MATEMÁTICA

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Disciplina: Matemática
Autor: Alexandre Lopes
 Rogério Lacerda
Unidade de Educação a Distância 
Matemática
Autor: Alexandre Lopes
 Rogério Lacerda
BELO HORIZONTE / 2012
ESTRUTURA FORMAL DA UNIDADE DE EDUCAÇÃO A DISTÃNCIA
REITOR
LUÍS CARLOS DE SOUZA VIEIRA
PRÓ-REITOR ACADÊMICO
SUDÁRIO PAPA FILHO
COORDENAÇÃO GERAL
AÉCIO ANTÔNIO DE OLIVEIRA
COORDENAÇÃO TECNOLÓGICA
EDUARDO JOSÉ ALVES DIAS
COORDENAÇÃO DE CURSOS GERENCIAIS E ADMINISTRAÇÃO 
HELBERT JOSÉ DE GOES
COORDENAÇÃO DE CURSOS LICENCIATURA/ LETRAS 
LAILA MARIA HAMDAN ALVIM
COORDENAÇÃO DE CURSOS LICENCIATURA/PEDAGOGIA 
LENISE MARIA RIBEIRO ORTEGA
INSTRUCIONAL DESIGNER
DÉBORA CRISTINA CORDEIRO CAMPOS LEAL
KELLY DE SOUZA RESENDE
PATRICIA MARIA COMBAT BARBOSA
EQUIPE DE WEB DESIGNER
CARLOS ROBERTO DOS SANTOS JÚNIOR
GABRIELA SANTOS DA PENHA
LUCIANA REGINA VIEIRA
ORIENTAÇÃO PEDAGÓGICA
FERNANDA MACEDO DE SOUZA ZOLIO
RIANE RAPHAELLA GONÇALVES GERVASIO
AUXILIAR PEDAGÓGICO
ARETHA MARÇAL DE MACÊDO SILVA
MARÍLIA RODRIGUES BARBOSA
REVISORA DE TEXTO
MARIA DE LOURDES SOARES MONTEIRO RAMALHO
SECRETARIA
LUANA DOS SANTOS ROSSI 
MARIA LUIZA AYRES
MONITORIA
ELZA MARIA GOMES
AUXILIAR ADMINISTRATIVO
THAYMON VASCONCELOS SOARES
MARIANA TAVARES DIAS RIOGA
AUXILIAR DE TUTORIA
FLÁVIA CRISTINA DE MORAIS
MIRIA NERES PEREIRA
RENATA DA COSTA CARDOSO
 
Legenda
 
	 (
Nosso Tema 
)
	 (
Sí
ntese
)
	 (
Referências Bibliográficas
) 
	 (
Saiba mais
)
	 (
Reflexão
)
	 (
Material complementar
)
	 (
Atividade
)
	 (
Dica
)
	 (
Importante
)
Sumário
Unidade 1: Introdução à Matemática	8
Unidade 2: Conceitos Básicos	21
Unidade 3: Funções	39
Unidade 4: Limites e Derivadas	59
Unidade 5: Aplicações das derivadas na área gerencial	78
 Nosso Tema
Prezado aluno,
Seja bem vindo à disciplina de Matemática. Com o constante desenvolvimento da economia e das tecnologias, e em face de um estado de maior globalização, percebemos que o mercado, cada vez mais, exige um profissional com maiores habilidades. Habilidade de trabalhar em equipe, habilidade de resolver problema e habilidade de se comunicar, entre diversas outras. Para solução de problemas, principalmente daqueles que envolvem a matemática, é fundamental o exercício da criatividade, do raciocínio lógico, da habilidade de cálculo, da capacidade de abstração e confecção de matrizes e gráficos. Perante dessa necessidade, desenvolvemos este material no intuito de contribuir para o aprimoramento desses requisitos. Veja o que estudaremos nas unidades.
 (


Unidade 2


Conceitos Básicos: 
o conceito de funções, sua importância básica, o sistema cartesiano e a representação e análise gráfica das funções.


Unidade 3


Funções:
 o conceito de domínio e imagem de funções, funções de 1º grau e de 2º grau, funções exponenciais e aplicações na área gerencial: Custo, Receita e Lucro.


Unidade 1


Introdução à Matemática: 
a origem da Matemática e sua Linguagem.


Unidade 5


Aplicações de Derivadas na Área Gerencial:
 o conceito de funções marginais, custo marginal, receita e lucro marginal.


Unidade 4


Limites e Derivadas:
 o conceito limite e derivada e as regras de derivação.
)
Reflexão 
Na ciência, em diversos momentos históricos, vários foram os grandes pensadores que desenvolveram conceitos, teorias e contribuíram para o desenvolvimento humano. Em um comentário curioso, Albert Einstein compara a ciência de Aristóteles e Galileu. Aristóteles acreditava que o ciência era fundamentada nos fatos universais e visíveis, Galileu foi um dos primeiros a observar que há muito além do que os olhos veem. 
 (
Fonte: 
Disponível em 
http://3.bp.blogspot.com/_QP-GecxpDTo/STQUT6uJjbI/AAAAAAAAAFU/14s5GLOSgu4/s320/aristoteles2.jpg
 . Acesso em 23/11/2011. 
Físico, matemático e astrônomo italiano, Galileu Galilei (1.564-1.642) descobriu a lei dos corpos e enunciou o Princípio da Inércia. Foi por pouco que Galileu não seguiu a carreira artística. Seu pai desejava que ele fosse médico e para atender os desejos de seu pai, desembarcou no Porto de Pisa. Porém se revelou um péssimo aluno, e só pensava em fazer "experiências de física" (na
 época, a Física era considerada uma ciência de sonhadores). 
Fonte: 
Disponível em 
http://www.ggalilei.kit.net/fotos.htm
. Acesso em 23/11/2011. 
Aristóteles foi um filósofo grego (384 – 322ac). Seus escritos abrangem diversos assuntos, como a física, a metafísica, as leis da poesia e do drama, a música, a lógica, a retórica, o governo, a ética, a biologia e a zoologia. Aristóteles é visto como um dos fundadores da filosofia ocidental. 
)“Ao contrário da ciência aristotélica, a ciência moderna desconfia sistematicamente das evidências de nossa experiência imediata. Tais evidências, que estão na base do conceito vulgar, são ilusórias. Como bem salienta Einstein no prefácio ao Diálogo sobre os Grandes Sistemas do Mundo, Galileu esforça-se denodadamente por demonstrar que a hipótese dos movimentos de rotação e translação da terra não é refutada pelo fato de não observarmos quaisquer efeitos mecânicos destes movimentos, ou seja, pelo fato da terra nos parecer parada.” (Machado 1987. p.12)
Aristóteles, predecessor de Galileu, era o único descobridor respeitado da sua época e quando descobria algo sobre a Física, ninguém o contestava, até surgir Galileu, com suas descobertas.
Outro estudioso importante para a Matemática foi Albert Einstein, um teórico e físico, alemão radicado nos Estados Unidos. Foi eleito, em 2009, o físico mais memorável de todos os tempos. É conhecido por desenvolver a teoria da relatividade. Recebeu o Nobel de Física de 1921 pela correta explicação do efeito fotoelétrico. O seu trabalho teórico possibilitou o desenvolvimento da energia atômica.
 (
PENSAMENTOS DE 
EINSTEIN
"Se a Teoria da Relatividade se mostrar correta, os alemães me chamarão de alemão, os suíços dirão que sou suíço e a França me rotulará de grande cientista; se estiver errada, os franceses dirão que sou suíço, os suíços me chamarão de alemão e os alemães me acusarão de judeu." 
“A mente que se abre a uma nova idéia jamais v
oltará ao seu tamanho original.”
“Lembre-se 
de 
que as pessoas podem tirar tudo de você, menos o seu conhecimento. É o seu 
bem mais precioso. Explore; viaje; descubra. Conheça.”
Fonte: 
Disponível em 
http://raposasasul.blogspot.com/2011/05/einstein-e-os-meus-alunos.html
. Acesso em 23/11/2011. 
Fonte: 
Disponível em 
http://www.brogui.com/2009/01/17/fotos-de-albert-einstein-que-pouca-gente-conhece/
. Acesso em 23/11/2011. 
)
Unidade 1: Introdução à Matemática 
1. Conteúdo Didático 
O estudo da matemática é fundamental para o indivíduo e para sociedade. Para o indivíduo porque abre novas perspectivas e oportunidades para sua vida pessoal e profissional, para a sociedade porque permite a oportunidade de descobrir novas tecnologias e modelos que podem mudar a forma de vida das pessoas.
Ao longo desta unidade, teremos a oportunidade de conhecer a origem da matemática, sua linguagem e aplicações.
1.1 Origem da Matemática
Por volta do ano 4.000 a.C., apareceram as primeiras ferramentas e armas de bronze. Pequenas aldeias cresciam, surgia assim a necessidade de produzir alimentos em maior quantidade. As pessoas começaram a se dedicar a uma única atividade, surgiram as profissões: agricultores, artesãos, comerciantes, sacerdotes, administradores. Com esse desenvolvimento surgiu a escrita. Era o fim da Pré-História e o começo da História. 
Muitas descobertas dessa época surgiram no Egito. O projeto e construção das pirâmides exigiam desenhos, símbolos e formas de resolver problemas. Já não era mais possível efetuar cálculos rápidos utilizando pedras, nós ou riscos. Foi partindo dessa necessidade imediata que estudiosos do Antigo Egito passaram a representar a quantidade de objetos de uma coleção através de desenhos – os símbolos. A criação dos símbolos foi um passo muito importante para o desenvolvimentoda Matemática. 
Na Pré-História, a única forma de saber o número de presas abatidas era juntar três aves com seis coelhos para obter um total de nove presas. Hoje usamos os símbolos. 3 + 6 = 9. Muitas vezes não sabemos nem que objetos estamos somando. Mas isso não importa: a operação pode ser feita da mesma maneira. Entretanto como eram os símbolos que os egípcios criaram para representar os números? 
 (
Contando com os egípcios 
Fonte: 
Disponível em 
http://educar.sc.usp.br/licenciatura/2003/hm/page03.htm
. A
cesso em 22/11/2011
)“Há mais ou menos 3.600 anos, o faraó do Egito tinha um súdito chamado Aahmesu, cujo nome significa “Filho da Lua”. Aahmesu ocupava na sociedade egípcia uma posição muito mais humilde que a do faraó: provavelmente era um escriba. Hoje Aahmesu é mais conhecido do que muitos faraós e reis do Antigo Egito. Entre os cientistas, ele é chamado de Ahmes. Foi ele quem escreveu o Papiro Ahmes.
O papiro Ahmes é um antigo manual de matemática. Contém 80 problemas, todos resolvidos. A maioria envolvendo assuntos do dia-a-dia, como o preço do pão, a armazenagem de grãos de trigo, a alimentação do gado. Observando e estudando como eram efetuados os cálculos no 
Papiro Ahmes, não foi difícil aos cientistas compreender o sistema de numeração egípcio. Além disso, a decifração dos hieróglifos – inscrições sagradas das tumbas e monumentos do Egito – no século XVIII também foi muito útil. O sistema de numeração egípcio baseava-se em sete números-chave: 
1 10 100 1.000 10.000 100.000 1.000.000 Os egípcios usavam símbolos para representar esses números. Um traço vertical representava uma unidade: Um osso de calcanhar invertido representava o número 10: Um laço valia 100 unidades: Uma flor de lótus valia 1.000: Um dedo dobrado valia 10.000: Com um girino os egípcios representavam 100.000 unidades: Uma figura ajoelhada, talvez representando um deus, valia 1.000.000.
Todos os outros números eram escritos combinando os números-chave. Na escrita dos números que usamos atualmente, a ordem dos algarismos é muito importante. Se tomarmos um número, como por exemplo 256 e trocarmos os algarismos de lugar vamos obter outros números completamente diferentes: 265 526 562 625 652. Ao escrever os números, os egípcios não se preocupavam com a ordem dos símbolos. Observe, no desenho, que, apesar de a ordem dos símbolos não ser a mesma, os três garotos do Antigo Egito estão escrevendo o mesmo número: 45.”
Fonte: Disponível em http://educar.sc.usp.br/licenciatura/2003/hm/page03.htm. Acesso em 22/11/2011
 Assim, os egípcios dominaram os números inteiros. Faltava a fração. As margens do rio Nilo eram extremamente importantes para esta sociedade. Uma vez por ano, na época das cheias, as águas subiam e quando baixavam, produziam terras férteis para o cultivo. A grande questão era: como repartir estas terras para uma determinada elite de agricultores? Esses espaços delimitados por cercas de pedra sempre eram derrubados com a subida do Nilo. 
 (
Descobrindo a fração 
Fonte: 
Disponível em 
http://educar.sc.usp.br/licenciatura/2003/hm/page03.htm
. A
cesso em 22/11/2011
)Sesóstris determinou a medição desses terrenos com uma corda de determinado tamanho. As pessoas encarregadas de medir esticavam a corda e verificavam quantas vezes aquela unidade de medida estava contida nos lados do terreno. Entretanto, dificilmente cabia um número inteiro de vezes nos lados do terreno. Por essa razão, os egípcios criaram um novo tipo de número: o número fracionário.
Como o símbolo das operações (+ ou -) ainda não haviam sido inventados, todas as operações envolviam uma grande quantidade de números de entendimento bem complicado. Somente por volta do século III a.C. começou a se formar um novo sistema de numeração bem mais prático que os já existentes. Esse foi o sistema de numeração romano. 
De todas as civilizações da Antiguidade, a dos romanos foi a mais importante. Os romanos foram muito espertos: em vez de inventar outros símbolos, os romanos usaram as letras de seu alfabeto para representar os números. As sete letras que os Romanos utilizavam como numerais são:
	I
	1
	V
	5
	X
	10
	L
	50
	C
	100
	D
	500
	M
	1000
Como eles combinaram esses símbolos para formar o seu sistema de numeração? Repetindo cada símbolo duas ou três vezes o número fica duas ou três vezes maior. Mas atenção! Não pode repetir mais de três vezes. E mais: os símbolos V, L e D não se repetem. Veja só alguns exemplos: II é 2, XXX é 30, CCC é 300, MM é 2000.
Tem mais...
As letras I, X ou C colocam-se à esquerda de outras de maior valor para representar a diferença entre elas, obedecendo às seguintes regras:
I só se coloca à esquerda de V ou de X;
X só se coloca à esquerda de L ou de C;
C só se coloca à esquerda de D ou de M.
 Se um símbolo for colocado à direita de outro símbolo de menor valor, este último símbolo soma o seu valor ao valor do outro, assim: VI (5+1=6) ou CX (100+10=110).
 (
Fonte: 
Disponível em 
http://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%81baco
.
 A
cesso em 22/11/2011
)Se um símbolo for colocado à esquerda de outro símbolo de menor valor, este símbolo diminui o seu valor ao valor do outro, veja só: IV (5-1=4) ou CM (1000-100=900).
O método normal de cálculo na Roma antiga, assim como na Grécia antiga, era mover bolas de contagem numa tábua própria para o efeito. As bolas de contagem originais denominavam-se calculi. Mais tarde, e na Europa medieval, os jetons começaram a ser manufaturados. Linhas marcadas indicavam unidades, meias dezenas, dezenas, etc., como na numeração romana.
O sistema de numeração decimal foi desenvolvido na Índia. O sistema foi desenvolvido utilizando apenas nove sinais. A grande contribuição dada pelos hindus para formar o seu sistema de numeração foi a invenção do zero. Hoje, estes símbolos são chamados de algarismos indo-arábicos. Os hindus descobriram e os árabes divulgaram.
Com o sistema de numeração hindu ficou fácil escrever qualquer número, por maior que ele fosse. Esses números foram chamados de números naturais. Os números naturais simplificaram muito o trabalho com números fracionários. Não havia mais necessidade de escrever um número fracionário por meio de uma adição de dois fracionários, como faziam os matemáticos egípcios. O número fracionário passou a ser escrito como uma razão de dois números naturais. A palavra razão em matemática significa divisão. Portanto, os números inteiros e os números fracionários podem ser expressos como uma razão de dois números naturais. Por isso, são chamados de números racionais. A descoberta de números racionais foi um grande passo para o desenvolvimento da Matemática.
 (
Só no séc. XVII, quando Descartes e Pierre Fermat introduziram as coordenadas cartesianas, se tornou possível transformar problemas geométricos em problemas algébricos e estudar analiticamente funções. A Matemática recebe assim um grande impulso, nomeadamente na sua aplicabilidade a outras ciências - os cientistas passam, a partir de observações ou experiências realizadas, a procurar determinar a fórmula ou função que relaciona as variáveis 
em estudo. A
 partir daqui todo o estudo se desenvolve em torno das propriedades de tais funções. Por outro lado, a introdução de 
coordenadas, além de facilitar o estudo de curvas já conhecidas permitiu a "criação" de novas curvas, imagens geométricas de funções definidas por relações entre variáveis.
 
