Aula_2

Prévia do material em texto

Me. Clóvis José Ramos Ferraro
Dra. Kelly Drudi
PROBABILIDADE
Estatística Descritiva
▪ Mantenham os microfones e câmeras desligados;
▪ Dúvidas podem ser postadas via chat e serão respondidas durante ou ao final da aula;
▪ O material estará disponível em: https://online.unip.br/
▪ A cada semana serão propostos 3 exercícios (por disciplina);
▪ O aluno deve:
▪ escolher 1 dos 3 exercícios propostos;
▪ utilizar folha tamanho A5 (metade da folha de sulfite A4);
▪ entregar o exercício com enunciado e resolução (manuscrito) no retorno das aulas.
Instruções Gerais
▪ Ao soltar uma pedra do alto de uma plataforma: 
Fonte: https://www.educabras.com/enem/materia/fisica/mecanica_cinematica/aulas/movimento_vertical_no_vacuo
Introdução: Experimento determinístico 
Esta pedra irá em direção ao chão!
Experimento determinístico!
Certeza de que o evento irá acontecer!
▪ Em uma empresa termomecânica uma certa peça deve ser produzida dentro de um 
rígida especificação de espessura. O controle de qualidade da empresa detecta que a 
cada 1000 peças produzidas, cerca de 3 estão fora da especificação.
Introdução: Experimento aleatório
Lote 1000 
peças
997
Conformes
3 Não 
conformes
Fonte: https://www.solucoesindustriais.com.br/empresa/prestadores-de-servicos/acc-pr-engenharia/
▪ Probabilidade é um ramo da Matemática no qual são calculadas as possibilidades (chances) 
de ocorrer experimentos ou fenômenos aleatórios. 
▪ Por exemplo, podemos calcular a probabilidade de uma pessoa jogar na “Mega Sena” e ser 
premiado ou conhecer as chances em um simples jogo de cara ou coroa;
▪ Por exemplo, é possível calcular a probabilidade de encontrar uma peça não conforme em 
um lote de 1000 peças fabricadas de acordo com certa especificação.
Definição
▪ Os principais objetivos da probabilidade são:
▪ Explorar a variabilidade dos resultados observados e a incerteza associada às decisões.
▪ Introduzir a probabilidade como uma medida de plausibilidade de resultados de risco em
decisões.
Objetivos
▪ Uma partida de futebol inicia-se com o sorteio de qual lado do campo o time irá preferir para 
iniciar a partida ou a bola, o qual é realizado por meio de um arremesso de uma simples 
moeda. Vamos nos deter a este experimento.
Imaginem o lançamento para cima de uma moeda de 1 real.
▪ Existem dois resultados possíveis: 
𝑆 = {𝑓𝑎𝑐𝑒 𝑑𝑒 1 𝑟𝑒𝑎𝑙; 𝑓𝑎𝑐𝑒 𝑏𝑎𝑛𝑐𝑜 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑙}
Exemplo 1
Fonte: https://www.hipercultura.com/moedas-1-real-mais-valiosas/
▪ Imaginem agora o lançamento de um dado de seis faces
𝑆 = {1,2,3,4,5,6}
Exemplo 2
Fonte: https://www.ludeka.com.br/DD26AZ
▪ Ponto amostral
▪ Em um experimento aleatório, qualquer um dos resultados possíveis desse 
experimento é chamado de ponto amostral.
▪ No lançamento de uma moeda, os resultados possíveis serão:
Cara ou Coroa.
Definições
▪ Chamamos de espaço amostral (S) o conjunto dos possíveis resultados de um experimento, 
neste caso:
S = {cara, coroa}
▪ O número de elementos que formam o espaço amostral representamos por n(S). 
Em nosso exemplo temos n(S) = 2.
Espaço Amostral (S)
▪ Considere o lançamento de um dado de 6 faces. O espaço amostral (S) com o conjunto dos 
resultados possíveis para este experimento, será qual a face está voltada para cima:
S = {1,2,3,4,5,6}
▪ Neste exemplo temos n(S) = 6.
