ESTATISTICA_UA03 v3

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Tecnologia em Processos gerenciais
Estatística aplicada à GEstão
medidas de posição central
ObjetivOs da Unidade de aprendizagem 
Calcular as principais medidas de tendência central 
como a média, mediana e moda.
COmpetênCias 
Representação de um conjunto de dados em medidas 
resumo.
Habilidades 
Extrair informações das medidas de posição central.
3
estatística 
aplicada à gestão
medidas de 
posição central
ApresentAção
Nesta UA serão apresentadas medidas de tendên-
cia central como a média, mediana e moda. Será 
enfatizado como calculá-las e extrair informações 
destas medidas.
pArA ComeçAr
Você já deve ter ouvido comentário de algum filme 
junto de seus amigos. O seu amigo pode falar sobre as 
partes mais divertidas do filme, as mais aterrorizantes 
ou descrevê-lo numa breve fala.
Quando as pessoas falam sobre algum filme, eles 
sintetizam de tal forma que o ouvinte consiga com-
preender algumas cenas ou características do filme. 
Alguns descrevem rapidamente o filme, outros são 
mais detalhistas; tem pessoas que falam somente se 
gostaram ou não do filme.
Por mais minucioso que seja o comentário, é pouco 
provável que se consiga descrever todos os detalhes 
do filme.
Analogamente, quando deparamos com um con-
junto de dados quantitativos obtidos numa pesquisa, 
existe a necessidade de sintetizarmos em algumas 
medidas que representem o conjunto de dados. Ima-
gine a dificuldade que você teria ao tratar de uma 
amostra com muitos dados. 
Na estatística existem algumas medidas denomi-
nadas de posição central que tem por objetivo resu-
mir e representar um conjunto de dados. As medidas 
mais utilizadas são a moda, a mediana e a média. 
Cada uma dessas medidas tem suas características e, 
as informações contidas são complementares, isto é, 
cada medida tem informações que juntas descrevem 
melhor as características de um conjunto de dados.
Estatística aplicada à gestão / UA 03 Medidas de Posição Central 4
atEnção
“As medidas de posição central tem por objetivo resumir e 
representar um conjunto de dados. As medidas de posição cen-
tral mais utilizadas são: moda, mediana e média.”
FundAmentos
mOda (mo)
A moda é o valor que ocorre com a maior frequência, isto é, aquele que 
mais repete num conjunto de dados. Se dois valores ocorrerem com a 
mesma e, maior frequência diz-se que a distribuição é bimodal. No caso 
de três modas a distribuição é trimodal ou para simplificar quando o 
conjunto de dados tem mais de uma moda a distribuição é multimodal. 
Por outro lado, existe a possibilidade de nenhuma repetição dos 
dados, nesse caso, diz-se que a distribuição é amodal (não existe moda).
ExEmplos
a. A  =  { 5  7  9  0  4  7  7  9  8 }
O valor que mais se repetiu é o 7, portanto: moda = 7.
b. B  =  { 10  15  10  10  12  15  18  15  11 }
 Existem dois valores que se repetem mais, portanto, as modas
são 10 e 15.
c. C  =  { 1,5  1,0  1,9  2,0  2,4  1,7  2,7  2,8 }
 Não ocorreu nenhuma repetição dos valores, portanto, não
existe moda.
mediana (md)
A mediana (Md) é o valor que divide um conjunto de dados ordenados 
ao meio, isto é, 50% dos dados deve ser menor ou igual a mediana e, 
os outros 50%, são maiores ou iguais a mediana. O cálculo da mediana 
depende da quantidade de dados ser par ou ímpar.
Representando por xi os dados brutos (sem parêntese no índice) para 
i de 1 até n e, representando por x(i) os dados ordenados (com parênte-
ses no índice). O mínimo do conjunto de dados será representado por 
Estatística aplicada à gestão / UA 03 Medidas de Posição Central 5
x(1), o segundo menor valor será o x(2) e, assim por diante até x(n) que
representará o máximo de um conjunto de dados. 
Dois exemplos serão desenvolvidos para mostrar o procedimento 
do cálculo da mediana.
