Livro de Cinemática

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UNIDADE 1
CINEMÁTICA
ObjETIvOs DE AprENDIzAgEM
A partir do estudo desta unidade, o(a) acadêmico(a) estará 
apto a:
	relembrar algumas operações com vetores e os principais conceitos 
de cinemática;
	reconhecer as equações dos principais tipos de movimento;
	analisar o movimento em 1D (uma dimensão) de um cursor preso 
por uma corda que passa por três polias;
	analisar o movimento em 2D (duas dimensões) de um projétil 
lançado para o ar a partir de um ângulo θ com a direção horizontal;
	demonstrar que a aceleração medida a partir de dois referenciais-
inércias possui o mesmo valor;
	analisar alguns movimentos associados a um ponto central.
TÓpICO 1 – vETOrEs
TÓpICO 2 – CONCEITOs bÁsICOs
TÓpICO 3 – TIpOs DE MOvIMENTO
TÓpICO 4 – MOvIMENTO CIrCULAr E rOTAÇÃO
pLANO DE EsTUDOs
A primeira unidade está dividida em quatro tópicos. No final de 
cada um deles, você encontrará atividades que lhe auxiliarão a fixar 
os conceitos.
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vETOrEs
1 INTrODUÇÃO
TÓpICO 1
UNIDADE 1
Neste tópico, estudaremos os vetores, seus componentes, sua multiplicação, entre 
outros. Veremos, também, como representar uma grandeza vetorial. Veja o exemplo a seguir.
FONTE: Disponível em: <http://www.ekwziegler.com.br/home/images/
mapa01.jpg>. Acesso em: 29 jul. 2008.
Uma grandeza vetorial, grandeza representada por um segmento de reta orientado, 
sempre presente na nossa vida, é o deslocamento, como, por exemplo, o da seta da Figura 
1. O corpo saiu da cidade de Indaial e chegou à cidade de Brusque. Indaial é a posição inicial 
→ S0 e Brusque a posição final 
→ S do deslocamento ∆
→ S. Assim, o vetor ∆
→ S é a diferença entre 
as posições final e inicial e, portanto, não depende da trajetória percorrida. Por outro lado, o 
corpo seguiu a trajetória sobre a rodovia passando pelas cidades de Blumenau e Gaspar. O 
comprimento dessa trajetória é uma grandeza escalar, conhecida como distância percorrida.
Um vetor, portanto, tem alguns atributos bem visíveis como, por exemplo, a extremidade 
que é a ponta (Indaial, ponto O) e a origem que é a cauda da seta (Brusque, ponto E), veja 
figura a seguir. Além disso, um vetor possui um módulo (tamanho da seta), uma direção (linha 
que une origem com extremidade) e um sentido (no sentido da seta). O vetor → u da figura a 
seguir ocupa um lugar no espaço entre os pontos E e O do sistema de coordenadas x, y e z.
FIGURA 1 – MAPA MOSTRANDO A DISTÂNCIA PERCORRIDA POR UM MÓVEL 
DE INDAIAL ATÉ BRUSQUE. A SETA INDICA O DESLOCAMENTO
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FONTE: Autora
No próximo item, veremos como podemos definir um vetor em termos de seus vetores 
unitários.
2 vETOrEs UNITÁrIOs
Os versores i, j e k são vetores unitários, sem dimensões, das direções coordenadas 
x, y e z e são representados na figura a seguir. Enquanto um ponto tem as coordenadas x, y, 
z, um vetor é a soma das suas componentes nas direções dos versores i, j e k .
→→ →
→→→
FONTE: Autora
Assim, um vetor pode ser escrito em termos de suas componentes (notação vetorial) 
ou em termos do seu valor numérico (módulo),
Na próxima seção, veremos como encontrar as componentes nas direções x e y de um 
vetor no espaço bidimensional.
FIGURA 2 – VETOR NO ESPAÇO TRIDIMENSIONAL. 
FIGURA 3 – TRÊS DIREÇÕES COORDENADAS E SEUS VERSORES.
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3 COMpONENTEs DE UM vETOr
Vamos olhar para o vetor da figura a seguir no espaço plano formado pelo eixo x e 
pelo eixo y.
FONTE: Autora
Das definições de seno e cosseno, podemos concluir que o vetor possui 
as seguintes componentes, 
 
 Lembrando, o ângulo é medido no sentido 
anti-horário, a partir do eixo x até o vetor . O módulo do vetor é e a direção é 
dada pela definição da função tangente, 
 
.
4 ADIÇÃO DE vETOrEs
Suponha dois vetores, e , no espaço tridimensional x, y e z, em que a soma resultante 
é . Conhecendo-se as componentes de cada vetor, somam-se as componentes x, y 
e z separadamente, .
Exemplo 1 – Dados os vetores , encontre o vetor 
resultante da soma entre eles. Encontre também o seu módulo.
Solução: Para encontrar o vetor resultante da soma fazemos:
FIGURA 4 – VETOR v, O TRIÂNGULO RETÂNGULO E SUAS RELAÇÕES
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O módulo pode ser obtido como segue:
5 MULTIpLICAÇÃO DE vETOrEs
A multiplicação de vetores é diferente da multiplicação algébrica de escalares. Veremos 
aqui três tipos de multiplicação. O primeiro caso é o mais simples em que multiplicamos um 
vetor por um escalar. Por exemplo, estamos interessados na multiplicação do escalar t pelo 
vetor . O resultado dessa multiplicação é igual a , 
resultando num novo vetor com um fator igual a t.
Exemplo 2 – Dado o vetor e o escalar , encontre o vetor resultante 
do produto entre eles.
Solução: .
A multiplicação de dois vetores pode ser efetuada de dois modos: o produto escalar e o 
produto interno. Veremos esses dois casos a seguir.
5.1 PRODUTO ESCALAR
O produto escalar, ou produto interno, é a multiplicação entre dois vetores, que resulta 
num escalar e é definido por, .
Em termos de seus vetores unitários podemos escrever o produto escalar como
.
Exemplo 3 – Dados os vetores , encontre o produto 
escalar entre eles. Encontre também o ângulo entre eles.
Solução: Para encontrar o produto escalar, utiliza-se a multiplicação com seus vetores 
unitários,
 
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Para encontrar o ângulo entre esses dois vetores, devemos encontrar primeiros os 
seus módulos:
Agora, utilizamos a definição:
 
 
 
 
 
 
 
5.2 PRODUTO VETORIAL
O produto vetorial, ou produto externo entre dois vetores, resulta em outro vetor e é 
definido por, .
Em termos de seus vetores unitários, podemos escrever o produto vetorial como:
.
Exemplo 4 – Dados os vetores , encontre o produto 
vetorial entre eles.
Solução:
 