Espaço Amostral (S)
▪ Evento (representado por uma letra maiúscula) é qualquer subconjunto de um espaço 
amostral. Como exemplo, o resultado de uma determinada jogada de um dado (Ex.: 2).
▪ Utilizando o dado como exemplo, podemos estudar o evento a seguir:
▪ No lançamento de uma dado honesto de 6 faces, qual a probabilidade de sair uma face com 
um número par?
▪ O primeiro passo necessário será enumerar os resultados favoráveis, que serão: E={2,4,6}
▪ Em seguida devemos contar quantos são estes, neste caso n(E)=3
Evento
▪ Temos 
▪ Onde P denota a probabilidade do evento ocorrer
▪ “E” denota o evento o qual é desejado determinar a probabilidade
▪ n(E) é o número de ocorrências do evento desejado
▪ n(S) é o tamanho do espaço amostral
Conceito de Probabilidade
𝑃(𝐸) =
𝑛(𝐸)
𝑛(𝑆)
▪ Utilizamos o Diagrama de Venn para ilustrar as relações entre espaços amostrais e eventos.
Diagrama de Venn
Evento 
Espaço Amostral
S
▪ Desejamos calcular a probabilidade do lançamento de um dado e obtermos como resultado 
um número múltiplo de 3
Exemplo 3
𝐸 = {3,6} !
1 2
4
5
3
6
𝑆 = {1,2,3,4,5,6}
𝑃 𝐸 =
𝑛(𝐸)
𝑛(𝑆)
=
2
6
= 0,3333 𝑜𝑢 33,33%
𝑛(𝑆) = 6
E
𝑛 𝐸 = 2 impossível
▪ 0 ≤ 𝑃(𝐸) ≤ 1
▪ 𝑃 𝑆 = 1 → 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑒𝑟𝑡𝑜
▪ Se E = S, então P(E) = 1.
▪ 𝑃 ∅ = 0 → 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑖𝑚𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑙
Propriedades
▪ Desejamos calcular a probabilidade de lançar um dado e obtermos uma face menor do que 7 
como resultado.
Exemplo 4
7 Neste caso temos 
um exemplo de um 
evento certo!
Neste caso a probabilidade do evento ocorrer é 100%
▪ Desejamos calcular a probabilidade de lançar um dado e obtermos a face 7 como resultado
Exemplo 5
7 Neste caso temos 
um exemplo de um 
evento impossível!
Neste caso a probabilidade do evento ocorrer é ZERO
▪ 𝑆𝑒 𝐸 𝑒 𝐹 𝑠ã𝑜 𝑑𝑜𝑖𝑠 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑢𝑚 𝑒𝑠𝑝𝑎ç𝑜 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 𝑆, 𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜 𝑒 𝑛ã𝑜 𝑣𝑎𝑧𝑖𝑜, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜:
𝑃 𝐸 ∪ 𝐹 = 𝑃 𝐸 + 𝑃 𝐹 − 𝑃(𝐸 ∩ 𝐹)
▪ 𝑆𝑒 ത𝐸 é 𝑜 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝐸, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜: 𝑃 ത𝐸 = 1 − 𝑃(𝐸)
▪ 𝑆𝑒 𝐸 ∩ 𝐹 = ∅, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝐸 𝑒 𝐹 𝑠ã𝑜 𝑐ℎ𝑎𝑚𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑚𝑢𝑡𝑢𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑥𝑐𝑙𝑢𝑠𝑖𝑣𝑜𝑠 𝑒 ∶ 𝑃(𝐸) + 𝑃(𝐹)
Propriedades
▪ Exemplo: Considere um dado de seis faces. 
▪ O evento E = sair um número ímpar
▪ O evento F = sair um número ≤ 4 
▪ Evento União ∪ : é o evento que consiste em todos os resultados que estão contidos em 
cada um dos dois eventos. 
