Eletromagnetismo- Física III

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Notas Eletromagnetismo – Parte II
R. Bufalo ∗
Departamento de Fı́sica, Universidade Federal de Lavras,
Caixa Postal 3037, 37200-000 Lavras, MG, Brazil
25 de maio de 2017
Resumo
Nesta nota de aula encontra-se um resumo dos tópicos discutidos na aula do curso de
Fı́sica C, referente à segunda avaliação.
∗E-mail: rodrigo.bufalo@dfi.ufla.br
1
mailto:rodrigo.bufalo@dfi.ufla.br
Sumário
I Potencial elétrico 4
1 Potencial elétrico 4
1.1 Energia potencial eletrostática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1 Potencial e campos elétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Potencial devido a cargas puntiformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Superfı́cies equipotenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4 Cálculo do campo elétrico a partir do potencial . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5 Cálculo do potencial para distribuições contı́nuas de carga . . . . . . . . 17
1.5.1 Potencial no eixo de um anel carregado . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5.2 Potencial de uma linha de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5.3 Potencial e campo elétrico de um disco carregado . . . . . . . . . 19
1.5.4 Potencial devido a um plano infinito de cargas . . . . . . . . . . . 21
1.5.5 Potencial de uma casca esférica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.5.6 Potencial de uma esfera carregada uniformemente . . . . . . . . 24
1.5.7 Potencial de uma casca esférica oca . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.6 Energia potencial eletrostática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
II Capacitância 29
2 Capacitores 29
2.1 Capacitância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.1 Capacitores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.1.2 Capacitor de placas paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.1.3 Capacitores cilı́ndricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2 Armazenamento de energia elétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.1 Energia do campo eletrostático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3 Capacitores, bateria e circuitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3.1 Associação de capacitores em paralelo . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3.2 Associação de capacitores em série . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.4 Dielétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2
2.5 Visão molecular de um dielétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
III Corrente elétrica e circuitos 56
3 Corrente elétrica e circuitos de corrente contı́nua 56
3.1 Corrente e o movimento de cargas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.2 Densidade de corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.3 Resistência e lei de Ohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.4 Energia e potência em circuitos elétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.5 Trabalho, energia e Fem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.6 Combinação de resistores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.6.1 Resistores em série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.6.2 Resistores em paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.7 Leis de Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.7.1 Circuitos de malhas simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.7.2 Circuitos de múltiplas malhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.8 Circuitos RC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.8.1 Descarregando um capacitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.8.2 Carregando um capacitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.8.3 Conservação de energia durante a carga de um capacitor . . . . . 97
3
Parte I
Potencial elétrico
1 Potencial elétrico
Neste capı́tulo estabeleceremos a relação entre o campo elétrico e o potencial elétrico,
e calcularemos o potencial elétrico para algumas distribuições contı́nuas de carga.
• Como o potencial elétrico é um campo escalar, em muitas circunstâncias é mais
fácil calculá-lo do que o campo elétrico (um vetor). Ademais, representa um pode-
roso auxı́lio conceitual e computacional.
Os conceitos de energia potencial elétrica e potencial elétrico serão ferramentas essenciais
na análise de circuitos elétricos (capacitância e resistência), que será desenvolvido nos
capı́tulos a seguir.
1.1 Energia potencial eletrostática
Podemos introduzir o conceito de energia potencial eletrostática da mesma forma que
discutimos a energia potencial gravitacional, ao movimentarmos uma partı́cula massiva
sob efeito de um campo gravitacional externo.
Da mesma forma, podemos definir a diferença de energia potencial elétrica de uma
carga teste q0 quando ela se move de um ponto inicial i para um ponto final f num campo
elétrico
• Desloquemos uma carga teste de um ponto para outro num campo elétrico. A
diferença de energia potencial elétrica da carga teste entre esses pontos é o negativo
do trabalho realizado pela força eletrostática, através do campo elétrico, sobre esta
carga, durante seu movimento
∆U =U f −Ui =−Wi f (1.1)
Como a força eletrostática realiza trabalho sobre a carga, por meio do campo elétrico,
costuma-se dizer que o campo realiza trabalho sobre a carga.
4
A diferença de energia potencial elétrica da carga teste entre dois pontos é indepen-
dente da trajetória seguida entre esses pontos. Isto é, a força eletrostática, assim como a
gravitacional, é uma força conservativa.
Definiremos o potencial elétrico de tal forma que ele dependa apenas da carga fonte,
e não da carga teste q0; sendo assim uma caracterı́stica exclusiva do campo elétrico em
estudo.
De fato, define-se o potencial elétrico como a energia potencial por unidade de carga.
Disto segue a definição de que a diferença de potencial entre dois pontos quaisquer (num
campo elétrico) é
∆V =V f −Vi =
∆U
q0
=−
Wi f
q0
(1.2)
Agora, a partir do conhecimento do vetor campo elétrico em todos os pontos ao longo da
trajetória ligando os pontos, podemos calcular a diferença de potencial entre dois pontos
quaisquer num campo elétrico.
Para isto, determinamos primeiramente o diferencial de trabalho realizado pelo campo
5
sobre uma carga teste, quando ela sofre um deslocamento d~̀:
dW = ~F .d~̀= q0~E.d~̀ (1.3)
disto segue que a diferença de potencial pode ser escrita como
dV =
dU
q0
=−dW
q0
=−~E.d~̀ (1.4)
e para um deslocamento finito entre dois pontos, a diferença de potencial é
V f −Vi =−
Wi f
q0
=−
∫ f
i
~E.d~̀ (1.5)
A função V é denominada potencial elétrico; ademais, ele é frequentemente referido
como o potencial.
• Assim como o campo elétrico, o potencial V é uma função da posição.
• Diferentemente do campo elétrico, V é uma função escalar, enquanto ~E é uma
função vetorial.
6
• Assim como a energia potencial U , apenas diferenças no potencial V têm signifi-
cado fı́sico.
Somos livres para escolher o potencial como zero em qualquer ponto conveniente; es-
colhemos então o potencial elétrico e a energia potencial de uma carga teste como zero
num ponto arbitrariamente distante (ra→ ∞), assim Va = Ua = 0. Sob esta condição,
escrevemos
V =
U
q0
=−
W∞ f
q0
(1.6)
Como o potencial elétrico é a energia potencial por unidade de carga, a unidade para o
potencial e para a diferença de potencial no SI é o joule por coulomb, denominada volt
1V = 1J/C (1.7)
A diferença de potencial entre dois pontos é comumente chamada de voltagem entre os
dois pontos.
Das equações acima, vemos que as dimensões do potencial também são aquelas para
o produto do campo elétrico pela distância. Portanto, a unidade do campo elétrico é igual
a um volt por metro
1N/C = 1J/m (1.8)
Na fı́sica atômica e nuclear, frequentemente temos partı́culas que têm cargas de magni-
tude e, tais como elétrons e prótons, movendo-se atravésde ddps de vários milhares ou
milhões de volts. Como energia tem dimensões de carga elétrica multiplicada por poten-
cial elétrico, uma unidade de energia é definida como o produto da unidade fundamental
de carga e e um volt. Esta unidade particularmente útil é denominada elétron-volt (eV).
Esta unidade é uma unidade conveniente para processos atômicos e moleculares
1eV = 1,60×10−19C.V = 1,60×10−19J
1.1.1 Potencial e campos elétricos
Se colocarmos uma carga positiva q0 em um campo elétrico ~E e a soltarmos, ela será
acelerada na direção e sentido deste campo. Como a energia cinética da carga aumenta,
sua energia potencial diminui. A carga, portanto, é acelerada em direção à região onde
sua energia potencial elétrica é menor.
7
Ademais, a energia potencial U é relacionada ao potencial elétrico V por U = q0V ,
assim para uma carga teste positiva, a região onde a carga tem menor energia potencial é
também a região de menor potencial elétrico.
Resumindo, O campo elétrico ~E aponta na direção e sentido no qual o potencial V
diminui mais rapidamente.
Exemplo: Vamos calcular a diferença de potencial de uma partı́cula teste positiva em
movimento num campo elétrico uniforme entre dois pontos i e f que estão separados por
uma distância d.
a) Se o deslocamento da carga é paralela à direção do campo temos que o desloca-
mento diferencial d~̀ aponta no mesmo sentido do campo elétrico ~E, logo
V f −Vi =−
∫ f
i
~E.d~̀=−
∫ f
i
E (cos0)d`=−
∫ f
i
Ed` (1.9)
8
ademais, como o campo é uniforme, E é constante em todos os pontos da trajetória, assim
V f −Vi =−E
∫ f
i
d`=−Ed (1.10)
Este sinal negativo mostra que o potencial no ponto f é menor que o potencial no ponto i.
E isto é um resultado geral: o potencial sempre decresce ao longo de uma trajetória que
se estende na direção em que apontam as linhas do campo.
b) Consideremos agora a carga segue a trajetória ic f como mostra a figura. Qual é a
ddp experimentada pela carga?
Veja que em todos os pontos da linha ic o deslocamento diferencial d~̀ é perpendicular
ao campo elétrico ~E, enquanto na trajetória c f temos que eles fazem um ângulo de 45o,
desta forma
V f −Vi =−
∫ f
i
~E.d~̀=−
∫ c
i
~E.d~̀−
∫ f
c
~E.d~̀ (1.11)
=−
∫ f
i
E (cos90o)d`−
∫ f
i
E (cos45o)d` (1.12)
=− E√
2
∫ f
i
d`=− E√
2
d′ (1.13)
todavia
sin45o =
d
d′
→ d′ = d
sin45o
=
√
2d
assim
V f −Vi =−
E√
2
d′ =−Ed (1.14)
Trata-se do mesmo resultado obtido no item a), como deve ser, pois como discutimos
anteriormente a diferença de potencial entre dois pontos não depende da trajetória que os
une. (força conservativa).
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1.2 Potencial devido a cargas puntiformes
O potencial elétrico em um ponto P a uma distância r de uma carga puntiforme q
localizada na origem pode ser calculado a partir de
VP−Vre f =−
∫ P
re f
~E.d~̀ (1.15)
Como discutimos anteriormente, escolhemos o ponto de referência tal que o potencial
seja nulo, i.e. Vre f = 0. Ademais, o campo elétrico devido à carga puntiforme é ~E =
kq
r2 r̂,
assim
VP−0 =−
∫ P
re f
~E.d~̀=−
∫ P
re f
kq
r2
(
r̂.d~̀
)
=−
∫ P
re f
kq
r2
dr (1.16)
sendo que dr = r̂.d~̀ é a varição na distância r associada ao deslocamento d~̀ na direção r̂.
Temos então
VP =−kq
∫ P
re f
1
r2
dr = kq
(
1
rp
− 1
rre f
)
(1.17)
Este é o potencial devido a uma carga puntiforme. Novamente, como temos a liberdade
de escolher a locação do ponto de referência, podemos escolhê-lo de tal forma a termos
uma forma algébrica mais simples para o potencial; e isto é condizente com o fato do
potencial também ser nulo, e um ponto que satisfaz estas condições é rre f →∞. Portanto,
denotamos por potencial de Coulomb a seguinte expressão
V =
kq
r
(1.18)
a carga nesta expressão pode ser positiva ou negativa, i.e. q = Q ou q =−Q.
