LIÇÕES DE HIDRÁULICA GERAL

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I 
 
 
LIÇÕES DE 
HIDRÁULICA 
GERAL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gilberto Queiroz da Silva 
 
Lições de Hidráulica Básica 
 
II 
 
 
 
 
 
 
 
 
LIÇÕES DE 
HIDRÁULICA 
GERAL 
 
 
FEVEREIRO DE 2015 
 
 
GILBERTO QUEIROZ DA SILVA 
Departamento de Engenharia Civil 
Escola de Minas 
Universidade Federal de Ouro Preto 
 
Lições de Hidráulica Básica 
 
III 
 
 
Endereço para contato: 
Gilberto Queiroz da Silva 
Departamento de Engenharia Civil 
Escola de Minas/UFOP 
Campus Universitário do Morro do Cruzeiro 
35.400-000 – Ouro Preto, MG 
gqueiroz@em.ufop.br – (31)3559-1546 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Lições de Hidráulica Básica 
 
IV 
 
 
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Impresso no Brasil 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dedicatória 
 
 
 
 
Lições de Hidráulica Básica 
 
V 
 
Informações sobre o autor: 
 
 
 
 
VI 
CONTEÚDO 
 
Prefácio .............................................................................................................. X 
Agradecimentos .................................................................................................XI 
1. Introdução ........................................................................................................1 
1.1. Divisões da Hidráulica..............................................................................6 
2. Generalidades ..................................................................................................7 
2.1. Grandezas Físicas ....................................................................................7 
2.2. Sistemas de Unidades...............................................................................8 
2.2.1 - Sistema Internacional de Unidades...............................................10 
2.2.2 - Sistema de Unidades CGS............................................................14 
2.2.3 - Sistema Inglês Absoluto...............................................................15 
2.2.4 - Sistema Técnico............................................................................17 
2.2.5 - Sistema Inglês Técnico.................................................................19 
2.2.6 – Caso de grandezas físicas de valor elevado ou pequeno .............21 
2.2.7 – Exercícios de Aplicação...............................................................22 
2.3 - Propriedades Físicas dos fluidos...........................................................24 
a) Massa específica...................................................................................24 
b) Peso Específico ...................................................................................28 
c) Volume específico................................................................................30 
d) Densidade.............................................................................................30 
e) Compressibilidade................................................................................31 
f) Celeridade e Número de Mach.............................................................34 
Distinção entre Líquido e Gás............................................................35 
Fluidos Compressíveis e Incompressíveis..........................................36 
g) Pressão de vapor..................................................................................37 
h) Tensão superficial e capilaridade........................................................38 
 Exercícios ..........................................................................................40 
i) Viscosidade..........................................................................................43 
Unidades de viscosidade:...................................................................48 
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VII 
 
Viscosidade Cinemática ....................................................................50 
Variação da viscosidade ....................................................................50 
Determinação da viscosidade ............................................................54 
Exercícios de Aplicação..........................................................................58 
 
3. HIDROSTÁTICA..........................................................................................62 
3.1 – Introdução............................................................................................62 
3.2 – Pressão, Tensão Cisalhante e suas Unidades.......................................62 
3.2.1 – Conceito de pressão..................................................................62 
3.2.2 – Conceito de Tensão Cisalhante.................................................64 
3.2.3 – Unidades de pressão e tensão cisalhante...................................66 
3.3 – Empuxo................................................................................................69 
3.4 – Variação da Pressão nos Fluidos.........................................................72 
3.4.1 – Princípio de Pascal....................................................................72 
3.4.2 – Equação Fundamental da Hidrostática......................................73 
3.4.3 – Variação da pressão nos gases...................................................78 
3.4.4 – Variação da pressão nos líquidos...............................................81 
a) Caso da pressão entre dois pontos situados no interior de um 
líquido:......................................................................................82 
b) Caso de líquidos com superfície livre sujeita à pressão 
atmosférica................................................................................83 
c) Escalas de Pressão Relativa e de Pressão Absoluta..............85 
d) Pressão Expressa em Metro de Coluna de Líquido..............87 
e) Pressão com Líquidos Imiscíveis..........................................87 
3.5 – Exemplos de Aplicação:.......................................................................88 
3.5.1 – Prensa hidráulica........................................................................88 
3.5.2 – Vasos Comunicantes..................................................................90 
 
3.6 – MEDIDORES DE PRESSÃO.............................................................92 
3.6.1. Medidores de pressão absoluta....................................................92 
Lições de Hidráulica Básica 
 
VIII 
 
 a) Barômetro de Torricelli: ...................................................................92 
Exemplo: .........................................................................................95 
 b) Barômetro Aneróide ou de caixa de vácuo.......................................95 
 c) Barômetro eletrônico.........................................................................96 
3.6.2 – Medidores de pressão relativa...................................................98 
 a) Manômetro de Bourdon ...................................................................98 
 b) Vacuômetro ....................................................................................103 
c) Transdutor eletrônico de pressão relativa........................................103 
 d) Piezômetro......................................................................................105 
 e) Manômetro de tubo U.....................................................................106 
 f) Piezômetros pressurizados...............................................................107 
 g) Manômetro Diferencial de Tubo U.................................................109 
 h) Manômetro Diferencial de tubo U invertido...................................111 
 i) Manômetro Diferencial de Reservatório..........................................112 
j) Manômetro de tubo inclinado..........................................................115k) Manômetro de Betz.........................................................................117 
Exemplo:...........................................................................................117 
l) Manômetro de Prandtl......................................................................118 
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO – PRESSÃO.......................................120 
3.7 – ESFORÇOS SOBRE SUPERFÍCIES PLANAS SUBMERSAS..........137 
3.7.1 – Caso da superfície horizontal:....................................................137 
3.7.2. Caso de superfície vertical:..........................................................139 
3.7.3. Caso de superfície inclinada:........................................................140 
3.7.4. Caso geral de superfície inclinada:...............................................141 
 Exemplos ................................................................................150 
3.8 – Esforços sobre Superfícies Curvas Submersas.....................................160 
 Exemplos de Aplicação .......................................................................167 
 
4. HIDRODINÂMICA.....................................................................................171 
4.1. Generalidades..........................................................................................171 
Lições de Hidráulica Básica 
 
IX 
 
4.2. Exemplo de aplicação.............................................................................179 
4.3. CONCEITOS RELATIVOS AOS ESCOAMENTOS............................180 
4.3.1. Tipos e regimes de escoamentos:.................................................182 
4.3.2. CONCEITO DE VAZÃO............................................................186 
a) Vazão em volume: Q....................................................................186 
b) Vazão em massa: m& ou Qm.........................................................190 
c) Vazão em peso: G.........................................................................192 
d) Velocidade média: V ...................................................................192 
EXERCÍCIOS DE ALICAÇÃO.............................................................193 
 
 
 
Lições de Hidráulica Básica 
 
X 
 
 
Prefácio 
 
 
 
Lições de Hidráulica Básica 
 
XI 
 
Agradecimentos 
 
 
 
Lições de Hidráulica Básica 
 
1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
 A palavra hidráulica significa condução de água. Do grego hÿdor 
significa água e aulos significa condução, tubo. Atualmente a Hidráulica tem 
um significado muito mais geral, pois trata do estudo do comportamento dos 
líquidos (em especial da água) em repouso ou em movimento. 
 Os estudos relativos à Hidráulica começam na Antigüidade, pois é 
sabido que na Mesopotâmia existiam canais destinados à irrigação, construídos 
nas terras vizinhas aos rios Tigre e Eufrates. Tem-se notícia de que na 
Babilônia, no ano 3 750 a.C. já existiam coletores de esgotos. No Egito por 
volta de 2 500 a.C. foram construídas diversas obras destinadas à irrigação. 
Durante a XII Dinastia foram realizadas diversas obras hidráulicas tais como o 
lago artificial de Méris para regularização das águas do baixo Nilo. O primeiro 
sistema público de abastecimento de água apareceu na Assíria em 691 a.C., 
tendo recebido o nome de aqueduto Jerwa. Arquimedes (287-212 a.C.) escreveu 
um tratado abordando a flutuação dos corpos enunciando diversos princípios da 
Hidrostática, que são estudados nos dias de hoje. A bomba de pistão foi 
Lições de Hidráulica Básica 
 
2 
 
inventada por Hero, discípulo de Ctesibius, 200 anos antes de Cristo. Grandes 
aquedutos foram construídos em todo o mundo a partir de 312 a.C. e o primeiro 
Superintendente de águas foi Sextus Julius Frontinus, nomeado em Roma no 
ano 70 a.C. 
 No século XVI ocorreram diversas construções de chafarizes e fontes 
ornamentais que encantaram as pessoas. Em 1586 Stevin (1548-1620) publicou 
um novo tratado que, juntamente com estudos de Galileu (1564-1642), 
Torricelli (1608-1647) e Daniel Bernoulli (1700-1782), constituíram a base para 
a Hidráulica. 
 Leonardo Euler (1707-1783) foi o pai das primeiras equações gerais que 
tentavam explicar o movimento dos fluidos. Nesse tempo os campos 
relacionados com a hidráulica eram distintos, dividindo-se em Hidrodinâmica 
Teórica cujo objetivo era estudar os movimentos dos fluidos perfeitos e a 
Hidráulica Empírica que investigava dos problemas reais, sem uma base 
científica sólida. Dos estudos sobre a aerodinâmica, associados aos estudos 
teóricos da Hidrodinâmica Teórica, originou a Mecânica dos Fluidos como a 
conhecemos hoje. 
 Desde os tempos de Venturi (1746-1822), Bidone e outros, as 
investigações experimentais na Hidráulica foram muito importantes para o 
estabelecimento de equações matemáticas que explicassem os fenômenos 
envolvendo o escoamento de líquidos. 
 A partir do século XIX, a produção de tubos de ferro capazes de 
resistirem a pressões elevadas e o crescimento das cidades fizeram com que os 
serviços de abastecimento de água tivessem um papel importante, propiciando 
um rápido crescimento da Hidráulica. Foram as experiências de Reynolds e 
Froude e os trabalhos de Rayleigh que formaram a base científica para permitir 
a consolidação da Hidráulica. Deve-se notar que as usinas hidrelétricas 
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3 
 
começaram a aparecer no final do século XIX e continuam a ser construídas até 
hoje. 
 Atualmente, com o grande desenvolvimento dos computadores os 
estudos relativos à Hidráulica têm recebido importantes contribuições. Muitos 
projetos de implantação de complexas obras hidráulicas e o aperfeiçoamento de 
máquinas só foram possíveis com o uso desses computadores. 
 O professor Azevedo Neto, em seu Manual de Hidráulica, apresenta 
uma interessante tabela com as principais invenções relativas aos assuntos 
relacionados com a Hidráulica, aqui reproduzida na tabela 01. 
 Atualmente a água é o recurso natural de maior importância para o bem 
estar do homem. Durante muitos anos ela foi encarada como um bem 
inesgotável, para servir, sem nenhuma preocupação, aos habitantes da terra. 
Muito desperdício tem ocorrido na superfície da terra. Hoje há uma consciência 
de que ela deve ser muito bem preservada a fim de assegurar a sobrevivência da 
espécie humana. 
 O progresso levou a uma inevitável concentração de atividades em 
determinados locais específicos, tornando necessário o uso de uma maior 
quantidade de água. Assim foi preciso promover o abastecimento das 
populações. Esse abastecimento foi se tornando cada vez mais complexo, 
envolvendo diversos fatores de ordem técnica, social, econômica, legal, política, 
administrativa, estratégica, etc. Atualmente, os problemas relativos ao uso da 
água têm ultrapassado as fronteiras dos países, adquirindo aspectos 
internacionais. 
 
 
 
 
 
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 Tabela 01 - Principais Invenções relacionadas com a Hidráulica. 
Invenções Autores Ano País 
Esgotos --- 3750 a.C. Babilônia 
Drenagem Empédocles 450 a.C. Grécia 
Parafuso de Arquimedes Arquimedes 250 a.C. Grécia 
Bomba de Pistão Ctesibius-Hero 200-120 
a.C. 
Grécia 
Aquedutos Romanos -- 150 a.C. Roma 
Termas romanas -- 20 a.C. Roma 
Uso do vapor d’água David Ramsey/Thomas 
Savery 
1630/1698 Inglaterra 
Barômetro E. Torricelli 1643 Itália 
Compressor de ar Otto von Gueriche 1654 Alemanha 
Tubos de ferro fundido Johan Jordan 1664 França 
Bomba centrífuga Johan Jordan 1680 França 
Máquina a vapor Denis Papim 1690 França 
Bacia sanitária Joseph Bramah 1775 Inglaterra 
Turbina hidráulica Benoit Fourneyron 1827 França 
Prensa hidráulica S. Stevin/Joseph Bramah 1600/1796 Holanda/Inglaterra 
Emprego de hélice John Ericson 
Manilhas cerâmicas Francis 1846 Inglaterra 
Tubos de concreto armado J. Monier 1867 França 
Usina hidrelétrica --- 1882 Estados Unidos 
Turbina a vapor Ch. A. Parsons–De Laval 1884/1890 Inglaterra/Suécia 
Submarino J. P. Holland 1898 Estados Unidos 
Tubos de cimento amianto A. Mazza 1913 Itália 
Propulsão a jato Frank Whittle 1937 Inglaterra 
 
No Brasil: 
• Em 1879: o Imperador dom Pedro II concede à empresa norte-americana Edison 
Eletric Light Co. (de Thomas Edison) a instalação de iluminação elétrica na 
estação da Estrada de Ferro Pedro II. 
• Em 1885: uma usina hidrelétrica foi instalada para geral energia em Diamantina, 
com as águas do Ribeirão do Inferno, para utilização em mineração de diamantes. 
• Em 1889: Início da operação da Usina de Marmelos, primeira hidrelétrica do 
continente, idealizada pelo industrial mineiro Bernardo Mascarenhas, instalada no 
Lições de Hidráulica Básica 
 
5 
 
Rio Paraibuna (Zona da Mata em Juiz de Fora). As turbinas foram importadas dos 
Estados Unidos e o objetivo foi ampliar a produção de tecidos. 
 
• Em 1899: Criação da São Paulo Light, com a entrada de capital estrangeiro no 
setor elétrico brasileiro. 
• Em 1903: aprovação do primeiro texto de lei pelo Congresso Nacional, 
disciplinando o uso da energia elétrica no país. 
• Em 1905: criação da rio Light, do mesmo conglomerado financeiro da São Paulo 
Light. 
• Em 1940: Regulamentação da situação das usinas termelétricas do país, mediante 
incorporação às disposições do Código de Águas. 
• Em 1952: fundação da Centrais Elétricas de Minas Gerais - CEMIG. 
 
 Hoje, a água além de ser usada para fins domésticos e industriais, 
também é muito usada nas atividades agrícolas e pecuárias (crescentes áreas de 
irrigação), navegação, geração de energia, lazer e até mesmo para a deposição 
de rejeitos humanos e industriais. 
 Sob tal ponto de vista, a água torna-se uma preciosidade que deve ser 
preservada a qualquer custo. Existem previsões de que a falta de água será um 
grande problema para a humanidade, já que é um bem insubstituível na 
atividade humana. Basta lembrar que uma pessoa consome facilmente cerca de 
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6 
 
150 litros de água por dia, que se gastam 18 litros de água para produzir 1 litro 
de petróleo e até 270 litros de água para produzir 1 quilograma de aço ou 
mesmo 5 litros de água para produzir 1 litro da melhor cerveja. Da mesma 
forma, dados da FAO apontam para um gasto de 15 977 litros de água para 
produção de 1 kg de carne bovina, 5 096 litros de água para produção de 1 kg de 
carne suína, 2 828 litros de água para produção de 1 kg de carne de aves, 18.000 
litros de água para a produção de 1 kg de manteiga, 865 litros de água para 
produção de 1 kg de leite e 2 300 litros de água para produção de 1 kg de soja. 
Gasta-se de 160 a 200 litros de água para a produção de 1 m3 de concreto, 300 
litros de água para compactação de 1 m3 de aterro (dados da Revista 
Sustentabilidade). Estima-se que são gastos cerca de 25.000 litros de água na 
construção de uma casa popular de 36 m2 de área. Na Engenharia Civil, gasta-se 
água em diversas operações tais como, produção de concreto e argamassas, 
resfriamento e cura do concreto, lavagem de superfícies em geral, lavagem de 
formas utilizadas em estruturas de concreto, dentre outros. A construção civil 
pode consumir até 50% da água potável produzida em regiões urbanizadas. 
Assim, dá para notar que a água é um líquido economicamente importante. 
 A água está distribuída em mananciais de superfície e em mananciais 
subterrâneos. É daí que o homem retira a água de que necessita. Atualmente a 
quase totalidade das águas superficiais se encontram poluídas com resíduos 
humanos, industriais e com detergentes. Assim existe a obrigação de se 
construírem enormes estações de tratamento de água (ETA) para que seja 
possível a sua utilização pelo homem. 
 Todos esses aspectos apontam para uma disciplina no uso e uma 
preservação dos recursos hídricos existentes na face do planeta, acarretando a 
aplicação de enormes quantidades de dinheiro. 
 Como a água não se distribui uniformemente na superfície terrestre, as 
comunidades e as indústrias tendem a se desenvolver próximas às fontes de 
água, tais como os rios, lagos ou oceanos. 
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 Também existe uma falta de uniformidade temporal. Isso pode ser visto 
constatando que os rios têm seu volume reduzido na estiagem ou têm o seu 
volume aumentado no período chuvoso, provocando enchentes e obrigando o 
homem a construir grandes obras de regularização da água: diques, açudes, 
reservatórios ou barragens. 
 Para o Engenheiro Civil fica a responsabilidade de projetar obras para o 
controle e a distribuição de água. Assim ele estará envolvido com obras em 
portos, rios, canais, barragens, sistemas de irrigação, drenagem, sistemas de 
geração de energia, redes de abastecimento, redes de esgotos e de águas 
pluviais, tudo isso envolvendo o meio ambiente. Atualmente é tão importante 
essa modalidade de atuação profissional, que a Escola de Minas acaba de criar o 
curso de Engenharia Ambiental (curso criado em julho de 2000), no qual a 
principal preocupação é o relacionamento do homem com o meio ambiente. 
 A grande interface entre os assuntos relacionados à água e ao meio 
ambiente faz com que o Engenheiro Civil não trabalhe sozinho. Ele conta com a 
colaboração de economistas, advogados, arquitetos, contabilistas, geólogos, 
biólogos, químicos e de uma infinidade de outras especialidades, quando tem de 
realizar estudos, projetos ou mesmo a execução da grande maioria das obras 
hidráulicas. 
 É necessário preservar o meio ambiente e cabe ao Engenheiro Civil 
uma grande participação na melhoria do bem estar da humanidade, 
promovendo o aproveitamento racional dos recursos hídricos. 
 
1.1. Divisões da Hidráulica 
 
 Atualmente pode-se dividir a Hidráulica em Hidráulica Geral (ou Teórica) e 
Hidráulica Aplicada (ou Hidrotécnica). A Hidráulica Geral, divide-se, para efeitos de 
estudos, em Hidrostática e Hidrodinâmica. A Hidráulica Aplicada divide-se em 
Hidráulica Urbana (sistemas de abastecimento de água, esgotos sanitários, galerias de 
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águas pluviais e drenagem urbana), Hidráulica Rural ou Agrícola (irrigação e drenagem 
agrícola), Hidráulica Fluvial (rios e canais), Hidráulica Marítima (portos e obras 
marítimas), Instalações Hidráulicas Industriais e Técnica Hidrelétrica. 
 
Lições de Hidráulica Básica 
 
9 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Generalidades 
 Nos estudos da hidráulica, com freqüência, torna-se necessário realizar 
mudanças de unidades de grandezas físicas para adequá-las às equações ou leis 
envolvidas nos problemas. Tais mudanças decorrem, muitas vezes, de medidas 
realizadas por equipamentos fabricados em diversos países e que se encontram 
em uso no controle dos processos. Essas mudanças, quando feitas com 
freqüência, fazem uso de fatores de conversão estabelecidos previamente. 
Todavia, são inúmeros os fatores de conversão, de forma que a maneira mais 
correta e confiável é conhecer os sistemas de unidades e apenas as relações 
entre as grandezas fundamentais de cada sistema envolvido. 
 
2.1. As Grandezas Físicas 
 As grandezas físicas com as quais lidamos, sempre serão escritas em 
função de uma unidade e do número que expressa a magnitude dessa grandeza 
em relação à sua unidade. Assim, para toda grandeza física G, pode-se escrever: 
G = m(G).U(G) ………………………………….……..2.1 
onde m(G) é a medida da grandeza G e expressa o número de vezes que a 
grandeza é maior ou menor que a unidade utilizada para medir a grandeza, 
m(G). 
Lições de Hidráulica Básica 
 
10 
 
 As grandezas físicas possuem relação entre si, de forma que, em um 
sistema coerente de unidades, a relação existente entre uma grandeza física, G, 
que depende de outras grandezas físicas, G1, G2,..., Gn,, pode ser escrita, 
genericamente, por uma relação da forma: 
G = f(G1, G2, G3, ..., Gn) ..................................................2.2 
Para tratar corretamentecom todas as grandezas físicas que se 
relacionam na solução de um problema físico, é necessário escrever um 
conjunto de regras adequadas, formando um sistema de unidades. 
 
2.2. Sistemas de Unidades 
 Um sistema de unidades é formado pelo conjunto das unidades 
necessárias para descrever todas as grandezas físicas e por algumas regras de 
utilização. Ao longo dos anos, com o desenvolvimento da ciência, vários 
sistemas foram construídos, uns em uso até os dias de hoje e outros em desuso 
completamente. Ressalta-se que alguns dos sistemas mais utilizados na 
atualidade resultaram do aperfeiçoamento de outros sistemas já existentes. Os 
dois sistemas de unidades mais utilizados no momento são o Sistema 
Internacional de Unidades e o Sistema CGS, descritos mais à frente. O primeiro 
é o único sistema mundialmente reconhecido e recomendado para uso para 
expressar as grandezas físicas com as quais os engenheiros se deparam. Apesar 
disso, não raro encontramos unidades sendo medidas em sistemas diferentes 
desses, como é o caso da pressão. É comum expressar a pressão medida nos 
seres humanos em cm de Hg. Também é comum utilizar-se a lbf/pol2 (psi), 
corriqueiramente denominada apenas de libra, para medir a pressão do ar no 
interior dos pneus dos veículos. Estas unidades não pertencem a nenhum 
sistema coerente de unidades. Assim, no momento em que forem utilizadas nas 
equações físicas, elas precisam ser convertidas para o sistema de unidades que 
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11 
 
se está utilizando, daí a necessidade de se conhecer alguns detalhes dos sistemas 
de unidades. 
 Todo sistema de unidades deve ser construído sobre um conjunto de 
grandezas independentes entre si denominadas grandezas fundamentais e de um 
conjunto de grandezas dependentes entre si, denominadas grandezas derivadas. 
Assim, as unidades que expressam as grandezas fundamentais são 
convenientemente arbitradas, porém as unidades das grandezas derivadas não 
podem ser arbitradas e passam a ser conseqüência das grandezas fundamentais, 
das suas unidades e das relações de interdependência entre as grandezas. 
 Existem, basicamente, dois tipos de sistemas de unidades: aqueles que 
usam a massa como grandeza fundamental e os que usam a força como 
grandeza fundamental. A tendência moderna é de se usarem sistemas de 
unidades nos quais a massa é uma grandeza fundamental, devido à maior 
precisão ao se representar as grandezas derivadas. 
 Cinco sistemas de unidades são conhecidos, sendo que alguns deles já 
foram muito usados e outros estão em pleno uso atualmente. São eles o Sistema 
Internacional de Unidades, Sistema CGS, Sistema Inglês Absoluto, Sistema 
Técnico e Sistema Inglês Técnico. Os três primeiros pertencem à categoria dos 
sistemas que têm a massa como grandeza fundamental e os dois últimos são da 
categoria que consideram a força como grandeza fundamental. 
 Em 1960 a 11ª Conferência Geral sobre Pesos e Medidas do Sistema 
Internacional de Unidades adotou oficialmente esse sistema. O SI é um sistema 
de unidades completo e com recurso para escrever a unidade de qualquer 
grandeza que venha a ser definida, resultante da ampliação do antigo Sistema de 
Unidades MKS ou sistema métrico. O termo sistema métrico é usado devido ao 
fato da unidade de comprimento ser o metro e não o pé como ocorria nos 
sistemas de língua inglesa. 
Lições de Hidráulica Básica 
 
12 
 
 Em 1984, todo grande país do mundo, exceto os Estados Unidos, estava 
usando ou tinha oficialmente decidido usar o Sistema Internacional de Unidades 
(SI) como sistema oficial de medidas. O uso desse sistema de medidas levará à 
conversão de todas as medidas feitas em outros sistemas de unidades para as do 
SI. Os livros mais modernos, inclusive os de autores americanos já trazem as 
grandezas expressas em unidades do SI. Às vezes ainda trazem as unidades dos 
antigos sistemas entre parênteses, apenas por força do hábito. 
 Por questões práticas apenas serão relacionadas as grandezas usuais na 
mecânica, já que as demais grandezas são muito pouco usadas no curso de 
Hidráulica. 
 
2.2.1 - Sistema Internacional de Unidades 
 É o sistema mundialmente adotado para a medição das grandezas 
físicas. No Brasil é o sistema legal desde a década de setenta. No domínio da 
mecânica as suas grandezas fundamentais são: comprimento, massa, tempo e 
temperatura, além de outras não referenciadas nesse texto. Já as demais 
grandezas são derivadas. Exemplo de grandezas derivadas: velocidade, 
aceleração, força, pressão, viscosidade, energia, etc. 
 
Unidades das grandezas fundamentais 
a) Unidade de comprimento: metro cujo símbolo é m. 
 Inicialmente o metro foi definido como sendo o comprimento 
equivalente à décima milionésima parte de um quatro do meridiano terrestre que 
passa pela cidade de Greenwich na Inglaterra. Para materializar tal 
comprimento foi construída uma barra de platina e irídio, com uma seção 
transversal especial, em forma de “X”. Nessa barra foram feitas duas marcas 
distantes entre si de um comprimento exatamente igual a um metro. Esse padrão 
primário do metro permanece guardado no Bureau Internationel de Poids et 
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13 
 
Mesures, em Sèvres, França, até os dias de hoje. Note que a unidade ainda era a 
décima milionésima parte de um quarto do meridiano terrestre que passa pela 
cidade de Greenwich, embora o padrão fosse o comprimento gravado na barra 
de platina e irídio. Desse padrão foram feitas reproduções tanto mais fiéis 
quanto possível, denominados de padrão secundário e distribuídos pelo mundo 
inteiro. Quase todo órgão de peso e medida dos diversos países do mundo tem 
um padrão secundário. A partir desse padrão secundário foram feitas novas 
cópias denominadas de padrão terciário, originando os instrumentos de uso 
corrente na medição de comprimento. 
 Porém com o decorrer do tempo e o avanço da qualidade dos 
instrumentos de medição verificou-se que a definição original do metro não 
correspondia exatamente ao comprimento da barra de platina e irídio guardada 
no museu de Sèvres. O novo comprimento encontrado nas medições mais exatas 
revelou-se ligeiramente superior ao padrão. Assim gerou-se um impasse 
terrível: ou se mudava o padrão e procedia-se à correção de todas as medidas 
feitas até então ou se alterava a definição do metro. Assim optou-se pela última 
alternativa e o metro ganhou nova definição: o comprimento gravado na barra 
de platina e irídio guardada no museu de Sèvres em Paris. 
 Posteriormente, por questões estratégicas e de segurança, criou-se uma 
nova definição para o metro, que prevalece até os dias de hoje. O metro 
atualmente é definido como o comprimento equivalente a 1 650 763,37 vezes o 
comprimento de onda de uma radiação de cor laranja, do isótopo criptônio 86, 
na sua transição entre os estados 2p10 e 5d5. Dessa forma os laboratórios de 
física do mundo inteiro têm condição de reproduzir com certa facilidade a 
unidade de comprimento do SI, ou seja, o metro. 
 O que importa que o metro é hoje utilizado em todas as medidas oficiais 
de comprimento em praticamente todos os países do mundo. Ele foi dividido em 
partes menores para permitir a medição de pequenos comprimentos. Assim tem-
se o centímetro e o milímetro. 
Lições de Hidráulica Básica 
 
14 
 
 
b) Unidade de massa: quilograma cujo símbolo é kg 
 O quilograma é definido como a quantidade de matéria contida em um 
determinado cilindro de platina, com dimensões adequadamente definidas, 
guardado no museu de Sèvres em Paris. Pretendia-se que esse cilindro tivesse a 
mesma massa de 0,001 m3 de água pura a 4 ºC. Esse cilindro foi o mesmo que 
serviu à definição da unidade de força do Sistema Técnico de Unidades, 
denominada de quilograma-força. Dele fizeram-se cópias que representam os 
padrões secundários da unidade de massa. 
 
c) Unidade de tempo: segundo cujo símbolo é s. 
 Essa unidade de tempofoi inicialmente definida em relação ao dia solar 
médio. O segundo era definido como o tempo médio que a terra leva para dar 
uma rotação completa sobre o seu eixo dividido por 86400. Também devido à 
imprecisões, essa unidade foi novamente definida, passando a ser o tempo 
correspondente a 9 182 631 770 vezes o período de uma certa radiação emitida 
pelo Césio 133. Tal definição foi completamente adotada na 13ª Conferência 
Geral de Pesos e Medidas de 13 de outubro de 1967. Essa base de tempo pode 
ser facilmente reproduzida em laboratório, permitindo a comparação precisa de 
certo tempo com o padrão. 
 
d) Unidade de temperatura: Kelvin cujo símbolo é K. 
 O Kelvin foi definido a partir do ponto tríplice da água (273,15 K) e do 
ponto de evaporação da água pura às condições normais de pressão (373,15 K). 
Esse intervalo foi dividido em 100 partes iguais e a cada uma destas partes 
definiu-se como 1 K. 
 
Lições de Hidráulica Básica 
 
15 
 
Unidades das Grandezas Derivadas 
 Em um sistema coerente de unidades, a relação existente entre as 
grandezas físicas também prevalece entre suas unidades. Assim se existir uma 
relação entre a grandeza física, G e outras grandezas físicas G1, G2,..., Gn, da 
forma da equação 2.2, existirá uma relação análoga entre as unidades da 
grandeza física G e as grandezas físicas Gi, tal que: 
U(G) = f[U(G1), U(G2), U(G3),...,U(Gn)] …………………………..2.3 
 Como exemplo pode-se citar o caso da velocidade, definida como sendo 
a relação entre o espaço e o tempo. Assim, como V = e/t, podemos escrever que 
U(V) = U(e)/U(t). No SI, tem-se: 
 U(V) = m/s = ms-1. 
 Para a aceleração que é definida como sendo a variação da velocidade 
com o tempo, a = ∆V/∆t, tem-se: U(a) = U(∆V)/U(∆t). Logo 
 U(a) = m/s/s ou U(a) = m/s2 = ms-2. 
 Para o caso da força, nesse sistema considerada uma grandeza derivada, 
a segunda lei de Newton permite escrever a seguinte relação: 
F = m.a � U(F) = U(m).U(a). 
 Assim, U(F) = kg.m/s2. A essa unidade foi dado o nome de newton em 
homenagem a Isaac Newton, convencionando-se que o seu símbolo seria N. 
Logo 1 N é a força que aplicada a uma massa de 1 quilograma provoca nela uma 
mudança de velocidade de 1 m/s a cada s. Então 
 1 N = 1 kg.m/s2. 
 A pressão também é uma das grandezas derivadas, cuja unidade pode 
ser facilmente encontrada no SI. Como pressão é a relação entre uma força 
normal e a área na qual ela atua, podemos dizer que: p = Fn/A. Logo U(p) = 
U(Fn)/U(A). Escrevendo em função das unidades das grandezas fundamentais 
teremos: 
Lições de Hidráulica Básica 
 
16 
 
 U(p) = N/m2. Tal unidade foi denominada de pascal, e a ela foi 
reservado o símbolo Pa. Com isso pode-se escrever que: 
 U(p) = N/m2 = Pa 
 De uma maneira análoga é possível escrever todas as unidades das 
demais grandezas derivadas. Na tabela 02 estão resumidas algumas das 
principais grandezas físicas que aparecem nos estudos da Hidráulica, bem como 
as suas unidades correspondentes no Sistema Internacional de Unidades. 
 
 Tabela 02 – Exemplos de algumas grandezas físicas derivadas. 
Grandeza Física Notação Unidade Símbolo 
Área A m2 -- 
Volume Vol m
3 -- 
Velocidade V m/s -- 
Aceleração a m/s2 -- 
Força F kg.m/s2 N 
Pressão p N/m2 Pa 
Massa específica ρ kg/m3 -- 
Peso específico γ N/m3 -- 
Energia E N.m J 
Vazão Q m3/s -- 
Vazão em massa m& kg/s -- 
Viscosidade µ kg/m/s Pa.s 
Viscosidade cinemática ν m2/s -- 
Potência P N.m/s W 
 
 
2.2.2 - Sistema de Unidades CGS 
 O sistema de unidades que ficou conhecido como CGS possui 
grandezas fundamentais com unidades pequenas, de forma que as medidas das 
grandezas usuais são expressas por números mais adequados. As suas grandezas 
fundamentais são comprimento, massa, tempo e temperatura. As grandezas 
derivadas são, velocidade, aceleração, força, pressão, viscosidade, energia, 
Lições de Hidráulica Básica 
 
17 
 
dentre outras. A seguir relaciona-se as unidades das grandezas fundamentais, no 
domínio da mecânica. 
a) Unidade de comprimento: foi denominada de centímetro, cujo símbolo é cm, 
tendo sido definida tal que um centímetro vale 10-2 m. 
b) Unidade de massa: foi denominada de grama, cujo símbolo é g, tendo sido 
definida como sendo a milésima parte do quilograma (10-3 kg). 
c) Unidade de tempo: foi definida, como nos demais sistemas, e denominada de 
segundo, cujo símbolo é s. O segundo é a mesma unidade de tempo do SI. 
d) Unidade de temperatura: foi denominada de grau Celsius, cujo símbolo é ºC, 
tendo sido definida em relação ao ponto de fusão do gelo (0,15ºC) e o ponto de 
vaporização da água à condições normais de temperatura e pressão (100,15ºC). 
O intervalo entre ambas as temperaturas foi dividido em 100 partes e a cada 
parte corresponde um grau Celsius, à semelhança do grau Kelvin. 
 Nesse sistema, para as grandezas físicas derivadas temos as seguintes 
unidades: 
 U(V) = cm/s 
 U(a) = cm/s2 
 U(F) = g.cm/s2 = dyna cuja abreviatura é dyn. Nesse caso pode-
se ver que 1 dyna é equivalente a 10-5 N. 
 U(p) = dyna/cm2 = bária. Pode-se deduzir que 1 bária eqüivale 
a 0,1 Pa. 
 
2.2.3 - Sistema Inglês Absoluto 
 
 Grandezas fundamentais: comprimento, massa, tempo e temperatura. 
 Grandezas derivadas: velocidade, aceleração, força, pressão, 
viscosidade, energia, etc. 
Lições de Hidráulica Básica 
 
18 
 
 
Unidades das grandezas fundamentais: 
a) Unidade de comprimento: pé (foot) cujo símbolo é ft. 
 1 ft = 0,3048 m 
b) Unidade de massa: libra cujo símbolo é lb 
 1 lb = 0,45359 kg. Valor correto: 1 lb = 0,45359237 kg 
c) Unidade de tempo: segundo cujo símbolo é sec. 
 O segundo é a mesma unidade de tempo do SI. 
 
d) Unidade de temperatura: grau Rankine cujo símbolo é R. 
 O grau Rankine é definido em relação ao ponto de fusão 
do gelo (491.67 R) e o ponto de vaporização da água nas condições normais de 
temperatura e pressão (671,67 R). O intervalo entre ambas as temperaturas foi 
dividido em 180 partes iguais e a cada parte corresponde um grau Rankine. 
 Para as grandezas físicas derivadas temos: 
 U(V) = ft/sec 
 U(a) = ft/sec2 
 U(F) = lb.ft/sec2 = poundal cuja abreviatura é pdl. Nesse caso 
pode-se ver que 1 pdl é equivalente a 0,138257 N. 
 U(p) = pdl/ft2 . Pode-se deduzir que 1 pdl/ft2 eqüivale a 
1,48819 Pa. 
 