Por se tratar de uma revisão com o objetivo de apenas lembrar algumas definições de 
operações com vetores, não nos atemos às deduções pormenorizadamente. Caso o acadêmico 
queira maiores esclarecimentos, deve consultar a bibliografia recomendada no final deste 
Caderno de Estudos.
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rEsUMO DO TÓpICO 1
Neste tópico você viu que:
	Definimos vetor e mostramos os elementos que compõem um vetor.
	Aprendemos a representar os vetores através de suas componentes por meio dos seus 
versores, utilizando a notação vetorial e em termos de seu valor numérico, calculando o seu 
módulo.
	Vimos algumas operações básicas entre vetores como a adição e a multiplicação.
	Relembramos a definição de produto escalar e produto vetorial.
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Ao final deste tópico, caro(a) acadêmico(a), vamos exercitar seus conhecimentos 
adquiridos, resolvendo as questões a seguir:
1 Dado o vetor e o escalar , encontre o vetor resultante do 
produto entre eles.
2 Dado o vetor e o escalar t = 2, encontre o vetor resultante do produto 
entre eles.
3 Dados os vetores , encontre o produto escalar 
entre eles. Encontre também o ângulo entre eles.
4 Dados os vetores , encontre o produto vetorial 
entre eles.
5 Dados os vetores , encontre o vetor resultante da 
soma entre eles. Encontre também o seu módulo.
6 Dado o vetor , no espaço plano formado pelos eixos x e y, encontre as suas 
componentes nas direções x e y, sabendo que o vetor forma um ângulo de 300 com 
o eixo x.
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CONCEITOs bÁsICOs
1 INTrODUÇÃO
TÓpICO 2
UNIDADE 1
A Mecânica é a parte da Física que estuda o movimento dos corpos. Como os corpos 
apresentam diferentes aspectos quanto à sua agregação atômica, comportam-se de maneiras 
diferentes ao serem solicitados por uma força. Levando em conta essa diferença, dividimos a 
Mecânica em três partes, a saber: corpos rígidos, corpos deformáveis e fluidos.
O estudo dos corpos rígidos é, por sua vez, dividido em mais dois aspectos. A Cinemáticae Dinâmica, que estudam os corpos em movimento, e a Estática, que estuda os corpos em 
repouso. 
Começamos nosso estudo levantando alguns conceitos que são fundamentais para 
a compreensão das ideias apresentadas nesse contexto, bem como as principais grandezas 
abordadas aqui e como estas grandezas se relacionam nos fenômenos que pretendemos 
analisar.
2 sIsTEMA INTErNACIONAL
São grandezas fundamentais o comprimento, a massa, o tempo, a temperatura, a 
corrente elétrica, a intensidade de luz e o mol. Com elas expressamos nossas ideias e fazemos 
medidas que tornam possível publicá-las para a verificação por outros estudiosos. Um sistema 
de unidades serve para referenciar um conjunto de padrões únicos que são utilizados para 
comparar a grandeza medida e assim quantificá-la. Por exemplo, no sistema MKS (metro–
kg (quilograma)–segundo), 1 kgf = 1kg.9,8m/s2. Em contrapartida, 1 kgf equivale a 9,8 N no SI 
(sistema Internacional). Da mesma forma, 1 UTM (Unidade Técnica de Massa) no MKS equivale 
a 9,81 kg no SI. O MKS e o SI são sistemas de unidades onde se relacionam as grandezas 
com as suas respectivas unidades.
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Unidades Fundamentais Unidades do Sistema Internacional
Espaço Metro (m)
Tempo Segundo (s)
Massa Quilograma (kg)
Unidades Derivadas
Velocidade Metro por segundo (m/s)
Aceleração Metro por segundo ao quadrado (m/s2)
Momento Linear Quilograma metro por segundo (kg.m/s)
Momento Angular Quilograma metro ao quadrado por segundo (kg.m2/s)
Força Newton (N) → kg.m/s2
FONTE: Autora
QUADRO 1 – SISTEMA DE UNIDADES INTERNACIONAL SI
O quadro a seguir contém as principais grandezas em mecânica e suas unidades no 
sistema internacional de unidades.
De um modo geral, as grandezas vêm expressas em diversos sistemas de medidas 
e, muitas vezes, é necessário converter todas para o mesmo sistema antes de trabalhar com 
elas. Como sabemos, uma grandeza física é representada por um símbolo algébrico, como por 
exemplo, d para distância, t para tempo e v para velocidade. Quando calculamos a distância, 
fazendo o produto da velocidade, com o tempo utilizamos certa coerência dimensional, observe:
 
 
A velocidade estava em m/s e o tempo em s, ambos no SI, possibilitando a simplificação 
de s (segundos) gerando a distância na unidade correta, m (metros). Vamos supor que a 
velocidade tenha sido dada em outro sistema de unidades, por exemplo, 4,47mi/h (milhas por 
hora), substituindo na equação encontramos o seguinte resultado.
 
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Milhas segundos por hora não é uma unidade usual de comprimento. Como as unidades 
estavam em sistemas diferentes não foi possível simplificar a unidade de tempo gerando uma 
unidade estranha para o comprimento. O correto seria converter primeiro a velocidade para o 
mesmo sistema do tempo (SI). Podemos fazer isso com o auxílio do fator de conversão obtido 
na tabela 2.
Em seguida, procedemos como foi demonstrado anteriormente, e obtemos novamente 
a unidade correta para a distância, 16 m.
No quadro a seguir, relacionamos os fatores de conversão de algumas grandezas.
Comprimento Tempo Massa
1 m = 100 cm = 103 mm 1 min = 60 s 1 kg = 103g = 0,0685 slug
1 km = 103 m = 0,6214 mi 1 h = 3600 s 1 slug = 14,59 kg
1 pol = 0,0254 m 1 dia = 86400 s 1 u = 1,661x10-27kg
1 pé = 1 ft = 0,3048 m 1 ano = 3,156x107s 1 kg = 2,205lb ( g = 9,8 m/s2)
Velocidade Aceleração 1 dracmas = 3,888 gramas
1 m/s = 3,281 pés/s 1 m/s2 = 3,281 pés/s2 Pressão
1 km/h = 0,2778 m/s = 0,6214 mi/h Força 1 Pa = 1 N/m2 = 0,209lb/pé2
1 mi/h = 0,4470 m/s 1 N = 0,2248 lb 1 bar = 105 Pa
1 pés/s = 0,3048 m/s 1 kgf = 9,8 N 1 atm = 1,013x105Pa
1 Curies = 2,2 . 1018 desint/ min Impulso 1 mmHg= 1 torr = 133,3 Pa
1 ton (refrigeração) = 12000 Btu/h 1lb.s = 4,448N.s 1 lbf/pé2= 47,88 N/m2
1 nós (internacional) = 0,5144 m/s Energia 1 cmHg a 00C = 27,845 lb/pé2
Volume 1 lb.pés = 1,356J potência
1 litro = 10-3 m3 = 1000 cm3 1 cal = 4,186 J 1 W = 1 J/s
1 pé3 = 0,02832 m3 1 Btu =1055 J 1 hp = 746 W
1 galão = 3,788 litros 1 eV = 1,602x10-19J 1 Btu/h = 0,293 W
QUADRO 2 – FATORES DE CONVERSÃO DAS UNIDADES
FONTE: Autora
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Utiliza-se muito o fator 3,6 para converter m/s e km/h entre 
si, isso vem do fato de que as unidades de comprimento e 
tempo foram convertidas separadamente, facilitando assim a 
memorização da conversão.
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Veja:
 
Assim, se você quiser converter km/h em m/s basta dividir por 3,6. 
Exemplo 5 – Calcule o número de km em 6 milhas.
Solução: Do quadro 2, temos que 1 km = 0,6214 mi. A regra é simples, multiplicamos a 
unidade que desejamos converter (1 mi) pela unidade que desejamos obter (1 km) e dividimos 
pelo seu equivalente na unidade que queremos substituir (0,6214 mi).
 
