leis de kirchhoff

Prévia do material em texto

LEIS DE KIRCHHOFF
1Alice Fernandes Alves; 2Ana Flávia Gonçalves; 3Glauco do Amaral Alves Pereira; 4Marcello Carneiro Faidiga; 5Rafael de Almeida de Oliveira; 6Sabrina Luana Dias Pereira
RESUMO
Com o desenvolvimento do estudo da eletricidade, os circuitos elétricos tornaram-se mais complexos, podendo possuir vários resistores, fontes de tensão e, além disso, serem conectados de diferentes maneiras. Assim, necessitando de ferramentas que possibilitassem a solução de quaisquer problemas desta natureza, facilitando mensurar as intensidades das correntes em circuitos que não podem ser reduzidos. As Leis de Kirchhoff são importantes recursos para a simplificação das estruturas elétricas, as quais formulam-se com base no Princípio da Conservação de Energia, no Princípio de Conservação da Carga Elétrica e na regra que determina que o potencial elétrico mantém seu valor inicial depois de qualquer percurso realizado em trajeto fechado. A Primeira Lei de Kirchhoff, também conhecida como Lei dos Nós, diz que a soma de todas as correntes que chegam e saem de um nó resulta a zero. Quando a corrente chega no nó, adotamos como positiva, em contrapartida, as que saem são negativas. No entanto, a Segunda Lei de Kirchhoff, adotada como Lei das Malhas, enuncia que, quando temos uma malha fechada de circuitos, o somatório das tensões em cada componente do circuito é zero, independente do sentido adotado para análise.
INFORMAÇÕES
História do trabalho: 
Iniciado: 07 de outubro, 2019
Revisado: 13 de outubro, 2019
Apresentado: 14 de outubro, 2019
Palavras-chave:
Circuitos elétricos; nós; malhas; corrente; tensão.
1, 2, 3, 4, 5, 6 Graduando de Engenharia Civil pela Universidade Federal de Mato Grosso do Sul
Agradecemos ao Prof. Dr. Josivaldo Godoy da Silva pela coordenação e assistência para realização deste trabalho. E, também à Universidade Federal de Mato Grosso do Sul pelo suporte e apoio.
INTRODUÇÃO
Os circuitos elétricos são compostos de elementos como os resistores, geradores, capacitores, dentre outros. Na teoria, iniciamos os estudos de eletricidade com circuitos simples, compostos por no máximo uma unidade de cada tipo de elemento, às vezes até mesmo sem algum desses elementos. Se há um circuito um pouco mais complexo, como uma associação de resistores, por exemplo, transformamos este em um circuito mais simplificado primeiramente, para então analisá-lo. Porém, na prática, os circuitos são ainda mais complexos, e em boa parte eles não podem ser simplificados e/ou reduzidos a circuitos menores. Para estes, utiliza-se duas leis fundamentais desenvolvidas pelo físico alemão Gustav Kirchhoff. Ao desenvolver essas duas leis, Kirchhoff criou os conceitos de “nó”, que são os pontos do circuito onde a corrente se divide, e de “malha”, que é um caminho fechado do circuito por onde a corrente passará. Ambas as leis – sendo a primeira conhecida como Lei dos Nós (ou Lei das Correntes) e a segunda como a Lei das Malhas (ou Lei das Tensões) – serão detalhadas na seção de discussão. 
DISCUSSÃO
8. Leis de Kirchhoff
8.1 Definições
Ramo: Trecho de circuito de um ou mais bipolos ligados em série
Nó: Nó ou ponto elétrico é a intersecção de dois ou mais ramos. Observação: Como só interessam os nós resultantes da intersecção de três ou mais ramos, esta será a definição adotada.
Malha: Toda poligonal fechada (Circuito fechado) cujos lados são constituídos de ramos.
Consideremos o circuito:
Figura 8.1- Circuito para exemplificar as leis de Kirchhoff.
São nós: A, B e C de acordo com a definição adotada. 
São malhas: AJIHGBA, ABCDA, AJIHGBFECDA etc.
8.2 Primeira Lei de Kirchhoff
Enuncia-se a Primeira Lei de Kirchhoff: “A soma algébrica das correntes em um nó é igual a zero” ou ainda, “A soma das correntes que chegam a um nó é igual a soma das correntes que dele saem”.
Figura 8.2 – Exemplo de nó.