Podemos ainda escrever a expressão para a energia potencial de uma carga puntiforme
q′ localizada a uma distância r da carga q como
U = q′V =
kqq′
r
(1.19)
Exemplo: Energia potencial de um átomo de hidrogênio a) Qual é o potencial elétrico
a uma distância r0 = 0,529×10−10m de um próton? b) Qual é a energia potencial elétrica
de um elétron e de um próton a esta separação?
10
Calculamos o potencial devido à carga no próton como
V =
kq
r
=
ke
r0
=
(
8,99×109Nm2/C2
)(
1,6×10−19C
)
0,529×10−10m
(1.20)
=
(8,99)(1,6)
0,529
Nm/C = 27,2Nm/C = 27,2V (1.21)
enquanto a energia potencial segue para q′ =−e, assim
U = q′V = (−e)(27,2V ) =−27,2eV
Veja a discussão no livro sobre energia de ionização (energia necessária para remover um
elétron de um átomo)!! Tipler páginas 76 e 77.
Por fim, podemos determinar o potencial lı́quido criado por um grupo de cargas pun-
tiformes num ponto qualquer com o auxı́lio do princı́pio da superposição. Encontramos
então para n cargas temos que o potencial lı́quido num ponto P qualquer devido a essas
cargas é
V =
n
∑
i=1
Vi =
n
∑
i=1
kqi
ri
(1.22)
aqui qi é o valor da i-ésima carga e ri é a distância radial desta carga ao ponto em questão.
Veja que a soma acima é algébrica e não vetorial como no caso do cálculo do campo
elétrico. Esta é uma vantagem importante, do ponto de vista de cálculos a favor do po-
tencial: é muito mais simples somar várias grandezas escalares do que várias grandezas
vetoriais, cujas direções e sentidos devem ser considerados.
Exemplo 1: Duas cargas puntiformes de +5,0nC estão no eixo x, uma na origem e a
outra em x = 8,0cm. Determine o potencial a) no ponto P1 = (4,0cm,0) e b) no ponto
P2 = (0,6,0cm).
a) Calculamos o potencial resultante no ponto P1 = (4,0cm,0) através de
V =
2
∑
i=1
Vi =
kq1
r1
+
kq2
r2
(1.23)
11
neste primeiro caso
r1 = r2 = 0,04m = r (1.24)
q1 = q2 =+5,0nC = q
portanto
V =
kq
r
+
kq
r
= 2
kq
r
= 2
(
8,99×109Nm2/C2
)(
5,0×10−9C
)
0,04m
= 2247V = 2,2kV (1.25)
Observe que neste ponto o campo elétrico resultante é zero (no ponto médio entre as
cargas), todavia o potencial não é.
b) Já no ponto P2 = (0,6,0cm), temos que
r2 =
√
82 +62cm = 10cm (1.26)
12
então
V =
kq
r1
+
kq
r2
=
(
8,99×109Nm2/C2
)(
5,0×10−9C
)
0,06m
+
(
8,99×109Nm2/C2
)(
5,0×10−9C
)
0,10m
= 749V +450V = 1,2kV (1.27)
Exemplo 2: Um dipolo elétrico consiste de uma carga puntiforme positiva +q no eixo x
em x =+`/2 e uma carga netativa −q também no eixo x no ponto x =−`/2. Determine
o potencial no eixo x num ponto P = x > `/2 em termos do momento de dipolo ~p = q`î.
A configuração do sistema é
O potencial resultante no ponto P = x é
V =
2
∑
i=1
Vi =
kq1
r1
+
kq2
r2
(1.28)
sendo que
r1 = x− `/2, r2 = x+ `/2 (1.29)
q1 =−q2 = q
portanto
V =
kq
r1
− kq
r2
= kq
(
1
x− `/2
− 1
x+ `/2
)
= kq
(
`
x2− `2/4
)
=
kp
x2− `2/4
(1.30)
13
Por fim, para pontos distantes, tal que x� `/2, encontramos
V =
kp
x2− `2/4
=
kp
x2
(
1− `24x2
) ≈ kp
x2
(1.31)
Um dipolo tem uma carga total nula e portanto esperamos que a grandes distâncias, o
potencial deve decrescer com o aumento da distância ao dipolo mais rapidamente que
para uma configuração de cargas em a carga lı́quida é não-nula, e isto de fato é verdade
pois aqui temos um decréscimo de 1/x2, enquanto para uma configuração com carga
lı́quida não-nula temos 1/x que decresce mais lentamente.
1.3 Superfı́cies equipotenciais
O local geométrico em que pontos possuem o mesmo potencial tem um nome especial,
e é chamado de superfı́cie equipotencial.
De maneira similar às linhas de campo, pode-se utilizar superfı́cies equipotenciais
para representar o campo elétrico numa certa região.
Ademais, o campo elétrico não realiza nenhum trabalho sobre uma carga quando ela
se move entre dois pontos sobre uma mesma superfı́cie equipotencial, como se conclui a
partir de V f −Vi =−
Wi f
q0
.
Por simetria, as superfı́cies equipotenciais para uma carga puntiforme ou uma distribuição
de carga esfericamente simétrica constituem uma famı́lia de esferas concêntricas.
A partir do exemplo anterior, vimos que para trajetóriasperpendiculares às linhas
de campo elétrico o potencial é zero (trajetória ic), i.e. o trabalho realizado é nulo. E
este é um resultado geral, pois superfı́cies equipotenciais são sempre perpendiculares às
linhas de campo elétrico. Assim, se o campo não fosse perpendicular a uma superfı́cie
equipotencial (trajetória c f ), ele realizaria trabalho sobre a carga e assim esta não seria de
fato uma superfı́cie equipotencial.
Desta forma, para assegurarmos um valor constante para o potencial e assim defi-
nir uma superı́cie equipotencial, é necessário que o campo elétrico seja perpendicular à
superfı́cie.
14
1.4 Cálculo do campo elétrico a partir do potencial
Até agora usamos o conhecimento sobre o campo elétrico para calcular o potencial
elétrico
dV =−~E.d~̀ (1.32)
Todavia, a situação pode ser vista de um ponto de vista oposto, e usarmos o conhecimento
da função potencial para calcular o campo elétrico.
Por simplicidade podemos considerar inicialmente o caso unidimensional em que o
potencial depende apenas de x; temos assim que
d~̀= dxî (1.33)
e encontramos
dV =−~E.d~̀=−
(
~E.î
)
dx =−Exdx
então
Ex =−
dV (x)
dx
(1.34)
Podemos agora considerar um caso geral em que o deslocamento pode ser escrito como
d~̀= dxî+dy ĵ+dzk̂ (1.35)
e calcular o campo elétrico resultante. Todavia, a partir da discussão anterior, podemos
usar o fato de que um vetor que aponta na direção e sentido da variação máxima de uma
15
função escalar e que tem módulo igual à derivada desta função com relação à distância
naquela direção é denominado o gradiente da função.
Portanto, vemos que o campo elétrico é o negativo do gradiente do potencial V
~E =−~∇V (1.36)
ou em componentes cartesianas
~E =−~∇V =−
(
∂V
∂x
î+
∂V
∂y
ĵ+
∂V
∂ z
k̂
)
(1.37)
Isto é, a direção e o sentido do campo elétrico são os mesmos que a direção e o sentido da
máxima taxa de decréscimo da função potencial com relação à distância.
De maneira geral, podemos mostrar o resultado acima como
dV =−~E.d~̀=−(E cosθ)d`=−E`d`
sendo que E` = E cosθ é a componente do campo ~E ao longo do deslocamento d~̀, temos
assim
E` =−
∂V
∂`
(1.38)
Um caso de particular interesse é para uma distribuição esfericamente simétrica de carga
centrada na origem, um potencial pode então ser uma função apenas da coordenada radial
r. Neste caso um deslocamento na direção radial é escrito como d~̀ = drr̂. Lembre que
deslocamentos perpendiculares à direção radial não provocam variação em V (r). Por-
tanto, temos que
dV =−~E.d~̀=−
(
~E.r̂
)
dr =−Erdr
então
Er =−
dV (r)
dr
(1.39)
16
1.5 Cálculo do potencial para distribuições contı́nuas de carga
Quando uma distribuição de carga é contı́nua (por exemplo, uma barra ou disco car-
regado), escolhemos um elemento de carga dq, a fim de determinar o potencial dV em P.
Então, ao invés de termos uma somatória, temos então uma integral
dV =
n
∑
i=1
kdqi
ri
→V = lim
dq→0
∞
∑
i=1
kdqi
ri
=
∫ kdq
r
(1.40)
Esta resultado considera que V = 0 a uma distância infinita das cargas. Por isso, podemos
usar a fórmula acima apenas para distribuições de carga finitas, e não sendo válida por
exemplo para uma linhas infinita de cargas ou um plano infinito de cargas.
1.5.1 Potencial no eixo de um anel carregado
Consideremos um anel uniformemente carregado de raio a e carga Q no plano z = 0 e
centrado na origem.
Qual é o potencial elétrico num ponto no eixo do anel P = z > 0? Temos
V =
∫ kdq
r
17
a distância de um elemento de carga dq ao ponto P é r =
√
a2 + z2 (constante), assim
V =
∫ kdq
r
=
k
r
∫
dq =
kQ
r
=
kQ√
a2 + z2
(1.41)
Observe que, quando |z|� a, o potencial tende a mesma expressão que o potencial devido
a uma carga puntiforme Q na origem.
Calcule Ez =−dVdz e compare.
1.5.2 Potencial de uma linha de carga
Consideremos uma barra fina de plástico de comprimento ` e com uma densidade li-
near de carga uniforme λ . Qual é o potencial elétrico num ponto P= a> 0 (perpendicular
à barra, e encontra-se à esquerda da barra)?
Temos que o elemento de carga é dq = λdx, enquanto a distância deste elemento de
carga até o ponto P é r =
√
a2 + x2. Logo, escrevemos o potencial dV como
dV =
kdq
r
=
kλ√
a2 + x2
dx (1.42)
18
obtemos o potencial ao integrarmos
V =
∫ `
0
kλ√
a2 + x2
dx = kλ
∫ `
0
dx√
a2 + x2
(1.43)
podemos usar o resultado da integral∫ dx√
a2 + x2
= ln
(
x+
√
a2 + x2
)
e obter
V = kλ
(
ln
(
`+
√
a2 + `2
)
− ln
(√
a2
))
= kλ ln
[
`+
√
a2 + `2
a
]
(1.44)
1.5.3 Potencial e campo elétrico de um disco carregado
Vamos agora determinar o potencial no eixo de um disco de raio a que contém uma
carga total Q distribuı́da uniformemente em sua superfı́cie.
Consideremos que o eixo do disco é o eixo x e como anteriormente trataremos o disco
como um conjunto de anéis carregados.
O anel de raio r e espessura dr tem uma área infinitesimal 2πrdr. Desta forma temos
que o elemento de carga é dq = σdA = σ (2πr)dr em que σ = Q/πa2 é a densidade
superficial de carga.
