12 - Estatística - Aulas 23 e 24 - 2020 1 SR

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Vamos retornar à tabela da pág. 6 das Aulas 21 e 22. Como exemplo, vamos 
agrupar os dados em “Classes” ou intervalos, desta forma vamos construir uma nova 
tabela de frequências considerando 7 classes: 0 a 10, 10 a 20, 20 a 30, 30 a 40, 40 a 
50, 50 a 60 e 60 a 70. 
Dados Frequência 
 
Dados Frequência 
 
Dados Frequência 
6 4 32 2 53 2 
8 2 37 2 57 2 
9 3 40 2 58 1 
16 2 43 2 59 3 
22 2 45 3 60 2 
23 2 46 3 63 2 
24 5 47 5 64 4 
26 2 50 2 
28 4 51 2 Total 65 
 
Observando a tabela, vemos que de 0 até 10, temos o nº 6 com frequência 4, 
o nº 8 com frequência 2 e o nº 9, com frequência 3. Desta forma, no intervalo de 0 até 
10 temos uma frequência total de 9(4 + 2 + 3). 
 4 2 3 
6, 6, 6, 6, 8, 8, 9, 9, 9, 16, 16, 22, 22, 23, 23, 24, 24, 24, 24, 
24, 26, 26, 28, 28, 28, 28, 32, 32, 37, 37, 40, 40, 43, 43, 45, 
45, 45, 46, 46, 46, 47, 47, 47, 47, 47, 50, 50, 51, 51, 53, 53, 
57, 57, 58, 59, 59, 59, 60, 60, 63, 63, 64, 64, 64, 64 
 
Obs.: Estamos utilizando as classes de 10 em 10 para equilibrar a distribuição, isto é, 
de 0 a 10, de 10 a 20, de 20 a 30, de 30 a 40, de 40 a 50, de 50 a 60 e de 60 a 70. 
Observe que todos os números da tabela estarão dentro destas classes e muito im-
portante, as classes numa distribuição de frequências necessariamente precisam ser 
iguais, no caso do exemplo, todas com amplitude de 10. 
Aulas 23 e 24 
 
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Observando a tabela, vemos que de 10 até 20, temos somente o 16 com fre-
quência 2. Desta forma, no intervalo de 10 até 20 temos uma frequência total de 2. 
 2 
6, 6, 6, 6, 8, 8, 9, 9, 9, 16, 16, 22, 22, 23, 23, 24, 24, 24, 24, 
24, 26, 26, 28, 28, 28, 28, 32, 32, 37, 37, 40, 40, 43, 43, 45, 
45, 45, 46, 46, 46, 47, 47, 47, 47, 47, 50, 50, 51, 51, 53, 53, 
57, 57, 58, 59, 59, 59, 60, 60, 63, 63, 64, 64, 64, 64 
 
Observando a tabela, vemos que de 20 até 30, temos o nº 22 com frequência 
2, o nº 23 com frequência 2, o nº 24, com frequência 5, o nº 26, com frequência 2 e o 
nº 28, com frequência 4. Desta forma, no intervalo de 20 até 30 temos uma frequência 
total de 15(2 + 2 + 5 + 2 + 4). 
6, 6, 6, 6, 8, 8, 9, 9, 9, 16, 16, 
 2 2 5 2 4 
22, 22, 23, 23, 24, 24, 24, 24, 24, 26, 26, 28, 28, 28, 28, 
32, 32, 37, 37, 40, 40, 43, 43, 45, 45, 45, 46, 46, 46, 47, 47, 
47, 47, 47, 50, 50, 51, 51, 53, 53, 57, 57, 58, 59, 59, 59, 60, 
60, 63, 63, 64, 64, 64, 64 
 
Observando a tabela, vemos que de 30 até 40, temos o nº 32 com frequência 
2, e o nº 37 com frequência 2 ( ). Desta forma, 
no intervalo de 30 até 40 temos uma frequência total de 4(2 + 2). 
6, 6, 6, 6, 8, 8, 9, 9, 9, 16, 16, 22, 22, 23, 23, 24, 24, 24, 24, 
 2 2 
24, 26, 26, 28, 28, 28, 28, 32, 32, 37, 37, 40, 40, 43, 43, 45, 
45, 45, 46, 46, 46, 47, 47, 47, 47, 47, 50, 50, 51, 51, 53, 53, 
57, 57, 58, 59, 59, 59, 60, 60, 63, 63, 64, 64, 64, 64 
 