2.2.4 - Sistema Técnico 
 Grandezas fundamentais: comprimento, força, tempo e temperatura. 
 Grandezas derivadas: velocidade, aceleração, massa, pressão, 
viscosidade, energia, etc. 
Lições de Hidráulica Básica 
 
19 
 
 
Unidades das grandezas fundamentais: 
a) Unidade de comprimento: metro cujo símbolo é m. 
 Essa grandeza é a mesma definida no SI. 
 
b) Unidade de Força: quilograma-força cujo símbolo é kgf. 
 O quilograma-força foi definido como a força com que a terra atrai o 
cilindro de platina que mais tarde foi usado para definir a unidade de massa do 
SI, ao nível do mar e na cidade de Greenwich. Dele não adianta muito fazer 
cópias par uso local já que as condições da gravidade muda de local para local 
na superfície terrestre. A variação não é muito apreciável, mas a pequena 
diferença serviu para alimentar muitas discussões entre físicos e engenheiros ao 
longo dos tempos. Atualmente, devido a essa nuance, o sistema técnico de 
unidades está em franco desuso. 
 Nas condições padrão, a aceleração da gravidade vale g = 9,80665 m/s2. 
Devido ao fato de que a massa contida no cilindro de platina ser o quilograma e 
sabendo que no local padrão a força com que a terra atrai essa massa é o 
quilograma-força, a segunda lei de Newton permite escrever a relação: Peso = 
m.g. 
 1 kgf = 1 kg . 9,80665 m/s2. Daí pode-se saber que 1 kgf = 9,80665 N. 
Essa relação às vezes , por questões de simplicidade é escrita como 1 kgf = 9,81 
N ou até mesmo 1 kgf = 9,8 N. Durante o nosso curso de Hidráulica usaremos a 
relação abaixo: 
 1 kgf = 9,807 N 
 
c) Unidade de tempo: segundo cujo símbolo é s. 
 Essa unidade de tempo éa mesma do SI 
Lições de Hidráulica Básica 
 
20 
 
 
d) Unidade de temperatura: grau Celsius cujo símbolo é ºC. 
 Essa unidade é a mesma do sistema CGS. 
 
Unidades das Grandezas Derivadas: 
 Devido à escolha da força para ser uma grandeza física fundamental, a 
massa passa a ser uma grandeza física derivada. Da segunda lei de Newton é 
possível obter: 
 m = F/a � U(m) = U(F)/U(a). 
 Assim, U(m) = kgf/(m/s2) = kgf.s2/m. Tal unidade é conhecida pelo 
nome de unidade técnica de massa e abreviada por utm. Decorre da definição 
que 1 utm = 9,80665 kg. 
 A velocidade e a aceleração têm as mesmas unidades que no SI. 
 A pressão, grandeza derivada, nesse sistema de unidades também é a 
relação entre uma força normal e a área na qual ela atua. Como p = Fn/A, tem-se 
que U(p) = U(Fn)/U(A). Escrevendo em função das unidades das grandezas 
fundamentais teremos: 
 U(p) = kgf/m2. Tal unidade, além de ser muito pouco usada, não teve 
denominação específica nesse sistema de unidades. É possível, partindo das 
unidades fundamentais estabelecer a relação: 
 U(p) = 1 kgf/m2 = 9,80665 N/m2 = 9,80665 Pa 
 Nesse curso utilizaremos com freqüência a relação 1 kgf/m2 = 9,807 Pa. 
Observação: Há uma tendência entre os alunos desavisados de confundir o kg 
com o kgf. Entretanto deve-se observar que se trata de duas grandezas 
diferentes, com unidades de sistemas de unidades diferentes. Portanto não há 
possibilidade de confusão. Deve-se ressaltar que os livros que adotam o sistema 
técnico de unidades abreviam o quilograma-força por kg ou até mesmo kgp. 
Lições de Hidráulica Básica 
 
21 
 
Entretanto não haverá risco de confusão já que nesse sistema adotado não existe 
o quilograma definido como unidade de massa. Aqui a unidade de massa é a 
utm. A confusão aparece quando são considerados diversos sistemas. Deve-se 
ressaltar que tal confusão é cometida em vários artigos científicos e, até mesmo, 
em alguns livros. Com um pouco de cuidado o leitor poderá perceber quando o 
kg está representando o quilograma-força ou a unidade de massa do SI. 
 
2.2.5 - Sistema Inglês Técnico 
 Grandezas fundamentais: comprimento, força, tempo e temperatura. 
 Grandezas derivadas: velocidade, aceleração, massa, pressão, 
viscosidade, energia, etc. 
 
Unidades das grandezas fundamentais: 
a) Unidade de comprimento: pé (foot) cujo símbolo é ft. 
 Essa grandeza é a mesma definida no Sistema Inglês Absoluto. 
b) Unidade de Força: libra-força cujo símbolo é lbf. 
 A libra-força foi definida como a força com que a terra atrai o cilindro 
de platina que definiu a unidade de massa do Sistema Inglês Absoluto, ao nível 
do mar e na cidade de Greenwich. Essa unidade padece dos mesmos defeitos da 
unidade de força do Sistema Técnico. 
 1 lbf = 0,45359237 kgf 
c) Unidade de tempo: segundo (second) cujo símbolo é sec. 
 Essa unidade de tempo é a mesma do SI 
d) Unidade de temperatura: grau Farenheit cujo símbolo é ºF. 
 Essa unidade é definida também com relação aos pontos de fusão e de 
ebulição da água. À temperatura de fusão da água atribuiu-se 32 ºF e à de 
Lições de Hidráulica Básica 
 
22 
 
ebulição atribuiu-se 212 ºF. O intervalo entre ambas foi dividido em 180 partes 
iguais, sendo cada parte correspondente a um grau Farenheit (ºF). 
 
Unidades das Grandezas Derivadas: 
 Da mesma forma que no Sistema Técnico, escolheu-se a força para ser 
uma grandeza física fundamental. Logo a massa passa a ser uma grandeza física 
derivada. Da segunda lei de Newton é possível obter: 
 m = F/a � U(m) = U(F)/U(a). 
 Assim, U(m) = lbf/(ft/s2) = lbf.s2/ft. Tal unidade é conhecida pelo nome 
de slug. Decorre da definição que 1 slug =1,48816 utm = 14,5939 kg. 
 A velocidade e a aceleração têm as mesmas unidades que no Sistema 
Inglês Absoluto. 
 A pressão, grandeza derivada, nesse sistema de unidades também é a 
relação entre uma força normal e a área na qual ela atua. Como p = Fn/A, tem-se 
que U(p) = U(Fn)/U(A). Escrevendo em função das unidades das grandezas 
fundamentais teremos: 
 U(p) = lbf/ft2. Tal unidade, além de ser muito pouco usada, não teve 
denominação específica nesse sistema de unidades. É possível, partindo das 
unidades fundamentais, estabelecer a relação: 
 U(p) = 1 lbf/ft2 = 4,8825 kgf/m2 = 47,88106 Pa. 
 
Regra geral: 
 No uso de grandezas físicas em equações algébricas devemos 
obedecer a certas regras para que as unidades tenham consistência em um 
sistema coerente de unidades. 
Regra 1: As dimensões das grandezas nos dois lados da equação devem ser as 
mesmas, a menos que seja uma equação empírica. 
Lições de Hidráulica Básica 
 
23 
 
Regra 2: Pode-se somar ou subtrair apenas grandezas físicas que tenham as 
mesmas dimensões. 
Regra 3: A multiplicação ou divisão de grandezas físicas é possível desde que o 
produto ou o quociente resultante seja o produto ou o quociente das 
dimensões envolvidas. 
 
2.2.6 – Caso de grandeza física de valor muito elevado ou muito 
pequeno 
 
Quando tratarmos de grandezas físicas expressas por medida muito grande ou 
eventualmente muito pequena, é aconselhável o uso de prefixos para tornar os números 
mais adequados à escrita. A tabela 03 ilustra os prefixos atualmente em uso. 
 Tabela 03 – Prefixos usados como multiplicadores das unidades 
Prefixo Símbolo Multiplicador 
tera T 1012 
giga G 109 
mega M 106 
quilo k 103 
hecto h 102 
deca da 101 
deci d 10-1 
centi c 10-2 
mili m 10-3 
micro µ 10-6 
nano n 10-9 
pico p 10-12 
femto f 10-15 
atto a 10-18 
 
 Assim, 1MPa significa 106 Pa, 1mm representa 10-3 m e 1 kN representa 103 N. 
 
 
 
Lições de Hidráulica Básica 
 
24 
 
2.2.7 – Exercícios de Aplicação 
 
1. Baseado nos princípios dos sistemas de unidades, calcular o valor das 
seguintes grandezas físicas no Sistema Internacional de Unidades (SI): 
 a) µ = 1,05 cPo b) p = 30 psi 
 c) p = 50 pdl/ft2 d) ρ = 350 slug/ft3 
Lembrete: 1 cPo = 10-2 Po; 1 lbf = 0,4536 kgf; 1 kgf = 9,80665 N; 1 pol = 2,54 
cm e 1 ft = 0,3048 m. 
 
SOLUÇÃO: 
 a) µ = 1,05 cPo = 1,05 x 10-2 Po = 1,05 x 10-2 dyn.s/cm2 = 1,05 x 10-2 
g.cm.s2.s/cm2 
 µ = 1,05 x 10-2 g./(cm.s) = 1, 05 x 10-2 x 10-3 kg./(10-2 m.s) = 1,05 x 10-3 
kg./(m.s) 
 µ = 1,05 x 10-3 kg.m.s/(m.m.s.s) = 1,05 x 10-3 N.s/m2 = 0,00105 Pa.s 
 Finalmente, tem-se que: µ = 0,00105 Pa.s 
 
 b) p = 30 psi = 30 lbf/pol2 = 30 x 0,4536 kgf / (2,54 cm)2 = 30 x 0,4536 
x9,80665 N / (2,542 cm2) 
 p = 30 x 0,4536 x9,80665 / 2,542 N / (10-2 m)2 = 30 x 0,4536 x9,80665 
/ 2,542 x 10-4 N / m2. 
 Finalmente: p = 206 846,2 Pa 
 
 c) p = 50 pdl/ft2 
Lembrete: pdl é unidade de força do Sistema Inglês Absoluto e, portanto, vale 
lb.ft/s2, considerando a segunda Lei de Newton (F = m.a). 
Lições de Hidráulica Básica 
 
25 
 
 p = 50 lb.ft/s2/ft2 = 50 lb/ft/s2 = 50 x 0,4536 kg/(0,3048 m)/s2 = 74,409 
kg/m/s2. 
 p = 74,409 kg.m/s2/m2 = 74,409 N/m2 
 Finalmente, p = 74,409 Pa 
 
 d) ρ = 3,50 slug/ft3 
Lembrete: slug é a unidade de massa do Sistema Inglês Técnico, logo 1 
slug = 1 lbf / (ft / s2) ou 1 slug = 1 lbf . s2 / ft. 
ρ = 3,50 lbf . s2 / ft4 = 3,50 x 0,4536 kgf . s2 / (0,3048 m)4 
ρ = 3,50 x 0,4536 x 9,80665/0,30484 N.s2/m4 = 1 803,86 kg.m.s-2.s2/m4. 
 Finalmente: ρ = 1 803,86 kg/m3. 
 
2. 
 
 
3.2.8 – Exercícios 
 
1. A viscosidade de um dado óleo é 5,0 Poise. Sabendo que o Poise é a unidade 
de viscosidade do sistema CGS e que vale 1 dyna.s/cm2, determine o seu valor 
em unidades do Sistema Internacional. 
 
2. Calcular o valor de uma pressão igual a 1 lbf/pol2 em unidades do Sistema 
Internacional e em hPa. 
 
 
 
Lições de Hidráulica Básica 
 
26 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.3 - Propriedades Físicas dos fluidos 
 
 Ao estudar os fluidos, devemos construir equações que descrevem o seu 
movimento. Tais equações serão mais simplificadas quando forem escritas usando 
propriedades físicas dos fluidos e, principalmente, aquelas propriedadesque 
independem da massa. As propriedades físicas dos fluidos, em última análise, são os 
meios usados para caracterizar esse fluido. 
 
a) Massa específica 
 A massa específica, na língua inglesa denominada de density, é definida como 
a massa contida em uma unidade de volume do fluido. Matematicamente, podemos 
calcular a massa específica através da relação entre a massa do fluido e o volume por ele 
ocupado. Assim, sendo m a massa de um fluido e V o seu volume, por definição, a 
massa específica, ρ, será: 
 
V
m=ρ 
 
Lições de Hidráulica Básica 
 
27 
 
 Tal relação pressupõe que o fluido seja homogêneo, isto é, qualquer porção do 
fluido que se considere tem sempre a mesma relação entre a massa e o volume. Todavia 
isso nem sempre acontece, pois podem existir problemas envolvendo fluidos que não 
sejam homogêneos ou fluidos em que a massa específica varia de ponto para ponto 
dentro da massa fluida, o que exige uma definição mais precisa e que considere essas 
variações. Nesse caso, é necessário fazer a relação entre uma porção de massa muito 
pequena, ∆m e o seu volume correspondente, ∆V. Assim, de forma mais precisa, diz-se 
que a massa específica ρ é definida pelo limite: 
V
m
V ∆
∆=
→∆ 0
limρ 
 
 Observando esse limite, podemos verificar que se trata exatamente da definição 
de derivada da função m em relação ao volume V. Assim, na prática, a massa específica 
é calculada pela seguinte relação: 
dV
dm=ρ 
 
 Diz-se que a massa específica é a derivada da massa em relação ao volume ou, 
em termos práticos, é a taxa de variação da massa com o volume. Deve-se observar que 
a massa específica é uma grandeza absoluta pois apenas depende da massa contida em 
um certo volume de fluido. 
 Essa relação é muito importante, quando se conhece a massa específica e 
deseja-se calcular a massa total de um fluido. Da expressão acima podemos escrever: 
 
 ∫=∴= V dVmdVdm ρρ . 
 
 Sabendo como a massa específica varia com o volume, a integral acima pode 
ser avaliada para obter a massa total de fluido contida no volume V. Essa equação será 
muito usada no estabelecimento das equações de previsão dos escoamentos em 
Hidráulica. 
Lições de Hidráulica Básica 
 
28 
 
 
Unidades: 
 As unidades da massa específica decorrem da própria definição, o que, em um 
sistema coerente de unidades, pode ser escrito como: 
 
U(ρ) = U(m) / U(V) 
 
No SI, a unidade de ρ é kg/m3; no sistema CGS é g/cm3; no sistema Inglês Absoluto é 
lb/ft3; no sistema Inglês Técnico é slugg/ft3 e, finalmente, no sistema Técnico é utm/m3. 
 A massa específica dos líquidos em geral decresce com o aumento de 
temperatura, exceto para a água na faixa entre 0ºC e 4oC, quando se verifica um 
aumento de ρ com a temperatura. Para os gases a massa específica diminui com o 
aumento da temperatura, mantendo-se a pressão constante. 
 Apesar da massa específica dos fluidos aumentar conforme se aumenta a 
pressão os líquidos apresentam uma variação muito pequena, quase imperceptível. 
Tanto é assim que os líquidos são considerados fluidos incompressíveis. Ao contrário, a 
mudança da massa específica coma a pressão nos gases é bastante acentuada. 
 A água pura a 4oC tem a massa específica exatamente igual a 1 000,00 kg/m3. 
Já a 20oC, a sua massa específica é de 998,23 kg/m3. O mercúrio metálico tem a sua 
massa específica a 0oC igual a 13 595,1 kg/m3 e a 20oC igual a 13 545,8 kg/m3. 
Observar que a variação não é grande, porém ela ocorre. O valor exato da massa 
específica da água a 4oC concorreu para se estabelecer a água como padrão para 
relacionar as demais substâncias, através da densidade que será definida adiante. 
 A tabela 04, dada a seguir, mostra os valores da massa específica da água e do 
mercúrio a diversas temperaturas. Para a água é possível ajustar uma equação aos dados 
da massa específica (kg/m3) e temperatura (ºC) com resultados excelentes na faixa entre 
0ºC a 40ºC e satisfatórios entre 40 e 95 ºC. A equação encontrada é: 
( ) ( )
( )26,6757,503
28398,3
1000
2
+
+−−=
T
TT
agρ 
Lições de Hidráulica Básica 
 
29 
 
 
Tabela 04 - Massa específica da água e do mercúrio, em função 
da temperatura. 
Temp. 
ºC 
Água 
(kg/m3) 
Mercúrio 
(kg/m3) 
Temp. 
ºC 
Água 
(kg/m3) 
Mercúrio 
(kg/m3) 
0 999,867 13595,1 20 998,232 13545,8 
1 999,927 13592,6 21 998,021 13543,4 
2 999,968 13590,1 22 997,799 13540,9 
3 999,992 13587,7 23 997,567 13538,5 
4 1000,000 13585,2 24 997,326 13536,0 
5 999,992 13582,7 25 997,074 13533,6 
6 999,968 13580,3 26 996,813 13531,1 
7 999,930 13577,8 27 996,542 13528,7 
8 999,876 13575,4 28 996,262 13526,2 
9 999,809 13572,9 29 995,974 13523,8 
10 999,728 13570,4 30 995,676 13521,3 
11 999,633 13568,0 31 995,369 13518,9 
12 999,525 13565,5 32 995,054 13516,4 
13 999,404 13563,0 33 994,731 13514,0 
14 999,271 13560,6 34 994,399 13511,6 
15 999,127 13558,1 35 994,059 13509,1 
16 998,970 13555,7 36 993,712 13506,6 
17 998,802 13553,2 37 993,357 13504,2 
18 998,623 13550,7 38 992,994 13501,8 
19 998,433 13548,3 39 992,623 13499,4 
20 998,232 13545,8 40 992,246 13496,9 
Acima de 40 ºC: 
50 988,07 60 983,24 
70 977,81 80 971,83 
90 965,34 100 958,38 
 
 
 Para o mercúrio, uma equação do primeiro grau ajusta-se muito bem os dados 
na faixa de 0ºC a 40ºC. Essa equação é: 
T454529813594Hg ,, −=ρ 
 
Lições de Hidráulica Básica 
 
30 
 
b) Peso Específico 
 O peso específico, denominado de specific weight, é definido como sendo o 
peso da unidade de volume de um fluido. Assim, ele representa a força exercida pela 
atração gravitacional da terra sobre a unidade de volume do fluido. A relação 
estabelecida, em que P é o peso de fluido contido no volume V, é a seguinte: 
 
V
P=γ 
 Tal relação pressupõe que o fluido seja homogêneo, isto é, qualquer porção do 
fluido que se considere tem sempre a mesma relação entre o peso e o volume. Quando o 
fluido não é homogêneo, diz-se que o peso específico γ é definido pelo seguinte limite: 
V
P
V ∆
∆=
→∆ 0
limγ 
Nesse limite, ∆P é o peso de fluido contido no volume ∆V. À semelhança do ocorrido 
com a massa específica, usa-se, na prática, a seguinte relação para calcular o peso 
específico: 
dV
dP=γ 
 
Diz-se que o peso específico é a derivada do peso em relação ao volume ou, em termos 
práticos, é a taxa de variação do peso com o volume. 
 Essa relação é de fundamental importância quando se deseja conhecer o peso 
total de um fluido. A expressão acima permite escrever: 
 
∫=∴= V dVPdVdP γγ . 
 
Unidades: 
 As unidades de peso específico podem ser determinadas em um sistema 
coerente de unidades através da relação: 
Lições de Hidráulica Básica 
 
31 
 
U(γ) = U(P) / U(V) 
No SI, a unidade de γ é N/m3; no sistema CGS é dyn/cm3; no sistema Inglês Absoluto é 
pdl/ft3; no sistema Inglês Técnico é lbf/ft3 e, finalmente, no sistema Técnico é kgf/m3. 
 
 A água pura a 4oC tem o peso específico ao nível do mar igual a 9 806,65 N/m3 
ou, aproximadamente 9 807 N/m3. Os engenheiros usaram muito o valor 1000 kgf/m3. O 
mercúrio metálico tem a sua massa específica a 0oC igual a 133 322,4 N/m3. 
 Da definição de peso específico decorre uma relação muito usual que permite o 
cálculo do peso específico caso se conheça a massa específica e vice-versa. A segunda 
lei de Newton permite escrever o peso de certa massa dm como sendo: 
g
dV
gdm
gdmdP ργγ =∴=∴= .. . 
 
 Ao contrário da massa específica, o peso específico não é uma grandeza 
absoluta, visto que depende do valor da aceleração da gravidade local, função da 
posição na superfície terrestre. 
 A aceleração da gravidade varia com a latitude e com a altitude do local onde 
está sendo observada. A variação com a latitude está dada na tabela 05. 
 
 
Tabela 05 - Aceleração da gravidade, go ao nível do mar. 
Latitu-
de (°) 
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 
go 
(m/s2) 
9,780 9,782 9,786 9,793 9,802 9,811 9,819 9,826 9,831 9,832 
 
 Com a altitude, z, a aceleração da gravidade pode seravaliada pela equação: 
2






+
=
zR
R
gg o 
Lições de Hidráulica Básica 
 
32 
 
Nessa equação, R é o raio da terra e go a valor da aceleração da gravidade na latitude do 
local, conforme tabela 05. 
 
 
c) Volume específico 
 Por definição o volume específico é o volume ocupado por uma unidade de 
massa do fluido: 
dm
dV
vs = ou m
V
vs = 
 A comparar com a definição de massa específica, vê-se que essa grandeza 
física pode ser determinada por uma relação mais usual: 
ρ
1=sv 
 O volume específico é comumente usado ao tratar do equacionamento do 
movimento dos gases, sendo medido em m3/kg no Sistema Internacional de Unidades. 
 
 
d) Densidade 
 A densidade de um fluido, d, denominada de specific gravity na língua inglesa, 
é definida pela relação entre a massa de um dado volume do fluido e a massa de um 
mesmo volume de água pura a 4oC. Depreende-se dessa definição que a densidade é um 
número puro ou uma grandeza adimensional. Alguns autores teimam em chamá-la de 
densidade relativa para diferenciar da massa específica à qual chamam de densidade 
absoluta. Entretanto denominando essa grandeza apenas de densidade, não corremos o 
risco de provocar dubiedades. 
 Como a massa de um volume de um dado fluido pode ser escrita como sendo 
m = ρ.V e a massa do mesmo volume de água pura a 4oC pode ser escrito como 
ma = ρoV, tem-se: 
Lições de Hidráulica Básica 
 
33 
 
ooVa
V d
V
V
d
m
m
d
ρ
ρ
ρ
ρ =∴=∴= 
Tal expressão mostra que podemos calcular a densidade de um fluido através da relação 
entre a sua massa específica, ρ, e a massa específica da água pura a 4oC, ρo. 
 Devido à relação entre a massa específica e o peso específico, podemos, ainda, 
se for conveniente, calcular a densidade de um fluido como sendo a relação: 
o
d
γ
γ= 
Nessa relação, γ é o peso específico do fluido considerado e γo é o peso específico da 
água pura a 4oC. 
 Como exemplo, podemos citar a densidade do mercúrio a 0oC. Ela vale d = 
13,5951, já que a sua massa específica a 0oC é 13 595,1 kg/m3 e a massa específica da 
água padrão é 1 000,00 kg/m3. A densidade da água a 20oC é igual a 0,9982. 
 
e) Compressibilidade 
 Os fluidos são mais ou menos compressíveis, dependendo da sua natureza. 
Constata-se que os gases são bastante compressíveis ao passo que os líquidos são pouco 
compressíveis. Assim, na realidade não existe um fluido completamente incompressível. 
Por aproximação trataremos os líquidos como fluidos incompressíveis, mesmo sabendo 
eles mudam muito pouco de volume quando sujeitos a elevadas pressões. Considera-se 
um fluido incompressível quando alterações na pressão provocam uma variação 
desprezível na massa específica. Uma evidência clara da compressibilidade dos líquidos 
reside no fato de que uma perturbação na pressão viaja com uma certa velocidade no 
seu interior. As ondas sonoras são decorrentes de uma variação de pressão. Elas viajam 
nos líquidos com uma velocidade bem definida. 
 Mesmo os gases, quando submetidos a variação de pressão tal que a sua massa 
específica altera muito pouco, podem ser considerados como fluidos incompressíveis. É 
o caso do escoamento de ar em sistemas de ventilação de prédios. 
Lições de Hidráulica Básica 
 
34 
 
 A compressibilidade é a propriedade que os fluidos têm de alterar o seu volume 
devido a uma alteração na pressão a que estão submetidos. A variação de volume 
relativa que um fluido sofre ao ser submetido a uma variação de pressão é escrita como 
sendo ∆V/V, onde ∆V é a variação de volume sofrida e V o volume inicial. Se essa 
variação relativa de volume é devida a uma variação ∆p da pressão, define-se o módulo 
de elasticidade volumétrica E como sendo a relação: 
V
V
p
E
∆
∆−= ou 
V
p
VE
∆
∆−= 
 O sinal negativo decorre do fato de se pretender valores de E sempre positivos 
e do fato de que haverá uma variação inversa entre a pressão e a variação de volume. Se 
aumentarmos a pressão o volume diminui e vice-versa. 
 Mais precisamente devemos definir E como sendo o caso limite da relação 
∆p/∆V, quando ∆V tender para zero. Nesse caso tem-se: 
dV
dp
VE −= 
Nesta equação V é o volume inicial, dp é a variação elementar de pressão que causou a 
variação de volume, dV, também elementar. 
 Como a variação relativa de volume é uma grandeza adimensional, nota-se que 
as unidades de E são as mesmas da pressão. Assim, E é medido em N/m2, dyn/cm2, 
kgf/m2, etc. 
 O módulo de elasticidade volumétrica é análogo ao módulo de elasticidade 
definido para os sólidos. A diferença é que o primeiro é definido com base na variação 
de volume, ao passo que o segundo é definido com base na relação unidimensional da 
tensão-deformação dos corpos sólidos. 
 Como m = ρV = const., diferenciando, tem-se: dm = ρ.dV+ V.dρ =0. Logo -
dV/V = dρ/ρ. Assim, substituindo essa relação na equação de E dada acima, chega-se a: 
ρ
ρ
d
dp
E = 
Lições de Hidráulica Básica 
 
35 
 
 Dessa equação pode-se tirar uma importante relação muito usada para calcular 
a taxa de variação da pressão com a massa específica: 
ρρ
E
d
dp = 
 A expressão acima pode ser posta sob a forma 
E
dpd =
ρ
ρ
 e integrada para 
obter: 
∫∫ =




 p
poo E
dpdρ
ρ ρ
ρ ou 
E
pp o
o
−
=)ln(
ρ
ρ
. 
 
Para os líquidos, observando que a variação é pequena, a última equação pode ser 
aproximada pela equação 
E
pp o
o
o −=−
ρ
ρρ . 
Finalmente, esta equação pode ser re-escrita na forma: 
( )


 −+= oo ppE
1
1ρρ 
Esta equação pode ser usada para previsão de novos valores da massa específica quando 
um líquido for submetido a um aumento de pressão p – po, desde que se conheça o 
módulo de elasticidade volumétrico do líquido. Considerando-se a água como fluido 
incompressível, despreza-se a segunda parcela dentro dos colchetes na equação anterior, 
o que permite concluir que ρ = ρo. 
 Na realidade constata-se que E varia com a pressão e com a temperatura no 
caso dos fluidos. Para os líquidos tal variação é muito menor. Assim é que os gases têm 
um valor de E relativamente baixo, ao passo que os líquidos têm um elevado valor de E. 
A tabela 06 fornece alguns valores do módulo de elasticidade volumétrica da água. 
 
 
 
 
Lições de Hidráulica Básica 
 
36 
 
Tabela 06 -Módulo de Elasticidade volumétrico da água, E, em MPa. 
Pressão Temperatura 
(kPa) 0oC 20 oC 50 oC 100 oC 150 oC 
103,42 2013,27 2206,32 2289,06 2123,59 --- 
10 342,14 2068,43 2275,27 2358,01 2199,43 1709,90 
31 026,41 2185,64 2399,38 2495,90 2330,43 1868,48 
103 421,36 2620,01 2826,85 2937,17 2792,38 2413,17 
 
 
 Os dados da tabela 06 mostram que nos líquidos, E não varia muito para uma 
vasta faixa de pressão, o que não acontece nos gases. 
 
 
f) Celeridade e Número de Mach 
 Quando uma onda de pressão se propaga através de um fluido ela o faz com 
uma velocidade denominada de celeridade. O própio som é o resultado da propagação 
de uma onda de pressão que viaja no interior dos fluidos. A celeridade, a, é definida 
pela relação: 
ρd
dp
a = 
 Por esta equação pode-se ver que, para um fluido incompressível (dρ = 0), a 
velocidade de propagação de uma perturbação de pressão seria infinita, o que na 
realidade não acontece. Na prática utiliza-se uma outra equação mais conveniente para 
avaliar a celeridade, que está dada abaixo: 
ρ
E
a = 
 Na hidráulica tal propriedade assume papel importante quando se estuda o 
fenômeno do golpe de aríete, quando se devem considerar as variações de massa 
específica decorrentes de variação da pressão em uma massa d’água em escoamento. 
 O número de Mach, M, é um adimensional definido como sendo a relação entre 
a velocidade de deslocamento do fluido e a celeridade. Assim: 
Lições de Hidráulica Básica 
 
37 
 
a
v
M = 
Ele expressa quantas vezes a velocidade de escoamento de um fluido é maior ou menor 
que a velocidade de propagação de uma onda de pressão no mesmo. 
 Considerando-se as variações demassa específica, pode-se escrever: 
n
o M
n −



 −+=
1
1
2
2
1
1ρρ 
n é o expoente adiabático do fluido e ρo é a massa específica quando a velocidade de 
deslocamento do fluido for nula. A expressão acima mostra que a massa específica não 
varia muito. Assim, se M = 0,3 e n = 1,4, para uma velocidade v = 100m/s tem-se ρ = 
0,96ρo. Ao desconsideramos a variação da massa específica, nesse caso, o erro cometido 
é de apenas 4% para uma velocidade exageradamente grande. 
 
Distinção entre Líquido e Gás 
 
 Os fluidos são substâncias líquidas ou gasosas. O que vai diferenciar um 
líquido de um gás é o arranjo interno na estrutura molecular de cada substância. 
 Nos gases as moléculas estão muito mais distantes entre si, de forma que a 
força de coesão entre elas torna-se bastante pequena. Tanto é assim que os gases tendem 
a ocupar todo o volume que os encerra. Se toda a força externa que encerra uma da 
massa gasosa cessa, o gás tende a se expandir indefinidamente. O equilíbrio só ocorre 
quando o gás está encerrado entre paredes confinantes, formando um sistema fechado. 
 Nos líquidos, as moléculas estão bem mais próximas umas das outras. Essa 
proximidade aumenta as forças de coesão entre elas, fazendo com que o líquido ocupe a 
forma do recipiente que o contém, às vezes deixando uma superfície livre. Essa 
superfície livre aparece sempre que a pressão torna-se igual a um valor que não seja a 
sua pressão de vapor. 
 Dessa maneira é que dizemos que os gases são mais compressíveis que os 
líquidos, considerados incompressíveis. 
Lições de Hidráulica Básica 
 
38 
 
 Um vapor é um gás cuja temperatura e pressão a que está submetido são 
próximas daquelas que caracterizam a fase líquida. O vapor d’água é considerado um 
gás pois o seu estado é próximo ao estado da água líquida. Já para um gás as condições 
de T e p estão muito longe do estado líquido. Muitos autores referem-se a um gás como 
um vapor superaquecido. O volume de um gás é muito afetado pela temperatura e pela 
pressão ou por ambos. 
 
 
Fluidos Compressíveis e Incompressíveis 
 
 A Hidráulica trata essencialmente do estudo dos fluidos incompressíveis e a 
mecânica dos fluidos estuda ambos os fluidos. Na realidade devemos observar que 
todos os fluidos reais são compressíveis, uns mais e outros menos. Um fluido é 
considerado incompressível quando, no seu estudo, pode-se desprezar as variações de 
massa específica causadas pela variação da pressão. Se essas variações são 
significativas, não podendo ser desprezadas, devemos estudar o fluido do ponto de vista 
de sua compressibilidade, tentando estabelecer relações entre a compressibilidade e as 
variações de pressão. Na maioria das vezes os líquidos são considerados 
incompressíveis pois a variação da sua massa específica com a pressão é desprezível. 
Entretanto, em alguns poucos casos, essa variação deve ser considerada, mesmo em se 
tratando de um líquido. É o caso da ocorrência do fenômeno denominado de golpe de 
aríete, efeito muito danoso aos alguns escoamentos em tubulações. A comprovação da 
compressibilidade dos líquidos é o fato de que ondas sonoras viajam através deles com 
uma velocidade finita. As ondas sonoras são manifestações de variação de pressão. 
 Os gases, em certos casos, também podem ser considerados como tendo um 
comportamento de fluido incompressível. É o caso de escoamentos a baixas velocidades 
e com pequenas variações de pressão, tais como os que ocorrem em sistemas de 
ventilação de edifícios ou no escoamento através da asa de aviões que se deslocam a 
velocidades inferiores a 100 m/s. 
 
 
Lições de Hidráulica Básica 
 
39 
 
g) Pressão de vapor 
 Todo líquido tende a evaporar quando possuir uma superfície livre. As 
moléculas dos líquidos que estiverem próximas à superfície livre podem escapar do 
líquido, passando à fase de vapor nas proximidades da superfície livre, de tal forma que 
a evaporação se dá pela perda de moléculas do líquido. Quando esse espaço não é 
confinado, o número de partículas que passa à fase de vapor é estatisticamente maior do 
que o que volta novamente à fase líquida, fazendo com que haja evaporação. 
 Quando o espaço acima da superfície livre é confinado, a pressão parcial do 
gás vai aumentando até que haja um equilíbrio entre as moléculas que passam à fase de 
vapor e as que retornam à fase líquida. Nesse caso de equilíbrio a pressão é denominada 
de pressão de saturação ou pressão de vapor do líquido. Se a pressão acima da 
superfície livre de um líquido se tornar igual à pressão de vapor, ocorre a ebulição do 
líquido. A água pode entrar em ebulição a 20oC, desde que a pressão na sua superfície 
seja abaixada para 2 334 Pa (a pressão atmosférica ao nível do mar é de 101 325 Pa). A 
tabela 07 fornece o ponto de ebulição da água para diversas altitudes. 
 
Tabela 07 – Ponto de ebulição da água e temperatura 
Altitude 
(m) 
0 500 800 1 000 1 500 2 000 3 000 4 000 
Temp 
(ºC) 
100 98 97 96 95 93 91 89 
 
 A atividade molecular, que é dependente da temperatura, é de fundamental 
importância ao se estabelecer a pressão de vapor. Assim constata-se que a pressão de 
vapor de um líquido é tanto maior quanto mais elevada for a temperatura na qual o 
líquido se encontra. A tabela 08 fornece a pressão de vapor da água com a temperatura, 
em unidades do sistema Internacional, sistema técnico e em metros de coluna de água 
(mca) 
 Nos escoamentos de um líquido podem ocorrer pressões inferiores à pressão de 
vapor. Nesses pontos o líquido evapora muito rapidamente, formando uma bolsa ou 
cavidade que se expande rapidamente e ao deslocar pode voltar a ser submetida a 
Lições de Hidráulica Básica 
 
40 
 
pressões maiores, tornando a voltar à fase líquida (colapso da bolha). Esse fenômeno é 
denominado de cavitação e deve ser evitado nos escoamentos. Nas bombas, quando ela 
ocorre, haverá uma perde de eficiência e pode levar ao desgaste prematuro das peças 
envolvidas. 
 
 Tabela 08 – Pressão de vapor da água e temperatura 
Temperatura Pressão de vapor da água 
(ºC) Pa kgf/m2 mca 
-10 260 26,5 0,027 
-5 403 41,1 0,041 
0 611 62,3 0,062 
4 813 82,9 0,083 
5 872 88,9 0,089 
10 1 225 124,9 0,125 
15 1 705 173,9 0,174 
20 2 339 238,5 0,239 
25 3 169 323,1 0,323 
30 4 246 433,0 0,433 
50 12 350 1 259 1,259 
80 47 390 4 832 4,832 
100 101 325 10 332 10,332 
150 475 800 48 518 48,518 
 
 
h) Tensão superficial e capilaridade 
 Os líquidos na realidade são formados por partículas que estão sujeitas a forças 
de coesão e de adesão. Estas são forças de atração que ocorrem a nível molecular. As 
forças de coesão tendem a manter as moléculas do líquido unidas entre si. Já as forças 
de adesão tendem a manter partículas do líquido junto com partículas de outros corpos 
próximos, como no caso das paredes que contêm os líquidos. 
 Se as forças de adesão são superiores às forças de coesão aparece a conhecida 
tendência dos líquidos de molharem o recipiente que os contém. Isso é o que acontece 
com a água e a maioria dos recipientes que a encerra. Se as forças de coesão superam as 
Lições de Hidráulica Básica 
 
41 
 
de adesão aparece uma tendência do líquido de não molhar o recipiente que o contém. 
Esse é exatamente o caso do mercúrio metálico e o vidro. 
 Quando dois líquidos imiscíveis (ou um líquido e um gás) entram em contato 
entre si, forma-se uma superfície de separação entre eles. Nessa superfície de separação 
passa a existir um desequilíbrio entre as forças de coesão e de adesão, de maneira que a 
interface de separação passa a resistir a pequenas forças, como se fosse uma membrana 
muito sensível. A propriedade que cria essa capacidade de resistir a pequenos esforços 
denomina-se tensão superficial. Ela é definida como sendo a força que age em cada 
unidade de comprimento na superfície de separação entre os líquidos ou do líquido e do 
gás. 
 A Tabela 09 fornece os valores da tensão superficial paraa água, em unidades 
do Sistema Internacional, para diversas temperaturas.. 
 
