MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL OU DE POSIÇÃO

Prévia do material em texto

1 
 
2. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL OU DE POSIÇÃO 
As medidas utilizadas para a descrição dos dados. Neste caso o que deseja encontrar são os 
valores representativos dos dados, de modo a resumir ao máximo as observações sobre os 
dados em questão. As principais medidas de posição são a média aritmética, mediana e 
moda. 
2.1 Média Aritmética 
A média de um conjunto de dados é obtida somando todos os dados e dividindo pelo número 
total de dados. A média aritmética ou simplesmente “média” é dada por: 
n
x
x
i
 
2.1.1 Média para dados brutos 
Exemplo: Seja um conjunto de dados . Então a média é: 
 
 
OBS: A notação é empregada para representar a média de uma amostra de valores. A 
média de uma população é representada pela letra grega (“mi”). 
2.1.2 Média para Variável Quantitativa Discreta (Tabela de Frequências) 
A fórmula para o cálculo da média é a seguinte: 
n
fx
x
ii
 
Onde: 
n: Número de elementos da amostra ou quantidade de valores de uma amostra. 
Exemplo: Determine a média do conjunto de dados abaixo. 
Idade (xi) fi xifi 
2 5 
5 8 
6 10 
8 7 
 
2.1.3 Média para Variável Quantitativa Contínua (Dados Agrupados em 
Classe) 
2 
 
A fórmula para o cálculo da média é a mesma utilizada na variável discreta, dada por: 
n
fx
x
ii
 
Exemplo: Determine a média do conjunto de dados abaixo. 
Classes fi xi xi.fi 
2 5 3 
5 8 10 
 8 11 18 
11 14 5 
Total 36 
 
2.2 Mediana 
2.2.1 Mediana para dados brutos 
É o valor que ocupa a posição central em um conjunto de dados, quando organizados em 
ordem crescente. Se a quantidade de valores é impar, mediana, ou valor mediano, é 
simplesmente o valor central. Se a quantidade de valores é par, a mediana é média dos dois 
valores centrais. 
 Interpretação da Mediana: A mediana divide o conjunto de dados em duas partes 
iguais, ou seja, 50% dos valores são menores ou iguais a mediana e 50% dos valores 
são maiores ou iguais a mediana. 
Exemplo 1. Seja o conjunto de dados 
 
Exemplo 2. Seja o conjunto de dados 
 
2.2.1 Mediana para Variável Quantitativa Discreta (Tabela de Frequências) 
Exemplo: Determine a mediana do conjunto de dados abaixo. 
Número de acidentes 
por dia 
Número de 
dias 
 0 12 
1 8 
2 5 
3 4 
4 1 
 
 
3 
 
2.2.2 Mediana para Variável Quantitativa Contínua (Dados Agrupados em 
Classe) 
A fórmula para o cálculo da média é a seguinte: 
h
f
F
n
lMed
i
ant
i .
2











 
Onde: 
 : Limite inferior da classe mediana. 
 : Frequência acumulada anterior à classe mediana. 
 : Frequência simples da classe mediana. 
 : amplitude da classe mediana. 
Exemplo: Calcule a mediana do conjunto de dados abaixo. 
Classes fi 
2 5 3 
5 8 10 
 8 11 18 
11 14 5 
Total 36 
 
2.3 Moda (MO) 
A moda é o valor que mais vezes aparece no conjunto de dados, ou seja, o valor de maior 
frequência. 
A moda é classificada em: amodal (quando todos os elementos são iguais, portanto, não tem 
moda), unimodal (quando apresenta apenas uma moda), bimodal (duas modas), trimodal (três 
modas) e polimodal (mais de três modas). 
2.3.1 Moda para dados brutos 
Exemplos: Calcule a moda nas séries: 
a) X: 3, 5, 8, 12, 7, 12, 5, 12. 
 b) Y: 3, 5, 8, 20, 12, 7, 12, 15, 18, 5, 12, 20, 20. 
 
