Dimensionamento de Eixos: Materiais, Conexões e Fadiga

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Domingos de Azevedo 
UMC 
18/11/2018 
Este trabalho é um compêndio da coletânea de informações 
sobre o assunto com adição de material complementar e 
ponderações sobre aspectos correlatos. Para obter mais 
detalhes sobre qualquer tópico recomenda-se consultar os 
originais conforme constam nas referências. 
1 
 
SUMÁRIO 
DIMENSIONAMENTO DE EIXOS ............................................................................................................................. 3 
CARGAS NO EIXO ............................................................................................................................................. 3 
MATERIAIS PARA EIXOS ..................................................................................................................................... 4 
Tabela 1: Propriedades de materiais dúcteis ........................................................................................... 4 
CONEXÕES E CONCENTRAÇÃO DE TENSÕES ............................................................................................................. 4 
Sensibilidade ao entalhe (1) ................................................................................................................... 7 
Concentrações de tensões sob solicitações dinâmicas ............................................................................. 8 
INTRODUÇÃO Á FADIGA .......................................................................................................................................11 
DEFINIÇÃO: ................................................................................................................................................11 
Resistência à fadiga teórica Sf ' ou limite de fadiga Se' estimados ..........................................................14 
INFLUÊNCIA DA TENSÃO MÉDIA ..................................................................................................................15 
Fatores de correção para a resistência à fadiga ou limite de fadiga teóricos ..........................................18 
Tabela 2: Fatores Generalizados de Resistência à Fadiga para Materiais Dúcteis (curvas S-N). (5) e (6). 18 
Efeitos da Solicitação (Carregamento) ...................................................................................................19 
Fator de Tamanho ................................................................................................................................19 
Fator de Superfície ................................................................................................................................20 
Tabela 3: Parâmetros para o fator de modificação superficial de Marin. (6). ..........................................20 
Efeitos da temperatura (6) ....................................................................................................................21 
Tabela 4: Efeito da temperatura de operação sobre a resistência à tração de aço.*(ST= resistência à 
tração à temperatura de operação; SRT = resistência à tração à temperatura ambiente; 0,099 < σ < 
0,110). (6). ............................................................................................................................................22 
Fator de Confiabilidade (1) ....................................................................................................................22 
Diagrama de Goodman modificado .......................................................................................................23 
Determinação do coeficiente de segurança com tensões variadas .........................................................24 
ETAPAS DE PROJETO PARA TENSÕES VARIADAS...........................................................................................28 
TENSÕES NO EIXO ................................................................................................................................................30 
FALHA DO EIXO EM CARREGAMENTO COMBINADO ....................................................................................31 
PROJETO DO EIXO (1) ..................................................................................................................................31 
Projeto para flexão alternada e torção fixa ...........................................................................................33 
Projeto para flexão variada e torção variada .........................................................................................34 
COEFICIENTE DE SEGURANÇA .............................................................................................................................35 
Tabela 5: Coeficientes de segurança segundo Norton (2004) .................................................................35 
Os seguintes princípios são gerais e devem ser sempre considerados (5), (1). .........................................36 
Exemplo-1.............................................................................................................................................37 
Exemplo-2.............................................................................................................................................40 
Exemplo-3.............................................................................................................................................48 
INFORMAÇÕES COMPLEMENTARES .....................................................................................................................55 
Tabela 6: Limites para a Dimensão do Chanfro de rolamentos (Série Métrica) (7) ..................................57 
Tabela 7: Raio de Canto do eixo e altura do encosto para os Rolamentos Radiais (7) ..............................58 
Tabela 8: Diâmetros, tolerâncias e torque para extremidades de eixos. (8) ............................................59 
REFERÊNCIAS........................................................................................................................................................61 
 
 
2 
 
LISTA DE ILUSTRAÇÕES 
FIGURA 1: CONCENTRAÇÃO DE TENSÕES EM UM EIXO. ......................................................................................................... 5 
FIGURA 2: VÁRIOS MÉTODOS PARA FIXAÇÃO DE ELEMENTOS A EIXOS (1). ................................................................................. 5 
FIGURA 3: VARIAÇÃO DO FATOR DE CONCENTRAÇÃO DE TENSÃO RELATIVO À TENSÃO MÉDIA COM A TENSÃO MÁXIMA EM MATERIAIS 
DÚCTEIS COM POSSIBILIDADE DE ESCOAMENTO LOCAL. ................................................................................................ 6 
FIGURA 4: CURVAS DE SENSIBILIDADE AO ENTALHE PARA AÇOS CALCULADAS A PARTIR DA EQUAÇÃO ANTERIOR, COMO ORIGINALMENTE 
PROPOSTO POR R. E. PETERSON CITADO POR (1)....................................................................................................... 8 
FIGURA 5: FATOR GEOMÉTRICO DE CONCENTRAÇÃO DE TENSÃO KT PARA UM EIXO COM UM REBAIXO ARREDONDADO EM TRAÇÃO AXIAL. 
(1). ............................................................................................................................................................... 9 
FIGURA 6: FATOR GEOMÉTRICO DE CONCENTRAÇÃO DE TENSÃO KT PARA UM EIXO COM UM REBAIXO ARREDONDADO EM FLEXÃO. ........ 9 
FIGURA 7: FATOR GEOMÉTRICO DE CONCENTRAÇÃO DE TENSÃO KT PARA UM EIXO COM UM REBAIXO ARREDONDADO EM TORÇÃO. (1).
 ....................................................................................................................................................................10 
FIGURA 8: PADRÕES CÍCLICOS DE TENSÃO-TEMPO DE AMPLITUDE CONSTANTE. .........................................................................12 
FIGURA 9: DESIGNAÇÃO DOS PARÂMETROS DE TENSÃO-TEMPO CÍCLICOS. ...............................................................................12 
FIGURA 10: DIAGRAMA S-N COM CURVA TÍPICA. (3) .........................................................................................................13FIGURA 11: EFEITO DO TIPO DE MATERIAL NA CURVA S-N. (4) .............................................................................................14 
FIGURA 12: RELAÇÃO ENTRE A RESISTÊNCIA À FADIGA OBTIDA DE ENSAIOS DE FLEXÃO ROTATIVA (SEM ENTALHES) E A RESISTÊNCIA À 
TRAÇÃO DE AÇOS. (EXTRAÍDO DE P. G. FORREST, FATIGUE OF METALS, PERGAMON PRESS, LONDRES, 1962.). (1) ..................15 
FIGURA 13: EFEITO DA TENSÃO MÉDIA SOBRE A CURVA S-N. ................................................................................................16 
FIGURA 14: DIVERSAS CURVAS DE FALHA PARA TENSÕES MÉDIAS. ..........................................................................................16 
FIGURA 15: EFEITOS DA TENSÃO MÉDIA NA TENSÃO ALTERNADA DE RESISTÊNCIA À FADIGA DE VIDA LONGA DE AÇOS BASEADOS EM 10
7
 ATÉ 
108 CICLOS. ....................................................................................................................................................17 
FIGURA 16: TENSÕES BIAXIAIS COMBINADAS DE TORÇÃO E FLEXÃO ALTERNADAS PLOTADAS EM EIXOS DE COORDENADAS. SINES E 
WAISMAN(1959) CITADO POR NORTON. (1). .....................................................................................................19 
FIGURA 17: FATORES DE SUPERFÍCIE PARA DIVERSOS TIPOS DE ACABAMENTO SUPERFICIAL PARA AÇOS. (1). .....................................20 
FIGURA 18: GRÁFICO DO EFEITO DA TEMPERATURA DE OPERAÇÃO NA RESISTÊNCIA AO ESCOAMENTO SY E À TRAÇÃO SUT. (6). .............21 
FIGURA 19: DISTRIBUIÇÃO DE GAUSS (NORMAL). ..............................................................................................................22 
FIGURA 20: DIAGRAMA DE GOODMAN AUMENTADO..........................................................................................................23 
FIGURA 21: DIAGRAMA DE GOODMAN COM QUATRO POSSIBILIDADES DE CARREGAMENTO. .........................................................26 
FIGURA 22: RESULTADOS DOS TESTES DE FADIGA PARA AMOSTRAS DE AÇO SUJEITAS À TORÇÃO E FLEXÃO COMBINADAS. (EXTRAÍDO DE 
DESIGN OF TRANSMISSION SHAFTING, AMERICAN SOCIETY OF MECHANICAL ENGINEERS, NEW YORK, ANSI/ASME STANDARD 
B106.1M-1985, COM AUTORIZAÇÃO.) ................................................................................................................31 
FIGURA 30: CONJUNTO COM PRINCIPAIS ELEMENTOS PARA UM PROJETO PRELIMINAR. ...............................................................48 
FIGURA 31: CONJUNTO PARCIAL DO PROJETO PRELIMINAR. ..................................................................................................48 
FIGURA 32: EIXO COM DIMENSÕES PRELIMINARES. ............................................................................................................49 
FIGURA 35: COTAS LIMITES DE ENCOSTOS DE ROLAMENTOS. (7). ..........................................................................................55 
FIGURA 36: CANTOS DE EIXOS COMUNS PARA ENCOSTOS DE ROLAMENTOS. .............................................................................55 
FIGURA 37: CANTOS DE EIXOS COM CANAL PARA ENCOSTOS DE ROLAMENTOS. .........................................................................56 
FIGURA 38: MODIFICAÇÕES DE PROJETO PARA REDUZIR A CONCENTRAÇÃO DE TENSÕES EM UM CANTO AGUDO. (1)...........................56 
 
 
 
 
 