 
 
 
 
 
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Observando a tabela, vemos que de 40 até 50, temos o nº 40 com frequência 
2, o nº 43 com frequência 2, o nº 45, com frequência 3, o nº 46, com frequência 3 e o 
nº 47, com frequência 5. ( ). Desta forma, no 
intervalo de 40 até 50 temos uma frequência total de 15(2 + 2 + 3 + 3 + 5). 
6, 6, 6, 6, 8, 8, 9, 9, 9, 16, 16, 22, 22, 23, 23, 24, 24, 24, 24, 
24, 26, 26, 28, 28, 28, 28, 32, 32, 37, 37, 
 2 2 3 3 5 
40, 40, 43, 43, 45, 45, 45, 46, 46, 46, 47, 47, 47, 47, 47, 50, 50, 
51, 51, 53, 53, 57, 57, 58, 59, 59, 59, 60, 60, 63, 63, 64, 64, 64, 64 
 
Observando a tabela, vemos que de 50 até 60, temos o nº 50 com frequência 
2, o nº 51 com frequência 2, o nº 53, com frequência 2, o nº 57, com frequência 2, o 
nº 58, com frequência 1 e o nº 59 com frequência 3. (
). Desta forma, no intervalo de 40 até 50 temos uma frequência total de 
12(2 + 2 + 2 + 2 + 1 + 3). 
6, 6, 6, 6, 8, 8, 9, 9, 9, 16, 16, 22, 22, 23, 23, 24, 24, 24, 24, 
24, 26, 26, 28, 28, 28, 28, 32, 32, 37, 37, 40, 40, 43, 43, 45, 
45, 45, 46, 46, 46, 47, 47, 47, 47, 47, 
 2 2 2 2 1 3 
50, 50, 51, 51, 53, 53, 57, 57, 58, 59, 59, 59, 60, 60, 63, 63, 
64, 64, 64, 64 
 
E por fim, vemos que de 60 até 70, temos o nº 60 com frequência 2, o nº 63 
com frequência 2 e o nº 64, com frequência 4. Desta forma, no intervalo de 0 até 10 
temos uma frequência total de 8(2 + 2 + 4). 
6, 6, 6, 6, 8, 8, 9, 9, 9, 16, 16, 22, 22, 23, 23, 24, 24, 24, 24, 
24, 26, 26, 28, 28, 28, 28, 32, 32, 37, 37, 40, 40, 43, 43, 45, 
45, 45, 46, 46, 46, 47, 47, 47, 47, 47, 50, 50, 51, 51, 53, 53, 
 2 2 4 
57, 57, 58, 59, 59, 59, 60, 60, 63, 63, 64, 64, 64, 64 
 
 
 
 
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A tabela de frequências fica assim: 
 
Classes Frequência 
0 ⊢ 10 9 
10 ⊢ 20 2 
20 ⊢ 30 15 
30 ⊢ 40 4 
40 ⊢ 50 15 
50 ⊢ 60 12 
60 ⊢ 70 8 
Total 65 
 
 
 
 
 
 
 
Este sinal significa que numa extremidade o intervalo é fechado, isto 
é, o número em questão pertence ao intervalo (Classe), e do outro o 
intervalo é aberto, isto é, o número em questão não pertence ao in-
tervalo (Classe). Veja o exemplo: 
Considere a Classe “30 40”. O intervalo é fechado em 30 e aberto em 
40, isto é, 30 pertence à Classe e 40 não pertence à Classe. 
 
30 é chamado limite inferior da classe e 40 é o limite superior da classe. 
 30 40 
 
Professor, o que significa 
este sinal entre as extre-
midades do Intervalo? 
Agrupamos todos os 
dados numa classe de 
0 a 10 e são 9 dados. 
Então, a frequência 
desta classe é “9” 
Agrupamos todos os 
dados numa classe de 
40 a 50 e são 15 da-
dos. Então, a frequên-
cia desta classe é “15” 
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Temos algumas convenções: 
Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita: apenas o limite 
inferior pertence ao intervalo; 
Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita: apenas o limite 
superior pertence ao intervalo; 
Intervalo fechado em ambos os lados: os dois limites pertencem 
ao intervalo; 
Intervalo aberto em ambos os lados: os dois limites não perten-
cem ao intervalo. 
 