Exemplo 6 – De acordo com o rótulo de um frasco de molho, o volume é de 0,334 litros. 
Converta esse valor para centímetros cúbicos.
Solução: Novamente do quadro 2, 1 L = 1000cm3, multiplicando pela que queremos e 
dividindo pela que vamos eliminar, obtemos:
 
Exemplo 7 – Uma placa de limite de velocidade avisa que o limite máximo é de 100mi/h. 
Expresse esse valor em km/h e em m/s.
Solução: Da mesma maneira que antes,
 
 
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3 pONTO MATErIAL OU pArTÍCULA E 
COrpO EXTENsO
Em Mecânica temos o conceito de corpo como a entidade material que ocupa um lugar 
no espaço no decorrer de um tempo. Classificamos os corpos em dois tipos, de acordo com 
as suas dimensões. Corpos extensos são corpos cujos pontos de aplicação dos vetores força 
não convergem para um ponto único. Chamamos de ponto material, ou partícula, todo corpo 
cujos pontos de aplicação dos vetores força podem ser representados todos no mesmo ponto. 
Observe a figura a seguir.
FONTE: Autora
4 EspAÇO
O espaço ou posição é o vetor localização de uma partícula a partir de um referencial 
até o ponto em que se encontra durante um certo intervalo de tempo, veja na figura a seguir. 
Dois espaços diferentes ocupados pela mesma partícula em dois tempos diferentes. O vetor 
 é formado pelas componentes nas três direções perpendiculares e o representamos 
como .
FIGURA 5 – UM PONTO MATERIAL E UM CORPO EXTENSO EM EQUILÍBRIO
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5 TEMpO
Grandeza t utilizada para descrever as variações das posições e dizer se a partícula 
se encontra em movimento ou repouso. Num certo intervalo de tempo a simultaneidade e 
a precedência de um evento são independentes do observador.
6 rEFErENCIAL
É um sistema de coordenadas fixas de onde o evento é observado. A figura a seguir 
mostra dois espaços diferentes para a partícula, a partir do mesmo referencial, o ponto O, 
origem do sistema de coordenadas x, y e z.
FONTE: Autora
7 DEsLOCAMENTO
O vetor deslocamento delta s, , observe a figura a seguir, é o vetor com origem 
no ponto de posição inicial (coordenadas de ) e tem extremidade no ponto de posição final 
(coordenadas ). Delta t, , é o intervalo de tempo decorrido durante esse deslocamento.
FIGURA 6 – ESPAÇOS DIFERENTES PARA A PARTÍCULA A PARTIR DO MESMO REFERENCIAL
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FONTE: Autora
Exemplo 8 – Uma partícula se move sobre o plano xy e suas coordenadas são dadas 
pelas seguintes equações,
Sendo t em segundos e x e y em metros, determine o vetor posição da partícula no 
instante t = 15s, o seu módulo e o ângulo formado com x.
Solução: As coordenadas x e y podem ser determinadas mediante simples substituição 
do tempo das equações fornecidas,
O vetor posição é, então, escrito como . O módulo deste vetor 
é dado por, . E o ângulo é:
 
FIGURA 7 – VETOR DESLOCAMENTO DELTA S, 
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8 TrAjETÓrIA
Note os vetores posição e em relação à origem de um eixo cartesiano na figura a 
seguir, durante um intervalo de tempo . O ponto material se deslocou do ponto dado pelas 
coordenadas de até o ponto dado pelas coordenadas de . A linha tracejadaindica todos 
os pontos pelos quais o móvel passou ou ainda passará, ou seja, a sua trajetória, que é a 
linha formada pelas diversas posições que o corpo ocupa no tempo. A trajetória da esquerda 
é circular e o móvel obedece às equações que serão demonstradas no próximo tópico. No 
meio o móvel, é descrita uma trajetória curva e à direita encontramos uma trajetória retilínea.
FONTE: Autora
9 vELOCIDADE
A Grandeza Vetorial mede a rapidez com que o corpo se desloca. Quando se trata 
da velocidade média, esta é a razão entre o deslocamento e o intervalo de tempo. 
.
Assim, Os tempos são cada vez menores, de modo que a 
posição se aproxime cada vez mais de . Tomamos o limite de , tendendo a zero de e 
obtemos a derivada da posição em relação ao tempo , que é a reta tangente à curva naquele 
ponto e que entendemos como sendo a velocidade instantânea da partícula em movimento. 
Observe a figura a seguir.
A velocidade instantânea é a taxa de variação no tempo do deslocamento 
FIGURA 8 – TRAJETÓRIAS
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Assim, 
FONTE: Autora
Exemplo 9 – Utilizando os dados do exemplo anterior, encontre a velocidade média e 
a velocidade instantânea da partícula móvel.
Solução: A velocidade média é dada pela definição, , sendo a posição inicial 
igual a zero e o tempo inicial também igual a zero. Assim, encontramos:
A velocidade instantânea é dada pela derivada da posição, 
 
 Assim, devemos 
encontrar a derivada de x e de y:
FIGURA 9 – VELOCIDADE MÉDIA E VELOCIDADE INSTANTÂNEA 
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Substituindo o tempo por 15 segundos, temos:
Dessa maneira, o vetor velocidade instantânea se torna, .
Exemplo 10 – (YOUNG; FREEDMANN, 2010) Um veículo robótico está explorando 
a superfície de Marte. O módulo de aterrissagem é a origem do sistema de coordenadas e 
a superfície do planeta é o plano xy. O veículo que será representado por um ponto, possui 
componentes x e y que variam com o tempo de acordo com
 
a) Calcule as coordenadas do veículo e sua distância do módulo de aterrissagem no 
instante t = 2,0 s. 
Solução:
No instante t = 2,0 s, as coordenadas do carro são
 
A distância entre o veículo e a origem nesse instante é
 
b) Calcule o vetor deslocamento e o vetor velocidade média no intervalo de tempo entre 
t = 0 e t = 2,0 s. 
Solução: Para achar o deslocamento e a velocidade média, escrevemos o vetor posição 
 em função do tempo.
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Para t = 0 o vetor posição fica,
 
c) Deduza uma expressão geral para o vetor velocidade instantânea do veículo. Expresse 
a velocidade instantânea em t = 2,0 s, usando componentes, e, também em termos de módulo, 
direção e sentido.
Solução: Para achar uma expressão geral para a velocidade, devemos encontrar a 
derivada no tempo do vetor posição, assim, utilizando as equações fornecidas pelo enunciado 
da questão, temos que
 
 
 
Para expressar a velocidade instantânea em t = 2,0 s, usando componentes, basta 
substituir o tempo acima na equação geral encontrada,
 
Em termos de módulo, encontramos
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Para encontrar a direção e o sentido, encontramos o ângulo entre o vetor e o eixo x,
 