 
3 
 
DIMENSIONAMENTO DE EIXOS 
“Eixos de transmissão, ou simplesmente eixos, são usados em praticamente todas 
as partes de máquinas rotativas para transmitir movimento de rotação e torque de uma 
posição a outra. Assim, o projetista de máquinas está frequentemente envolvido com a 
tarefa de projeto de eixos... No mínimo, um eixo tipicamente transmite torque de um 
dispositivo de comando (motor elétrico ou de combustão interna) através da máquina. Às 
vezes, os eixos incluem engrenagens, polias ou catracas, que transmitem o movimento 
rotativo via engrenagens acoplantes, correias ou correntes de eixo a eixo. O eixo pode ser 
uma parte integral do acionador, como um eixo de motor ou eixo manivela, ou ele pode ser 
um eixo livre conectado a seu vizinho por algum tipo de acoplamento.” (1) 
Um eixo de transmissão em rotação estará submetido ao menos á torção devido ao 
momento torçor (torque) podendo ter ou não forças transversais que lhe causarão flexão, e ou 
forças axiais que podem causar tração ou compressão sendo estas menos comuns. A rotação 
do eixo determina, se este eixo é de transmissão ou simplesmente, uma viga submetida a 
cargas, devendo então, ser dimensionado como qualquer outra viga. 
Os eixos de máquinas submetidos á esforços de flexão e torção como ocorre com eixos 
de árvores de engrenagens devem ser dimensionados considerando-se as tensões atuantes 
sobre aquela peça com aquele material escolhido e sob as condições de utilização previstas. 
Neste trabalho apenas os projetos de eixos rotativos (de transmissão) serão considerados. 
CARGAS NO EIXO 
O caso mais geral de carregamento de eixo é aquele de um torque variado e um 
momento variado em combinação. Pode haver cargas axiais também se a linha de centro do 
eixo for vertical ou se estiver unida à engrenagem helicoidal ou cremalheira tendo uma 
componente de força axial. (Um eixo deve ser projetado para minimizar a porção de seu 
comprimento sujeito a cargas axiais fazendo-o descarregá-las, através de mancais axiais, o mais 
próximo possível da fonte de carga.) Tanto o momento quanto o torque podem variar com o 
tempo e podem ambos ter componentes médias e alternadas. A combinação de um momento 
fletor e um torque em um eixo em rotação criam tensões multiaxiais. As questões discutidas na 
sobre tensões multiaxiais em fadiga são, portanto, relevantes. Se as cargas forem assíncronas, 
aleatórias ou fora de fase, então será um caso de tensões multiaxiais complexas. Porém, ainda 
que o torque e o momento estejam em fase (ou 180° fora de fase), este ainda pode ser um caso 
de tensões multiaxiais complexas. O fator crítico na determinação de se o eixo tem tensões 
multiaxiais simples ou complexas está na direção da tensão alternada principal em um 
determinado elemento do eixo. Se sua direção for constante ao longo do tempo, então será 
considerado um caso de tensões multiaxiais simples. Se variar com o tempo, então será 
considerado um caso de tensões multiaxiais complexas. A maioria dos eixos carregados tanto 
em flexão quanto em torção estará na categoria complexa. Enquanto a direção da tensão 
alternada de flexão tenderá a ser constante, a direção das componentes de torção variará à 
medida que o elemento girar ao redor do eixo. 
Uma exceção a essa situação é o caso de um torque constante sobreposto a um 
momento variável no tempo. Devido ao fato de que o torque constante não tem componente 
alternada para mudar a direção da tensão alternada principal, este se transforma em um caso 
de tensão multiaxial simples. Contudo, nem mesmo esta exceção pode ser considerada se 
estiverem presente concentrações de tensão como furos ou rasgos de chaveta no eixo, porque 
4 
 
eles introduzirão tensões biaxiais locais e requererão uma análise de fadiga multiaxial 
complexa. 
Quaisquer posições ao longo do comprimento do eixo que pareçam ter grandes 
momentos e/ou torques (especialmente se em combinação com concentrações de tensão) 
precisam ser examinados para verificar a existência de possíveis falhas por tensão e as 
dimensões transversais ou as propriedades do material ajustadas devidamente. 
MATERIAIS PARA EIXOS 
Os materiais comuns mais utilizados para eixos de transmissão são os materiais com 
elevado módulo de elasticidade e dúcteis, principalmente, os aços. Muitos destes aços são 
endurecidos e para ambientes corrosivos, geralmente são utilizados aços inoxidáveis ou 
alumínio. Raramente os ferros fundidos e outros materiais frágeis são utilizados. 
Eventualmente, um eixo em ferro pode ser fundido a outros elementos, tais como, 
engrenagens ou polias, por exemplo, simplificando montagens, porém são pouco comuns. 
Os materiais consideradosdúcteis são aqueles que possuem alongamento maior que 
5%, tais como aços carbono, alumínio, latão, etc. e os materiais considerados frágeis são 
aqueles com alongamento abaixo de 5%, tais como; ferro fundido, bronze, baquelita, vidro, etc. 
Em geral, os aços laminados a frio (trefilados) utilizados possuem diâmetros inferiores a 
100 mm e os aços laminados a quente com diâmetros maiores. Aços forjados com a geometria 
do eixo possuem características superiores aos demais por sua resistência a fadiga elevada e 
são uma ótima opção para alguns tipos de eixos. 
 
Tabela 1: Propriedades de materiais dúcteis 
Material 
Condição 
Tratamento 
T. Escoam. 
SY 0,2% 
(MPa) 
T. Res. 
Tração 
Sut (MPa) 
Alonga
mento 
(%) 
Dureza 
HB 
Limite de 
Fadiga 
S’f (MPa) 
Aço ABNT 1020 
Laminado a Quente 331 448 36 143 241 
Recozido 296 393 36 111 138 
Aço ABNT 1040 Recozido 351 517 30 149 269 
Aço ABNT 1045 Laminado a Quente 310 565 16 163 - 
Aço ABNT 1050 Recozido 365 634 24 187 365 
Aço ABNT 1060 
Laminado a Quente 372 676 18 200 - 
Normalizado 899 °c 421 772 26 229 - 
Aço ABNT 4140 
Recozido 788 °c 421 655 18 197 - 
Normalizado 899 °c 655 1020 26 302 - 
Temp. reven. (540°C) 985 1137 15 358 455 
AÇO INOX 316 Recozido 262 586 61 77 HRb 269 
Alumínio 
ABNT 1100 
Laminado a Frio 152 165 5 44 - 
Recozido 35 90 45 23 35 (5.108) 
Fontes: (1), (2). 
CONEXÕES E CONCENTRAÇÃO DE TENSÕES 
Os eixos podem não ter variações de diâmetro, mas em geral, possuem variações 
(ressaltos) para adequar-se ás cargas e elementos, tais como, polias, engrenagens, 
acoplamentos, etc. Esta variação de diâmetros causa concentração de tensões no eixo, se não 
houver um raio de concordância suavizando a variação das tensões. 
5 
 
Estes degraus ou ressaltos, bem como, ranhuras, entalhes, furos transversais, canais, 
rasgos de chaveta, etc. são concentradores de tensão e prováveis locais onde devem originar 
trincas que levam a falhas catastróficas do eixo. Vide figura a seguir. 
 
Figura 1: Concentração de tensões em um eixo. 
Muitas vezes alguns métodos podem ser usados para reduzir a possibilidade de 
concentração de tensões como, por exemplo, colares de engaste, montagem com interferência, 
eixos com região cônica para montagem por atrito, etc. Embora, se não projetados 
adequadamente, possam também ser motivo de concentração de tensão, corrosão e outros 
problemas. 
 
Figura 2: Vários métodos para fixação de elementos a eixos (1). 
Tensões 
elevadas 
6 
 
Um fator de concentração de tensão, relativo à tensão média em fadiga, Kfm, é definido 
com base no nível de tensão média local, σm, na concentração de tensão em relação ao limite 
de escoamento. A Figura 3a mostra uma situação genérica de tensão variada. A Figura 3b 
ilustra o escoamento localizado que pode ocorrer ao redor da concentração de tensão. Para 
essa análise, uma relação tensão-deformação plástica perfeitamente elástica é assumida, como 
mostrado na parte (c). Existem três possibilidades baseadas na relação entre σmax e o limite de 
escoamento do material Sy. Se σmax < Sy, não ocorre escoamento (ver Figura 3d) e o valor total 
de Kf é usado para Kfm. Se σmax > Sy, mas |σmin| < Sy, ocorre escoamento local no primeiro ciclo 
(Figura 3e), após o qual a tensão máxima não pode exceder Sy. A tensão local na concentração 
é aliviada e um valor menor de Kfm pode ser usado, como definido na Figura 3g, a qual plota a 
relação entre Kfm e σmax. A terceira possibilidade é que a gama de tensão, Δσ, exceda 2Sy, 
causando escoamento alternado como mostrado na Figura 3f. As tensões máxima e mínima 
agora ficam iguais a ±Sy e a tensão média torna-se zero (ver Equação seguinte), levando a Kfm = 
0. 
 
Equação 1: Tensão média, 𝜎𝑚 =
𝜎𝑚á𝑥+𝜎𝑚𝑖𝑛
2
 
 
Figura 3: Variação do fator de concentração de tensão relativo à tensão média 
com a tensão máxima em materiais dúcteis com possibilidade de escoamento local. 
7 
 
Fonte: (Adaptado da Fig. 10-14, p. 415, N. E. Dowling, Mechanical Behavior of Materials, Prentice-Hall, 
Englewood Cliffs, N. J., 1993) (1). 
 
Essas relações podem ser resumidas abaixo: 
Equação 2: 
 
Sensibilidade ao entalhe (1) 
Os materiais apresentam diferentes sensibilidades a concentrações de tensão, 
denominadas sensibilidade ao entalhe do material. Em geral, quanto mais dúctil é o material, 
menor sua sensibilidade ao entalhe. Materiais frágeis são mais sensíveis a descontinuidades. 
Como a ductilidade e a fragilidade dos metais estão fortemente relacionadas à 
resistência e à dureza, materiais de baixa resistência e pouco duros tendem a ter menor 
sensibilidade a descontinuidades frente aos de alta resistência e duros. A sensibilidade ao 
entalhe depende também do raio de arredondamento do entalhe (que mede o quão bruscas 
são as descontinuidades). À medida que o raio de arredondamento se aproxima de zero, a 
sensibilidade ao entalhe do material decresce e também se aproxima de zero. Esse fato é de 
certa forma, inesperado, pois, o fator de concentração de tensão teórico Kt tende a infinito 
quando o raio de arredondamento se aproxima de zero. Caso não houvesse uma redução na 
sensibilidade ao entalhe dos materiais para raios próximos de zero, os engenheiros teriam 
dificuldades para projetar peças capazes de suportar qualquer nível de tensão nominal quando 
há descontinuidades presentes. 
Neuber foi responsável pelos primeiros estudos minuciosos dos efeitos de 
descontinuidades e propôs uma equação para o fator de concentração de tensão em fadiga em 
1937. Kuhn posteriormente revisou a equação de Neuber e experimentalmente levantou dados 
para a constante de Neuber (uma propriedade do material), necessária em sua equação. 
Peterson subsequentemente refinou a abordagem e desenvolveu o conceito de sensibilidade 
ao entalhe q definido por: 
Equação 3: 𝒒 =
𝑲𝒇−𝟏
𝑲𝒕−𝟏
 
Onde Kt é o fator de concentração de tensões teórico (estático) para a geometria 
particular e Kf é o fator de concentração de tensões em fadiga (dinâmico). A sensibilidade ao 
entalhe q varia entre 0 e 1. Essa equação pode ser reescrita para determinar Kf. 
Equação 4: 𝐾𝑓 = 1 + 𝑞(𝐾𝑡 − 1) 
O procedimento consiste em primeiro determinar a concentração de tensões teóricas Kt 
para a geometria e o carregamento particulares, então estabelecer a sensibilidade ao entalhe 
apropriada para o material escolhido e usá-los na Equação 4 para encontrar o fator dinâmico de 
concentração de tensões Kf. A tensão nominal dinâmica para qualquer situação é então 
multiplicada pelo fator Kf para tensão de tração (Kfs para tensão de cisalhamento) da mesma 
maneira que foi feito para o caso estático: 
8 
 
Equação 5: 𝜎 = 𝐾𝑓. 𝜎𝑛𝑜𝑚 
Equação 6: 𝜏 = 𝐾𝑓𝑠. 𝜏𝑛𝑜𝑚 
Observe na Equação 4 que quando q = 0, Kf = 1 e não há aumento da tensão nominal na 
Equação 5. Quando q =1, Kf = Kt e o efeito total do fator geométrico de concentração de 
tensões é observado na Equação 5. 
A sensibilidade ao entalhe q pode ainda ser definida a partir da fórmula de Kuhn-
Hardrath em termos da constante de Neuber a e do raio do entalhe r, ambos em polegadas. 
Equação 7: 𝑞 =
1
1+
√𝑎
√𝑟
 
Para facilitar a obtenção do coeficiente “q” pode-se utilizar o gráfico a seguir que 
correlaciona o raio de concordância entre os diâmetros e a tensão de resistência a tração do 
material. 
 