19
O potencial no ponto P = x > 0 dvido à carga deste anel é dado por
dV =
kdq
r′
=
kσ (2πr)√
r2 + x2
dr (1.45)
agora, integrando a expressão acima, temos
V =
∫
dV =
∫ a
0
kσ (2πr)√
r2 + x2
dr = πkσ
∫ a
0
2rdr√
r2 + x2
= πkσ
∫ a2+x2
x2
du√
u
em que fizemos a mudança de variáveis u = r2 + x2, assim
V = πkσ
(
u
1
2
1
2
)
a2+x2
x2 = 2πkσ
(√
a2 + x2−
√
x2
)
= 2πkσ |x|
(√
1+
a2
x2
−1
)
(1.46)
Observe que, quando |x|� a, o potencial tende a mesma expressão que o potencial devido
a uma carga puntiforme Q na origem.
Podemos ainda calcular o campo elétrico através da diferenciação direta através de
Ex = −dV/dx, e as outras componentes são nulas devido a simetria da distribuição de
carga Ey = Ez = 0. Assim
Ex =−
dV
dx
=− d
dx
(
2πkσ
(√
a2 + x2−|x|
))
=−2πkσ
(
d
dx
√
a2 + x2− d |x|
dx
)
=−2πkσ
(
1
2
√
a2 + x2
2x− sign(x)
)
= 2πkσsign(x)
1− 1√
1+ a
2
x2
 (1.47)
onde usarmos sign(x) = x/ |x|. Este resultado reproduz exatamente a expressão calculada
anteriormente para Ex.
20
1.5.4 Potencial devido a um plano infinito de cargas
A priori se considerarmos a muito grande, nosso disco uniforme carregado se apro-
ximará de um plano infinito. Todavia, não podemos utilizar a expressão calculada acima
para o disco, pois uma das condições utilizadas no cálculo foi de que V = 0 no infinito, e
dessa forma terı́amos uma contradição.
Para distribuições de carga com dimensões infinitas, não podemos escolher V = 0 em
um ponto a uma distância infinita das cargas. Em vez disso, primeiro determinamos o
campo elétrico ~E, e então calculamos o potencial V a partir de dV =−~E.d~̀.
No caso particular de um plano infinito de car uniforme com densidade σ no plano
x = 0, o campo elétrico na região x > 0 é
~E =
σ
2ε0
î = 2πkσ î (1.48)
Para um deslocamento arbitrário d~̀= dxî+dy ĵ+dzk̂, temos então que
dV =−~E.d~̀=−
(
2πkσ î
)
.
(
dxî+dy ĵ+dzk̂
)
=−2πkσdx
integrando ambos lados, temos
V =−2πkσx+V0 (1.49)
Por outro lado, o campo elétrico na região x < 0 é ~E =−2πkσ î, temos assim
V = 2πkσx+V0 =−2πkσ |x|+V0 (1.50)
Portanto, para valores positivos e negativos de x, o potencial pode ser escrito como
V =−2πkσ |x|+V0 (1.51)
i.e. V =V0 quando x = 0.
21
1.5.5 Potencial de uma casca esférica
Vamos determinar o potencial devido a uma fina casca esférica que tem raio R e carga
Q uniformemente distribuı́da na sua superfı́cie.
Como o campo elétrico para esta distribuição de carga é facilmente obtido pela lei de
Gauss,
E =
kQr2 , r ≥ R0, r ≤ R (1.52)
vamos calcular o potencial a partir do campo elétrico conhecido a partir de dV =−~E.d~̀.
Do lado de fora da casca esférica, o campo elétrico é o mesmo que se carga a Q fosse
puntiforme e estivesse na origem
~E =
kQ
r2
r̂ (1.53)
assim
dV =−~E.d~̀=−
(
kQ
r2
r̂
)
.d~̀=−kQ
r2
dr (1.54)
em que dr = r̂.d~̀ é a componente de d~̀ na direção radial. Da mesma formaque fizemos
no cálculo do potencial para uma carga puntiforme, tomamos o ponto de referência como
rre f = ∞ (potencial zero no infinito), assim a integração segue
V =
∫
dV =−
∫ rp
∞
kQ
r2
dr =
kQ
rp
(1.55)
em que P é um ponto arbitrário na região rp ≥ R.
Dentro da casca esférica, o campo elétrico é igual a zero em todos os pontos. Inte-
grando novamente do ponto de referência ao infinito, sendo que rp ≤ R, assim
V =
∫
dV =−
∫ rp
∞
~E.d~̀=−
∫ R
∞
kQ
r2
dr−
∫ rp
R
(0)dr =
kQ
R
(1.56)
Vemos assim que o potencial em todos os pontos dentro da casca é constante com valor
22
kQ/R. Portanto, por conveniência escrevemos rp = r, então
V =
kQr , r ≥ RkQ
R , r ≤ R
(1.57)
A superfı́cie de um condutor carregado em equilı́brio eletrostático é uma superfı́cie equi-
potencial.
Um erro comum é pensar que o potencial deveria ser zero no interior da casca esférica,
uma vez que o campo elétrico é zero naquela região.
23
1.5.6 Potencial de uma esfera carregada uniformemente
Utilizamos novamente o resultado do campo elétrico conhecido calculado anterior-
mente para determinar o potencial elétrico de uma esfera de raio R.
Fora da esfera, o campo elétrico é o mesmo que o de uma carga puntiforme. Assim, o
potencial segue para r ≥ R
V =
∫
dV =−
∫ rp
∞
kQ
r2
dr =
kQ
rp
(1.58)
agora, dentro da esfera, r ≤ R, temos que o campo elétrico é dado por
~E =
kQr
R3
r̂
temos assim que
V =
∫
dV =−
∫ rp
∞
~E.d~̀=−
∫ R
∞
kQ
r2
dr−
∫ rp
R
kQr
R3
dr (1.59)
=
kQ
R
− kQ
R3
1
2
(
r2p−R2
)
(1.60)
=
kQ
2R
(
3−
r2p
R2
)
(1.61)
Portanto
V =

kQ
r , r ≥ R
kQ
2R
(
3− r2R2
)
, r ≤ R
kQ
R , r = R
(1.62)
Note que em r = 0, o potencial é V0 = 3/2
kQ
R = 3/2Vs, e este resultado está condizente
com o fato do campo elétrico apontar no sentido que o potencial diminui.
Questão: Como ficariam as expressões para o potencial de uma esfera, se consideras-
semos o ponto de referência em que V = 0 em r = R?
24
1.5.7 Potencial de uma casca esférica oca
Uma casca esférica condutora, não carregada e oca, tem raio interno a e raio externo
b. Uma carga puntiforme positiva +q está localizada no centro da casca. a) Determine a
carga em cada uma das superfı́cies do condutor. b) Determine o potencial V em todas as
regiões, considerando V = 0 em r = ∞.
a) A fim de determinar as cargas nas superfı́cies deste condutor, é conveniente fazer
25
uso i) da lei de Gauss, ii) todo o excesso de carga em um condutor encontra-se em sua
superfı́cie, e iii) de que o campo elétrico dentro de um condutor é nulo.
Como a casca é neutra, temos que
Qa +Qb = 0→ Qa =−Qb (1.63)
Agora, ao considerarmos uma superfı́cie gaussiana no interior do material a ≤ r ≤ b,
temos a partir da lei de Gauss
Φ =
Q
ε0
=
∮
EndA→
Qa +q
ε0
=
∮
(En = 0)dA→ Qa =−q
ou seja, a presença de uma carga no centro da casca condutora induz uma carga −q na
superfı́cie de raio r = a, de tal forma a assegura que o campo elétrico resultante dentro do
material seja nulo (i.e. pela lei de Gauss que a carga lı́quida seja nula). Assim
Qa =−Qb =−q
b) O potencial em qualquer ponto é a soma dos potenciais devidos às cargas individuais
(princı́pio de superposição). Anteriormente calculamos que o potencial devido a uma
casca esférica é
V =
kQr , r ≥ RkQ
R , r ≤ R
(1.64)
Para pontos r≥ b, o potencial resultante é devido somente à carga (uma vez que o condu-
tor é neutro)
V =
kq
r
(1.65)
Agora, em pontos a≤ r ≤ b, temos
V =
kq
r
+
kQa
r
+
kQb
rb
=
kq
r
− kq
r
+
kq
b
=
kq
b
(1.66)
e por fim em pontos 0 < r ≤ a
V =
kq
r
+
kQa
ra
+
kQb
rb
=
kq
r
− kq
a
+
kq
b
(1.67)
26
Portanto
V =

kq
r , r ≥ b
kq
b , a≤ r ≤ b
kq
r −
kq
a +
kq
b , 0 < r ≤ a
(1.68)
Observe que o potencial V (r) é contı́nuo em todas as regiões, inclusive em r = a e r = b.
O campo elétrico todavia é descontı́nuo nas superfı́cies do condutor, o que se reflete na
descontinuidade da declividade de V (r) em r = a e r = b.
1.6 Energia potencial eletrostática
Suponhamos que exista uma carga puntiforme q1 no ponto 1. Para trazer uma segunda
carga puntiforme q2 do repouso no infinito para o repouso no ponto 2, a uma distância r12
27
do ponto 1, é necessário realizar o seguinte trabalho
W2 = q2V2 =
kq1q2
r12
(1.69)
em que V2 é o potencial no ponto 2 devido à presença da carga q1. Eliminamos o sinal
negativo anterior pois estamos interessados no trabalho que nós realizamos em trazer as
cargas do infinito, e não o trabalho realizado pelo campo elétrico. (trabalho negativo retira
energia do sistema, trabalho positiva adiciona energia ao sistema).
Agora, o potencial num outro ponto, ponto 3, a uma distância r13 de q1 e a uma
distância r23 de q2, é dado por
V3 =
kq1
r13
+
kq2
r23
(1.70)
e portanto para trazer uma carga puntiforme adicional q3 do repouso no infinito para o
repouso no ponto 3 é necessário realizar um trabalho adicional
W3 = q3V3 =
kq1q3
r13
+
kq2q3
r23
(1.71)
Concluı́mos desta forma que o trabalho total necessário para agrupar as três cargas é a
energia potencial eletrostática do sistema de três cargas puntiformes
Wtotal =U =
kq1q2
r12
+
kq1q3
r13
+
kq2q3
r23
Em geral, podemos enunciar
• A energia potencial eletrostática de um sistema de cargas puntiformes é o trabalho
necessário para trazê-las desde uma separação infinita até suas posições finais.
Podemos generalizar a expressão para energia potencial para um sistema de n cargas
puntiformes tal que
U =
1
2
n
∑
i=1
qiVi (1.72)
o fator numérico 1/2 é para retirarmos a contagem dupla, proveniente por exemplo do
potencial no ponto 2 devido a carga q1 com o potencial no ponto 1 devido à carga q2 que
28
contribuem com o mesmo trabalho/energia
U =
1
2
2
∑
i=1
qiVi =
1
2
(q1V1 +q2V2i) =
1
2
(
q1
kq2
r21
+q2
kq1
r12
)
=
kq1q2
r12
Parte II
Capacitância
2 Capacitores
Nos capı́tulos anteriores discutimos a relação entre campos elétricos e cargas e como a
relação entre as cargas se traduz em energia potencial elétrica. Mostraremos agora usando
o conceito de capacitância, que a energia potencial pode ser armazenada e liberada e a
consequência em circuitos eletrônicos.