S = 1,2,3,4,5,6
𝐸 = 1,3,5
F = 1,2,3,4
𝐸 ∪ 𝐹 = 1,2,3,4,5
▪
Operações com eventos: União 
S
E F
3
1
5
6
2
4
▪ Exemplo: Considere um dado de seis faces. 
▪ O evento E = sair um número ímpar
▪ O evento F = sair um número ≤ 4 
▪ Determine a probabilidade de sair um número ímpar ou um número ≤ 4
S = 1,2,3,4,5,6
𝐸 = 1,3,5
F = 1,2,3,4
P 𝐸 ∪ 𝐹 = 𝑃 𝐸 + 𝑃 𝐹 − 𝑃(𝐸 ∩ 𝐹)
▪ P 𝐸 ∪ 𝐹 =
𝟑
𝟔
+
4
6
−
2
6
=
5
6
Exemplo 6
S
E F
3
1
5
6
2
4
▪ Exemplo: Considere um dado de seis faces. 
▪ O evento E = sair um número ímpar
▪ O evento F = sair um número ≤ 4 
▪ Evento Intersecção ∩ : é o evento que consiste em todos os resultados que estão 
contidos dois eventos simultaneamente. 
S = 1,2,3,4,5,6
𝐸 = 1,3,5
F = 1,2,3,4
𝐸 ∩ 𝐹 = 1,3
▪
Operações com eventos: Intersecção 
S
E F
3
1
5
6
2
4
▪ Exemplo: Considere um dado de seis faces. 
▪ O evento E = sair um número ímpar
▪ O evento F = sair um número ≤ 4 
▪ Evento Complementar (Ē) é o evento formado por todos os elementos que não pertencem 
ao evento E 𝑆 = 1,2,3,4,5,6
𝐸 = 1,3,5
𝐹 = 1,2,3,4
ത𝐸 = 2,4,6
▪ ത𝐹 = 5,6
Operações com eventos: Complementar 
S
E F
3
1
5
6
2
4
▪ Seja o espaço amostral S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 };
▪ E = { 1 }
▪ Ē = { 2, 3, 4, 5, 6}
Exemplo 7
1
2
3
4
5
6
▪ Evento Complementar (Ē) é o obtido utilizando a equação:
▪ P (Ē) = 1 – P(E)
▪ Onde:
▪ 1 representa 100 % dos casos menos a probabilidade de ocorrer o caso não desejado.
Exemplo 7 – outra forma de resolver
1
2
3
4
5
6
𝑃 Ē = 1 −
1
6
=
5
6
= 0,8333 𝑜𝑢 83,33%
▪ No lançamento de um dado honesto de seis faces, qual é a probabilidade de não sair os 
números 3 e 5.
▪ Temos: 
S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } n(S)=6
E = { 3, 5 } n(E)=2
𝑃 Ē = 1 − 𝑃 𝐸
𝑃 Ē = 1 −
2
6
=
4
6
=
2
3
= 0,667 𝑜𝑢 66,7%
Exemplo 8
▪ No lançamento de um dado de 6 faces considere os eventos:
▪ A: ocorrer um número menor que 3 → A = { 1, 2}
▪ B: ocorrer um número superior a 5→ B = { 6 }
▪ Determine a probabilidade de ocorrer um nº < 3 ou um número > 5
P ( A Ս B ) = P (A) + P (B)
P ( A Ս B ) =
2
6
+
1
6
=
3
6
= 0,5
Exemplo 9 
1 2 6
3 4
5
A B
▪ Temos os eventos:
▪ A = { 3,6 }
▪ B = { 2, 4, 6 }
▪ Determine a probabilidade de ocorrer o evento A ou o evento B
P( A Ս B ) = P (A) + P (B) – P (AՈB)
P( A Ս B ) =
2
6
+
3
6
−
1
6
=
4
6
𝑜𝑢
2
3
Exemplo 10
3 6
2
4
1
5A B
▪ Antes de resolver um exercício envolvendo 
as cartas de um baralho precisamos 
entender este:
▪ Temos 26 cartas vermelhas e 26 pretas
▪ Temos quatro naipes: Ouro, Copas, Paus 
e Espadas
▪ Temos o “AS” nos quatros naipes
▪ Temos três cartas com figuras que são:
J – Valete, Q – Dama e K - Rei
Exercícios
▪ Retirando-se uma carta do baralho comum de 52 cartas, qual a probabilidade de ser rei ou 
carta de copas?