Figura 4: Curvas de sensibilidade ao entalhe para aços calculadas a partir da 
equação anterior, como originalmente proposto por R. E. Peterson Citado por (1). 
Concentrações de tensões sob solicitações dinâmicas 
Materiais dúcteis sob solicitações dinâmicas se comportam e falham como se fossem 
frágeis. Então, independentemente da ductilidade ou fragilidade do material, o fator de 
concentração de tensão deve ser aplicado quando cargas dinâmicas (fadiga ou impacto) estão 
presentes. Entretanto, ainda devem ser levados em conta parâmetros relacionados aos 
materiais. Embora todos os materiais sejam afetados pela concentração de tensão sob 
solicitações dinâmicas, alguns materiaissão mais sensíveis que outros. Um parâmetro chamado 
sensibilidade ao entalhe, q, é definido para vários materiais e utilizado para modificar os fatores 
Kt e Kts para um dado material sob solicitação dinâmica. 
As figuras a seguir contêm funções de concentração de tensões e seus gráficos, 
baseados na literatura técnica, para um conjunto de casos que representam as situações 
comumente encontradas no projeto de máquinas. Em alguns casos, expressões matemáticas 
aproximadas foram obtidas para representar satisfatoriamente as curvas empíricas. 
9 
 
A redução na largura de D para d no degrau cria concentração de tensões, e a dimensão 
do raio r também é um fator. Esses fatores geométricos são representados pelos coeficientes 
adimensionais r/d e D/d. O primeiro destes é usado como a variável independente da equação 
e o segundo determina qual das curvas será usada. Os valores de A e b para várias magnitudes 
da segunda variável independente, a variável D/d, são dados na tabela junto à figura. A e b para 
outros valores de D/d podem ser interpolados. 
 
Figura 5: Fator geométrico de concentração de tensão Kt para um eixo com um 
rebaixo arredondado em tração axial. (1). 
 
 
Figura 6: Fator geométrico de concentração de tensão Kt para um eixo com um 
rebaixo arredondado em flexão. 
10 
 
 
 
Figura 7: Fator geométrico de concentração de tensão Kt para um eixo com um 
rebaixo arredondado em torção. (1). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11 
 
INTRODUÇÃO Á FADIGA 
DEFINIÇÃO: 
Fadiga é um processo de degradação das propriedades mecânicas de um material que 
se caracteriza pelo crescimento lento de uma ou mais trincas sob a ação de carregamento 
dinâmico, levando eventualmente à fratura. (3). 
Na prática da engenharia moderna, cargas repetitivas, cargas variáveis e cargas 
rapidamente aplicadas são de longe mais comuns do que as cargas estáticas. Principalmente, 
na engenharia mecânica que envolve peças de máquinas que se movimentam e transmitem ou 
recebem cargas. 
Para um local particular da peça a carga varia e, portanto neste local as tensões variam 
ao longo do tempo; 
As tensões podem variar de tração para compressão e vice-versa, ou ser apenas de 
tração ou apenas de compressão; 
Tensões desta natureza são conhecidas como tensões flutuantes e resultam em falha de 
componentes mecânicos em modo de falha por fadiga. 
Padrões de carregamento cíclico de amplitude constante: 
a) 
b) 
12 
 
c) 
Figura 8: Padrões cíclicos de tensão-tempo de amplitude constante. 
 
 
Figura 9: Designação dos parâmetros de tensão-tempo cíclicos. 
 
Equação 8: Faixa de tensão, 𝜎𝑟 = 𝜎𝑚á𝑥 − 𝜎𝑚𝑖𝑛 
 
Equação 9: Tensão de amplitude, 𝜎𝑎 =
𝜎𝑚á𝑥 − 𝜎𝑚𝑖𝑛
2
 
 
Equação 10: Tensão média, 𝜎𝑚 =
𝜎𝑚á𝑥 + 𝜎𝑚𝑖𝑛
2
 
 
Equação 11: Razão ou Relação das tensões, 𝑅 =
𝜎𝑚𝑖𝑛
𝜎𝑚á𝑥
 
 
 Equação 12: Relação de amplitude, 𝐴 =
𝜎𝑎
𝜎𝑚
 
 
Note-se que R = -1 para a condição de tensão completamente alternada com média 
zero. Quando a tensão média é diferente de zero, em geral, tensões de tração são prejudiciais, 
enquanto tensões de compressão são benéficas. Esta condição é comum para grande parte dos 
13 
 
elementos de máquinas e melhor explanada adiante na seção Efeitos da tensão média não nula 
sobre a fadiga. 
Sabe-se que para a faixa de frequências usuais das máquinas típicas de 1 a 500 Hz a 
fadiga não é afetada, exceto para materiais poliméricos. (3). 
O uso destas relações pode determinar o estado de tensões usadas no corpo de prova. . 
O projeto de peças de máquinas ou estruturas sujeitas à solicitação cíclicas é 
normalmente realizado com base nos resultados de ensaios realizados em laboratório com 
corpos-de-prova polidos do material de interesse. Os dados obtidos são apresentados em 
gráficos denominados curvas S-N, como mostrado na Figura 10. 
O patamar inferior é a assíntota da curva que delimita a tensão máxima para qual se 
acredita que o material não irá falhar por fadiga. Tensões abaixo deste limite são geralmente 
estabelecidas como de vida infinita para aquele material. No caso específico da maioria dos 
aços, quando a falha não ocorre até 107 ciclos. 
 
O início da história do estudo da fadiga como a conhecemos hoje em dia, ocorreu com 
os trabalhos de A. Wöhler. Ele propôs em 1860 três leis, que até hoje são relevantes, são elas: 
I – Um material pode ser induzido a falhar pela múltipla repetição de tensões, que 
isoladamente são menores que a da resistência estática (ou seja, dos limites de 
escoamento e de resistência). 
II – A amplitude de tensão é decisiva para a destruição da coesão do metal. 
III – A tensão máxima influencia apenas no sentido de que quanto maior ela for, 
menores são as amplitudes de tensão que levam à falha (ou seja, um aumento da 
tensão média reduz a resistência à fadiga do material para uma dada amplitude de 
tensão). 
Uma das principais contribuições de Wöhler para a compreensão da fadiga foi na 
introdução das chamadas curvas S-N (ou também, curvas S-N ou ainda curvas de Wöhler). Vide 
figura a seguir. 
 
Figura 10: Diagrama S-N com curva típica. (3) 
14 
 
A curva S-N pode ser dividida em três regiões: (3) 
I - Para amplitudes de tensão próximas ao valor da resistência estática (ou seja, do limite 
de resistência) a curva apresenta um patamar de saturação. 
II - Para amplitudes de tensão intermediárias há um aumento da resistência à fadiga 
com a diminuição da amplitude de tensão. Este é o domínio usual de trabalho da maioria dos 
materiais. 
III - Para amplitudes de tensão menores que um dado valor mínimo (conhecido como 
limite de fadiga, σL) a fratura passa a ocorrer num valor virtualmente infinito de ciclos. 
Em inglês o limite de fadiga também é referido como endurance limit. O limite de fadiga 
(σL) existe necessariamente para todos os materiais, mas em alguns casos o trecho horizontal 
da curva S-N pode se estabilizar em um nível de amplitude de tensão correspondente a um 
número muito elevado de ciclos, o que inviabiliza sua determinação experimental. 
Segundo Souza, (1982) as ligas não ferrosas, tais como, alumínio não apresenta este 
patamar. Nos casos em que não o patamar o ensaio deve chegar a 50 milhões de ciclos (5.107) 
ou mesmo em certos casos a 500 milhões de ciclos (5.108) dependendo do material, por 
exemplo, níquel ou duralumínio, fixando-se a tensão correspondente a esse valor máximo de N 
ensaiado, como limite de fadiga desse material. 
 
Figura 11: Efeito do tipo de material na curva S-N. (4) 
Resistência à fadiga teórica Sf ' ou limite de fadiga Se' estimados 
Se os dados publicados estiverem disponíveis para a resistência à fadiga Sf’ ou o limite 
de fadiga Se' do material, eles devem ser utilizados, e os fatores de correção, discutidos na 
próxima seção, devem ser aplicados a esses valores. Os dados de resistência à fadiga 
encontrados nas publicações técnicas são geralmente retirados de ensaios com carregamentos 
alternados em flexão ou devido a forças normais em corpos de prova polidos e de pequenas 
15 
 
dimensões. Se não existirem dados disponíveis de resistência à fadiga, valores aproximados de 
Sf’ ou Se' podem ser estimados a partir de valores da resistência à tração do material. A figura a 
seguir mostra a relação entre Sut e Sf’ para aços. 
Existe uma dispersão considerável e as retas são ajustadas aproximadamente para os 
limites superior e inferior. Para materiais com altos valores de resistência à tração, a resistência 
à fadiga tende a “estabilizar-se”, como descrito anteriormente. 
 
Figura 12: Relação entre a resistência à fadiga obtida de ensaios de flexão 
rotativa (sem entalhes) e a resistência à tração de aços. (Extraído de P. G. Forrest, 
Fatigue of Metals, Pergamon Press, Londres, 1962.). (1) 
A partir desses dados, relações aproximadas podem ser especificadas entre Sut e Sf’ ou 
Se’. Como mostrado abaixo. 
Equação 13: 
INFLUÊNCIA DA TENSÃO MÉDIA 
Tensões variadas e pulsantes apresentam tensões médias não nulas e devemser 
consideradas na determinação do coeficiente de segurança. A tensão média pode ter 
substancial influência na resistência à fadiga do material. Tensões médias de tração irão reduzir 
a quantidade de ciclos até a falha e tensões médias compressivas deverão elevar a quantidade 
de ciclos. Vide gráfico a seguir. 
16 
 
 
Figura 13: Efeito da tensão média sobre a curva S-N. 
A figura a seguir ilustra a curva de Goodman, a parábola de Gerber, a curva de Soderberg 
e a curva de escoamento plotadas nos eixos σm x σa. Enquanto a curva de Gerber é um bom 
ajuste aos dados experimentais, a curva de Goodman é um critério de falha mais conservador e 
mais usado comumente em projetos de peças sujeitas a tensões médias em adição as 
alternadas. A curva de Soderberg é usada menos frequentemente, por ser conservadora 
demais. 
 