10 ACELErAÇÃO
Observe, na figura a seguir, que o vetor velocidade muda, aumentando ou diminuindo 
de intensidade, de para . Está presente uma grandeza vetorial denominada aceleração, 
que é responsável por essa variação.
FONTE: Autora.
Exemplo 11 – Utilizando os dados do exemplo anterior, encontre a aceleração instantânea 
da partícula móvel.
Solução: Analogamente ao exemplo anterior, temos que a aceleração instantânea é 
dada por:
 
FIGURA 10 – TRAJETÓRIA
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Exemplo 12 – Um ponto material se desloca em linha reta, de modo que sua posição 
é definida pelo diagrama da figura a seguir. Encontre a função da velocidade e da aceleração 
em função do tempo. Mostre os gráficos.
FONTE: Autora
FONTE: Autora
Solução: A velocidade é a derivada da posição no tempo, .
Que descreve o comportamento do gráfico da figura a seguir.
FIGURA 11 – GRÁFICO DA POSIÇÃO x(m) EM FUNÇÃO DO TEMPO t(s). O CORPO 
SAI DA ORIGEM E CHEGA ATÉ A DISTÂNCIA DE 30 METROS EM 4 
SEGUNDOS E DEPOIS RETORNA À ORIGEM EM t = 6 s
FIGURA 12 – GRÁFICO DA VELOCIDADE v(m/s) Em Função Do Tempo t(s). A 
VELOCIDADE INICIAL É ZERO EM ZERO SEGUNDOS, EM t = 2 s O 
CORPO ATINGE A VELOCIDADE MÁXIMA DE 12 m/s, DEPOIS VOLTA A 
DECRESCER ATÉ ZERO, QUANDO VOLTA A AUMENTAR EM MÓDULO. 
O SINAL NEGATIVO INDICA QUE O PONTO MATERIAL ESTÁ SE 
APROXIMANDO DA ORIGEM
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A aceleração é dada pela derivada da função da velocidade, .
Que descreve o comportamento do gráfico na figura a seguir.
FONTE: Autora
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Você pode fazer esse exercício usando o MatLab ou outro similar. 
Tente fazer a lista de exercícios utilizando mais esse recurso.
FIGURA 13 – GRÁFICO DA VELOCIDADE v(m/s) EM FUNÇÃO DO TEMPO t(s). A 
ACELERAÇÃO INICIAL É DE 12 m/s2 E EM t = 2 s, A ACELERAÇÃO SE ANULA
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rEsUMO DO TÓpICO 2
Neste tópico, caro(a) acadêmico(a), você viu que:
	Apresentamos as principais unidades das grandezas mecânicas no Sistema Internacional 
SI.
	Diferenciamos corpo extenso de ponto material.
	Definimos espaço, tempo e referencial.
	Estudamos o conceito deslocamento e trajetória.
	Definimos velocidade como sendo a medida da rapidez com que o corpo se desloca e 
aceleração como sendo a rapidez com que o móvel varia a sua velocidade.
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Para exercitar os conhecimentos adquiridos neste tópico, resolva as questões a 
seguir:
1 A posição r de uma partícula que se move num plano xy é dada por r = (4t3 – 6t)i + (8 
– 2t4)j com r em metros e t em segundos. Na notação de vetores unitários, calcule: 
a) r
b) v 
c) a para t = 3s.
2 A velocidade v de uma partícula que se move sobre o plano xy é dada por v = (15t – 5t2)
i + (6 - 2t)j, com v em m/s e t em segundos. 
a) Qual é a aceleração quando t = 1,0 s? 
b) Quando (se acontecer) a aceleração é nula? 
c) Quando (se acontecer) a velocidade é nula?
3 A partir da expressão x = t3 – 6t2 – 15t + 40 onde x(m), t(s), podemos descrever o 
deslocamento de um ponto material. Encontre:
a) O instante em que a velocidade será nula.
b) A posição e a distância percorrida pelo ponto material até esse instante.
c) A aceleração nesse instante.
d) Esboce os gráficos.
4 Uma unidade de área frequentemente usada na medição de áreas de terrenos é o 
hectare, definido como 104 m2. Uma mina de carvão de escavação aberta consome 75 
hectares de terra, até uma profundidade de 26m a cada ano. Qual é o volume de terra 
removido por ano em quilômetros cúbicos?
5 Encontre os componentes da velocidade e da aceleração da partícula no tempo de 2 
segundos de um ponto material governado pela expressão a seguir.
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TIpOs DE MOvIMENTO
1 INTrODUÇÃO
TÓpICO 3
UNIDADE 1
É quase sempre possível descrever o comportamento de um corpo móvel, observando 
algumas grandezas associadas ao seu movimento. Assim, relacionamos essas grandezas em 
funções horárias para prever a sua velocidade e a sua posição em qualquer tempo. Como 
essas funções variam, dependendo da trajetória que o corpo descreve, resolvemos abordá-las 
separadamente em cada tipo de movimento.
2 MOvIMENTO rETILÍNEO UNIFOrME E 
MOvIMENTO UNIFOrMEMENTE vArIADO
Sabendo que a taxa de variação da velocidade em função do tempo nos fornece 
a aceleração, discutida na seção 5 do tópico anterior, podemos escrever que . 
Rearranjando os membros da equação, ficamos com . Integrando o lado esquerdo 
em relação à velocidade, e o lado direito em relação ao tempo, temos: . Com a 
aceleração constante, podemos colocá-la para fora do símbolo de integral e efetuar a operação 
da seguinte maneira, com e, passando para o lado direito da 
equação, encontramos uma função horária para a velocidade .
Movimentos com aceleraçãoconstante são denominados movimentos uniformemente 
variados. Quando a aceleração é nula e o corpo descreve uma trajetória retilínea, o movimento 
é retilíneo uniforme e a equação acima se resume em , ou seja, a velocidade é constante. 
A função horária para as posições pode ser obtida de modo semelhante ao se tomar 
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a taxa de variação do espaço em relação ao tempo, como encontrado na seção 4 do tópico 
anterior, e integrá-la:
Analogamente ao caso anterior,
 