 Tabela 09 - Tensão superficial da água. 
Temperatura 
(ºC) 
Tensão Superficial 
(N/m) 
0 0,0756 
10 0,0742 
20 0,0728 
30 0,0712 
40 0,0696 
60 0,0662 
80 0,0626 
100 0,0589 
 
 Os dados da Tabela 06 mostram que a tensão superficial decresce com o 
aumento da temperatura. Isso se deve ao aumento da agitação entre as moléculas 
quando a temperatura aumenta. O gráfico da figura 01 mostra a forma do decaimento da 
tensão superficial com o aumento de temperatura. 
Lições de Hidráulica Básica 
 
42 
 
 
Fig. 01 - Relação entre a tensão superficial e a temperatura para a água 
 
 A variação da tensão superficial da água (em N/m) com a temperatura, na faixa 
entre 0ºC e 100ºC pode ser aproximada pelo polinômio: 
0756,010.403,110.751,2 427 +−= −− TTσ . 
 Os efeitos da tensão superficial em geral são pequenos, podendo ser 
desprezados na maioria dos problemas encontrados na Engenharia. Entretanto em 
alguns problemas envolvendo capilaridade, formação de bolhas ou gotas, quebra de jato 
líquido, eles podem assumir papel preponderante. 
 A capilaridade é devida aos efeitos da tensão superficial. Quando as forças de 
adesão superam as de coesão, o líquido adere à parede do recipiente que o contém 
promovendo uma elevação da superfície de separação um pouco acima do nível do 
líquido. Ocorre, assim, uma elevação capilar, como no caso da água. Quando as forças 
de adesão são inferiores às de coesão, o líquido não adere à parede do recipiente. Nesse 
caso a superfície de separação tende a se abaixar, ficando algo abaixo do nível normal 
da superfície líquida. Esse é o caso do mercúrio. Quando mergulhamos um tubo de 
vidro na água, observa-se uma elevação do nível da água dentro do tubo, acima da 
superfície normal da água. Quando introduzimos um tubo de vidro no mercúrio, ocorre 
uma depressão do nível do mercúrio dentro do tubo. Tanto a elevação quanto a 
0,05
0,06
0,06
0,07
0,07
0,08
0,08
0 20 40 60 80 100
T
e
n
sã
o
 S
u
p
e
rf
ic
ia
l 
(N
/m
)
Temperatura (ºC)
Lições de Hidráulica Básica 
 
43 
 
depressão capilar depende do inverso do raio do tubo. Tubos finos tendem a mostrarem 
uma grande elevação capilar. Tubos de diâmetros acima de 10mm mostram uma 
elevação capilar desprezível. 
 
 A figura 02 ilustra a elevação capilar, h, ocorrida ao se introduzir um tubo de 
raio R dentro da água de peso específico γ e tensão superficial σ. Considera-se θ o 
ângulo de ataque, formado pela tangente ao bordo do menisco ao atingir a parede do 
tubo de vidro e a vertical. Quando o tubo está limpo, para a água θ = 0o e para o 
mercúrio θ = 140o. 
 
 
Figura 02 – Elevação capilar em um tubo de vidro. 
 
 A força que tende a levar a superfície da água é devida à tensão superficial da 
água e se manifesta ao longo de toda a linha de contato da água com as paredes internas 
do tubo de vidro. Essa força tem uma componente vertical dada por: 
 Fv = 2π.R.σ.cosθ 
Lições de Hidráulica Básica 
 
44 
 
O equilíbrio será conseguido quando o peso da coluna de água de altura h for 
suficientemente grande para se contrapor à força dada acima. O peso da coluna de água 
será: 
 P = γπR2h 
Igualando as duas expressões, tem-se a equação que permite prever a altura capilar, h: 
 
R
h
γ
θσ cos2= 
 Através dessa equação podemos calcular a elevação capilar em um tubo de 
vidro de 5mm de diâmetro, quando imerso em água a 20oC. O resultado é h = 5,9mm. 
Para o mercúrio deverá ocorrer uma depressão h = 1,4mm. Na prática consideram-se 
desprezíveis os efeitos capilares se o diâmetro do tubo é superior a 10mm. 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
Dados: g = 9,807 m/s2; 1 cm = 10-2 m; 1 ft = 0,3048m, 1 pol = 2,54 cm, 1 lb = 
0,4536 kg. 
 
1. Dois dm3 de um dado líquido pesam 1,640 kgf. Calcular o seu peso 
específico, massa específica e densidade, expressos em unidades do 
Sistema Internacional de Unidades. 
 
2. Um reservatório cilíndrico de diâmetro igual a 8,50 m está preenchido com 
três líquidos de massas específicas diferentes. O líquido que ocupa a parte 
inferior do reservatório tem densidade 1,60 e forma uma camada de 0,45 m 
de espessura. o líquido que ocupa a região intermediária tem densidade 
1,30 e forma uma camada de 0,80 m de espessura. O líquido da camada 
superior tem densidade 1,05 e espessura de 3,00 m. Nesse caso, 
determinar a massa e o peso total dos fluidos no reservatório, em um local 
situado a 20º de latitude Sul e a uma altitude de 1220 m. 
Lições de Hidráulica Básica 
 
45 
 
 
3. Um reservatório cilíndrico de 8,50 m de diâmetro encontra-se cheio de um 
líquido cuja massa específica varia linearmente com a altura, medida em 
relação à0 sua base, segundo uma relação do tipo ρ = ρo + a.h, sendo ρo e a 
constantes. Na base, quando h = 0, a massa específica é ρo = 1.600 kg/m3. 
Na parte superior, em contato com a atmosfera, a 4,25 m do fundo, a 
massa específica é ρ = 1.000 kg/m3. Nesse caso, determinar a massa e o 
peso do fluido contido no reservatório em um local em que a aceleração da 
gravidade vale 9,795 m/s2. 
 
4. Um reservatório de aço, cilíndrico, de 4,0 m de diâmetro, está cheio de água 
com temperatura variável, desde o fundo até 6,0 m de altura. No fundo do 
reservatório, a massa específica da água vale 998,2 kg/m3 e a 6,0 m de 
altura vale 995,7 kg/m3. Adotando uma variação linear da massa específica 
com a altura, determinar a massa de água contida no reservatório. Calcular, 
ainda, o peso da água no reservatório em um local onde a aceleração da 
gravidade vale 9,78 m/s2. 
 
6. A água tem um módulo de compressibilidade volumétrico E = 21.000 
kgf/cm2. Determinar o acréscimo de pressão necessário para reduzir o seu 
volume em 0,5%. 
 
6. Sabendo que o módulo de elasticidade volumétrico da água é E = 2.206,32 
MPa, calcular o percentual de redução de volume da água quando a mesma 
estiver sujeita a uma variação de pressão de 440 kPa. 
 
 
 
 
 
Lições de Hidráulica Básica 
 
46 
 
i) Viscosidade 
 
 Quando dois sólidos em movimentos são postos em contato de forma a haver 
um movimento relativo, entre eles aparece uma força de atrito que se desenvolve na 
área de contato entre os mesmos, força essa que tem a direção da tangente à superfície 
de contato e sentido contrário ao do movimento. Nesse caso, está em jogo o coeficiente 
de atrito entre os dois sólidos, determinante no cálculo da força de atrito. 
 No caso dos fluidos em escoamento, a situação é análoga, pois uma parte do 
fluido se move em relação à outra, o que faz aparecer uma força de atrito na superfície 
de separação entre as duas porções de fluido que estão em contato. É fato notório que 
essa força depende da natureza dos fluidos em movimento, sendo maior em alguns 
fluidos e menor em outros. Quando um corpo se movimenta no ar a força desenvolvida 
na superfície de contato do ar com o corpo é menor do que a força resultante no caso 
desse corpo se movimentar na água ou dentro de um recipiente contendo óleo. Assim, 
parece haver uma propriedade relacionada com a maior ou menor facilidade de um 
fluido se movimentar, a fluidez. Tal propriedade é caracterizada pela viscosidade do 
fluido. A força que deve ser aplicada a um fluido para que haja movimento em ralação a 
um contorno sólido é denominada de força viscosa ou força de arrasto, objetivo de 
estudos na Mecânica dos Fluidos. 
 Para definir a viscosidade, primeiro é preciso analisar como a velocidade varia 
dentro da massa fluida em escoamento. Vamos imaginar o escoamento de um fluido que 
ocorre em relação a um contorno sólido em repouso, admitindo que no contato do fluido 
com a superfície sólida a velocidade das partículas de fluido é igual a velocidade do 
contorno sólido, isto é, velocidade nula. Esse é o princípio do não deslizamento, o qual 
deve ser admitido como verdadeiro ao se estudar o movimento dos fluidos. A seguir, na 
medida em quese desloca para o interior do fluido, perpendicularmente à superfície de 
contato, a velocidade vai aumentando, até que, eventualmente, ela fica constante, numa 
posição suficientemente longe do contorno. Essa variação da velocidade com a posição 
é muito bem representada através do perfil de velocidades, gráfico que expressa a 
variação da velocidade com a distância do ponto ao contorno sólido colocada nas 
ordenadas e nas abscissas o valor da velocidade, conforme ilustrado na figura 03. 
Lições de Hidráulica Básica 
 
47 
 
 
 
Fig. 03 - Perfil de velocidades, u = f(y), de um escoamento hipotético. 
 
 Na Fig. 03, representa-se a velocidade, u, na direção do escoamento na direção 
do eixo Ox, em relação a distância do ponto considerado ao contorno, na direção Oy, 
perpendicular ao eixo Ox. Assim podemos dizer que u é depende de y ou que u é uma 
função de y, o que, genericamente, pode ser representado por u = u(y). Assim, essa 
função u = u(y) representa o perfil de velocidades, lei muito importante para definir as 
propriedades de um escoamento. 
 Uma propriedade importante dessa função é expressa pela maneira como u 
varia com y. A velocidade u varia desde zero, quando y for nulo, até um certo valor U 
longe do contorno sólido. Para uma dada posição y, seja u o valor correspondente da 
velocidade. Essa seria a velocidade de uma pequena camada de fluido centrada na 
posição y. Se considerarmos uma camada de fluido adjacente, em uma posição y’ = y + 
dy, o perfil de velocidade mostra que a velocidade correspondente será u’ = u + du. 
Nesse caso, vê-se que a relação du/dy expressa a inclinação da tangente à curva do perfil 
de velocidades na posição y em relação ao eixo Oy, conforme ilustrado na figura 04. 
Essa inclinação é exatamente a taxa de variação de u com y para o escoamento 
considerado. Ela é denominada de velocidade de deformação, taxa de deformação ou 
gradiente de velocidades, pois é uma medida da velocidade de deformação contínua do 
fluido durante o seu movimento. Observar que tal número atinge um valor máximo 
Lições de Hidráulica Básica 
 
48 
 
quando y = 0, isto é, no contorno sólido, sendo decrescente na medida em que y 
aumenta, em direção ao interior do fluido. Em alguns escoamentos essa taxa é tão 
pequena que até pode ser considerada nula, como é o caso das regiões do escoamento 
em que a velocidade deixa de variar. Observar, ainda, que du/dy tem dimensões de 
tempo elevado ao expoente -1, isto é s-1. 
 
 
Fig. 04 - variação de velocidades entre duas camadas de 
fluido de posições diferentes (y e y'). 
 
 Na prática, uma maneira de se determinar o valor do gradiente de velocidade, é 
adotar um triângulo de lados finitos, de abscissa ∆u e ordenada ∆y, valores muito 
superiores aos infinitésimos du e dy, respectivamente. Logo 
du/dy ≈ ∆u/∆y 
tal valor, na verdade representa o coeficiente angular da tangente ao perfil de 
velocidades em relação ao eixo Ou, na posição y. Quanto maior o ∆u adotado, maior 
será o ∆y correspondente e, menor será o erro ao fazer a aproximação para du/dy. 
 Supondo que a camada de fluido que se encontra na posição y tenha uma área 
infinitesimal, dA, e que a camada vizinha a ela também tenha a mesma área, a força 
necessária para imprimir a alteração de velocidade du na camada superior será 
Lições de Hidráulica Básica 
 
49 
 
denominada dFt. Essa, é uma força na direção do movimento do fluido, portanto uma 
força tangencial, capaz de provocar o aumento de velocidade, du. Se a força na camada 
superior (posição y' = y + dy) está para a direita (no sentido do movimento), na camada 
inferior (posição y) a reação a ela certamente estará para a esquerda (sentido contrário 
ao movimento). Nesse caso, na área dA das camadas de fluido, é possível definir a 
relação dFt/dA como sendo a tensão cisalhante que age sobre a camada fluida, pela 
relação: 
dA
dF
A
F tt
A
=
∆
=
→∆ 0
limτ 
 
 A figura 05 ilustra o caso das placas planas de fluido escoando com 
velocidades diferentes no interior do mesmo fluido. 
 
Fig. 05 - Figura com camadas de velocidade u e u+du e área dA, com a força viscosa 
dFt. 
 
 A unidade da tensão cisalhante é N/m2 ou pascal, Pa. Observar que, sob a ação 
da tensão cisalhante, o fluido deforma continuamente, com uma velocidade ou taxa de 
deformação dada por du/dy. A figura 05, ilustra os elementos envolvidos. 
 Experimentalmente, pode ser verificado que, para a grande maioria dos fluidos, 
existe uma relação linear entre a tensão cisalhante e o gradiente de velocidades. Tal 
observação foi feita por Isaac Newton no passado. Então, 
τ α du/dy ou τ = k. du/dy 
Lições de Hidráulica Básica 
 
50 
 
 
 À constante de proporcionalidade da variação linear entre a tensão cisalhante e 
o gradiente de velocidade, k, denominou-se viscosidade, viscosidade absoluta, 
coeficiente de viscosidade ou viscosidade dinâmica. Nesse texto, ela será designada 
apenas por viscosidade e será representada pela letra grega minúscula µ. Finalmente, 
pode-se escrever que: 
τ = µ. du/dy 
Tal relação foi estabelecida por Isaac Newton por volta de 1687 e, em 
homenagem a ele, é denominada de lei de Newton da viscosidade. Os fluidos que 
obedecem essa lei durante o seu escoamento, recebem o nome de fluidos newtonianos. 
O gráfico da figura 06, mostra dois fluidos newtonianos de viscosidades diferentes. O 
fluido B tem viscosidade superior à do fluido A, oferecendo maior resistência ao 
escoamento. Notar que, a inclinação da reta para o fluido B é maior do que a do fluido 
A, confirmando que a viscosidade do primeiro fluido é maior que a do segundo fluido. 
 
 
Fig. 06 - Gráfico mostrando dois fluidos newtonianos de viscosidades diferentes. 
 
Na natureza não existem apenas fluidos newtonianos, embora a maioria dos 
fluidos sejam desse tipo, assim como a água, o ar, o álcool, a gasolina ou certos óleos, 
para citar apenas alguns. Existem também os fluidos não-newtonianos, para os quais a 
tensão cisalhante não tem variação linear com o gradiente de velocidades, conforme 
mostrado no gráfico da figura 07. 
 
 
Lições de Hidráulica Básica 
 
51 
 
 
Fig. 07 - Gráfico com fluidos newtonianos e não 
newtonianos (dilatantes, pseudoplásticos, fluido de 
Bingham). 
 
 Como exemplos de fluidos não newtonianos pode-se citar o sangue, plásticos 
líquidos, alguns tipos de lama usada na perfuração de poços, tintas, etc. A ciência que 
estuda os fluidos não-newtonianos é denominada de Reologia e o estudo do escoamento 
de tais fluidos está fora do alcance desse texto. Os interessados deverão recorrer a 
bibliografia especializada. 
 
Unidades de viscosidade: 
 A equação de Newton da viscosidade diz que: τ = µ. du/dy. Logo µ = τ / 
(du/dy). Como a relação que prevalece entre as grandezas também prevalece entre as 
suas unidades em um sistema de unidades coerente, tem-se: 
U(µ) = U(τ) / U(du/dy). 
 No Sistema Internacional de unidades, U(µ) = N.m-2/s-1 = N.s/m2 = Pa.s. Tal 
unidade não recebeu nenhum nome especial. Em termos da unidades das grandezas 
fundamentais, U(µ) = Pa.s = kg.m-1.s-1 = kg/m/s. 
 Já no sistema CGS, a unidade de viscosidade será U(µ) = dyn.cm-2/s-1 = dyn.s / 
cm2 que, ao ser escrita com as unidades das grandezas fundamentais fica sendo U(µ) = 
g.cm-1.s-1 = g/cm/s. Essa unidade foi denominada de poise, sendo simbolizada nesse 
texto por Po. Como o poise é uma unidade grande, criou-se o centi-poise, igual à 
Lições de Hidráulica Básica 
 
52 
 
centésima parte do poise e que se representa por cPo, para expressar a viscosidade dos 
líquidos e dos gases. Nessa unidade, a viscosidade da água a 20 ºC é de 1,0 cPo, daí ter 
virado referência de viscosidade. 
 Existe uma relação entre as unidades Pa.s e Po, tendo-se em vista que 1 m
2 = 
104 cm2 e que 1 N = 103 g. 102 cm/s = 105 dyn. Assim 1 Po = 0,1 Pa.s. 
 Os demais sistemas de unidades têm a sua unidade de viscosidade, todavia de 
pouco uso atualmente, razão pelaqual não serão apresentadas nesse texto. 
 Alguns exemplos de viscosidade de líquidos são dados na tabela xx. 
 
 Tabela 10 - Viscosidades de alguns líquidos. 
Líquido Viscosidade ou viscosidade 
dinâmica, µ (Pa.s) 
Água pura a 0ºC 0,0180 
Água pura a 20 ºC 0,0010 
Água pura a 100 ºC (líquido) 0,00 028 
Água pura a 100 ºC (vapor) 0,000 012 
Mercúrio metálico a 20 ºC 0,0 015 
Glicerina a 20 ºC 1,52 
Glicerina a 40 ºC 0,31 
Gasolina a 20 ºC 0,00 029 
Álcool etílico a 20 ºC 0,0 012 
Óleo para motores SAE 10W 0,10 
Óleo para motores SAE 30W 0,29 
Óleo para motores SAE 50W 0,86 
Sangue a 37 ºC 0,00 040 
 
Viscosidade cinemática. 
 Em muitas equações destinadas a representar os escoamentos de fluido 
aparecerá a relação entre a viscosidade e a massa específica, µ/ρ. Tal relação é 
denominada de viscosidade cinemática, representada pela letra grega minúscula ν. 
Assim, tem-se: 
ν = µ/ρ. 
Lições de Hidráulica Básica 
 
53 
 
 mais uma vez, se uma relação existe entre grandezas físicas ela prevalece entre 
as suas unidades em qualquer sistema de unidades coerente. logo, pode-se escrever que: 
U(ν) = U(µ)/U(ρ). 
 A unidade de ν no Sistema Internacional de Unidades e no sistema técnico será 
m2/s. Já no sistema de unidades CGS a unidade de ν será cm2/s, denominada de stoke e 
abreviada por St. Então, pode-se concluir que 1 stoke = 1 cm
2/s = 10-4 m2/s. Como o 
stoke ainda é uma unidade grande de viscosidade cinemática, criou-se o centi-stoke ou 
cSt igual à centésima parte do stoke, de forma que 1 cSt = 10
-2 St = 10
-6 m2/s. 
No estudo dos líquidos é bastante interessante explicitar as equações em termos de ν. Já 
nos gases, é comum o uso de µ. A título de exemplo, verifica-se que a água, a 20 ºC, 
tem viscosidade cinemática igual a 1,0.10-6 m2/s. 
 
Variação da viscosidade 
A viscosidade de um fluido, em geral, depende da temperatura e da pressão. 
Porém a variação da viscosidade de um líquido com a pressão é pequena e será 
desconsiderada nos estudos dos escoamentos desse tipo de fluido. Por outro lado, a 
variação da viscosidade com a temperatura é significativa e precisa ser considerada nos 
diversos casos a serem estudados. Se a temperatura aumenta a viscosidade diminui no 
caso dos líquidos, Já no caso dos gases a um aumento de temperatura corresponde um 
aumento da viscosidade. Ver desenho esquemático na figura 08. 
 Nos líquidos as moléculas possuem mais energia e quando se aumenta 
a temperatura a distância entre as partículas aumenta, fazendo com que as forças 
intermoleculares de coesão ficam diminuídas de maneira que a força tangencial 
necessária para executar um certo escoamento fica diminuída, assim como a 
viscosidade. Já nos gases, como as moléculas já estão bem distantes umas das outras, as 
forças intermoleculares de coesão são insignificantes de forma que o aumento da 
temperatura causará mais colisões entre essas moléculas e, portanto maior resistência ao 
escoamento. Nesse caso quando se aumenta a temperatura a viscosidade também 
aumenta. 
Lições de Hidráulica Básica 
 
54 
 
 
Fig. 08 - Figura ilustrando a variação da viscosidade 
de gases e líquidos com T 
 
 Na prática constata-se que existe uma proporcionalidade entre a viscosidade e a 
raiz quadrada da temperatura, para os gases, isto é: 
Tαµ 
 A equação de Sutherland, para os gases informa que a viscosidade de um gás é 
dada por: 
T
b
Ta
+
=
1
µ 
onde T é a temperatura absoluta e a e b são constantes determinadas experimentalmente 
para cada gás. Para o ar a = 1,458 . 10-6 kg/(m.s.K0,5) e b = 110,4 K, sob condições 
atmosféricas normais. A viscosidade dos gases é considerada independente da pressão 
sob condições de pressão baixa ou moderada. Considerar que, sob elevadas pressões, a 
viscosidade aumenta, devido ao aumento na massa específica do gás. 
 Para os líquidos, a variação da viscosidade com a temperatura pode ser 
aproximada por uma lei exponencial do tipo: cT
b
a −= 10.µ 
sendo T a temperatura absoluta e a, b e c são constantes determinadas 
experimentalmente para cada líquido. Para a água, valores de a = 2,414.10-5 N.s/m2, b = 
247,8 K e c = 140 K permitem avaliar a viscosidade da água na faixa de temperatura 
entre 0 e 350 ºC, com erro inferior a 2,5%, segundo Touloukian et al, 1975. 
Lições de Hidráulica Básica 
 
55 
 
 Diversos autores apresentam gráficos de variação da viscosidade dos fluidos 
com a temperatura, conforme ilustrado na figura 09. 
 
 
 
Figura 09 - Gráfico com a variação da viscosidade com a temperatura 
para diversos fluidos. Fonte: Mecânica dos Fluidos: Fundamentos e 
Aplicações - Yunus A. Çengel e John M. Cimbala. 
 
 Para a água pura, a viscosidade também diminui com o aumento da 
temperatura. Tal variação, para a viscosidade cinemática, pode ser vista na tabela 11. 
 
Lições de Hidráulica Básica 
 
56 
 
 
 
 Tabela 11 – Variação da viscosidade da água com a temperatura 
Temperatura 
(ºC) 
Viscosidade 
Cinemática 
(10-6 m2/s) 
Temperatura 
(ºC) 
Viscosidade 
Cinemática 
(10-6 m2/s) 
0 1,792 24 0,923 
1 1,729 25 0,901 
2 1,673 26 0,880 
3 1,623 27 0,859 
4 1,567 28 0,839 
5 1,523 29 0,819 
6 1,476 30 0,804 
7 1,431 32 0,765 
8 1,388 34 0,732 
9 1,346 36 0,702 
10 1,308 38 0,674 
11 1,269 40 0,657 
12 1,238 45 0,615 
13 1,208 50 0,556 
14 1,179 55 0,520 
15 1,146 60 0,478 
16 1,123 65 0,442 
17 1,096 70 0,416 
18 1,069 75 0,381 
19 1,043 80 0,367 
20 1,007 85 0,337 
21 0,993 90 0,328 
22 0,969 95 0,311 
23 0,946 100 0,296 
 
 Para fins de facilitar os cálculos, uma equação para determinação aproximada 
da viscosidade cinemática da água, com T em ºC e ν em m2/s foi ajustada chegando-se à 
forma: 
( ) ( )[ ] 62 10.1500068,015031,0146,1 −−+−−= TTν 
 
 
Lições de Hidráulica Básica 
 
57 
 
Determinação da viscosidade 
 Quando se tem interesse em calcular a força devida à viscosidade que atua em 
uma dada área A de um fluido em escoamento, parte-se da definição de tensão 
cisalhante combinada com a lei de Newton da viscosidade. Assim, sendo dFt a força 
tangencial que está presente em uma área elementar dA, no interior de um fluido que se 
movimenta com velocidade u, tem-se: 
τ = dFt/dA ou dFt = τ dA 
Como τ = µ. du/dy, vê-se que dFt = (µ. du/dy) dA e, para uma área finita, A, a força 
total devida à viscosidade do fluido, agindo sobre A, será dada pela integração da 
equação anterior e, matematicamente, escreve-se: 
∫=
A
t dAdy
du
F µ . 
Sendo µ uma constante que não varia com a área e nem com o gradiente de velocidades, 
o resultados acima será expresso por: 
∫=
A
t dAdy
du
F µ 
Sem saber como o gradiente de velocidades varia na área, a integral anterior 
não pode ser calculada diretamente. É por isso que há necessidade de se conhecer como 
o gradiente de velocidade varia na área, assunto a ser abordado oportunamente. 
 Uma simplificação muito útil ocorre quando a distância ao contorno sólido não 
for muito grande. Nesse caso, considera-se du/dy = u/y, agora um valor constante. Essa 
simplificação é denominada de hipótese do perfil linear de velocidades, válida quando 
se estuda a teoria da lubrificação. Ver representação gráfica da figura 10. 
 Nesse caso, se du/dy = u/y = cte pode-se retirar a relação de dentro da integral, 
de forma que: 
∫=
A
t dAy
u
F µ ou A
y
u
Ft µ= 
 
Lições de Hidráulica Básica 
 
58 
 
 
Figura 10 - hipótese do perfil linear de velocidades 
 
 Tal equação simples é útil em muitos problemas práticos onde não se requer 
uma grande precisão nos cálculos ou onde o valor de y, para o qual a velocidade é u, 
tornar-se significativamente pequeno. 
 A viscosidade ou a viscosidade cinemática de um fluido é determinada 
experimentalmente através de equipamentos denominados de viscosímetros, que 
funcionam sob vários princípios ligados aos escoamentos. 
 
Viscosímetros funcionando segundo a queda de uma esfera no meio viscoso. 
 São equipamentos baseados na medição da velocidade de quedade uma esfera 
dentro de um tubo de vidro preenchido com uma amostra do fluido (cerca de 130 ml) 
cuja viscosidade deverá ser determinada. O tubo de vidro deve ter a sua superfície 
interna retificada para que o diâmetro seja conhecido com rigor. Esse tubo é 
ligeiramente inclinado (cerca de 10º) e nele são efetuadas três marcas externas a 
distâncias previamente determinadas (geralmente 50 mm). Uma esfera de diâmetro e 
massa específica conhecidos é deixada cair livremente no interior do fluido contido no 
tubo. O tempo,∆t, gasto para a esfera passar entre a marca inicial e a final é medido e a 
velocidade de queda determinada pela relação ∆L/∆t. Nesse caso, a viscosidade 
(dinâmica) será proporcional a esse tempo. Levando-se esse tempo em uma equação 
conveniente, perfeitamente dedutível em função das forças presentes, pode-se 
determinar a viscosidade µ do fluido. Deve se ter o cuidado de envolver o tubo de vidro 
Lições de Hidráulica Básica 
 
59 
 
em um banho termostático com a finalidade de se manter a temperatura sobre rigoroso 
controle. Um tipo desse viscosímetro é o viscosímetro Höeppler, ilustrado na figura 11. 
 Sendo o fluido cuja viscosidade é objeto de determinação, de massa específica 
ρf, o tubo de vidro de diâmetro interno Dt e a esfera de diâmetro De, feita de um material 
(vidro ou aço inoxidável) de massa específica ρe. A velocidade de queda da esfera será 
determinada cronometrando-se o tempo gasto pela esfera percorrer uma distância L 
(entre as duas marcas extremas do tubo de vidro), no caso igual a 100 mm. Observe a 
existência de uma marca intermediária a 50 mm da marca superior, que pode ser usada 
para verificar se a velocidade da esfera é realmente constante. Não usar tempos de 
queda inferiores a 30 s (média de pelo menos 3 medições). A viscosidade será dada por: 
 
µ = k.t.(ρe - ρf), 
 
sendo k uma constante que leva em conta os diâmetros do tubo e da esfera (portanto 
cada esfera terá o seu próprio valor), a distância L e um fator de conversão de unidades. 
Nessa equação µ será a viscosidade do fluido obtida em centipoise. Com esse 
dispositivo pode-se medir viscosidades desde 0,01 centipoise até 10 000 poise. 
 Um dos modelos desse tipo de viscosímetro, fabricado pela Hoppler é ilustrado 
na figura 11 e tem suas características dadas na tabela 12. 
 
Tabela 12 - Dados do viscosímetro de queda de esfera Höeppler 
Dados do Fabricante do viscosímetro Hoppler : ( )fetk ρρµ −∆= 
Nro. da 
Esfera 
Faixa de µ 
(centipoise) 
Diâmetro da 
esfera (mm) 
Peso da 
esfera (g) 
ρe 
(g/cm3) 
Constante 
(k) 
1 0,2 - 2,5 15,81 4,945 2,390 0,00712 
2 2,0 - 20 15,66 4,801 2,389 0,0554 
3 15 - 200 15,6 16,188 8,143 0,0910 
4 100 - 1200 15,20 14,985 8,145 0,6430 
5 800 - 10 000 14,28 11,729 7,694 4,60 
6 6 000 - 75 000 11,12 5,559 7,723 33,0 
 
Lições de Hidráulica Básica 
 
60 
 
 
Figura 11 - Desenho esquemático de um viscosímetro de queda de esfera. 
 
Viscosímetros funcionando segundo o escoamento em um tubo capilar. 
 Nesse tipo de equipamento, um escoamento controlado é feito acontecer 
através de um tubo capilar, de forma que ocorra um escoamento laminar. Nesse caso, a 
medida do tempo de escoamento de um dado volume, sob certas condições, permite a 
determinação da viscosidade cinemática. è o caso do viscosímetro de Ostwald. 
 Ainda utilizando tal princípio, existe o viscosímetro Saybolt Universal, muito 
usado na indústria que trabalha com óleos e líquidos mais viscosos. Nesse caso, um 
volume equivalente a 50 ml de líquido é colocado a escoar a partir de um reservatório 
de dimensões padronizadas, através de um tubo de pequeno diâmetro (1,77 mm) e 
comprimento padronizado (12,12 mm). O tempo de escoamento desse volume de 
líquido, expresso em segundos, representa a sua viscosidade. Tal tempo, foi 
denominado de SSU (Segundos Saybolt Universal). Esse tempo poderá ser utilizado em 
equações empíricas para se chegar ao valor da viscosidade cinemática do líquido 
ensaiado, em stoke ou m2/s. Todo o equipamento é instalado em um banho termostático 
para garantir que o escoamento ocorra à temperatura desejada. Os testes de óleos são 
feitos a temperaturas de 21,1 ºC, 27,8 ºC, 54,4 ºC e 89,9 ºC e os tempos de escoamento 
não devem ser inferiores a 32 segundos. Nesse caso, para tempos entre 32s e 100 s, a 
viscosidade cinemática em centi-stokes será dada por: 
t
t
195
226,0 −=ν 
Lições de Hidráulica Básica 
 
61 
 
 se os tempos forem superiores a 100 s, a equação a ser utilizada será: 
t
t
135
226,0 −=ν 
 A figura 12 é um desenho esquemático desse tipo de viscosímetro. 
 
Figura 12 - Desenho esquemático de um viscosímetro Saybolt Universal 
 
 Quando o tempo de escoamento fica demasiadamente elevado, é necessário 
aumentar o diâmetro do tubo por onde acontece o escoamento, Assim, para líquidos de 
viscosidade mais elevadas que os óleos, tais como asfaltos e graxas, existe um 
viscosímetro semelhante ao Saybolt Universal, porém com maior diâmetro do tubo 
(3,15 mm) e de mesmo comprimento (12,25 mm) que o Saybolt Universal, por onde 
ocorrerá o escoamento. Tal viscosímetro é denominado de Saybotl Furol e deve ser 
usado quando para líquidos de viscosidade superior a 1000 SSU. Da mesma forma, o 
tempo de escoamento medido em segundos e a viscosidade é medida sem SSF 
(Segundos Saybolt Furol). A viscosidade Saybolt Universal representa cerca de um 
décimo da viscosidade Saybolt Furol. Também é possível converter a viscosidade em 
segundos Furol para stoke ou m2/s, através de equações empíricas convenientemente 
determinadas para tal equipamento. Para conversão das viscosidades de SSF para centi-
stoke usam-se fórmulas empíricas que, para tempos SSF entre 22 e 40 será: 
t
t
∆
−∆= 18424,2ν 
Se o tempo for superior a 40 SSF, a fórmula para o cálculo da viscosidade cinemática 
em centi-stoke é 
Lições de Hidráulica Básica 
 
62 
 
t
t
∆
−∆= 6016,2ν 
 Alguns fabricantes instalam dois viscosímetros Saybolt Universal e dois Furol 
em um mesmo equipamento, junto com um mesmo banho termostático, para facilitar a 
realização dos ensaios. 
 Em ambos os casos, consultar detalhes nos manuais dos equipamentos ou na 
bibliografia especializada sobre viscosimetria. 
 
Viscosímetros funcionando segundo a rotação de um corpo no interior do fluido. 
 Nesse caso, um rotor de geometria adequada é acionado por um motor elétrico, 
de torque constante, T, é colocado para girar dentro de um recipiente contendo uma 
amostra do líquido cuja viscosidade deverá ser determinada. Nesse caso, a velocidade 
de rotação do rotor é proporcional à viscosidade do líquido, que será determinada por 
fórmula previamente desenvolvidas ou mesmo lida em uma escala adequadamente 
construída para aquele rotor. A figura 13 ilustra o princípio de medição da viscosidade 
com viscosímetros rotativos. 
 Sendo N a velocidade do rotor em rpm (rotação por minuto) e ω a velocidade 
angular em rad/s, sabe-se que: 
ω = 2πN 
 
 
Figura 13 - Esquema de um viscosímetro rotativo. 
 
Lições de Hidráulica Básica 
 
63 
 
 Sendo F a força tangencial na superfície do rotor, devida ao gradiente de 
velocidades formado entre a parede fixa e a superfície do mesmo, dada pela lei de 
Newton da viscosidade, no caso de se adotar um perfil linear de velocidades, tem-se que 
o torque, T, a ser aplicado sobre o rotor para que o mesmo gire com uma velocidade u, 
será dado por: 
RA
y
u
RFT .. µ== 
Logo, pode-se escrever que: 
L
R
R
T
∆
= ωπµ
32
 ou L
R
NR
T
∆
=
324πµ ou 
LNR
RT
.4
.
32π
µ ∆= 
Finalmente, tem-se: 
N
T
LR
R
.
.4 32π
µ ∆= 
 A medida da rotação, N, para um torque conhecido e para uma dada geometria 
rotor/recipiente, permite determinar a viscosidade µ. A equação acima mostra que para 
maior N, µ será menor e vice, versa. Um exemplo desse tipo de viscosímetro é o Rion. 
 
 
Lições de Hidráulica Básica 
 
64 
 
 
Exercícios de Aplicação1. Sabendo que a viscosidade cinemática da água a 20 ºC é de 1,007x10-6 m2/s e que a 
sua massa específica é 998,2 kg/m3, determinar a sua viscosidade dinâmica. 
 
 
2. A viscosidade cinemática da água a 20 ºC é de 1,007x10-6 m2/s e a sua massa 
específica é 998,2 kg/m3. Calcular a tensão cisalhante a 5 cm da parede fixa que 
limita o escoamento, sabendo que o perfil de velocidades é dado por u = 0,1 + 2.y, 
onde y deve estar em cm e u em cm/s. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
 
 
 
 
 
Lições de Hidráulica Básica 
 
65 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. - HIDROSTÁTICA 
 
3.1 - Introdução 
 
 A hidrostática é uma parte da Hidráulica que estuda os líquidos em equilíbrio. 
Essa divisão é puramente para efeitos didáticos, já que na maioria das vezes os 
problemas a serem resolvidos decorrem do movimento dos líquidos, onde os princípios 
decorrentes da hidrostática são aplicados. 
 Na Hidrostática, trataremos dos conceitos de pressão e suas unidades, tensão 
cisalhante, variação da pressão nos líquidos, superfície de nível, escalas de pressão, 
pressão atmosférica, medidores de pressão, esforços sobre superfícies planas e curvas 
submersas nos líquidos e casos de aplicação destes conceitos. 
 
3.2 – Pressão, Tensão Cisalhante e suas Unidades 
 Neste item serão estudados conceitos importantes que estarão presentes no 
estudo do escoamento dos líquidos. 
 
3.2.1 – Conceito de pressão 
 Para introduzir o conceito de pressão, vamos imaginar uma porção definida de 
fluido, encerrado em um volume V, definido por uma superfície A. Dessa superfície, 
destaca-se uma pequena porção de área ∆A, sobre a qual atua a força F
r
, resultante de 
todas as forças de contato exercidas pelo fluido de massa específica ρ sobre ∆A, 
conforme ilustra a figura seguinte. 
Lições de Hidráulica Básica 
 
66 
 
 
 
Fig. 01 – Forças devida ao fluido que atua sobre uma área ∆A, parte da 
superfície A que define o volume de fluido V. 
 
 Seja nF
r
 a força componente do vetor F
r
 sobre a direção da normal à área ∆A, 
cujo módulo (intensidade), denominaremos de nF . De maneira análoga, seja tF
r
 a 
componente do vetor F
r
 sobre a direção da tangente à área ∆A, cujo módulo 
(intensidade) será denominado de tF . É através das componentes nF
r
 e tF
r
 que 
determina-se a força F
r
, o que é possível caso sejam conhecidas nF
r
 e tF
r
. 
 