Fonte: 
http://www.somatematica.com.br/historia/derivadas.php
 acesso em 23/11/2011
)
 1.2 A Linguagem da Matemática
A matemática moderna utiliza símbolos e operações para manipulação de números de várias maneiras. As operações básicas matemáticas, como sabemos, são a adição que utiliza o "sinal mais +", a subtração com o "sinal menos -", a divisão que utiliza os símbolos “ / ou ÷ ” e a multiplicação com o símbolo “x”.
Outros símbolos de matemática são utilizados para identificar igualdades e desigualdades. Esta simbologia é geralmente utilizada na resolução de equações. O "sinal de igual" = é o símbolo usado entre as duas quantidades equivalentes. As desigualdadesutilizam os sinais: maior “ > “ ; menor “ <”; menor ou igual “ ≤ “; maior ou igual “ ≥ “ e Diferente “ ” ,
Segue uma tabela com o resumo das principais simbologias:
	Símbolo
	Nome
	Lê-se como
	Categoria
	+
	Adição
	mais
	Aritmética
	
	4 + 6 = 10 significa que se se somar 4 a 6, a soma, ou resultado, é 10.
	
	Exemplo: 43 + 65 = 108; 2 + 7 = 9
	-
	Subtração
	menos
	Aritmética
	
	9 - 4 = 5 significa que se subtrair 4 de 9, o resultado será 5. O sinal - é único porque também denota que um número é negativo. Por exemplo, 5 + (-3) = 2 significa que se se somar cinco a menos três, o resultado será dois.
	
	Exemplo: 87 - 36 = 51
	⇒
→
	Implicação material
	implica; se ... então
	Lógica proposicional
	
	A ⇒ B significa: se A for verdadeiro então B é também verdadeiro; se A for falso então nada é dito sobre B.
→ pode ter o mesmo significado de ⇒, ou pode ter o significado que mencionamos mais abaixo sobre as funções.
	
	x = 2  ⇒  x² = 4 é verdadeiro, mas x² = 4   ⇒  x = 2 é em geral falso (visto que x pode ser −2).
	⇔
↔
	Equivalência material
	se e só se; se.
	Lógica proposicional
	
	A ⇔ B significa: A é verdadeiro se B for verdadeiro e A é falso se B é falso.
	
	x + 5 = y + 2  ⇔  x + 3 = y
	∧
	Conjunção lógica
	e
	Lógica proposicional
	
	a proposição A ∧ B é verdadeira se A e B foram ambos verdadeiros; caso contrário, é falsa.
	
	Exemplo: n < 4  ∧  n > 2  ⇔  n = 3 quando n é um número natural
	∨
	Disjunção lógica
	ou
	Lógica proposicional
	
	a proposição A ∨ B é verdadeira se A ou B (ou ambos) forem verdadeiros; se ambos forem falsos, a proposição é falsa.
	
	Exemplo: n ≥ 4  ∨  n ≤ 2  ⇔ n ≠ 3 quando n é um número natural
	∀
	Quantificação universal
	para todos; para qualquer; para cada.
	Lógica predicativa
	
	∀ x: P(x) significa: P(x) é verdadeiro para todos os x
	
	Exemplo: ∀ n ∈ N: n² ≥ n
	=
	Igualdade
	igual a
	todas
	
	x = y significa: x e y são nomes diferentes para a exata mesma coisa.
	
	Exemplo: 1 + 2 = 6 − 3
	{ , }
	chavetas de conjunto
	o conjunto de ...
	Teoria de conjuntos
	
	{a,b,c} significa: o conjunto que consiste de a, b, e c.
	
	Exemplo: N = {0,1,2,...}
	∅
{}
	Conjunto vazio
	conjunto vazio
	Teoria de conjuntos
	
	{} significa: o conjunto sem elementos; ∅ é a mesma coisa
	
	Exemplo: {n ∈ N : 1 < n² < 4} = {}
	∈
∉
	Pertença a conjunto
	em; está em; é um elemento de; é um membro de; pertence a
	Teoria de conjuntos
	
	a ∈ S significa: a é um elemento do conjunto S; a ∉ S significa: a não é um elemento de S
	
	Exemplo: (1/2)−1 ∈ N; 2−1 ∉ N
	∪
	União teórica de conjuntos
	a união de ... com ...; união
	Teoria de conjuntos
	
	A ∪ B significa: o conjunto que contém todos os elementos de A e também todos os de B, mas mais nenhuns.
	
	Exemplo: A ⊆ B  ⇔  A ∪ B = B
	∩
	Intersecção teórica de conjuntos
	intersecta com; intersecta
	Teoria de conjuntos
	
	A ∩ B significa: o conjunto que contém todos os elementos que A e B têm em comum.
	
	Exemplo: {x ∈ R : x² = 1} ∩ N = {1}
	( )
[ ]
{ }
	Aplicação de função; agrupamento
	de
	Teoria de conjuntos
	
	Para a aplicação de função: f(x) significa: o valor da função f no elemento x
para o agrupamento: execute primeiro as operações dentro dos parênteses.
	