, substituindo a equação para a velocidade 
encontrada na dedução anterior, escrevemos: , sendo , e 
passando para o lado direito da equação encontramos uma função horária para o espaço: 
.
A função horária acima dá a posição do corpo em qualquer tempo para o movimento 
uniformemente variado. Para o caso de um movimento retilíneo uniforme, a equação acima 
se reduz em , sendo a velocidade constante, .
Podemos combinar a equação das velocidades em função do tempo, , com 
a equação das posições em função do tempo, , e obter uma nova equação, 
que não depende do tempo, .
Exemplo 1 – Uma aplicação dos conceitos abordados até aqui é um sistema de polias, 
como o da figura a seguir, em que um cursor A e um bloco E estão ligados por uma corda que 
passa sobre três polias C, D e B. As polias B e D estão fixas. A polia C está presa a um cursor e 
é puxada para baixo com velocidade constante igual a 2m/s. No instante t = 0, o cursor A inicia 
o movimento para baixo, a partir da posição P, com uma aceleração constante. Sabendo-se 
que a velocidade do cursor A é 8m/s, ao passar pelo ponto Q, determine a variação de altura, 
a velocidade e a aceleração do bloco E, quando o cursor A passar por Q.
FONTE: Autora
FIGURA 14 – SISTEMA COM POLIAS 
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Solução: Escolhemos a origem como sendo o plano horizontal superior e o sentido 
positivo de y para baixo (observe figura a seguir). Notamos que, em , o cursor A está na 
posição P e sua velocidade inicial é zero, . Quando o cursor passar pela posição Q, sua 
velocidade é , assim é correto escrever
FONTE: Autora
FONTE: Autora
FIGURA 15 – MOVIMENTO DO CURSOR A 
FIGURA 16 – MOVIMENTO DA POLIA C 
UNIDADE 1TÓPICO 330
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Podemos escrever as equações de movimento da polia C, veja a figura anterior, e 
encontrar o seu deslocamento , encontramos que:
O comprimento da corda é constante, portanto:
Vê-se, então, que o bloco E sobe 10 m. Para encontrar a velocidade e a aceleração do 
bloco E, basta aplicar a derivada duas vezes, ,
3 MOvIMENTO DE prOjÉTIL
O movimento de projétil pode ser visto como uma composição de dois movimentos 
diferentes: um movimento retilíneo uniforme na direção x e uniformemente variado na direção 
y. Observe a figura a seguir:
FONTE: Autora
FIGURA 17 – LANÇAMENTO DE PROJÉTIL 
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Vamos dividir o movimento em dois movimentos independentes e analisá-los 
separadamente quanto à aceleração, à velocidade e à posição.
3.1 ACELERAÇÃO
Em relação ao eixo x, a aceleração é igual a zero, . Não existe força resultante 
atuando nessa direção.
Em relação ao eixo y, a aceleração é igual à aceleração gravitacional, com sinal negativo, 
pois, tem sentido oposto ao dos y crescentes, . A força resultante que atua nessa 
direção é a força gravitacional.
3.2 VELOCIDADE
Em relação ao eixo x, a velocidade é constante, , pois a aceleração é nula 
nessa direção.
Em relação ao eixo y, a velocidade varia com o tempo, , de modo que a 
aceleração é constate e igual ao negativo da aceleração da gravidade.
3.3 ESPAÇO
Em relação ao eixo x, a posição é uma função do tempo com velocidade constante, 
. Observe que o movimento nessa direção é uniforme.
Em relação ao eixo y a posição é uma função do tempo com aceleração constante, 
. Observe que nessa direção o movimento é variado.
Exemplo 2 – Uma pedra é projetada de um rochedo íngreme, de altura h, com velocidade 
inicial de 42 m/s, direcionada em um ângulo de 600 acima da horizontal. (figura a seguir). A 
pedra cai em um ponto A, 5,5 s após o lançamento. Encontre (a) a altura h do rochedo, (b) a 
velocidade da pedra imediatamente antes do impacto em A, e (c) a altura máxima H, alcançada 
acima do chão.
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FONTE: Autora
Solução: 
a) A altura h é a coordenada y do deslocamento como tempo igual a 5,5 s e dada pela equação
, encontramos a 
velocidade inicial na direção y como sendo, . Sabendo 
que quando a pedra foi lançada ela se encontrava na origem das posições e que a 
aceleração da gravidade vale , podemos encontrar a altura do rochedo, :
b) Para encontrar a velocidade da pedra ao bater no rochedo, precisamos encontrar as 
coordenadas de x e y para a velocidade e calcular o seu módulo. Na direção x, o movimento 
é uniforme, portanto, a velocidade nesta direção é constante. Assim:
A velocidade na direção y pode ser encontrada mediante a equação:
FIGURA 18 – MOVIMENTO DE PROJÉTIL
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Encontramos o vetor velocidade como sendo e o seu 
módulo, .
c) Observe a figura anterior. Na altura máxima, a componente y da velocidade é igual a 
zero, . Podemos utilizar a equação da velocidade em y para encontrar o tempo e utilizar 
na equação da posição de y para determinar a altura máxima H.
Substituindo esse tempo na equação para y, encontramos:
 
 
4 DETErMINAÇÃO DO MOvIMENTO 
A pArTIr DA ACELErAÇÃO
Vimos que as condições de movimento são especificadas principalmente pelo tipo 
de aceleração que o corpo possui. Porém, nem sempre a aceleração depende do tempo, 
a aceleração de uma massa presa a uma mola, por exemplo, depende do afastamento do 
corpo da posição de equilíbrio. Podemos considerar três classes mais comuns de movimento, 
com a aceleração dependente do tempo, com a aceleração dependente da posição e com a 
aceleração dependente da velocidade. Vimos o primeiro caso exaustivamente na última seção, 
vamos analisar os dois outros casos agora.
UNIDADE 1TÓPICO 334
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4.1 COM A ACELERAÇÃO DEPENDENTE DE x 
a = f (x)
A partir da equação conhecida em função de t, podemos chegar a uma função 
exclusivamente da distância por meio de algumas operações simples,
 
Substituindo a aceleração por f(x), encontramos
 
Exemplo 3 – A aceleração de um corpo é dada por a(x)=-kx. Queremos determinar 
a constante k, sabendo que na posição inicial x = 0 a velocidade é de v = 24 m/s e que a 
velocidade se anula v = 0 em x = 6m. (BEER; JOHNSTON JR, 2006).
Solução: Substituindo a equação da aceleração e as condições impostas na expressão 
deduzida nesta seção, temos:
 
UNIDADE 1 TÓPICO 3 35
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4.2 COM A ACELERAÇÃO DEPENDENTE DE v
Em princípio, a unidade de k (s-2) pode nos parecer estranha, mas devemos nos lembrar 
que ela deve respeitar a igualdade a = -kx. Como x está em metros, k precisa estar em s-2 para 
compor a unidade de aceleração m/s2.
a = f (v)
Utilizando os mesmos argumentos nas deduções anteriores, podemos mostrar que
 
UNI
O exercício a seguir está proposto no capítulo 11 da referência 
citada. O aluno pode testar seus conhecimentos desenvolvendo 
alguns dos outros problemas propostos pelo autor na obra 
Mecânica Vetorial para Engenheiros.
Exemplo 4 – (BEER; JOHNSTON JR, 2006). A aceleração de uma partícula é definida 
pela relação, .
Onde k é uma constante. Sabendo que x = 0 e v = 7,5 m/s em t = 0, e que v = 3,6 m/s 
quando x = 1,8 m, determine:
a) A velocidade da partícula quando x = 2,4 m.
b) O tempo necessário para que a partícula atinja o repouso.
Solução: 
a) Como as grandezas fornecidas são a velocidade e a posição, convém utilizar a 
expressão que obtemos por meio da segunda dedução,
UNIDADE 1TÓPICO 336
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Substituindo k na equação e utilizando as condições iniciais, obtemos
 
b) Do mesmo modo podemos encontrar o tempo quando a partícula alcança o repouso 
substituindo k e f(v) na primeira equação,
 
