1ª Lista de Exercícios - 2020

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Reologia ESTM 015 
 
ESTM 015 – Reologia 
Prof. Danilo Justino Carastan 
Primeira Lista de Exercícios 
 
 
1. Mostre que: 
a) δij δij = 3 
b) δij aj = ai 
c) εpqr εpqr = 6 
d) εpqi εpqj = 2δij 
e) δij εijk = 0 
 
2. Dados os tensores T e U e os vetores v e w: 
T = Tij = 













103
022
325
 U = Uij = 












213
107
371
 
v = vi = (3, -4, 2) w = wi = (1, 6, 5) 
 
calcule: 
a) T ∙ v = Tijvj 
b) w ∙ U = wiUij 
c) T ∙ U = TijUjk 
d) T : U (produto escalar duplo) = TijUji 
e) v ∙ (T ∙ w) = vi (Tij wj) 
f) vv (produto diádico, ou produto tensorial) = vivj 
g) vw = viwj 
h) (v × w) ∙ T = εijkvjwkTil 
 
3. Os seguintes valores de tensão foram medidos em um ponto P em três 
superfícies perpendiculares entre si: 
a) 3211 ˆ2ˆ10ˆ10 xxxt 

 
 12 ˆ10xt 

 
 13 ˆ2xt 

 
 
b) 21 ˆ10xt 

 
 3212 ˆˆˆ xxxt 

 
 03

t 
Para cada um dos casos, calcule o estado de tensão, a magnitude da tensão em 
uma superfície cujo vetor normal é )ˆˆˆ(
3
1
3212 xxxn 

, e a componente da 
tensão normal a esse plano. Um dos casos não é realista. Por quê? 
 
4. Calcule os invariantes dos seguintes tensores de tensão: 
a) 












310
130
001
 b) 










163
602
320
 
Reologia ESTM 015 
 
 
 
 
5. Medidas de força foram feitas em superfícies de teste de 1 mm2 em torno de um 
ponto em um fluido. Os vetores normais a essas superfícies de teste 
correspondem às direções coordenadas 1x̂ , 2x̂ e 3x̂ . Os vetores de força 
medidos nessas superfícies foram: 
f1 = 1 N na direção 1x̂ 
f2 = 2 N na direção - 3x̂ 
f3 = 2 N na direção - 2x̂ 
a) Qual é o estado de tensão no ponto? 
b) Qual é a força total na superfície de 1 mm
2
 cuja normal é 21 ˆˆ xx  ? 
c) Qual é o componente dessa força normal à superfície? 
d) Calcule os três invariantes desse tensor de tensão. 
 
6. Um bastão cilíndrico sofre torção pela ação de um momento M. A tensão de 
cisalhamento tangente à superfície do bastão τmáx é dada por: 
J
MR
máx  , onde 
R é o raio da seção transversal do cilindro, e J é o momento polar de inércia da 
seção transversal (J = πR
4
/2 para seções circulares). Determine: 
a) O estado de tensão no ponto P. 
b) As tensões normal e de cisalhamento ao longo da superfície do cilindro para o 
plano de corte ilustrado em função do ângulo θ. A normal n̂ e a tangente ŝ do 
plano no ponto P estão no plano 21 ˆˆ xx , e podem ser escritas como 
21
ˆˆcosˆ xsenxn   e 21 ˆcosˆˆ xxsens   . Calcule os valores de tensão 
normal e de cisalhamento para os ângulos 0, 45°, 90° e 135°. 
 
 
 
Reologia ESTM 015 
 
7. Compare os comportamentos, dê exemplos e trace esquematicamente curvas de 
tensão x taxa de cisalhamento, viscosidade x tempo de cisalhamento e 
viscosidade x taxa de cisalhamento para os seguintes tipos de fluidos não 
newtonianos: 
a) Fluido de Bingham 
b) Fluido pseudoplástico 
c) Fluido dilatante 
d) Fluido tixotrópico 
e) Fluido reopético 
 
8. Explique microscopicamente o comportamento da viscosidade em função da 
taxa de cisalhamento dos seguintes sistemas: 
a) Polímero fundido 
b) Suspensão diluída de argila em água 
c) Suspensão concentrada de areia em água 
d) Solução polimérica