Figura 14: Diversas curvas de falha para tensões médias. 
Quando a tensão média é diferente de zero, em geral, tensões de tração são 
prejudiciais, enquanto tensões de compressão são benéficas como visto na figura anterior. Esta 
17 
 
condição é comum para grande parte dos elementos de máquinas, portanto, o regime de 
carregamento torna-se importante para se determinar os limites de segurança. Vide Figura 14. 
O gráfico da figura a seguir mostra evidências experimentais do efeito da componente 
tensão média na falha quando presente em combinação com tensões alternadas. Essa situação 
é bastante comum em elementos de máquinas de todos os tipos. (1). 
 
Figura 15: Efeitos da tensão média na tensão alternada de resistência à fadiga 
de vida longa de aços baseados em 107 até 108 ciclos. 
Fonte: Extraído de P. G. Forrest, Fatigue of Metals, Pergamon Press, Londres, 1962. Citado por (1). 
As equações a seguir definem matematicamente as curvas de falha mencionadas. 
Equação 14: 
Onde: 
Se – Tensão limite de fadiga corrigido 
σa – Tensão alternada normal 
σm - Tensão média normal 
σut - Tensão última / resistência 
18 
 
Sy - Tensão de escoamento 
 
Fatores de correção para a resistência à fadiga ou limite de fadiga teóricos 
As resistências à fadiga ou a limites de fadiga obtidos de ensaios com corpos de prova 
padrão ou de estimativas baseadas em testes estáticos devem ser modificadas para considerar, 
em seus valores finais, as diferenças físicas entre os corpos de prova e a peça real que está 
sendo projetada. Diferenças de temperatura e de meio ambiente (umidade, efeitos de 
corrosão, etc.) entre as condições do ensaio e as condições a que a peça estará submetida no 
futuro (condições reais) devem ser levadas em consideração, além das diferenças na maneira 
de aplicação do carregamento. Esses e outros fatores estão incorporados dentro de um 
conjunto de fatores de redução da resistência que são, depois, multiplicados pela estimativa 
teórica para se obter a resistência à fadiga corrigida ou o limite de fadiga corrigido para uma 
aplicação em particular. 
Equação que fornece a resistência corrigida ou limite de fadiga corrigida: 
Equação 15: (𝑆𝑒 𝑜𝑢 𝑆𝑓) = 𝐶𝐿. 𝐶𝐺 . 𝐶𝑆. 𝐶𝑇 . 𝐶𝑅 . (𝑆′𝑒 𝑜𝑢 𝑆′𝑓) 
Onde se representa o limite de fadiga corrigido para um material que exibe um ponto de 
inflexão em sua curva S-N e Sf representa a resistência à fadiga corrigida, definida para um 
número particular de ciclos N, correspondente a um material que não apresenta ponto de 
inflexão. Os fatores de redução da resistência, utilizados na Equação anterior, serão definidos a 
seguir. 
Tabela 2: Fatores Generalizados de Resistência à Fadiga para Materiais Dúcteis 
(curvas S-N). (5) e (6). 
Resistência a 106 ciclos (limite de resistência à fadiga) 
Cargas de Flexão: 
Cargas Axiais: 
Carga de Torção: 
𝑺𝒏 = 𝑆′𝑛 . 𝐶𝐿 . 𝐶𝐺 . 𝐶𝑆 . 𝐶𝑇 . 𝐶𝑅 - Onde S’n é o limite de resistência à fadiga de R. R. Moore, e 
 Flexão Axial Torção 
CL Fator de Carregamento: 1,0 0,85 0,577 
CG Fator Gradiente (Tamanho): 
 Diâmetro entre 2,8 mm e 51 mm (d/7,62)-0,107 1,0 (d/7,62)-0,107 
 (51 mm) < diâmetro < (254 mm) 1,51d-0,157 1,0 1,51d-0,157 
CS Fator de Superfície: Veja a Figura 17 ou Equação 16 e Tabela 3 
CT Fator de Temperatura: Veja a Tabela 4 
CR Fator de Confiabilidade: 
 50% 1,000 
 90% 0,897 
 95% 0,868 
 99% 0,814 
 99,9% 0,753 
 99,99% 0,702 
 99,999% 0,659 
 
19 
 
Efeitos da Solicitação (Carregamento) 
Uma vez que as relações descritas anteriormente e a maioria dos dados publicados de 
resistência à fadiga se referem a ensaios sob flexão rotativa, um fator de redução da resistência 
para a solicitação devido à força normal deve ser aplicado. A diferença entre a resistência à 
fadiga experimentalmente obtida de ensaios sob força normal e de flexão rotativa encontra-se 
descrita na seção anterior. Com base naquela discussão sobre ensaios de fadiga sob flexão e 
força normal, pode-se definir um fator devido à solicitação de redução da resistência, CL. 
Sabe-se que os ensaios de fadiga sob torção apresentam uma resistência que é CL = 
0,577 vezes a resistência à fadiga sob flexão rotativa, como mostra a Figura 16. Para os casos de 
fadiga sob torção pura, pode-se comparar a tensão aplicada (tensão alternada) de cisalhamento 
devido à torção diretamente com a resistência à fadiga sob torção. Entretanto, geralmente 
lidaremos com o caso de torção pura (assim como os outros casos) por meio do cálculo da 
tensão equivalente de von Mises a partir das tensões aplicadas. 
Segundo Shigley, há menos dados de estudos para fadiga axial e a partir dos dados de 
Landgraf e de Grover, Gordon e Jackson adota-se CL = 0,85 e CL = 1 para flexão. (6). 
 
Figura 16: Tensões biaxiais combinadas de torção e flexão alternadas plotadas 
em eixos de coordenadas. Sines e Waisman(1959) citado por Norton. (1). 
Fator de Tamanho 
O fator de tamanho foi avaliado usando 133 conjuntos de pontos de dados. Os 
resultados para flexão e torção podem ser expressos como mostrado na tabela anterior. Onde 
se percebe que não há efeito para carregamento axial. 
Segundo Lehr, citado por Niemann, “o aumento de diâmetros de eixos lisos de aço 
acarreta reduções das respectivas resistências á fadiga por flexão e por torção, as quais 
assumem valores proporcionais”. O principal motivo é a maior probabilidade de ocorrência de 
defeitos internos no material com o aumento do tamanho, tais como; descontinuidades, 
precipitados, lacunas ou pequenos pedaços de material estranho oriundos dos processos de 
fabricação. 
20 
 
 
Fator de Superfície 
A superfície de um espécime de viga rotativa é altamente polida, com um polimento 
final na direção axial que visa a alisar completamente quaisquer riscos circunferentes. O fator 
de modificação depende da qualidade do acabamento da superfície da peça real e da 
resistência à tração do material que a constitui. Para encontrar expressões quantitativas para 
acabamentos comuns de peças de máquina (retificado, usinado ou repuxado a frio, laminado a 
quente e como forjado), as coordenadas dos pontos de dados foram captadas de um gráfico de 
limite de resistência versus resistência à tração de dados coletados por Lipson e Noll e 
reproduzidos por Horger. O resultado da análise de regressão por Mischke foi da forma. 
Equação 16: 𝐶𝑠 = 𝑎. 𝑆𝑢𝑡
𝑏 
Em que Sut é a resistência à tração mínima e a e b são encontrados a partir da tabela a 
seguir. 
Tabela 3: Parâmetros para o fator de modificação superficial de Marin. (6). 
 
Fonte: C. J. Noll e C. Lipson, "Allowable Working Stresses," Society for Experimental Stress Analysis, vol. 3, 
no. 2, 1946, p. 29 Reproduzido por O. J. Horger (eds.) Metals Engineering Design ASME Handbook, McGraw-Hill, 
New York. Copyright © 1953 The McGraw-Hill Companies, Inc. Citado por (6). 
 
Figura 17: Fatores de superfície para diversos tipos de acabamento superficial 
para aços. (1). 
21 
 
Efeitos da temperatura (6) 
Resistência e ductilidade, ou fragilidade, são propriedades afetadas pela temperatura do 
ambiente operacional. O efeito da temperatura nas propriedadesestáticas do aço é tipificado 
pelo diagrama de resistência contra temperatura da Figura 3-8. Observe que a resistência à 
tração muda somente uma pequena quantidade até uma certa temperatura ser alcançada. 
Nesse ponto, ela cai rapidamente. A resistência ao escoamento, contudo, decresce 
continuamente, à medida que a temperatura ambiental é aumentada. Há uma elevação 
substancial na ductilidade, como se poderia esperai; a temperaturas mais altas. 
Muitos ensaios foram feitos de metais ferrosos sujeitos a cargas constantes, por longos 
períodos de tempo, a elevadas temperaturas. Descobriu-se que os espécimes ficaram 
deformados permanentemente, durante os ensaios, embora às vezes as tensões reais fossem 
menores que a resistência ao escoamento do material obtida de ensaios de curta duração, 
realizados à mesma temperatura. 
Quando as temperaturas operacionais estão abaixo da temperatura ambiente, a fratura 
frágil é uma forte possibilidade e, portanto, deve ser investigada primeiramente. Quando as 
temperaturas operacionais são mais altas que a temperatura ambiente, o escoamento deve ser 
investigado a princípio, pois a resistência a ele cai muito rapidamente com a temperatura; ver 
Figura 18, onde se tem um gráfico dos resultados de 145 ensaios de 21 aços carbono e de liga 
mostrando o efeito da temperatura de operação na resistência ao escoamento Sy e na 
resistência à tração Sut. A ordenada é a razão da resistência à temperatura de operação para a 
resistência à temperatura ambiente. Os desvios-padrão foram 0,0442 < σSy < 0,152 Sy e 0,099 < 
<σSu, < 0,11 para Sut. 
Qualquer tensão induzirá fluência em um material operando a altas temperaturas, de 
modo que esse fator deve também ser considerado. Por fim, pode ser verdade que não haja 
limite de fadiga para materiais operando a altas temperaturas. Em virtude da reduzida 
resistência à fadiga, o processo de falha é, até certo ponto, dependente do tempo. 
 