UNIDADE 1 TÓPICO 3 37
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5 MOvIMENTO rELATIvO
Para dar um exemplo de movimento relativo, imagine que você esteja dentro de um carro 
a 100km/h e atire uma pedra para frente a 10 km/h em relação a você. A pedra estará a 110 
km/h em relação a um observador que esteja parado do lado de fora. O mesmo movimento é 
observado a partir de dois referenciais diferentes: um está em repouso (observador externo ao 
carro) e o outro se move com velocidade constante (observador no interior do carro). Ambos 
obtêm resultados diferentes para a medida da velocidade da pedra.
Vamos olhar para a figura a seguir. O referencial A está em repouso ( ) e o 
referencial B se move com velocidade constante ( ) no plano xy. é o vetor posição 
do referencial B em relação ao referencial A, é o vetor posição do ponto P em relação ao 
referencial A e é o vetor posição do ponto P m relação ao referencial B.
FONTE: Autora
Podemos encontrar uma expressão para a posição do ponto P que relacione os dois 
referenciais de tal maneira que .
Para encontrarmos a velocidade, devemos derivar a expressão acima em relação ao 
tempo, . Assim, a velocidade relativa é expressa como segue: 
.
De modo semelhante, derivamos uma expressão para a aceleração: 
.
FIGURA 19 – MOVIMENTO RELATIVO
UNIDADE 1TÓPICO 338
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Como o referencial B se move com velocidade constante e a derivada de uma constante 
é igual a zero ( ), encontramos , ou seja, a aceleração medida a partir dos dois 
referenciais possui o mesmo valor.
Exemplo 5 – Uma bola é arremessada verticalmente para o alto a partir do nível de 
12 m de um poço de elevador com uma velocidade inicial de 18m/s. No mesmo instante, um 
elevador de plataforma aberta passa pelo nível de 5m, subindo com uma velocidade constante 
de 2 m/s. (BEER; JOHNSTON JR, 2006).
 Determine:
a) Quando e onde a bola vai atingir o elevador.
b) A velocidade relativa da bola em relação ao elevador quando a bola o atinge.
FONTE: Autora
Solução:
a) Podemos descrever o movimento da bola, com aceleração constante a = -9,8m/s2, 
como um movimento uniformemente acelerado. Em t = 0 a bola se encontra na posição inicial 
y0 = 12 m e velocidade inicial v0 = 18 m/s,
 
O movimento do elevador, com velocidade constante vE = 2m/s, é um movimento 
uniforme e possui apenas uma equação,
 
FIGURA 20 – BOLA NO POÇO DO ELEVADOR. PROBLEMA APRESENTADO NO BEER E 
JOHNSTON [2]. EM yE = yB A BOLA E O ELEVADOR SE ENCONTRAM
UNIDADE 1 TÓPICO 3 39
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Onde a posição inicial é de 5m, conforme podemos ver na figura anterior, para yE.
Quando a bola atinge o chão do elevador yB = yE , então podemos escrever que
 
Ou seja, a bola atinge o elevador em t = 3,65s, desprezando o tempo negativo. Para 
determinar o lugar, basta substituir o tempo em uma das duas equações para as posições,
 
b) A velocidade relativa da bola em relação ao elevador é
 
O sinal negativo indica que a bola é observada do elevador, deslocando-se no sentido 
negativo (para baixo).
UNIDADE 1TÓPICO 340
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Neste tópico, você viu que:
	Vimos que o movimento retilíneo uniforme é o movimento cuja trajetória é em linha reta e a 
aceleração é nula. Portanto, o móvel se move com velocidade constante.
	Vimos que, num movimento uniformemente variado com aceleração constante e diferente 
de zero, a velocidade do móvel é uma função dependente do tempo.
	Observamos o movimento balístico ou movimento de projétil que é um movimento bidimensional 
(2D) e aprendemos a tratá-lo como dois movimentos independentes: um na direção x em 
MRU (sem resultante atuando sobre o corpo), e outro na direção y em MRUV, em que existe 
a interação da força gravitacional.
	Estudamos também o movimento relativo a dois referenciais inerciais e apresentamos as 
equações que os relacionam.
rEsUMO DO TÓpICO 3
UNIDADE 1 TÓPICO 3 41
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Chegando ao final de mais um tópico, para testar seus conhecimentos adquiridos, 
responda as seguintes atividades:
1 Uma pedra é lançada de uma catapulta em t =0, com uma velocidade inicial de 
módulo 20,0 m/s em um ângulo de 400 acima da horizontal. Quais são os módulos 
dos componentes: 
(a) horizontal 
(b) vertical do seu deslocamento em relação à catapulta em t = 1,10s? 
Repita para as componentes (c) horizontal e (d) vertical em t = 1,80 s e para as 
componentes (e) horizontal e (f) vertical em t = 5,00 s.
2 Um peixe, nadando em um plano horizontal, tem velocidade vi = (5,00i + 2,00j)m/s 
em um ponto no oceano em que o deslocamento em relação a uma certa pedra é 
r i = (9,0i – 3,00j)m. Após o peixe nadar com aceleração constante por 15,0s, sua 
velocidade é v = (16,0i - 4,00j)m/s. Quais são as componentes da aceleração?
3 Uma pedra é projetada sobre um rochedo íngreme de altura h com velocidade inicial 
de 40 m/s direcionada em um ângulo de 500 acima da horizontal. A pedra cai em um 
ponto A, 4,0 s após o lançamento. Encontre (a) a altura h do rochedo, (b) a velocidade 
da pedra imediatamente antes do impacto em A, e (c) a altura máxima H alcançada 
acima do chão.
AUT
OAT
IVID
ADE �
4 De um elevador em movimento ascendente, de velocidade 3,66 m/s, abandona-se 
uma pedra que atinge o fundo do poço em 2,5s. A que altura estava o elevador no 
momento do abandono da pedra? Qual a velocidade da pedra no instante do choque 
com o solo.
UNIDADE 1TÓPICO 342
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5 De uma janela de um prédio, localizada a 20m acima do solo, arremessa-se 
verticalmente para cima, uma bola com velocidade de 10m/s. Sabendo-se que 
a aceleração da bola é constante e igual a 9,81m/s2, para baixo, escreva uma 
expressão para a velocidade v e para a elevação y da bola, relativamente ao solo, 
para qualquer instante t. Determinar o instante em que a bola atinge a elevação 
máxima e o seu valor em y correspondente. 
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MOvIMENTO CIrCULAr E rOTAÇÃO
1 INTrODUÇÃO
TÓpICO 4
UNIDADE 1
Movimento circular é aquele em que o móvel executa uma trajetória em círculo, podemos 
colocar a origem do nosso sistema coincidindo com o centro do círculo como na figura a seguir. 
A posição angular θ é dada pela relação entre o comprimento do arco d e o raio r . Assim, 
para a primeira posição, temos 
 
e, para a posição seguinte, . Uma revolução 
tem . Isso equivale a 2π radianos. O deslocamento angular é dado por . 
A velocidade tangencial v é proporcional à velocidade angular é dada pela expressão: v=r .
FONTE: Autora
2 ACELErAÇÃO
A aceleração possui uma componente da direção radial e uma componente na direção 
tangencial como ilustra a figura a seguir.
FIGURA 21 – MOVIMENTO CIRCULAR 
UNIDADE 1TÓPICO 444
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FONTE: Autora
A aceleração total é escrita em termos de seus vetores unitários como , 
em que at é a componente tangencial e ar a componente radial.
No caso particular de um movimento circular uniforme, a aceleração tangencial é nula 
e, portanto, a velocidade escalar é constante em módulo, mas varia continuamente na direção 
tangente ao círculo. Consequentemente, existe apenas uma componente da aceleração na 
direção radial, que costumamos chamar de aceleração centrípeta por se dirigir ao centro da 
trajetória e seu módulo é dado por , em que v é a velocidade tangencial e r é o raio 
da circunferência.
Deve-se levar em conta o fato da componente radial da aceleração depender do raio da 
trajetória circular nos projetos de estruturas e mecanismos como as asas de avião e as linhas 
férreas evitando-se variações repentinas na curvatura.
3 pErÍODO
Podemos encontrar o tempo para executar uma volta completa, denominado período 
T , utilizando a definição de velocidade e lembrando que a distância percorrida numa volta 
completa é , em que r é o raio da circunferência, temos,
.
Isolando a velocidade em função do período, temos que
 