Encontramos capacitores (dispositivos que armazenam energia potencial elétrica) numa
grande variedade de circuitos elétricos (basicamente em todos dispositivos eletrônicos,
e.g. flash de máquinas fotográficas).
Um capacitor consiste de dois condutores (de formato arbitrário/placas) separados por
um isolante (dielétrico).
Quando carregado por uma bateria, as placas de um capacitor adquirem cargas iguais,
mas de sinais opostos (a carga lı́quida é zero).
Uma vez que as placas são condutoras, elas constituem superfı́cies equipotenciais:
todos os pontos sobre uma placa têm o mesmo potencial elétrico.
2.1 Capacitância
O potencial V de um condutor isolado devido à sua carga Q é proporcional a Q e de-
pende do tamanho e da forma do condutor. Tipicamente, quanto maior é a área superficial
de um condutor, mais carga ele pode armazenar para um dado potencial.
Por exemplo, se o potencial é escolhido como zero no infinito, o potencial de um
29
condutor esférico de raio R e carga Q é
V =
kQ
R
A razão Q/V da carga em relação ao potencial de um condutor isolado é denominada
autocapacitância C. Um capacitor é um dispositivo que consiste em dois condutores,
um com carga Q e o outro com carga −Q.
Assim, definimos a capacitância de um capacitor como a razão da carga Q pela
diferença de potencial ∆V entre dois condutores
C =
Q
∆V
(2.1)
Capacitância é uma medida da capacidade de armazenar carga para uma dada diferença
de potencial.
A capacitância de um condutor esférico é
C =
Q
V
=
Q
kQ
R
=
R
k
= 4πε0R (2.2)
De fato, o resultando que a capacitância não depende da carga Q ou potencial V não é
exclusivo para um condutor esféricos, mas de fato uma conclusão geral para qualquer
geometria das placas, pois a capacitância depende somente do tamanho,forma das placas
e da posição relativa entre os condutores.
A unidade de capacitência no SI é coulomb por volt, que é chamado de farad (F)
1F = 1C/V (2.3)
2.1.1 Capacitores
O processo de carga de um capacitor geralmente envolve a transferência de carga Q
de um condutor para o outro, deixando um deles com uma carga +Q e o outro com carga
−Q.
Para calcular a capacitância, colocamos cargas iguais com sinais opostos nos condu-
tores e, então, encontramos a diferença de potencial ∆V primeiro calculando o campo
elétrico ~E devido às cargas e, depois, calculando a ddp a partir do campo.
30
2.1.2 Capacitor de placas paralelas
Um capacitor comum é o capacitor de placas paralelas, que utiliza duas placas
condutores paralelas. Na prática, as placas são geralmente final folhas metálicas sepa-
radas e isoladas uma da outra por um fino filme plástico (dielétrico).
• Seja A a área da superfı́cie da placa e d a distância de separação, que é muito
pequena comparada ao comprimento e à largura das placas.
• Colocamos uma carga +Q em uma das placas e−Q na outra. Estas cargas se atraem
e se distribuem uniformemente nas superfı́cies internas das placas.
• Como as placas estão muito próximas, o campo elétrico entre elas é uniforme e
pode ser calculado pela lei de gauss (ao traçarmos uma superfı́cie gaussiana na
placa +Q), e tem módulo E = σ/ε0.
Como o campo é uniforme entre as placas, a diferença de potencial entre elas é igual
à magnitude do campo elétrico E multiplicada pela separação entre as placas d
∆V = Ed =
σd
ε0
=
Qd
Aε0
→C = Q
∆V
=
Aε0
d
(2.4)
e assim obtemos a capacitância de um capacitor de placas paralelas.
• Para um capacitor de placas paralelas, a capacitância é proporcional à área das
placas e é inversamente proporcional ao espaçamento.
• Em geral, a capacitância não depende de Q nem de ∆V , mas sim depende do tama-
nho, da forma e do arranjo geométrico dos condutores. Como veremos a seguir, ela
também depende das propriedades do meio isolante entre os condutores.
31
2.1.3 Capacitores cilı́ndricos
Um capacitor cilı́ndrico consiste em um longo cilindro condutor de raio R1 e uma
casca cilı́ndrica condutora, concêntrico, de raio R2. Os cilindros têm o mesmo compri-
mento L.
• Um cabo coaxial, como os utilizados em televisão a cabo, pode ser pensado como
um capacitor cilı́ndrico. A capacitância por unidade de comprimento de um cabo
coaxial é importante para determinar as caracterı́sticas de transmissão do cabo.
Um cabo coaxial é um longo capacitor cilı́ndrico que tem um fio sólido como condu-
tor interno e uma blindagem de fio trançado como condutor externo. A blindagem de fio
trançado bloqueia o condutor interno dos campos elétricos do ambiente, pois este condu-
tor conduz informações de interesse (sinais de audio e vı́deo). E como veremos a seguir
os dielétricos aumentam a capacitância de um capacitor.
Vamos determinar agora a expressão para a capacitância para o sistema de cilindros
descrito acima. Colocamos uma carga +Q no condutor interno e uma carga −Q no ex-
terno, e assim calcularemos o campo elétrico a partir da lei de Gauss para em seguida
determinar a ddp.
Consideremos uma superfı́cie gaussiana cilı́ndrica de raio R e comprimento `, sendo
que R1 < R < R2 e `� L. Desta forma, temos pela lei de Gauss
Φ =
∮
~E.n̂dA =
Qint
ε0
(2.5)
32
sendo que a integral de superfı́cie pode ser decomposta em outras três, nas duas bases e
ao longo do comprimento do cilindro,∮
~E.n̂dA =
∫
b1
~E.n̂dA+
∫
comp
~E.n̂dA+
∫
b2
~E.n̂dA
= 0+
∫
comp
ERdA+0
= ER
∫
comp
dA = ER (2πR`) (2.6)
temos dessa forma que
ER (2πR`) =
Qint
ε0
→ ER =
1
2πε0
Qint
R`
(2.7)
todavia, considerando que a densidade linear de carga é uniforme, temos que
λ =
Q
L
=
Qint
`
desta forma podemos resolver o campo elétrico em termos da carga total
ER =
1
2πε0
Q
RL
(2.8)
33
Por fim, podemos determinar a ddp a partir da integral
∆V =
∫ VR2
VR1
dV =−
∫ R2
R1
ERdR =−
∫ R2
R1
(
1
2πε0
Q
RL
)
dR
=− 1
2πε0
Q
L
∫ R2
R1
q
R
dR
=− 1
2πε0
Q
L
ln
(
R2
R1
)
e
∆V = |VR2−VR1|=
1
2πε0
Q
L
ln
(
R2
R1
)
(2.9)
Portanto, determinamos a capacitância como
C =
Q
∆V
=
2πε0L
ln
(
R2
R1
) (2.10)
2.2 Armazenamento de energia elétrica
Quando um capacitor está sendo carregado, elétrons (ou cargas positivas) são trans-
feridos do condutor positivamente (negativamente) carregado para o condutor negativa-
mente (positivamente) carregado. De qualquer forma, deve ser realizado trabalho para
carregar o capacitor e, pelo menos parte deste trabalho, é armazenado como energia po-
tencial eletrostática.
Consideremos dois condutores descarregados posicionados a dada separação. Seja q
a carga positiva que foi transferida durante os estágios iniciais do processo de carga (e.g.
bateria).
Mas se agora uma incremento de carga positiva dq seja transferido do condutor nega-
tivo para o positivo através de um aumento de potencial, temos uma quantidade adicional
de trabalho
dW = dU =V dq =
q
C
dq (2.11)
O aumento total na energia potencial é a integral de dU quando q aumento desde zero
até seu valor final Q
U =
∫
dU =
∫ Q
0
q
C
dq =
Q2
2C
(2.12)
34
Esta energia potencial é a energia armazenada no capacitor. Alternativamente, podemos
expressá-la em termos Q, C e V
U =
1
2
Q2
C
=
1
2
QV =
1
2
CV 2 (2.13)
Exemplo: Um capacitor de placas paralelas com placas quadradas, cada uma com lado
de 14cm, separadas por 2,0mm, é conectado a uma bateria e carregado com 12V . a) Qual
é a carga no capacitor? b) Quanta energia é armazenada no capacitor? b A bateria é,
então, desconectada do capacitor e as placas são afastadas até que a separação entre elas
aumente para 3,5mm. Qual é a variação da energia armazenada quando a separação entre
as placas aumenta de 2,0mm para 3,5mm?
a) Podemos calcular a carga no capacitor a partir da capacitância
Q =CV
sendo que no caso de um capacitor de placas paralelas a capacitância é dada por C =
ε0A/d, logo
Q =C0V0 =
ε0AV0
d0
=
(
8,85×10−12C2/N.m2
)(
14×10−2m
)2
(12V )
(2×10−3m)
= 10,4×103×10−13C
= 1,04nC (2.14)
35
b) A energia armazenada nas placas do capacitor é
U0 =
1
2
QV0 =
1
2
(1,04nC)(12V ) = 6,2nJ (2.15)
c) como queremos a variação da energia, calculamos
∆U =U−U0 =
1
2
QV − 1
2
QV0 =
1
2
Q(V −V0) (2.16)
Logo a variação na energia é proporcional à variação na tensão. Todavia, lembremos que
na superfı́cie do condutor, E = σ/ε0; ademais, mas como σ é constante antes e depois
do capacitor ser desconectado da bateria, o campo elétrico permanece constante, portanto
E = E0, o que implica em
E = E0→
V
d
=
V0
d0
→V = d
d0
V0 (2.17)
Desta forma encontramos então
∆U =
1
2
Q(V −V0) =
1
2
Q
(
d0
d
V0−V0
)
=
(
d
d0
−1
)(
1
2
QV0
)
(2.18)
=
(
d0
d
−1
)
U0 =
(
(3,5mm)
(2mm)
−1
)
(6,2nJ) (2.19)
= 4,7nJ (2.20)
Um aumento na energia potencial provocado por um aumento na separação entre as cargas
é esperado. Isto é verificado pela necessidade de se realizar trabalho para separar as placas
que possuem sinais opostos e se atraem mutuamente. Este trabalho realizado nas placas
resulta em um aumento na energia potencial do sistema.
Um exemplo prático da variação da capacitância são as teclas de um teclado de com-
putador. Uma placa metálica é presa a cada uma das teclas e atua como a placa superior
de um capacitor (e a inferior também é fixa). Ao pressionarmos alguma tecla, diminuı́mos
a separação entre as placas superior e inferior, o que dispara o circuito eletrônico do com-
putador para reconhecimento da tecla.
36
2.2.1 Energia do campo eletrostático
Durante o processo de carga de um capacitor, um campo elétrico é produzido entre as
placas.
• Portanto, por um segundo ponto de vista, o trabalho necessário para carregar o
capacitor pode ser entendido como o trabalho necessário para estabelecer o campo
elétrico.
• Isto é, podemos pensar na energia armazenada no capacitor como sendo a energia
armazenada nocampo elétrico, denominada energia do campo eletrostático.
