Ed - ESTRUTURAS HIPERESTATICAS

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CONTEÚDO 1
MÓDULO 1 - DESLOCAMENTO PELO PRINCÍPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS
Exercício 1
Resposta: b) 0,85 mm
Para a barra da figura que é feita de aço com E = 206GPa e com uma seção circular de 80 mm
de diâmetro, o deslocamento vertical na seção da extremidade livre é:
a) 0,75 mm
b) 0,85 mm
c) 0,28 mm
d) 8,5 mm
e) 2,8 mm
N = 880 N
L = 1,00 m
D = 80 mm
M = 0,04 m
Somatória das Forças 
FX = 0
FY = RA + RB = 80
S mdm/dr . dx = S 1/0 (rx) xdx + S 2/1 ( rx – p(x-1)) dx
M = D/2 = 80/2 = 40 mm = 0,04 m
R = 880 KN
A = PI . r^2
A = PI . (0,004)^2
A = 50 , 26 . 10^-4 m^2
ALv = N . L / E.A = 880 . 10^3 / 206 . 10^9 . 50,26 . 10^-4
Alv = 0,000849 m . 1000
Alv = 0,0849 mm
Exercício 6
Resposta: d) 9,71 mm
Para a barra da figura que é feita de aço com E = 206GPa e com uma seção circular de 80 mm
de diâmetro, o deslocamento vertical na extremidade livre da barra é:
a) 11,35 mm
b) 2,42 mm
c) 18,2 mm
d) 9,71 mm
e) 1,82 mm
E = 206 GPa
D = 80 mm
A = 9,99 . 10^-7
L = 1 m
LH = 2 m
P = 2,0 KN.m
ALv = P.L / E.A = 2 . 10^3 . 1 / 206 . 10^9 . 9,99 . 10^-7
ALv = 0,009718 m
ALv = 9,71 mm
CONTEÚDO 2
MÓDULO 2 - ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS, E HIPERESTÁTICAS
Exercício 1
b) Duas vezes hiperestática
Número de incógnitas – Externas: re =6
 - Internas: ri = 0
r = 6
Número de equações de equilíbrio – Externo: ee = 3
 - Interno: ei = 1
e = 4
Assim: 
g = r -e
g = 6 – 4
g = 2
ou
ge = número de incógnitas externas – número de equações de equilíbrio ( externo e interno)
ge = 6 – 4 =2
ge = 2
g = ge +gi
2 = 2 +gi
gi = 0
A estrutura da figura é:
a) Uma vez hiperestática
b) Duas vezes hiperestática
c) Isostática
d) Hipoestática
e) Três vezes hiperestática
Exercício 6
O número de vezes que a estrutura é hiperestática é:
Resposta: b) Duas vezes
a) Uma vez 
b) Duas vezes 
c) Três vezes
d) Quatro vezes
e) Zero
Número de Reações: R = 6
Número de Equações: E = 3
Articulações:
A = 2-1 = 1
Equação do Momento Fletor Nulo na Articulação. Assim, a Estática fornece quatro equações, sendo 3, de equilíbrio e uma de momento fletor nulo, assim:
GH = R – E* = 6 – 4 = 2
Exercício 7
O número de vezes que a estrutura é hiperestática é:
Resposta: a) Uma vez
a) Uma vez 
b) Duas vezes 
c) Três vezes
d) Quatro vezes
e) Zero
Número de Reações: R = 4
Número de Equações: E = 3
GH = R – E = 4 – 3 = 1
Exercício 8
O número de vezes que a estrutura é hiperestática é:
Resposta: e) Zero
a) Uma vez 
b) Duas vezes 
c) Três vezes
d) Quatro vezes
e) Zero
Número de Reações: R = 3
Número de Equações: E = 3
GH = R – E = 3 – 3 = 0
CONTEÚDO 5
MÓDULO 5 - DESLOCAMENTO DE TRELIÇAS
Exercício 1
Resposta: a) 0,057 mm
A treliça da figura é feita com tubos de aço (E = 206 GPa) que possuem 100 mm de diâmetro
externo e 10 mm de espessura. O deslocamento vertical do nó onde são aplicadas as cargas é:
a) 0,057 mm
b) 0,150 mm
c) 0,045 mm
d) 0,021 mm