	Exemplo: Se f(x) := x², então f(3) = 3² = 9; (8/4)/2 = 2/2 = 1, mas 8/(4/2) = 8/2 = 4
	f:X→Y
	Seta de função
	de ... para
	Funções
	
	f: X → Y significa: a função f mapeia o conjunto X no conjunto Y
	
	Exemplo: Considere a função f: Z → N definida por f(x) = x²
	N
	Números naturais
	N
	Números
	
	N significa: {1,2,3,...}
	
	Exemplo: {|a| : a ∈ Z} = N
	Z
	Números inteiros
	Z
	Números
	
	Z significa: {...,−3,−2,−1,0,1,2,3,...}
	
	Exemplo: {a : |a| ∈ N} = Z
	Q
	Números racionais
	Q
	Números
	
	Q significa: {p/q : p,q ∈ Z, q ≠ 0}
	
	3.14 ∈ Q; π ∉ Q
	R
	Números reais
	R
	Números
	
	R significa: {limn→∞ an : ∀ n ∈ N: an ∈ Q, o limite existe}
	
	π ∈ R; √(−1) ∉ R
	C
	Números complexos
	C
	Números
	
	C significa: {a + bi : a,b ∈ R}
	
	i = √(−1) ∈ C
	<
>
	Comparação
	é menor que, é maior que
	Ordenações parciais
	
	x < y significa: x é menor que y; x > y significa: x é maior que y
	
	Exemplo: x < y  ⇔  y > x
	≤
≥
	Comparação
	é menor ou igual a, é maior ou igual a
	Ordenações parciais
	
	x ≤ y significa: x é menor que ou igual a y; x ≥ y significa: x é maior que ou igual a y.
	
	Exemplo: x ≥ 1  ⇒  x² ≥ x
	√
	Raiz quadrada
	a raiz quadrada principal de; raiz quadrada
	Números reais
	
	√x significa: o número positivo, cujo quadrado é x
	
	Exemplo: √(x²) = |x|
	π
	PI
	PI
	Geometria euclidiana
	
	π significa: a razão entre a circunferência de um círculo e o seu diâmetro
	
	Exemplo: A = πr² é a área de um círculo de raio r
	!
	Fatorial
	fatorial
	Análise combinatória
	
	n! é o produto 1×2×...×n
	
	Exemplo: 4! = 24
	| |
	Valor absoluto
	valor absoluto de; módulo de
	Números
	
	|x| significa: a distância no eixo dos reais (ou no plano complexo) entre x e zero
	
	Exemplo: |''a'' + ''bi''| = √(a² + b²)
	|| ||
	Norma
	Norma de comprimento de
	Análise funcional
	
	||x|| é a norma do elemento x de um espaço vectorial
	
	Exemplo: ||''x''+''y''|| ≤ ||''x''|| + ||''y''||
	∑
	Soma
	soma em ... de ... até ... de
	Aritmética
	
	∑k=1n ak significa: a1 + a2 + ... + an
	
	Exemplo: ∑k=14 k² = 1² + 2² + 3² + 4² = 1 + 4 + 9 + 16 = 30
	∫
	Integração
	Integral de ... até ... de ... em função de
	Cálculo
	
	∫ab f(x) dx significa: a área entre o eixo dos x e o gráfico da função f entre x = a e x = b
	
	∫0b x² dx = b³/3; ∫x² dx = x³/3
	f '
	Derivada
	derivada de f; primitiva de f
	Cálculo
	
	f '(x) é a derivada da função f no ponto x, i.e. o declive da tangente nesse ponto
	
	Exemplo: Se f(x) = x², então f '(x) = 2x
	∇
	Gradiente
	Del, nabla, gradiente de
	Cálculo
	
	∇f (x1, …, xn) é o vector das derivadas parciais (df / dx1, …, df / dxn)
	
	Exemplo: Se f (x,y,z) = 3xy + z² então ∇f = (3y, 3x, 2z)
	Quadro 1
Fonte: Disponível em http://pt.wikipedia.org/wiki/Anexo:Tabela_de_s%C3%ADmbolos_matem%C3%A1ticos. Acesso em 23/11/2011.
 (
Sinais de relação (=, < e >)
Robert Record, matemático inglês, terá sempre o seu nome apontado na história da Matemática por ter sido o primeiro a empregar o sinal = (igual) para indicar igualdade. No seu primeiro livro, publicado em 1540, Record colocava o símbolo entre duas expressões iguais; o sinal = ; constituído por dois pequenos traços paralelos, só apareceu em 1557. Comentam alguns autores que nos manuscritos da Idade Média o sinal = aparece como uma abreviatura da palavra est.
Os sinais > (maior que) e < (menor que) são devidos a Thomaz Harriot, que muito contribuiu com seus trabalhos para o desenvolvimento da análise algébrica.
Fonte: 
Disponível em 
http://www.vocesabia.net/ciencia/matematica/origem-dos-sinais-matematicos/
.
 
A
cesso em 23/11/2011
.
)Veja, no Saiba mais, algumas curiosidades sobre os três símbolos mais usados na matemática. O sinal de igualdade, maior e menor. 
No quadro 2, apresentamos a você alguns exemplos de aplicações da matemática.
 (
APLICAÇÕES DA MATEMÁTICA
Conteúdo
Aplicações
NÚMEROS POSITIVOS E NEGATIVOS 
+2
 
-3
Temperatura
, 
Conta bancária ou Nível de altitude
:
RAZÕES e PROPORÇÕES 1/3
Fazer comparações, pequenas análises de dados 
TRIGONOMETRIA
Engenharia, na Mecânica, na Eletricidade, na Acústica, na Medicina. Por exemplo, a trigonometria do triângulo permite: calcular a altura de um prédio através de sua sombra, calcular a distância a ser percorridas em uma pista circular, análises de distância de planetas.
 
MATRIZES
Animações no cinema utilizam matrizes. Desde o movimento dos personagens até o quadro de fundo podem ser criados por softwares que combinam pixels em formas geométricas, que são armazenadas e manipuladas. 
EQUAÇÕES
Quando duas linhas de um mesmo plano se cruzam, obtém-se um ponto. É comum usarmos equações para indicar a localização de pessoas, barcos, aviões, cidades.
INEQUAÇÕES
As inequações são usadas em experiências, estatísticas, análise de dados e comparações.
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
As equações diferenciais têm ampla aplicaçãona resolução de problemas complexos sobre movimento, crescimento, vibrações, eletricidade e magnetismo, aerodinâmica, termodinâmica, energia nuclear e todo tipo de fenômeno físico que envolva as taxas de variação de quantidades variáveis
Quadro 2
Fonte: 
Disponível em 
http://aldeciralmeida7.blogspot.com/
. Acesso em 23/11/2011
.
)
2.Teoria na Prática 
Aplicações da Matemática
	Fenômeno
	Explicação matemática
	
Como é que um avião se mantém no ar sem algo a suportá-lo?
	Equações descobertas por Daniel Bernoulli no século XVIII.
	
O que faz com que uma maçã caia de uma árvore na terra?
O que mantém a Terra a girar em torno do Sol?
	Equações do movimento e da mecânica descobertas por Newton no século XVII.
	
Como é que as imagens e sons de um jogo de futebol aparecem numa TV em qualquer parte do mundo?
	Através da radiação eletromagnética descrita pelas equações de Maxwell, século XIX.
	
Sons musicais
	Foram estudados por Aristóteles.
	
A Terra é circular
	2000 anos antes de enviarmos uma nave espacial para o espaço que nos fornece fotografias da Terra, Eratóstenes usou a Matemática para provar que a Terra é circular. Calculou o seu diâmetro e a sua curvatura com 99% de exatidão.
	
Quem vai ganhar nas eleições?
	Previsão com base na teoria das probabilidades e estatística.
	
Amanhã vai chover?
	Previsão com base no cálculo.
	Fonte: Disponível em http://aldeciralmeida7.blogspot.com/2009/12/o-papel-da-matematica-em-nossas-vidas.html#comment-form. Acesso em 23/11/2011.
3. Síntese 
 (
A Linguagem da Matemática
Símbolo
Nome
+ ; -
a
dição e subtração
⇒
 
→
implicação material
⇔
 
↔
equivalência material
∧
conjunção lógica
∨
disjunção lógica
∀
quantificação universal
=
igualdade
{ , }
chavetas de conjunto
∅
 
{}
conjunto vazio
∈
 
∉
pertença a conjunto
∪
u
nião e interseção de conjuntos
( ) [ ] { }
aplicação de função; agrupamento
f
:
X
→
Y
seta de função
N
números naturais ; inteiros e racionais
<; > ; ≤ ; ≥
comparação
√
raiz quadrada
!
fatorial
| |
valor absoluto
∑
soma
∫
integração
f
 '
derivada
∇
gradiente
) (
Origem da Matemática
Por volta do ano 
4.000 a
.C
,
,.surgiram as profissões e
,
 em seguida
,
 a escrita
.
Egito utiliza símbolos para representar as quantidades – Criam os números inteiros e as frações.
Por volta do século III a.C.
,
 desenvolveu-se o sistema de numeração romano. 
Desenvolvimento de ferramentas de cálculo
.
Desenvolvimento do sistema de numeração decimal na Índia com utilização do zero.
Aperfeiçoamento dos sistemas de 
divisão e multiplicação.
)Nesta unidade, abordamos os seguintes tópicos:
Unidade 2: Conceitos Básicos 
1. Conteúdo Didático 
Nesta unidade, iremos aprender a representar e utilizar a relação entre conjuntos. Este é o primeiro passo para compreendermos o conceito de função. A função é a base do estudo da matemática. Todas as equações matemáticas são representadas por símbolos e funções, portanto, compreender o significado de função é o objetivo desta unidade. 
1.2 Conjuntos
Iniciaremos os estudos com conjuntos que são a base para o entendimento de funções. Preste bastante atenção!
Conjunto é uma lista, coleção ou classe de objetos, dados, números ou qualquer outro item. Os conjuntos são indicados por letras maiúsculas do alfabeto e seus elementos por letras minúsculas. No exemplo, o conjunto “A” contém os números 1; 3 e 6. 
 (
 
•1
 
 
•3
 
 
 
 
 
•6
A
)
Podemos representar os conjuntos com expressões. No exemplo, temos a letra do conjunto e seus elementos escritos entre chaves e separados por vírgula ou ponto-e-vírgula, assim: A={1,3,6}.
Vejamos algumas considerações sobre conjuntos.
1.1.1 Considerações sobre notações de conjuntos
Os conjuntos têm suas características próprias. Vamos conhecer alguns itens sobre as notações de conjuntos.
· Um conjunto que não possui elementos é chamado de conjunto vazio e representado por ou { }.
· Quando um conjunto possui um número ilimitado de elementos, ele é infinito e utilizamos reticências (...). Ex.: E = {1, 2, 3, ...}.
· 
Dados dois conjuntos A e B, dizemos que A está contido em B ou que A é subconjunto de B se, e somente se, todo elemento do conjunto A também é elemento de B. Ex.: Se A = {1, 2, 4} e B = {1, 2, 3, 4, 5 , 6} então A B ou A é subconjunto de B.
· Chamamos de A B o conjunto formado por todos os elementos comuns a A e B. Ex.: Se A = {1, 2, 4, 6} e B = {2, 6, 9} então A B = {2, 6}.
 (
•1
 
 
 •4
A
•2
 •9
 
 •6
B
22
•2
•6
)
· Chamamos de A B o conjunto formado por todos os elementos de A ou B. Considerando os conjuntos A e B do exemplo anterior, temos A B = {1, 2, 4, 6, 9}.
 (
•1 •6
 