ExEmplo 1
Numa amostra de tamanho igual a 7:
x1
17
x2
15
x3
19
x4
14
x5
12
x6
17
x7
16
dados brutos
dados ordenados
desordenados
ordenando os dados
x1
12
x2
14
x3
15
x5
17
x6
17
x7
19
x4
16
Para um conjunto com número ímpar de dados haverá um valor nos 
dados ordenados que é a mediana. Neste exemplo, percebe-se visual-
mente que a mediana é igual a 16.
A fórmula geral da mediana com n ímpar é dada pela seguinte 
expressão: 
Md = x( n + 1
2
)
Usando a fórmula acima no exemplo 1, com n = 7, a mediana será:
Md = x( n + 1
2
) = x( 7 + 1
2 ) = x(4) = 16
(x
(4)
 representa o quarto elemento dos dados ordenados)
Estatística aplicada à gestão / UA 03 Medidas de Posição Central 6
Para um conjunto com número par de dados, haverá dois valores no 
centro da distribuição e, a mediana será a média aritmética deles. Veja-
mos o exemplo a seguir:
ExEmplo 2
Numa amostra de tamanho igual a 8:
x1
17
x2
11
x3
19
x4
14
x5
12
x6
17
x7
16
dados brutos
dados ordenados
desordenados
ordenando os dados
x1
11
x2
12
x3
13
x5
16
x6
17
x7
17
x4
14
x8
19
x8
13
50% são ≤ 15 50% são ≥ 15
Observe que a linha do centro passa por dois valores centrais (14 e 16). 
A mediana será a média aritmética desses dois valores centrais, isto é, 
Md = 14 + 16
2
= 15
A expressão geral para a mediana com número par de dados é:
Md = 
x
( n
2
 )
+ x
( n  + 1
2
 )
2
Usando esta fórmula no exemplo 2, com n = 8, o valor da mediana 
será: 
Md = 
x
( 8
2
 )
+ x
( 8  + 1
2
 )
2
= x(4) + x(5)
2
= 14 + 16
2
= 15
Estatística aplicada à gestão / UA 03 Medidas de Posição Central 7
Juntando as duas expressões a mediana será dada por:
Md = 
x
( n  + 1
2
 ) para n ímpar
para n par
x
( n
2
 )
+ x
( n  + 1
2
 )
2
mÉdia
Descreve-se a seguir dois tipos de médias: a média aritmética e a 
média ponderada. Quando referirmos à palavra média subentende-se 
que estamos tratando da média aritmética.
mÉdia aritmÉtiCa (mÉdia) 
A média aritmética é a soma de todos os valores de um conjunto de 
dados dividido pelo número de dados. Existem duas representações 
para a média. Quando o conjunto de dados corresponde a toda a 
população a média é representada pela letra grega μ (leia-se mi) mas, 
quando o conjunto de dados corresponde a uma amostra representa-
-se por x (leia-se x barra).
Média populacional: μ =
∑ 
n
i=1
xi
N
 , onde N é o tamanho da população.
Média amostral : x =
∑ 
n
i=1
xi
n
 , onde n é o tamanho da amostra. 
ExEmplo 1
Os valores abaixo são dados de uma amostra de n = 7:
x1
17
x2
15
x3
19
x4
14
x5
12
x6
17
x7
16
A média será amostral:
Estatística aplicada à gestão / UA 03 Medidas de Posição Central 8
x = 
∑ 
n
i − l
xi
n
= 
∑ 
7
i − l
xi
7
=  17 + 15 + 19 + 14 + 12 + 17 + 16
7
 = 15,7
mÉdia pOnderada (xg) 
A média ponderada é utilizada quando cada valor de um conjunto de 
dados tem importâncias diferentes, isto é, aquelas com a maior impor-
tância (maior peso) devem influenciar mais na média. A média ponde-
rada é:
xG = ∑ 
k
i=1
xi ×  pi
Onde pi é o peso com as seguintes condições: 
 
k
0 < pi < 1 e ∑
i=1
 pi = 1
ExEmplo
Suponha que as quatro avaliações escolares realizadas no ano com-
põem a média anual de uma disciplina. Se os pesos de cada prova fo-
rem de 0,1 (10%) para a primeira prova (P1), 0,2 para a segunda (P2), 0,3 
para a terceira (P3) e 0,4 para a quarta (P4). Para um aluno com notas 
iguais a P1=5,0; P2=4,0; P3=6,5 e P4=5,5. 