Figura 18: Gráfico do efeito da temperatura de operação na resistência ao 
escoamento Sy e à tração Sut. (6). 
22 
 
Fonte: E. A. Brandes (ed.j, Smithells Metal Reference Book, 6
a
 ed., Butterworth, London, 1983, p. 22-128 a 
22-131). Citado por (6). 
Tabela 4: Efeito da temperatura de operação sobre a resistência à tração de aço.*(ST= 
resistência à tração à temperatura de operação; SRT = resistência à tração à temperatura 
ambiente; 0,099 < σ < 0,110). (6). 
 
*Fonte de dados: Figura 18. 
Da divisão de ST por SRT obtêm-se o fator de temperatura CT conforme a tabela anterior. 
Onde se percebe que de 20°C até 300°C não há variação significativa do fator. 
 
Fator de Confiabilidade (1) 
Alguns dados publicados sobre propriedades de materiais representam os valores 
médios de muitas amostras testadas. (Outros dados são declarados como valores mínimos.) A 
dispersão dos resultados dos testes publicados às vezes é declarada, às vezes, não. A maioria 
das propriedades dos materiais varia em torno do valor médio de acordo com alguma 
distribuição estatística, como a distribuição de Gauss ou normal mostrada na Figura 19. 
Há uma considerável dispersão dos resultados de testes múltiplos do mesmo material 
sob as mesmas condições de teste. Observe que há uma probabilidade de 50% de que as 
amostras de qualquer material que você vá comprar tenham uma resistência inferior ao valor 
médio publicado do material. Assim, você pode não querer usar apenas o valor médio como 
prognóstico da resistência de uma amostra escolhida ao acaso desse material. 
 
Figura 19: Distribuição de Gauss (normal). 
23 
 
A Tabela 2 mostra fatores de redução para confiabilidade baseados na suposição de que 
CR = 0,08 μ para vários valores da confiabilidade. Observe que uma confiabilidade de 50% tem 
um fator de 1 e que o fator reduz-se conforme se escolhe uma confiabilidade mais alta. O fator 
de redução é multiplicado pelo valor médio de uma propriedade relevante do material. Por 
exemplo, se você deseja que 99,99% de suas amostras atinjam ou excedam a resistência 
assumida, multiplique o valor médio da resistência por 0,702. 
Diagrama de Goodman modificado 
A Figura 20 mostra um gráfico da tensão alternada σa em função da tensão média σm, o 
qual é referido como um diagrama de Goodman modificado “aumentado”. É um melhoramento 
da curva de Goodman modificada mostrada na Figura 14. As curvas de escoamento e a região 
de tensão média de compressão estão incluídas. Vários pontos de falha estão registrados. No 
eixo de tensão média (σm), o limite de escoamento Sy e o limite de ruptura Sut do material 
particular estão definidos nos pontos A, E e F. 
 
Figura 20: Diagrama de Goodman aumentado. 
No eixo de tensão alternada (σa), a resistência à fadiga corrigida, Sf , em um certo 
número de ciclos (ou o limite de fadiga corrigido Se) e o limite de escoamento, Sy, do material 
particular estão definidos nos pontos C e G. Isto é, o diagrama de Goodman modificado é 
normalmente desenhado para o caso de vida infinita ou de alto-ciclo (N > 106). No entanto, ele 
pode ser desenhado para qualquer seção ao longo do eixo N representando uma situação de 
vida finita menor. 
As curvas definindo falha podem ser traçadas ligando-se vários pontos no diagrama. A 
curva CF é a curva de Goodman e pode ser estendida até a região compressiva (mostrada 
tracejada) com base em dados empíricos. No entanto, convenciona-se traçar a curva horizontal 
mais conservadora CB para representar a curva de falha na região de compressão. Isso, de fato, 
ignora os efeitos benéficos da tensão de compressão média e considera essa situação como 
sendo idêntica ao caso completamente alternado da seção anterior. 
Na região de tração, a curva GE define escoamento estático e o contorno de falha é 
definido pelas curvas CD e DE, considerando-se tanto falha por fadiga como por escoamento. 
Se as componentes médias de tensão forem muito elevadas e as componentes alternadas, 
muito baixas, a combinação delas poderia definir um ponto na região DEF que seria seguro com 
24 
 
relação à curva de Goodman, porém escoaria no primeiro ciclo. A região de falha é definida 
pelas curvas contornando a área sombreada denominada ABCDEA. Qualquer combinação de 
tensão média e alternada que caia nessa região (isto é, na área sombreada) seria segura. 
Combinações que caiam nessas curvas estão em falha e, se estiverem fora dessa região, já 
terão falhado. 
No intuito de determinar o coeficiente de segurança de qualquer estado flutuante de 
tensões, serão necessárias expressões para as curvas que definem as fronteiras da região de 
falha mostrada na Figura 20. A curva AG define escoamento em compressão e é: 
Equação 17: 
A curva BC define falha por fadiga em combinação com tensão média de compressão e 
é: 
Equação 18: 
A curva CF define falha por fadiga em combinação com tensão média de tração e é: 
Equação 19: 
A curva GE define escoamento em tração e é: 
Equação 20: 
Essas equações são mostradas na Figura 20. 
 
Determinação do coeficiente de segurança com tensões variadas 
As tensões locais aplicadas (com os efeitos de concentração de tensão em fadiga 
incluídos) são usadas para calcular as tensões médias e alternadas de von Mises. Esse cálculo é 
feito separadamente para as componentes médias e alternadas σ'a e σ'm. Essas componentes 
de von Mises serão usadas para calcular o coeficiente de segurança. 
A Figura a seguir mostra quatro vistas da face de tensão do diagrama de Goodman 
modificado aumentado, e também mostra a combinação de tensões médias e alternadas de 
von Mises no ponto Z representando uma peça sujeita a tensões variadas. O coeficiente de 
segurança para qualquer estado de tensões variadas depende da maneira como as 
componentes médias e alternadas possam variar entre si em serviço. Há quatro casos possíveis 
a considerar, como mostrado na Figura 21. 
25 
 
1) A tensão alternada irá permanecer essencialmente constante ao longo da vida 
da peça, porém a tensão média pode aumentar sob as condições de serviço. 
(CurvaYQ na Figura 21a.) 
2) A tensão média irá permanecer essencialmente constante ao longo da vida da 
peça, porém a tensão alternada pode aumentar sob as condições de serviço. 
(Curva XP na Figura 21b.) 
3) Ambas as componentes alternada e média podem aumentar sob as condições de 
serviço, porém sua razão permanecerá constante. (Curva OR na Figura 21c.) 
4) Ambas as componentes alternada e média podem aumentar sob as condições de 
serviço, porém não há conhecimento da relação entre os valores desse aumento. 
(Curva ZS na Figura 21d.) 
O coeficiente de segurança para cada um desses casos é calculado diferentemente. 
Observe que Sf será usado nas expressões seguintes para representar tanto a resistência à 
fadiga corrigida para um número de ciclos definido quanto ao limite de fadiga corrigido. 
Portanto, Se pode substituir Sf em qualquer uma dessas expressões, se for apropriado para o 
material usado. 
26 
 
 
Figura 21: Diagrama de Goodman com quatro possibilidades de carregamento. 
Para o primeiro caso, a falha ocorre no ponto Q e o coeficiente de segurança é a razão 
dos segmentos YQ/YZ. Para expressar isso matematicamente, pode-se resolver a Equação 20 
para o valor de σ'm@Q e dividi-lo por σ'm@Z.: 
27 
 
Equação 21: 
Para o segundo caso, a falha ocorre no ponto P e o coeficiente de segurança é a razão 
entre as curvas XP/XZ. Para expressar isso matematicamente, pode-se resolver a Equação 19 
para o valor de σ'a@P e dividir o resultado por σ'a@Z.: 
Equação 22: 
Para o terceiro caso, a falha ocorre no ponto R e o coeficiente de segurança é a razão 
entre os segmentos OR/OZ ou, por semelhança de triângulos, as razões σ'm@R/ σ'm@Z ou σ'a@R/ 
σ'a@Z. Para expressar isso matematicamente, pode-se resolver as Equação 19 e a equação da 
reta OR simultaneamente para o valor de σ'm@R e dividir o resultado por σ'm@Z. 
Equação 23: 
Este terceiro caso é o mais comum para eixos rotativos que em geral estarão 
submetidos á torção e flexão proporcionais. 
Para o quarto caso, onde a relação entre as componentes médias e alternadas de tensão 
é aleatória ou desconhecida, o ponto S na curva de falha mais próximo do estado de tensões 
em Z pode ser tomado como uma estimativa conservadora do ponto de falha. O segmento ZS é 
ortogonal a CD, portanto sua equação pode ser escrita e resolvida simultaneamente com a da 
curva CD para encontrar as coordenadas do ponto S e o comprimento ZS, que são: 
Equação 24: 
28 
 
Há também a possibilidade de que o ponto S recaia na curva DE e não na curva CD, e, 
nesse caso, Equação 20 deve substituir a Equação 19 na solução acima. 
 
ETAPAS DE PROJETO PARA TENSÕES VARIADAS 
Um conjunto de etapas de projeto similar àquele listado para o caso tensões alternadas 
pode ser definido para o caso de tensões variadas: 
1) Determine o número de ciclos de carregamento N ao qual a peça estará 
submetida ao longo de sua vida esperada em operação. 
2) Determine a amplitude dos esforços alternados aplicados (da média ao pico) e 
do esforço médio. (Ver Equação 8 a Equação 12). 
3) Crie um projeto preliminar da geometria da peça para suportar o carregamento 
aplicado com base em boas práticas de engenharia. 
4) Determine os fatores de concentração de tensão Kt em entalhes na geometria da 
peça. Tente, é claro, minimizá-los por meio de um bom projeto. 
5) Converta os fatores geométricos de concentração de tensão Kt em fatores de 
concentração em fadiga Kf usando o q do material. 
6) Calcule as amplitudes de tensão de tração nominal alternada σa (ver Figura 8c) 
em locais críticos da peça, devido a esforços alternados de carregamento, 
baseado nas fórmulas para cálculo de tensões, e incremente as tensões tanto 
quanto for necessário com os fatores de concentração de tensão em fadiga 
apropriados da Equação 3 a Equação 6. Calcule os valores da tensão nominal 
média nos mesmos pontos críticos e aumente-os tanto quanto for necessário 
com os fatores de concentração de tensão adequados relativos à tensão média 
em fadiga, Kfm, da Equação 2. 
7) Calcule os valores da tensão principal e da tensão equivalente de von Mises para 
os pontos críticos com base em seus estados de tensões aplicadas. Faça isso 
separadamente para as componentes de tensão média e alternada. 
8) Escolha um material preliminar para a peça e encontre suas propriedades de 
interesse, como Sut, Sy, Se' (ou Sf' para a vida requerida) e sensibilidade ao 
entalhe q, de acordo com os próprios dados levantados, com a literatura 
disponível ou com estimativas como descritas anteriormente. 
9) Determine os fatores adequados de modificação de resistência à fadiga para o 
tipo de carregamento, tamanho da peça, superfície, etc. Observe que o fator de 
carregamento CL irá variar conforme haja esforços axiais ou de flexão (valores da 
Tabela 2). Se o esforço for puramente de torção, então o cálculo da tensão 
equivalente de von Mises o converterá em uma tensão de tração equivalente e o 
CL deve então ser definido como 1. 
10) Defina a resistência à fadiga corrigida Sf na vida cíclica exigida N (ou o limite de 
fadiga Se para a vida infinita se for apropriado). Faça o diagrama de Goodman 
modificado, como mostrado na Figura 20 usando a resistência à fadiga corrigida 
Sf do material obtido da curva S-N no número de ciclos de vida desejado N. 
(Observe que para situações de vida infinita nas quais o material apresenta um 
limite de fadiga na curva S-N, Sf = Se). Escreva a Equação 17 a Equação 20 para as 
curvas de Goodman e de escoamento. 
29 
 