Componente Normal: nF
r
 
 O módulo da componente normal da força F
r
 pode ser relacionado com a área 
∆A. Assim, a pressão sobre a área ∆A é definida como sendo a relação entre a força 
normal que age sobre a área ∆A e essa área, representada por: 
A
F
p n
∆
= ..................................................................3.1 
Lições de Hidráulica Básica 
 
67 
 
 Muitas das vezes a pressão pode variar conforme a área escolhida, o que torna 
a relação acima a pressão média nessa área. Por isso torna-se necessário melhorar a 
definição anterior, de forma a definir a pressão em torno de uma área muito pequena ou 
a pressão em torno de um ponto. Passando à condição limite de se ter essa relação 
calculada sobre uma área muito pequena, teremos: 
A
F
p n
A ∆
=
→∆ 0
lim ......................................................................3.2 
 Assim, a pressão sobre uma área é definida como o limite da relação entre a 
força normal e a área na qual ela age, quando esta área tender para zero. Na prática, este 
limite pode ser calculado através da derivada de Fn em relação a A, resultando em: 
dA
dF
p n= ..........................................................................3.3 
 Então a pressão sobre uma determinada área pode ser calculada como a taxa de 
variação da força normal em relação à área A. Por outro lado, o módulo da componente 
normal da força nF
r
 sobre toda a superfície A pode ser calculada por: 
∫=∴=
A
nn dApFdApdF .............................................3.4 
 Dessa forma, fica determinado o módulo da componente normal, Fn, sabendo-
se, ainda, que ela tem a direção da normal à área considerada e sentido voltado para fora 
do volume V, estando aplicada no centro de gravidade de A. 
 A determinação da pressão que age sobre uma área é feita através de 
instrumentos apropriados, tornando relativamente simples a determinação da 
componente nF
r
. 
 
3.2.2 – Conceito de Tensão Cisalhante 
 O conceito de tensão cisalhante ou tensão de cisalhamento nos escoamentos 
dos fluidos leva em consideração a componente da força sobre os fluidos na direção do 
escoamento, devida ao atrito existente entre as partículas envolvidas. 
 
Lições de Hidráulica Básica 
 
68 
 
Componente Tangencial: tF
r
 
 Uma relação interessante que aparece em muitos problemas decorrentes do 
escoamento dos fluidos é definida pela relação entre a força tangencial que age sobre a 
área ∆A, denominada de tensão cisalhante e representada por: 
A
Ft
∆
=τ 
 Na verdade, a tensão cisalhante calculada dessa maneira é um valor médio na 
área ∆A, já que Ft pode variar conforme o ∆A escolhido. Então é preciso definir a tensão 
cisalhante sobre uma área bem menor, que se distribui em torno de um ponto, passando 
à condição limite de se ter essa relação calculada sobre uma área muito pequena, de 
forma que: 
A
Ft
A ∆
=
→∆ 0
limτ 
 Assim, a tensão cisalhante sobre uma área é definida como o limite da relação 
entre a força tangencial e a área na qual ela age, quando esta área tender para zero. Na 
prática, este limite pode ser calculado através da derivada de Ft em relação a A, o que 
resulta em: 
dA
dFt=τ 
Dize-se, nesse caso, que a tensão cisalhante expressa a taxa de variação de Ft com a área 
A. 
 Já foi visto anteriormente a lei de Newton da viscosidade que estabelece que no 
caso de um fluido em escoamento, essa tensão cisalhante poderá ser calculada pela 
expressão: 
dy
duµτ = 
onde µ é a viscosidade do fluido e 
dy
dué o gradiente de velocidade para o escoamento. 
Desta forma é possível calcular a componente tangencial da força exercida pelo fluido 
Lições de Hidráulica Básica 
 
69 
 
sobre dA, combinando-se estas duas equações. A intensidade da componente tangencial 
da força F sobre toda a superfície A pode ser calculada por: 
∫=∴=
A
tt dAFdAdF ττ 
 Conforme viso acima, fica determinado o módulo da componente tangencial Ft, 
sabendo que ela tem a direção da tangente à área e sentido contrário ao do movimento 
do fluido, estando aplicada no centro de gravidade de A. 
 A tensão cisalhante tem as mesmas unidades de pressão que serão vistas a 
seguir. 
 
3.2.3 – Unidades de pressão e tensão cisalhante 
 Em qualquer sistema de unidades, dito coerente, a relação que prevalece entre 
as grandezas físicas também prevalece entre as suas unidades. Portanto a unidade de 
pressão será definida por: 
)(
)(
)(
AU
FU
pU n= 
 Assim, no Sistema Internacional de Unidades, a unidade de pressão será: 
Papascal
m
N
AU
FU
pU n ==== 2)(
)(
)( 
 Tal unidade foi denominada de pascal, tendo sido simbolizada por Pa. Como se 
trata de uma unidade muito pequena, nos problemas que aparece na engenharia, 
costuma-se medir a pressão em hPa, kPa ou MPa, onde 1 hPa equivale a 100 Pa, 1 kPa 
equivale a 1.000 Pa e 1 MPa equivale a 1.000.000 Pa, isto é, 102 Pa, 103 Pa e 106 Pa, 
respectivamente. 
 
 No Sistema de Unidades CGS, a unidade de pressão recebeu o nome de bária, 
tendo sido definida da seguinte maneira: 
bária
cm
dina
AU
FU
pU n === 2)(
)(
)( 
Lições de Hidráulica Básica 
 
70 
 
 Essa é a unidade preferida dos profissionais que lidam com quantidades muito 
pequenas, como os químicos ou engenheiros químicos. 
 
 No Sistema Inglês de Unidades, a unidade de pressão é definida por: 
22)(
)(
)(
ft
pdl
ft
poundal
AU
FU
pU n === 
 Tal unidade é muito pouco conhecida, quase não sendo usada na atualidade. 
 
 No Sistema Técnico de Unidades, a unidade de pressão foi definida como 
sendo: 
2)(
)(
)(
m
kgf
AU
FU
pU n == 
 Estaunidade não recebeu nenhum nome em especial, estando atualmente em 
desuso. É usual encontrar medidores de pressão que apresentam suas escalas graduadas 
em um múltiplo dessa unidade, denominada kgf/cm2, de forma que: 
22
000.101
m
kgf
cm
kgf = 
 
 No Sistema Inglês Técnico de Unidades, a unidade de pressão é a lbf/ft2, sem 
nenhum nome em especial e definida por: 
2)(
)(
)(
ft
lbf
AU
FU
pU n == 
 Apesar de todas essas unidades pertencentes a sistemas coerentes de unidades, 
outras unidades de pressão são utilizadas, ainda nos dias de hoje. Dentre estas, 
destacamos a lbf/pol2 ou psi, o Bar, a atmosfera padrão (atp), o mm de mercúrio ou 
Torricelli (Torr) e o metro de coluna de água (mca). 
 
 A unidade de pressão psi (pound per square inch) é o nome dado à lbf/pol2, 
muito utilizada nos paises da América do Norte e em equipamentos usuais de medida de 
Lições de Hidráulica Básica 
 
71 
 
pressão no Brasil. Esse é o caso de se medir a pressão nos pneus dos veículos pelos 
equipamentos existentes nas oficinas e nos postos de gasolina. Nesses equipamentos 
existem, em geral, duas escalas de pressão, uma em a lbf/pol2 e outra em kgf/cml2 ou 
Bar. Sabe-se que: 
2222
070308,0
54,2
4536,0
11
cm
kgf
cm
kgf
pol
lbf
psi === ou psi
pol
lbf
cm
kgf
2231,142231,141
22
== 
 
 Sabe-se, também, que 1 Bar equivale a 1.000.000 bária ou 100.000 Pa. Mas, 
para medidas de pressões que não sejam relativamente grandes, é usual encontrar a 
unidade mBar equivalente a 0,001 Bar ou 100 Pa. Assim, tem-se que: 
1 Bar = 1.000 mBar � 1 mBar = 0,001 Bar = 100 Pa = 1 hPa. 
 
 A unidade mm de mercúrio (mm Hg) na verdade não é uma unidade de pressão 
e sim uma unidade de comprimento em um dispositivo cheio de mercúrio metálico a 0 
ºC. Ela representa a pressão equivalente ao deslocamento da coluna de mercúrio a ºC 
correspondente a 1 mm. Mas, por ser muito usada, acabamos dizendo que se trata de 
uma unidade de pressão. Ao medir a pressão arterial em um paciente, os médicos 
informam que a pressão é 12 por 8, medida em aparelhos analógicos, quando o paciente 
está bem. Isso significa, na verdade, que a pressão mais elevada é de 12 cm de mercúrio 
a 0 ºC e que a menor pressão é de 8 cm de mercúrio a 0 ºC. Às vezes os aparelhos 
indicam 120 mm Hg por 80 mm Hg, como é comum nos equipamentos digitais de 
medida da pressão arterial. O maior valor diz respeito à pressão diastólica (quando o 
coração está realizando um esforço para bombear o sangue para o resto do corpo) e o 
menor valor diz respeito à pressão sistólica (quando o coração está admitindo sangue 
para ser bombeado). 
A conversão desta unidade pode ser feita da seguinte maneira: 
1 mm Hg �13.595,1 kg.m-3.9,80665 m.s-2.0,001 m = 133,3224 Pa ou 1 mm Hg � 
1,333224 mBar 
 A unidade metro de coluna de água (mca), também não é exatamente uma 
unidade de pressão. Na realidade ela expressa uma pressão equivalente à pressão 
Lições de Hidráulica Básica 
 
72 
 
relativa a uma coluna de água a 4 ºC que possui uma altura exata de 1,0 metro. Assim 1 
mca equivale a 9.806,65 Pa. 
 
Exemplos: 
• Pressão atmosférica ao nível do mar nas condições normais de temperatura e 
pressão: 760 mm Hg equivalentes a 101.325,0 Pa. 
• Pressão atmosférica em Ouro Preto, no Laboratório de Hidráulica no Campus 
do Morro do Cruzeiro: 657,3 mm Hg equivalentes a 87.600 Pa. 
• Pressão de vapor do mercúrio a 20 ºC: 0,0013 mm Hg equivalentes a 0,17 Pa 
• Pressão no interior do pneu de um carro: 30 psi = 206.846,2 Pa 
 
3.3 – Empuxo 
 O empuxo sobre um corpo mergulhado no interior de um fluido é uma força 
decorrente da ação da pressão do fluido sobre toda a superfície do corpo, visto que essa 
pressão varia conforme a posição que se considera para a área no corpo. Quando o 
corpo estiver em equilíbrio, o empuxo devido ao fluido é uma força vertical, de baixo 
para cima, igual ao peso do volume de fluido deslocado pelo corpo. Isso se deve ao fato 
de que a força resultante das pressões sobre a superfície do corpo ter uma resultante 
vertical e voltada para cima. 
 Seja o corpo inteiramente mergulhado no interior de um líquido de massa 
específica ρ, conforme mostra a figura seguinte. 
 
Fig. 02 – Corpo mergulhado no interior de um líquido, sujeito a forças decorrentes da pressão em 
cada elemento de área. 
Lições de Hidráulica Básica 
 
73 
 
 
 Sobre o corpo, em cada elemento de área, estará agindo uma força devida à 
pressão do líquido, de intensidade crescente à medida em que a profundidade aumenta e 
sempre perpendicular à superfície do corpo. As componentes das forças voltadas para 
baixo são menores que as que estão voltadas para cima. A resultante das componentes 
verticais resulta em uma força, E, vertical, voltada para cima, denominada de empuxo 
do fluido sobre o corpo. As componentes horizontais das forças devidas à pressão 
devem se anular, se o corpo estiver em equilíbrio. Caso contrário, originam forças que 
tendem a girar o corpo. 
 Nesse caso, é possível demonstrar que o empuxo pode ser calculado da 
seguinte forma:. 
olol
A
VgVdApE γρ === ∫ 
 
 Em geral os corpos podem estar mergulhados total ou parcialmente em um 
fluido. Quando o corpo está parcialmente mergulhado no fluido, parte de sua superfície 
se encontra fora do fluido e, portanto não fica sujeito a forças decorrentes da ação do 
fluido. Se o corpo está completamente mergulhado no interior do fluido, todo elemento 
de área superficial do corpo fica sujeito a uma força devido ao contato do fluido contra 
as paredes do corpo. Tais forças, irão interagir com outras forças presentes, de forma a 
haver o equilíbrio desse corpo, quer sob a condição de flutuação, quer sobre a condição 
de completamente imerso no fluido. Geralmente pode-se identificar três tipos de força 
agindo sobre os corpos em contato com fluidos: forças decorrentes da pressão (E), força 
peso (P) e outras forças eventualmente presente como a força normal (N) aplicada pelo 
fundo do recipiente, conforme ilustra a Fig. 02. 
 
Lições de Hidráulica Básica 
 
74 
 
 
Fig. 02 – Empuxo sobre um corpo flutuante, totalmente imerso 
e imerso e no fundo de um recipiente contendo um líquido. 
 
 É preciso discutir se o equilíbrio é estável, instável, ou indiferente, o que 
origina o estudo do equilíbrio dos corpos flutuantes e submersos. No caso do corpo ser 
flutuante, na condição de equilíbrio estável, a resultante de todas as forças que agem 
sobre o corpo será: 
 P – E = 0 � P = E 
 P = mg e E = γ.Vi, com Vi igual ao volume da parte do corpo que está 
imerso no fluido. 
 Como P = γc.Vc, chega-se à relação: γc.Vc = γ.Vi, � Vi = γc / γ. Vc. 
 Observa-se, nesse caso, que o volume imerso é uma parcela do volume do 
corpo. Ainda mais, para que haja volume emerso é preciso que γc < γ. Corpos de menor 
massa específica (mais leves) flutuam em fluidos de maior massa específica (mais 
pesados). 
 No caso do corpo estar completamente imerso no fluido, porém em equilíbrio 
estável no meio da massa fluida, o equilíbrio de forças permite escrever: 
 P – E = 0 � P = E 
 Sendo P = mg e E = γ.Vol, onde Vol é o volume do corpo, pode-se 
escrever que: 
 P = γc.Vol � γc.Vol = γ.Vol � γc. = γ. Conclui-se que o corpo somente 
ficará em equilíbrio quando o seu peso específico for igual ao peso específico do 
líquido. 
Lições de Hidráulica Básica 
 
75 
 
 
 No caso do corpo estar em equilíbrio completamente imerso no fluido e no 
fundo do recipiente, aparecerá uma outra força vertical, N, agindo sobre o corpo. Esta 
força N recebe o nome de peso aparente, podendo-se escrever: 
 P – E - N = 0 � N = P - E 
 Sendo P = mg =γc .Vol e E = γ.Vol, onde Vol é o volume do corpo, 
pode-se escrever que o peso aparente será dado por: 
 N = (γc .- γ)Vol . 
 
 
3.4 – Variação da Pressão nos Fluidos 
 
 A pressão varia no interior dos fluidos. Nesse item tratar-se-á do estudo da 
variação da pressão no interior de um fluidode massa específica ρ. 
 
3.4.1 – Princípio de Pascal 
 Foi visto que a pressão em torno de um ponto é o limite da relação entre a força 
normal e a área na qual a força age, quando esta área tende para zero em torno do ponto. 
Princípio de Pascal estabelece que: 
“Em qualquer ponto no interior de um fluido em repouso, a 
pressão é a mesma em todas as direções.” 
Isso significa que num elemento de área dA submerso em um fluido, construído em 
torno de um ponto, e que possa girar livremente em torno do seu centro, agirá sempre 
uma força de mesma intensidade, independentemente da orientação da área elementar. 
 A demonstração desta lei pode ser feita admitindo-se um pequeno corpo em 
forma de paralelepípedo de seção triangular e lados infinitesimais, dx, dy e ds, de 
comprimento unitário, imerso no interior de um fluido de massa específica ρ, conforme 
esquematizado na figura seguinte. 
Lições de Hidráulica Básica 
 
76 
 
 
Fig. 03 – Paralelepípedo infinitesimal de fluido e as 
forças devidas ‘a pressão nas suas faces. 
 
 Da trigonometria pode-se escrever que: 
ds
dy
sen =θ e 
ds
dx=θcos 
 Para que o paralelepípedo de fluido esteja em equilíbrio é necessário que a 
soma de todas as forças que agem sobre ele seja nula. Considerando-se, por 
simplicidade, apenas as duas direções Ox e Ou, pode-se escrever: 
0.1..1..0 =−∴=∑ θsendspdypF sxx 
02/...cos.1..1..0 =−−∴=∑ dydxgdspdxpF syy ρθ 
Como θsendsdy .= , da primeira equação resulta sx pp = . Da segunda equação, 
lembrando que θcos.dsdx = e que ao se somarem infinitésimos podemos desprezar os 
de ordem superior, obteremos sy pp = . Assim, syx ppp == , isto é, a pressão em 
torno de um ponto é a mesma em qualquer direção quando o fluido se encontra em 
repouso. Embora a demonstração tenha considerado apenas duas dimensões, ela poderia 
ser demonstrada no caso tridimensional, considerando-se um tetraedro de fluido, com 
um pouco mais de esforço matemático. 
 
3.4.2 – Equação Fundamental da Hidrostática 
 Para fins de estudo sobre a variação da pressão no interior dos fluidos, vamos 
considerar um paralelepípedo de fluido, de lados dx, dy e dz, de volume dVol, cheio de 
Lições de Hidráulica Básica 
 
77 
 
um fluido de massa específica ρ, tudo referenciado a um referencial cartesiano tri-
ortogonal, Oxyz, conforme esquematizado na figura seguinte. 
 
 
Fig. 04 – Paralelepípedo de fluido de massa específica ρ. 
 
 O paralelepípedo de fluido mostrado possui lados dx, dy e dz, sendo o ponto P 
de coordenadas x, y e z um dos seus vértices e o ponto P ,́ de coordenadas x ,́ y ́e z ,́ o 
outro vértice oposto. 
 Com isto, P ≡ (x,y,z) e P´ ≡ (x´,y´,z´), com x´ = x + dx, y´ = y + dy e z´ = z + 
dz. 
 O volume de fluido no paralelepípedo é: dV = dx.dy.dz. 
 A massa de fluido contida em dV é: dm = ρ.dV = ρ.dx.dy.dz. 
 O peso do fluido contido em dV é: dP = ρ.g.dV. 
 Suponhamos que no ponto P a pressão seja p e que no ponto P´ a pressão seja 
p ,́ diferente de p. Como pode-se escrever que p´ = p + dp, deseja-se calcular a variação 
elementar de pressão, dp, ocorrida ao se variar a posição no interior do fluido, de P até 
P ,́ através de um deslocamento infinitesimal. Para simplicidade das equações a serem 
Lições de Hidráulica Básica 
 
78 
 
obtidas, considerar-se-á que a aceleração da gravidade seja um vetor paralelo ao eixo Oz 
que está voltado para cima. 
 Para que a massa de fluido dm esteja em equilíbrio, torna-se necessário que a 
soma de todas as forças presente seja nula. 
 Ao longo do eixo Ox: 0...0 =





∂
∂+−∴=∑ dzdydxx
p
pdzdypFx 
Logo, 
0...... =
∂
∂−− dzdydx
x
p
dzdypdzdyp . 
Então, 
0=
∂
∂
x
p . 
Assim, pressão não varia ao longo de direções paralelas ao eixo Ox, isto é, a pressão p 
não varia com x. 
 
 Ao longo do eixo Oy: 0...0 =





∂
∂+−∴=∑ dzdxdy
y
p
pdzdxpFy
 
Logo, 
0...... =
∂
∂−− dzdydx
y
p
dzdxpdzdxp . 
Então, 
0=
∂
∂
y
p
 
Assim, pressão não varia ao longo de direções paralelas ao eixo Oy, isto é, a pressão p 
não varia com y. 
Como 0=
∂
∂
x
p e 0=
∂
∂
y
p , conclui-se que a pressão não varia ao longo do plano xOy ou de 
planos paralelos a xOy. Como o plano xOy é perpendicular a Oz, que é vertical, por 
hipótese, conclui-se que a pressão não varia ao longo de um plano horizontal de um 
Lições de Hidráulica Básica 
 
79 
 
mesmo fluido em repouso. Tal conclusão é de suma importância no estudo dos fluidos 
em repouso, pois define a igualdade das pressões o longo de uma superfície de nível. 
 
Ao longo de uma mesma superfície de nível de um mesmo fluido em repouso, a 
pressão não varia. 
 
 Essa conclusão, juntamente com mais algumas observações leva ao princípio 
dos vasos comunicantes, permite a marcação de pontos em uma mesma horizontal, 
procedimento conhecido como nivelamento. 
 
 Resta, agora, obter a lei de variação da pressão ao longo do eixo Oz. Como 
0...0 =−





∂
∂+−∴=∑ dPdydxdz
z
p
pdydxpFz , 
onde dP é a componente do peso do fluido contido no paralelepípedo, segundo o eixo 
Oz. O sinal negativo decorre do fato de que a aceleração da gravidade estar voltada para 
baixo e o eixo Oz estar voltado para cima. Lembrando que dP = ρ.g.dV e que dV = 
dx.dy.dz, teremos: 
0......... =−
∂
∂−− dzdydxgdzdydx
z
p
dypdxdydxp ρ 
Logo, 
γρ −=−=
∂
∂
g
z
p 
Tal conclusão, diz que a taxa de variação da pressão ao longo do eixo Oz vale menos o 
peso específico do fluido. Lembrando que p não varia com x e nem com y, portanto 
somente variando com z, conclui-se que a derivada parcial da pressão com relação ao 
eixo z é igual à derivada total da mesma pressão com relação ao mesmo eixo z, isto é, 
dz
dp
z
p =
∂
∂
. 
Finalmente, pode-se escrever que: 
Lições de Hidráulica Básica 
 
80 
 
γρ −=−= g
dz
dp . 
Esta expressão é a equação diferencial fundamental da hidrostática e vale sempre que 
tivermos o eixo Oz paralelo ao vetor aceleração da gravidade. É através dela que são 
resolvidos todos os problemas de variação de pressão no interior dos fluidos em 
repouso, sendo chamada de lei da variação hidrostática da pressão. Mais tarde será visto 
como equacionar a variação da pressão quando o fluido estiver escoando na presença de 
gradientes de velocidade. 
 
 Partindo da equação fundamental da hidrostática, é possível calcular a 
diferença de pressão quando o deslocamento no interior do fluido deixar de ser 
infinitesimal, por integração, conforme disposto a seguir. 
Como dzdp
dz
dp γγ −=⇒−= . Logo, a variação de pressão entre dois pontos P e P´, agora 
em termos finitos, será calculada por integração: 
( )∫∫ −=∴−=
´´ z
z
p
p
dzdpdzdp γγ . 
Observar que para resolver a integral do segundo membro é necessário conhecer como γ 
varia com z. Mas, de qualquer forma, poderemos escrever que: 
 ∫−=−
´
´
z
z
dzpp γ ou ∫=−
´
´
z
z
dzpp γ 
Supondo z ́maior que z, dz será positivo, assim como γ. Logo p será maior que p ,́ isto 
é, a pressão no ponto mais baixo é maior que a pressão no ponto mais elevado. Nesse 
caso adotaremos, a menos de aviso em contrário, que p – p´ = ∆p, sendo ∆p > 0 quando 
z < z ́e ∆p < 0 quando z > z .́ Finalmente podemos escrever que: 
∫=−=∆
´
´
z
z
dzppp γ 
 Esta expressão representa a equação integral da variação da pressão no interior 
dos fluidos e será usada sempre que soubermos como realizar a integração presente no 
segundo membro. 
 
Lições de Hidráulica Básica 
 
81 
 
3.4.3 – Variação da pressão nos gases 
 No curso de Mecânica dos Fluidos é discutido como a pressão varia nos gases, 
através da solução da integral acima, em alguns casos conhecidos. Quando se admite 
que o fluido em repouso é um gás perfeito, à temperatura constante, a Lei de Boyle 
ensina que: 
.
0
0 Cte
pp ==
ρρ
 
Nessa equação p é a pressão na qual a massa específica é ρ e po é a pressão inicial, na 
qual a massa específica é ρo, considerando-se que a temperatura não tenha mudado. 
Logo, 
0
0
ρρ
p
p= , 
substituindoesse resultado na equação diferencial da hidrostática, encontraremos: 
dz
p
g
p
dp
0
0.ρ= . 
A equação acima pode ser integrada de po até p e de zo até z para fornecer a expressão da 
variação da pressão em um gás ideal, à temperatura constante: 
( )
o
oo
p
zzg
epp
−
=
ρ
.0 
 
 A lei de Charles determina que para gases sob a mesma pressão, o volume 
ocupado é proporcional à temperatura. Assim, para uma dada pressão constante, a 
relação V para T é uma constante. Combinando-se esse resultado com a lei de Boyle, 
encontra-se uma equação conhecida como equação universal dos gases ideais, escrita 
da seguinte forma: 
TnRpV o= 
Onde p é a pressão na qual o gás se encontra, V o volume ocupado, n o número de 
moles, Ro a constante universal dos gases e T a temperatura absoluta do gás. O valor 
aceito para Ro é de 8134 N.m/(kg.mol.K). 
Lições de Hidráulica Básica 
 
82 
 
 Como n = m/M e ρ = m/V, a equação anterior pode ser escrita como sendo: 
T
M
R
V
m
pTR
M
m
pV oo =∴= � RTp ρ= 
Nessa equação, M é a massa molecular, R a constante específica do gás e ρ a sua massa 
específica. Essa é uma forma usual no estudo dos fluidos. 
 Deve ser lembrado que os gases reais não obedecem exatamente a essa lei, 
havendo um pequeno desvio que aumenta quanto maior for a pressão na qual o gás está 
submetido. A tabela xx abaixo fornece o valor de R para os principais gases no domínio 
da engenharia. 
 
Tabela xx – Propriedades dos gases comuns nas condições normais de 
temperatura e pressão (T = 15ºC e p = 101 325 Pa). 
Gás Símbolo 
Químico 
Massa Molecular, 
M 
Constante 
específica, R, em 
N.m/(kg.K) 
Ar --- 28,98 286,9 
Dióxido de Carbono CO2 44,01 188,9 
Monóxido de Carbono CO 28,01 296,8 
Hélio He 4,003 2 077 
Hidrogênio H2 2,016 4 124 
Metano CH4 16,04 518,3 
Nitrogênio N2 28,01 286,8 
Oxigênio O2 32,00 259,8 
Vapor d´água * H2O 18,02 461,4 
* Quando superaquecido a 55ºC ou mais. 
 Tabela compilada de Introdução à Mecânica dos Fluidos, Fox & MacDonald. 
 
 Outro caso conhecido de variação da pressão nos gases e que pode ser 
facilmente resolvido, é quando se admite que a atmosfera se comporte como um gás 
ideal e que existe um gradiente de temperatura constante, β = dT/dz, tal que T = To + 
β.z, onde T é a temperatura absoluta, To é a temperatura média na superfície da terra, β o 
gradiente de temperatura considerado constante e z a altitude onde se que avaliar a 
Lições de Hidráulica Básica 
 
83 
 
pressão atmosférica. Para a Troposfera (camada da atmosfera entre 0 e 11.019 m de 
altura) pode-se considerar β = -0,00651 ºK/m, desde 288 ºK (15ºC) ao nível do mar (zo = 
0) até 216,5 ºK (-56,5ºC) onde z = 11 019 m. O sinal negativo expressa a diminuição da 
temperatura quando se eleva na atmosfera. Tais valores serviram para definição da 
atmosfera padrão nos Estados Unidos da América. Lembrar que a pressão atmosférica 
ao nível do mar, para fins de definição da atmosfera padrão, vale 101.325 Pa. Entre 11 
019m e 20 100 m a temperatura permanece constante (β = 0). A 32 200 m a temperatura 
sobe para 228,5 K (-44,5 ºC), subindo novamente para 270,5 K (-2,5ºC) a 47 300 m, 
fica constante nesse valor até 52 400 m, depois cai para 252,5K a 61 600m, tornando a 
cair para 180,5K (-92,5ºC) a 80 000 m e ficando constante nesse valor para altitudes 
maiores. 
 Considerando a validade da equação dos gases ideais, p = ρRT, com R sendo a 
constante específica do ar presente na atmosfera e adotando, para o ar atmosférico R = 
286,9 N.m/kg/ºK, é possível deduzir uma equação que representa a variação da pressão 
com a altitude. 
 Considerando que a equação dos gases ideais, ρ = p/(RT), é válida para o ar 
atmosférico e que a equação diferencial fundamental da hidrostática é dp = -ρgdz, pode-
se escrever que: 
( ) gdzzTR
p
dpgdz
RT
p
dp
o β+
−=∴−= 
( ) ( )zT
dz
R
g
p
dp
dz
zTR
g
p
dp
oo β
β
ββ +
−=∴
+
−= 
Integrando a equação acima com a pressão entre po e p e z entre 0 e z, tem-se: 
( )∫∫ +
−=
z
o
p
p
dz
zTR
g
p
dp
o 0 β
β
β
 
] ( )]zopp zTR
g
p
o 0
lnln β
β
+−= 
( )[ ]ooo TzTR
g
pp lnlnlnln −+−=− β
β
 
Lições de Hidráulica Básica 
 
84 
 
( )





 +−=





o
o
o T
zT
R
g
p
p β
β
lnln � ( ) ββ R
g
o
o
o T
zT
p
p
−





 +=





lnln 
( ) ββ R
g
o
o
o T
zT
p
p
−





 += 
 Finalmente, a equação que permite avaliar a pressão atmosférica a uma data 
altitude, z, pode ser escrita na forma: 
ββ R
g
o
z
T
pp
−






+= 10 
Tal equação permite avaliar o valor da pressão atmosférica padrão em diversas altitudes, 
apenas escolhendo um valor correto para o gradiente de variação da temperatura com a 
altura. Não deve ser esquecido que variações locais da pressão são observadas com 
freqüência, em virtude das condições atmosféricas variarem ligeiramente. Esses desvios 
são detectados corretamente quando se mede a pressão atmosférica local com os 
barômetros. 
 
3.4.4 – Variação da pressão nos líquidos 
 No caso dos líquidos, considerados incompressíveis para a maioria dos 
propósitos, pode-se admitir que ρ é constante. Assim, nas proximidades da superfície 
terrestre, considerando a aceleração da gravidade, g, constante, pode-se concluir que γ 
seja aproximadamente constante. Nesse caso, para dois pontos onde as pressões são p e 
p ́e as cotas respectivamente z e z ,́ tem-se: 
∫∫∫ −=−=∴−=
´´´ z
z
z
z
p
p
dzdzdpdzdp γγγ 
Logo, 
)´(´´
´
zzppdzpp
z
z
−−=−∴−=− ∫ γγ ou )´(´ zzpp −=− γ 
 
Lições de Hidráulica Básica 
 
85 
 
 Admitindo que z ́seja maior que z ( o ponto P´está mais alto que o ponto P) e 
denominando a diferença de cotas h = z´- z, profundidade do ponto P em relação ao 
ponto P ,́ ter-se-á: 
hpp γ+= ´ ou hgpp ρ+= ´ 
Esta expressão, que permite calcular a pressão em um ponto mais baixo, p, à partir da 
pressão no ponto mais alto, p ,́ e de h, é denominada de Lei de Stevin. 
 
 De outra forma, poderemos admitir que a diferença de pressão entre um ponto 
mais baixo e um ponto mais elevado no interior de um líquido será dada pela expressão 
γ.h, onde h é a diferença de profundidade entre os pontos. Esta diferença de pressão às 
vezes é denominada de pressão relativa, pois expressa o quanto a pressão em um ponto 
é maior que a de um ponto mais elevado dentro do líquido: 
relpphpp =∆==− γ´ 
 
a) Caso da pressão entre dois pontos situados no interior de um líquido: 
 Caso de dois pontos no interior de um líquido de massa específica ρ, conforme 
desenho esquemático na figura seguine. 
 A expressão que relaciona a pressão entre os pontos 1 e 2, decorre da aplicação 
direta da Lei de Stevin, com h = z2 – z1: 
hpghpp γρ +=+= 221 
 
Lições de Hidráulica Básica 
 
86 
 
 
Fig. xxx- Variação da pressão no interior de um líquido. 
 
 A figura xx seguinte ilustra esse princípio de variação da pressão dentro de um 
líquido. 
 
Fig. xxx- Variação da pressão entre dois pontos 1 e 2 no interior de um líquido. 
 
 
b) Caso de líquidos com superfície livre sujeita à pressão atmosférica 
 Quando um líquido ocupa parcialmente um reservatório, automaticamente se 
estabelece uma superfície plana horizontal, na sua parte mais elevada, na qual a pressão 
é constante (superfície de nível). Quando esta superfície está em contato direto com o ar 
atmosférico (reservatório aberto), diz-se que a superfície é livre e que está sujeito à 
pressão atmosférica do local onde se encontra o líquido. No caso de reservatórios em 
Lições de Hidráulica Básica 
 
87 
 
que a superfície fica sujeita a uma pressão maior (ou menor) que a pressão atmosférica, 
diz-se que o reservatório é fechado, não possuindo uma superfície livre. 
 A atmosfera terrestre é formada por uma camada gasosa com espessura de 
cerca de 1.500 km, composta de uma mistura gasosa. Sabe-se que o nitrogênio constitui 
cerca de 78% da atmosfera, seguido pelos 21% do oxigênio e 1% de outros gases,tais 
como o argônio, dentre outros. Os gases possuem massa e, consequentemente um peso 
que exerce uma pressão sobre uma superfície com a qual estejam em contato. A relação 
entre o peso da camada gasosa em contato com a superfície e a área desta superfície é 
uma pressão denominada de pressão atmosférica. Apenas para efeito de exemplo, ao 
nível do mar e em condições normais, a pressão atmosférica é igual a 101.325 Pa, 
equivalente a altura de uma coluna de mercúrio metálico a 0 ºC de 760 mm. 
 Seja um ponto P, no interior de um líquido de massa específica ρ, onde a 
pressão vale p. Este ponto se encontra a uma cota z em relação a um plano horizontal de 
referência. A superfície livre do líquido sujeita à pressão atmosférica se encontra a uma 
cota zatm. É óbvio que a profundidade do ponto P, estabelecida à partir da superfície 
livre do líquido é h = zatm – z, conforme mostra a figura seguinte. 
 
Fig. xx – Variação da pressão no interior de um líquido cuja superfície está 
sujeita à pressão atmosférica. 
 
 Pela lei de Stevin, pode-se escrever que: 
ghpp atm ρ+= 
Lições de Hidráulica Básica 
 
88 
 
 Como a pressão atmosférica tem um valor para cada ponto na superfície 
terrestre, a pressão p é dita pressão absoluta, pois considera a pressão devida à coluna 
gasosa da atmosfera e a pressão relativa à coluna de líquido de massa específica ρ e 
altura h. Para se ter uma idéia, no Laboratório de Hidráulica do Departamento de 
Engenharia Civil da Escola de Minas, no Campus Universitário do Morro do Cruzeiro, 
essa pressão atmosférica vale aproximadamente 87.600 Pa, o que corresponde a exatos 
657,3 mm de mercúrio. Se o líquido acima fosse água a 20 ºC, a pressão relativa à 
coluna de água correspondente a um h = 1,00 m seria de 9.789 Pa. Assim a pressão no 
ponto P, de uma caixa d´água instalada em Ouro Preto, seria de 97.389 Pa (notar que se 
trata de uma pressão absoluta). 
 No entanto, a expressão acima pode ser escrita como: 
relatm phgpp ==− ρ 
À diferença entre a pressão absoluta e a pressão atmosférica dá-se o nome de pressão 
relativa, pressão manométrica ou pressão efetiva, pois ela simplesmente informa a 
parcela da pressão que ultrapassa ou que está abaixo da pressão atmosférica. Nota-se, 
portanto, que a pressão em um ponto pode ser medida de duas maneiras: uma incluindo 
a pressão atmosférica e outra desconsiderando a pressão atmosférica. Em Hidráulica, 
assim como na engenharia de uma maneira geral, quando se trata de problemas relativos 
aos líquidos é costume falar apenas na pressão relativa. Quando se trata de problemas 
envolvendo os gases a pressão a ser considerada é a pressão absoluta. 
 Vê-se que relatmabs ppp =− ou que relatmabs ppp += . De agora em diante, 
denominaremos a pressão relativa apenas de p (prel = p) e a pressão absoluta de pabs. 
Assim, as equações acima doravante serão escritas da seguinte forma: 
ppp atmabs =− ou que ppp atmabs += , onde relpp = . 
Sempre que for necessário escrever a pressão absoluta, deveremos chamar atenção para 
esse caso. 
 
 
 
Lições de Hidráulica Básica 
 
89 
 
c) Escalas de Pressão Relativa e de Pressão Absoluta 
 A partir destas observações, é possível criar, então, duas escalas para a medida 
da pressão em um ponto: uma, a escala absoluta, e outra, a escala relativa. Na realidade 
as pressões poderiam ser expressas em relação a qualquer referência arbitrária. Todavia 
duas referências são usuais. Uma delas, a escala de pressão absoluta, expressa a 
diferença entre a pressão e o vácuo total. A outra, a pressão relativa, expressa a 
diferença entre a pressão e a pressão atmosférica, seja qual valor ela tiver. A figura 
seguinte ilustra as duas escalas. 
 