Por exemplo, consideremos um capacitor de placas paralelas; podemos relacionar a ener-
gia armazenada no capacitor à intensidade do campo elétrico entre as placas. A ddp entre
as placas é V = Ed, enqando a capacitância é dada por C = ε0A/d, logo a energia arma-
zenada é escrita
U =
1
2
CV 2 =
1
2
(
ε0A
d
)
(Ed)2 =
1
2
ε0E2 (Ad) (2.21)
a quantidade Ad é o volume do espaço entre as placas do capacitor (e consequentemente
é o volume da região que contém o campo elétrico). Podemos então introduzir uma den-
sidade de energia em um campo elétrico como
ue =
energia
volume
=
1
2
ε0E2 (2.22)
• Apesar do resultado acima ter sido obtido num caso especial de um campo elétrico
entre as placas de um capacitor de placas paralelas, de fato ele tem natureza geral e
se aplica a qualquer campo elétrico. Portanto, a energia por unidade de volume do
campo eletrostático é proporcional ao quadrado da magnitude do campo elétrico.
2.3 Capacitores, bateria e circuitos
A diferença de potencial entre os dois terminais de uma bateria é chamada de tensão.
• Os terminais de uma bateria são conectados a condutores diferentes chamados de
eletrodos, e, no interior da bateria, os eletrodos estão separados por uma lı́quido
condutor ou por uma pasta chamada de eletrólito.
37
• Devido às reações quı́micas na bateria, ocorre transferência de carga de um eletro-
dos para o outro.
• Isto deixa um dos eletrodos da bateria (anodo) positivamente carregado, enquanto
o outro eletrodo (catodo), negativamente carregado; esta separação de carga é man-
tida por reações quı́micas no interior da bateria.
• Quando as placas de um capacitor descarregado são conectadas aos terminais da
bateria, o eletrodo negativo compartilha sua carga negativa com a placa conectada
a ele e o terminal positivo da bateria compartilha sua carga positiva com a placa
conectada a ele.
• Este compartilhamento de carga momentaneamente reduz a quantidade de carga em
cada um dos eletrodos da bateria e, portanto, diminui a diferença de potencial entre
eles.
• Esta diminuição na tensão dispara as reações quı́micas no interior da bateria e
ocorre transferência de carga de um eletrodo para o outro em um esforço para recu-
perar o nı́vel inicial da tensão, que é chamada de tensão de circuito aberto.
• Estas reações quı́micas cessam quando a bateria transferiu suficiente carga de uma
das placas do capacitor para a outra, a ponto de aumentar a ddp entre elas até o
valor da tensão de circuito aberto da bateria.
Basicamente, o que precisamos saber sobre baterias é que são um dispositivo que
armazenam energia, fornecem energia elétrica e bombeiam carga em um esforço para
recuperar a ddp entre seus terminais até atingir o valor da tensão de circuito aberto.
38
Usamos diagramas de circuitos como uma representação pictórica simbolizada do cir-
cuito real. Temos que o sı́mbolo que representa um capacitor, uma bateria (linha mais
longa é o terminal positivo, enquanto a linha menor é o terminal negativo) e uma chave
são
Quando existe uma combinação de capacitores num circuito, podemos, algumas ve-
zes, substituı́-la por um capacitor equivalente, i.e. um único capacitor que tenha a mesma
capacitância que a combinação real dos capacitores. Existem dois tipos de associações de
39
capacitores:
• Associação em paralelo;
• Associação em série.
2.3.1 Associação de capacitores em paralelo
• Dizemos que capacitores combinados estão ligados em paralelo quando uma
ddp aplicada através da combinação resulta na mesma ddp através de cada
capacitor.
• Vemos isto ao perceber que as duas placas dos dois capacitores conectados a um
fio condutor e, portanto, em um potencial comum, e as placas inferiores também
conectadas entre e em um potencial comum.
• A carga é dividida nas placas.
A carga total armazenada nos capacitores é
Q = Q1 +Q2 (2.23)
40
Se as capacitância são C1 e C2, temos que as seguintes cargas são armazenadasQ1 =C1∆VQ2 =C2∆V (2.24)
Dizemos então que uma capacitância equivalente é aquela que a mesma carga Q flui
através da bateria enquando este capacitor é carregado. Assim, a capacitância equivalente
de dois capacitores em paralelo é
Ceq =
Q
∆V
=
Q1 +Q2
∆V
=
C1∆V +C2∆V
∆V
=C1 +C2 (2.25)
Portanto, para dois capacitores associados em paralelo, Ceq é a soma das capacitânciais
individuais. O mesmo raciocı́nio pode ser estendido a três ou mais capacitores conectados
em paralelo
Ceq =C1 +C2 + ...+Cn =
n
∑
i=i
Ci (2.26)
• A capacitância equivalente de uma combinação em paralelo de capacitores é a soma
algébrica das capacitâncias individuais e é maior do que qualquer uma delas.
2.3.2 Associação de capacitores em série
• Dizemos que capacitores combinados estão ligados em série, quando uma ddp apli-
cada através da combinação é a soma das ddp através de cada capacitor;
• Mas a carga em cada um deles é a mesma.
A diferença de potencial para a combinação em série é
∆V = ∆V1 +∆V2 = Q
(
1
C1
+
1
C2
)
sendo Q a carga que passa pela bateria durante o processo de carga. Assim, a capacitância
equivalente de dois capacitores em série é
Ceq =
Q
∆V
=
1
1
C1
+ 1C2
→ 1
Ceq
=
1
C1
+
1
C2
(2.27)
41
O mesmo raciocı́nio pode ser estendido a três ou mais capacitores conectados em série
1
Ceq
=
1
C1
+
1
C2
+ ...+
1
Cn
=
n
∑
i=i
1
Ci
(2.28)
• A capacitância equivalente de uma combinação em série de capacitores é a soma
dos inversos das capacitâncias individuais e é sempre inferior à menor delas.
É importante notar, todavia, que as variações no potencial em qualquer circuito fechado
são sempre nulas. Somar as variações no potencial ao longo de um circuito fechado e
igualar a soma a zero é um procedimento muito útil para a análise de circuitos elétricos.
Conhecida como lei das malhas de Kirchhoff, ela é uma consequência do fato que a ddp
entre quaisquer dois pontos não depende da trajetória desde um ponto até o outro.
• A soma das variações no potencial em qualquer trajetória fechada é sempre igual a
zero. Lei das malhas de Kirchhoff.
42
Exemplo 24-5: dois capacitores em série, com capacitância C1 = 12µF e C2 = 6µF ,
são ligados a uma bateria de 12V , podemos mostrar que a carga acumulada em cada um
capacitores é de Q = 48µC, logo a ddp no capacitor 1 é V1 = 8V enquanto no capacitor 2
é V2 = 4V . Logo a soma das variações no potencial somam zero.
Uma outra caracterı́stica de circuitos é a junção que é um ponto em um fio onde ele
se divide em dois ou mais fios. E podemos utilizar o conceito de junção para concluir
que dois capacitores estão conectados em série se a placa de um deles estiver conectada à
placa do segundo por um fio que não contém nenhuma juntção.
Exemplo 24-7: Considere os capacitores mostrados na figura abaixo. Identifique todas
as combinações de capacitores em paralelo e em série.
Os capacitores 4 e 7 estão associados em paralelo (a mesma ddp nas duas placas),
enquanto os capacitores 8 e 9 estão associados em série (nenhuma junção no fio conector).
Exemplo 2: Determine a capacitância equivalente para a seguinte associação de capa-
citores.
Consideremos primeiramente a associação em paralelo, como destacado na figura a):C
(1)
eq =C
(1)
1 +C
(1)
2 = 1µF +3µF = 4µF
C(2)eq =C
(2)
1 +C
(2)
2 = 6µF +2µF = 8µF
(2.29)
43
em seguida, consideremos a associação em série, como destacado na figura b):
1
C(3)eq
= 1
C(3)1
+ 1
C(3)2
= 14µF +
1
4µF =
1
2µF →C
(3)
eq = 2µF
1
C(4)eq
= 1
C(4)1
+ 1
C(4)2
= 18µF +
1
8µF =
1
4µF →C
(3)
eq = 4µF
(2.30)
por fim, consideremos a associação em paralelo, como destacado na figura c):{
C(5)eq =C
(5)
1 +C
(5)
2 = 2µF +4µF = 6µF (2.31)
Exemplo 3: Considere três capacitores com capacitâncias C1 = 3µF , C2 = 6µF e C3 =
12µF . Calcule a capacitância equivalente quando elas estão associadas a) em paralelo, e
b)em série.
a) O cálculo para a associação em paralelo segue
C(1)eq =C
(1)
1 +C
(1)
2 +C
(1)
3 = 3µF +6µF +12µF = 21µF (2.32)
b) Enquanto o cálculo para a associação em série segue
1
C(2)eq
=
1
C(2)1
+
1
C(2)2
+
1
C(2)3
=
1
3µF
+
1
6µF
+
1
12µF
=
7
12µF
→C(2)eq =
12
7
µF ≈ 1,7µF
(2.33)
Exemplo 4: Dois capacitores com capacitância C1 e C2 (C1 > C2) estão carregados à
mesma diferença de potencial ∆Vi, mas com polarização oposta. Os capacitores carre-
44
gados são separados da bateria e suas placas são conectadas como mostra a figura. As
chaves S1 e S2 são, então, fechadas e há uma nova redistribuição das cargas entre os pon-
tos a e b. Determine a energia armazenada nos capacitores antes e depois das chaves
serem fechadas, e a razão entre a energia final e inicial.