Se convencionarmos que correntes que chegam ao nó são positivas, correntes que saem serão negativas. Logo, a equação do nó A será:
I1 + I2+ (-I3) + I4 + (-I5) = 0
I1 + I2 + I4 = I3 + I5
que representa a mesma equação matemática.
Exemplo 1
Determinar o valor da corrente I3.
Escrevendo a equação do nó A:
I1 + I4 = I2 + I3 + I5	
1 + 2 = 3 + I3 + 1,5
3 = 4,5 + I3 		
I3 = 3 – 4,5 = -1,5A
Logo, a corrente I3 vale 1,5A e tem sentido oposto ao indicado. A corrente I3 chega ao nó.
Observe que, ao estudarmos os circuitos em paralelos, utilizávamos a primeira lei de um modo bem claro, na qual o que chega deve ser igual ao que sai.
8.3 – Segunda Lei de Kirchhoff
A segunda de Kirchhoff ou lei das malhas, nos diz que: “A soma algébrica das tensões em uma malha é zero. ”, ou também “A soma das tensões orientadas no sentido horário é igual à soma das tensões orientada no sentido anti-horário.”.
Figura 8.3 – Circuito para ilustrar a segunda lei de Kirchhoff
Convencionou-se que tensões orientadas no sentido anti-horário são positivas e tensões orientadas no sentido horário são negativas.
Malha ABCA
U1 + E2 + U3 + (-E1) = 0 
ou então
 E1 = U1 + U3 + E2
Malha ADCA
U2 + (-U3) + (-E2) + E3 = 0 
ou então
 E3 + U2 = U3 + E2
Malha BADCB
U1 + U2 + (-E1) + E3 = 0 
ou então 
E1 = U1 + U2 + E3
Exemplo 2
Determinar U1 no circuito para que a corrente tenha sentido anti-horário e intensidade 1A.
Figura 8.4 – Exemplo de malha com tensões orientadas.
A equação da malha será:
U1 + U2 + U3 + U4 = E
U2 = 10 ∙ 1 = 10V
U3 = 5 ∙ 1 = 5V
U4 = 5 ∙ 1 = 5V
E = 40V
Mediante os valores acima, temos:
U1 + 10 + 5 + 5 = 40V 		
U1 = 40 – 20 = 20V
Ao estudarmos os circuitos em série, utilizamos a segunda lei de Kirchhoff.
O maior uso das leis Kirchhoff é para a resolução de circuitos, na qual possuem uma ou várias fontes de tensão ou corrente e uma ou várias malas.
Para aplicarmos as leis de Kirchhoff, consideraremos os exemplos a seguir:
Exemplo 3
Determinar o sentido e a intensidade da corrente no circuito.
Vamos supor que o sentido da corrente seja desconhecido, com isso foi adotado um sentido arbitrário. Consideremos o sentido da corrente como horário.
A orientação da tensão nos resistores está presa à orientação da corrente, onde a equação da malha é:
15 + 13 ∙ I + 7 ∙ I = 5
20 ∙ I = 5 – 15	 
 	
O sinal negativo em I significa que o sentido da corrente é anti-horário, como já era esperado.
	Exemplo 4
Existem três correntes no circuito, na qual devemos montar três equações, relacionando-as entre si as correntes. Para montar as equações, precisamos saber o sentido das correntes, porém como não são conhecidos, o sentido será arbitrário.
A corrente no trecho EFAB vamos nomear de I1, com sentido horário arbitrado. Seja I2 a corrente no ramo BE, orientada de B para E, e a corrente no trecho BCDE é I3, orientada no sentido horário. A malha ABEFA de α (alfa) e a malha B de β (beta), e circuito resultará:
A primeira equação, relacionando as três correntes, é obtida escrevendo a equação do nó B ou do nó E.
Nó B: I1 = I2 +I3
As outras duas equações são determinadas escrevendo as equações das malhas α e β. 
Malha α: 6 = 3 ∙ I1 + 6 ∙ I2 + 4 + 5 ∙ I1 ou
 8I1 + 6I2 = 2
Malha β: 6 ∙ I2 + 4 = 1 ∙ I3 +22 + 2 ∙ I3 ou
 3I3 - 6I2 = -18
As equações formam um sistema de três equações a três incógnitas, o qual pode ser determinado por substituição, por determinantes, por comparação, etc.
I1 = I2 +I3 (8.1)
8I1 + 6I2 = 2 (8.2)
3I3 - 6I2 = -18 (8.3)
Substituindo I1 da Equação 8.1 na Equação 8.2, obtém-se:
8(I2 + I3) + 6I2 = 2 ou 14I2 + 8I3 = 2
A junção desta equação com a 8.3 formam um sistema de duas equações com duas incógnitas, mais fácil de resolver.