A média será: 
xG = ∑ 
4
i=1
xi ×  pi 
= 5,0 × 0,1 + 4,0 × 0,2  + 6,5 × 0,3  + 5,5 × 0,4 
=  5,45
A média ponderada também pode ser aplicada quando um conjunto 
de dados estiver organizado em forma de tabela de frequência (sem 
agrupamento de dados em intervalos).
Estatística aplicada à gestão / UA 03 Medidas de Posição Central 9
ExEmplo
Suponha que o número de erros encontrados em cada nota fiscal (NF) 
emitidas por uma empresa estão sendo investigadas e, após a conta-
gem de 30 notas fiscais, obteve-se a tabela de frequência a seguir. Qual 
é o número médio de erros por nota fiscal dessa empresa? 
erros em notas fiscais frequência
0 20
1 6
2 3
4 1
Total 30
Utilizando a frequência relativa como o peso de cada valor, a média 
será dada por:
xG = ∑ 
ki=1
xi ×  pi
= 0 × 20
30
+ 1 × 6
30
+ 2 × 3
30
+ 4 × 1
30
= 0,53
O número médio de erro é de 0,53 por nota fiscal.
atEnção
“A moda é o valor com a maior frequência de ocorrência, a 
mediana é o valor que divide um conjunto de dados ordenados 
ao meio e a média é a soma de todos os valores dividido pelo 
número de dados.”
apliCaçãO 
A empresa Brinquedos Legal é especializada nas vendas de brinque-
dos de super-heróis e, Thomas é o gerente de vendas de uma loja. 
Atualmente, existe uma preocupação com o pequeno estoque de um 
relógio do super-herói em sua loja. O fornecedor desse brinquedo não 
conseguiu entregar a encomenda prometida antes do final da semana 
e, ele observou que havia um relógio do super-herói no estoque.
Estatística aplicada à gestão / UA 03 Medidas de Posição Central 10
Thomas sabe que a falta desse produto pode diminuir o lucro 
da empresa, pois ele é vendido com preço alto e, gera boa margem 
de lucro. Outro problema está associado à insatisfação dos clientes 
que não conseguirem adquirir esse brinquedo e procurarão o seu 
concorrente.
Como não é possível saber a quantidade da demanda para este final 
de semana ele pediu a seu assistente, Lucas, que busque os dados de 
vendas desse produto nos últimos finais de semana. 
Lucas observou os dados do registro e, obteve as seguintes observa-
ções em 14 finais de semana: 
2
x1
3
x2
2
x3
20
x4
3
x5
2
x6
4
x7
3
x8
2
x9
5
x10
2
x11
4
x12
5
x13
1
x14
Devido a dificuldade em analisar todos os valores, Lucas foi calcular a 
moda, mediana e a média do conjunto de dados para apresentar ao 
Thomas e utilizá-las como a previsão de demanda deste final de semana. 
Lucas ordenou os dados e, observou que o valor 20 destoava muito 
em relação aos demais e, deve ter ocorrido algum evento fora da nor-
malidade (promoção, período festivo como Natal ou dia das crianças 
ou mesmo erro de digitação no registro).
x1
1
x2
2
x3
2
x4
2
x5
2
x6
2
x7
3
x8
3
x9
3
x10
3
x11
4
x12
4
x13
5
x14
20
Calculando a moda, mediana e média obtém-se os seguintes resultados: 
Moda: 2
Mediana: para n = 14 (par)
Md = 
x
( 14
2
 )
+ x
( 14  + 1
2
 )
2
= 
x(7) + x(8)
2
= 
3 + 3
2
= 3
Estatística aplicada à gestão / UA 03 Medidas de Posição Central 11
Média: 
x = 
∑ 
n
i=1
xi
n
= 
 1 + 2 + 2 + ... + 5 + 20
14
= 4,0
Como o valor 20 nos dados é atípico, Lucas recalculou as medidas sem 
esse valor e os resultados são:
Moda: 2
Mediana: para n = 13 (ímpar)
Md = x
( 13 + 1
2
)
= x
(7)
 = 3
Média: 
x = 
∑ 
n
ii=1
xi
n
= 
 1 + 2 + 2 + ... + 5 
14
= 2,8
Como o segundo resultado é mais confiável, Lucas levou-os para Tho-
mas analisar e, concluíram que a demanda pelo produto foi 2 em 
várias semanas (Moda = 2), em 50% das semanas a demanda foi maior 
ou igual a 3 (mediana = 3) e, a média da demanda está entre 2 e 3 ( 
média 2,8). Dessa forma, como a quantidade em estoque é de uma 
peça, existe uma grande chance de alguns clientes não conseguirem 
encontrar o produto em sua loja. 
