Aula 19 com gabarito

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Aula 19
Vetores
São segmentos de reta que possuem direção, sentido e módulo. Usualmente utilizados para representar grandezas vetoriais na física, como força, deslocamento, velocidade e acelerações.A
B
Sendo A e B pontos no plano cartesiano, temos o vetor , também representado por .
1) Características de um vetor:
· Direção: é indicada pela reta em que o vetor é colocado.
· Sentido: é a orientação tomada na reta.
· Módulo: é o valor numérico da grandeza que o vetor representa. (ll)
2) Classificações de vetores:
a) Vetor nulo
É o vetor cujo módulo.
b) Vetor Unitário
É o vetor cujo módulo é igual a 1.
c) Vetores opostos
Dado um vetor , o vetor é o seu oposto. Pode ser representado por ou -.
d) Vetor Versor
É o vetor unitário com mesma direção e sentido de um vetor dado.
3) Representação gráfica
 ( Se puder refazer a imagem, eu agradeço)
 = (x1,y1) ou = (x1.i,y1.j), onde e são os vetores versores dos eixos coordenados.
4) Coordenadas de um vetor:
As coordenadas de um vetor são dadas pela diferença entre o ponto final e o ponto de início do vetor, sempre nessa ordem, pois seu sentido é importante.
Obs1: Dois vetores são iguais quando suas coordenadas forem iguais.
5) Operações com vetores
a) Adição:
Dado um vetor = (x1,y1) e um vetor = (x2,y2), temos:
 + = (x1+ x2, y1+ y2)
Podemos representar essa soma, geometricamente, por duas regras: A regra do paralelogramo e a regra do triângulo
(Refazer as imagens)
b) Multiplicação por um número real
Basta multiplicar todas as coordenadas pelo número.
k = (k.x1,k.y1)
6) Módulo de um vetor:
Basta fazer um Pitágoras, e descobrimos o tamanho do vetor, ou seja, o módulo dele.
Xa
Xb
ya
Yb
Δx
Δy
7) Vetor Versor:
Para calcularmos o vetor versor, basta dividirmos o vetor pelo seu módulo.
8) Forma canônica:
 = (x1,y1) = x1 . i + y1j
9) Produto escalar ou produto interno:
Dados os vetores u=(a,b) e v=(c,d), definimos o produto escalar entre os vetores u e v, como o número real obtido por:
u.v = a.c + b.d
Exemplos: 
O produto escalar entre u=(3,4) e v=(-2,5) é:
u.v = 3.(-2) + 4.(5) = -6+20 = 14
10) Ângulo entre dois vetores
O produto escalar entre os vetores u e v também é escrito na forma:
u.v = |u| |v| cos(x)
(refazer figura)
Através desta última definição de produto escalar, podemos obter o ângulo x entre dois vetores genéricos u e v, como:
Sendo u e v ≠0.
OBS: Se os vetores forem ortogonais, ou seja, formarem ângulo de 90°, o produto escalar é nulo.
Exercícios
1. (Upe 2015) A figura a seguir mostra o vetor representado no plano cartesiano.
A representação e o módulo desse vetor são, respectivamente, 
a) e 
b) e 
c) e 
d) e 
e) e 
 
2. (Upe 2013) Os vetores representados na figura a seguir, têm módulos, respectivamente, iguais a 8 e 4, e o ângulo mede 120°. 
Qual é o módulo do vetor 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
3. (Uerj 2006) A tabela a seguir apresenta os preços unitários de três tipos de frutas e os números de unidades vendidas de cada uma delas em um dia de feira.
A arrecadação obtida com a venda desses produtos pode ser calculada pelo produto escalar de = (1, 2, 3) por = (x, y, z).
Determine:
a) o valor arrecadado, em reais, com a venda de dez mamões, quinze abacaxis e vinte melões;
b) o cosseno do ângulo formado pelos vetores e , sabendo que x, y e z são respectivamente proporcionais a 3, 2 e 1. 
 
4. (Ufrj 2002) Os pontos A, B e C estão sobre uma reta r e B está entre A e C. Sendo O um ponto fora de r, considere os vetores =OA, = OC e = OB. Sabendo que = 4 , determine x e y de forma que = x + y.
 
 
5. (Unirio 2000) 
Considere os vetores a, g e ù anteriormente representados. O vetor v tal que v = a + g -ù é: 
a) 
b) (-2, 3) 
c) 
d) 
e) 
 
6. (Unirio 2000) 
Considere um vetor anteriormente representado. Sabendo-se que o módulo de é 4 e que è=, determine:
a) as coordenadas cartesianas de ;
b) um vetor ortogonal ao vetor e de mesmo módulo que . 
 