Das três formas que a energia armazenada em capacitores
U =
1
2
Q2
C
=
1
2
QV =
1
2
CV 2 (2.34)
a fórmula mais conveniente para expressar a energia dos capacitores antes e depois das
chaves serem fechadas é Ui = 12
Q(i)21
C1
+ 12
Q(i)22
C2
U f = 12
Q( f )21
C1
+ 12
Q( f )22
C2
(2.35)
A fim de calcular cada uma dessas energias, é conveniente notar que inicialmente, a carga
total dos capacitores é (bateria e associação em paralelo)
Q = Q(i)1 +Q
(i)
2 (2.36)
sendo que, dado que as placas têm polaridade oposta, e escolhendo as placas do lado
esquerdo como referência, temos queQ
(i)
1 =C1∆Vi
Q(i)2 =−C2∆Vi
(2.37)
45
Logo, a razão entre essas duas cargas é
Q(i)1
Q(i)2
=−C1∆Vi
C2∆Vi
→ Q(i)1 =−
C1
C2
Q(i)2 (2.38)
Assim, podemos reescrever cada uma dessas cargas em termos da carga total dos capaci-
toresQ = Q
(i)
1 +Q
(i)
2 =−
C1
C2
Q(i)2 +Q
(i)
2 =
(
1− C1C2
)
Q(i)2 → Q
(i)
2 =−
C2
C1−C2 Q
Q = Q(i)1 +Q
(i)
2 = Q
(i)
1 −
C2
C1
Q(i)1 =
(
1− C2C1
)
Q(i)1 → Q
(i)
1 =
C1
C1−C2 Q
(2.39)
Agora, após as chaves serem fechadas, temos queQ
( f )
1 =C1∆V f
Q( f )2 =C2∆V f
(2.40)
Mesmo após as chaves serem fechadas a carga total no sistema continua a mesma, há
somente uma redistribuição de cargas entre os capacitores, assim
Q = Q( f )1 +Q
( f )
2 (2.41)
e procedendo como anteriormente, encontramos que as cargas finais podem ser escritas
em termo da carga totalQ = Q
( f )
1 +Q
( f )
2 =
C1
C2
Q( f )2 +Q
( f )
2 =
(
1+ C1C2
)
Q( f )2 → Q
( f )
2 =
C2
C1+C2
Q
Q = Q( f )1 +Q
( f )
2 = Q
( f )
1 −
C2
C1
Q( f )1 =
(
1− C2C1
)
Q( f )1 → Q
( f )
1 =
C1
C1+C2
Q
(2.42)
Encontramos finalmenteUi =
1
2
Q(i)21
C1
+ 12
Q(i)22
C2
= 12
1
C1
(
C1
C1−C2 Q
)2
+ 12
1
C2
(
C2
C1−C2 Q
)2
U f = 12
Q( f )21
C1
+ 12
Q( f )22
C2
= 12
1
C1
(
C1
C1+C2
Q
)2
+ 12
1
C2
(
C2
C1+C2
Q
)2 (2.43)
46
e Ui =
1
2
C1Q2
(C1−C2)2
+ 12
C2Q2
(C1−C2)2
= 12
(C1+C2)Q2
(C1−C2)2
U f = 12
C1Q2
(C1+C2)
2 +
1
2
C2Q2
(C1+C2)
2 =
1
2
Q2
(C1+C2)
(2.44)
Logo a razão entre a energia final e inicial é
U f
Ui
=
1
2
Q2
(C1+C2)
1
2
(C1+C2)Q2
(C1−C2)2
=
1
(C1 +C2)
(C1−C2)2
(C1 +C2)
=
(
C1−C2
C1 +C2
)2
< 1 (2.45)
Esta razão é menor que a unidade, o que indica que a energia final é menor do que a
energia inicial. A priori, podemos pensar que a lei da conservação da energia é violada,
mas a energia “perdida” é radiada na forma de ondas eletromagnéticas, como veremos
adiante.
2.4 Dielétricos
Um material isolante (não-condutor, e.g. ar, vidro, papel, etc) é chamado de dielétrico.
• Quando o espaço entre os dois condutores de um capacitor é ocupado por um
dielétrico, a capacitância aumenta por um fator que é caracterı́stico do dielétrico,
um fato descoberto experimentalmente por M. Faraday.
• A razão para este aumento é que o campo elétrico entre as placas de um capacitor
diminui na presença do dielétrico.
• Assim, pra uma dada carga nas placas (capacitor carregado e em seguida desligado
da bateria antes da inserção do dielétrico), a diferença de potencial ∆V é reduzida e
a capacitância aumenta.
Isto também pode ser visto através da medida da ddp através de um multı́metro nas
situações antes e depois da inserção do dielétrico.
Formalizando a discussão acima. Consideremos novamente um capacitor carregado,
isolado (desligado da bateria), sem um dielétrico entre suas placas. Uma lâmica dielétrica
é, então, inserida entre as placas, preenchendo completamente o espaço entre elas.
47
Se a intensidade do campo elétrico era E0 antes de inserirmos o dielétrico, depois da
inserção a intensidade do campo é
E =
E0
κ
(2.46)
em que κ é o fator de aumento da capacitância pela inserção de um dielétrico (dependente
do material), chamada de constante dielétrica. Para um capacitor de placas paralelas com
uma separação d, a ddp entre as placas é
∆V = Ed =
E0
κ
d =
∆V0
κ
(2.47)
Finalmente, a nova capacitância é então
C =
Q
∆V
=
Q
∆V0
κ
= κ
Q
∆V0
→C = κC0 (2.48)
• Todo material dielétrico possui uma rigidez dielétrica caracterı́stica, que é a inten-
sidade máxima do campo elétrico que ele pode suportar sem sofrer ruptura (e.g.a
rigidez dielétrico do ar é 3× 106V/m, em que ele torna-se ionizado e começa a
conduzir).
• Existe uma ddp máxima (que se excedido o material romperá, originando um cami-
nho condutor entre as placas).
48
Por fim, no caso de capacitores de placas paralelas preenchido com um dielétrico de
constanta κ temos que sua capacitância é
C = κ
ε0A
d
=
εA
d
(2.49)
em que introduzimos ε = κε0 como a permissividade do dielétrico. Para o vácuo κ = 1,
enquanto para o ar κ = 1,00059. Desta forma, para situações ordinárias não precisamos
fazer diferença entre o ar e o vácuo, todavia para situações que demandam uma maior
precisão, e.g. desenvolvimento tecnológico, etc, é sim necessário levar em conta toda a
precisão disponı́vel.
• É importante notar que como discutimos inicialmente, o capacitor é carregado e
então desconectado da bateria, ou seja não há mudança na quantidade de carga nas
placas do capacitor quando o dielétrico é introduzido.
• Todavia, a situação é distinta se o capacitor ainda estivesse conectado a uma bateria
quando fosse inserido. Neste caso, a bateria bombearia carga adicional a fim de
manter a ddp original. A carga total nas placas seria então Q = κQ0.
• Em ambos os casos, a capacitância resultante após a inserção do dielétrico aumen-
taria por um fator κ .
Neste caso, a densidade de energia em um campo elétrico é também modificada como
ue =
energia
volume
=
1
2
κε0E2 =
1
2
εE2 (2.50)
Parte desta energia é a energia associada ao campo elétrico, e o restante é a energia asso-
ciada com o estresse mecânico associado com a polarização do dielétrico.
Exemplo 1: Um capacitor de placas paralelas tem placas quadradas de lados de 10cm
de comprimento e uma separação d = 4,0mm. Uma lâmina dielétrica de constante κ =
2,0 tem dimensões de 10cm× 10cm× 4mm. a) Qual é a capacitância sem o dielétrico?
b) Qual é a capacitância se o dielétrico preencher o espaço entre as placas? c) Qual
será a capacitância se um dielétrico com dimensões 10cm×10cm×3mm for inserida no
espaçamento de 4,0mm?
49
a) Se não há dielétrico, a capacitância é
C0 =
ε0A
d
=
(
8,85×10−12C2/N.m2
)
(0,10m)2
(0,0040m)
= 22×10−12F = 22pF (2.51)
b) Agora, quando o capacitor é preenchido com um material com constante dielétrica κ ,
a sua capacitância aumenta para
C = κC0 = (2,0)(22pF) = 44pF (2.52)
c) Para esta nova configuração, assumindo que o capacitor está eletricamente isolado,
mantendo a carga constante, precisamos determinar a ddp entre as placas. Note que a ddp
resultante é composta de duas contribuições, a da parte com o dielétrico e a parte vazia,
i.e.
∆V = ∆Vdie +∆Vvaz = Edie
(
3
4
d
)
+Evaz
(
1
4
d
)
(2.53)
Podemos ainda dizer que a intensidade do campo elétrico no vazio é Evaz = E0 (quando
não existe dielétrico), logo, a parte com o dielétrico tem o seguinte campo Edie =
Evaz
κ
= E0
κ
,
substituindo estes resultados acima, encontramos
∆V =Edie(
3
4
d
)
+Evaz
(
1
4
d
)
=
E0
κ
(
3
4
d
)
+E0
(
1
4
d
)
=(E0d)
(
3
4κ
+
1
4
)
=∆V0
(
3+κ
4κ
)
(2.54)
Por fim, a nova capacitância é
C =
Q0
∆V
=
Q0
∆V0
(3+κ
4κ
) = Q0
∆V0
(
4κ
3+κ
)
=C0
(
4κ
3+κ
)
(2.55)
50
substituindo os valores
C = (22pF)
(
4∗2
3+2
)
= (22pF)
(
4∗2
3+2
)
= 35pF (2.56)
Um cheque que podemos fazer é que na ausência do dielétrico temos κ = 1; e substituindo
este valor na expressão da capacitância acima encontramos que C =C0.
Exemplo 2: Uma combinação em paralelo de dois capacitores de placas paralelas con-
tendo ar entre as placas, cada um com capacitância 2,00µF , é conectada a uma bateria de
12,0V . A bateria é desconectada da combinação e então um dielétrico κ = 2,50 é inserido
entre as placas de um dos capacitores, preenchendo completamente o espaçamento. Antes
de a lâmina ser inserida, determine a) a carga e a energia armazenada em cada capacitor,
e b) a energia total armazenada nos capacitores. Após a lâmina ser inserida, determine
c) a ddp em cada capacitor, d) a carga em cada capacitor, e e) a energia total armazenada
nos capacitores.
a) Como os capacitores estão associados em paralelo, a tensão em cada um deles é a
mesma. Desta forma, a carga deles pode ser calculada a partir da ddp e capacitância
C1,2 =
Q1,2
∆V
→ Q1,2 =C1,2∆V = (2µF)(12V ) = 24µC (2.57)
b) A energia em cada um dos capacitores é
U1 =U2 =
Q∆V
2
=
(24µC)(12V )
2
= 144µJ (2.58)
logo a energia potencial total é a soma da energia de cada um dos capacitores
U =U1 +U2 = 2U1 = 288µJ (2.59)
c) Como a capacitância equivalente está relacionada com a ddp e a carga total, temos
Ceq =
Qtot
∆V ′
→ ∆V = Qtot
Ceq
51
e após introduzir o dielétrico, temos
Ceq =C1 +C′2 =C1 +κC2 = (2µF)+(2,5)(2µF) = 7µF (2.60)
a carga total continua sendo a mesma (pois não houve adição de carga/ligação bateria)
Qtot = 48µC, calculamos assim a ddp entre as placas após a inserção do dielétrico
∆V ′ =
48µC
7µF
= 6,86V (2.61)
d) Agora, a carga em cada um dos capacitores éQ′1 =C1∆V ′ = (2µF)(6,86V ) = 13,7µCQ′2 =C′2∆V ′ = (5µF)(6,86V ) = 34,3µC (2.62)
e) Por fim, a energia total armazenada nos capacitores após a inserção do dielétrico é
U =U ′1 +U
′
2 =
Q′1∆V
′
2
+
Q′2∆V
′
2
=
(
Q′1 +Q
′
2
) ∆V ′
2
= (13,7µC+34,3µC)
(6,86V )
2
= 165µJ (2.63)
• A diferença entre a energia calculada no item b) e e) é devido a atração do dielétrico
pelas cargas nas placas e, portanto, ele deve ser contido apra não sofrer aceleração
no espaçamento entre as placas.
• Durante este processo, −123µJ de trabalho é realizado sobre o dielétrico pelas
forças de contenção.
• Para remover o dielétrico do espaço entre as placas, +123µJ deve ser realizado
sobre ele e este trabalho é armazenado como energia potencial nos capacitores.
Exemplo 3: Se consideramos o mesmo sistema do item anterior, só que agora o dielétrico
é inserido lentamente em um dos capacitores enquanto a bateria permanece conectada.
