Aula 1 - Esperança Estatística

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Gestão Atuarial 
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Aula 1 – Esperança Estatística 
 
Esperança matemática ou valor esperado (E) de uma variável é a medida de posição central para essa 
variável 
 
 )(.)( xpxxE 
 
Se houver atualização monetária há a necessidade de utilização do fator de desconto v: 
 
ni
xpxxE
)1(
1
.)(.)(

 
 
x = ganho esperado 
P = probabilidade de sucesso 
V = 1/(1+i) = fator de desconto 
 
 
Exemplos: 
 
1) Uma rifa será sorteada em 4 meses e tem como prêmio um automóvel no valor de R$ 60.000,00. 
Sabendo-se que o total de bilhetes é de 15.000, qual o valor pelo qual deverá ser vendido cada bilhete, 
se a taxa de juros é de 1% ao mês? 
 
 
84,3$
01,01
1
15000
1
60000
4
RxxE 

 
 
 
2) Num evento beneficente haverá um sorteio de uma viagem para Paris, com acompanhante, cujo 
valor é de R$ 12.000,00. AS pessoas, à entrada, compram o bilhete. Sabendo-se que o total de bilhetes 
é 2.000 e desprezando-se o fator de desconto, pois o sorteio será no mesmo dia, qual o valor pelo qual 
deverá ser vendido cada bilhete, ou seja, qual a esperança matemática? 
 
00,6$1
2000
1
12000 RxxE  
 
 
Exercícios: 
 
1. Numa empresa, as previsões de despesa para o próximo ano foram calculadas como: R$ 9, 10, 
11 , 12 e 13 bilhões. Supondo que as despesas do ano corrente sejam desconhecidas, as 
seguintes probabilidades foram atribuídas respectivamente: 30%, 20%, 25%, 5% e 20%. Qual o 
valor esperado das despesas para o próximo ano? R.: $ 10,65 
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Distribuição de probabilidade 
Ano Despesa (X) P(X) 
1 9 0,30 
2 10 0,20 
3 11 0,25 
4 12 0,05 
5 13 0,20 
 Total: 1,00 
 
 
2. Será realizado um sorteio de uma bicicleta no valor de R$ 3.000,00. Pretende-se que o sorteio 
aconteça em 5 meses. Serão feitos 2000 bilhetes para venda. Qual o valor esperado para cada 
bilhete, considerando-se uma inflação atual de 0,5% ao mês? 
 
46,1$
)005,01(
1
2000
1
3000
5
RxxE 

 
 
3. Quantos bilhetes deveriam ser feitos no exercício anterior se o interessado quisesse vender cada 
bilhete por R$ 3,00? 
 
976
005,1.3
3000
005,1.
1.1.3000
3
)005,01(
1
.
1
.30003
55
5




x
x
x
 
 
4. Se o interessado deseja vender cada um dos 2000 bilhetes por R$ 1,00, seria melhor aumentar 
a quantidade de bilhetes ou ampliar o prazo de sorteio? 
 
mesesx
xx
x
x
x
x
81
005,1log
5,1log
005,15,1
005,1
2000
3000
1
)005,01.(2000
3000
1
)005,01(
1
2000
1
3000






 
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 3 
 
 
2926
005,1
3000
1
)005,01(
1
.
1
.3000
5
5



xx
x
 
 
 
5. Uma concessionária tem uma probabilidade de 18% de não vender carro algum em determinado 
dia. A probabilidade respectiva para a venda de 1,2,3,4 ou 5 carros no dia é de 39%, 24%, 14%, 
4% 1 1%. Qual o valor médio esperado de vendas por dia? Qual a quantidade esperada para o 
mês? R.: 1,50 automóveis por dia. (45 no mês) 
 
 
6. Um serviço voluntário de ambulâncias atende de 0 a 5 chamadas de serviço em qualquer dado 
dia. A distribuição de probabilidade para o número de chamadas de serviço é: 
 
Chamadas P 
0 0,10 
1 0,15 
2 0,30 
3 0,20 
4 0,15 
5 0,10 
 
 Qual o valor esperado de chamadas de serviço por dia? R.: 2,45 
 
 
7. A distribuição de probabilidade para a reclamação de danos sobre seguros de colisão pagos por 
uma seguradora é apresentada na tabela abaixo. Calcule o valor de pagamento de colisão 
esperado para determinar o prêmio de seguro de colisão que possibilitaria à empresa não ter 
lucro nem prejuízo. R.: $ 166,00. 
 