Fig. xx – Desenho esquemático das escalas de pressão absoluta e de pressão 
relativa. 
 
 Na escala de pressões absoluta, o menor valor é zero. Nessa escala não existe 
pressão menor que zero. Isso significa que sobre uma dada área, a resultante de todas as 
forças normais é nula. Assim não é possível ter resultante negativa. 
 Na escala de pressões relativas, o zero corresponde à pressão atmosfera local, 
qualquer que seja o seu valor medida na outra escala, sendo as pressões maiores 
positivas e as menores negativas. Nesta escala pequenas pressões negativas são 
denominadas de vácuo parcial. Essas pressões ocorrem na tubulação de sucção de 
algumas instalações de bombeamento, como será visto posteriormente. Ainda nesta 
escala, a maior pressão negativa possível corresponde a –patm. Esse é o vácuo total. Em 
Ouro Preto corresponderia a cerca de -87.600 Pa ou – 657,3 mm de Hg. Então, a título 
Lições de Hidráulica Básica 
 
90 
 
de ilustração, querer que uma bomba de vácuo faça um vácuo em um recipiente fechado 
igual a – 700 mm de Hg, em Ouro Preto, é ignorar tudo o que se considerou acima. Ao 
nível do mar isso é possível. 
 A medida da pressão nas escalas absoluta e relativa é análoga à medida da 
temperatura nas escalas absoluta (Kelvin) e Celcius (relativa). Sabe-se que T(K) = 
273,154 + T(C). 
 
d) Pressão Expressa em Metro de Coluna de Líquido 
 Pressão ainda pode ser expressa em altura de coluna de líquido. É muito usado 
falar em pressão expressa em metros de coluna de água (mca) ou mesmo milímetro de 
mercúrio (mm Hg). Na verdade o que se está fornecendo é a altura de uma coluna de 
água que, na sua base, desenvolveria uma pressão correspondente à pressão que se está 
medindo. O mesmo acontece com a pressão sendo expressa em milímetros de mercúrio 
(mm Hg). Como p = ρgh, temos que a relação entre a pressão e o peso específico do 
fluido será: 
γρ
p
g
p = = h. Esse valor de h é informado como o valor da pressão. Porém, 
não podemos nos enganar sobre o que está sendo informado na realidade (relação 
pressão dividida pelo peso específico do fluido). No fundo do reservatório mostrado na 
figura xx, a pressão será hp γ= , com h sendo a profundidade do fundo do 
reservatório, medida em relação à superfície livre do líquido. 
 
Fig. xx – Pressão expressa em altura de coluna de líquido: p / γ = h, 
sendo γ = ρ.g. 
Lições de Hidráulica Básica 
 
91 
 
 
e) Pressão com Líquidos Imiscíveis 
 Quando se tem dois líquidos imiscíveis, de massas específicas diferentes, ρ1 e 
ρ2, a pressão no fundo pode ser calculada diretamente com a lei de Stevin, aplicada aos 
dois fluidos, conforme figura xx a seguir. 
 
Fig. xx – Pressão expressa em altura de coluna de líquido para dois líquidos 
imiscíveis de massa específica ρ1 e ρ2, sendo ρ1 > ρ2. 
 
 Nesse caso a pressão no fundo do recipiente será dada por 
2211 hhp γγ += . 
 
3.5 – Exemplos de Aplicação: 
 Muitos são os exemplos de aplicação dos princípios vistos até aqui. Citaremos, 
a título de ilustração, apenas dois: a prensa hidráulica e os vasos comunicantes. 
 
3.5.1 – Prensa hidráulica 
 A prensa hidráulica é um dispositivo hidráulico que permite equilibrar grandes 
cargas, pela aplicação de pequenas forças sobre um êmbolo que encerra um líquido em 
um cilindro, conforme ilustra a figura xx a seguir. A força F1 a ser aplicada em uma 
área A1 é inferior à força F2 aplicada em uma área A2, tal que A2 > A1. 
 
Lições de Hidráulica Básica 
 
92 
 
 
Fig. xx – Esquema ilustrativo da prensa hidráulica. 
 
 
 Pelo fato da pressão ser constante ao longo das áreas A1 e A2, tem-se: p1 = 
F1/A1 e p2 = F2/A2. 
Sabe-se que p3 = p2 + ρog∆h 
Mas, p1 = p3. Logo, escreve-se que: 
h
A
F
A
F
o ∆+= γ
2
2
1
1 
Finalmente, a equação da prensa hidráulica será: 
12
2
1
1 hAFA
A
F o ∆+= γ 
Observações: 
1. Se ∆h for desprezível: 
2
2
1
1 FA
A
F = . Nesse caso, quanto maior for A1/A2, maior será F1, 
para equilibrar uma força F2. 
2. Em geral A1 é muito inferior a A2, de forma que a relação A1/A2 é muito menor que 1. 
Nesse caso, F1 será muito menor que F2, isto é, é possível equilibrar uma F2 grande com 
uma força F1 bem menor, aplicada no êmbolo da direita. 
Lições de Hidráulica Básica93 
 
 A ilustração seguinte sugere a possibilidade e se equilibrar um 
fusca sobre uma prensa hidráulica, com a aplicação de uma pequena força f. 
 
 
 
Fig. xx – Esquema do uso de uma prensa hidráulica. 
 
 
3.5.2 – Vasos Comunicantes 
 Uma consequência do teorema de Stevin é o princípio dos vasos 
comunicantes. Colocando-se um líquido em recipientes de forma e capacidade 
diferentes, interligados pela base por um conduto, ao se estabelecer o equilíbrio, a altura 
do líquido é a mesma em todos os recipientes. Isso se deve ao fato de que a pressão 
exercida por um dado líquido só depende da altura da coluna de líquido. Se as alturas 
fossem diferentes, as pressões na base seriam diferentes, produzindo um desequilíbrio. 
Lições de Hidráulica Básica 
 
94 
 
 
Fig. xx – Vasos comunicantes. 
 
Relações no exemplo acima 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lições de Hidráulica Básica 
 
95 
 
 
 
 
 
 
 A figura seguinte ilustra o princípio dos vasos comunicantes, visto que 
os reservatórios de diferentes formas estarem interligados pela base, fazendo com que 
os níveis do líquido nos diferentes reservatórios seja iguais. 
 
 
Fig. xx – Ilustração dos vasos comunicantes. 
 
 Aplicação interessante é o nivelamento realizado pelos pedreiros nas 
obras. Os pedreiros para marcar pontos em um mesmo nível utilizam de uma mangueira 
transparente cheia de água. Para verificar se o equipamento encontra-se funcional, o 
pedreiro junta as duas pontas para verificar se o nível nos dois ramos são iguais. Após 
isso, uma ponta fica junto ao nível de referência e a outra segue para um outro ponto. 
Quando o nível da primeira ponta se igualar ao nível que se quer transferir, sabe-se que 
o nível da água na outra ponta da mangueira define o nível no novo local. Assim este é 
marcado rigorosamente dizendo-se eu se transferiu o ponto. A técnica está ilustrada na 
figura seguinte. 
Lições de Hidráulica Básica 
 
96 
 
 
Fig. xx – Esquema da aplicação do princípio dos vasos comunicantes no 
nivelamento de pontos na construção civil. 
 
 
 
3.6 – MEDIDORES DE PRESSÃO 
 
 A pressão em um fluido pode ser medida segundo duas escalas distintas. Uma, 
considerando que a menor pressão possível é zero, denominada de escala de pressão 
absoluta. A outra, considerando que o valor da pressão atmosférica seja zero, 
denominada de pressão relativa, pressão efetiva ou pressão manométrica. 
 
3.6.1. Medidores de pressão absoluta 
 Como o próprio nome diz, são dispositivos mecânicos ou eletrônicos 
destinados à medir a pressão absoluta de um fluido. Dentre eles pode-se salientar três 
tipos, conforme descrição a seguir. 
 
 a) Barômetro de Torricelli: 
 É um instrumento inventado por Torricelli, em 1643, para medir a pressão 
atmosférica de uma localidade através de uma coluna de mercúrio metálico, razão pela 
Lições de Hidráulica Básica 
 
97 
 
qual também é denominado de barômetro de mercúrio. Ele é formado por um tubo de 
vidro com uma das extremidades fechada e a outra conectada a um reservatório 
contendo mercúrio metálico com uma superfície livre, conforme indicado na figura. 
 
Evangelista Torricelli – físico e matemático italiano nascido em 1608 
e falecido em 1647. 
 
 
 
Fig. xxx – Esquema de um barômetro de Torricelli 
 
 Um tubo com uma das extremidades fechada é cheio de mercúrio e em seguida 
é introduzido em uma cuba contendo o mesmo líquido. Ao inverter o tubo de vidro, a 
pressão na parte superior do tubo irá diminuir devida ao peso da coluna de mercúrio, até 
atingir a sua pressão de vapor. No equilíbrio, a coluna se estabiliza sob a ação da 
pressão atmosférica agindo na superfície livre do mercúrio e da pressão de vapor agindo 
na superfície livre que se forma dentro do tubo de vidro e com a coluna de mercúrio 
atingindo a altura h. A altura h indica a pressão atmosférica local. 
 Como a pressão em uma superfície de nível de um mesmo fluido não varia, 
pode-se escrever que p1 = p2. 
Mas p1 = patm e p2 = pv + γm.h, sendo pv a pressão de vapor do mercúrio e γm.o seu peso 
específico. Portanto a pressão atmosférica pode ser calculada por: 
Lições de Hidráulica Básica 
 
98 
 
patm = pv + γm h 
 Por outro lado, observa-se que a pressão de vapor do mercúrio é muito pequena 
quando comparada com a segunda parcela da equação anterior, podendo ser desprezada. 
A 20oC a pressão de vapor do mercúrio é de 0,17Pa o que corresponde a 0,0013 mm Hg 
a 0ºC. Para efeito de comparação, a pressão de vapor para a água a 20ºC é de 2.340 Pa o 
que corresponde a 17,6 mm Hg a 4 ºC ou 238,6 mm de água a 4ºC. 
 Se pv = 0 pode-se escrever, finalmente, uma expressão para o cálculo da 
pressão atmosférica à partir da leitura da coluna de mercúrio e de sua massa específica: 
patm = γm h ou patm = ρm g h 
Observações: 
1. Unidades freqüentes: mm de Hg, hPa ou mbar. 
2. Ao nível do mar e nas condições normais de temperatura e pressão, estando o 
mercúrio a 0ºC, a coluna de mercúrio será igual a 760 mm. Assim diz-se que a 
pressão atmosférica nessas condições é de 760 mm de mercúrio. Nesse caso, a 
pressão atmosférica é expressa por uma coluna de 760 mm de mercúrio. Na 
verdade, 760 é a relação entre a pressão atmosférica e o peso específico do 
mercúrio, quando expressa em milímetros. 
 
 Ao se medir a pressão atmosférica com o barômetro de Torricelli deve-se 
atentar para a correção da coluna lida dos efeitos da capilaridade (se presentes), da 
dilatação do vidro e da escala de medição da altura h e da variação da massa específica 
do mercúrio com a temperatura. 
1. correção da dilatação da escala � desprezível 
2. correção da dilatação do vidro � desprezível 
 
 Em aparelhos confiáveis as correções de capilaridade, da dilatação do vidro e 
da escala de medida são desprezíveis, restando apenas a correção devida à variação da 
massa específica do mercúrio com a temperatura, já que, dificilmente, a coluna de 
mercúrio se encontra a 0ºC. 
Correção devida à temperatura do mercúrio 
Lições de Hidráulica Básica 
 
99 
 
 Na maioria das vezes que se mede a pressão atmosférica com o barômetro de 
Torricelli, a coluna de mercúrio se encontra a uma temperatura diferente de 0oC, 
temperatura na qual foi definida unidade de pressão denominada de Torricelli (Tor) ou 
milímetro de mercúrio. Assim, ao se obter a medida da altura h do mercúrio a uma 
temperatura T, é preciso corrigir a altura para mercúrio a 0oC. Para tanto, basta 
considerar o caso de se ter dois barômetros medindo a mesma pressão atmosférica: um a 
0oC e outro a ToC, As alturas das colunas de mercúrio seriam ho e h, respectivamente. É 
óbvio que: 
patm = γ.h = γo.ho 
Logo: 
ho = γ / γo.h ou ho = ρ / ρo.h 
Assim, basta multiplicar a altura da coluna de mercúrio obtida a uma dada temperatura 
pelo peso específico do mercúrio nessa mesma temperatura e dividir pelo peso 
específico do mercúrio a 0oC. 
 
 
Exemplo: 
Mediu-se a pressão atmosférica no Laboratório de Hidráulica da Escola de Minas, 25oC, 
encontrando-se uma altura de coluna de mercúrio igual a 670 mm. Qual a pressão 
atmosférica no local, expressa em pascal e em milímetros de mercúrio? 
 
Solução: 
Consultando uma tabela de massas específicas do mercúrio com a temperatura, 
encontramos que a 25oC tem-se 13.533,6 kg/m3 e a 0oC tem-se 13.595,1 kg/m3. 
Conforme visto anteriormente: 
patm = 13.533,6 kg/m
3 . 9,807 m/s2 . 0,670 m 
patm = 88.925,1 Pa 
A altura da coluna de mercúrio correspondente a 0oC será: 
ho = 13.533,6 / 13.595,1 . 0,670 m 
Lições de Hidráulica Básica 
 
100 
 
ho = 0,667 m ou ho = 667 mm 
 Observar que a diferença é de apenas 3 mm, cerca de 0,45% do valor medido, 
porém, em muitos casos, torna-se imprescindível realizar tal correção. 
 
 b) Barômetro Aneróide ou de caixa de vácuo 
 Aparelho destinado a medir a pressão atmosférica à partir de um pequeno 
reservatório deformável no qual foi previamente feito um vácuo total.Fig. xxx – Esquema de um barômetro Aneróide 
 
 O equipamento, ilustrado no esquema da figura anterior, possui uma caixa 
metálica com paredes deformáveis onde se fez um vácuo total e que fica sujeita à 
pressão atmosférica que causa deformação nessa caixa. A caixa é ligada a um ponteiro 
indicador, através de um mecanismo de amplificação das deformações, normalmente 
um mecanismo de relojoaria com mola para compensar eventuais atritos presentes, onde 
a leitura do valor da pressão atmosférica é feita, em uma escala convenientemente 
acoplada. Em geral todo o mecanismo é abrigado em uma caixa metálica robusta, para 
permitir fácil manuseio do equipamento, bem como a sua portabilidade. 
 É comum encontrar aparelhos com a escala de leitura graduada em mmHg, 
polegadas de Hg, mbar ou hPa. Nesses equipamentos a menor divisão da escala é 1 
mmHg, 1 mbar ou 1 hPa, devendo a fração da leitura ser avaliada por interpolação na 
escala. 
Lições de Hidráulica Básica 
 
101 
 
 A principal vantagem do equipamento é a sua portabilidade e robusticidade, 
permitindo facilidade nas operações de campo. Entretanto a precisão não é grande, além 
de necessitar aferições freqüentes, quando muito utilizado. 
 
 c) Barômetro eletrônico 
 Um equipamento bastante difundido recentemente é o barômetro eletrônico, 
também denominado de transdutor de pressão absoluta. Ele é formado por um sensor de 
pressão que incorpora um dispositivo semicondutor, uma caixa de vácuo, um 
amplificador de sinal e um indicador. Sobre uma pequena cápsula onde de faz vácuo 
total é montado um dispositivo semicondutor, formado por resistor, capacitor ou 
indutor. Assim, o valor da resistência, capacitância ou indutância varia conforme a 
pressão aplicada na outra extremidade da cápsula, formando assim um dispositivo 
sensível à pressão atmosférica. Via de regra, usa-se um strain gage ou um elemento 
piezo-resistivo. 
 O transdutor precisa receber alimentação elétrica a fim de fornecer um sinal 
que é amplificado, convertido em milivoltagem e submetido ao indicador, que 
normalmente é um milivoltímetro, que mostra o valor da pressão medida. A figura 
seguinte é um esquema do aparelho. 
 
Fig. xxx – Esquema de um barômetro Eletrônico 
 Quando se dispõe apenas do transdutor, principalmente em trabalhos ligados a 
pesquisa, é comum a utilização de uma fonte de alimentação e de um indicador que já 
contenha a amplificação do sinal para um valor desejado. Nesse caso, submete-se o 
transdutor a diversas pressões conhecidas através de um padrão e faz-se a leitura da 
indicação em mV. Em seguida constrói-se um gráfico da pressão p versus a leitura em 
mV. Na maioria dos transdutores encontrados no mercado, dentro de uma faixa 
Lições de Hidráulica Básica 
 
102 
 
adequada, a variação é linear entre p e mV, restando apenas determinar os valores da 
constante (off set) e do coeficiente (ganho), através de uma regressão linear, conforme 
gráfico da figura seguinte. 
 Seja p = a + b.mV, com a e b conhecidos, a reta obtida, denominada de curva 
de calibração. Nesse caso, as pressões aplicadas podem ser conhecidas, medindo-se a 
mV e com a curva de calibração. 
 
Fig. xxx – Esquema de uma reta de calibração de um barômetro eletrônico. 
 
 
3.6.2 – Medidores de pressão relativa 
 São denominados de manômetros os dispositivos de medida da pressão em 
relação à pressão atmosférica. São muitos os princípios utilizados para medição da 
pressão relativa, pressa manométrica ou pressão efetiva. Esses equipamentos, quando 
submetidos a uma pressão igual à pressão atmosférica devem indicar zero. 
 a) Manômetro de Bourdon 
 É um aparelho usado para medir pressões superiores à pressão atmosférica, 
formado por um tubo curvo e achatado dentro do qual é aplicada a pressão que se quer 
medir. A deformação devida a aplicação da pressão é sentida por um mecanismo de 
amplificação de sinal e transmitida a um ponteiro que se desloca sobre uma escala 
convenientemente construída, na unidade que se quer medir a pressão. Nesse caso o 
valor da pressão é lido diretamente no ponteiro, sobre a escala de medição, conforme 
ilustra o esquema da figura seguinte. A unidade de pressão da escala pode ser a mais 
Lições de Hidráulica Básica 
 
103 
 
variada possível. É comum graduações em lbf/pol2 (psi), kgf/cm2, mmHg, kPa, mca, 
dentre outras. 
 
 
Fig. xx – Esquema de um manômetro de Bourdon, para a unidade de pressão 
U(p). 
 
 A forma do tubo curvo pode ser um C, uma ferradura ou espiralada. A seção do 
tubo achatado pode ser elíptica. O material pode ser tomback (liga de aço e latão), latão, 
aço inoxidável ou plástico duro. 
A pressão lida será p = pabs – patm, sendo 
admitida como a pressão no centro da escala do 
aparelho. Aparelhos de grande sensibilidade, ao medir a 
pressão de líquidos devem ter a sua indicação corrigida 
da posição. 
 
Correção de posição do manômetro. 
 Para se obter a pressão correta em um ponto A 
conforme ilustrado na figura, adicionar ou subtrair a parcela devida à pressão relativa. 
 
 
Lições de Hidráulica Básica 
 
104 
 
 
 
 pA = pM + γ.h � para o caso do manômetro se encontrar acima do ponto cuja 
pressão deseja-se medir. 
 pA = pM - γ.h � para o caso do manômetro se encontrar abaixo do ponto cuja 
pressão deseja-se medir. 
O equipamento é encontrado em vários formatos, com diversos tamanhos 
relacionados com a sua exatidão e para diversas faixas de pressão a serem medidas. 
Cada tipo construtivo pode ter características adequadas ao processo no qual a pressão 
precisa ser conhecida. 
 
 Classes de exatidão para manômetros: 
CLASSE EXATIDÃO 
A4 0,10 % da faixa 
A3 0,25 % da faixa 
A2 0,50 % da faixa 
A1 1,00 % da faixa 
A 1,00 % na faixa de 25 e 75% 2 % no restante da faixa 
B 2,00 % na faixa de 25 e 75% 3 % no restante da faixa 
C 3,00 % na faixa de 25 e 75% 4 % no restante da faixa 
D 4,00 % na faixa de 25 e 75% 5 % no restante da faixa 
 
Tipos de selagem: 
Lições de Hidráulica Básica
 
 
Manômetro de Bourdon com Glicerina 
São manômetros de Bourdon 
de encaixe externo, recheado com glicerina. Utilizado para eliminar a vibração 
mecânica dos equipamentos ou mesmo para eliminar 
a pulsação ocasional nas linhas em que se deseja 
medir a pressão. O uso de manômetros secos nessas 
condições reduz a vida útil das engrenagens, 
inutilizando, rapidamente, o equipamento. O líquido 
de enchimento do manômetro melhora a precisão do 
instrumento e facilita a leitura pela redução das 
oscilações. 
 
Manômetro de Bourdon com ponteiro de arraste
 Utilizados na medição da pressão em processos que envolvem rápida variação 
da pressão, impossibilitando a leitura máxima. 
Nesse caso, quando a pressão se eleva, um ponteiro 
é arrastado juntamente com o ponteiro da indicação 
da pressão, permanecendo no ponto máximo 
atingido pela pressão, mesmo quando o ponteiro 
indicador da pressão retorna ao seu valor normal. 
Assim obtém-se um registro da pressão máxima 
ocorrida no processo. 
de Hidráulica Básica 
 
105 
 
 
construídos em caixa de latão forjado com anel 
de encaixe externo, recheado com glicerina. Utilizado para eliminar a vibração 
mecânica dos equipamentos ou mesmo para eliminar 
a pulsação ocasional nas linhas em que se deseja 
etros secos nessas 
condições reduz a vida útil das engrenagens, 
inutilizando, rapidamente, o equipamento. O líquido 
de enchimento do manômetro melhora a precisão do 
instrumento e facilita a leitura pela redução das 
teiro de arraste 
Utilizados na medição da pressão em processos que envolvem rápida variação 
da pressão, impossibilitando a leitura máxima. 
Nesse caso, quando a pressão se eleva, um ponteiro 
é arrastado juntamente com o ponteiro da indicação 
ermanecendo no ponto máximo 
atingido pela pressão, mesmo quando o ponteiro 
indicador da pressão retorna ao seu valor normal. 
se um registro da pressão máximaLições de Hidráulica Básica 
 
106 
 
 
Manômetro Padrão 
 Manômetro de Bourdon específico para teste, aferição ou calibração de outros 
instrumentos medidores de pressão. Muito utilizado em laboratório de calibração de 
manômetros ou em situações em que se deseja melhor exatidão da medição. O 
mostrador é construído em arco de 270º com divisões 
e subdivisões que permitem a determinação exata da 
leitura, com auxílio de uma parte espelhada para se 
evitar erros de paralaxe na leitura. Assim a imagem 
do ponteiro no espelho deve ficar sob o ponteiro, na 
condição de leitura. Nesse caso consegue-se precisão 
de até +- 02,25% do fundo de escala. 
 
Manômetro de Bourdon com selo tipo diafrágma 
 Utilizado em processos industriais que 
manipulam fluidos corrosivos, viscosos, tóxicos, radioativos ou sujeitos a alta 
temperatura. O manômetro é isolado para impedir o contato direto com o fluido do 
processo, processo que é denominado de selagem. 
 A selagem pode ser feita através de um líquido ou 
através de um diafragma e um líquido. No primeiro caso é 
necessária a utilização de um pote de selagem que 
receberá o líquido inerte que ficará em contato com o 
bourdon. Geralmente utiliza-se a glicerina como líquido de 
selagem. No segundo caso 
 
 
 
 
Manômetro de Bourdon com contatos elétricos 
Lições de Hidráulica Básica 
 
107 
 
 Manômetro de Bourdon com contatos elétricos ou magnéticos utilizado para 
ligar ou desligar circuitos elétricos na pressão 
programada. Podem ter contato elétrico duplo, 
substituindo os pressostatos. Os contatos elétricos 
são utilizados com alerta de pressão máxima ou 
pressão mínima, determinadas previamente. 
 
 
 
 
 
 b) Vacuômetro 
 É um equipamento destinado a medir pressões inferiores à pressão atmosférica, 
construído com um tubo encurvado, à semelhança do tubo de Bourdon, com mecanismo 
amplificador, ponteiro e escala. A diferença em relação ao manômetro de Bourdon é 
que esse equipamento possui o mecanismo preparado para 
medir deformações negativas. Em geral o Bourdon é montado 
ao contrário. 
 
 
 Indicação de p < patm e correção de posição ==> 
desenvolver o tema 
 
c) Transdutor eletrônico de pressão relativa 
 O transdutor eletrônico de pressão relativa é um dispositivo que transfere 
energia de um sistema hidráulico para um sistema elétrico (indicador). O manômetro de 
Bourdon visto, é um transdutor mecânico, pois faz uso de um elemento elástico para 
medir uma pressão. 
Os transdutores eletrônicos podem ser passivos (que requer alimentação de energia) ou 
ativos (que gera a sua própria energia de saída). É formado por uma cápsula na qual 
Lições de Hidráulica Básica 
 
108 
 
existe uma membrana flexível associada a um componente eletrônico capaz de captar as 
variações de pressão e enviar um sinal elétrico para um dispositivo 
amplificador/indicador. As pressões são aplicadas à cápsula, cuja membrana flexível se 
deforma, com a deformação sentida pelo componente eletrônico. Geralmente o 
elemento sensor varia a sua resistência, capacitância ou indutância quando submetido a 
diferentes pressões. Assim, gera-se um sinal eletrônico que é proporcional à pressão 
indicada. A figura seguinte mostra um esquema do transdutor. 
 
Fig. xxx – Esquema de ummanômetro eletrônico 
 
 
 O indicador pode ser de milivoltagem, voltagem, ou corrente. Ele também pode 
ser substituído por um dispositivo de saída de sinal que pode ser ligado a um 
computador de forma que os valores da pressão são obtidos diretamente. 
 O sistema requer calibração de forma que pressões 
conhecidas devem ser aplicadas à cápsula e os valores dos 
sinais de saídas lidos. Se a pressão for p e a saída for mV, um 
gráfico será obtido, mostrando uma variação linear entre p e 
mV, do tipo p = a + b.mV. Através de uma regressão linear é 
possível obter os valores de a (offset) e de b (ganho), conforme 
ilustração seguinte. 
Lições de Hidráulica Básica 
 
109 
 
 
Fig. xxx – Esquema de variação linear em um manômetro eletrônico 
 
 
 d) Piezômetro 
 É um dispositivo hidráulico que indica a pressão através da própria coluna de 
líquido, medida em uma escala associada a um tubo transparente, conforme 
esquematizado na figura seguinte. 
 
Fig. xxx – Esquema de um piezômetro. 
 
 Da figura, a pressão no interior de um recipiente cheio com um líquido de 
massa específica ρ, será dada pela lei de Stevin: 
pA = patm + γ.h 
Lições de Hidráulica Básica 
 
110 
 
Considerando-se pressão relativa, basta adotar patm = 0. Nesse caso a pressão em A será: 
pA = γ.h 
Como h = pA / γ diz-se que h representa a pressão relativa em A. 
 Quando o líquido é a água a 4ºC, h expressa a pressão em metros de coluna de 
água (mca). Assim se h = 1 m diz-se que a pressão é de 1 mca. 
 Deve ser lembrado que h pode estar sendo influenciado pela capilaridade. 
Assim, se o diâmetro do tubo transparente for menor que 10 mm faz-se necessária a 
correção devida a capilaridade, que pode ser avaliada pela lei de Jurin-Borelli. 
Questão do menisco e da posição de leitura. 
 
Fig. xxx – Meniscos formados por líquidos em tubo de vidro. 
 
 e) Manômetro de tubo U 
 É um dispositivo formado por um tubo transparente em formato de U onde se 
insere um líquido manométrico de peso específico conhecido. Uma das extremidades do 
tubo é ligada à pressão que se quer determinar e a outra extremidade fica aberta para a 
atmosfera. Os meniscos têm a sua posição determinada por uma escala milimetrada e, 
através das leituras na escala a pressão será determinada, conforme ilustrado na figura 
seguinte. 
Lições de Hidráulica Básica 
 
111 
 
 
Fig. xxx – Esquema de um manômetro de Tubo em U. 
 
 Da definição de peso específico: γ = ρ.g e γm = ρm.g 
 Como a pressão não varia ao longo de uma superfície horizontal de um mesmo 
fluido: 
p1 = p2 
 Utilizando a lei de Stevin para expressar a variação da pressão no interior dos 
fluidos, pode-se escrever: 
p1 = pA + γ.y 
p2 = patm + γm.h 
pA = patm + γm.h - γ.y 
 Em termos de pressão relativa (fazendo patm = 0, pA será uma pressão relativa): 
pA = γm.h - γ.y 
 Quando se tratar de gás, tal que a variação de pressão possa ser desprezada 
(γgás.y = 0), a pressão relativa no ponto A será calculada por: 
 
pA = γm.h 
 
Lições de Hidráulica Básica 
 
112 
 
 f) Piezômetros pressurizados 
 É um equipamento formado por dois tubos transparentes (dois piezômetros) 
com uma das extremidades conectadas às fontes de pressão, tanto em A quanto em B, e 
as outras conectadas a um reservatório que contenha ar sob pressão, par associados a 
uma escala. A pressão no reservatório deve ser suficiente para colocar os meniscos de 
separação dos líquidos dentro da escala para leitura das alturas h e y, conforme ilustrado 
na figura seguinte. 
 
Fig. xxx – Esquema de piezômetros pressurizados. 
 
 Da definição de peso específico: γA = ρA.g, γB = ρB.g e γar = ρar.g 
 Utilizando a lei de Stevin para expressar a variação da pressão no interior dos 
fluidos e desprezando-se a variação da pressão relativa à coluna de ar, pode-se escrever: 
pA = par + γA.(∆y + y + h) e pB = par + γB.y 
 Assim, por diferença encontramos o valor da diferença de pressão entre os 
pontos A e B: 
pA - pB = ∆pAB = γA.(∆y + h) + (γA - γB) y 
Observações: 
1. Notar que o valor da pressão do ar, par, não interfere na diferença de pressão. 
2. No caso dos líquidos em A e em B serem iguais, isto é, γA = γB = γ, a equação 
acima fica simplificada para dar: ∆pAB = γ.(∆y + h). 
Lições de Hidráulica Básica 
 
113 
 
3. S os pontos A e em B estão sobre a mesma horizontal (caso comum em 
hidráulica) e γA = γB = γ, a equação para a determinação da diferença de 
pressão é reduzida a: ∆pAB = γ.h. 
 
 g) Manômetro Diferencial de Tubo U 
 É um tipo de manômetro capaz de medir a diferença de pressão entre dois 
pontos, independentemente dos valores das pressões existentes. É constituído por umtubo transparente, em forma de um “U”, tendo uma das extremidades conectada ao 
ponto A e a outra conectada ao ponto B, parcialmente cheio de um líquido manométrico 
de forma a criar dois meniscos de separação dos fluidos com o líquido manométrico, 
conforme ilustrado esquematicamente na figura seguinte. Associado ao tubo em “U” 
existe uma escala para determinação dos desníveis dos meniscos formados. O fluido 
manométrico deve ser imiscível com os dois outros fluidos e ter uma massa específica 
maior que as dos fluidos A e B, para que haja uma estabilidade física do dispositivo. 
 
Fig. xxx – Esquema de um manômetro diferencial de Tubo em U. 
 
 Quanto maior a massa específica do fluido manométrico maior será a diferença 
de pressão que o equipamento pode medir. Geralmente, para a água ou ar, utiliza-se o 
mercúrio metálico. Todavia outros fluidos podem ser utilizados, desde que seja 
Lições de Hidráulica Básica 
 
114 
 
conhecida a sua massa específica. No caso de gases, pode ser usado o álcool, a água, 
alguns óleos ou até mesmo alguns compostos de carbono como líquido manométrico. 
 Da definição de peso específico: γA = ρA.g, γB = ρB.g e γm = ρm.g. Nesse caso 
γA < γm e γB < γm, para que o líquido manométrico fique em equilíbrio na parte mais 
baixa do tubo U. 
 Como a pressão não varia ao longo de uma superfície horizontal de um mesmo 
fluido, para os pontos 1 e 2 indicados na figura, tem-se: 
p1 = p2 
 Utilizando a lei de Stevin para expressar a variação da pressão no interior dos 
fluidos, pode-se escrever: 
p1 = pA + γA.(h + y + ∆y) 
p2 = pB + γm.h + γB.y 
Com a igualdade das pressões nos pontos 1 e 2, tem-se: 
pA + γA.(h + y + ∆y) = pB + γm.h + γB.y 
Assim, a diferença de pressão entre os pontos A e B será dada por: 
pA - pB = ∆pAB = (γm - γA) h + (γB - γA) y - γA ∆y 
 
Observações: 
1. Quando se mede a diferença de pressão entre pontos localizados entre dois 
líquidos iguais, γA = γB = γ . Nesse caso a diferença de pressão será dada 
por: ∆pAB = (γm - γ) h - γ ∆y. 
2. Se os líquidos são iguais (γA = γB = γ ) e a diferença de nível entre os 
pontos é nula (∆y = 0), tem-se: ∆pAB = (γm - γ) h. Esta equação é muito 
utilizada par medir a diferença de pressão em escoamentos de água. 
3. No caso de medida da diferença de pressão em gases iguais (γA = γB = γgas 
≅ 0), a equação fica reduzida a: ∆pAB = γm h. 
4. Se as pressões entre os pontos A e B são iguais (pA =pB) e se os líquidos 
também forem iguais (γA = γB = γ), pode-se calcular o desnível entre os 
Lições de Hidráulica Básica 
 
115 
 
pontos A e B, com o uso do manômetro diferencial, pela equação: ∆y =(γm 
- γ) h / γ. 
 
 h) Manômetro Diferencial de tubo U invertido 
 É um dispositivo destinado a medir pequenas diferenças de pressão em 
líquidos, formado por um tubo transparente dobrado em forma de “U” invertido, tendo 
um dos lados ligado ao fluido do ponto A e o outro ligado ao fluido do ponto B. O tubo 
é parcialmente cheio com um líquido manométrico que ocupará a parte mais alta do “U” 
invertido, de forma que sua massa específica seja menor que as massas específicas dos 
líquidos contidos em A e em B, conforme ilustrado na figura esquemática seguinte. 
 Da definição de peso específico: γA = ρA.g, γB = ρB.g e γm = ρm.g. Para esse 
manômetro diferencial,deve-se ter γA > γm e γB > γm, para que possa haver equilíbrio do 
sistema conforme indicado. 
 
 
Fig. xxx – Esquema de um manômetro de Tubo em U invertido. 
 
 Como a pressão não varia ao longo de uma superfície horizontal de um mesmo 
fluido, para os pontos 1 e 2 indicados na figura, tem-se: 
p1 = p2 
Lições de Hidráulica Básica 
 
116 
 
 Utilizando a lei de Stevin para expressar a variação da pressão no interior dos 
fluidos, pode-se escrever: 
pA = p1 + γA.(h + y) e pB = p2 + γB (y + ∆y) + γm.h 
 Subtraindo pB de pA, membro a membro, tem-se: 
pA - pB = ∆pAB = p1 + γA.(h + y) - p2 - γB.(y+ ∆y) - γm.h 
Já que p1 = p2, o simples re-arranjo dos termos da equação acima dá: 
∆pAB = (γA.- γm). h + (γA.- γB).y - γB. ∆y) 
 A equação acima mostra que quanto menor for a diferença entre as massas 
específicas, maior será o h para um mesmo ∆pAB, mostrando que o equipamento deve 
ser usado para medir pequenos valores da diferença de pressão. Ela também mostra que 
para líquidos diferentes, a posição do manômetro influencia na medida da diferença de 
pressão, já que a medida y aparece na equação. 
Observações: 
1. Caso de dois líquidos iguais (γA = γB = γ): ∆pAB = (γ - γm) h - γ ∆y. 
2. Se os líquidos são iguais (γA = γB = γ ) e a diferença de nível entre os pontos é 
nula (∆y = 0), tem-se: ∆pAB = (γ - γm) h. 
3. O equipamento não se presta para a medida da diferença de pressão em gases. 
4. Quando as pressões nos pontos A e B são iguais (pA =pB) e se usa líquidos 
também forem iguais (γA = γB = γ), o equipamento pode ser usado para 
determinar o desnível entre os pontos A e B, pela equação: ∆y =(γ - γm) h / γ. 
 
 i) Manômetro Diferencial de Reservatório 
 É um dispositivo destinado a medir diferenças de pressão entre dois pontos da 
mesma forma que no manômetro diferencial de tubo “U”, com a vantagem de se fazer 
uma única leitura da coluna do líquido manométrico. Ele é formado por um tubo U 
transparente, ligado a um reservatório que contém o fluido manométrico. Do lado do 
reservatório se conecta a maior pressão (no caso do ponto A). Do lado do tubo 
transparente se conecta à menor pressão (ponto B), conforme ilustração esquemática na 
figura seguinte. A coluna de fluido manométrico pode ser determinada com a ajuda de 
Lições de Hidráulica Básica 
 
117 
 
uma escala milimétrica cujo zero se encontra na exata posição em que o líquido 
manométrico se encontra em equilíbrio quando não houver diferença de pressão 
aplicada. 
 
Fig. xxx – Esquema de um manômetro diferencial de reservatório. 
 