Determine a) a carga em cada capacitor, e b) a energia total armazenada nos capacitores,
e c) o trabalho realizado pela bateria durante o processo de inserção.
52
a) Como a bateria continua conectada, com a inserção do dielétrico a ddp nos capaci-
tores permanece 12V . Logo, as cargas nos capacitores sãoQ′1 =C1∆V = (2µF)(12V ) = 24µCQ′2 =C′2∆V = (5µF)(12V ) = 60µC (2.64)
b) A energia total armazenada nos capacitores após a inserção do dielétrico é
U =U ′1 +U
′
2 =
Q′1∆V
2
+
Q′2∆V
2
=
(
Q′1 +Q
′
2
) ∆V
2
= (24µC+60µC)
(12V )
2
= 504µJ (2.65)
c) O trabalho realizado pela bateria durante o processo de inserão é a tensão da bateria
multiplicada pela carga que passa através da bateria (durante este processo)
∆V =
W
Q
→W = ∆Q∆V = (12V )(60µC−24µC) = 432µJ (2.66)
2.5 Visão molecular de um dielétrico
Um dielétrico enfraquece a intensidade do campo elétrico entre as placas de um ca-
pacitor. Isto acontece porque as moléculas polarizadas do dielétrico produzem um campo
elétrico no interior do material em um sentido oposto ao campo produzido pelas cargas
nas placas. O campo elétrico produzido pelo dielétrico é devido aos momentos de dipolo
elétrico das moléculas do material.
53
Quando um dielétrico é colocado num campo externo (por exemplo no campo de um
capacitor carregado), suas moléculas são polarizadas de forma tal que há um momento de
dipolo resultante paralelo ao campo.
• Se as moléculas são polares, seus momentos de dipolo, orientados de forma aleatória,
tendem a se alinhar devido ao torque exercido pelo campo (aula 03).
• Se as moléculas são apolares, o campo induz momentos de dipolo que são paralelos
ao campo.
Em ambos os casos, as moléculas no dielétrico estão polarizadas na direção do campo
externo.
• O efeito resultante da polarização de um dielétrico homogêneo em um capacitor de
placas paralelas é a criação de cargas na superfı́cie das faces do dielétrico próximas
às placas.
• A carga na superfı́cie de um dielétrico é chamada de carga ligada, pois ela é ligada
às moléculas da superfı́cie do dielétrico e não pode se mover como a carga livre nas
placas condutoras do capacitor. Esta carga induz um campo elétrico, com sentido
oposto ao campo externo.
• Esta carga ligada produz um campo elétrico com sentido oposto ao campo elétrico
produzido pela carga livre nos condutores.
54
• Assim, o campo elétrico resultante entre as placas diminui.
A densidade de carga ligada σi nas superfı́cies do dielétrico está relacionada à cons-
tante dielétrica e à densidade de carga livre σ nas superfı́cies das placas.
Se o dielétrico é uma lâmina fina entre as placas que estão próximas, o campo elétrico
no interior do dielétrico devido às densidade de carga ligada, +σi à direita e −σi à es-
querda, é simplesmente o campo devido às densidades de carga de dois planos infinitos.
Assim, este campo tem módulo
Ei =
σi
ε0
(2.67)
Este campo está dirigido para a esquerda e é subtraı́do do campo elétrico E0 devido à
55
densidade de cargas do capacitor, que tem módulo
E0 =
σ
ε0
(2.68)
Podemos então calcular a intensidade do campo resultante E = E0/κ como a diferença
E = E0−Ei =
E0
κ
(2.69)
ou ainda
Ei =
(
1− 1
κ
)
E0→ σi =
(
1− 1
κ
)
σ (2.70)
A densidade de carga ligada σi é sempre menor ou igual à densidade de carga σ nas placas
do capacitor, e é zero se κ = 1, que é o caso quando não há dielétrico.
Parte III
Corrente elétrica e circuitos
3 Corrente elétrica e circuitos de corrente contı́nua
Nos capı́tulos anteriores, tratamos da eletrostática, i.e. cargas em repouso. Neste
capı́tulo, iniciamos o estudo de correntes elétricas, i.e. de cargas em movimento.
Embora uma corrente elétrica seja um fluxo de cargas em movimento, nem todas as
cargas em movimento consituem uma corrente elétrica.
Quando dizemos que uma corrente elétrica passa através de uma determinada su-
perfı́cie, é porque deve existir um fluxo lı́quido de cargas através daquela superfı́cie.
Podemos esclarecer isto a partir de:
• Os elétrons de condução num pedaço de fio de cobre isolado estão em movimento
caótico com rapidez da ordem de 106m/s. Se passamos um plano hipotético através
do fio, os elétrons de condução passarão através dele em ambos os sentidos numa
taxa de muitos bilhões por segundo. Contudo, não haverá transporte lı́quido de
carga, e assim, não haverá corrente.
56
• Mas se ligarmos as extremidades do fio a uma bateria, conduziremos o fluxo num
sentido, de modo que haverá então um transporte lı́quido de carga e consequente-
mente uma corrente elétrica.
3.1 Corrente e o movimento de cargas
Corrente elétrica é a taxa de fluxo de carga através de uma superfı́cie – tipicamente a
seção transversal de um fio condutor.
Se ∆Q é a carga que flui através da área da seção transversal A, no tempo ∆t , a corrente
(ou corrente média) é definida como a carga nesta área por unidade de tempo
I =
∆Q
∆t
(3.1)
Agora,se a razão na qual o fluxo de carga varia com o tempo, então a corrente também
varia com o tempo; portanto definimos a corrente instantânea Iins como o limite diferencial
da corrente média
Iint =
dQ
dt
(3.2)
Todavia, vamos considerar neste desenvolvimento a condição de estado estacionário (i.e.
a corrente não é uma função do tempo). Sob esta condição de estado estacionário, a
cada elétron que entrar no condutor por uma extremidade, outro elétron deve sair pela
outra extremidade, tal que tenhamos um fluxo constante ou ainda que a carga lı́quida seja
conservada.
A unidade de corrente no SI é o ampére (A)
1A = 1C/s (3.3)
57
Embora a corrente seja um escalar, representamos uma corrente num fio por uma seta
para indicar o sentido em que as cargas estão se movendo.
Em geral desenhamos o sentido da corrente obedecendo à seguinte convenção histórica:
a seta da corrente é desenhada no sentido em que se moveriam os portadores positivos.
Por convenção:
• o sinal da corrente é positivo se a corrente é devida a cargas positivas se movendo
no sentido positivo, ou a cargas negativas se movendo no sentido negativo.
• a corrente é negativa se ela é devida a cargas positivas se movendo no sentido nega-
tivo ou a cargas negativas se movendo no sentido positivo (i.e. a direção da corrente
é oposta à direção do fluxo de elétrons).
3.2 Densidade de corrente
Em um fio metálico, o movimento de elétrons livres é bastante complexo.
• Quando não há campo elétrico no fio, os elétrons livres se movem em sentidos
aleatórios com velocidades (relativamente grandes) da ordem de 106m/s.
• Como os vetores velocidades dos elétrons estão orientados aleatoriamente, a velo-
cidade média é zero.
• Agora, quando um campo elétrico aplicado, o campo exerce uma força −e~E em
cada elétron livre, variando sua velocidade no sentido oposto ao do campo.
• O resultado lı́quido da aceleração e dissipação de energia (por colisões dos elétrons
com os ı́ons da rede no fio) é que os elétrons deslocam-se ao longo do fio com
uma pequena velocidade média, dirigida no sentido oposto ao do campo elétrico,
chamada de velocidade de deriva.
Seja n :
• a densidade de número de portadores de carga (por unidade de volume em um fio
condutor de seção transversal A).
58
Considere que cada partı́cula tenha uma carga q e se mova no sentido positivo com uma ra-
pidez de deriva vd. Durante o intervalo de tempo ∆t, as partı́culas percorrem uma distância
vd∆t, logo todas as partı́culas no volume Avd∆t passam pelo elemento de área.
Logo, número de partı́culas neste volume é nAvd∆t e a carga total no volume é
∆Q = qnAvd∆t (3.4)
e a corrente é portanto
I =
∆Q
∆t
= qnAvd (3.5)
• Esta equação pode ser usada para determinar a corrente devida ao fluxo de qualquer
espécie de partı́cula carregada.
• Se a corrente é o resultado do movimento de mais de uma espécie de carga móvel,
então a corrente total é a soma das correntes para cada uma das espécies individuais
de cargas móveis.
59
Algumas vezes, estamos interessados na corrente I de um condutor particular (informação
global). Em outras ocasiões, nosso interesse se volta para o fluxo de carga em um ponto
particular no interior de um condutor (informação local).
Um portador de carga (positiva) num determinado ponto fluirá no sentido do campo
elétrico ~E naquele ponto. A fim de descrever esse fluxo, introduzimos a densidade de
corrente ~J, uma grandeza vetorial cuja intensidade é a corrente por unidade de área,
J =
I
A
→ ~J = qn~vd (3.6)
A corrente através de uma superfı́cie S é definida como o fluxo do vetor densidade de
corrente através da superfı́cie, i.e.
I =
∫
S
~J.n̂dA (3.7)
No caso particular de uma superfı́cie plana e em que a densidade de corrente ~J é
uniforme, então a corrente/fluxo pode ser expresso por
I =
∫
S
~J.n̂dA = JAcosθ (3.8)
60
Então se θ < 90◦,a corrente I é positivase θ > 90◦,a corrente I é negativa
A seta com o sinal positivo próximo a cada fio na figura indica a escolha para o sentido
de n̂ nas superfı́cies transversais.
Exemplo 1: O fio usado para experimentos em laboratórios para estudantes é geral-
mente feito de cobre e tem raio de 0,815mm. a) Estime a carga total dos elétrons livres
em cada metro deste fio conduzindo uma corrente que tem módulo igual a 1,0A. Con-
sidere que haja um elétrons livre por átomo. b) Calcule a rapidez de deriva dos elétrons
livres.
a) Se há um elétron livre por átomo, a densidade de número de elétrons livre n é igual
à de átomos, i.e. n = na.
A densidade de número de átomos na está relacionada à densidade de massa ρm, ao
número de avogrado NA e à massa molar M
na =
ρmNA
M
(3.9)
Para o cobre, temos que ρm = 8,93g/cm3 e M = 63,5g/mol, logo
na =
ρmNA
M
=
(
8,93g/cm3
)(
6,02×1023átomos/mol
)
(63,5g/mol)
= 8,47×1028átomos/m3
(3.10)
61
A densidade de carga dos elétrons livres é igual à densidade de número de elétrons mul-
tiplicada pela carga
ρe =−en =−ena =−
(
1,6×10−19C
)(
8,47×10281/m3
)
=−1,36×1010C/m3
(3.11)
Por fim, a carga é a densidade de carga multiplicada pela volume
Q = ρeV = ρeLA→
Q/L = ρeA = ρeπr2 =
(
−1,36×1010C/m3
)
π
(
8,15×10−4m
)2
(3.12)
=−2,8×104C/m (3.13)
b) A fim de calcular a velocidade de deriva usamos
I = qnAvd→ vd =
I
qnA
=− I
enA
=
I
Q/L
=
(−1,0C/s)
(−2,8×104C/m)
= 3,5×10−2mm/s (3.14)
O sinal negativo da corrente nos diz que as cargas negativas estão se movimentado da
esquerda pra direita, sentido que daria uma corrente positiva se as cargas fossem positivas.