Pagamento$ P 
0 0,90 
400 0,04 
1000 0,03 
2000 0,01 
4000 0,01 
6000 0,01 
 
 
 
 
 
 
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8. Em determinado setor de uma loja de departamentos, o número de produtos vendidos em um 
dia pelos funcionários é uma variável aleatória P com a seguinte distribuição de probabilidades. 
Cada vendedor recebe comissões de venda, distribuídas da seguinte forma: se ele vende até 2 
produtos em um dia, ele ganha uma comissão de R$ 10,00 por produto vendido. A partir da 
terceira venda, a comissão passa para R$ 50,00. 
 
 
Nº de produtos p 
0 0,1 
1 0,4 
2 0,2 
3 0,1 
4 0,1 
5 0,05 
6 0,05 
 
a) Qual é o número médio de produtos vendidos por cada vendedor e qual a comissão média de cada 
um deles? R.: 2,05 
 
b) Qual é a comissão média de cada vendedor? R. $ 46,50 
 
 
 
Exemplos: 
 
 
A) Uma seguradora paga R$ 30.000,00 em caso de acidente de carro e cobra uma taxa de R$ 1.000,00. 
Sabe-se que as chances de que um carro sofra um acidente são de 3%. Quanto a seguradora espera 
ganhar por carro segurado? 
 
Solução: 
A seguradora ganha R$ 1.000,00 por carro e perde R$ (30.000 – 1.000) = 29.000,00 por carro acidentado. 
Quando vamos ponderar as medidas, sabemos que há 3% de chance (P = 0,03) de perder 29.000 e o 
restante, (1-0,03) = 0,97 de ganhar. 
 
X P(x) X . p (x) 
1000 0,97 970 
29000 0,03 870 
 E(X) R$ 100,00 
 
 
 
 
 
 
 
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B) Num jogo de dados, Cláudio paga R$ 20,00 a Lúcio e lança 3 dados. Se sair face 1 em um dos dados 
apenas, Cláudio ganha R$ 20,00. Se sair face 1 em dois dados apenas, Cláudio ganha R$ 50,00 e se sair 
1 nos três dados, Cláudio ganha R$ 80,00. Calcule o lucro médio de Cláudio em uma jogada. 
 
 
X P(x) X . p (x) 
+60 1/216 60/216 
+30 15/216 450/216 
0 75/216 0 
-20 125/216 -2500/216 
 -9,21 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
 
9. Um fabricante produz peças e sabe que a probabilidade de obter uma peça com defeito é de 
10%. Quando ele produz uma peça com defeito há um custo de R$ 1,00. Porém, quando ele 
produz um peça sem defeito, há um lucro de R$ 5,00. Qual o lucro esperado por unidade 
produzida? R$ 4,40 
 
10. A distribuição de probabilidade para a reclamação de danos sobre seguros de colisão pagos por 
uma seguradora é apresentada na tabela abaixo. Se a empresa cobra um valor de $ 260 para a 
cobertura de colisão, qual o valor esperado da apólice de seguro para o proprietário da apólice? 
R.: $ -94 
 
Pagamento$ P 
0 0,90 
400 0,04 
1000 0,03 
2000 0,01 
4000 0,01 
6000 0,01 
 
 
 
 
11. Numa rifa, 1500 bilhetes são vendidos a R$ 2,00 para 4 prêmios: R$ 500,00, R$ 250,00, R$ 150,00 
e R$ 75,00. Qual o valor esperado do seu ganho? Você compraria o bilhete? R$ - 1,32 
 
12. Você joga três moedas. Se sair pelo menos 2 caras você ganha R$ 30,00. Se não conseguir, você 
perde R$ 20,00. Qual o lucro médio por jogada? R.: R$ 5,00 
 
