Unidade IV

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Unidade IV
Sistemas de Numeração
Sistema de Numeração Decimal 
Sistema decimal é aquele que utiliza 10 símbolos (algarismos) para representar qualquer quantidade. 
Os símbolos são: 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
Para representar quantidades maiores que a base é usado o recursos de se adotar diferentes pesos para algarismos em posições diferentes. 
Ou seja, quanto mais a esquerda for a posição do algarismo, maior seu peso e sempre 10 vezes maior que o anterior, já que a base é 10 (sistema decimal). 
A ideia de peso do algarismo trouxe os nomes unidade, dezena(dez unidades), centena(cem unidades, milhar (mil unidades), dezena de milhar, centena de milhar, milhão, etc. 
Exemplo: 
O número 2574 é composto por 4 unidades, 7 dezenas, 5 centenas e 2 milhares, ou 2000 + 500 + 70 + 4 = 2574. 
Mas o número 2574 pode ser decomposto de uma forma diferente: 
2574 = 2000 + 500 + 70 + 4 
 = 2 x 1000 + 5 x 100 + 7 x 10 + 4 
= 2 x 10³ + 5 x 10² + 7 x10¹ + 4 x 100
 
Sistema de Numeração Binário 
O sistema binário, como o próprio nome diz, utiliza apenas dois símbolos(algarismos) para representar qualquer quantidade. 
Os símbolos utilizados são: 
0, 1 
O sistema binário segue as mesmas regras do sistema decimal, ou seja, também são válidos os conceitos de peso e posição dos algarismos. 
No entanto, os nomes unidades, dezenas, centenas, etc., somente são usados no sistema decimal, sendo que no sistema binário, as posições não tem um nome específico. 
Cada algarismo ou dígito de um número binário é chamado de bit, que é a abreviação de binary digit (dígito binário). 
Exemplo: 
o número 1001110 tem 7 bits. 
O sistema binário é muito utilizado em circuitos lógicos e aritméticos. 
Sistema Hexadecimal 
O sistema hexadecimal possui 16 símbolos(algarismos) para representar qualquer quantidade. 
Composto por dez símbolos numéricos(0 a 9), e outros seis(A a F), ficando o sistema hexadecimal assim constituído: 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
Exemplo: 
4C5F é um número hexadecimal de 4 dígitos. 
O sistema hexadecimal é muito usado na área de microprocessadores, e tem um estreita relação com o sistema binário, como será visto mais adiante. 
Existem padrões para se representar os números associados às bases. 
2763 no Sistema Decimal 
(2763)10 
1010 no Sistema Binário 
(1010)2 
F8DA no Sistema Hexadecimal 
(F8DA)16 
Conversões entre bases 
Base 10 para outra base qualquer: 
Dado um número inteiro escrito na base 10, para se obter se equivalente em uma base b qualquer, divide-se o número por b tantas vezes quantas necessárias para que o quociente da divisão seja menor que b. 
O último quociente da divisão e os restos das divisões sucessivas, tomados na ordem inversa, correspondem ao número na base b. 
Exemplo: supondo que seja necessário converter o número (125)10 para a base 2(binário) 
De forma esquemática, tem-se 
125 | 2 
 05 62 | 2
 1 02 31 | 2
 0 11 15 | 2
 1 1 7 | 2
 1 1 3 | 2 
 0 1 1
Nº convertido = 1101101
Nº convertido = 1101101
Base 10 para Base 16 
Supondo que seja necessário converter 538 para base 16. 
De forma esquemática, tem-se:
538 | 16 
 058 33 | 16 
 10 1 2
Número formado: 21A
Base 10 para Base 8 
Supondo que seja necessário converter 538 para base 8. 
De forma esquemática, tem-se:
538 | 8 
 58 67 | 8 
 2 3 8 | 8
 0 1 
Número formado: 1032
Para transformar uma base qualquer para base 10, basta multiplicar a base pelos respectivos algarismos de acordo com sua posição e no final somá-los. 
Exemplo (binário para decimal): 
1012 = 1 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20 = 4 + 0 + 1 = 510 
Exemplo (octal para decimal):
101 8 = 1 x 82 + 0 x 81 + 1 x 80 = 64 + 0 + 1 = 65
Para transformar uma base qualquer para base 10, basta multiplicar a base pelos respectivos algarismos de acordo com sua posição e no final somá-los. 
Exemplo (hexadecimal para decimal): 
3F716 = 3x 162 + F x 161 + 7 x 160 = 3 x 256 + 15 x 16 + 7 x 1 = 768 + 240 + 7 = 101510 
Mas esses métodos são um tanto “rococós”...
Existem alguns mais “smarts”...
Conversão entre Base 2 e 16 
Foi dito anteriormente que existe uma relação estreita entre os sistemas binário e hexadecimal. Esta relação vem do fato de que o número 16 pode ser escrito como 24
 Os números hexadecimais podem ser vistos como uma forma compacta de representar os números binários. 
A conversão da base 2 para a base 16 é realizada na seguinte sequência: 
1 - Divide-se o número em grupos de 4 algarismos da direita para a esquerda. 
2 - Converte-se cada grupo no seu equivalente em hexadecimal de acordo com a tabela já apresentada. 
Exemplo: (1011 0011 1111)2 = B 3 F  (1011 0011 1111)2 = (B3F)16
A técnica é:
Colocar números imaginários que vão crescendo em progressão geométrica em cima de cada bit separados por grupos de 4 bits. 
Os valores imaginários de cada bit com valor são somados, e eles comporão o valor hexadecimal.
Exemplo: 
 8 4 2 1 8 4 2 1 8 4 2 1
1011 0011 11112 = B 3 F
Conversão de Base 16 para 2 
A conversão da base 16 para a base 2 é realizada na sequência inversa.  
1 - Converte-se cada algarismo no seu equivalente em binário utilizando sempre 4 algarismos, colocando-se zeros à esquerda quando necessário. 
2 – Reúne-se os grupos de 4 algarismos, formando o número equivalente na base 2. 
Exemplo: 
 A79 
 A 7 9
 8 4 2 1 8 4 2 1 8 4 2 1
1010 0111 1001 
A79 = 1010011110012
Conversão entre Base 2 e 10
O princípio é o mesmo da conversão para a base 16, mas não se separa a progressão geométrica dos números em grupos.
 32 16 8 4 2 1
 Ex.: : 1011102 = 1 0 1 1 1 0 = 32+8+4+2 = 4610
 
Conversão entre Base 2 e 8
O princípio é o mesmo da conversão para a base 16, mas se separa a progressão geométrica dos números em grupos de 3 dígitos.
 4 2 1 4 2 1
 Ex.: : 1011102 = 1 0 1 1 1 0 = 568
 
Curiosidade:
 O sistema sexagesimal ( 0 a 59), usado pelos babilônios há 4.000 anos atrás, aproximadamente, ainda é usado: a ciência e o comércio trabalham com medidas múltiplas de 6: o dia se divide em 24 horas, uma hora em 60 minutos e os minutos em 60 segundos; ao comprar unidades no comércio, conta-se por dúzia (12), que também é múltiplo de 6. 
O sistema babilônico utiliza a base 60 para a formação de seus numerais. 
 
 Sistema numérico babilônico
Atividades
Faça os exercícios propostos pelo professor