Tramissão de Calor - unip

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MMXVI
Instituto de Ciências Exatas e Tecnológicas - ICET
Transmissão de Calor - TMC
Módulo 1 - Escoamento Externo - Placa Plana
Sumário
1 Breve Revisão 1
2 Escoamento Paralelo sobre Placas Planas 2
2.1 Coeficiente de Atrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
3 Bibliografia 3
1 Breve Revisão
O escoamento de um fluido sobre uma superf́ıcie sólida apresenta alguns fenômenos f́ısicos, tais como: forças
de arrasto, sustentação, deslocamento ascendente e resfriamento. Assim, em projetos mecânicos existe um
grande interesse em utilizar o melhor conhecimento dispońıvel sobre o escoamento externo e a convecção
externa forçada.
Uma importante variável para determinar o escoamento é a velocidade. Em relação a um sólido imerso,
a velocidade fora da camada limite (longe do sólido) é denominada velocidade de escoamento livre e, é
praticamente igual à velocidade de aproximação do sólido (velocidade a jusante). Tal idealização será quase
exata para objetos muito finos, como placas planas, e apenas uma aproximação para um objeto rombudo,
como um grande cilindro.
Quando uma pessoa caminha dentro de uma piscina com a lâmina de água na altura de seus joelhos, é
comum perceber a resistência gerada devido ao deslocamento. Lembre-se, a força exercida pelo fluido sobre
um objeto é denominada arrasto. A força de arrasto (FD ou FA) depende da massa espećıfica do fluido
(ρ), da velocidade a jusante (v), da geometria e orientação do objeto. Matematicamente, a força de arrasto
depende do coeficiente adimensional de arrasto (CD ou CA),
FD =
1
2
· ρ · v2 ·A · CD,
onde A representa a área projetada à direção do escoamento. Para um cilindro de diâmetro d e comprimento
`, a área frontal é definida por, A = d · L. Se o escoamento for paralelo à superf́ıcie, a área considerada
será a área superficial. Se os dois lados de uma superf́ıcie estão expostos ao escoamento, a área total
assumida é igual a área da superf́ıcie superior mais a área da superf́ıcie inferior.
Um dos fenômenos que afetam a força de arrasto e, consequentemente a transferência de calor, pode ser
expresso no número de Nusselt,
Nu = f1(x,Rex, P r) e Nu = f2(ReL, P r).
Experimentalmente, a lei da potência é uma boa aproximação para a transferência de calor,
Nu = C ·RemL · Prn,
onde m e n são expoentes constantes e o valor da constante C depende da geometria e do escoamento.
Como durante um escoamento as propriedades do fluido variam com a temperatura, torna-se necessário
avaliar a temperatura peĺıcula, ou filme, (Tf ),
1
Tf =
Ts + T∞
2
onde Ts é a temperatura do fluido na superf́ıcie e T∞ é a temperatura na extremidade da camada limite
(escoamento livre). A partir desta avaliação, considera-se constantes as propriedades dos fluidos ao longo
do escoamento.
Para o desenvolvimento dos cálculos, é interessante obter os valores do coeficiente de arrasto e a taxa de
transferência de calor para toda uma superf́ıcie. A partir dos coeficientes locais (apresentam o subscrito x)
é posśıvel determinar os coeficientes médios para toda uma superf́ıcie através de,
Cf =
1
`
∫ `
0
Cf,xdx e h =
1
`
∫ `
0
hxdx.
Finalmente, a taxa de transferência de calor pode ser determinada por,
Q̇ = h ·AS · (Ts − T∞).
2 Escoamento Paralelo sobre Placas Planas
Considere uma placa plana de comprimento ` disposta paralelamente na direção de um fluido em escoamento,
conforme a figura 1. A coordenada x é medida a partir do bordo de ataque1 da placa na direção do
escoamento; ao se aproximar, o fluido apresenta uma velocidade uniforme com um escoamento laminar
sobre a placa, mas, devido a dimensão da placa (placa longa), o escoamento torna-se turbulento a uma
distância cŕıtica (xcr), onde o número de Reynolds atinge um valor cŕıtico para transição
2.
Figura 1: Região de escoamento laminar e turbulento na camada limite.
A equação do número de Reynolds para uma distância x do bordo de ataque de uma placa plana pode ser
determinada por,
Rex =
ρ · v · x
µ
⇒ Re = v · x
ν
,
onde este número pode variar ao longo do escoamento para a placa até atingir o seu final (x = `). Para
uma placa plana, a transição do laminar para o turbulento ocorre para Re ≈ 1 ·105, se tornando plenamente
turbulento para o número de Reynolds próximo de 3 · 106. Porém, em análises de engenharia, um valor
aceito para o número de Reynolds cŕıtico em placas planas é, Recr =
ρ · v · xcr
µ
= 5 · 105.