Exemplo 2: A rapidez de deriva dos elétrons móveis no fio no exemplo anterior é
muitı́ssima pequena. Se os elétrons se movem ao longo dos fios com uma rapidez tão
baixa, por que a luz de uma lâmpada no teto acende instantaneamente quando alguém
aciona o interruptor na parede?
• Sempre há um número muito grande de elétrons de condução através de um fio
metálico.
• Portanto, eles começam a se mover ao longo de todo o comprimento do fio quase
imediatamente quando o interruptor é acionado.
• O transporte de uma quantidade significativa de elétrons em um fio é feito não por
poucos elétrons se movimentando rapidamente no fio, mas por um número muito
grande de elétrons se movendo lentamente no fio.
• Cargas superficiais são estabelecidas nos fios e elas produzem um campo elétrico.
É este campo elétrico produzido por estas cargas que guia os elétrons de condução
62
através do fio.
Exemplo 3: Em certo acelerador de partı́culas, uma corrente de 0,50mA é conduzida
por uma feixe de prótons de energia 5,0MeV que tem um raio igual a 1,5mm. a) Deter-
mine a densidade de número de prótons no feixe. b) Se o feixe atinge um algo, quantos
prótons o atingem em 1,0s?
a) A densidade de número de prótons está relacionada com
I = qnAvd→ np =
I
qAvd
podemos determinar a rapidez dos prótons a partir de sua energia cinética
K =
mpv2d
2
→ vd =
√
2K
mp
=
√
2
(
5,0×106eV
)
(1,67×10−27kg)
(1,6×10−19J)
(1eV )
= 3,09×107m/s
(3.15)
por fim, a densidade de número de prótons é
np =
I
qAvd
=
(
0,50×10−3A
)
(1,6×10−19C)π (1,5×10−3m)2 (3,09×107m/s)
= 1,4×1013prótons/m3
(3.16)
b) O número de prótons N que atinge o alvo em 1,0s pode ser calculado a partir da carga
que atinge o alvo em um intervalo de tempo ∆t é a corrente multiplicada pelo tempo:
∆Q = I∆t.
Ademais, sabemos que a carga total ∆Q pode ser escrita em termos do número N e a
carga de cada próton q como ∆Q = Nq. Igualando as duas equações acima, temos
I∆t = Nq→ N = I∆t
q
=
(
0,50×10−3A
)
(1,0s)
(1,6×10−19C)
= 3,1×1015prótons (3.17)
3.3 Resistência e lei de Ohm
A corrente em um condutor é conduzida por um campo elétrico ~E no interior do
condutor, o qual exerce uma força q~E nas cargas livres.
(Em equilı́brio eletrostático, o campo elétrico deve ser zero no interior de um condutor,
mas quando há uma corrente, o condutor não estará mais em equilı́brio eletrostático.)
63As cargas livres se deslocam em movimento de deriva ao longo do condutor, guiadas
pelas forças exercidas pelo campo elétrico.
• Se as únicas forças nas cargas livres fossem as de origem elétrica, então a rapidez
das cargas aumentaria indefinidamente.
• Entretanto, isto não acontece porque os elétrons livres interagem com os ı́ons da
rede que constitui o metal e as forças de interação se opõem ao movimento de
deriva destes elétrons.
A figura a seguir mostra um segmento de fio com comprimento ∆L, seção transversal de
área A com uma corrente I.
Como a direção e o sentido do campo elétrico apontam para a região de menor poten-
cial, o potencial no ponto a é maior que no ponto b (Va >Vb).
Se considerarmos a corrente como o fluxo de portadores de carga positivos, o movi-
mento de deriva será no sentido de decréscimo do potencial.
Considerando que o campo elétrico ~E seja uniforme ao longo do segmento, a queda
de potencial V entre os pontos a e b é
V =Va−Vb = E∆L (3.18)
A razão entre a queda de potencial no sentido da corrente e a própria corrente é chamada
de resistência do segmento,
R =
∆V
I
(3.19)
64
A unidade de resistência no SI, o volt por ampère, é chamada de ohm (Ω)
1Ω = 1V/A (3.20)
Para a grande maioria dos materiais, a resistência de uma amostra do material não depende
da queda de potencial nem da corrente. Todavia, há uma classe de materiais em que a sua
resistência depende da queda de potencial aplicada.
Nos casos em que a queda de potencial em um segmento do material é proporcional à
corrente no material (a inclinação da reta é a resistência R), temos
V = IR (3.21)
e dizemos que materiais que satisfazem tal relação, obedecem a lei de Ohm. Podemos
enuncı́a-la como
• A lei de Ohm afirma que a corrente fluindo através de um dispositivo é diretamente
proporcional ao potencial aplicado ao dispositivo.
• Ou ainda, que um dispositivo condutor obedece à lei de Ohm quando sua resistência
é independente do valor e da polaridade do potencial aplicado.
Em alguns casos, estamos interessados numa descrição geral de substâncias e não de
um objeto em particular. Nesses casos, é necessário considerar o campo elétrico ~E e a
densidade de corrente ~J num dado ponto ao invés do potenial V e corrente I através de
65
um segmento. O que resulta que em vez da resistência R, tratamos da resistividade ρ do
material
ρ =
E
J
(3.22)
que ainda pode ser escrita numa forma vetorial
~E = ρ~J (3.23)
que é uma versão alternativa da lei de Ohm. Esta nova versão permite enunciar a lei de
Ohm numa terceira forma:
• Um material condutor obedece à lei de Ohm quando sua resistividade é indepen-
dente do módulo, da direção e do sentido do campo elétrico aplicado.
Frequentemente falamos da condutividade σ de um material. A condutividade é sim-
plesmente o inverso da resistividade do material,
σ = 1/ρ (3.24)
Conhecendo-se a resistividade de uma substância podemos calcular a resistência de
um fio, de comprimento e diâmetro conhecidos. Seja A a área da seção transversão do fio,
L seu comprimento e V potencial entre suas extremidades.
Agora, se as linhas de corrente forem uniformes por todo o fio, o campo elétrico e a
densidade de corrente serão constantes em todos os pontos dentro do fio, logo
E =V/L, J = I/A,
combinando essas equações, temos
ρ =
E
J
=
V/L
I/A
=
RA
L
→ R = ρ L
A
(3.25)
o que mostra que a resistência R de um fio condutor é proporcional ao comprimento L do
fio e inversamente proporcional à área de sua seção transversal A.
De fato, a resistividade de qualquer metal depende da temperatura.
Para tais relações, podemos escrever uma expressão empı́rica bastante satisfatória para
66
a resistividade como função da temperatura
ρ−ρ0 = ρ0α (T −T0)→ α =
(ρ−ρ0)/ρ0
T −T0
(3.26)
onde ρ0 é a resistividade à temperatura T0 (em geral 293K) e ρ é a resistividade à tempe-
ratura T .
67
3.4 Energia e potência em circuitos elétricos
• Quando há um campo elétrico em um condutor, os elétrons livres ganham energia
cinética devido ao trabalho realizado sobre eles pelo campo.
• Entretanto, o estado estacionário é rapidamente atingido enquanto o ganho em
energia cinética é continuamente dissipado em energia térmica no condutor por
interações entre os elétrons livres e os ı́ons da rede do material.
• Este mecanismo para aumento da energia térmica de um condutor é chamado de
aquecimento Joule.
Considere o segmento de fio de comprimento L e seção transversal com área A. O fio con-
duz uma corrente estacionária que consideraremos como carga livre positiva se movendo
para a direita.
• Considere agora a carga livre Q inicialmente no segmento. Durante o intervalo de
tempo ∆t, esta carga sofre um pequeno deslocamento para a direita.
• Este deslocamento é equivalente a uma quantidade de carga ∆Q sendo movida da
extremidade esquerda, onde ela tinha uma energia potencial ∆QVa, para a extremi-
dade direita, onde ela tem uma energia potencial ∆QVb.
A variação resultante na energia potencial de Q é
∆U = ∆Q(Vb−Va) (3.27)
Mas como Va > Vb isto representa uma perda lı́quida na energia potencial. A perda em
energia potencial é então
−∆U = ∆QV (3.28)
em que V =Va−Vb é a queda de potencial no segmento na direção e sentido da corrente.
A taxa de perda de energia potencial é
− ∆U
∆t
=
∆Q
∆t
V (3.29)
e quando tomamos o limite de ∆t→ 0, obtemos
− dU
dt
=
dQ
dt
V = IV (3.30)
68
sendo I = dQdt a corrente instantânea.
A taxa de decréscimo de energia potencial é a potência P entregue ao segmento con-
dutor (como trabalho é uma medida da energia transferida por uma força, a potência é a
taxa de transferência de energia P = dWdt =−
dU
dt ), e é igual à taxa de dissipação de energia
potencial elétrico no segmento
P = IV (3.31)
Se V está em volts e I está em ampères, a potência estará em watts. Esta equação pode
ser aplicada a qualquer dispositivo em um circuito.
• A taxa na qual a energia potencial é entregue ao dispositivo é o produto da queda
de potencial no dispositivo no sentido da corrente e pela corrente através do dispo-
sitivo.
• Em um condutor (o resistor é um condutor), a energia potencial é dissipada como
energia térmica.
Por fim, usando V = IR, podemos reescrever
P = IV = I2R =
V 2
R
(3.32)
69
3.5 Trabalho, energia e Fem
Para manter uma corrente estacionária em um condutor/circuito, precisamos de um
fornecimento constante de energia elétrica.
• Um dispositivo que fornece energia elétrica para um circuito é chamado de uma
fonte de fem. (força eletromotriz).
• Exemplos de fontes de fem são uma bateria, que converte energia quı́mica em ener-
gia elétrica, e um gerador, que converte energia mecânica em energia elétrica.
• Uma fonte de fem realiza trabalho não-conservativo na carga que passa através
dela, aumentando ou diminuindo a energia potencial da carga.
• O trabalho por unidade de carga é chamado fem E = dW/dq da fonte. A unidade
de fem é o volt, a mesma da ddp.
• Uma bateria ideal é uma fonte de fem que mantém uma ddp constante entre seus
dois terminais, independentemente da corrente através da bateria (i.e. não oferece
qualquer resistência interna ao movimento da carga de um terminal para o outro).
• A ddp entre os terminais de uma bateria ideal é igual à magnitude da fem da bateria.
Representamos um circuito simples, formado por uma resistência R conectada a uma
baterial ideal (Va >Vb).
Observe que no interior da fonte de fem, a carga flui da região onde sua energia po-
tencial é baixa para uma região onde seu potencial é alto, ganhando energia potencial
elétrica.
70
• Quando uma carga ∆Q flui através de uma fonte ideal de fem E sua energia poten-
cial aumenta pela quantidade ∆QE .
• A carga então flui através do resistor, onde sua energia potencial é dissipada como
energia térmica.
A taxa na qual a energia é fornecida pela fonte de fem é a potência da fonte
P =
∆W
∆t
=
∆Q