 •2 
 •4
A
•2
 •9
 
 •6
B
•1 •6
 
 •2 
 •9 •4
=
)
· Chamamos diferença de A e B (A-B) ao conjunto de elementos que pertencem a A e não pertencem a B.
A = {1, 2, 4, 6} e B = {2, 6, 9} então A - B = {2, 6}.
A = {0,2,4,6,8} e B= {0,2} então A – B = {4,6,8} 
· Chamamos conjuntos complementares aos elementos que pertencem a B e não pertencem a A.
Dados A e B, A B, de um mesmo universo U, chama-se conjunto complementar de A em relação a B, e indica-se C A B o conjunto formado pela diferença B- A.
A= {0,2} e B = {0,2,4} então C A B = { 4 } 
Vamos ao novo tópico que discorrerá sobre números e conjuntos.
1.3 Os Números e Seus Conjuntos
Relembrando algumas definições dos conjuntos de números já apresentadas na Unidade 1, temos:
Conjunto dos Números Naturais – N
	
	N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
Conjunto dos Números Inteiros – Z
	
	Z = { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}
Conjunto dos Números Racionais – Q
 	Q = {x / x = , com a,b Z e b 0}
Todo número racional pode ser representado na forma decimal:
 ou representação periódica 
Conjunto dos Números Irracionais – I
Os números cuja representação decimal é não exata e não periódica são denominados números irracionais. Todas as raízes não exatas são exemplos de números irracionais. 
		 = 1,4142135...
		 = 1,7320508...
 = 3,1415926535...
 e = 2,71828... (n.º de Euler)
Conjuntos dos Números Reais
A união dos números Racionais com os Números Irracionais constitui o conjunto de números reais, portanto: 	R = Q U I = { x / x é racional ou x é irracional} 
Os números reais são:
· os números naturais;
· os números inteiros;
· os números racionais;
· os números irracionais.
 	
Podemos representar os números Reais (R) em uma reta que chamamos Reta Real: Cada número Real tem um ponto na reta associado a ele e cada ponto da reta tem um número Real que o representa.
 (
-5 
 
 -4
 
 
 
 -3 
 
 -2 
 
 -1 
 
 0 
 
+
1
 +2 
 
 +3 
 
 +4 
 
 +5
-1,5
-
+2,3
)
 (
R - 
Números Reais
I
Números Irracionais
Q - 
Números Racionais
Z
Números Inteiros
Números Não Inteiros
)
Representação dos conjuntos de números
1.4 Intervalos
Os subconjuntos de R representam intervalos em uma reta.
Intervalos limitados
Os subconjuntos sejam a, b R, com a < b. Um intervalo limitado em R é um subconjunto definido de uma das seguintes formas:
[a ; b] = { x R: a ≤ x ≤ b } denominado intervalo fechado de extremidades a e b.
 (
b
a
R
)
]a ; b[ = { x R: a < x < b } denominado intervalo aberto de extremidades a e b.
 (
b
a
R
)
[a ; b[ = { x R: a ≤ x < b } denominado intervalo fechado em a e aberto em b.
 (
a
R
b
)
]a ; b] = { x R: a < x ≤ b } denominado intervalo aberto em a e fechado em b.
 (
b
a
R
)
Intervalos ilimitados 
Os subconjuntos sejam a R. Um intervalo ilimitado em R é um subconjunto definido de uma das seguintes formas:
[a ; [ = { x R: x ≥ a } denominado intervalo fechado.
 (
a
R
)
]a ; [ = { x R: x > a } denominado intervalo aberto.
 (
a
R
)
] ; a] ={ x R: x ≤ a } denominado intervalo fechado.
 (
a
R
)
] ; a[ = { x R: x < a } denominado intervalo aberto.
 (
a
R
)
	
Vamos conhecer o Sistema Cartesiano Ortogonal.
1.5 Sistema Cartesiano Ortogonal
O sistema Cartesiano Ortogonal é formado por um plano que é determinado por dois eixos perpendiculares entre si e com a mesma origem 0. O eixo na posição horizontal é denominado eixo das abscissas e é denotado por 0x. O eixo na posição vertical é denominado eixo das coordenadas e é denotado por 0y. O plano formado por estas duas retas é denominado plano cartesiano ortogonal e denotado por .
 (
 Dado um ponto P qualquer em 
P
1 
é a projeção ortogonal de P sobre 0x;
P
2 
é a projeção ortogonal de P sobre 0y;
x
p 
é a coordenada de 
P
1 
em 0x;
y
p 
é a coordenada de 
P
2 
em 0y;
A origem do sistema é o ponto O(0,0).
P
P
1
0
P
2
y
p
y
 (Eixo das coordenadas)
x
 (Eixo das abscissas)
x
p
)
1.4.1 Representação Gráfica 
 (
x
p
)Qualquer que seja P , existe um único par de valores reais xp e yp , denominado par ordenado e indicado por (xp ; yp).
O Sistema Cartesiano pode ser dividido em quatro quadrantes.
 (
x
y
0
a
b
P (a, b)
1
º
 Quadrante
2
º
 Quadrante
3
º
 Quadrante
4
º
 Quadrante
Eixo da abscissa.
Eixo da ordenada.
)
Veja cada quadrante separadamente no quadro.
 (
2
º
 Quadrante
1
º
 Quadrante
4
º
 Quadrante
y
y
x
x
x
p
 < 0 ; y
p
 > 0
x
p
 > 0 ; y
p
 > 0
x
p
y
p
y
p
x
p
P
P
3
º
 Quadrante
y
y
x
x
x
p
 > 0 ; y
p
 < 0
y
p
x
p
P
0
0
0
x
p
 < 0 ; y
p
 < 0
x
p
y
p
P
0
)
 (
Exercício
Em uma bacia de extração petrolífera foram identificados 4 pontos de potencial de perfuração. A localização des
s
es pontos corresponde a: A(6;2), B(8;3), C(5;1) e D(3;1). Cada unidade corresponde a 
100 km
 de distância do ponto de referência P(0;0). Represente es
s
es pontos no sistema cartesiano.
 
Veja a resolução no gráfico.
)
Resolução
 (
Exercícios
1) 
Vamos formar
 o conjunto dos pares ordenados. 
Sejam os conjuntos A= {0
;
 1
;
 2} e B= {2
;
 4}. 
 Então 
A x B = {(0
;
 2), (0
; 
4), (1
;
 2), (1
;
 4), (2
;
 2), (2
;
 4)}
2) 
Vamos formar
 o conjunto dos pares ordenados. 
Sejam os conjuntos A= {
2 ; 4
} e B= {
1; 3; 5
}. 
 Então 
A x B = {(
2;
 
1
), (
2; 3
), (
2;
 
5
), (
4;
 
1
), (
4;
 
3
), (
4;
 
5
)}
 Então B
 x 
A
 = {(
1;
 
2
), (
1; 4
), (
3;
 
2
), (
3;
 
4
), (
5;
 
2
), (
5;
 
4
)}
 Então 
A x 
A
 =
 A
2
 = 
 {(
2;
 
2
), (
2; 4
), (
4;
 
2
), (
4;
 
4
)}
 Então 
A x 
 =
 
)
Depois de conhecer o plano cartesiano, você vai aprender sobre o Produto Cartesiano.
1.6 Produto Cartesiano 
O Produto Cartesiano é um produto de dois conjuntos não vazios A e B (notação A x B), é o conjunto formado pelos pares ordenados nos quais o primeiro elemento pertence a A e o segundo elemento pertence a B. O par ordenado é representado pela notação (a; b) onde “a” é o elemento da abscissa e “b” é o elemento representando a ordenada. Então:
Se (a ; b) = (c ; d) a = c ; b = d
O Produto Cartesiano de dois conjuntos não vazios A e B (notação A x B) é o conjunto formado pelos pares ordenados, nos quais o primeiro elemento pertence a A e o segundo elemento pertence a B.
A x B = {(x : y) x A y B}
1.5.1 Representação 
Para representar o produto cartesiano de dois conjuntos A = {0, 1, 2} e B = {2, 4}, usamos o diagrama de flechas ou o diagrama cartesiano
O produto cartesiano A x B = {(0; 2), (0;4), (1; 2), (1; 4), (2; 2), (2; 4)} 
 Representação por meio de Flechas
 (
A
B
0
1
2
2
4
)
 Representação no plano cartesiano
 (
 ( 0
;
 2)
0
 1
 2
x
y
2
4
 ( 2
;
 2)
 ( 2
;
 4)
 ( 1
;
 2)
 ( 1
;
 4)
 ( 0
;
 4)
)
 (
Cada par ordenado A x B é representado por um ponto no plano cartesiano.
)
Veja, no próximo tópico, a definição de relação.
1.7 Definição de Relação 
Quando montamos o produto de dois conjuntos A x B, encontramos todas as possibilidades de pares de pontos. Em alguns casos, podemos definir uma relação entre os conjuntos ou seus elementos. A relação define uma restrição aos pares de pontos e as relações podem ser as mais variadas, por exemplo:
· x > y
· y é divisor de y
· x + y > 4
 (
Exercício 1:
 
Sejam os conjuntos A = {
2; 3; 5} e B = {1; 4; 6
} 
sendo:
 R é o subconjunto onde x > y e x
 
 A e y 
 B.
Temos R = 
{(
2; 1), (3; 1), (5; 1), (5; 4)} que é subconjunto de R. Uma possível notação é:
R = {(x : y) 
 A x B 
 
x > y}
Exercício 2:
 
Sejam os conjuntos A = {0
;
 1
;
 2}
,
 B = {2
;
 4} 
sendo:
 
 R 
é o subconjunto 
de 
A x B onde y é o dobro de x; 
y = 2x
.
R = {(x, y) 
 A x B | y = 2x} = {(1
;
 2), (2
;
 4)}
)
Você vai conhecer mais sobre matemática. 
1.8 Domínio, Conjunto Imagem e Representação Gráfica. 
Vamos entender essas definições: Dados dos conjuntos A e B. 
Podemos imaginar o conjunto A formado por três canetas (preta; azul; vermelha) e o conjunto B formado por dois lápis (verde; azul). Podemos definir uma relação R entre os conjuntos no qual R = mesma cor. 
· Domínio de R (notação D(R)) é o conjunto de elementos do primeiro conjunto que 
· pertencem a R. 
No exemplo, a caneta azul.
· Imagem de R (notação Im(R)) é o conjunto de elementos do segundo conjunto que pertencem a R. 
No exemplo, o lápis azul.
Veja agora a representação com números. 
Dados os conjuntos A = {0; 1; 2}, B = {2; 4} sendo R o subconjunto de A x B onde y é o dobro de x; y = 2x.
R = {(x, y) A x B | y = 2x} = {(1; 2), (2; 4)}
Podemos representar graficamente esta relação R nas seguintes formas:
 (
A
B
 0
 
1
 
2
 
2
 4
D = {1, 2} Im = {2, 4}
)Representação por meio de Flechas. {(1; 2), (2; 4)}
Representação no plano cartesiano
 (
 ( 
2;
 
4
)
 
x
y
 
-3
 
-2
 
-
1
0
 1
 2
2
-1
1
3
4
 (
1;
 
2
)
)
1.9 Função - Conceito 
Na matemática, como em outras ciências, muitas vezes queremos estabelecer uma relação ou correspondência entre dois conjuntos. A observação mostra que há certos fenômenos que apresentam regularidade, isto é, comportamento idêntico. Neste caso, podemos representá-los por uma função.
	