▪ A= { ser um rei } n(A) = 4 - lembre-se temos um rei para cada naipe
▪ B= { ser uma carta de copas} n(B) = 13
▪ Temos que atentar que existe a intersecção do conjunto A com B, que é o rei de copas, 
desta forma temos:
P (A Ս B) = P(A) + P(B) − P(A Ո B)
P (A Ս B) =
4
52
+
13
52
−
1
52
=
16
52
Exercício 1
▪ No lançamento de 4 moedas honestas, encontre o espaço amostral S e determine:
▪ 𝐶 = 𝑐𝑎𝑟𝑎 𝑒 𝐾 = 𝑐𝑜𝑟𝑜𝑎
Exercício 2
4 Caras 3 Caras 2 Caras 1 Cara 0 Caras
(C,C,C,C) (C,C,C,K) (C,C,K,K) (C,K,K,K) (K,K,K,K)
(C,C,K,C) (C,K,C,K) (K,C,K,K)
(C,K,C,C) (C,K,K,C) (K,K,C,K)
(K,C,C,C) (K,C,C,K) (K,K,K,C)
(K,C,K,C)
(K,K,C,C)
a) E: sair 4 faces iguais:
𝐶, 𝐶, 𝐶, 𝐶 ; (𝐾, 𝐾, 𝐾, 𝐾)
𝑷 𝑬 =
𝟐
𝟏𝟔
b) F: sair pelo menos 2 faces caras
{
}
𝐶, 𝐶, 𝐶, 𝐶 ; (C,C,C,K);(C,C,K,C);(C,K,C,C); (K,C,C,C);
(C,C,K,K);(C,K,C,K);(C,K,K,C);(K,K,C,C);(K,C,K,C);(K,C,C,K)
𝑷 𝑭 =
𝟏𝟏
𝟏𝟔
Exercício 2
c) G: sair face cara na primeira moeda:
𝐶, 𝐶, 𝐶, 𝐶 ; 𝐶, 𝐶, 𝐶, 𝐾 ; 𝐶, 𝐶, 𝐾, 𝐶 ; 𝐶, 𝐾, 𝐶, 𝐶 ; 𝐶, 𝐾, 𝐾, 𝐾 ; 𝐶, 𝐶, 𝐾, 𝐾 ; 𝐶, 𝐾, 𝐶, 𝐾 ; (𝐶, 𝐾, 𝐾, 𝐶)
𝑷 𝑮 =
𝟖
𝟏𝟔
d) H: sair face coroa na última moeda:
K, K, K, K ; (C,C,C,K);(K,K,C,K);(K,C,K,K); (C,K,K,K) (C,C,K,K);(C,K,C,K);(K,C,C,K) ;
𝑷 𝑯 =
𝟖
𝟏𝟔
Exercício 2
Escolha 1 entre os 3 exercícios a seguir, resolva-o:
Considere o espaço amostral do lançamento de 4 moedas, e os eventos E, F, G e H, 
apresentados anteriormente.
1) Determine a probabilidade de 𝑃(𝐸 ∪ 𝐹)
2) Determine a probabilidade de 𝑃(𝐹 ∪ 𝐺)
Exercícios – para entregar
Escolha 1 entre os 3 exercícios a seguir, resolva-o:
3) Analise a tabela a seguir:
Se um dos 2072 indivíduos é escolhido aleatoriamente determine a probabilidade de se obter 
alguém que fez uso do placebo ou estava no grupo de controle.
Exercícios – para entregar
Seldane Placebo
Grupo
de Controle
Dor de cabeça 49 49 24
Ñ dor de 
cabeça
732 616 602
TOTAL 781 665 626
ATÉ A PRÓXIMA!