Com essa informação Thomas deve tomar as devidas providências 
para sanar este problema poderá ocorrer no próximo final de semana.
atEnção
Os dados que são muito maiores ou menores do que a maioria 
são denominados de valores discrepantes (“outliers”) e, esses 
números afetam sensivelmente o valor da média, mas afetam 
pouco o valor da moda e a da mediana. Os valores discrepantes 
devem ser analisados à parte.
Estatística aplicada à gestão / UA 03 Medidas de Posição Central 12
dadOs agrUpadOs em intervalOs 
Existem situações em que é necessário obter as medidas de posição 
central (média, mediana e moda) através de tabela de frequência com 
os dados já agrupados. Lembre-se que ao agrupar os dados em inter-
valos, ocorre perda de informações contidas nos dados brutos e, con-
sequentemente, os cálculos baseados nesses agrupamentos gerarão 
resultados aproximados e não exatos como ocorre com os dados bru-
tos. As expressões que serão ilustradas a seguir serão úteis quando 
não temos à disposição os dados brutos. 
ExEmplo
O gerente de uma loja que comercializa chocolate está estudando um 
relatório do comportamento de consumidores de chocolate e, nesse 
relatório existe uma tabela de frequência da faixa etária dos consumi-
dores de um tipo de chocolate crocante que a loja irá lançar no pró-
ximo mês. Para uma análise inicial é de interesse o cálculo da média, 
mediana e da moda.
faixa etária frequência
10	 ⊢	 15 5
15	 ⊢	 20 12
20	 ⊢	 25 8
25	 ⊢	 30 3
total 28
Para o cálculo da média utiliza-se a expressão da média ponderada:
k
xG = ∑ xi ×  pi
i=1
Substituindo o valor xi pelo ponto central do intervalo i. Por exemplo, 
o ponto central do intervalo i no primeiro intervalo da tabela o ponto
central é:
xcentro do intervalo 1 = 
10 + 15
2
= 12,5 
(Pela média aritmética dos limites de cada intervalo.) Os pesos pi serão 
substituídos pela frequência relativa de cada classe i. 
Do exemplo temos:
Estatística aplicada à gestão / UA 03 Medidas de Posição Central 13
faixa etária frequência ponto central frequencia relativa
10	 ⊢	 15 5 12,5 5/28=0,179
15	 ⊢	 20 12 17,5 12/28=0,429
20	 ⊢	 25 8 22,5 8/28=0,286
25	 ⊢	 30 3 27,5 3/28=0,107
total	(n) 28
x = ∑ 
k
i=1
xcentro do intervalo i ×  pi 
= 12,5 × 0,179 +  17,5 × 0,429  + 22,5 × 0,286 + 27,5 × 0,107
  =  19,1
No cálculo da mediana deve-se encontrar inicialmente o intervalo que 
contém a mediana e depois utilizar a expressão a seguir:
Md = LimInf + h × 
n
2
 − facumulada anterior
fclasse mediana
Sendo: 
LimInf: menor valor da classe da mediana
h: amplitude da classe mediana
n: número de dados
FAcumulada Anterior : frequência acumulada da classe anterior à mediana
fmediana : frequência da classe mediana 
Essa fórmula é obtida através de uma relação de proporcionalidade 
(regra de três) no intervalo da mediana. 