 Ao ser submetido a uma diferença de pressão, o nível do líquido manométrico 
desce no interior do reservatório, de uma quantidade ∆h ao passo que a coluna sobre no 
interior do tubo transparente. É preciso adicionar o valor de ∆h ao valor de h lido na 
escala do equipamento, para que a real coluna de líquido manométrico que estará 
equilibrando a diferença de pressão aplicada seja determinada. Outra opção é construir 
uma escala que fornece a real altura da coluna de líquido manométrico, conforme 
indicado adiante neste texto. 
A relação entre ∆h e h pode ser estabelecida lembrando que o volume de fluido 
correspondente ao abaixamento do nível no reservatório é o mesmo que adentrou ao 
tubo transparente. Assim, sendo A a área transversal do reservatório e a a área da seção 
transversal do tubo transparente, tem-se: 
A ∆h = a h 
Então, 
∆h = a/A h. 
Lições de Hidráulica Básica 
 
118 
 
 Como a pressão não varia ao longo de uma superfície horizontal de um mesmo 
fluido, para os pontos 1 e 2 indicados na figura, tem-se: 
p1 = p2 
 Utilizando a lei de Stevin para expressar a variação da pressão no interior dos 
fluidos, pode-se escrever: 
p1 = pA + γA.(∆h + h + y + ∆y) e p2 = pB + γm.(∆h +h) + γB.y 
 Assim, teremos: 
pA – pB = γm.(∆h +h) - γA.(∆h + h) -γA.(y + ∆y) + γB.y 
 Logo, 
∆pAB = (γm. - γA). (∆h +h) +(γB.-γA)y - γA.∆y 
 Substituindo ∆h teremos: 
∆pAB = (γm. - γA). (a/A + 1)h +(γB.-γA)y - γA.∆y 
 Para evitar cálculos com a relação de área, os fabricantes do manômetro criam 
uma escala corrigida para h, tal que h´= (a/A +1) h. Nesse caso, o valor da altura 
corrigida é lida diretamente na escala e a expressão para o cálculo da diferença de 
pressão fica análoga à que foi deduzida para manômetro diferencial de tubo “U”, isto é: 
∆pAB = (γm. - γA).h´ +(γB.-γA)y - γA.∆y 
Observações: 
1. A equação acima mostra que se os dois líquidos são diferentes, a posição do 
equipamento (y) deve ser levada em consideração no cálculo da diferença de 
pressão. 
2. Caso de dois líquidos iguais (γA = γB = γ): ∆pAB = (γm - γ) h´ - γ ∆y. 
3. Se os líquidossão iguais (γA = γB = γ ) e a diferença de nível entre os pontos é 
nula (∆y = 0), tem-se: ∆pAB = (γm - γ) h´. 
4. O equipamento não se presta para a medida da diferença de pressão em gases. 
5. Quando as pressões nos pontos A e B são iguais (pA =pB) e se usa líquidos 
também forem iguais (γA = γB = γ), o equipamento pode ser usado para 
determinar o desnível entre os pontos A e B, pela equação: ∆y =(γ - γm) h / γ. 
Lições de Hidráulica Básica 
 
119 
 
 
j) Manômetro de tubo inclinado 
É um tipo de manômetro diferencial utilizado para medição de pequenas 
diferenças de pressão. É formado por um reservatório ligado a um tubo transparente, 
parcialmente cheio com um líquido manométrico de massa específica conhecida, 
conforme ilustrado na figura seguinte. Aplica-se a pressão maior na tomada de pressão 
conectada ao reservatório e a pressão menor na extremidade do tubo transparente. O 
desnível da coluna de líquido manométrico necessária para equilibrar a diferença de 
pressão é medida diretamente em uma escala construída adequadamente. Com esse 
desnível determina-se a diferença de pressão causadora do desnível na coluna do 
manômetro. 
 Quando a diferença de pressão for nula, o nível do menisco do líquido 
manométrico deve coincidir com o zero da escala. Quando aplicada uma diferença de 
pressão, o líquido abaixa, ligeiramente, de uma altura ∆h dentro do reservatório. Ao 
mesmo tempo, o líquido sobe de uma altura h dentro do tubo transparente. Sendo as 
áreas das seções transversais do reservatório e do tubo transparente constantes, haverá 
uma relação entre ∆h e h, obtida à partir da consideração das áreas e dos volumes. 
 
Fig. xxx – Esquema de um manômetro diferencial de tubo inclinado. 
 
Lições de Hidráulica Básica 
 
120 
 
Assim, sendo A a área da seção transversal do reservatório, a a área da seção 
transversal do tubo transparente e L o comprimento do tubo correspondente à altura h, 
tem-se: 
A.∆h = a.L 
O valor de h pode ser determinado por L e pelo ângulo θ formado pelo eixo do 
tubo transparente e uma linha horizontal, de forma que: 
h = L.senθ 
O valor do ângulo θ é pequeno, de forma que L é bem maior que h. Em muitos 
equipamentos o valor do ângulo θ varia entre 5º e 12º. Se a escolha de θ for tal que senθ 
= 0,100, vê-se que L = 10.h. Medindo-se L, ao invés de h, tem-se uma melhor precisão, 
daí a justificativa para o uso de tal equipamento. 
Considerando dois pontos, 1 e 1, sobre a mesma superfície de nível que 
coincida com o nível o líquido manométrico no interior do reservatório, pode-se 
escrever que: 
p1 = p2 
 Utilizando a lei de Stevin para expressar a variação da pressão no interior dos 
fluidos, pode-se escrever: 
p1 = pA + γA.(∆h + h + y + ∆y) e p2 = pB + γm.(∆h +h) + γB.y 
 Assim, teremos: 
pA – pB = γm.(∆h +h) - γA.(∆h + h) -γA.(y + ∆y) + γB.y 
 Logo, 
∆pAB = (γm. - γA). (∆h +h) +(γB.-γA)y - γA.∆y 
 Substituindo ∆h teremos: 
∆pAB = (γm. - γA). (a/A + 1)h +(γB.-γA)y - γA.∆y 
Mas, foi visto que h = L.senθ, de forma que: 
∆pAB = (γm. - γA). (a/A + 1).L.senθ +(γB.-γA)y - γA.∆y 
 Duas possibilidades podem ocorrer. A primeira é construir uma escala 
milimétrica para leitura de L, em seguida realizar os cálculos para se obter a diferença 
Lições de Hidráulica Básica 
 
121 
 
de pressão. Outra possibilidade é construir uma escala especial onde será lançado o 
valor h´ = (a/A + 1) ).L.senθ. Nesse caso, o valor da altura corrigida é lida diretamente 
na escala para ser usada na expressão para o cálculo da diferença de pressão, análoga à 
que foi deduzida para manômetro diferencial de tubo “U”, isto é: 
∆pAB = (γm. - γA).h´ +(γB.-γA)y - γA.∆y 
Observações: 
1. A utilização do equipamento, quando se tratar de dois líquidos diferentes, 
deve levar em conta a posição do equipamento (y), conforme visto na 
equação anterior. 
2. Caso o equipamento estiver sendo utilizado para dois líquidos iguais (γA = 
γB = γ), a diferença de pressão será dada pela equação: ∆pAB = (γm - γ) h´ - 
γ ∆y. 
3. No caso de mesmo líquido, tanto em A quanto em B, (γA = γB = γ ) e a 
diferença de nível entre os pontos for nula (∆y = 0), tem-se a seguinte 
equação para avaliar a diferença de pressão: ∆pAB = (γm - γ) h´. 
4. O equipamento é bastante utilizado para a medida da diferença de pressão 
em gases, caso em que a equação utilizada será: ∆pAB = γm h .́ 
5. Quando se quer determinar o pequeno desnível entre os pontos A e B, 
decorrente do fato das pressões nos pontos A e B serem iguais (pA =pB), no 
os líquidos também forem iguais (γA = γB = γ), o desnível entre os pontos 
A e B, será dado pela equação: ∆y =(γ - γm) h / γ. 
O manômetro pode ser utilizado, ainda, para se obter pequenas diferenças entre 
uma pressão e a pressão atmosférica. Para tal, basta deixar a tomada de pressão do lado 
do tubo transparente aberta para a atmosfera. A pressão medida, nesse caso, será a 
pressão relativa no ponto A. 
 
 k) Manômetro de Betz 
 É um equipamento fabricado especialmente para determinação de diferença de 
pressão em gases. É formado por um reservatório e um tubo transparente, associados a 
Lições de Hidráulica Básica 
 
122 
 
um sistema ótico capaz de projetar o menisco formado em uma escala ampliada, 
melhorando a precisão na medida da altura h de uma coluna de um fluido manométrico, 
em geral água, embora o álcool também possa ser utilizado. O preciso valor de h é 
medido com ajuda do sistema ótico. 
 O manômetro de Betz possui duas tomadas de pressão. Uma para a pressão 
maior e outra para a pressão menor. Sendo γm o peso específico do líquido manométrico, 
a diferença de pressão entre dois pontos A e B, onde está presente ar ou um certo gás, à 
partir da medida da altura h no equipamento, será dada por: 
∆pAB = γm h. 
 
 
Exemplo: 
 Suponhamos que o fluido manométrico que está sendo utilizado no manômetro 
de Betz seja a água e que esta se encontre a 20ºC (equilíbrio com o ar atmosférico no 
local da medição). Consultando uma tabela, encontra-se a massa específica da água 
igual a 998,2 kg/m3. Sendo a leitura do manômetro igual a 22,55 mm, num local onde a 
aceleração da gravidade seja g = 9,78 m/s2, calcular a diferença de pressão entre as 
tomadas de maior e de menor pressão: 
Solução: 
∆pAB = γm h = ρm.g.h. 
∆pAB = 998,2 . 9,78 . 0,0225 
∆pAB = 219,7 Pa 
 
l) Manômetro de Prandtl 
 É um tipo de manômetro construído com um reservatório, onde se coloca um 
líquido manométrico de peso específico conhecido. Este reservatório é ligado a um tubo 
flexível que tem uma parte transparente, inclinada e fixa, onde é feita uma marca de 
referência. O reservatório está preso a um sistema que se movimenta na vertical, através 
de um parafuso micrométrico, associado a uma escala de leitura do movimento vertical, 
Lições de Hidráulica Básica 
 
123 
 
conforme mostra a figura seguinte. É bastante utilizado para medidas em gases ou 
mesmo quando se pretende determinar pequenas variações de altura de água. Nesse 
último caso o líquido manométrico é a própria água. 
 Quando a diferença de pressão for nula, entre o reservatório e o tubo inclinado, 
o menisco formado pelo fluido manométrico deve estar sobre a marca de referência no 
tubo transparente inclinado. Quando uma diferença de pressão é aplicada, o menisco 
será deslocado para cima ou para baixo no tubo flexível. Com o parafuso micrométrico 
desloca-se o reservatório contendo o fluido até que o menisco volte à posição inicial 
indicado pela referência no tubo inclinado. Nesse caso, basta verificar a altura deslocada 
pelo reservatório, h, para se efetivar o cálculo da diferença de pressão aplicada, através 
da equação: 
∆pAB = γm h = ρm.g.h. 
 A fim de se evitar problemas com a tensão superficial, recomenda-se que o 
movimento do menisco seja realizado sempre no mesmo sentido, de quando o 
equipamento foi zerado. Assim, se para obter o zero o reservatório foi movimentado no 
sentido ascendente, recomenda-se quea posição de medição seja atingida 
movimentando-se o reservatório no sentido ascendente. 
 
 
Lições de Hidráulica Básica 
 
124 
 
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO - PRESSÃO 
 
1. Em uma localidade a pressão atmosférica é expressa por uma coluna de mercúrio (a 
0ºC) de 760 mm. Calcular o valor dessa pressão em kgf/m2 e em Pa, bem como a 
altura da coluna de água equivalente. Considerar a massa específica do mercúrio 
igual a 13.595,1 kg/m3. 
 
Solução 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: patm = 101.328,6 Pa e patm = 10.332,28 kgf/m
2. 
Lições de Hidráulica Básica 
 
125 
 
 
2. Quais os valores das pressões absoluta e relativa a 10 m de profundidade na água do 
mar, de densidade 1,024, sabendo-se que a leitura de um barômetro na superfície 
da água indica 758 mm de mercúrio? Considerar a massa específica do mercúrio 
igual a 13.595,1 kg/m3. 
 
Solução 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: prel = 100.423,7 Pa e pabs = 201.485,7 Pa 
 
Lições de Hidráulica Básica 
 
126 
 
2a. Um reservatório cilíndrico, de 2,0m de diâmetro, contendo água a 20 ºC é suspenso 
pelas laterais. Determinar a força aplicada pela água no fundo do reservatório, 
quando o nível da água atingir a 1,0 m do fundo. Dado: massa específica da água a 
20 ºC vale 998,2 kg/m3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lições de Hidráulica Básica 
 
127 
 
3. Desprezando o peso do recipiente da figura, determinar a força que tende a levantar o 
topo circular AB, sabendo que a massa específica do óleo vale 800 kg/m3. 
 
 
Solução 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: F = 4.492,0 N 
Lições de Hidráulica Básica 
 
128 
 
 
4. O tubo mostrado na figura encontra-se cheio de um óleo de densidade 0,810. Os 
recipientes A e B contém o mesmo óleo, sendo que o líquido em B não estabelece 
contato com a atmosfera exterior (recipiente fechado). Sabendo-se que a pressão 
atmosférica local é de 1,013*105 Pa e que o sistema se encontra em equilíbrio 
(velocidade no tubo nula), calcular a pressão absoluta nos pontos X e Y indicados 
na figura. Considerar a massa específica da água igual a 1.000 kg/m3. 
 
Solução 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: pX = 85.412,7 Pa e pY = 93.356,3 N. 
Lições de Hidráulica Básica 
 
129 
 
 
5. O reservatório da figura é fechado e está parcialmente cheio de um líquido de 
densidade 0,880. A pressão manométrica obtida pela leitura do manômetro M tem 
valor igual a 3,20*104 Pa. Determinar a pressão no fundo do reservatório e a altura 
de elevação da coluna líquida no tubo vertical, h. 
 
Solução 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: pfundo = 44.082,2 Pa e h = 6,108 m. 
Lições de Hidráulica Básica 
 
130 
 
 
6. Os recipientes da figura têm a mesma área de fundo, A, e contêm o mesmo líquido de 
densidade d, até às alturas indicadas. Calcular a força resultante da pressão no 
fundo de cada recipiente. Considerar d = 0,850 e A = 3,5 m2. 
 
Solução 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: F = 145.879,1 N para os casos a e b. 
 F = 291.758,3 N para os casos c, d e e. 
Lições de Hidráulica Básica 
 
131 
 
 
7. Calcular o valor da força F a ser aplicada no êmbolo menor da prensa hidráulica 
mostrada na figura, necessária para equilibrar a carga F´ de 4.400 kgf no êmbolo 
maior. Os cilindros e a tubulação estão cheios de um óleo cuja densidade é 0,780 e 
as seções transversais dos êmbolos têm área de 40 cm2 e 4.000 cm2. 
 
Solução 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: F = 42,752 kgf ou F = 419,3 N. 
Lições de Hidráulica Básica 
 
132 
 
 
8. Considerar um fluido em um reservatório onde o seu peso específico varia 
linearmente com a profundidade, h, segundo a equação γ = γo + K.h, onde γo é o 
peso específico do fluido a uma profundidade h e γo é o peso específico do fluido na 
superfície livre do mesmo, onde atua uma pressão atmosférica, po. Partindo da 
equação diferencial da Hidrostática, determinar uma expressão para a pressão no 
fluido a uma profundidade h. 
 
Solução 
 
Foi dado que se h = ho = 0 � p = patm = po. e γ = γo. 
Para uma dada profundidade h, tem-se que o peso específico é γ e a pressão é p, função 
de h. 
A equação fundamental da hidrostática diz que dp = -γ.dz, sendo o eixo Oz vertical e 
voltado para cima. Adotando-se um eixo h vertical e voltado para baixo, certamente dz 
= -dh, logo: 
dp = γ.dh 
Integrando a equação acima, desde po onde a profundidade é h = 0 até p, onde a 
profundidade é h, tem-se: 
∫∫ =
hp
p
dhdp
o 0
γ � ( )∫ −=
h
o
p
p dhKhp o 0] γ � 
h
oo
Kh
hpp
0
2
2 




−=− γ 
Assim, 
2
2Kh
hpp oo −+= γ � h
Kh
pp oo 




 −+=
2
γ 
 
Observar que, nesse caso, a pressão varia com a profundidade segundo uma parábola. 
 
 
 
Lições de Hidráulica Básica 
 
133 
 
9. Um reservatório hermeticamente fechado está parcialmente cheio de ar a uma pressão 
de 25 psi, indicada por um manômetro M, conforme mostrado na figura seguinte. Do 
lado direito do reservatório existe uma saída que se comunica com um cilindro de 10 
cm de diâmetro, fechado por um êmbolo onde está aplicada uma força F, indicada. 
Do lado esquerdo do reservatório existe um manômetro de mercúrio, de tubo em U. 
Adotar a massa específica da água como sendo 1.000 kg/m3. 
 
Nesse caso pede-se: 
a) Calcular a força F, vertical, para cima, a ser aplicada sobre o êmbolo que pesa 100 N, 
para que o sistema fique em equilíbrio. 
b) Calcular o desnível, ∆h, no manômetro de mercúrio de tubo em U, sabendo que a sua 
massa específica vale 13.545,2 kg/m3. 
 
Solução 
a) Cálculo de F: 
Considerar os pontos 1, 2, 3, 4, 5 e 6 indicados na figura. 
Segundo a lei de Stevin: p1 = p4 + γ.(0,5 + 1,0 +2,0). 
Mas p4 = par = pM, assim p1 = pM + γ.(3,5). 
Lições de Hidráulica Básica 
 
134 
 
pM = 25 psi = 25 lbf/pol
2 = 25*0,4536 kgf/pol2 
pM = 25*0,4536*9,80665 N/pol
2 = 25*0,4536*9,80665/0,02542 N/m2 
Ou pM = 25*6.894,87 Pa 
Assim, pM = 172.371,8 Pa. 
Então, substituindo na expressão de p1, tem-se: 
p1 = 172.371,8 Pa + 1.000 kg/m
3*9,807 m/s2*3,5 m = 172.371,8 Pa + 34.324,5 Pa 
p1 = 206.696,33 Pa 
Por definição de pressão: p1 = Fn.A. Assim, Fn = p1*A, onde Fn é a força devida à 
pressão sobre a área horizontal do êmbolo que encerra a água no cilindro. 
Fn = 206.696,33 Pa*π*d2/4 = 206.696,33 Pa*3,142*0,12/4 
Fn =206.696,33 Pa*0,007854 m
2. � Fn = 1.623,4 N 
Supondo o êmbolo em equilíbrio, sujeito às forças F para cima, Fn para baixo e o peso P 
para baixo, tem-se: 
Fn + P – F = 0 � F = Fn + P = 1.623,4 N + 100 N 
� F = 1.723,4 N. 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lições de Hidráulica Básica 
 
135 
 
10. A figura apresenta dois manômetros diferenciais de mercúrio (ρm = 13.545 kg/m
3) 
sendo utilizados para a medida da diferença 
de pressão entre duas tubulações A e B, 
que estão com um desnível z = 1,50m, 
conforme mostrado na figura. As duas 
tubulações conduzem água (ρ = 998,2 
kg/m3) e o espaço acima dos manômetros 
diferenciais também está cheio de água. 
Determinar a diferença de pressão entre as 
tubulações A e B (centro das seções 
transversais), em Pa e em metro de coluna 
de água. 
 
Solução 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: Dif. Pressão entre A e B = pA – pB = 157.581,0 Pa. 
 (pA – pB)/γa = 16,068 m. 
Lições de Hidráulica Básica 
 
136 
 
 
11. A água escoa através da tubulação horizontal mostrada na figura, a uma dada vazão. 
Entre os pontos A e B indicados na figura, foi instalado um manômetro diferencial 
de tubo em U invertido, contendo um óleo de massa específica 827 kg/m3, que 
atuará como líquido manométrico. Quando o desnível h mostrado na figura abaixo 
for igual a 866 mm, determine a diferença de pressão entre os pontos A e B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lições de Hidráulica Básica137 
 
12. O vacuômetro V, mostrado na figura, indica uma pressão do ar no tanque igual a 
–580 mm de Hg. Sabendo que as superfícies da água em ambos os reservatórios, R1 
e R2, estão no mesmo nível (mesma cota) e que o reservatório R2 está aberto para a 
atmosfera, pede-se: 
a) o valor da pressão absoluta do ar no reservatório R1, em Pa, sabendo que a 
pressão atmosférica local é de 670 mm Hg (massa específica do mercúrio a 0ºC 
vale 13 595,1 kg/m3); 
b) o desnível esperado no manômetro diferencial de mercúrio, supondo, nesse caso, 
que a massa específica do mercúrio vale 13 540,2 kg/m3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lições de Hidráulica Básica 
 
138 
 
13. A figura apresenta um manômetro diferencial sendo utilizado para a medida da 
diferença de pressão entre as seções das tubulações que conduzem os líquidos A 
e B. Determine esta diferença de pressão entre os pontos A e B (centro das 
seções transversais, em Pa, sabendo-se que: o peso específico do líquido A é 
γA =8 400 N/m3, o peso específico do líquido B é γB= 12 300 N/m3, o peso 
específico do líquido manométrico (mercúrio) é γHg= 133 300 N/m3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: 
∆pAB = -94.660 Pa 
Lições de Hidráulica Básica 
 
139 
 
 
14. Determine as pressões relativas (em mca) e absolutas (em Pa) do ar dentro do 
reservatório e do ponto M mostrado na figura abaixo. Sabe-se que a pressão 
atmosférica local é de 735 mmHg. Consultando uma tabela encontrou-se que a 
densidade relativa do óleo usado é 0,85 e a do mercúrio 13,56. A massa específica 
do mercúrio a 0oC é de 13595,1 kg/m3 e a da água a 4oC é de 1000 kg/m3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lições de Hidráulica Básica 
 
140 
 
 
15. No Laboratório de Hidráulica você realizou um ensaio de calibração de um 
manômetro eletrônico digital. Como padrão usou-se um manômetro de Mercúrio 
de tubo em U com uma das extremidades aberta para a atmosfera. Pode ser 
observado que uma das tomadas de pressão do manômetro eletrônico também 
estava aberta para a atmosfera. A outra tomada de pressão do manômetro 
eletrônico estava conectada a uma câmara de pressão, juntamente com a segunda 
tomada do manômetro de Mercúrio de tubo em U. Nessa calibração foram usados 
apenas dois pontos sendo que o primeiro deles corresponde a uma pressão padrão 
igual a 20 cm de mercúrio e a uma indicação digital de 33,33 mV. Para o segundo 
ponto, a pressão padrão estabelecida foi de 60 cm de mercúrio e a indicação digital 
de 100,00 mV. Admitindo uma variação linear da pressão sobre o manômetro com 
a indicação digital do transdutor e que a massa específica do mercúrio é igual a 13 
536,0 kg/m3, determinar: 
a) a equação que converte a leitura digital indicada pela manômetro eletrônico 
digital (em mV) em pressão relativa (use o Sistema Internacional de 
Unidades); 
b) o erro percentual devido a uma medida de confirmação em que o equipamento 
em calibração indicava 59,98 mV para uma pressão relativa correspondente a 
36,0 cm de mercúrio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lições de Hidráulica Básica 
 
141 
 
16. Determinar a diferença de pressão entre as tubulações A e B mostradas na figura, 
ambas cheias de água cuja massa específica é de 998,2 kg/m3. Esta montagem é 
uma associação de dois manômetros em série sendo que o óleo do reservatório, 
de massa específica 820,0 kg/m3, é usado apenas para conectar os dois 
manômetros. Todas as dimensões necessárias estão indicadas esquematicamente 
na figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lições de Hidráulica Básica 
 
142 
 
 
 
3.7 – ESFORÇOS SOBRE SUPERFÍCIES PLANAS SUBMERSAS 
 
 Quando um líquido entra em contato com uma superfície sólida que o encerra, 
a pressão irá originar uma força sobre essa superfície. É de fundamental importância 
determinar essa força resultante da pressão sobre as superfícies que estão em contato 
com os fluidos. Tal força deverá ser determinada em módulo, direção, sentido e ponto 
de aplicação. 
 No caso da superfície submersa no fluido ser plana, o cálculo da força é 
facilitado e as equações mais simples. 
 
3.7.1 – Caso da superfície horizontal: 
 Considerar o caso de uma superfície plana e horizontal, que está sob a ação de 
um líquido de massa específica ρ. Esse é caso típico de se calcular a força sobre o fundo 
plano e horizontal de reservatórios ou piscinas. Nesse caso a pressão sobre um elemento 
de área será dada por: 
p = dF / dA 
onde dF é o módulo da força elementar, perpendicular ao elemento de área dA e p é a 
pressão resultante sobre esse elemento de área. Assim, tem-se: 
∫∫ =∴=∴=
AA
pdAFdFFdApdF . 
Nesse caso, sabe-se que p = γ.h, sendo h a profundidade em que se encontra o fundo, 
em relação à superfície livre do líquido. Notar que h é constante para qualquer dA que 
se adote, sobre A. Nesse caso, escreve-se: 
AhFdAhdAhFpdAF
AAA
γγγ =∴==∴= ∫∫∫ ou F = p.A. 
Observar que a profundidade h é a mesma profundidade em que se encontra o centro de 
gravidade de A, hA. Assim, pode-se escrever que F = γ.hG.A. Tal força, em módulo, 
Lições de Hidráulica Básica 
 
143 
 
vale o produto entre o peso específico do líquido, a profundidade em que se encontra o 
centro de gravidade da área considerada e a própria área. 
 A direção do vetor força é vertical e o sentido de cima para baixo já que 
consideramos o líquido sobre a superfície. O problema maior é determinar o ponto de 
aplicação dessa força. Para tanto, ver os elementos envolvidos na figura seguinte. 
 
Fig. xxx – Força sobre uma área plana horizontal. 
 
 O ponto de aplicação da força F é dado pelo centro de gravidade de um prisma 
construído sobre a área A, com os lados proporcional à pressão em cada lado, 
denominado de prisma das pressões. Para construir esse prisma, tracemos, sobre cada 
um dos lados que compõem a área, um comprimento proporcional à pressão naquele 
lado, sempre perpendicular à área, conforme mostrado pelas linhas vermelhas na figura 
anterior. Esse prisma terá um centro de gravidade, agora denominado centro das 
pressões. É exatamente por tal ponto que passa a força resultante da ação do líquido 
sobre a área A. Às vezes fica muito difícil desenhar o prisma das pressões para áreas que 
não sejam horizontais. Assim, por simplicidade, representa-se tudo em um plano 
vertical, perpendicular à área considerada, passando pelo Centro de pressão. A figura 
anterior ilustra o centro das pressões, CP, projetado sobre a área A, que nesse caso é 
coincidente com o centro de gravidade da área. Quando a superfície deixar de ser 
horizontal, esses dois pontos não serão mais coincidentes. Desta forma o vetor força, 
resultante da ação do líquido sobre a área A fica determinado em módulo, direção, 
sentido e ponto de aplicação. 
 
Lições de Hidráulica Básica 
 
144 
 
3.7.2 - Caso de superfície vertical: 
 Considerar, agora, o caso de se calcular a força devida a ação de um líquido 
sobre uma superfície plana e vertical, conforme ilustrado na figura seguinte. Esse é o 
caso de se caso de se calcular a força sobre paredes verticais dos reservatórios. 
 A pressão sobre uma área infinitesimal continua sendo p = dF/dA, porém tal 
pressão não é mais constante, como no caso anterior. Nesse caso, conforme o dA que se 
considere, existirá uma dada profundidade h, diferente. Diz-se, que h varia conforme o 
dA escolhido. Assim, 
∫ ∫∫ ==∴=∴=
A AA
hdAdAhFpdAFdApdF γγ. 
 Como h varia com dA, a integral acima não pode ser encontrada, para cálculo 
de F, há menos que se conheça a forma de variação de h com dA, o que será feito mais 
adiante. A direção da força será horizontal, já que todos os vetores dA são 
perpendiculares a área A e o sentido é da direita para a esquerda, no caso indicado na 
figura seguinte. 
 
 
Fig. xx – Força sobre uma superfície plana e vertical. 
 
 Para se encontrar o ponto de aplicação de F é preciso construir o prisma das 
pressões e encontrar o seu centro de gravidade.Tal prisma sempre será construído 
tomando, sobre os lados que forma a área considerada, comprimentos perpendiculares à 
Lições de Hidráulica Básica 
 
145 
 
área e proporcionais à pressão no ponto considerado, conforme indicado na figura 
anterior. Assim se constrói um paralelepípedo trapezoidal, cuja base é a área A 
conforme indicado. O ponto CP, centro das pressões, é o centro de gravidade do prisma 
das pressões construído. No caso em foco, a projeção desse ponto sobre a área A estará 
abaixo do centro de gravidade da área. Essa é uma característica do centro das pressões. 
Pelo centro das pressões traça-se um vetor F perpendicular a A, determinando-se, assim 
a força sobre A, em módulo, direção, sentido e ponto de aplicação. 
 Por questões de simplicidade, conforme já dito, a representação do problema 
pode ser feita através de um plano perpendicular a A e que passe pelo centro das 
pressões, CP, conforme ilustrado no lado direito da figura anterior, onde é mostrado 
apenas uma face do prisma das pressões. 
 
 
3.7.3 - Caso de superfície inclinada: 
 No caso da parede do reservatório na qual se deseja calcular a força resultante 
da pressão ser inclinada, conforme ilustrado na figura seguinte, usa-se o mesmo 
raciocínio. Resolver a integral para encontrar o módulo de F, construir o prisma das 
pressões, agora com a base inclinada, encontrar o centro das pressões e localizar o vetor 
F. A figura seguinte mostra o prisma numa figura tridimensional, à esquerda, e o corte 
vertical com os elementos envolvidos, à direita. 
 
Figura xx - Força sobre uma superfície plana inclinada ==> refazer essa figura 
Lições de Hidráulica Básica 
 
146 
 
 
3.7.4 - Caso geral de superfície inclinada: 
 Seja o caso geral em que se tem uma área A, representada por AB na figura 
seguinte, contida em um plano (π), inclinado de um ângulo α com a horizontal. A 
superfície livre do líquido, sobre a qual age a pressão atmosférica, está contida no plano 
(Σ). Considerar a interseção do plano (π) com o plano (Σ), que, nesse caso formará um 
eixo horizontal que será denominado eixo O-O’. Para que seja possível ver a superfície 
considerada, de área A, representada pelo segmento AB, é necessário rebater o plano 
(π), que contém a área A, em torno do eixo AO, conforme ilustrado na figura XX 
seguinte. Após tal rebatimento, pode-se ver a área A, genérica, como ilustrado na figura 
seguinte. Nessa figura é mostrada a posição do centro de gravidade, G, e a projeção do 
centro de gravidade do prisma das pressões sobre a área, CP. Nesse caso, o prisma das 
pressões é um paralelepípedo reto, cuja base tem área A. O cálculo dos centros de 
gravidade, tanto de A quanto do prisma das pressões é um mero exercício de geometria, 
que o leitor deverá dominar. 
 As profundidades dos pontos A, B, G e CP serão denominadas por hA, hB, hG, e 
hp, respectivamente. São distâncias verticais medidas desde a superfície livre do líquido. 
Uma outra forma de referenciar os elementos envolvidos no problema é considerar as 
distâncias medidas ao longo do plano que contém a área A, desde o eixo O-O’ até o 
ponto, representadas por l . Assim tem-se as distâncias da superfície até os pontos A, 
B, G, CP, respectivamente, Al , Bl , Gl e pl . 
 
Lições de Hidráulica Básica 
 
147 
 
 
Fig. xx – Elementos envolvidos no cálculo da força sobre uma superfície plana 
inclinada de forma genérica. 
 
 O vetor força F deverá ser calculado em módulo, direção, sentido e ponto de 
aplicação, no caso CP. Para calcular o módulo do vetor F, tomar uma área infinitesimal, 
dA, formada, aproximadamente, por um retângulo de base a e largura ld , tal que a seja 
horizontal, conforme indicado na figura xx anterior. Assim, ldadA .= e sobre dA 
estará agindo uma força cujo módulo é dF. Essa área dA se encontra a uma 
profundidade h, indicada na figura anterior. Pode-se escrever que: 
∫ ∫∫ ==∴=∴=
A AA
hdAdAhFpdAFdApdF γγ. 
 Na figura pode-se notar a presença de alguns triângulos retângulos 
semelhantes. Da semelhança de triângulo, as seguintes relações trigonométricas podem 
ser encontradas: 
p
p
G
G
B
B
A
A
hhhhh
sen
lllll
=====α 
Considerando que αsenh .l= e, com α e γ constante, tem-se: 
Lições de Hidráulica Básica 
 
148 
 
∫∫ ==
AA
dAsendAsenF .... ll αγαγ 
A integral da equação acima é o momento estático (momento de primeira ordem) da 
área A em relação ao eixo O-O’. O cálculo ensina que a referida integral é igual ao 
produto da área ela distância do centro de gravidade da área até o eixo O-O’, isto é: 
AdA G
A
.. ll =∫ 
Logo, 
( ) AsenF Gl.. αγ= 
Como GG hsen =α.l , finalmente se escreve que: 
AhF G..γ= 
Essa é a expressão a ser utilizada para se calcular a intensidade (módulo) da força 
resultante da pressão sobre a superfície plana inclinada AB, de área A. Lembrar que 
Gh.γ é a pressão existente no centro de gravidade de A, a qual é denominada de pG. É 
por isso que os engenheiros dizem que a força resultante da ação de um líquido sobre 
uma superfície plana vale o produto da pressão no centro de gravidade da área e a 
própria área. Tal força terá, sempre, a direção da perpendicular à área A e sentido do 
líquido para a superfície plana. 
 Para realizar o cálculo da posição do centro das pressões, seja pelo 
conhecimento de ph ou de pl , é preciso se considerar o momento da força elementar 
dF em relação ao ponto O. Tal momento será perpendicular ao plano definido por dF e 
O e terá o sentido da regra do “saca-rolhas”, estudada no curso de cálculo vetorial. 
Assim, 
dAsendMdFdM oo ...
2 αγ ll =∴= 
Na equação acima, dF foi substituída pelo seu valor dAsen .. αγ l . Assim, o momento 
total de todas as forças dF, será: 
∫∫ =∴=
A
o
A
oo dAsenMdMM ..
2 αγ l 
Lições de Hidráulica Básica 
 
149 
 
Sendo α e γ constantes, a equação de Mo pode ser escrita como: 
∫=
A
o dAsenM ...
2
lαγ 
A integral presente na equação de Mo é conhecida como momento de inércia (momento 
de segunda ordem) da área A em relação ao eixo O-O’, sendo representado por Io. Esse 
momento de inércia é uma propriedade geométrica de A e do eixo em relação ao qual 
ele está sendo calculado. Logo, simplificadamente, o momento do sistema de forças 
paralelas dF será: 
αγ senIM oo ..= 
 Entretanto, se a força F for conhecida e se a distância até o eixo O-O’ também 
fosse conhecida, tal momento poderia ser calculado como sendo: 
po FM l.= 
Mas, o momento de um sistema de forças paralelas em relação a um dado ponto é igual 
ao momento da resultante desse sistema de forças em relação ao mesmo ponto. Ora, F é 
a resultante do sistema de forças dF. Logo pode-se escrever que: 
poo FsenIM l... == αγ 
Assim, pode-se explicitar o valor de pl , distância do ponto onde está aplicada a força 
F até o ponto O, na superfície livre, o que dá: 
A
I
G
o
p
l
l = 
 Como Io depende da área A e do eixo que em relação ao qual se calcula o 
momento de inércia (eixo O-O’), é conveniente escrever esse momento em função 
apenas da área, o que permite que ele seja determinado de antemão e tabelado para as 
diversas áreas. Para tanto usa-se o teorema do eixo paralelo ou teorema de Huygens-
Steyner, para se trabalhar com o momento de inércia em relação a um eixo que passe 
pelo baricentro da área A e que seja paralelo ao eixo O-O’, portanto paralelo à 
superfície livre do líquido. 
Lições de Hidráulica Básica 
 
150 
 
 O teorema do eixo paralelo permite relacionar o momento de inércia de uma 
área em relação a um dado eixo com o momento de inércia da mesma área em relação a 
um outro eixo que lhe seja paralelo e, colocado a uma distância d um do outro conforme 
ilustrado na fig. xx, seguinte. 
 
Fig. xx – Teorema do eixo paralelo, com eixo baricêntrico e eixo original. 
 
 O teorema do eixo paralelo permite escrever que: 
AII GGo .
2
l+= 
Nessa equação, Io é o momento de inércia de A em relação ao eixo O-O’ e IG é o 
momento de inércia de A em relação a umeixo que passe pelo centro de gravidade de A 
(eixo baricêntrico) e que seja paralelo ao eixo O-O’. Substituindo esse valor na equação 
de lp, tem-se: 
A
I
G
G
Gp
l
ll += 
 Lembrando que αsen
hG
G =l e que αsen
hp
p =l e, por substituição na 
equação acima, tem-se uma equação útil para se calcular a profundidade do centro de 
pressão, medida à partir da superfície livre do líquido, conforme abaixo. 
α2sen
Ah
I
hh
G
G
Gp += 
Observações: 
Lições de Hidráulica Básica 
 
151 
 
1. IG é o momento de inércia da área A em relação a um eixo baricêntrico 
paralelo à superfície livre do líquido, sendo sempre positivo. Tal valor pode 
ser encontrado nos livros de geometria analítica, para diversas formas da área 
A. 
2. Como IG, hG e A são sempre positivos, assim como o valor do sen
2
α, a 
segunda parcela da equação anterior será sempre positiva, de maneira que se 
conclui que o centro das pressões estará sempre abaixo do centro de gravidade 
da área A. 
3. Para uma mesma área A e um mesmo ângulo de inclinação com a horizontal, 
α, observa-se que quanto mais profunda estiver a área, menor será a distância 
entre o centro de gravidade da área e o centro das pressões. Em alguns casos, 
quando hG for elevada, costuma-se considerar, por aproximação, que hG e hp 
são iguais, para todos os propósitos práticos. 
 