 
 
 
A expressão “50 60” representa um intervalo de 
Classe, onde o limite inferior é 50 e o limite superior 
é 60. Este intervalo de classe é fechado em 50 e 
aberto em 60, isto é 50 pertence ao intervalo e 60 
não pertence ao intervalo. A Amplitude desse inter-
valo é igual a 10, isto é, A = 60 – 50 = 10. Assim 
como todas as classes no exemplo(tabela) anterior, 
também tem amplitude igual a 10. 
 
 
 
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1) Para os dados brutos abaixo, construa um rol crescente. 
a) Na tabela primitiva abaixo. Para cada elemento, informe quantas 
vezes está repetindo. 
2 – 4 – 3 – 5 – 6 – 4 – 7 – 2 – 0 – 0 – 3 – 5 – 8 – 1 – 1 – 0 – 0 – 5 
1 – 9 – 8 – 6 – 4 – 3 – 5 – 2 – 4 – 7 – 8 – 9 – 7 – 7 – 6 – 5 – 4 – 2 
2 – 3 – 0 – 1 – 2 – 1 – 1 – 6 – 7 – 8 – 9 – 1 – 0 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7 
2 – 2 – 8 – 8 – 1 – 9 – 0 – 0 – 6 – 0 – 7 – 2 – 1 – 0 – 5 – 6 – 4 – 3 
Resposta: 
0 = 10 vezes 
1 = 9 vezes 
2 = 9 vezes 
3 = 6 vezes 
4 = 7 vezes 
5 = 7 vezes 
6 = 7 vezes 
7 = 7 vezes 
8 = 6 vezes 
9 =4 vezes 
 
b) Organize os dados brutos da tabela em um Rol. 
 
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 
1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 4 4 
4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 
6 7 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 8 9 9 9 9 
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c) Construa uma tabela de distribuição de frequências cujo limite mínimo da 1ª 
classe seja 0 e cuja amplitude das classes seja 2. 
 
Classes Frequência 
0 ⊢ 2 19 
2 ⊢ 4 15 
4 ⊢ 6 14 
6 ⊢ 8 14 
8 ⊢ 10 10 
Total 72 
 
2) Para os dados Brutos abaixo: 
 
24 – 23 – 22 – 28 – 35 – 21 – 23 – 23 – 33 – 34 
24 – 21 – 25 – 36 – 26 – 22 – 30 – 32 – 25 – 26 
33 – 34 – 21 – 3 1 – 25 – 31 – 26 – 25 – 35 – 33 
 
a) Construa um Rol. 
Construir um Rol é somente organizar os dados em forma crescente ou de-
crescente. 
21, 21, 21, 22, 22, 23, 23, 23, 24, 24, 
25, 25, 25, 25, 26, 26, 26, 28, 30, 31, 
31, 32, 33, 33, 33, 34, 34, 35, 35, 36 
 
 
 
 
 
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b) Construa uma tabela de distribuição de frequência simples. 
Basta fazer uma tabela simples, colocar à esquerda os dados, e à direita o 
número de vezes que ele(o dado) aparece no Rol. 
Dados(x) Frequência(f) 
21 3 
22 2 
23 3 
24 2 
25 4 
26 3 
28 1 
30 1 
31 2 
32 1 
33 3 
34 2 
35 2 
36 1 
Total 30 
 
c) Construa uma tabela de distribuição de frequências agrupadas em 4 classes. 
 