O cálculo da mediana pode ser obtido utilizando o procedimento e 
os passos a seguir:
1. Calcule a frequência acumulada;
2. Observe o intervalo que contém a mediana analisando a frequência
acumulada e o valor de n/2;
3. Com o intervalo da mediana identificada utilize a fórmula da
mediana.
Estatística aplicada à gestão / UA 03 Medidas de Posição Central 14
Do exemplo temos: n/2 = 28/2 = 14 
A frequência acumulada do primeiro intervalo, Facumulada = 5, é menor 
que 14, então esse intervalo não contém a mediana. No segundo inter-
valo, Facumulada = 17, é maior 14, então o segundo intervalo é o intervalo 
da mediana. 
LimInf	=15
h	=	20	-	15	=	5 f mediana = 12 F	acumulada	anterior	=	5
faixa etária frequência frequencia acumulada
10	 ⊢	 15 5 5
15	 ⊢	 20 12 17
20	 ⊢	 25 8 25
25	 ⊢	 30 3 28
total	(n) 28
classe da 
mediana
A mediana será: 
Md = LimInf + h × 
n
2
 − facumulada anterior
fclasse mediana
= 15  +  5 × 
28
2
 − 5
12
= 18,75
Para o cálculo da moda para dados agrupados em classe deve-se ini-
cialmente identificar o intervalo que contem a moda (intervalo com a 
maior frequência) e utilizar a expressão.
Mo = LimInf + h × 
∆1
∆1 + ∆2
Onde: 
LimInf: menor valor da classe da moda; h: amplitude do intervalo da moda; 
∆1: fi da classe da moda - fi da classe anterior da classe da moda;
∆2: fi da classe da moda - f i da classe posterior da classe da moda .
Estatística aplicada à gestão / UA 03 Medidas de Posição Central 15
Do exemplo, o intervalo com a maior frequência é 15 ⊢ 20.
LimInf	=15
h	=	20	-	15	=	5
F	anterior	=	5
faixa etária frequência
10	 ⊢	 15 5
15	 ⊢	 20 12
20	 ⊢	 25 8
25	 ⊢	 30 3
total	(n) 28
classe 
da moda
F	posterior	=	8
Mo = LimInf + h × 
∆1
∆1 + ∆2
= 15 + 5 ×  7
7+4
= 18,2
Então : 
∆1 = 12 − 5 = 7 
∆2 = 12 − 8 = 4 
e AgorA, José?
1. Um empreendedor está avaliando a viabilidade de um
restaurante por quilo numa cidade. Como uma das variáveis
a ser analisado é o preço praticado por outros restaurantes
na cidade ele observou os preços em dez restaurantes. Os
dados obtidos (em R$/kg) são:
13,00 13,50 12,00 14,50 17,50 14,00 12,50 11,50 12,80 13,80
Quais sãoa média, a mediana e a moda dos preços das 
refeições por quilo?
2. O tempo de entrega (em dias) de dois fornecedores foram:
Fornecedor	a 3 5 6 3 7 5 5 6
Fornecedor	b 3 4 4 3 3 4 3 25
Você deve escolher um dos fornecedores usando o critério:
a. da menor média no tempo de entrega.
b. da menor mediana no tempo de entrega.
respOstas
1. x  =  13,51
Md  =  13,25
Não existe moda.
2.
média mediana
Fornecedor	a 5 5
Fornecedor	b 6,12 3,5
a. usando a média seria o fornecedor A.
b. usando a mediana seria o fornecedor B.
Estatística aplicada à gestão / UA 03 Medidas de Posição Central 17
glossário
Moda: é o valor com a maior frequência 
de ocorrência. 
Mediana: é o valor que divide um conjunto de 
dados ordenados ao meio.
Média: é a média aritmética dos dados de 
um conjunto.
reFerênCiAs
BRUNI, A. L. Estatística Aplicada à Gestão 
Empresarial. São Paulo: Atlas, 2008.
BUSSAB, W. ; MORETTIN, P. A. Estatística Básica. 
São Paulo: Saraiva, 2009.
CRESPO, A. A. Estatística Fácil. São Paulo: 
Saraiva, 2009.
MARTINS, G. A.; DONAIRE, D. Princípios de Esta-
tística. São Paulo, Atlas, 2006.