11) Plote as tensões médias e alternadas de von Mises (para o ponto sob maior 
tensão) no diagrama de Goodman modificado e calcule um coeficiente de 
segurança para o projeto por uma das relações mostradas na Equação 17 á 
Equação 21. 
12) Dado o fato de que o material foi apenas preliminarmente escolhido e que o 
projeto pode ainda não estar tão refinado quanto possível, o primeiro resultado 
da execução dessas etapas será provavelmente um projeto inadequado, cujo 
coeficiente de segurança é muito alto ou muito reduzido. Serão necessárias 
iterações (como sempre são) para melhorar o projeto. Qualquer subconjunto de 
etapas pode ser repetido quantas vezes forem necessárias para se chegar a um 
projeto aceitável. A tática mais comum é retornar à etapa 3 e aumentar a 
geometria da peça para reduzir tensões e concentrações de tensão, e/ou 
reconsiderar a etapa 8 para escolher um material mais adequado. 
Às vezes será necessário voltar à etapa 1 e redefinir uma vida aceitável menor para a 
peça. Os esforços de projeto podem ou não estar sob o controle do projetista. Normalmente 
eles não estão, a não ser que os esforços sobre a peça sejam decorrentes de forças inerciais, 
em cujo caso aumentar a massa do componente visando “adicionar resistência” irá piorar a 
situação, pelo fato disso aumentar proporcionalmente os esforços. 
O projetista pode querer reduzir a peça sem comprometer excessivamente sua 
resistência, com o intuito de reduzir as forças inerciais. Quaisquer que sejam as circunstâncias 
características, o projetista deve estar preparado para repetir essas etapas diversas vezes antes 
de convergir para uma solução aplicável. Ferramentas para a resolução de equações que 
permitem recálculo rápido das equações é um grande auxílio nesta situação. Se o solucionador 
de equações for capaz também de fornecer uma solução reversa, permitindo que variáveis 
sejam trocadas de entrada para saída do cálculo, a geometria necessária para que se alcance 
um coeficiente de segurança desejado pode ser diretamente calculada colocando-se o 
coeficiente de segurança como entrada de dados e a variável de geometria como resultado. 
A melhor maneira de demonstrar o uso dessas etapas para projeto em fadiga com 
tensões variadas é com um exemplo. O exemplo anterior será repetido, modificando-se seu 
padrão de carregamento. 
 
30 
 
TENSÕES NO EIXO 
Com o entendimento de que as seguintes equações terão que ser calculadas para uma 
multiplicidade de pontos no eixo e para seusefeitos multiaxiais combinados também 
considerados, devemos primeiro encontrar as tensões aplicadas em todos os pontos de 
interesse. As tensões de flexão média e alternada máxima estão na superfície externa e são 
encontradas a partir de: 
Equação 25: 
Onde kf e kfm são fatores de concentração de tensão de fadiga por flexão para 
componentes média e alternante, respectivamente (ver Equação 4 e Equação 2). Como um eixo 
típico é de seção transversal sólida redonda, podemos substituir c e I: 
Equação 26: 
Dando: 
Equação 27: 
Onde d é o diâmetro local do eixo na seção de interesse. 
As tensões torcionais de cisalhamento média e alternante são dadas por: 
Equação 28: 
Onde Kfs e Kfsm são fatores de concentração de tensão torcional de fadiga para 
componentes média e alternante, respectivamente (ver a Equação 4 para Kfs; use as tensões 
aplicadas de cisalhamento e resistência ao escoamento por cisalhamento na Equação 2 para 
obter Kfsm). Para uma seção transversal sólida redonda, podemos substituir r e J: 
Equação 29: 
Dando: 
Equação 30: 
Uma carga de tração axial Fz, se alguma estiver presente, terá tipicamente apenas uma 
componente média (como o peso das componentes), e poderá ser encontrada por: 
Equação 31: 
31 
 
 
FALHA DO EIXO EM CARREGAMENTO COMBINADO 
Extensos estudos de falha por fadiga de ambos aços dúcteis e ferros fundidos frágeis sob 
flexão e torção combinados foram feitos originalmente na Inglaterra, nos anos 1930, por Davies 
e Gough e Pollard. Esses resultados pioneiros estão mostrados na Figura 22, que foi tomada da 
Norma B106.1M-1985 da ANSI/ASME sobre o Projeto de Eixos de Transmissão (Design of 
Transmission Shafting). Resultados de pesquisas posteriores também estão incluídos nesses 
gráficos. Descobriu-se que a combinação da torção e flexão em materiais dúcteis em fadiga 
geralmente segue a relação elíptica como definida pelas equações na figura. Descobriu-se que 
materiais fundidos frágeis (não mostrados) falham com base na tensão principal máxima. Essas 
descobertas são similares àquelas das tensões flexionais e torcionais combinadas em 
carregamento completamente reversos mostrados na Figura 16. 
 
 
Figura 22: Resultados dos testes de fadiga para amostras de aço sujeitas à 
torção e flexão combinadas. (Extraído de Design of Transmission Shafting, American 
Society of Mechanical Engineers, New York, ANSI/ASME Standard B106.1M-1985, 
com autorização.) 
PROJETO DO EIXO (1) 
Precisam ser consideradas tanto as tensões quanto as deflexões para o projeto do eixo. 
Frequentemente, a deflexão pode ser o fator crítico, porque deflexões excessivas causarão 
desgaste rápido dos mancais do eixo. Engrenagens, correias ou correntes comandadas pelo 
eixo podem também sofrer por desalinhamentos introduzidos pelas deflexões do eixo. Observe 
que as tensões no eixo podem ser calculadas localmente para vários pontos ao longo do eixo 
com base nas cargas conhecidas e nas seções transversais supostas. Entretanto, os cálculos de 
32 
 
deflexão requerem que a geometria inteira do eixo seja definida. Assim, um eixo é tipicamente 
projetado pela primeira vez usando considerações de tensão, e as deflexões são calculadas uma 
vez que a geometria esteja completamente definida. A relação entre as frequências naturais do 
eixo (tanto em torção quanto em flexão) e o conteúdo de frequência das funções força e torque 
com o tempo também pode ser fundamental. Se as frequências das funções de força forem 
próximas às frequências naturais do eixo, a ressonância pode criar vibrações, tensões elevadas 
e grandes deflexões. 
 
Considerações gerais 
Algumas regras gerais para o projeto de eixos podem ser enunciadas como segue: 
1) Para minimizar as tensões e deflexões, o comprimento do eixo deve ser mantido 
o menor possível e os trechos em balanço, ser minimizados. 
2) Uma viga em balanço terá uma deflexão maior que uma viga biapoiada para o 
mesmo comprimento e as mesmas carga e seção transversal, de modo que se 
deve usar a viga biapoiada, a menos que o uso do eixo em balanço seja ditado 
por restrições de projeto. (A Figura 2 mostra uma situação em que uma seção 
saliente ou em balanço de um eixo é requerida por razões práticas. A polia na 
extremidade direita do eixo carrega uma correia em V. Se a polia fosse montada 
entre os mancais, então todos os anexos ao eixo teriam que ser desmontados 
para mudar a correia, o que é indesejável. Em tais casos, o eixo em balanço pode 
ser a escolha menos prejudicial.) 
3) Um eixo vazado tem um razão melhor de rigidez/massa (rigidez específica) e 
frequências naturais mais altas que aquelas de um eixo comparavelmente rígido 
ou sólido, mas ele será mais caro e terá um diâmetro maior. 
4) Tente colocar concentradores de tensão longe das regiões de grandes momentos 
fletores, se possível, e minimize seu efeito com grandes raios e aliviadores de 
tensão. 
5) Se a principal preocupação é minimizar a deflexão, talvez o material mais 
indicado seja o aço de baixo carbono, porque sua rigidez é tão alta quanto 
aquela de aços mais caros, e um eixo projetado para pequenas deflexões 
tenderão a ter tensões baixas. 
6) As deflexões nas posições de engrenagens suportadas pelo eixo não devem 
exceder cerca de 0,005 in, e a inclinação relativa entre os eixos da engrenagem 
deve ser menor que cerca de 0,03°. 
7) Se forem usados mancais planos (de luva), a deflexão do eixo ao longo do 
comprimento do mancal deve ser menor que a espessura da película de óleo no 
mancal. 
8) Se forem usados mancais de rolamento não autoalinhantes, a inclinação do eixo 
nos mancais deve ser mantida menor que aproximadamente 0,04°. 
9) Se estiverem presentes cargas axiais de compressão, elas deverão ser 
descarregadas por meio de um único mancal para cada direção de carga. Não 
divida as cargas axiais entre mancais axiais, pois a expansão térmica do eixo 
pode sobrecarregar os mancais. 
10) A primeira frequência natural do eixo deve ser pelo menos três vezes a 
frequência máxima da carga esperada em serviço, e preferencialmente muito 
33 
 
mais. (Um fator de 10× ou mais é preferido, mas normalmente é difícil conseguir 
isso em sistemas mecânicos.) 
 
