . Então, fazendo s=s .̂/ e s te membro da e s ­
querda to rn a -se um número e , no termo da d i r e i t a , todos os 
term os, ex ce to K^, tornam -se ig u a is a z e ro .
(s “ 5k) A(s)^
Kk =
i s t o é s=s. (C .24)
A(Sk)
mas
Sl ) (s k “ S2^*** (sk ~ V l ^ 8k ” Sk+l)** (sk“ Sq̂
(sk " sl ) ( s k “ s2^***(sk ” sk - l ) (s k " V l ) , , , ( s k " ®q)
“ [ â B<=>] B’ (sk>
8=sk (C .25)
Então a equação (C.24) pode ser e s c r i t a como
k=l
A(s) _ v 1
m - 2 . F i y (C .26)
0 problema r e a l da transform ação in v e rsa é , agora , sim ples
* ■ * & * ; ] ■
Skt
A (s )A equação acima v a le somente para quando B ^ , 
p o lo s de p r im e ira ordem; i s t o é , as r a íz e s de B(s ) sendo 
(s + S l ) n (s + s2 ) m (s + S j ) ^ •••
tem
onde n , m, £ = 1 
e s^ s 2 s ̂ . * *
Exem plo: 
Achar a
x-i V + ao(s + c^Xs + a2) ( s + ° 3 )
na qual a^, a ̂ e são números r e a i s , todos d ife r e n te s ,
- 1 al s + a 0'f 7---------r i------ —r-j------ - v = K e * + K,e( s + rr_ ) í ♦ n _ ) l 3 ♦ Ct- ) *1 ^( s ’ + OjXs + a2) ( 3 + a3̂ 1
-a^t -a0t
* b
-a^t
na qual
_ V V o
(s ♦ a2) (s ♦ aj)
8 =
“* 1
~ai ° i 4 ao
( -al + a2^ '“ ai *
K2 (s ♦ a1)(s ♦ cuj " (~a2 + + a3̂
- ^ -i S“ -CL̂ ^
al s + ao "al a2 + a0
s« -a (
al 8 + aQ
^8 4 a J < s *
~°1 ~3 ' °0 
(-a? ♦ ax) ( “ Q̂ + a-2)
a_ ♦ a.
J s= -a.
Caso e s p e c ia l : um p ó lo en con tra -se na origem
A ( s ) ~
Em - j da equaçao ( C . 2 1 ) , fazendo s^=0, então
A (s ) A (s )A (s ) __________________________________________________________________
B(s) s ( s - s 2 ) ( s - s^ ) ( s - s4 ) . . . ( s - sq ) ,s B-^s)
onde B, (s ) = B-|S^
.L S
A fórm ula acima o co rre freqüen tem en te. E la su rg e , 
por exem plo, quando a função e x c ita çã o ê um degrau constan­
te e a função do sistem a não tem um p ó lo , ou um zero ems=0 .
O resu ltad o f in a l pode ser demonstrado como sendo.
y f. Als) = Aio) + y
^ Ls B ,(s)J B ,(0) 2.
1 1 k=2
A(sk) sk^
Exemplo: . - 1
J C 1
aTS * aQ
s ^(s + a )2 ♦ p2J
Aqui A ( s ) = (a 1s + aQ)
B1 (s ) = [ ( s + a ) 2 +g2J
B ^ ís ) = 2 (s + a) e s2 f s 3 = -a±jB e s ^ O
Usando a equação (C.27)
- 1X al s 4 a 0e [ ( . ♦ a )2+p2J
onde
- ♦ K2e (*^+Jp )t ♦
K2 =
al s 4 aO
2s(s * a)
J 5= -a + jp
aQ ~ Sl a 4 JS1P
2jp (- a ♦ jp )
= è ^ [ (a° - aia ) 2 , a i v í /2>3(<f' ?)