8I3 + 14I2 = 2
3I3 – 6I2 = -18
Multiplicando a primeira por 3 e a segunda por -8, temos:
8I1 + 6I2 = 2 (x 3)		
24I3 + 42I2 = 6
3I3 - 6I2 = -18 (x -8)	
-24I3 + 48I2 = 144
Somando membro a membro as duas equações:
 0 + 90 I2 = 150 	
 
Substituindo I2 em qualquer uma das equações anteriores, temos:
	
	
		
Substituindo os valores de I2 e I3 na Equação 8.1, obtém-se:
I1 = I2 +I3 = 
O sinal negativo nas correntes I1 e I3 mostra que o sentido das correntes é contrário ao arbitrado, mediante a isso, o circuito com as correntes e os seus sentidos ficaem:
Uma verificação dos resultados pode ser feita por meio do balanço energético.
Potência Elétrica dos Receptores
Ativos: 		P6V = 6 ∙ 1 = 6W
		P4V = 4 ∙ = W
Passivos: 	P3Ω = 3 ∙ (1)2 = 3W
		P5Ω = 5 ∙ (1)2 = 5W
		P5Ω = 6 ∙ W
		P1Ω = 1 ∙ W
		P5Ω = 2 ∙ W
		Ptotal 
Potência Elétrica dos Geradores
Só há um gerador: P = 22 ∙ 
Exemplo 5
Determinar a intensidade e o sentido de todas as correntes, em seguida fazer o balanço energético nos circuitos.
a)
II
I
A primeira equação, relacionando as três correntes, é obtida escrevendo a equação do nó.
Nó: I1 - I2 - I3 =0
As outras duas equações são determinadas escrevendo as equações das malhas I e II e percorrendo-as no sentido horário.
Malha I
	-15kI2 – 10 kI1 + 50 = 0
Malha 	II
-3kI3 – 20 - 1kI3 + 15kI2 = 0	
As equações formam um sistema de três equações a três incógnitas, o qual pode ser determinado por substituição, por determinantes, por comparação, etc.
I3 = I1-I2 (1)
Substituindo I3 da Equação (1) na Equação da malha II, obtém-se:
-3kI3 – 20 - 1kI3 + 15kI2 = 0
-3k(I1-I2) – 20 - 1k(I1-I2) + 15kI2 = 0
-3kI1+ 3kI2 – 20 - 1Ki 1+ 1kI2 + 15kI2 = 0
-4kI1 + 19kI2 – 20 = 0
Isolando I2, temos:
19kI2 = 20 + 4kI1
Substituindo I2 da Equação (2), na Equação da malha I, temos:
-15kI2 – 10 kI1 + 50 = 0
-15k – 10 kI1 + 50 = 0
I1 = 2,6 mA 
Substituindo I1 da Equação (2), temos:
Substituindo I1 e I2 na Equação (1), temos:
I3 = I1-I2
I3 = 2,6 – 1,6
I3 = 1,0mA
b) II
I
A primeira equação, relacionando as três correntes, é obtida escrevendo a equação do nó.
Nó: I1 - I2 + I3 =0
As outras duas equações são determinadas escrevendo as equações das malhas I e II e percorrendo-as no sentido horário.
Malha I
	 – 24 kI1 -20kI2 - 20 = 0
Malha 	II
80kI3 + 20 - 20 + 20kI2 = 0
80kI3 + 20kI2 = 0
Isolando I3 na Equação da malha II, temos:
Substituindo I3 da Equação (1), na Equação do nó, temos:
I1 - I2 + I3 = 0
I1 - I2 + = 0
Isolando I1, temos:
I1 = I2 + 
Substituindo a Equação (2) na Equação da Malha I, temos:
– 24 kI1 -20kI2 - 20 = 0
– 24 k -20kI2 - 20 = 0
– 6.106 -24kI2 -20kI2 - 20 = 0
6,044.106 = 20
= -0,4mA
Substituindo na Equação da Malha I, temos:
– 24 kI1 -20kI2 - 20 = 0
– 24 kI1 -20k (-0,40.10-3)- 20 = 0
– 24 kI1 +8 - 20 = 0
– 24 kI1 = 12
 - 0,5 mA
Substituindo I2 na Equação (1), temos:
c)
II
I
A primeira equação, relacionando as três correntes, é obtida escrevendo a equação do nó.