Projeto para flexão alternada e torção fixa 
Este caso de carregamento é um subconjunto do caso geral de flexão variada e torção 
variada, e, por causa da ausência de um componente alternativo da tensão torcional, é 
considerado um caso de fadiga multiaxial simples. (Contudo, a presença de concentrações de 
tensão localizadas pode causar tensões multiaxiais complexas.) Esse caso de carregamento 
simples foi investigado experimentalmente, e existem dados para a falha de peças assim 
carregadas, como mostrado na Figura 22. A ASME definiu um método para o projeto de eixos 
carregados dessa maneira. 
A começar pela relação para o envelope de falha mostrado na Figura 22a, 
Equação 32: 
Introduza um fator de segurança Nf. 
Equação 33: 
Relembre a relação de von Mises para Sy. 
Equação 34; 
E substitua-a na Equação 33: :: 
Equação 35: 
Substitua as expressões para σa e τm das Equação 25 a Equação 30, respectivamente; 
Equação 36: 
 
 
34 
 
Que pode ser organizada para calcular o diâmetro do eixo d como 
Equação 37: 
Projeto para flexão variada e torção variada 
Quando o torque não é constante, sua componente alternada criará um estado de 
tensão multiaxial complexo no eixo. Nesse caso, pode ser usado o enfoque que computa as 
componentes de von Mises das tensões alternantes e média. Um eixo rodando em flexão 
combinada com torção tem um estado biaxial de tensão que permite que a versão 
bidimensional da Equação 38 seja usada. 
Equação 38: 
 
O coeficiente de segurança como definido pela Equação 23 é, portanto, 
Equação 39: 
Se agora também supusermos que a carga axial no eixo é zero e substituirmos a 
Equação 27, Equação 30 e Equação 38 na Equação 39, obteremos: 
Equação 40 
 
Que pode ser usada como uma equação de projeto para determinar um diâmetro de 
eixo para qualquer combinaçãode carregamento de flexão e torção com as suposições 
mencionadas anteriormente de carga axial zero e uma razão constante entre os valores da 
carga alternante e média no tempo. 
 
 
 
35 
 
COEFICIENTE DE SEGURANÇA 
Para encontrarem-se quais as tensões admissíveis para uma peça, em uma determinada 
situação precisa-se considerar, além dos tipos de esforços estáticos as quais a peça a ser 
dimensionada estará submetida, onde as forças estarão atuando, os tipos de apoios que a peça 
possui e também o Coeficiente de segurança. 
Para encontrar-se o Coeficiente de segurança, Nf, devem-se considerar os Fatores que 
influenciam a segurança do perfeito funcionamento da peça. Alguns dos fatores são: 
 
Dados das propriedades dos materiais 
Condições Ambientais 
Modelos analíticos para forças e tensões 
Algumas orientações para a escolha de um coeficiente de segurança para projetos de 
máquinas podem ser definidas com base na qualidade e disponibilidade de dados adequados 
sobre as propriedades dos materiais, nas condições ambientais esperadas em comparação com 
aquelas nas quais os dados de teste do material foram obtidas, bem como na precisão dos 
modelos de solicitação e de tensão desenvolvidos para análises. A Tabela 5 mostra um conjunto 
de fatores para materiais dúcteis que podem ser escolhidos em cada uma das três categorias 
listadas com base no conhecimento ou julgamento do projetista sobre a qualidade das 
informações utilizadas. O coeficiente global de segurança é tomado como o maior dos três 
fatores escolhidos. Dadas as incertezas envolvidas, o coeficiente de segurança geralmente não 
deve ser assumido com precisão maior que a de uma casa decimal. 
 
Tabela 5: Coeficientes de segurança segundo Norton (2004) 
 
Ndúctil MAX (F1, F2, F3) 
 
A ductilidade ou fragilidade do material é também uma preocupação. Os materiais 
frágeis são projetados pelo limite de ruptura, de modo que falha significa ruptura. Os materiais 
dúcteis sob carregamento estático são projetados pelo limite de escoamento, e espera-se que 
36 
 
deem algum sinal visível de falha antes da ruptura, a menos que trincas indiquem a 
possibilidade de uma ruptura pela mecânica da fratura. Por essas razões, o coeficiente de 
segurança para materiais frágeis é geralmente duas vezes o coeficiente que seria usado para 
materiais dúcteis na mesma situação: 
Nfrágil MAX (F1, F2, F3) 
 
Vale lembrar que materiais frágeis não são indicados para eixos rotativos, pois os 
prejuízos e custos dos materiais envolvidos seriam muito maiores. 
 
Os seguintes princípios são gerais e devem ser sempre considerados (5), (1). 
1. Os eixos devem ser tão curtos quanto possível, com os mancais próximos das 
cargas aplicadas. Esta condição reduz os deslocamentos e os momentos devido à 
flexão, e aumenta as velocidades críticas. 
2. Se possível, coloque os necessários concentradores de tensões longe das regiões 
do eixo com as mais altas tensões. Não sendo possível, utilize raios maiores e 
bons acabamentos superficiais. Considere a utilização de processos que 
aumentem a resistência superficial local (como jateamento ou laminação a frio). 
3. Utilize os aços mais baratos quando as deformações do eixo são críticas, uma vez 
que todos os aços possuem, essencialmente, o mesmo módulo de elasticidade. 
4. Quando o peso é crítico, considere o emprego de eixos vazados. Por exemplo, os 
eixos de acionamento das rodas dianteiras de um automóvel são vazados de 
modo a se obter a baixa relação peso-rigidez necessária para se manter as 
velocidades críticas acima das faixas de operação. 
 
O deslocamento máximo admissível de um eixo é geralmente determinado 
por requisitos associados à velocidade crítica, às engrenagens ou aos mancais. Os 
requisitos relacionados à velocidade crítica variam muito com a aplicação específica. 
Os deslocamentos admissíveis dos eixos para um desempenho satisfatório das 
engrenagens e dos mancais variam com o projeto desses componentes e com a 
aplicação, porém as considerações a seguir podem ser utilizadas como guia geral. 
 
1. Os deslocamentos não devem causar uma separação dos dentes das 
engrenagens superior a 0,13 mm (0,005 in), e também não devem propiciar uma 
variação na inclinação relativa dos eixos das engrenagens superior a cerca de 
0,03°. 
2. A deflexão do eixo ao longo do plano de um de seus mancais deve ser pequena, 
comparativamente à espessura do filme de óleo. Caso o deslocamento angular 
seja excessivo o eixo irá emperrar, a menos que os mancais sejam auto-alinhados 
(autocompensadores). 
3. Em geral, a deflexão angular do eixo junto aos mancais de esfera ou de roletes 
não deve exceder a 0,04°, a menos que os mancais sejam auto-alinhados 
(autocompensadores). 
Geralmente o projeto de um eixo parte de uma avaliação inicial do fator 
que será crítico para seu dimensionamento: a resistência ou os deslocamentos. O 
projeto preliminar é baseado nesse critério; em seguida, o fator remanescente (a 
resistência ou os deslocamentos) é verificado. 
37 
 
Exemplo-1 
 
Problema: Projetar um eixo submetido exclusivamente a torção para vida infinita. 
Dados: deve ser feito em aço carbono laminado a quente ABNT 1020, retificado e 
apoiado em rolamento fixo de esfera em uma de suas extremidades e acoplada ao eixo do 
motor por interferência na outra. Transmitir potência de 7,5 kW a 1750 rpm. Em ambiente com 
temperatura de até 50 °C. Ver figura a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 23: Exemplo 1. 
As dimensões da figura estão em milímetros, mas os componentes não estão 
necessariamente em escala. 
O eixo deve ter extremidades iguais e um diâmetro central maior conforme mostrado na 
figura anterior. Também deve ter arredondamentos nos cantos entre as pontas e o corpo 
central com diâmetro maior adequado aos rolamentos. 
 
Solução: 
Coeficiente de segurança mínimo: 
Dados representativos de testes do material estão disponíveis conforme Tabela 1, 
portanto: F1 = 2. 
O ambiente de operação é diferente daquele comum aos laboratórios de testes, pois a 
temperatura pode chegar a 50 °C, portanto; F2 = 3. 
O modelo representa aproximadamente o sistema, portanto: F3 = 3. 
O maior dos fatores F1, F2 e F3 é 3, portanto o coeficiente de segurança a utilizar é, Nf = 
3. 
 
Torque no eixo: 
P = T . ω portanto, 𝑇 =
𝑃
𝜔
=
7500 𝑊
1750 (
2𝜋
60
 
𝑟𝑎𝑑/𝑠
𝑟𝑝𝑚
)
  40,93 N.m 
 
Para Potência em Watts e frequência em rpm. A unidade mais adequada para o torque é 
no dimensionamento é Newton.milímetro, portanto, T = 40 930 Nmm. 
 
Limite de fadiga corrigido: 
O limite da resistência à fadiga não corrigido é encontrado na Tabela 1 com valor S’f 
=241 MPa, bem como o limite de resistência a tração, Sut= 448 MPa. 
Este valor de resistência à fadiga deve ser corrigido para levar em conta as diferenças 
entre a parte e o espécime de ensaio. 
𝑺𝒇 = 𝑆′𝑓 . 𝐶𝐿 . 𝐶𝐺 . 𝐶𝑆. 𝐶𝑇 . 𝐶𝑅 
40 40 150 
D
 
d
 
38 
 
Conforme Tabela 2 para carregamento por torção CL = 0,577. O coeficiente de Gradiente 
(Tamanho) não pode ser estabelecido com grande aproximação, pois é objetivo do 
dimensionamento determiná-lo, mas se sabe que o diâmetro do eixo do motor elétrico é 
35mm, pode-se então estimar para o nosso eixo um diâmetro próximo á este. Portanto se CG = 
(d/7,62)-0,107 para a faixa entre 2,8mm e 51 mm, CG = 0,85. A superfície deverá ser usinada com 
exatidão (retificada) em ambas as extremidades para receber o rolamento e para ajuste com 
interferência por tanto, usando a Equação 16: 𝐶𝑠 = 𝑎. 𝑆𝑢𝑡
𝑏 e a Tabela 3 tem-se CS = 0,96. A 
temperatura de operação difere da temperatura de ensaio, portanto, usando a Tabela 4, 
obtém-se CT = 1,010. A confiabilidade para um projeto preliminar pode ser menor e depois se 
necessário ajustado para um valor maior, ficando geralmente a critério de o engenheiro 
estabelecer um valor conforme sua confiabilidade na maior ou menor aproximação da condição 
de uso, ambiente, material, operação, etc. Neste exemplo usaremos CR = 0,814 para uma 
confiabilidadede 99% definido na Tabela 2. 
𝑺𝒇 = 241 . 0,577 . 0,85 . 0,96 . 1,010 . 0,814 
 
Sf = 93,3 MPa 
 
Fator de concentração de tensão: 
Para o diâmetro de eixo de até 40 mm o raio do arredondamento deve ser no máximo 
0,3 mm para se adequar ao rolamento á ser usado. E adotando-se uma relação entre diâmetros 
de D/d  1,1 tem-se Kts = 1,65 conforme equação e tabela da Figura 7. 
Consultando-se o gráfico da Figura 4 obtém-se q  0,56 e utilizando a Equação 4 tem-se: 
 
𝐾𝑓𝑠 = 1 + 𝑞(𝐾𝑡𝑠 − 1) 
 
𝐾𝑓𝑠 = 1 + 0,56(1,65 − 1) 
 