7. (Uff 2000) Considere os vetores a = (0, -2) e v = (-1, 0).
Determine um vetor unitário g tal que os valores (a + g) e (v + g) sejam perpendiculares. 
 
8. (Ufrj 2000) Sejam O = (0, 0), P = (5, 2) e P' = (2, 5).
Girando em torno de O, no sentido trigonométrico (anti-horário), o segmento OP de um certo ângulo è, o ponto P transforma-se no ponto P'.
Determine cosè. 
 
9. (Unirio 1999) Considere os vetores . A secante do ângulo formado pelos vetores é:
 
a) 2 
b) 
c) 
d) 1 / 2 
e) -2 
 
10. (Unirio 1998) O ângulo formado pelos vetores u = (3, 0) e v = (-2, 2) mede: 
a) 210° 
b) 150° 
c) 120° 
d) 60° 
e) 30° 
 
11. (Uerj 1998) As contas correntes de um banco são codificadas através de um número sequencial seguido de um dígito controlador. Esse dígito controlador é calculado conforme o procedimento a seguir: 
A conta 643-5, aberta na década de 80, foi cadastrada no ano de: 
a) 1985 
b) 1986 
c) 1987 
d) 1988 
 
12. (Cesgranrio 1997) Os vetores (x, 2x - 1) e(- 2, 4) são ortogonais. Então o valor de x é igual a: 
a) -3/2 
b) -2/3 
c) 2/5 
d) 2/3 
e) 3/2 
 
13. (Cesgranrio 1995) Se: = 5, o valor do produto escalar é: 
a) 8 
b) 7 
c) 6 
d) 5 
e) 4 
 
14. (Cesgranrio 1994) ABCD é um quadrado. O vetor que indica a operação - é igual a: 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
15. (Cesgranrio 1993) O ângulo entre os vetores u=3i+j e v=i+2j é igual a: 
a) 0° 
b) 30° 
c) 45° 
d) 60° 
e) 90° 
 
Gabarito: 
Resposta da questão 1:
 [D]
Tem-se que Portanto, segue 
Resposta da questão 2:
 Gabarito Oficial: [B]
Gabarito SuperPro®: Nenhuma das alternativas está correta.
Considere a figura. 
Pela Lei dos Cossenos, segue que
		 
Observação: Caso o resultado pedido fosse a resposta seria a alternativa [B]. 
Resposta da questão 3:
 a) 100 reais.
b) 
Resposta da questão 4:
 x = e y = 
Resposta da questão 5:
 [C] 
Resposta da questão 6:
 a) 
b) 
Resposta da questão 7:
 = (-3/5, 4/5) ou = (1, 0) 
Resposta da questão 8:
 cosθ = 20/29 
Resposta da questão 9:
 [A] 
Resposta da questão 10:
 [C] 
Resposta da questão 11:
 [B] 
Resposta da questão 12:
 [D] 
Resposta da questão 13:
 [C] 
Resposta da questão 14:
 [A] 
Resposta da questão 15:
 [C] 
v
r
51
3, e v3,
22
æöæö
v==-
ç÷ç÷
èøèø
urr
v e v
v+v-
urrurr
2
23
3
v
r
3
a
r
v
r
av 7 eav
+=-
rrrr
││││
a.v
uurr
AB
uuur
BC
uuur
DB
uuur
CA
uuur
BD
uuur
AC
uuur
v(1,1)(4,5)(3,4).
=-=--
r
22
|v|(3)(4)5.
=-+-=
r
v(5,1)
=
r
222
222
|uv||u||v|2|u||v|cos120
1
|uv|84284
2
|uv|112
|uv|47.
-=+-×××°
æö
-=+-×××-
ç÷
èø
-=
-=
rrrrrr
rr
rr
rr
|uv|,
+
rr
5
7
4
5
1
5
v(2, 3)
r
(23, 2) ou (23, 2)
--
g
r
|v|3
=
r
v(3,0)
=
r
|v|3
=
r
v(3,4)
=--
r
|v|4
=
r
v(3,4)
=--
r
|v|5
=
r
v(1,4)
=--
r
|v|5
=
r
uev,
rr
θ
uv?
-
rr
33
43
53
35
45
v
r
ω
r
v
r
ω
r
a
r
v
r
ω
r
BC
AB
ω
r
a
r
v
r
1
2
1
4
7
6, 
4
æö
-
ç÷
èø
7
, 6 
4
æö
-
ç÷
èø
7
, 6
4
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-
ç÷
èø
7
6, 
4
æö
-
ç÷
èø
v
r
v
r
3
π
v
r
v
r