2.3.2 Moda para Variável Quantitativa Discreta (Tabela de Frequências) 
4 
 
Neste caso é só identificar na coluna da frequência o maior elemento, pois sendo fi a 
frequência simples, esse número será a quantidade que os elementos aparecem na série . 
Exemplo: 
Número de acidentes 
por dia 
Número de 
dias 
 0 12 
1 8 
2 5 
3 4 
4 1 
 
2.3.3 Moda para Variável Quantitativa Contínua (Dados Agrupados em 
Classe) 
Identifica-se o maior elemento em fi (frequência simples) na tabela. Identificamos esta classe 
como classe modal e assim aplicamos a fórmula chamada de método de Czuber para calcular 
a moda que é dada por: 
M o = h
fpostfantfmo
fantfmo
lmo 








)(.2
 
Onde: 
lmo = limite inferior da classe modal 
fant = frequência simples anterior à classe modal 
fmo = frequência simples da classe modal 
fpost = frequência posterior à classe modal 
h = Amplitude de intervalo da classe modal 
3. MEDIDAS SEPARATRIZES 
 Quartis 
 Percentis 
3.1 Quartis e Percentis 
Os quartis dividem um conjunto de dados em quatros partes iguais. Os quartis são, portanto, 
três: o primeiro quartil (Q1), o segundo quartil que é a mediana (Q2) e o terceiro quartil 
(Q3) 
O percentil dividirá o conjunto de dados em cem partes iguais. 
5 
 
 3.1.1 Quartis para Dados Brutos 
Para obter os quartis: 
1. Organize os dados em ordem crescente, isto é, do menor para o maior. Encontre a 
mediana (que é, também, o segundo quartil), marque este valor. 
2. Encontre o primeiro quartil, da seguinte forma: tome o conjunto de dados à esquerda 
da mediana; o primeiro quartil é a mediana do novo conjunto de dados. 
3. Encontre o terceiro quartil, da seguinte forma: tome o conjunto de dados à direita da 
mediana; o terceiro quartil é a mediana do novo conjunto de dados. 
Onde: 
Q1 = P25 Q2 = P50 Q3 = P75 
Exemplo: Calcule os quartis dos dados abaixo. 
Y: 3, 5, 8, 20, 12, 7, 12, 15, 18, 5, 12, 20, 20. 
3.1.1 Quartis e Percentis para Variável Quantitativa Contínua (Dados 
Agrupados em Classe) 
Para dados agrupados em distribuições de frequências utiliza-se a fórmula dada por: 
h
f
F
ni
lP
i
nta
ii .
100
.












 
Onde: 
Pi : i-ésimo percentil. 
li: limite inferior que contém o i-ésimo percentil. 
Fant: frequência acumulada da classe anterior à classe que contém o i-ésimo percentil. 
fi: frequência simples da classe que contém o i-ésimo percentil. 
h: amplitude da classe que contém o i-ésimo percentil. 
 
 
 
 
 
6 
 
EXERCÍCIOS 
1. Calcule a média, mediana e a moda nas seguintes séries: 
 
a) X : 3, 5, 8, 2, 1 , 6, 4, 5, 7, 3, 6, 2. 
b) X : 5; 6; 2,5; 6; 7; 9; 4,5; 7,5; 8; 4; 6,5. 
c) X: 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3. 
d) Idade: 3, 7, 4, 5, 4, 6, 6, 7, 2, 3, 5, 6, 7, 2, 6, 7, 4, 5, 4, 6, 4, 5, 3, 5, 4, 7. 
 
2. O quadro abaixo representa o resultado de um teste de uma instituição de ensino com 
os acadêmicos concluintes de um determinado curso. A instituição decidiu premiar os 
acadêmicos que tiveram notas acima da média geral da turma com bolsa de estudo 
para curso de especialização. Represente os dados em tabela discreta e responda as 
questões abaixo: 
6,0 7,5 6,0 6,5 7,5 8,0 8,5 9,5 
6,0 7,5 6,0 8,0 7,5 8,0 9,0 9,5 
6,0 7,0 6,5 7,0 7,5 8,5 9,0 10,0 
6,5 6,5 7,0 9,0 7,0 8,0 7,5 6,5 
 
a) Qual a média geral da sala? 
b) Qual a nota que aparece com maior frequência na turma avaliada? 
c) Qual a nota mínima a ser premiada? 
d) Quantos alunos conseguiram a bolsa para o curso? 
e) Calcule o P25 e P75. 
 
3. Abaixo são apresentadas as notas da primeira prova de Estatística de uma turma de 
Farmácia. 
 
Notas Nº de alunos 
0 1 
4 1 
6 15 
8 13 
10 15 
Total 45 
 
Calcule: (Use duas casas decimais no resultado). 
a) Calcule a nota média desta turma; 
b) Qual teria sido a nota média desta prova se o aluno que tirou zero tivesse faltado? 
c) Encontre a moda; 
d) Calcule a mediana. Interprete o resultado.