Substituindo na aceleração radial ou centrípeta, encontramos que,
FIGURA 22 – COMPONENTES TANGENCIAL E RADIAL DA ACELERAÇÃO 
UNIDADE 1 TÓPICO 4 45
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A equação acima caracteriza um movimento circular uniforme.Em seguida, vamos 
apresentar um problema com aceleração centrípeta em uma estrada curva.
4 ApLICAÇÕEs
Vamos ver algumas aplicações dos conceitos abordados até aqui na forma de exemplos 
práticos. 
Exemplo 1 – O carro esportivo Aston Martin V8 Vantage possui “aceleração lateral” 
de 0,96g, o que equivale a (0,96)(9,8m/s2)= 9,4 m/s2. Isso representa a aceleração centrípeta 
máxima sem que o carro deslize para fora de uma trajetória circular. Se o carro se desloca a 
uma velocidade constante de 40m/s (89mi/h ou cerca de 144km/h), qual é o raio mínimo da 
curva que ele pode aceitar?
Solução:
 
Exemplo 2 – Um trem se desloca numa curva de raio 1000m com uma velocidade de 
162km/h O trem desacelera e após 5s a velocidade do trem reduziu para 108km/h. Determine 
a aceleração logo após os freios terem sido acionados.
UNIDADE 1TÓPICO 446
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FONTE: Autora
Solução: Para determinar a aceleração do trem precisamos encontrar as suas duas 
componentes, uma na direção tangente a curva e a outra na direção radial (aceleração 
centrípeta). Veja a figura a seguir.
FONTE: Autora
Vamos converter os valores das velocidades para o sistema internacional, dividindo os 
valores em km/h por 3,6 e obtê-los em m/s. Assim, encontramos v0 = 45 m / s e v = 30 m / s.
Substituindo esses valores na definição de aceleração média, encontramos a aceleração 
tangencial,
Para encontrar a componente radial, utilizamos a definição de aceleração centrípeta,
FIGURA 23 – TREM SE DESLOCANDO NUMA CURVA 
FIGURA 24 – A ACELERAÇÃO E SUAS COMPONENTES 
UNIDADE 1 TÓPICO 4 47
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O vetor aceleração, em termos dos vetores unitários se torna e o seu 
módulo,
 
Para estudar o movimento circular de um ponto sobre um corpo rígido, em rotação ao 
redor de um eixo, considera-se o ângulo θ descrito ao redor do eixo de rotação num intervalo 
de tempo. Sobre o eixo podemos localizar o vetor velocidade angular ω e o vetor aceleração 
angular α, relacionados entre si como mostra a figura a seguir e as equações que seguem.
FONTE: Autora
Com aceleração angular constante são válidas as expressões 
 
Do mesmo modo que podemos encontrar a velocidade linear v(t) de uma partícula 
derivando a função das posições x(t), e derivando x(t), mais uma vez encontramos a aceleração 
a(t). Nós podemos derivar a expressão θ(t) para obter a velocidade com que o ângulo varia e 
a sua aceleração através da segunda derivada de θ(t). Uma notação bastante utilizada para 
derivada primeira é um ponto sobre o símbolo da grandeza e dois pontos para segunda derivada.
FIGURA 25 – DESLOCAMENTO DE UM PONTO MATERIAL PRESO 
A UM CORPO EM ROTAÇÃO COM ACELERAÇÃO 
ANGULAR CONSTANTE SOBRE UM EIXO FIXO
UNIDADE 1TÓPICO 448
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FONTE: Autora
Solução: Sabendo que 1800 = π • rad, encontramos que 10 = 0,01745rad. Assim, temos 
que 400 = 0,698rad. Substituindo na expressão para , temos,
Tomando as expressões para e r substituímos t, assim de e 
temos,
 
 
Vamos ilustrar com o exemplo de um movimento considerando as direções r e θ.
Exemplo 3 – O braço AO da figura a seguir possui 1m de comprimento e gira ao redor 
do ponto O, definido pela relação , em que é dado em radianos e t em segundos. 
O cursor C desliza ao longo do braço dado pela relação r = 1 – 0,15 t2 em relação ao ponto 
O, em que r é dado em metros e t em segundos. Determine a velocidade e a aceleração do 
cursor após o braço ter girado 400.
FIGURA 26 – BRAÇO ARTICULADO EM O 
UNIDADE 1 TÓPICO 4 49
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FONTE: Autora
A velocidade do cursor é dado em termos de e r,
 
A aceleração em termos de e r é dado por,
 
Devemos observar que a aceleração em relação ao movimento retilíneo do cursor C 
ao longo do braço AO é , ou seja de A para O.
5 rOTAÇÃO DE UM COrpO EXTENsO 
EM TOrNO DE UM EIXO FIXO
Os pontos materiais que formam o corpo em rotação estão se deslocando em planos 
formados por circunferências com centros sobre uma reta fixa denominada eixo de rotação. 
Observe a figura a seguir.
FIGURA 27 – MOVIMENTO DO CURSOR E DIREÇÃO DOS VETORES 
UNITÁRIOS DAS DIREÇÕES e r 
UNIDADE 1TÓPICO 450
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A velocidade de rotação do eixo é denominada velocidade angular e está na direção 
do eixo. Podemos encontrar uma relação entre a velocidade escalar tangencial da partícula do 
corpo em movimento circular com a velocidade angular do eixo, escrevendo v = r , em que 
r é o raio da circunferência que dá a trajetória da partícula.
FONTE: Autora
FONTE: Autora
Um corpo extenso em rotação, como o da figura anterior, possui velocidade angular 
e aceleração angular α na direção do eixo de rotação. Tomando um ponto material qualquer 
do corpo, encontramos que sua aceleração é composta por duas componentes: a1 na direção 
tangencial e an na direção normal, que podem ser escritas em termos da velocidade angular e 
da aceleração angular como segue:
at = rα
an = r 2
Definindo as equações de movimento de um corpo extenso em rotação em relação à 
coordenada em função da variável temporal, encontramos = 0+ • t, para o movimento 
FIGURA 28 – CORPO EXTENSO EM ROTAÇÃO EM TORNO DE UM EIXO 
FIGURA 29 – CORPO EXTENSO EM ROTAÇÃO EM TORNO DO EIXO 
z COM VELOCIDADE ANGULAR E ACELERAÇÃO 
ANGULAR α. E COM COMPONENTES a1 e an DA 
ACELERAÇÃO DE UM PONTO MATERIAL DO CORPO 
UNIDADE 1 TÓPICO 4 51
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de rotação uniforme com α = 0, e 
para o movimento de rotação uniformemente acelerado, com α = cte , ou seja, aceleração 
angular constante.
Exemplo 4 – Um peso A está ligado a uma polia dupla pelo cabo inextensível mostrado na 
figura a seguir. O movimento da polia é controlado pelo cabo B, que possui aceleração constante 
de 0,316m / s2 e uma velocidade inicial de 0,332m / s, ambas para a direita. Determinar: (a) o 
número de revoluções executadas pela polia em 3s, (b) a velocidade e a variação da posição 
do peso A depois de 3s e (c) a aceleração do ponto C na periferia da polia interna, no instante 
inicial.
FONTE: Autora
Solução: (a) Como o cabo é inextensível, a velocidade do ponto C é igual à do ponto B 
e a componente tangencial da aceleração no ponto C é igual à aceleração do ponto B.
Assim, encontramos que e o raio é 0,07m. Podemos determinar a 
aceleração angular e a velocidade angular inicial:
 