Kfs = 1,36 
 
Tendo-se que Kfs .max nom < Sy então Kfsm = Kfs 
 
Diâmetro do eixo: 
O diâmetro do eixo pode ser calculado com a Equação 40 conforme teoria de Goodman: 
 
Como não haverá momento fletor ou tração no eixo, pois este estará submetido apenas 
a torção constante pode-se suprimir as parcelas correspondentes aos momentos, portanto: 
39 
 
𝑑 =
{
 
 
32𝑁𝑓
𝜋
[
 
 
 √3
4
(𝐾𝑓𝑠𝑇𝑎)
2
𝑆𝑓
+
√3
4
(𝐾𝑓𝑠𝑚𝑇𝑚)
2
𝑆𝑢𝑡
]
 
 
 
}
 
 
1
3
 
Substituindo pelos valores obtidos tem-se: 
 
𝑑 =
{
 
 
32 . 3
𝜋
[
 
 
 √3
4
(1,36 . 40 930)2
93,3
+
√3
4
(1,36 . 40 930)2
448
]
 
 
 
}
 
 
1
3
 
 
𝑑 = {
96
𝜋
[
48207,1
93,3
+
48207,1
448
]}
1
3
 
 
𝑑 = {30,56[516,69 + 107,61]}
1
3 
 
d = 26,7mm 
 
Uma vez conhecido o diâmetro mínimo podem-se rever os cálculos com o valor 
compatível com o diâmetro mais próximo de rolamento, portanto, o diâmetro final será d = 30 
mm e assim, certificarmos que o diâmetro é adequado. Por exemplo, verificar o raio de canto 
do rolamento o diâmetro mínimo de encosto, etc. e recalcular o valor de Kt, Kfs, q e também 
recalcular o diâmetro. 
 
Exercício - 1: 
Realize esta verificação considerando o valor final do eixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
40 
 
Exemplo-2 
 
Problema: Projetar a ponta de eixo submetido à torção e flexão para vida infinita. 
Dados: O eixo deve ser feito em aço carbono laminado a quente ABNT 1045, usinado e 
apoiado em rolamentos fixos de esferas nos locais indicados A e B, e a ponta do eixo a ser 
projetada receberá uma polia conforme mostrado na figura a seguir. Transmitir potência de 1,5 
kW a 1200 rpm. Em ambiente com temperatura próxima a de um laboratório. As forças no eixo 
devidas á transmissão pela polia são: FEH = 328 N na direção X e FEV = 6,5 N na direção Y. 
 
Figura 24: Exemplo 2. 
As dimensões da figura estão em milímetros, mas os componentes não estão 
necessariamente em escala. 
O eixo deve ter um ressalto de encosto para apoio da polia com diâmetro próximo a 
1,2d e um diâmetro central maior conforme mostrado na figura anterior. Também deve ter 
arredondamentos nos cantos entre os ressaltos. No caso particular da polia este 
arredondamento pode ser de até 1 mm. 
 
Solução: 
Coeficiente de segurança mínimo: 
Dados representativos de testes do material estão disponíveis conforme Tabela 1: 
Propriedades de materiais dúcteisTabela 1, portanto: F1 = 2. 
O ambiente de operação é próximo ao dos laboratórios de testes, portanto; F2 = 2. 
O modelo representa aproximadamente o sistema, portanto: F3 = 3. 
O maior dos fatores F1, F2 e F3 é 3, portanto o coeficiente de segurança é, Nf = 3. 
 
Torque no eixo: 
O torque ocorre entre a ponta onde se encontra a polia, devido á força causada por esta 
ao eixo e daí até a outra extremidade sem variar. 
 
P = T . ω portanto, 𝑇 =
𝑃
𝜔
=
1500 𝑊
1200 (
2𝜋
60
 
𝑟𝑎𝑑/𝑠
𝑟𝑝𝑚
)
  11,94 N.m 
 
FEV 
FEH 
41 
 
Para Potência em Watts e frequência em rpm. A unidade mais adequada para o torque é 
no dimensionamento é Newton.milímetro, portanto, T = 11 940 Nmm. 
Reações no eixo: 
Considerando que as forças efetivas aplicadas na polia sejam aplicadas no seu centro e 
calculamos as reações nos pontos de apoio A e B, nas direções X e Y, usando F = 0 e M = 0 e 
as dimensões preliminares mostrados da figura. 
No plano horizontal: 
∑𝐹𝑋𝑍 = 𝑅𝐴𝐻 − 𝑅𝐵𝐻 + 𝐹𝐸𝐻 = 0 
 
∑𝑀𝐴 = −32,2 . 𝑅𝐵𝐻 + (32,2 + 39,3). 𝐹𝐸𝐻 = 0 
 
Portanto: 𝑅𝐵𝐻 = 2,22 . 𝐹𝐸𝐻 e 𝑅𝐴𝐻 = 1,22 . 𝐹𝐸𝐻 
 
Uma vez que FEH = 328 N, RBH = 728,16 N e RAH = 400,16 N 
 
 
Figura 25: Diagrama de reações e cisalhamento no plano XZ. 
 
No plano YZ (vertical) as reações são proporcionalmente iguais as do plano XZ 
(horizontal), pois ocorrem nos mesmos locais. 
 
Portanto: 𝑅𝐵𝑉 = 2,22 . 𝐹𝐸𝑉 e 𝑅𝐴𝑉 = 1,22 . 𝐹𝐸𝑉 
 
Uma vez que FEV = 6,5 N, RBV = 14,43 N e RAV = 7,93 N 
 
As resultantes de cisalhamento são: 
𝑅𝐵 = √𝑅𝐵𝐻
2 + 𝑅𝐵𝑉
2 = 728,3 N 
 
𝑅𝐴 = √𝑅𝐴𝐻
2 + 𝑅𝐴𝑉
2 = 400,2 N 
Momento fletor no eixo: 
No plano XZ: 
𝑀𝐵 = 39,3 . 𝐹𝐸𝐻 = 12 890,4 𝑁𝑚𝑚 
No plano XY: 
𝑀𝐵 = 39,3 . 𝐹𝐸𝑉 = 255,5 𝑁 
 
 
42 
 
Resultante de momento fletor em B: 
𝑀𝐵 = √𝑀𝐵𝑋𝑌
2 +𝑀𝐵𝑋𝑍
2 = 12 892,9 𝑁.𝑚𝑚 
 
Resultante de momento fletor em C: 
𝑀𝐶 =
𝑀𝐵 . 9,3
39,3
= 3 051 𝑁.𝑚𝑚 
 
Figura 26: Diagrama de momento fletor resultante do eixo. 
 
Limite de fadiga corrigido: 
O limite da resistência a tração consta na Tabela 1, Sut= 565 MPa, mas o limite de 
resistência à fadiga não consta, portanto usa-se a Equação 13 com valor S’e = 0,5 . Sut = 282,5 
MPa. 
Este valor de resistência à fadiga deve ser corrigido para levar em conta as diferenças 
ente a peça e o espécime de ensaio. 
𝑺𝒆 = 𝑆′𝑒 . 𝐶𝐿. 𝐶𝐺 . 𝐶𝑆. 𝐶𝑇 . 𝐶𝑅 
Conforme Tabela 2 para carregamento por torção CL = 0,577 por ser mais seguro que 
para flexão que também ocorre naquele ponto. O coeficiente de Gradiente (Tamanho) não 
pode ser estabelecido com grande aproximação, pois é objetivo do dimensionamento 
determiná-lo, mas se sabe que o diâmetro do eixo do motor elétrico é 22mm, pode-se então 
estimar para o nosso eixo um diâmetro próximo á este. Portanto se CG = (d/7,62)
-0,107 para a 
faixa entre 2,8mm e 51 mm, CG = 0,893. A superfície deverá ser simplesmente usinada sem 
necessidade de muita exatidão, mas apenas para receber a polia, por tanto, usando a Equação 
16: 𝐶𝑠 = 𝑎. 𝑆𝑢𝑡
𝑏 e a Tabela 3 tem-se CS = 0,841. A temperatura de operação é próxima da 
temperatura de ensaio, portanto, usando a Tabela 4, obtém-se CT = 1,0. A confiabilidade para 
um projeto preliminar pode ser menor e depois se necessário ajustado para um valor maior, 
ficando geralmente a critério de o engenheiro estabelecer um valor conforme sua 
confiabilidade na maior ou menor aproximação da condição de uso, ambiente, material, 
operação, etc. Neste exemplo usaremos CR = 0,814 para uma confiabilidade de 99% definido na 
Tabela 2. 
𝑺𝒆 = 282,5 . 0,577 . 0,893 . 0,841 . 1,0 . 0,814 
Se = 99,6 MPa 
 
Fator de concentração de tensão: 
Para o diâmetro de eixo na ponta admitiu-se que o raio do arredondamento deva ser no 
máximo 1 mm. E adotando-se uma relação entre diâmetros de D/d  1,2 e conforme equação e 
tabela da Figura 6, tem-se para tensões de momento fletor: A = 0,97098 e b = -0,21796. 
43 
 
 
𝐾𝑡 = 𝐴. (
𝑟
𝑑
)
𝑏
= 0,97098. (
1
22
)
−0,21796
 
 
Kt = 1,905 
 
Para torção A = 0,83425 e b = -0,21649 conforme equação e tabela da Figura 7, tem-se: 
 
𝐾𝑡𝑠 = 𝐴. (
𝑟
𝑑
)
𝑏
= 0,83425. (
1
22
)
−0,21649
 
 
Kts = 1,629 
 
Consultando-se o gráfico da Figura 4 obtém-se q  0,72 para flexão e utilizando a 
Equação 4 para momento fletor tem-se: 
 
𝐾𝑓 = 1 + 𝑞(𝐾𝑡 − 1) 
 
𝐾𝑓 = 1 + 0,72(1,905 − 1) 
 
Kf = 1,651 
 
Assumindo-se que Kf .σmax nom < Sy então Kfm = Kf 
 
Consultando-se o gráfico da Figura 4 obtém-se q  0,76 para torção e utilizando a 
Equação 4 tem-se: 
 
𝐾𝑓𝑠 = 1 + 𝑞(𝐾𝑡𝑠 − 1) 
 
𝐾𝑓𝑠 = 1 + 0,76(1,629 − 1) 
 
Kfs = 1,478 
 
Assumindo-se que Kfs .max nom < Sy então Kfsm = Kfs 
 
Para Kfm e Kfsm estamos assumindo que os produtos com as tensões são menores que a 
tensão de escoamento Sy, entretanto, é conveniente verificar após encontrar o valor do 
diâmetro se esta hipótese e verdadeira calculando-se as tensões e o produto com os fatores. 
 
 
 
 
 
 
 
44 
 
Diâmetro do eixo: 
O diâmetro do eixo no ponto C pode ser calculado com a Equação