Exemplos práticos de função:
· Um carro em aceleração constante cria uma função entre as variáveis tempo(t) e velocidade (v).
· Quando uma torneira que despeja uma determinada quantidade de água por minuto, o volume de água despejada dependerá do tempo que a torneira ficar aberta: 
· A temperatura de um forno em relação à quantidade de tempo que o mesmo está ligado.
· A tarifa do táxi é uma função do número de quilômetros rodados.
· O custo em relação à quantidade de mão de obra.
 (
Conceito:
 Uma relação f, de um conjunto A num conjunto B, é uma função de A em B se, e somente se, f associa a todo elemento de A 
com um
 único elemento de B.
Indica-se que 
 é uma função de 
A
 
em
 
B
 pela notação:
 
f : A 
 B 
 ou x 
 
y = f(x)
 (lê-se: função f de A em B)
 
 (lê-se: a cada valor de 
 associa-se um só valor 
de B)
)
 (
A
B
 
 
 
 
 
f
)
 (
Exemplo
: Sejam dois conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4, 5} e seja a relação dada por R = {(x, y) 
 A x B 
 y = x + 1}, teremos então R = {(1,2), (2,3), (3,4)}.
)
2. Teoria na Prática 
1 - Exercício: Representar o produto cartesiano de dois conjuntos A = {-3; -1, 2} e B = {-2, 3} usando o diagrama de flechas ou o diagrama cartesiano.
Resolução:
O produto cartesiano A x B = {(-3 ; -2), (-3 ; 3), (-1; -2), (-1; 3), (2; -2), (2; 3)} 
Representação por meio de Flechas
 (
A
B
-3
-1
 
2
 -
2
 3
)
Representação no plano cartesiano
 (
 ( 
-1
, 
-2
)
 (
-3;
 
3
)
 (
-1;
 
3
)
 ( 
2;
 
-
2)
 ( 
2;
 
3
)
 
x
y
 (
-3;
 
-2
)
 
-3
 
-2
 
-
1
0
 1
 2
2
-1
-2
1
3
) 
2 - Exercício: Dados os conjuntos A = {-2; 3; 5}, B = {-1; 1; 4; 6} sendo 
 R o subconjunto de A x B onde x é divisor de y.
R = {(x, y) A x B | x é divisor de y} = {(-2; 4), (-2; 6), (3; 6)}
 D = {-2, 3} Im = {4, 6}
Representação pormeio de Flechas {(-2; 4), (-2; 6), (3; 6)}
 (
A
B
-2
 3
 5
 4
 6
 -1
 1
D (R)
Im
 (R)
)
Representação no plano cartesiano
 (
 
x
y
 
-6
 
-4
 
-2
0
 
2
 
4
4
-2
2
6
8
 (
-2;
 
6
)
 (
-2;
 
4
)
 
(3;
 
6
)
) 
3. Síntese 
 (
 
•1
 
 •5
 
 
 
 
 •8
A
)
1. Conjuntos: lista, coleção ou classe de objetos, dados, números ou qualquer outro item. No exemplo A seguir o conjunto “A” contém os números 1,5 e 8. 
2. Os Números e Seus Conjuntos
Conjunto dos Números Naturais – 	N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
Conjunto dos Números Inteiros – 	Z = { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}
Conjunto dos Números Racionais – (não inteiros) 	Q = {x / x = , com a, b Z e b 0}
Conjunto dos Números Irracionais – (decimal é não exata e não periódica) 
Conjuntos dos Números Reais
 (
R - 
Números Reais
I
Números Irracionais
Q - 
Números Racionais
Z
Números Inteiros
Números Não Inteiros
)
Representação dos conjuntos de números
3. Sistema Cartesiano Ortogonal - Representação Gráfica 
 (
 
 
 y 
 (Eixo das ordenadas)
 
b
 
- - - - -
 
P(a,b)
 0
 
 
 
a
 
x (Eixo das abscissas)
)			
 (
P é o ponto de coordenadas a e b 
O número a é chamado abscissa de P
O número b é chamado ordenada de P
 é o Plano Ortogonal
A origem do sistema é o ponto O(0,0).
)
4. Produto Cartesiano: Produto de dois conjuntos não vazios A e B (notação A x B) é o conjunto formado pelos pares ordenados nos quais o primeiro elemento pertence a A e o segundo elemento pertence a B.
5. Domínio, Conjunto Imagem: O Domínio de R (notação D(R) ) é o conjunto de elementos do primeiro conjunto que pertencem a R. A Imagem de R (notação Im(R) ) é o conjunto de elementos do segundo conjunto que pertencem a R.
6. Função – Conceito: Representação de um único valor em função de outro.
.
	
Unidade 3: Funções
1. Conteúdo Didático
Nesta unidade, daremos continuidade ao estudo de funções. Vamos utilizar a linguagem matemática, as relações entre variáveis e o sistema cartesiano para representação gráfica estudados na unidade anterior para apresentar três tipos de funções comumente utilizadas em áreas gerenciais: as funções de primeiro e segundo graus e a função exponencial. Iniciaremos com o conceito de domínio e imagem de funções e finalizaremos com aplicações de funções envolvendo receita, custo e lucro de empresas. O objetivo desta unidade é transformar a teoria e prática matemática em ferramenta aplicativa em situações específicas da área gerencial.
1.1 Domínio e imagem de funções
Imagine que você trabalha no comércio recebendo um valor fixo mensal e mais um adicional (digamos de 10%) sobre o valor de cada unidade do produto vendido. Veja a função:
· 
representa o valor total recebido
· 545 é o valor fixo recebido
· 0,1 é o percentual de 10%
· x representa a quantidade de produtos vendidos. 
· Como particularidade da situação, consideremos que os produtos podem ser fracionados (Ex: horas de consultoria, quantidade de tecido, combustível veicular, etc.).
Caso você venda 500 unidades do produto, seu recebimento será:
 (
 
O
 valor de 
x
 
pode variar
 de quanto a quanto
?
)A conta é simples, mas traz uma indagação:
Obviamente, o valor mínimo será zero, no caso de não ocorrer qualquer venda, e o máximo será quantas unidades do produto houver no estoque. Não faz o menor sentido x ser negativo, pois como se poderia efetuar uma venda de, por exemplo, menos 436,5 unidades de um produto? Em contrapartida, se a empresa tiver uma capacidade ilimitada de reposição de estoque, poderíamos dizer que a quantidade máxima de produtos x seria infinita . Em notação matemática:
O intervalo representa o DOMÍNIO (D) da função, ou seja, representa o conjunto de valores que x pode assumir de forma que se encontre algum resultado para a função. Sucintamente, é o campo de existência da função.
O valor de 595,00, referente ao recebimento, quando foi atribuído à função um valor de , representa a IMAGEM (Im) da função, que é o valor ou o conjunto de valores que se relacionam com os elementos do domínio, ou simplesmente, resultado(s) da função.
Você sabia...
Que o y, ou f(x), é chamado de variável dependente e o x de variável independente? y, é dependente porque depende do valor de x para se formar.
Graficamente, podemos representar esta situação:
 (
Imagem
) (
Domínio
)
Gráfico 1
 (
Domínio
)
Note que o gráfico representa duas situações:
· 
A função no domínio . Sua imagem é , uma vez que somente valores iguais ou maiores que 545 podem ser obtidos substituindo-se elementos do domínio na função.
· 
Quando o elemento do domínio é , a imagem é. 
A função f(x) estudada representa uma situação prática específica, na qual de zero a infinitos produtos são comercializados e um total é recebido como resultado. Se fôssemos tratar apenas matematicamente esta função, teríamos uma situação um pouco diferente, veja:
· 
O domínio seria , pois não haveria restrições para atribuir valores negativos ao x.
· 
A imagem seria , afinal, qualquer valor atribuído a x, e substituído em f(x) gerariam um número real.
Confira essas informações observando o gráfico 2:
 (
Domínio
) (
Imagem
)Gráfico 2
Obviamente, a situação de venda de produtos apresentada constitui-se em um modelo simplório, podendo ser substancialmente diferente de outras situações práticas encontradas nas diversas áreas de conhecimento (administração, economia, engenharia, etc.). Nessas áreas, surgem funções bastante complexas, eventualmente analisadas apenas por meio de recursos computacionais.
Para ampliar um pouco mais nosso entendimento sobre domínio e imagem de funções, vamos prestar atenção nos exemplos:
Exemplo 1
Determine o domínio da função .
 (
Resolução: Observamos
,
 aqui
,
 uma função aparentemente mais complexa que a situação apresentada inicialmente
,
 neste capítulo, entretanto sua solução é bastante simples. Por se tratar de uma função racional (composta por um quociente de polinômios), devemos analisar separadamente o numerador e o denominador
.
A pergunta que devemos fazer é: 
existe algum valor para o 
numerador
 que faça inexistir a função?
 Ou
,
 em outras palavras: 
existe algum valor de 
x
 no 
numerador
 que faça com que a função não exista?
 E a resposta é não. Qu
alquer valor, que atribuirmos 
a 
x
,
 gerará um número real, sem conseq
u
ências para 
f(x)
. Experimente! Substitua quaisquer valores para 
x
 e veja o resultado. 
Façamos agora a mesma pergunta em relação ao denominador: 
existe algum valor para o 
denominador
 que faça inexistir a função?
 A resposta é SIM! NUNCA um denominador poderá ser zero, afinal, não existe divisão por zero. Assim, se o denominador 
 for zero, a função 
f(x)
 não existirá. Portanto,
)
Exemplo 2
Determine o domínio da função .
 (
Resolução: Neste exemplo
,
 a pergunta vale apenas para o numerador
 (o denominador é 1)
: 
existe algum valor para o 
numerador
 que faça inexistir a função?
 A resposta é SIM! Se o radicando for um número negativo
,
 a função não existirá. Você se lembra: não existe raiz quadrada de número negativo
 no conjunto de números reais (apenas nos números complexos)
. Portanto, a solução do problema será:
)
1.2 Funções de 1º grau
Dentre as funções mais simples, está a função do primeiro grau. É também uma das mais usadas, sobretudo em modelos para simplificar funções com alto grau de complexidade. Seu gráfico é uma reta, seu domínio e imagem são o conjunto dos números reais e, também, é chamada de função afim, assim formalmente definida:
 (m e b constantes e ≠ 0)
· m é o coeficiente angular e representa a inclinação da reta. Se este coeficiente for positivo, a função será crescente, e se for negativo a função será decrescente. Para determinar o coeficiente angular basta dividir a diferença das ordenadas de dois pontos quaisquer da reta pela diferença de suas respectivas abscissas:
· b é o coeficiente linear e representa a interseção (corte) da reta com o eixo y. Para determiná-lo basta substituir x por zero na função (x=0 correspondeexatamente à posição do eixo y)
 (
Observe
,
 com atenção
,
 o estudo de
 