onde 2 2 2
p0 - *
<? = ■i _ ! i 
a0" ai a
tg - i ê_•na
Analogamente
* > -
V * a 0
2s (s*a)
J s = -trjp
= (conjugado de I^ )
Os c o e f ic ie n t e s K ̂ e são números complexos conjugados, 
O resu lta d o f i n a l pode s e r e s c r i t o
X~1 ai s + a 0
8 £ (s+ 0l)2 ♦ p2J
a0 , 1 T , x2 A 202l 1/2 -atp 2 ppQ L (a0 al a ) al P J e sen (pt + <}>)
'0 J (C. 28)
Uma reg ra p r á t ic a para lem brar, na obtenção da
 ̂ 2 2 
de uma função onde um par de r a íz e s é [ (s + a ) + 8 ] , é
a segu in te :
2 2A função do tempo correspondente às [(s + a ) +8 )em
AísL
onde
C(s) [ ( . + a) 2 + p2J 
|A (-a ♦ jp)|
é Ke-0ít'sen (pt + <j>)
K =
0 j C(-a + jp)|
(C.29]
( C . 30)
= ângulo de A ( - a + j 8 ) menos o ângulo de C (- a + j8 ) (C .31)
Analogam ente, para uma função onde um par de r a i -
2 2 ~zes é (s +o) ) , a componente função do tem po, correspondente 
a essas r a íz e s na função.
A(s)
C (s )(s 2 + u2)
pode s e r o b t id a como:
K sen (wt +((>)
(C.32) 
( C . 33)
onde J A(jw)|
w | C(Jm)|
= ângulo de A( joj ) menos o anulo de C(ja)) ( C .35)
Põ los de m ú ltip la ordem
Considerando a função F ( s ) , a qual tem p ó los de 
ordem mais a lta (s^ o co rre m̂ v e ze s , s^ o co rre m̂ vezes ,etc).
A ÍS l nu in
(s - (s ~ S2) ..(s - 3n) n ( C .36)
A (s)A fra çã o ^ |---y pode ser transform ada em uma soma de fra çõ es 
p a r c ia is . Para cada p ó lo s ^ , de m u lt ip lic id a d e m^, ex istem 
m̂. fra çõ es p a r c ia is
kl k2 S t
A ’ A - i ’(s - sk) * (s - sk) * 1 k
onde os K 's são constan tes a serem determ inadas.
Assim, o desenvo lv im ento de | é :
A(s
B(s
K11 12
, vS , vnil - l(s - s1) (s - s1)
♦■ • • •*
B (s )
5 lj m,
(s -
m1“j+l (s - S.^
 ̂ •
+ Kkl + ____*Sc2
v“k v V l
K. .
-JLL
K,
Cmk
(s - S. ) * (s - s. ) *”A (s - s. ) K k
V j +! s - s.
♦ . . .
Para c a lc u la r os c o e f ic ie n t e s K^, p r im e iro m u lt ip l ic a -s e am­
bos os membros da equação acima por (s - s ^ ) 1̂ , ob ten do-se :
(s-s. J^AÍs) o / ."V-i
------IÇJ---------^kl*^k2^s'"sk> * Kk3Cs_Sk> ’ • • •- \m k(B- sk) >
K
+ (s-s. )
nm
11
(s - S;L) " l
S - 6
No membro da esquerda, ( s -s^) can ce la -se com o fa t o r que tam­
bém ê uma p a rte de B ( s ) . Fazendo s=s^., e s te membro daesquer- 
da to rn a -se um numero que deve corresponder a do membro 
da d i r e i t a , uma vez que todos os ou tros membros serão ze ro .
Para o b te r os ou tros c o e f ic ie n t e s observa -se que, 
d ife re n c ia n d o , ambos os lad os , em re la çã o a " s " , r e s u lta a 
segu in te exp ressão :
d ( s - s j ^ | l l j - Kk2+2Kk3 (s" Sk) +- * ' +K " 1)Kkm,(s~3k)ds
* a ; <s ■ skj
K
K nm11 n
(s - s1)
nu + o . • + (s - s )
Fazendo s=s^/ observa -se que © ig u a l ao numero resultante
do desenvolv im ento de:
d / M s
( s ~ sk> õ t lds s=s. (C . 37)
Analogam ente, para os ou tros termos
K = 1 . d L (g _ s A hísl~
Kk3 21 d82 ' V B(s)r s=s, ( C . 38)
K, • kD
Exemplo:
Achar
1 d ^ ^ , 10, A (s )
( j - 1) ! d s ( j - l ) (S Sk * B (s) s=s,
( C . 39)
V ♦ a^s ♦ a 
( s + a )V
0
X -1 »22* V * aO II H
! M
1
PS
i—
<
¥ K1.3 , K21 , K22
, >3 2 (s+a) 3 _(s+a)3 (s+a)2
(s+a) 2 s
= <5T t2 " K12t * V <ral * V * K22
(C
(C.
onde
Kl l =
&2S + ai 8 * ao « 0a - a^a + aQ (C.