1Primeiro ponto onde o fluido atinge a placa; geralmente, o ińıcio da placa.
2A transição do escoamento depende da geometria, rugosidade da superf́ıcie, velocidade a montante, temperatura e tipo de
fluido
2
2.1 Coeficiente de Atrito
As relações obtidas, analisando a espessura da camada limite e o coeficiente de atrito local (x) para um
escoamento laminar, foram descritas por,
δ =
4, 91 · x√
Rex
e Cf,x =
0, 664√
Rex
Rex < 5 · 105. Laminar
Para um escoamento turbulento, tais relações foram expressos por,
δ =
0, 38 · x
5
√
Rex
e Cf,x =
0, 059
5
√
Rex
5 · 105 ≤ Rex ≤ 107 Turbulento
Lembre-se, x é a distância à partir do bordo de ataque. Observe que os coeficiente locais de atrito são maiores
em escoamentos turbulentos, consequência da intensa mistura que ocorre na camada limite turbulenta.
Dessa forma, Cf,x é infinito no bordo de ataque (x = 0) e diminui por um fator
1√
x
ao longo do escoamento.
Quando o escoamento torna-se completamente turbulento, Cf,x apresenta o seu maior valor, decrescendo ao
longo por ecoamento por um fator
1
5
√
x
.
Considerando toda a placa (e não apenas uma fração local), o coeficiente médio de atrito, a partir da
integração apresentada na revisão, será
Cf =
1, 33√
ReL
Rex < 5 · 105 Laminar ao longo de toda a placa
Cf =
0, 074
5
√
ReL
5 · 105 ≤ Rex ≤ 107 Turbulento ao longo de toda a placa
A relação do coeficiente de atrito turbulento também deve ser utilizada quando a região do escoamento
laminar for muito pequena, se comparada com a região de escoamento turbulento (xcr � `).
O que ocorreria com o coeficiente de atrito se a placa fosse longa o bastante para tornar o escoamento
turbulento, mas não tão longa para se ignorar a região de escoamento laminar?
Deve-se considerar a integração para representar os coeficientes médio de atrito ao longo de toda a placa:
Cf =
1
`
(∫ xcr
0
Cf,xlaminardx+
∫ `
xcr
Cf,xturbulentodx
)
. Observe que a região de transição está inclusa na região
turbulenta. Portanto, o coeficiente médio de atrito ao longo da placa será,
Cf =
0, 074
5
√
ReL
− 1742
ReL
5 · 105 ≤ Rex ≤ 107.
Considerando uma camada limite completamente turbulenta (Recr = 0) ou para xcr muito pequena (`� xcr
ou ReL � Recr), a expressão anterior torna-se uma simplificação para a equação do escoamento turbulento.
Entretanto, as hipóteses utilizadas consideram as superf́ıcies lisas e o escoamento livre sem turbulência.
Em relação ao escoamento laminar, a rugosidade da superf́ıcie não altera a condição do coeficiente de atrito
afinal, o número de Reynolds é o fator mais impactante.
No escoamento turbulento, a rugosidade superficial gera um grande aumento no coeficiente de atrito, inde-
pendente do número de Reynolds (caso clássico de escoamento em tubos). Assim, é necessário determinar
o coeficiente de atrito médio através de uma curva de ajuste experimental (definida por Schlichting),
Cf =
(
1, 89− 1, 62 · log ε
`
)−2,5
,
onde ε representa a rugosidade superficial e ` o comprimento da placa na direção do escoamento. Se não
houver relação melhor, esta curva de ajuste pode ser utilizada para escoamento turbulentos em superf́ıcies
rugosas (Re > 106), especialmente quando
ε
`
> 10−4.
3
Tabela 1: Rugosidade superficial para escoamento turbulento; os dados são válidos para superf́ıcie lisa
(Re = 107). Outros valores poderão ser determinados pela equação de Schlichting.
Rugosidade relativa (ε/`)Coeficiente de atrito (Cf )
0, 0 0, 0029
1 · 10−5 0, 0032
1 · 10−4 0, 0049
1 · 10−3 0, 0084
3 Bibliografia
1. Çengel, Y.A., “Transferência de Calor e Massa”, 4a Ed., Editora McGraw-Hill, 2012.
2. Incropera, F.P.; Dewitt, D.P.; Bergman, T.L. e Lavine, A.S., “Fundamentos de Transferência de Calor”, 6a Ed., Editora LTC, 2008.
3. Kreith, F. e Bohn, M.S., “Prinćıpios de Transferência de Calor”, 1a Ed., Editora Thomson Learning, 2003.
4