Retas em funções
.
) (
Figura 1 - 
Função afim crescente
Fonte: 
ROGAWSKI (2009)
)
São quatro os tipos de funções que apresentam retas contínuas em seus gráficos:
 
Função afim Função linear
 
 
Função identidade Função constante
 
Uma habilidade muito importante que você deve desenvolver é a construção de gráficos. Estes o ajudarão a visualizar melhor os problemas permitindo uma resolução mais fácil. Para a sua construção, não utilizaremos as antigas tabelas nas quais se arbitravam valores para x, determinavam-se os valores de y e, em seguida uniam-se os pontos. Considerando o estudo de funções em geral, esta é uma prática de eficácia limitada, especialmente ao aumentar a complexidade das funções. Adotaremos a metodologia de identificação de pontos notáveis dos gráficos, particulares de cada função.
 (
Quantos pontos você acha que precisamos para construir o gráfico de uma função de 1º grau? A resposta é 2, afinal a função é uma reta e são necessários apenas 2 pontos para construir uma. Mas quais? Aqueles de posição mais óbvia; um sobre o eixo 
x
 e outro sobre o eixo 
y
. Veja o exemplo 1.
)
Exemplo 1
Construa o gráfico da função .
 (
Resolução: Você concorda que o eixo 
y
 está na posição 
x
=0 e o eixo 
x
 em 
y
=0? Se você concorda, está correto e muito próximo da solução do problema, afinal faremos apenas duas “continhas básicas”:
Fazendo 
x
=0
, encontraremos um ponto sobre o 
eixo
 y
, no par ordenado (0,
y
)
A reta passará pelo ponto (0,1).
Fazendo 
y=0
, encontraremos um ponto sobre o eixo 
x
, no par ordenado (
x
,0)
A reta passará pelo ponto 
.
Agora é só lançar os pontos no sistema de eixos cartesianos e traçar a reta:
)
Exemplo 2
Baseado no gráfico determine a função correspondente:
 (
Resolução: Arbitrando o par ordenado (0,3) como ponto 1 e (1,0) como ponto 2, calculamos:
Coeficiente angular
 Como era de se esperar, 
, pois a reta é decrescente.
Coeficiente linear
Escolha qualquer um dos dois pontos; o ponto 2 (1,0), por exemplo, e substitua na função genérica, juntamente com o valor de 
m
 encontrado:
função genérica
Determinação da função
)
Exemplo 3
 (
Resolução: Se existe um ponto de interseção, quer dizer que este ponto é comum às duas retas, ou seja, existe um par ordenado (
x,y
) que pertence tanto à primeira
,
 quanto à segunda reta. Sendo assim, neste ponto, o 
y
 da primeira é igual ao 
y
 da segunda e o 
x
 da primeira também é igual ao 
x
 da segunda. Então
,
 basta que igualemos as retas! Vamos fazer.
Depois de isolar o 
y
 (ou o 
x
, à sua escolha) em um dos lados de cada equação (no caso deste exemplo o 
y
 já estava isolado), podemos pensar: “se 
 e 
,
 então 
”. Seguindo o raciocínio teremos:
Substituindo este valor de 
x
 em qualquer uma das duas equações:
Experimente substituir 
em 
.
Portanto, o ponto de interseção das retas é (-9,10)
.
)Dadas duas retas e determine o ponto de interseção delas.
Vamos estudar agora as funções de 2º grau.
1.3 Funções de 2º grau
Esta função, também conhecida como função quadrática, é uma função polinomial cujo termo de maior grau tem expoente 2. Ela é formalmente assim definida:
		com a, b e c constantes e .
Seu gráfico é uma parábola com concavidade voltada para cima se a>0 e concavidade para baixo se a<0. No primeiro caso, existe um valor mínimo para a função que é determinado pelas coordenadas do vértice (também chamado de ponto crítico). No segundo caso, o vértice denota o ponto máximo. 
Note que o a não representa o coeficiente angular, ao contrário da função de 1º grau, até porque numa função de 2º grau não existe coeficiente angular. Entretanto o c representa o coeficiente linear e tem a mesma característica que na função de 1º grau: determina o ponto de interseção da curva (parábola) com o eixo vertical.
 (
x
’"’
’
x”’
Eixo de simetria
c
Vértice
x
v
y
v
)
Figura 2: Função de 2º grau com >0
A função possui um eixo de simetria e duas raízes ou zeros (x’ e x”), pontos de interseção com o eixo horizontal e esta interseção é particularmente determinada pela análise do discriminante  (delta). Se >0, existirão duas raízes reais e distintas (a curva secciona o eixo x em dois pontos diferentes, como indica a figura; se =0, existirão duas raízes reais e iguais (a curva apenas toca o eixo x em um ponto, indicando que as duas raízes se posicionaram num mesmo lugar); e se <0, não existirão raízes reais (a parábola não seccionará o eixo x). As figuras 3 e 4 apresentam a função de 2º grau nas situações de =0 e <0, respectivamente, porém com a>0 (concavidade para cima.
 (
x’
=x”=
 
x
v
Eixo de simetria
c
y
v
Eixo de simetria
c
vértice
x
v
y
v
Figura 3: Função de 2º grau com 

=0 
 
 Figura 4: Função de 2º grau com 

<0
)
Veja o estudo completo de uma função de 2º grau no exemplo 1.
Exemplo 1
Considere a função 
a) Construa o gráfico da função;
b) Determine o intervalo de crescimento e decrescimento da função;
c) Determine o domínio da função;
d) 
 (
Resolução:
Para construir o gráfico
,
 vamos determinar os pontos notáveis da função: o ponto de interseção com o eixo 
x
,
 o ponto de interseção com o eixo 
y
 e o vértice. Identificando de antemão os valores 
, 
 
e 
, vamos seguir 3 passos:
Passo 1: ponto de interseção da parábola com o eixo 
y
.
 Basta que façamos como na função de primeiro grau, igualando o valor de 
x
 
a zero. 
)Determine a imagem da função.
 (
Ou seja, a parábola corta o eixo vertical em 
. 
Passo 2: ponto de interseção da parábola com o eixo 
x
. Basta igualar 
 a zero. 
)
1.4 Funções Exponenciais
A função “é chamada função exponencial porque a variável x aparece no expoente. O número b é chamado base da função exponencial” (GOLDSTEIN, 2006), sendo sempre positivo. Esta função tem a característica de apresentar um crescimento cada vez maior à medida que elevamos o valor de x, quando b>1, ou um decrescimento cada vez menor à medida que elevamos o valor de x, quando 0<b<1.
Observe nos gráficos que a curva sempre secciona o eixo vertical em y=1 e que a curva possui uma assíntota[footnoteRef:1] em x. [1: “Uma reta chama-se assíntota de uma curva se, quando um ponto se move ao longo de uma parte extrema da curva, a distância deste ponto à reta se aproxima de zero.” (SIMMONS, 1987).] 
 
 
 
 
 Função crescente Função decrescente 
Você vai estudar agora sobre custo, receita e lucro.
1.5 Aplicações na área gerencial: Custo, Receita e Lucro.
 (
Fonte: 
Disponível em Acesso em 
http://www.portogente.com.br/arquivos/id_24582_custos.jpg
. 15/12/2011.
)O estudo matemático de funções encontra aplicação em diversas áreas do conhecimento. A formulação de modelos matemáticos para estudar o comportamento de fenômenos é fundamental para a otimização de processos, tema que será abordado na Unidade 5. 
Tais fenômenos podem ser: o comportamento de vazão de um vertedouro de uma usina hidroelétrica; ou o desgaste de um maratonista submetido a determinadas temperaturas; ou mesmo a evolução das vendas de determinada bebida submetida a diferentes veículos de divulgação. Uma vez que se modele matematicamente o fenômeno a ser trabalhado, sua análise fica substancialmente mais simples e conclusões podem ser tiradas com segurança. 
Uma das áreas de conhecimento que particularmente bem utiliza e se beneficia com o estudo de funções é a área gerencial na análise de custo, receita e lucro de processos produtivos e comerciais. De uma forma simplificada, pode-se definir a função Receita (ou faturamento) como uma função dependente daquantidade x de itens comercializados (vendidos) e do preço unitário p, portanto,
O custo da produção é composto pelo custo fixo (CF) e pelo custo variável (CV). O custo fixo representa os gastos da empresa com pessoal, material e serviços não relacionados à produção (aluguel, telefonista, despesas com escritório de contabilidade, entre outros). O custo variável é sempre dependente da quantidade x, que são os gastos com insumos e pessoal diretamente ligados à quantidade de produtos a serem produzidos ou ao pessoal mobilizado para prestação de serviços (matéria prima e quadro de pessoal para produzir determinado bem de consumo).
O lucro é, simplificadamente, a diferença entre a receita e os custos.
Exemplo
 (
Resolução: Uma vez de posse das funções custo e receita, podemos facilmente determinar a função lucro
:
O lucro para a venda de 1500 unidades é obtido substituindo este valor em 
x
.
)Uma empresa tem um faturamento representado pela função e custo de produção equivalente a . Qual é o lucro obtido pela venda de 1500 unidades?
2. Teoria na prática
Os exemplos fazem uma conexão da teoria matemática, estudada nesta unidade, aplicada em problemas gerenciais.
Exemplo 1
 (
Resolução: Observe que temos informações para gerar, inicialmente, duas funções: Receita e Custo. A função receita 
R(x)
 será formada pelo preço unitário de venda multiplicado pela quantidade 
x
 
vendida:
A função custo total 
C(x)
 será a soma do custo fixo (R$10.000,00) com o custo variável (custo de cada unidade, R$40,00, multiplicado pela quantidade produzida):
O objetivo desta questão é determinar a quantidade 
x
 
numa situação em que a receita é igual ao custo. De fato, se a receita for igual ao custo, obteremos lucro zero; assim, a partir da próxima unidade 
x
 comercializada haverá lucro. Portanto, o procedimento será idêntico ao do exemplo 3 do item 1.2
 - 
Função do 2º Grau. Vamos
 encontrar o ponto de interseção das funções igualando matematicamente as duas.
O faturamento da venda de 500 unidades é o suficiente para cobrir os custos de produção, então
,
 a partir do 501º livro vendido
,
 a editora passará a ter lucro.
)Uma editora vende certo livro por R$ 60,00 a unidade. Seu custo fixo é R$ 10.000,00 por mês, e o custo variável por unidade é R$ 40,00. Determine a quantidade de livros a partir da qual a editora passa a ter lucro.
 (
Este problema tratou de uma situação muito utilizada por economistas e administradores: “A quantidade para a qual Receita Total = Custo Total é denominada 
ponto de nivelamento
 (
break even point
).” (
SILVA
, 1999)
 
)
O ponto de nivelamento separa o lucro do prejuízo. Para valores de x à esquerda do ponto de nivelamento, a receita é menor que o custo, indicando prejuízo. A situação se inverte à direita do ponto, em que a receita passa a ser maior que o custo: lucro. O gráfico representa esta situação.
Exemplo 2
Num estacionamento, o preço da diária é R$ 20,00. A este preço estacionam 50 automóveis por dia. Se o preço cobrado for R$ 15,00, estacionarão 75. Obtenha a função afim que representa a relação entre o preço e a quantidade de automóveis no estacionamento.
 (
A função deste exercício é chamada de função Demanda, ou “função procura de
 mercado da utilidade” (SILVA
, 1999) e representa a relação entre o preço que os compradores do mercado estão dispostos a pagar pelo bem ou serviço oferecido. 
) (
Resolução: Neste exercício
,
 podemos notar dois pares de valores relacionando preço e quantidade: (50,
 