Utilizando, agora, as equações de movimento com t = 3s , obtemos:
FIGURA 30 – POLIA COM PESO
UNIDADE 1TÓPICO 452
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Cada revolução tem uma coordenada angular de 2 • π • rad, portanto, o número total de 
revoluções é a relação entre a coordenada angular e 2 • π • rad. Assim:
(b) Utilizando as relações entre os movimentos angular e linear, com r = 0,12 m, 
encontramos a velocidade e o deslocamento do corpo A:
FONTE: Autora
(c) Podemos encontrar a componente normal da aceleração no ponto C, utilizando a 
relação:
FIGURA 31 – AS COMPONENTES DA ACELERAÇÃO DE UM PONTO DA POLIA, 
E GRANDEZAS LINEARES DO CORPO A
UNIDADE 1 TÓPICO 4 53
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FONTE: Autora
Encontramos, neste tópico, as relações entre as grandezas para os móveis em 
movimento circular e o movimento de rotação de corpos extensos, encerrando nossa discussão 
sobre cinemática. 
Na próxima Unidade, entramos no estudo da Dinâmica e veremos algumas aplicações 
das leis de Newton. Antes, porém, vamos relembrar alguns conceitos que foram abordadas 
no Caderno da disciplina de Física Geral. Logo em seguida, iniciamos o estudo da dinâmica 
e, por último, na Unidade 3, abordamos a Estática e suas aplicações na Engenharia.
Agora, utilizando a componente tangencial juntamente com esse resultado, encontramos:
, cuja direção é dada por:
 
LEITUrA COMpLEMENTAr
ANÁLIsE DO MOvIMENTO pLANO EM FUNÇÃO DE UM pArâMETrO
Ferdinand Pierre Beer
No caso de certos mecanismos, é possível exprimir as coordenadas x e y de todos os 
seus pontos principais através de expressões analíticas simples contendo um único parâmetro. 
Pode tornar-se vantajoso, neste caso, determinar diretamente a velocidadee a aceleração 
absolutas de diversos pontos do mecanismo, uma vez que suas componentes podem ser 
FIGURA 32 – ACELERAÇÃO E SUAS COMPONENTES
UNIDADE 1TÓPICO 454
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Considerando-se a barra AB, cujas extremidades deslizam nas guias horizontal e vertical 
(Figura acima), as coordenadas xA e xB das extremidades da barra podem ser expressas em 
função do ângulo formado pela barra com a vertical
Derivando as equações (1) duas vezes em relação a t, obtemos:
Lembrando que , obtemos:
Observamos que um valor positivo de vA ou aA indica que a velocidade ou a aceleração 
 está dirigida para a direita, e um valor positivo de vB ou aB indica que ou está dirigida 
para cima. As equações (4) podem ser usadas, por exemplo, para determinar vB e , quando 
vA e são conhecidas. Substituindo o valor de na (5), podemos determinar aB e α se aA for 
conhecido.
FONTE: BEER, Ferdinand Pierre. Mecânica vetorial para engenheiros. 5 ed. São Paulo: Makron 
Books, 1994, p. 447-448.
obtidas derivando-se as coordenadas x e y desses pontos.
UNI
Na próxima Unidade, entramos no estudo da Dinâmica e veremos 
algumas aplicações das leis de Newton. Antes, porém, vamos 
relembrar alguns conceitos que foram abordadas no Caderno da 
disciplina de Física Geral. Logo em seguida, iniciaremos o estudo 
da Estática.
UNIDADE 1 TÓPICO 4 55
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Neste tópico, você teve oportunidade de estudar importantes assuntos de Física, 
cujo resumo apresentamos a seguir:
	O movimento circular da partícula e seu deslocamento angular.
	Que a aceleração é composta pelas componentes na direção tangencial e radial.
	Encontramos o período como sendo o tempo necessário para uma volta completa.
	Mostramos algumas aplicações práticas dos conceitos apresentados.
	Estudamos as equações que regem o movimento de rotação de um corpo extenso, segundo 
suas principais grandezas.
rEsUMO DO TÓpICO 4
UNIDADE 1TÓPICO 456
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Para exercitar os conhecimentos adquiridos, resolva as questões a seguir:
1 Um ciclista, correndo a 10m/s, contorna uma curva com um raio de 25m. Qual é o 
módulo da sua aceleração?
2 Um bloquinho A repousa sobre uma placa horizontal que gira em torno de um eixo 
fixo em O. A placa parte do repouso em t = 0 e acelera à razão constante de 0,5 rad/
s2. Sabendo que r = 0,2m, determine o módulo da aceleração total do bloco, quando 
(a) t = 0, (b) t = 1s e (c) t = 2s. Situação apresentada na figura a seguir.
FONTE: Autora
3 Uma fita de computador move-se entre dois tambores. Durante um intervalo de 3s , a 
velocidade da fita aumenta uniformemente de v0 = 0,620m / s a v1 = 1,54m / s. Sabendo que 
a fita não escorrega nos tambores, determine (a) a aceleração angular do tambor B e (b) 
a número de revoluções executadas pelo tambor B durante esse intervalo de tempo.
FONTE: Autora
AUT
OAT
IVID
ADE �
FIGURA 33 – PLACA GIRATÓRIA 
FIGURA 34 – FITA DE COMPUTADOR 
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4 Calcule o valor mínimo do raio de uma curva, se a componente normal da aceleração 
de um carro a 26,8 m/s não puder exceder 0,762m/s2?
5 Um jogador de golfe lança uma bola a partir da origem com uma velocidade inicial 
de 50 m/s e um ângulo de 25 graus com a horizontal. Determine o raio de curvatura 
da trajetória descrita pela bola no ponto mais alto da trajetória. R. 209,3 m.
6 Para testar seu desempenho, um carro é dirigido ao redor de uma pista circular de 
teste de diâmetro d. Determine o valor de d quando a velocidade escalar do carro 
for de 72km/h, e seu componente normal da aceleração for de 3,2 m/s2. Determine 
a velocidade escalar do carro. 
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AVAL
IAÇÃ
O
Prezado(a) acadêmico(a), agora que chegamos ao final da 
Unidade 1, você deverá fazer a Avaliação referente a esta unidade.