e) 1,500 mm
N = 20 KM
L = 1m
E = 206 GPa
D = 100 mm
ALv = N . L / E . A = 20 . 10^3 . 1 / 206 . 10^4 . 17,032 . 10^-4
ALv = 20000 / 350859200
ALv = 0,000057 m . 1000
ALv = 0,057 mm
Exercício 2
Resposta: b) 0,009 mm
A treliça da figura é feita com tubos de aço (E = 206 GPa) que possuem 100 mm de diâmetro
externo e 10 mm de espessura. O deslocamento horizontal do nó que se encontra na linha
horizontal entre os dois apoios é:
a) 0,057 mm
b) 0,009 mm
c) 0,086 mm
d) 0,006 mm
e) 1,500 mm
N = 10 KN 
L = 2 m
E = 206 GPa
D = 100 mm
ALH= 10 . 10^3 . 2 / 206 . 10^9 . 10 .78 . 10^-3
ALH = 200000/ 2220680000
ALH = 0,000009 . 1000
ALH = 0,009 mm
CONTEÚDO 7
MÓDULO 7 - MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS
Exercício 4
Com relação á deslocabilidade da estrutura, a barra abaixo é: 
Resposta: b) Duas vezes deslocável
a) Três vezes deslocável
b) Duas vezes deslocável
c) Uma vez deslocável
d) Três vezes hiperestática
e) Quatro vezes hiperestática
de = 2n – b – Ve
Onde:
n = 4
b = 3
Ve = 7 ( uma restrição)
Substituindo:
de = 2n – b – Ve
de = 2 . 4 – 3 – 7 = 8 – 3 – 7 = -2
de = - 2
Exercício 5
Com relação á deslocabilidade da estrutura, a barra abaixo é: 
Resposta: e) Quatro vezes deslocável
a) Uma vez deslocável
b) Duas vezes deslocável
c) Três vezes deslocável
d) Nenhuma vez deslocável
e) Quatro vezes deslocável
de = 2n – b – Ve
Onde:
n = 4
b = 3
Ve = 8 
Substituindo:
de = 2n – b – Ve
de = 2n – b – Ve
de = 2 . 4 – 3 – 8 = 8 – 4 – 8 = -3
de = - 4
Exercício 7
Com relação á deslocabilidade da estrutura, a barra abaixo é:
Resposta: e) Quatro vezes deslocável
a) Uma vez deslocável
b) Duas vezes deslocável
c) Três vezes deslocável
d) Nenhuma vez deslocável
e) Quatro vezes deslocável
de = 2n – b – Ve
Onde:
n = 4
b = 3
Ve = 7 
Substituindo:
de = 2n – b – Ve
de = 2 . 4 – 3 – 7 = 8 – 3 – 7
de = - 2
di = 2 ( quantidade de nós internos)
d = 2
Assim a estrutura será quatro vezes deslocável ( duas vezes internamente e duas vezes externamente).
Exercício 8
Com relação á deslocabilidade da estrutura, a barra abaixo é:
Resposta: e) Quatro vezes deslocável
a) Uma vez deslocável
b) Duas vezes deslocável
c) Três vezes deslocável
d) Nenhuma vez deslocável
e) Quatro vezes deslocável
de = 2n – b – Ve
Onde:
n = 5
b = 4
Ve = 8 (duas restrições)
de = 2n – b – Ve
de = 2 . 4 – 4 – 8 = 8 – 4 – 8
de = - 4
CONTEÚDO 8
MÓDULO 8 - MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS – CONTINUAÇÃO
Exercício 1
Resposta: e) 0,4 kNm
A barra da figura é feita de alumínio (E = 73 GPa) e possui seção transversal retangular com
100 mm de altura e 70 mm de largura. Usando o método dos deslocamentos, o momento
fletor nas seções junto ao apoio que se encontra na metade do comprimento da barra é:
a) 5 kNm
b) 2,5 kNm
c) 3,4 kNm
d) 0,2 kNm
e) 0,4 kNm
E = 73 GPa 
A = 0,1 . 0,07 = 0,007 m^2 
FR = 5KN
L = 1 + 0,5 = 1,5 m
RA + RB = 5
M = 0
5. 0,5 – RA . 1 = 0
RA = 2,5 KN
M Fletor = q . L^2 / 8 = 5 .(0,8)^2 / 8 
M Fletor = 0 ,4 KNm