20) e (75,
 
15). Trata-se de pares ordenados, 
em que
 sua relação gerará uma função. Procederemos como no exemplo 2 do item 
1.
2 - Função do 2º Grau, onde
 se identificam dois pontos e determina-se a função. Primeiramente
,
 vamos determinar o coeficiente angular 
m
, arbitrando o par ordenado (50,20) como ponto 1 e (75,15) como ponto 2:
Substituindo os valores de 
m
 e de um dos dois pares ordenados (neste caso
,
 escolhemos o
 
ponto 1) na função genérica, teremos:
Para determinar a função basta substituir os valores de 
m
 e 
b
 na função genérica:
)
Exemplo 3
 (
Resolução: O problema solicita a determinação do lucro máximo. Note que 
possui concavidade voltada para baixo (a<0) e, portanto, um ponto máximo. A solução do problema está em determinar este ponto máximo, que tem
,
 nas coordenadas do vértice (x
v
,y
v
), a quantidade que a empresa deve produzir para que o lucro seja máximo e o lucro para esta situação, respectivamente
,
km de película
 
, portanto: R$ 800.000,00
)Uma empresa prestadora de serviço do segmento automotivo, especializada em produzir película adesiva, utilizada em blindagem de carros de luxo, possui um lucro dado pela função . Determine a quantidade (x, em km) que a empresa deve produzir para que o lucro (em R$ milhões) seja máximo. Determine o lucro para esta situação.
3. Síntese
Esta unidade abordou os seguintes temas:
· Domínio e imagem de funções
· Domínio é campo de existência da função.
· Imagem é o número ou o conjunto de números que se relacionam diretamente com o domínio.
· Funções do 1º grau
· O gráfico é uma reta.
· O coeficiente angular m representa a inclinação da reta. Se m>0 a função é crescente e se m<0 a função é decrescente.
· O coeficiente linear b determina o ponto de interseção da reta com o eixo vertical.
· Para construir o gráfico da função de 1º grau basta determinar 2 pontos, preferencialmente sobre os eixos, e uni-los.
· Funções de 2º grau
· O gráfico é uma parábola.
· Se o coeficiente a>0 a parábola terá concavidade para cima e, caso contrário, a<0, a parábola terá sua concavidade voltada para baixo.
· O coeficiente c determina o ponto de interseção da curva com o eixo vertical.
· O discriminante  determina o número de interseções da curva com o eixo horizontal. Se >0, a parábola secciona o eixo x em dois pontos distintos; se =0, a parábola apenas toca o eixo x; e se <0, a parábola não tocará o eixo x.
· 
Obtém-se o discriminante D a partir da fórmula 
· 
Obtêm-se as raízes da função a partir da fórmula 
· 
Obtém-se o vértice da parábola, que indica o ponto máximo (a<0) ou o ponto mínimo (a>0) da função, através das coordenadas (xv,yv) a partir das fórmulas e 
· Funções exponenciais
· Seu gráfico tem comportamento assintótico no eixo x.
· A função caracteriza-se por aumentar cada vez mais o valor da função à medida que x aumenta, quando b>1, e por diminuir cada vez menos o valor da função à medida que x aumenta, quando 0<b<1.
· Aplicações na área gerencial
· Aplicações da teoria matemática em problemas de ordem gerencial.
Unidade 4: Limites e Derivadas
1.Conteúdo Didático
A unidade anterior nos permitiu conhecer as funções de 1º e 2º graus e funções exponenciais, muito utilizadas na área gerencial. Foram trabalhados problemas de determinação de ponto de nivelamento, função, demanda e otimização (maximização) de lucro. Nesta unidade, iniciaremos uma preparação para o aprendizado de uma ferramenta poderosa para otimização de funções mais complexas, como as polinomiais de enésimo grau, tema que será abordado na Unidade 5. Nosso estudo começa por uma noção intuitiva de limites, passando pelo conceito de derivadas e suas regras.
1.1 Limites
Imagine uma função qualquer, que poderia representar o lucro de uma empresa de transportes, ou o custo de produção de um instrumento musical ou a demanda de mercado por uma nova marca de creme dental. Digamos que esta função seja .
Na análise, que ora queremos fazer (GIOVANNI, 1992), observaremos o comportamento de quando tomarmos valores de x cada vez mais próximos de 3 (número escolhido arbitrariamente). O quadro 1 e o gráfico 1 mostram esta aproximação de x a 3 feita pelo lado esquerdo (começando por 2 e aumentando o valor em direção a 3) e pelo lado direito (começando de 4 e diminuindo o valor em direção a 3).
	x
	2
	2,3
	2,9
	2,99
	...
	3
	...
	3,01
	3,4
	3,9
	f(x)
	4
	4,3
	4,9
	4,99
	...
	5
	...
	5,01
	5,4
	5,9
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	Quadro 1 - Limite de f(x) com x se aproximando de 3 pela esquerda e pela direita.
 (
Gráfico1
 – Limite de 
f(x)
 com x se aproximando de 3 pela esquerda e pela direi
ta. 
Fonte: 
Figura adaptada de Giovanni
 
(
1992
)
.
)
A cada valor de x, tendendo a 3 pelo seu lado esquerdo (2; 2,3; 2,9; 2,99), o valor da função tende a ser 5. A cada valor de, x tendendo a 3 pelo seu lado direito (3,9; 3,4; 3,01), o valor da função tende a ser 5 também. Podemos dizer, então, que o limite da função , quando x tende a 3, é 5. Matematicamente,
Se a função representa, por exemplo, o lucro de uma empresa de transportes por x quilômetros rodados, podemos dizer que, ao aumentar a distância de transporte, aproximando de 3 km, o lucro da empresa tende a ser 5; e de outra forma podemos dizer que, ao diminuir a distância percorrida pelo veículo se aproximando de 3 km rodados, o lucro da empresa tende a 5.
Formalmente, “dizemos que o número L é o limite de f(x), quando x se aproxima de um número a, se f(x) pode tornar-se arbitrariamente próximo de L, tomando x suficientemente próximo (mas não igual) de a. Nesse caso escrevemos, conforme Goldstein (2006) 
Exemplo 1
Calcule e interprete o .
 (
Resolução: 
Basta resolver o 
, ou seja, substituir o valor de 
x
 por 1 na função e resolver.
Nas proximidades de 
x
 =1 a função se aproxima de ¼ sem, no entanto, assumir esse valor.
)
Exemplo 2
 (
Resolução
: 
Veja o que acontece se calcularmos 
, ou seja, se substituirmos o valor de 
x
 por 3.
)Calcule e interprete o .
Obtivemos uma forma indeterminada (0/0), o que significa dizer que a expressão não tem significado e, portanto não pode ser calculada. Isso já era esperado, pois a condição de existência da função (domínio), estudada na Unidade 3, indica que não há relação entre x e y em x =3: 	
Devemos, portanto tentar uma modificação na sintaxe da função a fim de facilitar a determinação do limite. Essa modificação pode ser, por exemplo, a fatoração de um ou mais termos. A solução, após a simplificação entre numerador e denominador do termo , fica trivial:
Interpretação do limite: 
Nas proximidades de x=3, a função se aproxima de 6 sem assumir, no entanto, este valor.
Para complementar a análise, o gráfico desta função racional mostra esta situação: trata-se de uma função descontínua, cujo gráfico é uma reta interrompida em x=3. Tanto à esquerda, como à direita deste valor existe uma relação entre x e y; em x=3, não, é um intervalo aberto.
 (
Gráfico 2
 – Função descontínua em x=3
São sete as formas indeterminadas encontradas na matemática:
John Bernoulli (1667-1748) descobriu e propôs uma regra para calcular limites de funções que apresentam formas indeterminadas. A regra proposta é conhecida como regra de L’Hôpital, em homenagem a um nobre francês e matemático amador, Guillaume François Antoine de L’Hôpital (1661-1704), que publicou a regra pela primeira vez.
 
(SIMMONS, 1987; THOMAS, 2008).
)
1.2 Derivadas
Observe os gráficos 3 e 4, onde C representa a curva da função; L, a reta que intercepta C; e P, o ponto de interseção entre C e L.
 (
Gráfico 3
Fonte:
 THOMAS (2008)
Gráfico 4
Fonte:
 THOMAS (2008)
) 
Em que gráfico temos a reta L tangente à curva da função C no ponto P?
 (
Figura 1 – Retas tangentes e secantes
Fonte:
 THOMAS (2008)
)A resposta é o gráfico 4. No gráfico 3, a reta L é secante a C em P. Thomas (2008. p. 130) define “a tangente a uma curva em P é a reta através de P cujo coeficiente angular é o limite dos coeficientes angulares das secantes quando Q” se aproxima de P, pela direita e pela esquerda, como na figura 1. Lembramos que coeficiente angular, conforme visto na Unidade 3, representa a inclinação de uma função de primeiro grau, cujo gráfico é uma reta.
O pleno entendimento do que é uma reta tangente é fundamental para a continuidade dos nossos estudos. A análise da reta tangente a uma curva (função) pode evidenciar diversas situações práticas em áreas diversas, tais como:
E como isso acontece?
Cada fenômeno estudado (custo de produção de uma empresa, posição de um automóvel em uma estrada, etc.) pode ser associado a uma função matemática . A partir daí, define-se um ponto para análise (estipula-se um valor para x), determina-se a inclinação da reta tangente à função (curva) naquele valor de x estipulado e interpreta-se o resultado. A inclinação da reta tangente a uma curva é também chamada de DERIVADA, formalmente assim definida:
A figura 5 ajuda a entender melhor a definição de derivada. Ao se fazer aproximar o ponto Q do ponto P (fixo) até uma distância h absurdamente (infinitesimalmente) pequena, o coeficiente angular da reta tangente tende a ser igual ao da reta secante (PQ). Sabemos que para determinar a equação, ou mesmo o coeficiente angular de uma reta (função de primeiro grau), são necessários dois pontos conhecidos, como vimos na Unidade 3. A reta tangente não nos fornece esses pontos, mas a reta secante (PQ), sim – as coordenadas são assinaladas no gráfico 5. Basta agora que se calcule y/x (que representa o coeficiente angular m) na condição de extrema proximidade entre os dois pontos, o que significa que a distância horizontal entre eles tende a ser zero, necessitando, portanto da utilização da teoria de Limites para realizar o cálculo.
 (
Gráfico
 5
 – 
Interpretação geométrica da derivada
Fonte:
 THOMAS (2008)
)A derivada pode ser interpretada como a taxa de variação entre duas variáveis, veja alguns exemplos:
 (
A derivada de uma função pode ser representada por meio de várias 
notações diferentes, como:
As quatro primeiras são as mais utilizadas, contudo todas têm situações específicas para uso.
)
 (
Exemplo
Calcule e interprete a derivada da função 
em 
.
Resolução: 
Definição de derivada.
Substituição de 
 por 2.
Substituição de 
 em 
.
Desenvolvimento do produto notável 
.
Desenvolvimento algébrico.
 Simplificação do 
h
 no numerador e denominador.
Substituição de 
h
 por 
0
, desenvolvendo o limite.
Resultado do limite.
Podemos interpretar um problema de cálculo de derivadas de duas maneiras:
A taxa de variação da função nas proximidades de 
x
=2
 é 4. 
A cada valor infinitesimal que 
x
 