Classes Frequência 
20 − 25 10 
25 − 30 8 
30 − 35 9 
35 − 40 3 
Total 30 
 
 
 
 
 
Frequência é o nú-
mero de vezes que o 
dado aparece no Rol 
O sinal “⊢”, signi-
fica que o valor à 
esquerda per-
tence ao intervalo 
e o valor da di-
reita não pertence 
ao intervalo. 
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Observações importantes: 
 
a) A 1ª classe é 20 − 25. De 20 a 25 temos 10 elementos: 21, 21, 21, 22, 22, 23, 
23, 23, 24, 24. 25 não pertence à 1ª classe. A frequência da classe é f = 10. 
b) A 2ª classe é 25 − 30. De 25 a 30 temos 8 elementos: 25, 25, 25, 25, 26, 26, 
26, 28. 30 não pertence à 2ª classe. A frequência da classe é f = 8. 
c) A 3ª classe é 30 − 35. De 30 a 35 temos 9 elementos: 30, 31, 31, 32, 33, 33, 
33, 34, 34. 35 não pertence à 3ª classe. A frequência da classe é f = 9. 
d) A 4ª classe é 35 − 40. De 35 a 40 temos 3 elementos: 35, 35, 36. 40 não 
pertence à 4ª classe. A frequência da classe é f = 3. 
 
 
OBS.: O NÚMERO 40 APARECE APENAS PARA COMPOR A ÚLTIMA CLASSE, 
MAS ELE NÃO PERTENCE AO ROL, ISTO É, A INSERÇÃO DO 40 NÃO AL-
TERA OS NOSSOS DADOS. 
 Para desenhar uma tabela de distribuição de frequências agrupadas em clas-
ses, você pode incluir valores nas classes, mas não pode incluir valores no Rol. 
 No exemplo acima, começamos as classes com o número(dado) 20, (de 20 a 
25), mas não incluímos o número 20 no Rol. 
 Terminamos as classes com o número 40, (de 35 a 40), mas não inserimos o 
40 no Rol. 
 
3) Apresentamos abaixo uma tabela de dados brutos: 
58 63 24 58 12 45 73 92 23 36 
75 21 82 27 62 84 45 62 30 81 
38 45 19 30 47 83 98 98 44 67 
23 58 84 73 24 26 58 30 21 48 
73 28 49 92 35 78 62 36 46 28 
 
 
 
 
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a) Organize esta tabela bruta em um rol crescente. 
12 19 21 21 23 23 24 24 26 27 
28 28 30 30 30 35 36 36 38 44 
45 45 45 46 47 48 49 58 58 58 
58 62 62 62 63 67 73 73 73 75 
78 81 82 83 84 84 92 92 98 98 
 
b) Construa uma tabela de distribuição de frequências com 5 classes. 
Solução: Como as Amplitudes devem ser iguais, uma das distribuições, neste caso, 
mais viável é uma amplitude de 20. 
 
Classes Frequência 
 0 − 20 2 
20 − 40 17 
40 − 60 12 
60 − 80 10 
 80 − 100 9 
Total 50 
 
Obs.: Observe que na distribuição, nem o “0”, nem o “100” pertencem ao Rol, en-
tretanto sua inserção não altera em nada o número de amostras, que no 
caso é em número de 50. 0 e 100 entram apenas para compor a distribuição. 
Obs.: Pegando como exemplo a 3ª classe “40 − 60”, vejam que nem o 40, nem o 
60 existem no Rol, mas sua inserção também não altera em nada o número 
de amostras. 40 e 60 entram apenas para compor a distribuição. 
 
4) São conhecidas as notas de Estatística do 3º período de Matemática do Centro 
Universitário de Caratinga - UNEC: 
 
84 68 33 52 47 73 68 61 73 77 
74 71 81 91 65 55 57 35 85 88 
59 80 41 50 53 65 76 85 73 60 
67 41 78 56 94 35 45 55 64 74 
65 94 66 48 39 69 89 98 42 54 
 
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Construindo uma tabela de frequências tendo 30 para limite inferior da 1ª classe 10 
para a amplitude do intervalo de classe, podemos afirmar que as frequências da 4ª 
e 6ª classes são respectivamente: 
a) 6 e 9. 
b) 11 e 7. 
c) 4 e 10. 
d) 13 e 8. 
 
5) Observe a tabela de frequências abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Podemos afirmar que os valores representados pelas letras H e X são respec-
tivamente: 
a) 138 e 25. 
b) 186 e 14. 
c) 165 e 13. 
d) 143 e 17. 
Classes Frequência 
120 ⊢ 129 6 
A ⊢ B 12 
C ⊢ D 16 
E ⊢ F X 
G ⊢ H 7 
Total 54