Lembretes: A título de recordação, deve ser lembrado que: 
1) O momento de ordem zero de uma área, A, será a própria área. 
∫=
A
o dAM 
2) O momento de primeira ordem de uma área em relação a um eixo é o produto 
da distância desse eixo ao centro de gravidade da área multiplicado pela 
própria área. 
AxxdAM
A
.1 == ∫ 
3) O momento de segunda ordem de uma área em relação a um eixo deverá ser 
obtido pela equação dada a seguir, estando tabelado para diversas formas das 
áreas para os eixos baricêntricos: 
 
y
A
IdAxM == ∫
2
2
 
Lições de Hidráulica Básica 
 
152 
 
4) O raio de giração de uma área A, propriedade geométrica dessa área, muito 
utilizado pelos engenheiros, é definido como k2: 
 A
Ik G=2 
 
5) Centro de gravidade e momento de inércia de algumas figuras simples. 
5.1) Retângulo: 
Área: A = b.h; 2
bx = ; 2
hy = ; 
12
3bhIG = 
 
 
5.2) Triângulo: 
 
Área: A = b.h /2; 2
bx = ; 3
hy = ; 
36
3bhI G = 
 
 
5.3) Círculo: 
 
Área: A = πD2 /4; 0=x ; 0=y ; 
64
4DI G π= 
 
 
 
 
5.4) Semi-círculo: 
Lições de Hidráulica Básica 
 
153 
 
Área: A = πD2 /8; 0=x ; 
π
R
y
3
4= ; 
128
4DIG π= 
 
 
5.5) Quadrante de círculo: 
Área: A = πD2 /16; 
π
R
yx
3
4== ; 
 
25616
44 DR
I G
ππ == 
 
5.6) Área definida por elipse: 
 
Área: A = πbh /4; 0== yx ; 64
3bhIG π= 
 
 
5.7) Área definida por semi-elipse: 
Área: A = πbh/4; 0=x ; 
π
h
y
3
4= ; 
3
16
bhI G
π= 
 
 
 
5.8) Setor de uma parábola: 
Área: A = 2bh/3; bx
8
3= ; hy
5
3= ; 32 bhIG π
= 
Lições de Hidráulica Básica 
 
154 
 
 
 
 
5.9) Setor de parábola com simetria: 
Área: A = 2bh/3; 0=x ; hy
5
3= ; 3
2
1
bhI G = 
 
 
 
5.10) Trapézio: 
 
Área: A = (b + B).h/2; 
definirx = ; 
definiry = ; 
3
22 4
36
1
h
bB
bBbB
I G 





+
++= 
5.11) Figuras compostas por retângulo e triângulo: 
 
 Área 1: A1 = ab; x1 = b/2 e y1 = a/2 
 Área 2: A2 = bh/2; x2 = b/2 e y2 = a+h/3 
 Área: A = ab + bh/2 
 x = b/2 por simetria 
 y = (y1A1 + y2A2)/(A1 + A2) 
 
5.12) Figuras compostas por duas circunferências, sendo uma delas vazia: 
 Área 1: A1 = ab; x1 = 0 e y1 = b/2 
 Área 2: A2 = πR2; x2 = 0 e y2 = R 
Lições de Hidráulica Básica 
 
155 
 
 Área: A = A1 - A2 
 x = 0 por simetria 
 y = (y1A1 - y2A2)/(A1 - A2) 
 
 
Exemplos 
1. Calcular a força devida à ação da água sobre um comporta plana, retangular, AB, 
quando o nível da água atingir o ponto B, conforme mostrado na figura. 
Considerar que a comporta tem um comprimento H e uma largura L e que se 
encontra inclinada de um ângulo α em relação ao plano horizontal. 
 
 
Solução: 
 AB = H Área = L.H e Peso específico: γ = ρ.g 
 Profundidade centro de gravidade de AB: hG = (H/2).senα 
Módulo da força: F = γ.hG.A ou F = γ.(H/2).senα.L.H 
αγ senLHF 2
2
1= 
Direção: perpendicular a AB 
Lições de Hidráulica Básica 
 
156 
 
Sentido da água para a comporta AB. 
Ponto de aplicação: CP que será dado por lp. 
Al
I
ll
G
G
Gp += ou HHH
LH
H
LH
H
l p 3
2
62
2
12
2
3
=+=+=
 
Assim a força resultante das pressões sobre a comporta AB estará aplicada a um ponto 
situado a 2H/3 da superfície, ao longo de AB. 
Em termos de profundidade: 
hG = lG.senα = H.senα / 2 
A força sobre a superfície plana AB será: 
αγ senLHF 2
2
1= 
O ponto de aplicação da força será dado por: 
 
α2sen
Ah
I
hh
G
G
Gp += ou 
 
ααααα
α
Hsen
HsenHsen
sen
LH
Hsen
LH
Hsen
hp 3
2
62
2
12
2
2
3
=+=+=
 
 
Observação: 
se a profundidade da lâmina d´água for h = H.senα, tem-se que hhp 3
2= . 
 
2. Barragem de gravidade: caso simples de dimensionamento. Seja uma barragem de 
forma retangular, de altura h e largura L, com espessura b, usada para barramento 
de um líquido de peso específico γ, com profundidade também igual a h, conforme 
Lições de Hidráulica Básica 
 
157 
 
ilustrado na figura. Determinar a espessura que a barragem deve ter, para que haja 
equilíbrio, sabendo que o material usado na sua construção tem peso específico γm. 
 
 
Solução: 
Área: A = L.h 
Profundidade do centro de gravidade da área submersa: hG = h/2. 
Módulo da força devida a ação da água: AhF Gγ= 
 2
2
1
2
LhLh
h
F γγ == 
Profundidade de atuação da força devida a ação da água: hp 
90
2
12
2
2
3
2 sen
Lh
h
Lh
h
sen
Ah
I
hh
G
G
Gp +=+= α
 o que dá: 
3
2h
hp = 
 O peso da barragem pode ser calculado por: LhbVP molm γγ == . Ele estará 
atuando no centro de gravidade da barragem, pondo CG na figura xx. 
Lições de Hidráulica Básica 
 
158 
 
 Como a alvenaria não trabalha bem sob tração, a resultante das forças sobre a 
barragem, R
r
, deve passar, no máximo, por um ponto E, situado a uma distância y de B, 
tal que y = 2.b/3, sendo VH RRR
rrr
+= . 
Supondo, por simplicidade dos cálculos, que apenas as forças devida a ação da água 
sobre AB, o peso e a força resultante da ação do solo sobre a barragem devam agir, a 
condição de equilíbrio será: 
0=∑ iF
r
 e 0=∑ BM
r
 
Portanto, como todas as forças estão em um mesmo plano, podemos reescrever a 
condição de equilíbrio da seguinte forma: 
0=∑ HF , 0=∑ VF e 0=∑ BM (os momentos anti-horários serão positivos). 
Logo 
2
2
1
0 LhFRFR HH γ==∴=− e LhbPRPR mVV γ==∴=− 0 
00.
32
0 =−−+∴=∑ yRR
h
F
b
PM VHB 
Substituindo os valores: 0
3
2
0
32
1
2
2 =−−+ bLhbhLhbLhb mm γγγ 
322
6
1
2
1
3
2
LhLhbhLb mm γγγ += 
Simplificando: 222
6
1
2
1
3
2
hbb mm γγγ += ou 22 hb
mγ
γ= 
Finalmente, tem-se: hb
mγ
γ= 
 A equação anterior demonstra que a espessura da barragem depende da raiz 
quadrada da relação entre os pesos específicos do líquido e do material de que é feita 
essa barragem e da profundidade do líquido. 
Seja um caso em que γ = 9807 N/m3 e γm = 14710 N/m3. 
Nesse caso b = 0,817.h ou a espessura da barragem deve ser cerca de 82% da 
profundidade da lâmina d´água. 
Lições de Hidráulica Básica 
 
159 
 
 
3. Barragem de gravidade: caso mais geral de dimensionamento. Seja uma barragem de 
gravidade, prismática e de paramento de montante plano, de altura h e largura L, 
com espessura no topo b e largura na base B, usada para barramento de um líquido 
de peso específico γ, com profundidade também igual a h, conforme ilustrado na 
figura. Relacionar as forças presentes e propor um esquema de solução do 
problema, para que haja equilíbrio, sabendo que o material usado na sua 
construção tem peso específico γm. 
 
Solução 
Peso do prisma retangular de volume V1: P1 = γmV1. 
Peso do prisma triangular de volume V2:P2 = γmV2. 
Força devida a ação da água: AhF Gγ= ou 2
2
1
2
LhLh
h
F γγ == 
Empuxo de subpressão (valor aproximado): Es = F/3. 
Profundidade de atuação da força devida a ação da água: hp 
90
2
12
2
2
3
2 sen
Lh
h
Lh
h
sen
Ah
I
hh
G
G
Gp +=+= α
 o que dá: 
3
2h
hp = 
Ponto de aplicação do empuxo de subpressão (aproximado): x' = 2B/3. 
Lições de Hidráulica Básica 
 
160 
 
Rx e Ry componentes da resultante das forças (R) sobre a barragem: 22 yx RRR += 
Condição de equilíbrio: 
 Rx = F e Ry = P1 + P2 - Es 
 0=∑ OM ou P1.x1 + P2.x2 +F.(h-2h/3) - Es.x' - Ry.x - Rxx0 = 0 
Essas três equações permitem o cálculo das duas componentes da resultante R e da 
distância da componente Ry até o ponto O. Também impondo condições extras sobre o 
comportamento da barragem (onde deve atuar a força resultante) é possível dimensionar 
a barragem. 
Lembre-se que o problema foi simplificado, em relação a um caso real. 
 
4. Caso de uma comporta reguladora de nível: seja uma comporta composta por duas 
superfícies planas OC e OB, formando entre si um ângulo α = 60º, usada para 
regular o nível da água em uma barragem. A comporta tem 0,60 m de largura, pesa 
2200 N, tem o comprimento OB igual a 1,20 m e é livre para girar em torno de um 
eixo horizontal passando por O. O centro de gravidade da comporta está localizado 
em um ponto situado a 0,37 m à direita de O e 0,27 m acima de O. Determinar 
para quais valores da profundidade h a comporta permanecerá fechada, 
desprezando-se eventuais forças de atrito presentes. 
 
Solução: 
Lições de Hidráulica Básica 
 
161 
 
Dados: L - 0,60 m, OB = 1,20 m, P = 2200 N, x = 0,37 m, y = 0,27 m. 
Dos triângulos semelhantes: 
G
G
p
p
l
h
l
h
OA
h
sen ===α 
 OA = h/sen60 = 1,1547.h 
Cálculo da força devida a ação da água na superfície OB: F1 
 Módulo: 111 AhF Gγ= ou OBhLF .1 γ= ou hF 04,70611 = 
 Direção: vertical 
 Sentido: de baixo para cima 
 Ponto de aplicação: CP1 coincidente com CG1 
 hhG =1 
Cálculo da força devida a ação da água na superfície OA: F2 
 Módulo: 
222 AhF Gγ= ou OALhF .
22
γ= ou 
2
2 25,3397 hF = 
 Direção: perpendicular a OA (fazendo 30º com a horizontal) 
 Sentido: da água para OA. 
 Ponto de aplicação: CP2 dado por hp2 
 hg2 = h/2 ; lG2 = OA/2 e A = OA.L 
 
Al
I
ll
G
G
Gp
2
2
22 += ou 
 
°
+=
°
+=
602
12
º602..
602
12
.
º602
23
2
sen
h
OA
sen
h
OAL
sen
h
OAL
sen
h
l p
 
 hl p 7698,02 = 
 
Para que haja equilíbrio, além da resultante das forças ser nula é necessário que a soma 
dos momentos de cada uma das forças também o seja. Assim, adotando como centro de 
momentos o ponto O e o sentido horário como o de momentos positivos, tem-se: 
 
Lições de Hidráulica Básica 
 
162 
 
 0=∑ OM ou P.x + F2.(OA - 0,7698h) - F1.OB/2 = 0 
 
 2200x0,37 + 3397,25h2.(1,1547h - 0,7698h) - 7061,04hx1,2/2 = 0 
 
 h3 - 3,24h + 0,625 = 0. 
 
 A solução da equação acima fornece 3 valores de h, sendo um deles negativo, o 
que fisicamente não é solução do problema. Resolvendo-se, uma das raízes é 0,194 m e 
a outra é 1,695 m. 
 
 Como a equação acima é resultante dos momentos, observa-se que a comporta 
estará fechada sempre que a soma dos momentos de todas as forças for negativo, o que 
ocorre quando h estiver entre 0,194 m e 1,695m. 
 
 
5. Caso de comportas reguladoras de nível: seja uma comporta composta por duas 
superfícies planas OC e OB, formando entre si um ângulo α = 90º, usada para 
regular o nível da água em uma barragem. A comporta tem 1,20 m de largura, pesa 
5,0 kN, tem o comprimento OB igual a 1,50 m e é livre para girar em torno de um 
eixo horizontal passando por O. O centro de gravidade da comporta está localizado 
em um ponto situado a 0,50 m à direita de O e 0,60 m acima de O. Determinar o 
valor da profundidade h para que a comporta inicie o processo de abertura, 
desprezando-se eventuais forças de atrito presentes. 
Lições de Hidráulica Básica 
 
163 
 
 
Solução 
Cálculo da força sobre a superfície OB: F1 
 Módulo: 
111 AhF Gγ= ou OBhLF .1 γ= ou hF 6,176521 = 
 Direção: vertical 
 Sentido: de baixo para cima 
 Ponto de aplicação: CP1 coincidente com CG1 
 hhh pG == 11 
Cálculo da força devida a ação da água na superfície vertical OA: F2 
 Módulo: 222 AhF Gγ= ou OALhF .
22
γ= ou 22 2,5884 hF = 
 Direção: horizontal 
 Sentido: da água para a superfície OA. 
 Ponto de aplicação: CP2 dado por hp2 
 hg2 = h/2 e A = OA.L 
 
Ah
I
hh
G
G
Gp
2
2
22 += ou 
Lições de Hidráulica Básica 
 
164 
 
 h
hh
h
OA
h
OAL
h
OAL
h
hp 3
2
62
2
12
2..
2
12
.
2
23
2 =+=+=+= , o que dá hhp 667,02 = 
 Para que haja equilíbrio, além da resultante das forças ser nula, é necessário 
que a soma dos momentos de cada uma das forças também se anule. Assim, adotando 
como centro de momentos o ponto O e o sentido horário como o de momentos 
positivos, tem-se: 
 0=∑ OM ou P.x + F2.(h - 0,667h) - F1.OB/2 = 0 
 5000x0,50 + 5884,2h2.0,333h - 17652,6hx1,5/2 = 0 
 h3 - 6,75h + 1,2746 = 0. 
 A solução da equação acima fornece três valores de h, sendo um deles negativo 
(h = -2,688 m), o que não é solução do problema físico. As demais raízes do polinômio 
do terceiro grau são h1 = 0,190 m e h2 = 2,498 m. 
 Como a equação acima é resultante dos momentos, observa-se que a comporta 
estará aberta sempre que a soma dos momentos de todas as forças for positiva (maior 
que zero), o que ocorre quando h for inferior 0,190 m e quando h for superior a 2,498 m. 
Isso pode ser facilmente visto no desenho abaixo. 
 
 
Lições de Hidráulica Básica 
 
165 
 
 
 
 
3.8 – Esforços sobre Superfícies Curvas Submersas 
 
 Quando se trata do cálculo dos esforços resultante da pressão sobre uma 
superfície curva submersa, é preciso considerar que os vetores forças elementares 
agindo sobre elementos de área não têm a mesma direção, o que invalida a utilização da 
técnica apresentada para o cálculo dos esforços sobre superfície plana submersa. A 
figura xx ilustra a variação da força elementar com a direção e com a profundidade. 
 
Figura xx - Representação da força elementar que age sobre um elemento de área 
horizontal da superfície curva AB. 
 
AB agora é uma superfície curva. 
dA elemento de área a uma profundidade h 
Fd
r
 vetor força resultante da ação da pressão sobre dA 
Lições de Hidráulica Básica 
 
166 
 
módulo: dF = p.dA = γhdA ==> variável com h. 
Direção: θ com a vertical, nesse caso variável com h. 
Sentido: do líquido para a área dA 
Ponto de aplicação: centro de gravidade de dA 
 
A força Fd
r
 pode ser decomposta em duas componentes, uma segundo a direção 
horizontal e outra segundo a direção vertical, conforme ilustrado na figura xx, de forma 
que: 
VH FdFFd
rrr
+= 
 
Figura xx - Representação da força infinitesimal e suas componentes horizontal e 
vertical. 
 
O seu módulo será: 
22
VH dFdFdF += 
Direção: 
V
H
dF
dF
tg =θ 
O esforço total F
r
sobre a área curva A será calculado através das componentes 
horizontal e vertical da força total exercida pelo fluido sobre a superfície curva AB. 
 
Lições de Hidráulica Básica 
 
167 
 
3.8.1 - COMPONENTE HORIZONTAL: HF
r
 
Módulo: dFH = dF.senθ 
 dF = p.dA, p = γ.h e dFH = γ h dA.senθ 
 
 Pela figura xx, nota-se que a projeção da área dA em um plano vertical é dAV, 
tal que: dAV = dA.senθ. Da mesma forma, a projeção de dA em um plano horizontal 
será dAH = dA.cosθ. 
 Substituindo dA.senθ tem-se: dFH = γhdAV. A componente horizontal, em 
módulo, será, portanto: ∫∫ ==
VV A
VA HH
dAhdFF γ . Para γ constante, essa integral é 
semelhante à integral calculada para uma superfície plana vertical, de área Av, projeção 
da área A em um plano vertical, sendo dada por: 
VGH AhF
'γ= 
onde h'G é a profundidade do centro de gravidade de AV em relação à superfície livre do 
líquido e AV é o valor da projeção da área da superfície curva sobre um plano vertical.Figura xx - Elementos envolvidos na determinação do módulo da 
componente horizontal da força resultante da ação da pressão sobre uma 
superfície curva AB. 
Lições de Hidráulica Básica 
 
168 
 
 
 A direção de FH é horizontal 
 O sentido de FH é do líquido para a superfície curva 
 O ponto de aplicação seria o centro das pressões correspondente AV, CP
', dado 
pela profundidade h'p calculada através da equação análoga ao caso de uma superfície 
plana vertical 
VG
G
Gp Ah
I
hh
'
'
'' += , onde I 'G é o momento de inércia da projeção AV, em 
relação a um eixo horizontal coincidente com a superfície livre o líquido e pertencente 
ao plano definido por AV. 
 
3.8.2 - COMPONENTE VERTICAL: VF
r
 
Módulo: dFV = dF.cosθ 
 dF = p.dA, p = γ.h e dFV = γ h dA.cosθ 
Verificando que dAH = dA.cosθ, pode-se escrever que dFV = γ h dAH, onde dAH é a 
projeção da área dA em um plano horizontal e h a profundidade em que se encontra essa 
projeção. 
A componente vertical da força devida a ação das pressões sobre a área curva AB, em 
módulo, será dada por ∫∫ ==
HH A
HA VV
hdAdFF γ . 
Matematicamente, a parcela h.dAH representa o volume elementar de fluido (real ou 
virtual), dVol, que existe acima da superfície dA, até à superfície livre do líquido, 
conforme visto na figura xx. Nesse caso, tem-se: 
∫=
HA
olV dVF γ 
 
Lições de Hidráulica Básica 
 
169 
 
 
Figura xx - Elementos envolvidos na determinação do módulo da 
componente vertical da força resultante da ação da pressão sobre uma 
superfície curva AB. 
 
 Como o peso específico é constante e pode ser retirado de dentro da integral, o 
volume de fluido (real ou virtual) acima da superfície curva AB será ∫= A olol dVV , de 
forma que 
olV VF γ= . 
 Como γ.Vol é o peso do fluido contido no volume, diz-se que a componente 
vertical da força F é igual ao peso do fluido deslocado, à semelhança do empuxo sobre 
um corpo. 
Direção: vertical. 
Sentido: sempre voltada do líquido para a superfície curva AB. 
Ponto de aplicação: Gv 
 A componente vertical da força resultante da ação das pressões sobre a 
superfície curva AB estará aplicada no centro de gravidade do volume Vol, ponto a que 
Lições de Hidráulica Básica 
 
170 
 
denomina-se de Gv, cujas coordenadas são xV e yV. A determinação das coordenadas de 
Gv resulta de simples cálculos do centro de gravidade de um volume. 
Lembrete: 
 
ol
V ol
V V
xdV
x ol
∫
= e 
ol
V ol
V V
ydV
y ol
∫
= 
 
3.8.3 - FORÇA TOTAL RESULTANTE DAS PRESSÕES SOBRE UMA 
SUPERFÍCIE CURVA: 
 O cálculo da força total resultante das pressões sobre uma superfície 
curva será determinada pelas suas componentes horizontal e vertical já determinadas de 
forma que: 
VH FFF
rrr
+= 
Como F
r
 é o resultado da soma de duas forças perpendiculares entre si, é fácil calcular 
essa força partindo de suas componentes, conforme elementos representados na figura 
xx. 
Módulo: 
22
VH FFF += 
Direção: data através de um ângulo α feito pela direção da força e a vertical, tal que 
V
H
F
F
tg =α . Assim 





=
V
H
F
F
arctgα 
Lições de Hidráulica Básica 
 
171 
 
 
Figura xx - Elementos envolvidos na determinação do módulo da força resultante da 
ação da pressão sobre uma superfície curva AB, através de suas componentes horizontal 
e vertical. 
 
Sentido: sempre do líquido para a superfície curva AB. 
Ponto de aplicação: será o ponto I, dado pelas coordenadas xI e yI. A abscissa xI será 
determinada à partir da escolha do referencial e da coordenada xV, abscissa do ponto de 
aplicação da componente vertical. A ordenada yI será determinada pela escolha do 
referencial e da distância h'p que define o ponto de aplicação da componente horizontal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lições de Hidráulica Básica 
 
172 
 
EXEMPLOS DE APLICAÇÃO 
 
1. Determinar a espessura de uma tubulação de diâmetro interno D, feita de um material 
cuja tensão de tração é σ, para suportar a ação de uma pressão p. 
 
Solução: 
 Seja uma tubulação de comprimento L e raio R. Separando apenas uma metade 
da tubulação, a força de tração a que o tubo está submetido devida à ausência da outra 
metade será: T1 = T2 = T. A força resultante da pressão na parede interna do tubo, 
considerando-se apenas a metade destacada, será F. 
 Para que haja o equilíbrio das forças segundo o eixo horizontal deve-se ter: T1 
+ T2 - F = 0 ou seja F = T + T. Logo F = 2T. 
Assim: T = F/2. 
A força resultante da pressão, será VVG pAAhF == γ . 
Mas AV = 2R.L, o que dá T = p.2R.L/2 ou T = pRL. 
A tensão de tração é definida como sendo σ = T/A, sendo A = e.L. 
Substituindo os valores tem-se pRLeL =σ . O que resulta em uma pressão dada por: 
e
R
p
σ= ou e
D
p
σ2= 
 A equação acima mostra que a pressão máxima que um tubo pode suportar 
depende da tensão normal de tração do material do tubo, do diâmetro e da sua 
espessura. 
Lições de Hidráulica Básica 
 
173 
 
 
2. Calcular a força resultante da ação da pressão sobre uma superfície curva formada 
pela quarta parte da superfície de um cilindro de raio R igual a 1,00 m e de eixo 
horizontal com altura L igual a 1,40 m. O líquido em contato com a superfície 
cilíndrica é a água, de massa específica igual a 1000 kg/m3, cuja superfície livre se 
encontra h igual a 0,50 m acima do eixo do cilindro, conforme ilustrado na figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lições de Hidráulica Básica 
 
174 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lições de Hidráulica Básica 
 
175 
 
3. Uma comporta é formada pela quarta parte de um cilindro de raio igual a 2,00 m e 
eixo horizontal de 1,50 m de altura, construído com um material tal que o peso do 
cilindro será de 2,00 kN. O centro de gravidade do cilindro se encontra situado em 
um ponto a 0,80 m a esquerda e 0,90 m abaixo do seu centro. A água de massa 
específica 1000 kg/m3, está sendo barrada pelo cilindro e atinge a altura h igual a 
4,00 m acima do ponto A, conforme indicado na figura. A comporta cilíndrica pode 
girar livremente em torno do ponto O, articulação de eixo horizontal. Nesse caso 
pede-se: 
 
a) a componente horizontal da força resultante da ação da pressão sobre a superfície 
curva AC; 
b) a componente vertical da força resultante da ação da pressão sobre a superfície curva 
AC; 
c) o valor de uma força externa Fa, vertical, para cima, aplicada no ponto A, destinada a 
abrir a comporta formada pela quarta parte do cilindro descrito. 
d) o momento da força Fa em ralação ao ponto O. 
 
 
 
 
Lições de Hidráulica Básica 
 
176 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lições de Hidráulica Básica 
 
177 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. HIDRODINÂMICA 
 
Definição: - É a parte da Hidráulica encarregada do estudo do movimento dos fluidos e 
das suas causas. 
Escoamentos dos fluidos estão sujeitos a: 
� Determinadas condições gerais 
� Princípios fundamentais 
� Leis da dinâmica 
� Teoria da turbulência 
 Na hidráulica, a hidrodinâmica estuda o movimento dos líquidos, 
correlacionando esse movimento com as causas desse movimento. O caso do estudo dos 
líquidos em repouso ou com movimento retilíneo uniforme já foi visto no capítulo 
anterior. 
 
4.1. Generalidades 
 
 Para o estudo do movimento dos líquidos faz-se necessário estabelecer a 
posição de alguns pontos no espaço ocupado pelo líquido em seu movimento. 
 O movimento pode ser descrito de duas formas distintas. A descrição 
Lagrangeana consiste, basicamente, em seguir cada partícula fluida no espaço, (através 
do vetor de posição de cada partícula fluida) e aplicar as leis básicas da mecânica para 
cada uma dessas partículas em movimento. A segunda forma é a descrição Euleriana, na 
qual um volume finito definido no espaço é estudado, através das variáveis de campo 
Lições de Hidráulica Básica 
 
178 
 
presente nesse volume, que podem ser função da posição e do tempo.Essa é a forma 
comumente utilizada no estudo da hidráulica. 
 Seja um fluido em escoamento e P a posição de um dado ponto no espaço, em 
um dado instante. Seja (ℓ) a trajetória descrita pelo ponto P no seu movimento. A 
posição de um ponto no espaço pode ser definida a partir de um referencial Oxyz, que 
na maior parte das vezes é um referencial cartesiano tri-ortogonal, de origem O e eixos 
Ox, Oy e Oz, ortogonais entre si, conforme ilustrado na figura seguinte. Quando o ponto 
P se movimenta, a sua posição varia com o tempo, de forma que pelo menos uma das 
coordenadas desse ponto muda com o tempo. 
 A posição do ponto P pode ser univocamente estabelecida, fornecendo-se os 
valores de x, y e z, distâncias do ponto aos planos coordenados yOz, xOz e xOy, 
respectivamente. O terno de valores x, y e z é conhecido como coordenadas cartesianas 
do ponto P em relação ao referencial cartesiano tri-ortogonal Oxyz. 
 
Figura 01 - Ponto P e suas coordenadas cartesianas. 
 
P ≡ (x, y, z) � coordenadas cartesianas do ponto P, que definem 
um único ponto P do espaço. 
 
Lições de Hidráulica Básica 
 
179 
 
 A posição do ponto P no espaço também poderia ser estabelecida através de 
um vetor de origem O e extremidade P, denominado de vetor posicional de P. Tal vetor, 
r
r
, resulta da soma dos vetores deslocamentos em relação a cada um dos eixos 
coordenados, ix
r
, jy
r
 e kz
r
 e a sua expressão cartesiana fica sendo: 
kzjyixr
rrrr ++= 
Sendo i
r
, j
r
 e k
r
 os vetores unitários das direções Ox, Oy e Oz, respectivamente. 
 Cada ponto do espaço possui um vetor r
r
, que pode estar variando com o 
tempo. Assim )(trr
rr = . Se há movimento do ponto P, ele é definido no tempo 
quando se conhece a função )(tr
r
, ou as coordenadas cartesianas x, y e z, tal que: 
x = x(t) \ 
y = y(t) |> � equações paramétricas da trajetória 
z = z(t) / 
 
Se o ponto P muda de posição em um intervalo de tempo muito pequeno, dt, denomina-
se vetor deslocamento infinitesimal ao vetor rd
r
 dado por: 
kdzjdyidxrd
rrrr ++= 
 Quando se relaciona este deslocamento infinitesimal com o intervalo de tempo 
correspondente, define-se o vetor velocidade, V
r
, tal que: 
 kwjviu
dt
kzjyixd
dt
rd
V
rrr
rrrr
r
++=++== ( 
onde, 
 
dt
dx
u = , 
dt
dy
v = e 
dt
dz
w = são as componentes cartesianas do 
vetor velocidade. 
 
 Nesse caso o vetor velocidade, pode ter seus atributos determinados(módulo, 
direção e sentido. 
O módulo será dado por 222 wvuVV ++==
r
. 
A direção será dada pelos cossenos diretores: Vu=αcos ; Vv=βcos ; 
Vw=γcos . Assim, o unitário da direção do vetor velocidade será 
kjiuV
rrrr
)(cos)(cos)(cos γβα ++= , com VuVV
rrr = . 
O sentido do vetor velocidade será o sentido do movimento. 
Lições de Hidráulica Básica 
 
180 
 
 
Fig. xx - Componentes do vetor velocidade no espaço. 
 
 
 Como temos infinitos pontos no espaço ocupado pelo fluido no seu escoamento 
e, a cada ponto corresponde um vetor velocidade, conclui-se que V
r
 depende da posição 
e do tempo, de forma que se escreve ),,,( tzyxVV
rr
= para expressar tal dependência, 
sendo tal equação a representação do campo de velocidades existente numa dada região 
do espaço, em qualquer instante de tempo. Nesse caso, as componentes cartesianas do 
vetor velocidade também dependem da posição e do tempo, relação esta que se escreve 
genericamente da seguinte forma: 
u = u (x,y,z,t) 
v = v (x,y,z,t) 
w = w (x,y,z,t) 
 
 Da mesma maneira, podemos pensar em um campo de pressões dado por p = p 
(x,y,z,t), um campo de massa específica dado por ρ = ρ (x,y,z,t), um campo de 
Lições de Hidráulica Básica 
 
181 
 
aceleração dado por ),,,( tzyxaa
rr = ou mesmo de um campo de forças 
),,,( tzyxFF
rr
= . Como exemplo de um campo de velocidades poderíamos ter um 
escoamento jviuV
rrr
+= tal que jyixV
rrr
)3,02,1()06,02,0( −++= . Lembre-se de 
que o vetor velocidade será nulo na posição P=(-0,33;4,00). A título de exemplo, calcule 
o vetor velocidade, o seu módulo e a sua orientação no espaço, para um partícula fluida 
que se encontre na posição P=(2;3). 
 Em geral V
r
 muda com o tempo e com a posição, de maneira que em uma 
posição genérica, P, Vd
r
 será o vetor velocidade infinitesimal, correspondente a 
mudança de V
r
 nesse intervalo de tempo infinitesimal dt. Assim, pode-se definir o vetor 
aceleração como sendo: 
dt
Vd
a
r
r = 
 Substituindo o vetor velocidade por sua expressão cartesiana, tem-se: 
( )
dt
kwjviud
a
rrr
r ++= ou kajaiak
dt
dw
j
dt
dv
i
dt
du
a zyx
rrrrrrr ++=++= 
com 
 ax = ax (x,y,z,t); 
 ay = ay (x,y,z,t); 
 az = az (x,y,z,t); 
 
 A expressão cartesiana do vetor aceleração será 
),,,( tzyxakajaiaa zyx
rrrrr =++= , sendo ),,,( tzyxaa rr = o campo de aceleração na 
posição definida por x, y e z e no instante genérico t. As componentes cartesianas do 
vetor aceleração podem ser obtidas, lembrando que as derivadas a serem calculadas são 
de funções que dependem da posição e do tempo. 
 
 Para o eixo Ox, o cálculo diferencial ensina, pela regra da cadeia, que a 
diferencial da variável u será: 
dt
t
u
dz
z
u
dy
y
u
dx
x
u
du
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂= 
Lições de Hidráulica Básica 
 
182 
 
 Dividindo-se ambos os membros da equação acima por dt, tem-se: 
t
u
z
u
w
y
u
v
x
u
u
dt
du
ax ∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂== 
 
 Para o eixo Oy, tem-se, de maneira análoga: 
dt
t
v
dz
z
v
dy
y
v
dx
x
v
dv
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂= 
 Dividindo-se ambos os membros da equação acima por dt, tem-se: 
t
v
z
v
w
y
v
v
x
v
u
dt
dv
ay ∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂== 
 
 De maneira análoga, para o eixo Oz, tem-se: 
dt
t
w
dz
z
w
dy
y
w
dx
x
w
dw
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=
 
 Ao dividir ambos os membros da equação acima por dt, tem-se: 
t
w
z
w
w
y
w
v
x
w
u
dt
dw
az ∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂== 
 
 Assim, a expressão cartesiana do vetor aceleração no escoamento de um fluido 
será obtido substituindo as derivadas na equação de a
r
, para se obter: 
 
+





∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+





∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂= j
t
v
z
v
w
y
v
v
x
v
ui
t
u
z
u
w
y
u
v
x
u
ua
rrr 
 
 k
t
w
z
w
w
y
w
v
x
w
u
r






∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+ 
 
 Nessa equação, ∂ foi usado para representar a derivada parcial de uma 
grandeza e d para representar a derivada total. Alguns autores, ao escrever a equação de 
a
r
 costuma usar a letra D para diferenciar a derivada total e denominam tal derivada de 
derivada substancial. Todavia, isso não é necessário, desde que seja admitido que o 
vetor velocidade é função do espaço e do tempo. Nesse caso, escreve-se que: 
Dt
VD
dt
Vd
a
rr
r == 
 As vezes é de interesse, escrever a equação do vetor aceleração de uma forma 
mais compacta, tal que: 
Lições de Hidráulica Básica 
 
183 
 
( ) 





∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=== dt
t
V
dz
z
V
wdy
y
V
vdx
x
V
dt
V
dt
d
dt
Vd
a
rrrr
r
r
r 1 ou 
t
V
z
V
w
y
V
v
x
V
ua
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=
rrrr
r 
 Assim, o vetor aceleração será dado como uma função do espaço e do tempo, 
cujas componentes cartesianas,, u, v e w, serão calculadas através das três equações 
acima, de uma forma ou de outra. 
 Deve ser observado que cada uma das componentes do vetor aceleração estão 
compostas de quatro parcelas. As três primeiras representam a aceleração que se 
observa ao se mudar de um a outro ponto no espaço, num mesmo instante, sendo 
denominada de aceleração convectiva. A quarta parcela representa a aceleração que se 
observa em um mesmo ponto do espaço, na medida em que o tempo passa, sendo 
denominada de aceleração local. Portanto, é comum escrever-se, genericamente, que: 
 
),,,( tzyxaa
rr = = locconv aa
rr + 
 
Nessa equação, o vetor aceleração tem, agora, duas componentes: o vetor aceleração 
convectiva e o vetor aceleração local. Conforme dito anteriormente, a primeira 
componente diz respeito a variaçãoda velocidade com a posição num mesmo instante, 
ao passo que a segunda componente representa a variação da velocidade com o tempo, 
em uma mesma posição do espaço. 
 O vetor aceleração convectiva será dado por: 
 
k
z
w
w
y
w
v
x
w
uj
z
v
w
y
v
v
x
v
ui
z
u
w
y
u
v
x
u
uaconv
rrrr






∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+





∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+





∂
∂+
∂
∂+
∂
∂= ou 
z
V
w
y
V
v
x
V
uaconv ∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=
rrr
r 
 
 O vetor aceleração local será escrito da seguinte forma: 
 
Lições de Hidráulica Básica 
 
184 
 
k
t
w
j
t
v
i
t
u
aloc
rrrr
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂= 
ou 
t
V
alocv ∂
∂=
r
r
 
 
 O vetor aceleração também pode ser obtido e escrito, na forma vetorial, mais 
compacta, a partir da definição do operador gradiente, a ser aplicado sobre uma 
variável, definido da seguinte forma: 
 
k
z
j
y
i
x
rrrr
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=∇ 
 
Multiplicando escalarmente o vetor velocidade pelo operador gradiente, tem-se um 
novo operador que pode ser aplicado sobre uma grandeza, conforme a equação seguinte. 
Lembrar que o produto escalar de um vetor unitário por ele mesmo é um e que o 
produto escalar de vetores unitários normais entre si é zero. 
( ) 





∂
∂+
∂
∂+
∂
∂⋅++=∇⋅ k
z
j
y
i
x
kwjviuV
rrrrrrrr
 
Logo, 
z
w
y
v
x
uV
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=∇⋅
rr
 
 Esse novo operador pode ser aplicado sobre o vetor velocidade, para dar: 
( )
z
V
w
y
V
v
x
V
uVV
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=∇⋅
rrr
rrr
 
Observar que o segundo membro da equação acima é exatamente a expressão do vetor 
aceleração convectiva. Portanto, é comum escrever a expressão do vetor aceleração em 
um campo de escoamento de um fluido, na forma compacta, da seguinte forma: 
( )
t
V
VVa
∂
∂+∇⋅=
r
rrrr 
Observação: 
Lições de Hidráulica Básica 
 
185 
 
1. Se o escoamento for permanente, o vetor aceleração local será nulo e o vetor 
aceleração será: ( )VVa rrrr ∇⋅= . 
2. Se o escoamento for uniforme, o vetor aceleração convectiva será nulo e o 
vetor aceleração será apenas 
t
V
a
∂
∂=
r
r . 
 