-* s»-a
^12
d_ a2 * al 3 4 s0
ds 2e
“ ai a + 2ao
a
(C,
K _ L.
ft13 21
d2 a2S- + &13 + aQ
“ 2 2 ds s
* V * 2*o (C.
s=-a
21
a2S * al a + a0
. (s ♦ a )3 -J s=0
(c.
K2 2
JL V + al 3 + a0
ds (s + a)3
al a “ 3a 0
s=0
(C.
Pode-se com pletar e s ta seção, tomando o mesmo 
xemplo do Apêndice B.
Considerando o c ir c u it o da F i g . C - l
.41)
42)
43)
44)
45)
46)
47)
F ig . C - l
A equação d i fe r e n c ia l para a con d ição , depois de 
fechada a chave, em t=0+ , é :
(C. 48)E = iR + L
Tomando a transform ada de Lap lace de ambos os la ­
dos da equação (C.48)
E ( s ) = R i (s ) + L s i ( s ) - L i (0) (C .49)
onde
E ( s ) in d ic a E (t )
e i (s ) in d ic a i ( t )
e ~i ( 0 ) = condição i n i c i a l de i em t= 0 .
Uma vez que E é uma con stan te , a sua transform ada
é E/s (v é r equação (C .14) na ta b e la de tran sform adas ).
Também para e s te caso, i (0 )= 0 .
P o rta n to , a equação (C.49) to rn a -s e :
f = i (s ) [ r ♦ Ls)]
Resolvendo para
i ( s ) =
[■ * * • ]
(C .50)
(C .51)
A equação C.51 é a so lução transform ada da co rren te .
Para o b te r a so lução da co rren te no domínio do 
tempo, d eve-se achar a transform ada in ve rsa da equ ação (C .51)
>-l ^ - 1
is t o ê: í ( t ) = X x(s)=X E
Ls(s ♦ |)
(C .52)
Usando as reg ra s do desenvolvim ento em fra çõ es p a r c ia is (e - 
quações (C .22) a (C .2 4 ):
i(t) = X
-1 K, K,
(» + ! )
(C .53)
onde
U o
E
R
K = L . 
K2 Ls
S» - r
E
R
Usando a ta b e la da transform ada de Lap lace da e - 
quação (C .14) para o b te r o in ve rso da equação (C .53)
- * ti ( t ) = Ki + K2 e L
_ E _ E - g t 
" R R e L (C .54)
a qual é a forma fa m il ia r do crescim ento expon en c ia l da c o r ­
ren te no c i r c u i t o in d u tiv o da F ig . C - l. „
- I r *De p a r t ic u la r in te r e s s e ê o termo expon en cia l e 
que mostra a queda do componente t r a n s i t ó r io .
O c o e f ic ie n t e L/R tem dimensões de segundos e é 
conhecido como a "con stan te de tempo" do c i r c u i t o . Essa cons­
tan te de tempo é d e f in id a como o tempo em segundos,para que 
o termo t r a n s i t ó r io s e ja reduzido a e ^=0,359 do seu v a lo r 
i n i c i a l . Outra in te rp re ta ç ã o ú t i l da constan te de tempo é o 
tempo que s e r ia n ecessá r io para o t r a n s i t ó r io desaparecer 
com pletam ente, se sua taxa continuasse em seu v a lo r i n i c i a l .
do
Novamente, a equação da queda de tensão no c i r c u i t o é 
Ri ♦ L ~ J*idt = E cos wt
« S f .Tomando a transform ada , de ambos os lados da equação(C.55)
v
(R.U* i j ) i (s )-U (o , ♦ -|2 -
S +0
(C .56)
onde i ( 0 ) = co rren te i n i c i a l em t=0
e vcq = tensão i n i c i a l a tra vés do c a p a c ito r — id t
t=0
Para o caso em que es ta s cond ições in i c i a i s são ze ro , a e - 
quação (C .56) pode s e r expressa como:
1i ( s ) = Es
(R*Ls 4 i - ) (32 ♦ p2)
N ote-se que a equação (C.57) e s ta na forma:
Transformada da resposta i ( s ) =
[função do sistem a -------- --------Ix [fu n ç ã o de e x c ita çã o
<R+Ls+5§—)
(C .57)
Es
, 2^ 2,.(s +CÚ )
Expressando a equação (C .57) em termos de pó los e ze ros
... .2
i ( s ) = EC s
(l+RCs+LCs2) ( s 2+w2)
EC s
i ¥ - y ^ k * i2 W - y i t W )
(C .59)
onde os pó los do sistem a são as r a íz e s de (1+RCs+LCs ) , as
_ 2
quais sao as mesmas da equaçao c a r a c t e r ís t ic a (1+RCp+LCp ) , 
(B .2 6 ), no Apêndice B.