aumenta nas proximidades de 2,
 
y
 (ou 
f(x)
)
 aumenta 4 vezes.
)
1.3 Regras de derivação
A derivação, também chamada de diferenciação, é o processo de determinação da taxa de variação da função ou, ainda, do coeficiente angular (inclinação) da reta tangente à função , como genericamente apresentado no gráfico 6. Vimos que, para isso, utilizamos o limite:
 (
Gráfico 
6
 – 
Inclinação da reta tangente à função 
Fonte:
 GOLDSTEIN (2006)
)
Ademais, este método é bastante formal, demorado e cansativo, sobretudo para funções mais complexas como funções exponenciais e polinomiais de enésimo grau. O objetivo desta seção é apresentar regras que permitam derivar vários tipos de função, através de procedimentos puramente mecânicos, sem a necessidade de utilizar a definição de derivadas envolvendo limites. Tais regras foram desenvolvidas por matemáticos como Leibniz, Cauchy e Newton e seu resultado é a chamada função derivada , função genérica vinculada à função , capaz de receber qualquer valor de para a determinação da derivada em um ponto específico.
Regras
1. 
· 
Ex: 
2. 
· 
Ex: 
3. 
· 
Ex: 
4. 
· 
Ex: 
5. 
· 
Ex: 
6. 
· 
Ex: 
7. 
· 
Ex: 
8. 
Regra da soma ou subtração:	
· 
Ex: 
9. 
Regra do produto:	 
· 
Ex: 
10. 
Regra do quociente:	 
· 
Ex: 
Observação: e representam funções de x.
1.4 Extremos de funções
À medida que começamos a trabalhar com funções mais complexas, seus gráficos perdem a trivialidade das retas das funções de primeiro grau ou das parábolas das funções de segundo grau, como vimos na Unidade 3. Não é nosso objetivo construir gráficos de funções de terceiro ou quarto grau, ou mesmo de funções complexas envolvendo exponenciais como as da figura 7, mas temos que ter a habilidade de analisá-las.
 (
 
 
a
 
 
 
 b
 
 
 
 
 
 c
Figura 2
 – 
Funções de 3º grau, 4º grau e envolvendoexponenciais
.
Fonte:
 THOMAS (2008)
) 
Vamos nos ater, independentemente do tipo de função, em pontos como (-2,11) e (2,-21) da figura 2a e o ponto (3,-17) da figura 2b. Perceba que esses pontos separam um trecho crescente de um trecho decrescente da função ou vice versa. Esses pontos são chamados de extremos da função. O ponto (-2,11) é um ponto máximo relativo (ou local), pois nas regiões próximas, ele é o maior, mas observando toda a função existem pontos de maior valor (mais altos). O contrário acontece com o ponto (2,-21), que em sua região é o menor, mas observando a função como um todo existem pontos de menor valor do que ele. Este é um ponto mínimo local.
Observe agora o que ocorre com o ponto (3,-17) da figura 2b. A função passa de um trecho decrescente para um trecho crescente, caracterizando um ponto mínimo, contudo em relação à função toda este é o menor ponto, portanto o ponto mínimo absoluto (ou global).
Mas como fazer para determinar esses pontos sem o gráfico para nos auxiliar?
 Por meio das derivadas!
É simples, iguale a derivada a zero e resolva a equação. Como a derivada é a inclinação da reta tangente em um ponto específico, então em trechos crescentes de funções a inclinação será positiva: ou . Nos trechos decrescentes de funções, a inclinação será negativa: ou . A transição dessas duas situações ocorre quando a derivada é zero, em ponto de máximo ou de mínimo. De fato, para passar de inclinação positiva para negativa ou vice versa, a tangente se horizontaliza, ficando sem inclinação: . Veja a figura 3.
 (
Figura 3
 – 
 indica ponto máximo e ponto mínimo
Fonte:
 THOMAS (2008)
)
 (
Exemplo
Determine o extremo da função 
.
Resolução: O primeiro passo é derivar a função e em seguida igualar a função derivada a zero.
 Função derivada. Utilizaram-se as regras de derivação nº 8, 2 e 1.
Igualando a derivada a zero.
)Na seção 1.3 da Unidade 3, foi desenvolvido um estudo da função do segundo grau e, na oportunidade, determinamos seu ponto máximo por meio das coordenadas . Vamos determinar novamente o ponto máximo só que, agora, utilizando derivadas? Queremos mostrar que a metodologia vale tanto para funções simples como para funções complexas.
 (
Solução da equação. Representa a abscissa do extremo.
Substituindo 
x
 por 1 na função.
O valor encontrado para o ponto extremo é 
(1,4)
. 
Falta agora determinar se o ponto é máximo ou mínimo. A partir do valor de 
x
 encontrado (
), vamos fazer um estudo de sinal da função derivada, arbitrando um valor qualquer para 
 e para 
.
Para 
Se 
 a função é crescente 
.
Para 
Se 
 a função é decrescente 
.
Então, se a função passa de crescente para decrescente, o ponto analisado é 
máximo
.
)
2. Teoria na prática
Vamos aprofundar mais nossos estudos sobre derivadas apresentando alguns exemplos. O objetivo é criar uma habilidade matemática na utilização da derivada como ferramenta de cálculo para análise de fenômenos gerenciais que serão abordados na próxima unidade.
Exemplo 1
Calcule a derivada das seguintes funções utilizando as regras de derivação:
a) 
b) 
c) 
 (
Resolução:
Esta é uma função polinomial de 5º grau, e
,
 para este tipo de função
,
 utilizaremos inicialmente a regra nº 8, na qual a derivada de uma soma/diferença (ou uma sequência de somas/diferenças) é a soma/diferença das derivadas de cada parcela individualmente. 
Cada parcela é então submetida a uma regra específica. 
Desta maneira teremos:
Aplicamos a regra 1 no 1º termo
 e a regra 3 no 2º e 3º termos.
)
 (
c) 
Esta 
é uma função racional, composta pela razão de dois polinômios. Vamos utilizar a regra nº 10, a regra do quociente. A regra considera o numerador 
 e o denominador 
. 
 
Aplicando a regra 10: 
Aplicamos a regra 3 no 1º termo do numerador e as regras 8 e 3 no segundo termo.
Desenvolvemos os produtos do numerador.
Simplificamos o numerador.
) (
Esta função é composta pelo produto de dois termos. Vamos utilizar a regra nº 9, a regra do produto. A regra considera o primeiro termo 
 e o segundo termo 
. Nesta regra devemos multiplicar o segundo termo pela derivada do primeiro e somar com a multiplicação do primeiro termo pela derivada do segundo.
Aplicando a regra 9: 
Aplicaremos a regra 4 na 1ª parcela e a 6 na 2ª
.
Calculamos o mmc
. 
Colocamos 
 em evidência
.
)
Exemplo 2:
Determine os extremos da função .
 (
Resolução: Já sabemos que
,
 para determinar os extremos de uma função
,
 basta igualar a função derivada a zero e resolver a equação.
Aplicamos a regra 8 na função toda, a regra 2 no primeiro termo, a 3 no 2º e a 1 no terceiro. Obtivemos a função derivada.
Igualamos a derivada 
a
 zero.
Resolvendo a equação obtivemos 2 resultados: 
 e 
.
Substituindo es
s
es valores na função 
, obteremos dois pares ordenados.
→
Par ordenado 1: 
(2,21)
→
Par ordenado 2: 
(-2,11)
Es
s
e resultado nos sugere dois extremos, pois determinamos 2 pontos, mas existem casos em que a quantidade de pontos determinados não coincide com o número de extremos da função.
Prosseguindo com a solução do problema, resta determinar se são pontos máximo, mínimo ou nenhum dos dois. A partir dos valores de 
x
 encontrados (
 e 
)
,
 vamos fazer um estudo de sinal da função derivada, arbitrando um valor qualquer para 
, para 
 e para 
.
Para 
Se 
 a função é crescente 
.
Para 
Se 
 a função é decrescente 
.
Para 
Se 
 a função é crescente 
.
Então, se a função passa de crescente para decrescente em 
, o ponto (-2,11) é 
máximo
. Se a função passa de decrescente para crescente em 
, o ponto (2,21) é 
mínimo
. 
Você pode constatar isso 
observando o gráfico da 
figura 2a.
)
 (
Ponto de inflexão
Se um ponto em que a derivada é zero não representa um extremo, tem-se um ponto de inflexão. Este ponto indica uma mudança de concavidade na função, como os pontos (0,10) e (2,-6) da 
figura 2b ou os pontos 
c
1
 
e 
c
5
 
na figura 3.
 
)
3. 
Síntese
Esta unidade abordou os seguintes temas:
· Limites
· Em uma função, quando um valor de x se aproxima cada vez mais de um número a sem, contudo atingi-lo, a função tende a ter determinado valor L.
· 
· Derivadas
· a tangente a uma curva, em um ponto P, é a reta através de P cujo coeficiente angular é o limite dos coeficientes angulares das secantes quando um ponto Q se aproxima de P 
· as derivadas podem ser interpretadas como a taxa de variação entre duas grandezas
· 
as derivadas representam o coeficiente angular da reta tangente à função 
· 
· 
As notações mais comuns de derivadas são:	 
· Regras de derivação
· 
1. 
· 
2. 
· 
3. 
· 
4. 
· 
5. 
· 
6. 
· 
7. 
· 
8. Regra da soma ou subtração:	 
· 
9. Regra do produto:	 
· 
10. Regra do quociente:	 
· 
A função derivada é função genérica vinculada à função , capaz de receber qualquer valor de para a determinação da derivada em um ponto específico.
· Extremos de funções
· Os extremos de uma função podem ser pontos máximos ou mínimos, estes relativos ou absolutos.
· Um ponto será máximo quando o trecho de função que o precede for crescente e o que o sucede for decrescente.
· Um ponto será mínimo quando o trecho de função que o precede for decrescente e o que o sucede for crescente.
· 
Se função crescente
· 
Se função decrescente
· 
Se reta tangente sem inclinação. Pode indicar um extremo.
Unidade 5: Aplicações das derivadas na área gerencial
1. Conteúdo Didático
Nesta unidade, serão apresentadas algumas aplicações da matemática, especificamente das derivadas, na área gerencial. Todo o ferramental matemático trabalhado nas unidades anteriores será utilizado na resolução e interpretação de problemas aplicativos. Por puro rigor conceitual e para a padronização de análises, todas as situações tratadas nesta unidade se baseiam na teoria da firma, que estuda a atividade de um negócio restringindo a análise a um período durante o qual as condições de fornecimento de matérias primas, mão de obra e outros são constantes. Não é objetivo desta unidade pormenorizar estudos