 Nos caso considerados, as variáveis x, y, z e t são denominadas de variáveis 
independentes e as variáveis dependentes são velocidade, aceleração, quantidade de 
movimento, energia, dentre outras. 
 Nos problemas envolvendo a hidrodinâmica normalmente podemos escrever 
até seis equações envolvendo até seis incógnitas, o que permite solucionar os mais 
diversos problemas relacionados aos escoamentos dos líquidos. Estas equações são: 
 
 
 
 
 
Equações Básicas: 
• 3 equação do movimento 
• 1 equação da continuidade 
• 1 equação da energia 
• 1 equação de estado 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lições de Hidráulica Básica 
 
186 
 
4.2. Exemplo de aplicação 
 
 Seja o escoamento permanente de água através de um bocal cônico 
convergente, instalado no final de uma tubulação de área A. Determinar o módulo do 
vetor aceleração. 
 
Figura 02 - Escoamento através de um bocal cônico convergente. 
 
Solução 
 O vetor velocidade média será unidimensional, estando ao longo da direção 
Ox. O seu valor não varia com o tempo, todavia varia ao longo do bocal desde um valor 
V1 até um valor V2, maior, no final da distância ∆x. 
 
 Nesse caso, u varia desce V1 até V2, v = w = 0. Tem-se, também, ∂u/∂t = 
v∂u/∂y = w∂u/∂z = 0, de forma que ax = u∂u/∂x. Como não há movimento nas direções 
de Oy e de Oz, tem-se, ainda, ay = az = 0, assim como todas as parcelas dessas 
componentes. 
 O problema, agora é calcular u e a sua derivada em relação a x. Uma 
aproximação usual é adotar u = (V1 + V2) / 2 e ∂u/∂x = (V2 - V1)/ ∆x. 
Logo, 
x
VVVV
x
u
uax ∆
−+=
∂
∂= 1221 .
2
, o que resulta em 
x
VV
ax ∆
−=
2
2
1
2
2 . 
 
 
PONTO DE VISTA DE EULER X PONTO DE VISTA DE LAGRANGE 
Ver desenvolvimento no quadro 
Lições de Hidráulica Básica 
 
187 
 
 
 
 
4.3. CONCEITOS RELATIVOS AOS ESCOAMENTOS 
 
 A natureza do escoamento de um fluido real é um pouco complexa, visto que 
as leis básicas que descrevem o seu movimento na têm uma formulação muito simples, 
levando a complexas equações matemáticas. Para evitar esse problema, é comum fazer 
uso de recursos experimentais, para melhorar a compreensão dos fenômenos ligados ao 
movimento dos fluidos. 
 No estudo do movimento dos fluidos aparecem muitos conceitos básicos que a 
seguir serão recordados. 
 
 Sistema: quantidade definida de matéria, distinta de todo o restante do meio 
que o cerca, separada para efeito de estudos. O sistema possui uma quantidade de massa 
perfeitamente caracterizada. A lei da conservação da massa afirma que a massa de um 
sistema permanece constante com o tempo, de maneira que matematicamente se pode 
escrever que dm/dt = 0, sendo m a massa total do sistema e t o tempo. 
 
 Fronteira do sistema: superfície fechada que delimita o sistema. Ela pode 
variar com o tempo, todavia terá sempre a mesma massa. 
 
 Volume de controle: é uma região do espaço ocupada por um fluido, escolhida 
para realizar a análise de um escoamento. Às vezes é denominado de sistema aberto. A 
forma e o tamanho do volume de controle podem variar, além de poder serem arbitradas 
livremente nos problemas. 
 
 Superfície de controle: superfície fechada que delimita o volume de controle. 
Através dela pode haver ou não passagem de massa. É comum fazer coincidir parte da 
superfície de controle com as paredes sólidas que delimitam um escoamento e outra 
parte com superfícies definidas perpendicularmente aos escoamentos. 
 
Lições de Hidráulica Básica 
 
188 
 
 Trajetória é o lugar geométrico dos pontos do espaço ocupados 
sucessivamente por um ponto durante o seu movimento. Pode-se imaginar a trajetória 
como sendo o rastro deixado pelo ponto durante o seu movimento. 
 
 Linha de corrente, também denominada de linha de fluxo, é lugar geométrico 
dos pontos do espaço tangente à direção do vetor velocidade no ponto. Duas linhas de 
corrente não se cruzam. A equação da linha de corrente é decorrente de se considerar o 
deslocamento infinitesimal de um ponto, na mesma direção e sentido do vetor 
velocidade, de forma que pode-se demonstrar que 
w
dz
v
dy
u
dx == , onde dx, dy e dz são 
as componentes cartesianas do vetor deslocamento infinitesimal e u, v e w as 
componentes cartesianas do vetor velocidade ao longo dos eixos coordenados, 
respectivamente. Nos escoamentos permanentes não há variação da direção dos vetores 
velocidades, de modo que as linhas de correntes são fixas no espaço, com inclinações 
fixas. Nesse caso a trajetória de uma partícula é a linha de corrente, o que não acontece 
nos escoamentos não permanentes, quando as linhas de correntes variam com o tempo 
numa dada região do espaço. Linhas de correntes mais próximas entre si indicam 
maiores velocidades e mais distantes indicam regiões de menores velocidades. 
 
 
 
Fig. 03 – Linhas de corrente de um escoamento e vetor velocidade em um ponto. 
 
 
Lições de Hidráulica Básica 
 
189 
 
 Tubo de corrente ou tubo de fluxo é definido pelo conjunto das linhas de 
corrente que tocam uma linha fechada traçada no interior de um escoamento. O tubo de 
corrente é fixo no escoamento permanente e varia com o tempo no escoamento não 
permanente. Já que o vetor velocidade num mesmo ponto não pode ter duas direções 
num mesmo instante, conclui-se que não poderá haver escoamento através das paredes 
de um tubo de corrente. 
 
Fig. 04 – Tubo de fluxo formado por linhas de corrente em um escoamento. 
(Refazer esta figura) 
 
 
 
 
 
4.3.1. Tipos e regimes de escoamentos: 
 
Quando se estuda os líquidos, em especial a água, é comum agrupar os 
escoamentos em determinados tipos, com características comuns, para fins de estudos. 
Os escoamentos podem ser classificados em função de suas características, 
capaz de identificar completamente aquele tipo ou regime de escoamento. Assim é 
comum classificar os escoamentos em: 
 
• ideal (invíscido) • real (viscoso,µ≠0) 
• uniforme • não uniforme (variado) 
• permanente • não permanente 
(variável) 
Lições de Hidráulica Básica 
 
190 
 
• acelerado • retardado 
• compressível • incompressível 
• rotacional • irrotacional 
• adiabático • unidimensional 
(grandezas = f(x) 
• bidimensional (grandezas = f(x,y) • tridimensional grandezas 
= f(x,y,z) 
• laminar (ação viscosa e velocidade baixa) • turbulento 
• forçado (condutos forçados) • livre (canais) 
• crítico • fluvial (subcrítico) 
• torrencial (supercrítico) 
 
 Escoamento de fluido ideal é quando a tensão cisalhante é muito pequena, 
tornando-se desprezível. Nesse caso não há atrito e a perda de energia ao longo do 
escoamento é desprezível. Também chamado de escoamento de fluido invíscido. Em 
alguns casos faz-se a hipótese de escoamento de fluido ideal para se obter equações 
simplificadas de um problema real. 
 
 Escoamento de fluido real ou escoamento viscoso é aquele para o qual a 
tensão cisalhante não é desprezível, devendo ser considerada no equacionamento. Nesse 
caso existe influência da viscosidade real (µ≠0), de maneira que o atrito e a perda de 
energia ao longo do escoamento existem e precisam ser consideradas. É o caso da 
maioria dos escoamentos que ocorrem na natureza. 
 
 Escoamento uniforme é aquele para o qual o vetor velocidade do escoamento 
é o mesmo em todos os pontos (em módulo, direção e sentido) em um dado instante. 
Diz-se que a derivada parcial do vetor velocidade com a posição é nula (
0=∂
∂
posição
V
r
). Assim não há aceleração convectiva. Costuma-se estender tal 
definição para escoamentos que, embora a velocidade varie à partir do contorno sólido 
(como é o caso do escoamento de fluido real), a velocidade média mantém-se a mesma 
na região estudada, num dado instante. É o caso de escoamentos em condutos retilíneos 
de diâmetro constante. 
Lições de Hidráulica Básica 
 
191 
 
 
 Escoamento não uniforme ou variado é aquele para o qual o vetor velocidade 
do escoamento varia de um ponto para outro, num mesmo instante. Para tais 
escoamentos a derivada parcial do vetor velocidade com a posição não é nula (
0≠∂
∂
posição
V
r
), existindo a aceleração convectiva. É o caso do escoamento em 
condutos em que o diâmetro varia ao longo do escoamento. 
 
 Escoamento permanente é aquele para o qual as grandezas físicas que 
descrevem o escoamento não variam com o tempo numa dada região do espaço. Diz-se 
que a derivada parcial da grandeza com o tempo é nula ( 0=∂
∂
t
grand ). Nesse caso, 
0=∂
∂
t
V
r
, 0=∂
∂
t
p , 0=∂
∂
t
ρ , 0=∂
∂
t
T , etc. A principal característica é que não 
haverá aceleração local, visto que o vetor velocidade não varia com o tempo. 
 
 Escoamento não permanente, também denominado de escoamento variável, é 
aquele para o qual as grandezas físicas que caracterizam o escoamento variam com o 
tempo em uma dada posição do espaço. A derivada parcial das grandezas em relação ao 
tempo não é desprezível, devendo ser considerada nesse tipo de escoamento (
0
)( ≠
∂
∂
t
grand ), assim como as derivadas parciais das demais grandezas. Nesse tipo de 
escoamento não se pode desprezar a aceleração local. 
 
 Um escoamento é dito acelerado quando a velocidade aumenta no sentido do 
escoamento, de forma que aparece uma aceleração positiva segundo essa direção. Isso 
acontece, nas regiões em que a área da seção transversal do escoamento diminui, como 
nos injetores. 
 
 Um escoamento retardado é denominado retardado, quando a velocidade 
diminui no sentido do escoamento, de maneira a existir uma aceleração negativa, isto é, 
o escoamento está sendo freado. Ele pode ser visto em regiões onde a área da seção 
transversal vai aumentando, como nos difusores. 
Lições de Hidráulica Básica 
 
192 
 
 
 Um escoamento é dito compressível quando não se pode desprezar a variação 
da sua massa específica. É o caso de escoamento de gases em velocidades elevadas ou 
mesmo o escoamento de água que fica sujeita a grandes variações na pressão. 
 
 Um escoamento é dito incompressível quando a variação da massa específica 
puder ser desprezada. É o caso da maioria dos escoamentos de líquidos sujeitos a pouca 
variação da pressão. Pode-se admitir escoamento incompressível de ar, quando ele 
ocorrer a baixas velocidades (o número de Mach deve ser inferior a 0,3). 
 
 Escoamento adiabático é aquele que ocorre sem transferência de calor para o 
fluido ou do fluido. Um escoamento adiabático de fluido ideal é denominado de 
escoamento isoentrópico. 
 
 Um escoamento é irrotacional ocorre quando o fluido não apresenta rotação 
num certa região do espaço. 
 
 Um escoamento é rotacional quando as partículas do fluido, em uma certa 
região do espaço, sofrer uma rotação em torno de um eixo qualquer. 
 
 Escoamento unidimensional é aquele em que as grandezas físicas que 
caracterizam o escoamento, tais como velocidade, pressão, massa específica, variam 
com apenas uma coordenada espacial, além do tempo. Diz-se que tais grandezas variam 
apenas em uma única direção, que em geral é a direção na qual o escoamento acontece. 
A variação das grandezas ao longo da direção transversal ao escoamento é desprezível. 
O escoamento pode ser tratado em termos médios na seção transversal, como ocorre nas 
tubulações. Esse é o caso da maioria dos escoamentos que acontecem nos condutos. 
 
 Escoamento bidimensional é aquele para o qual as grandezas físicas que o 
caracterizam variam ao longo de duas direções do espaço, isto é, variam em um plano 
xOy e nesse caso diz-se que grandezas são uma função, f(x,y), das coordenadas s e y. 
Admite-se que todas as partículas escoam em planos paralelos segundo trajetórias 
Lições de Hidráulica Básica 
 
193 
 
idênticas em cada um desses planos, podendo ser desprezada a variação das grandezas 
que interferem no escoamento ao longo da direção normal a esse plano. 
 
 Escoamento tridimensional é aquele para o qual as grandezas que descrevem o 
escoamento variam segundo três direções do espaço. É o caso mais geral de escoamento 
de fluido. Nesse caso diz-se que as grandezas do escoamento são funções de x, y e z 
(f(x,y,z)). As equações, em geral, são mais complexas e requerem mais esforço para 
serem resolvidas. 
 
 No escoamento laminar as partículas que compõem o fluido se movimentam 
em trajetórias bem definidas, constituindo lâminas ou camadas bem individualizadas no 
meio fluido. Em geral as partículas não se misturam entre si, formando camadas fluidas 
bem definidas, aproximadamente paralelas. Nesse caso predomina a ação das forças 
devidas à viscosidade do fluido, em relação às forças de inércia que tendem a quebrar as 
camadas ou filetes bem definidos. Se aparecem perturbações devido à turbulência elas 
são rapidamente amortecidas. É o caso típico dos escoamentos de fluidos viscosos em 
baixas velocidades. Na prática não são casos pouco freqüente no domínio da 
engenharia, a não ser em movimentos no solo ou em meios porosos. Nas tubulações ou 
nos canais ocorre com pouca freqüência. O escoamento laminar é governado pela Lei de 
Newton da viscosidade, podendo ser facilmente equacionado. 
 
 No escoamento turbulento as partículas de fluido movimentam em trajetórias 
irregulares, aleatórias, e de difícil caracterização. O movimento parece ser aleatório e 
sem um padrão definido, misturando completamente as diversas porções do fluido. Diz-
se que ocorre a transferência da quantidade de movimento entre as diversas regiões que 
formam a massa de fluido em escoamento. No escoamento turbulento predominam as 
forças de inércia em detrimento das forças viscosas, de forma que as perturbações não 
são amortizadas e tendem a se propagar no interior do fluido em escoamento. É o caso 
dos escoamentos de fluidos mais comuns que ocorrem a velocidades mais elevadas. A 
turbulência provoca o aparecimento de maiores tensões cisalhantes, causando, portanto, 
maiores perdas de energia que no escoamentolaminar. Essas perdas de energia variam 
Lições de Hidráulica Básica 
 
194 
 
com o quadrado da velocidade, ao passo que no escoamento laminar as perdas variam 
linearmente com a velocidade. 
 
 Escoamentos forçado em condutos forçados é aquele que se dá sob a ação de 
uma pressão diferente da pressão atmosférica. A principal força que governa o 
escoamento é decorrente da pressão. Esse é o caso da maioria dos escoamentos que 
ocorrem no domínio da engenharia, assunto principal da hidráulica dos condutos 
forçados. 
 
 Escoamento livre, escoamento com superfície livre ou escoamento em canais é 
aquele que ocorre de forma que haja sempre uma superfície sujeita à pressão 
atmosférica. Nesse caso a principal força motriz do escoamento é a força gravitacional. 
 
 Um escoamento é denominado crítico quando ocorre com a menor energia 
específica possível. A velocidade do escoamento é denominada de velocidade crítica. 
Este escoamento será melhor definido ao se estudar a hidráulica dos canais. 
 
 Escoamento fluvial ou subcrítico é aquele para o qual a velocidade do 
escoamento é inferior à velocidade crítica. Nesses escoamentos a velocidade de 
escoamento é muito baixa, de forma que o escoamento é lento ou tranqüilo. 
 
 Escoamento torrencial ou supercrítico é aquele pra o qual a velocidade é 
superior à velocidade crítica. Nesses escoamentos a velocidade assume valores mais 
elevados, fazendo aparecer turbilhões ou vórtices. 
 
 
4.3.2. CONCEITO DE VAZÃO 
 
 Quando os fluidos se encontram em escoamento é necessário quantificar esse 
escoamento em termos de quantidades transportadas medidas em volume, em massa ou 
em peso, o que permitirá a aplicação de equações que levam em conta essas 
Lições de Hidráulica Básica 
 
195 
 
quantidades. Para que isso aconteça é preciso estabelecer os conceitos de vazão, vazão 
em massa, vazão em volume e de velocidade média. 
 
a) Vazão em volume: Q 
 É o volume de líquido que atravessa uma determinada seção normal ao 
escoamento na unidade de tempo. Também denominada de descarga ou débito. 
 Matematicamente a vazão é calculada por: 
Q = Vol/∆t 
 Entretanto, há casos em que a própria vazão varia com o tempo, como nos 
escoamentos não permanentes. Nesse caso o intervalo de tempo ∆t influencia no valor 
calculado da vazão, o que indica que a definição de vazão precisa ser estendida para ser 
calculada em um dado instante. Isso é feito, definindo que a vazão é, num dado instante, 
o limite da relação entre o volume que atravessa uma determinada seção normal ao 
escoamento e o tempo, quando esse tempo tende para zero. Isso corresponde, na prática, 
a adotar-se intervalos de tempo muito pequenos, para se determinar a vazão em um 
determinado instante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No limite: Q = l i m (Vol/∆t) = dVol/dt 
 ∆t�0 
 
Se Q é constante � Q = Vol/∆t 
 
Lições de Hidráulica Básica 
 
196 
 
 
Figura 05 - Volume escoado em um intervalo de tempo ∆t. 
 
 A vazão também pode ser calculada em uma área muito pequena, denominada 
de área elementar e representada por dA. Nesse caso, tem-se: 
dQ = dVol/dt 
onde a vazão dQ, agora é um infinitésimo de primeira ordem e, dVol, um infinitésimo 
de ordem superior a dt. 
 
Fig. 06 – Vazão em uma área elementar, dA, onde a velocidade é v. 
 
 Observar que todas as partículas que se encontram sobre dA num dado instante, 
deslocam-se de um comprimento infinitesimal, ds, formando um prisma de fluido de 
base dA e altura ds. Assim, 
dVol = dA.ds e, 
dQ = dA.ds/dt 
Lições de Hidráulica Básica 
 
197 
 
Lembrar que ds/dt é exatamente o valor da velocidade tangencial à linha de corrente que 
passa pelo centro de gravidade de dA, de forma que v = ds/dt. 
Assim, finalmente, pode-se escrever que 
dQ = v.dA 
resultado que expressa uma nova maneira de se calcular a vazão, como o produto entre a 
velocidade do escoamento e a área normal à direção do escoamento. 
 A vazão total em uma área finita, A, pode ser calculada somando-se as infinitas 
parcelas vdA de forma a varrer toda a área A. Matematicamente, escreve-se que 
∫= A dAvQ . 
 
 
 
 
 
 
 Podem ocorrer casos que v não seja perpendicular à área dA. Portanto é 
necessário ampliar o conceito de vazão para considerar tais casos. Para tal, define-se um 
vetor área, de forma que ele tenha um módulo igual ao valor da área, direção 
perpendicular a essa área e sentido voltado para fora da área, conforme esquematizado 
na figura seguinte. Esse vetor fará um ângulo θ com o vetor velocidade, conforme 
ilustrado na figura seguinte. 
 
 
Fig. 07 – Vetor velocidade não é perpendicular à área e vetor área infinitesimal. 
dQ = dVol/dt 
 
dQ= dA.ds/dt = v.dA 
� ∫= A dAvQ . 
Lições de Hidráulica Básica 
 
198 
 
 
Nesse caso, a vazão é definida como o produto escalar entre o vetor velocidade e o vetor 
área definido anteriormente, ou seja: 
AdvdQ
rr
.= 
Pela definição de produto escalar entre dois vetores, resulta: 
θcos..dAvdQ= 
Onde v é o módulo do vetor velocidade, dA é o módulo do vetor área e θ o menor 
ângulo entre as direções dos dois vetores anteriormente referidos. 
 Lembrando que a componente da velocidade na direção da tangente é 
denominada de velocidade tangencial, pode-se escrever que: 
θcos.vvt = 
Logo, a vazão elementar em uma área dA será calculada como: 
dAvdAvdQ t== .cos. θ 
 
 Para o caso de uma área finita, podemos calcular a vazão através dela pela 
aplicação das seguintes expressões: 
∫∫ == AA dAvAdvQ .cos.. θ
rr 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Caso v não seja perpendicular a dA: 
θcos... dAvAdvdQ ==
rr
 
 
dAvdAvdQ t== .cos. θ 
ou 
∫∫ == AA dAvAdvQ .cos.. θ
rr
 
 
Lições de Hidráulica Básica 
 
199 
 
 
Unidades de vazão: 
 Em todo sistema coerente de unidades, se uma relação prevalece entre 
grandezas, ela também ocorre entre suas unidades. Assim, 
 
U(Q) = U(Vol)/U(t) 
 
 U(Q) = m3/s �SI e Sistema técnico 
 = cm3/s � CGS 
 = ft3/sec � Sistema Inglês Absoluto e Sist. Inglês Técnico 
 
Essas são as unidades usuais para medida da vazão. Entretanto outras podem ser 
utilizadas, dependendo do valor da vazão. Vazões podem ser expressas em m3/h, l/s, 
m3/dia, ml/s, etc. Ressalta-se que no Sistema Inglês, a vazão é sempre expressa em ft3/s, 
também denominada de cfs (cubic feet for second). 
 
b) Vazão em massa: m& ou Qm 
 
 É a massa de fluido que atravessa uma dada seção transversal ao escoamento 
na unidade de tempo. 
 Para uma área A, matematicamente se escreve: 
Qm = m& = m/∆t 
 
 Quando a vazão em massa varia com o tempo, deve-se passar ao limite da 
relação acima quando ∆t tende para zero, de forma que: 
t
m
mQ
t
m ∆
==
→∆ 0
lim& 
 
 O limite acima é exatamente a definição de derivada da massa em relação ao 
tempo, logo, na prática, apesar da definição acima, usa-se a seguinte expressão para o 
cálculo da vazão em massa: 
Lições de Hidráulica Básica 
 
200 
 
dt
dm
mQm == & 
 Mas, conforme definição anterior, substituindo dm = ρ.dVol, tem-se: 
AvQ
dt
dVol
dt
dm
mQm ...
. ρρρ ===== & 
 Em uma área elementar, dA, a vazão em massa é um infinitésimo de primeira 
ordem e dVol é um infinitésimo de ordem superior, de forma que: 
 
 dAv
dt
dAds
dt
dVol
dt
dm
mddQm ..
.
.
. ρρρ ===== & 
 Resumindo, o cálculo da vazão em massa que atravessa uma área elementar, 
dA, perpendicular ao escoamento, será: 
dAvmddQm ..ρ== & 
 Quando v não é perpendicular a dA, a vazão em massa será calculada por: 
AdvmddQm
rr
& ..ρ== 
 Para uma área, A, finita, basta somar as infinitas parcelas acima, para se 
encontrar a vazão em massa total, de forma que: 
∫== Am AdvmQ
rr
& ..ρ 
Ou 
∫== Am dAvmQ θρ cos& 
 
Unidades de vazão em massa: 
 Como a relação entre grandezas também prevalece entre as unidades em todo 
sistema coerente de unidades, escreve-se que: 
U(Q) = U(Vol)/U(t) 
 U(Qm) = kg/s �SI= utm/s � Sistema técnico 
 = g/s � CGS 
Lições de Hidráulica Básica 
 
201 
 
 = lb/sec � Sistema Inglês Absoluto e 
 = slug/sec � Sistema Inglês Técnico 
 
Essas são as unidades usuais para medida da vazão. 
 
 c) Vazão em peso: G 
 
 Por definição é o peso de fluido que atravessa uma dada seção normal ao 
escoamento na unidade de tempo. 
t
P
G
∆
= 
No caso de G variar com o tempo tem-se: 
∫==∆= →∆ At Advgdt
dP
t
P
G
rr
..lim
0
ρ 
 É uma grandeza pouco utilizada nos escoamentos de líquidos. 
 
 d) Velocidade média: V 
Em muitos escoamentos que ocorrem na prática, é usual falar-se em uma velocidade que 
representa tal escoamento: a velocidade média. Com freqüência, os escoamentos têm as 
suas equações expressas em termos da velocidade média. Portanto, define-se a 
velocidade média como sendo a relação entre a vazão e a área da seção transversal ao 
escoamento onde ela ocorre. Assim, escreve-se: 
A
Q
V = 
Como 
∫= AvdAQ , 
tem-se que 
A
Q
vdA
A
V
A
== ∫
1
 
 
Lições de Hidráulica Básica 
 
202 
 
 No caso geral, quando o vetor velocidade do escoamento não for perpendicular 
à área, velocidade média será calculada pela seguinte equação: 
∫= A AdvAV
rr
.
1 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS DE ALICAÇÃO 
 
Exercício 1: 
 Em uma instalação de bombeamento verificou-se que a vazão deveria ser de 
450 m3/h. Se a velocidade econômica na linha for definida como 1,05 m/s, qual deveria 
ser o diâmetro utilizado? Lembre-se que os diâmetros comerciais existentes no mercado 
são 350 mm, 400 mm e 500 mm, dentre outros. 
SOLUÇÃO 
 
Q = A.V, onde A = π.D2/4 
Logo 
Q = π.D2/4.V 
Assim: 
450/3600 m3/s = 3,142*D2/4*1,05m/s � D2 = 0,151576 m2. 
� D = 0,3893 m. 
 
 Em decorrência dos diâmetros comerciais existentes, o diâmetro indicado será 
400 mm, visto que a adoção de um diâmetro menor (350 mm) tornaria a velocidade 
acima do limite dado. 
 
 
 
 
Exercício 2: 
Lições de Hidráulica Básica 
 
203 
 
 Em um edifício de 12 pavimentos a vazão máxima na coluna de distribuição é 
de 7,5 l/s. Se a coluna de distribuição tiver diâmetro de 60 mm, qual a velocidade de 
escoamento da água? Observação: a ABNT recomenda 2,5 m/s par colunas de 75 mm. 
 
SOLUÇÃO 
 
Q = A.V, onde A = π.D2/4 
Logo 
Q = π.D2/4.V 
Assim: 
7,5/1000 m3/s = 3,142*0,0602/4m2*V. 
 
� V = 2,653 m/s. 
 
Esse valor é superior ao recomendado pela ABNT, mesmo para uma coluna de 60 mm 
de diâmetro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.4 - EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE 
 
Lições de Hidráulica Básica 
 
204 
 
 Seja um volume de fluido infinitesimal, dVol, escolhido no interior de uma 
fluido em escoamento, de massa específica ρ, referido a um sistema de eixos cartesianos 
tri-ortogonal, conforme mostra a figura seguinte: 
 
Fig. xx – Volume de controle utilizado para obtenção da equação diferencial da 
conservação da massa. 
 
 Seja m a massa contida em um volume de controle no instante t e m´ a massa 
num instante t´. Sendo t´ = t + dt � m´ = m + dm. Diz-se que no intervalo de tempo, 
dt, a massa variou de uma quantidade dm. Nesse caso: 
dm = ρ.dVol � dm = ρ.dx.dy.dz 
 
No instante t, a massa é m. 
No instante t´ = t + dt, a massa é m´= m + dm 
 
A variação da massa no volume dVol, em um intervalo de tempo dt será: 
dt
t
dzdydx
∂
∂ )...(ρ 
Lições de Hidráulica Básica 
 
205 
 
A taxa de variação da massa com o tempo no volume dVol, será: 
dzdydx
tdt
dt
t
dzdydx
...
)...(
∂
∂=∂
∂
ρ
ρ
 
 
Na direção do eixo Oy, pode-se escrever : 
• Massa que entra no volume elementar através da face do 
paralelepípedo perpendicular ao eixo Oy, na unidade de tempo: 
dzdxv ..ρ 
 
• Massa que sai do volume elementar através da face do paralelepípedo 
perpendicular ao eixo Oy, na unidade de tempo: 
dzdxdy
y
v
v .
)(






∂
∂+ ρρ 
• Balanço de massa na direção de Oy: 
dzdydx
y
v
..
)(
∂
∂− ρ 
Na direção de Ox: 
• Massa que entra no volume elementar através da face do 
paralelepípedo perpendicular ao eixo Ox, na unidade de tempo: 
dzdyu ..ρ 
• Massa que sai do volume elementar através da face do paralelepípedo 
perpendicular ao eixo Ox, na unidade de tempo: 
dzdydx
x
u
u .
)(






∂
∂+ ρρ 
• Balanço de massa na direção de Ox: 
dzdydx
x
u
..
)(
∂
∂− ρ 
Na direção de Oz: 
• Massa que entra no volume elementar através da face do 
paralelepípedo perpendicular ao eixo Oz, na unidade de tempo: 
dydx..ρω 
Lições de Hidráulica Básica 
 
206 
 
• Massa que sai do volume elementar através da face do paralelepípedo 
perpendicular ao eixo Oz, na unidade de tempo: 
dydxdz
z
.
)(






∂
∂+ ρωρω 
• Balanço de massa na direção de Oz: 
dzdydx
z
..
)(
∂
∂− ρω 
 
 Considerando que a equação da conservação da massa afirma que a massa que 
entra, na unidade de tempo, menos a massa que sai, na unidade de tempo, é igual a taxa 
de variação da massa com o tempo no interior do volume, tem-se: 
dxdydz
tz
dzdxdyw
y
dydxdzv
x
dxdydzu
∂
∂=
∂
∂−
∂
∂−
∂
∂− ρρρρ )()()( 
Dividindo-se a equação acima, membro a membro, por dx.dy.dz, tem-se: 
tz
w
y
v
x
u
∂
∂−=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂ ρρρρ )()()( 
 A equação acima é a forma diferencial da equação da conservação da massa 
para o escoamento, quando se considera um volume elementar de fluido de massa 
específica ρ. 
 
 Na forma vetorial esta equação pode ser escrita como: 
t
Vdiv
∂
∂−= ρρ )(
r
 
 
Observações: 
1. Escoamento permanente: 0=
∂
∂
t
ρ
� 0
)()()( =
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
z
w
y
v
x
u ρρρ . 
2. Escoamento incompressível (ρ constante): 0=
∂
∂
t
ρ � 
0
)()()( =
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
z
w
y
v
x
u . 
 
Lições de Hidráulica Básica 
 
207 
 
Em termos finitos, quando o escoamento se dá ao longo de um tubo de corrente, é 
possível escrever a equação da conservação da massa numa forma mais intuitiva. 
 
Figura xx - 
 Considerar um líquido escoando por um tubo de corrente tal que o regime de 
escoamento seja permanente. Para as áreas elementares que formam um tubo de 
corrente dA1 e dA2, pode-se escrever: 
1111 dAVmd ρ=& e c 
 
Como a equação da continuidade afirma que 21 mdmd && = tem-se: 
222111 dAVdAV ρρ = 
 
Integrando para as áreas A1 e A2, teremos: 
∫∫ =
21
222111 AA
dAVdAV ρρ 
Como a massa específica não varia em cada uma das áreas, tem-se: 
∫∫ =
21
222111 AA
dAVdAV ρρ 
Em termos do escoamento médio, em cada seção transversal ao escoamento, tem-se: 
222111 AVAV ρρ = 
 
 Para o escoamento incompressível a massa específica não varia nem em cada 
seção, nem de uma seção para outra. Logo a equação da continuidade para o 
escoamento de um fluido incompressível se torna: 
Lições de Hidráulica Básica 
 
208 
 
QCAVAV te === 2211 
 
Essa equação mostra que para o escoamento incompressível, a vazão em volume é 
constante ao longo do escoamento, embora a velocidade possa variar de uma seção para 
outra. Esse resultado é importante, pois permite concluir que se o escoamento for 
incompressível, quando se aumentar a seção do escoamento, a velocidade terá que 
diminuir e vice-versa. 
1
2
1
2 VA
A
V = 
Portanto, quando a área aumentar (A2 > A1), a equação acima permite concluir que V2 < 
V1. 
 Para um volume finito e, supondo escoamento não permanente, demonstra-se 
que a equação da continuidade será: 
dt
dVol
AVAV =− 2211 
 
EXEMPLOS DE ALICAÇÃO 
 
1. Em uma instalação de bombeamento verificou-se que a vazão deveria ser de 450 
m3/h. Se a velocidade econômica na linha for de 1,05 m/s, qual deveria ser o 
diâmetro a ser utilizado? Lembre-se que os diâmetros comerciais existentes no 
mercado, na faixa considerada, são 350 mm, 400 mm e 450 mm. 
SOLUÇÃO 
Q =A.V, sendo A = π.D2/4. 
A = π.D2/4 = Q/V. 
D2 =4.Q/V/π e D2 = 4*450/3600/1,05/3,142 = 0,1558 
D = 0,389 m ou D =389 mm. 
Assim,o diâmetro comercial de 400 mm deverá ser o escolhido. 
 
2. Em um edifício de 12 pavimentos a vazão máxima devidaao uso de uma coluna de 
distribuição é 7,5 l/s. Se a coluna tiver um diâmetro de 60 mm, qual será a 
velocidade do escoamento da água? 
Lições de Hidráulica Básica 
 
209 
 
SOLUÇÃO 
Q =A.V, sendo A = π.D2/4. 
V =Q / A = 4.Q/(π.D2). 
V =4*0,0075/(3,142*0,0602) 
V= 2,65 m/s 
Observação: A ABNT recomenda 2,5m/s para colunas de 75 mm. 
 
 
EXERCÍCIOS DE ALICAÇÃO 
 
1. Em uma tubulação de 50 m de diâmetro a água entra com uma vazão de 5 l/s. Após 
um comprimento igual a 1,20 m da entrada, a seção da tubulação é reduzida de forma 
que o diâmetro é de 25 mm. Determinar a velocidade da água na seção reduzida (de 
saída). 
SOLUÇÃO 
 
Q = AV 
Fluido incompressível e escoamento permanente: Q = A1.V1 = A2.V2 
Logo, 
22
2
2
025,0
0015,044
x
x
d
Q
A
Q
V
ππ
=== ou V2 = 3,06 m/s. 
 
2. Um reservatório prismático, com área da base igual a 5 m2, recebe água de duas 
tubulações e fornece água através de uma terceira tubulação, conforme figura a seguir. 
Sabe-se que Q1 = 2 l/s e D1 = 40 mm; V2 = 1,5 m/s e D2 = 50 mm; V3 = 1,10 m/s e 
D3 = 75 mm. No instante inicial (t = 0s) o volume de água existente no reservatório 
era de 1.000 litros. Nesse caso pede-se: 
a) verificar se o reservatório está enchendo ou esvaziando e que taxa; 
b) caso o reservatório tenha uma capacidade de 5.000 litros, qual o tempo que ele levará 
para transbordar? 
Lições de Hidráulica Básica 
 
210 
 
 
SOLUÇÃO 
 
a) Equação da continuidade para escoamento não permanente: 
dt
dV
AVAVAV ol=−+ 332211 
Assim: 10,1
4
075,0
50,1
4
050,0
002,0
22
33221 x
x
x
x
AVAVQ
dt
dVol ππ −+=−+= 
smls
mxx
dt
dVol /86106,810086,0
353 === −− 
Como dVol/dt > 0 conclui-se que o reservatório está em processo de enchimento, a uma 
taxa de 0,086 litros por segundo ou 5,16 litros por minuto. 
 
b) tempo de enchimento 
Nota-se que Q1, A2.V2 e A3.V3 são constantes, o que permite concluir que dVol/dt 
também é constante. Assim, 
smx
t
V
dt
dV olol /106,8 35−=
∆
∆
= , o que dá shs
x
t 4,53min58124,733.46
106,8
00,100,5
5
==−=∆ −
 
 
 
 
 
 
 
Lições de Hidráulica Básica 
 
211 
 
4.5 - EQUAÇÃO DE ESTADO: 
 
Fluido homogêneo e incompressível: tec=ρ 
Fluido homogêneo e compressível:
ρ
ρ
d
dp
V
dV
dp
E =−= 
 p = pressão, V = volume e ρ = massa específica do fluido 
 
 gás ideal: RTp ρ= com R = R0/M 
 Com Ro = constante universal dos gases; R = constante específica do gás 
 M = massa molecular do gás e T = temperatura absoluta