A expressão do tempo para i ( t ) é o b t id a , tomando- 
se a da equação (C .5 9 ), usando-se as regras das equa­
ções (C .29) a (C .35) e expressando-se a equação (C .59) como
i (s ) = EC s
L C [(s + a )2+$2] ( s 2+w2)
, R _ R „ a2 , 1onde ~L = 2 a ou a = ^ e 0 = ( j ^ R2
4L2
-a t
* 1 -
EC s‘
LC p I s V
(Ver (C .29) a (C .31)
6= -a+jP
EcJ £a2-2jap-p2] |
LC 0 | £a2-2jap-p2*w2J |
EC £ (a 2-p 2 ) 2 + 4a2p2]
LC p £ (a 2-p 2+w2) 2 ♦ 4a2p2J /
. -1 - 2ap . -1 -2ap
*1 = tg T72 " t g 2 J " 2oi —p a -p +o)
«2 =
I EC s
wLC j((s+a)2-*p2)
(V er (C .32) a iC .35)
S -JO )
EC b>
t- f, 2 „2 2»2a . 2 2l 1/2wLC (a +P -w ) ♦ /»a «o I
«p = tt - tg -1 2aa>2 ô2 2 
a «p- -w
N o te -se que a equação (C .60) contêm a so lu ção t o t a l , e s ta ­
do permanente (segundo termo) e t r a n s i t ó r io (p r im e iro t e r ­
mo) , ob tid os p e lo uso d ir e to da r o t in a das transform adas de 
Lap lace d ir e ta e in v e rs a .
PROBLEMAS - TRANSFORMADA DE LAPLACE
Problema 6 ♦1 - O degrau u n itá r io é uma função bastan te ü t i l 
em muitos problemas de t r a n s i t ó r io s . M ostrar 
as c a r a c t e r ís t ic a s de um degrau u n itá r io e 
achar a sua transform ada de L ap la ce .
S o lu ção : A função degrau u n itá r io ê d e f in id a como uma função 
ze ro para todos os v a lo re s n ega tiv o s do argumento e 
u n itá r ia para todos os v a lo re s p o s i t iv o s . Freqüen- 
mente, o tempo é o argumento de um degrau u n itá r io .
u ( t ) = 0 t < 0 
u (t ) = 1 t > 0
Um esboço do degrau u n itá r io m ostra essa definição 
g ra fic a m en te :
o t— - ~
A transform ada de Lap lace do degrau u n itá r io pode 
se r determ inada d ire tam en te ,a p a r t i r da d e f in iç ã o , como sen­
do o par de operadores 0 -1 , no Apêndice A.
F(s) u (t ) e^^dt -s te dt
-s t | 00
~ \ f o
0 -s
1
6
E sta corresponde ao par transform ado T -2 , 
b e la do Apêndice A.
na Ta-
Com entârio: O degrau u n itá r io pode t e r uma magnitude d i f e ­
ren te da unidade, o que pode s e r fa c ilm en te ob­
servado em um esboço. A transform ada de Lap lace 
de um degrau u n itá r io de magnitude "b " pode se r 
ca lcu lad a usando-se o par de operadores 0-2 .
Problema 6.2 - Fazer um g r á f ic o e d is c u t ir um d e g ra u u n itã - 
r i o a trasado . M ostrar como essa função pode
s e r usada como uma função de chaveamento e de­
s e n v o lv e r a transform ada de Lap lace para 
e s ta função.
S o lu ção : Iftn degrau u n itá r io em a tra so ê uma função degrau 
que começa em um tempo b , como ê mostrado aba ixo .
Deve-se lem brar que um degrau u n itá r io é d e f in id o 
como uma função que é ze ro quando o argumento ê menor que 
ze ro e ig u a