Nó: I1 + I2 + I3 =0
As outras duas equações são determinadas escrevendo as equações das malhas I e II e percorrendo-as no sentido horário.
Malha I
60+2k I1 - 20 -3k I2 - 4 +1k I1 = 0
-3k I2 +3k I1 = - 36
Malha 	II
- 3,5k I3 - 10 - 1k I3 + 4 +3k I2 = 0
- 4,5k I3 +3k I2 = 6
Isolando I3 na Equação da malha II, temos:
I3 = (1)
Substituindo I3 da Equação (1), na Equação do nó, temos:
I1 + I2 + I3 = 0
I1 + I2 + =0
I1 + I2 + = 0
Isolando I1, temos:
I1 = - I2 + = 0 (2)
Substituindo a Equação (2) na Equação da Malha I, temos:
-3k I2 +3k I1 = - 36
-3k I2 +3k = - 36
-3k I2 -3k + 4 – 2k = - 36
-8k I2 = - 40
I2 = 5 mA
Substituindo na Equação da Malha I, temos:
-3k I2 +3k I1 = - 36
-3k . 5 . 10-3 +3k I1 = - 36
- 15 +3k I1 = - 36
3k I1 = - 21
I1 = - 7 mA
Substituindo I2 na Equação (1), temos:
I3 = 
mA
d)
I
II
A primeira equação, relacionando as três correntes, é obtida escrevendo a equação do nó.
Nó: I1 + I2 + I3 =0
As outras duas equações são determinadas escrevendo as equações das malhas I e II e percorrendo-as no sentido horário.
Malha I
6 - 100 I1 + 100 I2 = 0
Malha 	II
150 I3 – 9 – 100 I2 = 0
Isolando I3 na Equação da malha II, temos:
Substituindo I3 da Equação (1), na Equação do nó, temos:
I1 + I2 + I3 =0
I1 + I2 + = 0
Isolando I1, temos:
I1 = - I2 (2)
Substituindo a Equação (2) na Equação da Malha I, temos:
6 - 100 I1 + 100 I2 = 0
6 - 100 + 100 I2 = 0
6 - 100 + 100 I2 = 0
6 + 100 I2 + 6 ++ 100 I2 = 0
I2 = - 45 mA
Substituindo na Equação da Malha I, temos:
6 - 100 I1 + 100 I2 = 0
6 - 100 I1 + 100 . (- 45 . 10 -3) = 0
100 I1 = - 1,5
I1 = 15 mA
Substituindo I2 na Equação (1), temos:
 mA
e)
II
I
A primeira equação, relacionando as três correntes, é obtida escrevendo a equação do nó.
Nó: I1 - I2 - I3 = 0
As outras duas equações são determinadas escrevendo as equações das malhas I e II e percorrendo-as no sentido horário.
Malha I
50 - 4 I1 - 10 I2 + 50 – 6 I1 – 5 I1 = 0
- 10 I2– 15 I1 + 100 = 0
Malha 	II
- 4 I3 + 100 – 5 I3 - 50 + 10 I2 = 0
100 – 9 I3 - 50 + 10 I2 = 0
– 9 I3 + 10 I2 = - 50
Isolando I3 na Equação da malha II, temos:
Substituindo I3 da Equação (1), na Equação do nó, temos:
I1 - I2 - I3 = 0
I1 - I2 - = 0
Isolando I1, temos:
I1 = I2 + (2) 
Substituindo a Equação (2) na Equação da Malha I, temos:
- 10 I2 – 15 I1 + 100 = 0
- 10 I2 – 15 + 100 = 0
- 10 I2 – 15 I2 + 100 = 0
- 10 I2 – 15 I2 + 100 = 0
I2 = 0,4 A
Substituindo na Equação da Malha I, temos:
- 10 I2– 15 I1 + 100 = 0
- 10 . 0,4 – 15 I1 + 100 = 0
I1 = 6,4 A
Substituindo I2 na Equação (1), temos:
CONCLUSÃO
4
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ALBUQUERQUE, Romulo Oliveira. Análise de circuitos em corrente contínua. 21. ed. São Paulo: Érica, 2008.
HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de Física. 8. ed. 8. Rio de Janeiro: LTC, 2009. Vol 3.
GOUVEIA, Rosimar. Leis de Kirchhoff. Toda Matéria. Disponível em <https://www.todamateria.com.br/leis-de-kirchhoff/> . Acesso em: 11 de out. de 2019.