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13. Você participa de um jogo em que aposta em 3 números, que deverão coincidir com números 
sorteados. O valor do prêmio é de R$ 500 para cada R$ 1 apostado. Se você apostar no número 
327, qual o valor esperado do seu ganho? R.: -$ 0,50 
 
14. Uma mulher de 27 anos decidecontratar uma apólice de seguro de vida no valor de R$ 
100.000,00 por 1 ano, pagando um prêmio de R$ 156,00.A probabilidade dela sobreviver 1 ano 
é de 0,9995. Qual é seu valor esperado da apólice de seguro? R.: - $ 106 
 
 Exemplos: 
 
Você é um tomador de decisão que está diante de 4 alternativas e três cenários. Analisando o seu 
problema, você consegue montar a matriz de decisão abaixo, onde os resultados indicam os lucros 
estimados (em milhões de reais anuais) sob cada alternativa e estado da natureza. 
 
 CN 1 CN 2 CN 3 
A1 25 12 18 
A2 8 20 34 
A3 14 30 16 
A4 20 15 25 
Por outro lado, você acredita que seja possível atribuir probabilidades aos estados da natureza da 
seguinte forma: P(CN1) = 0,30 P(CN2) = 0,25 P(CN3) = 0,45 
 
a.) escolher a melhor alternativa sob risco. 
Primeiro calculamos o valor esperado (E) de cada alternativa, utilizando as probabilidades acima: 
E1 = 25*0,30 + 12*(0,25) + 18*(0,45) = 18,6 
E2 = 8*(0,30) + 20*(0,25) + 34*(0,45) = 22,7 
E3 = 14*(0,30) + 30*(0,25) + 16*(0,45) = 18,9 
E4 = 20*(0,30) + 15*(0,25) + 25*(0,45) = 21,0 
 
Como a matriz de decisão contém os resultados expressos em lucros, será mais atraente a alternativa 
que conduzir ao maior lucro médio, ou seja, A2. 
Resposta: Decisão  alternativa A2, com lucro médio de 22,7 milhões. 
 
 
b.) qual é o valor esperado da informação perfeita (VEIP)? 
Para cada cenário (estado da natureza), identificamos a melhor alternativa: 
Para CN1 – o maior lucro é dado por A1 - valor 25, com probabilidade 0,30 
Para CN2 – o maior lucro é dado por A3 - valor 30, com probabilidade 0,25 
 
Para CN3 – o maior lucro é dado por A2 -- valor 34, com probabilidade 0,45. 
 
Se soubéssemos exatamente quando ocorreria cada cenário, isto é, se tivéssemos a informação perfeita, 
escolheríamos com certeza as melhores alternativas para cada cenário. E teríamos um lucro médio de 
VCIP = 25*(0,30) + 30*(0,25) + 34*(0,45) = 30,3, onde chamamos de VCIP o valor médio calculado com 
a informação perfeita. 
 
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Comparando esse valor com o resultado do item anterior, obtemos o VEIP: VEIP = 30,3 – 22,7 = 7,6 
milhões de reais. Esse valor representa o lucro máximo que se pode ter em relação à decisão tomada 
sob risco (calculado no item anterior), caso se conhecesse de antemão o próximo estado da natureza. É 
portanto, o máximo valor que o tomador de decisão poderia pagar pela informação perfeita. 
 
Exercícios 
15. Repita o exercício anterior, considerando agora que a matriz é de despesas. 
Resposta: Decisão  alternativa A1, com DESPESA MÉDIA de 18,6 milhões. 
VCIP = $ 6 milhões 
 
16. Considere novamente a mesma matriz de decisão, representando lucros, em milhões de reais. 
Suponha que as probabilidades de ocorrência dos cenários sejam iguais. 
 
 CN1 CN2 CN3 
A1 25 12 18 
A2 8 20 34 
A3 14 30 16 
A4 20 15 25 
 
a) Calcule a melhor alternativa sob risco. R: $ 20,6 milhões 
b) Calcule o VEIP para o lucro. R.: $ 8,77 milhões. 
c) Calcule a melhor alternativa supondo planilha de despesas. R.: $ 18,3 milhões 
d) Calcule o VEIP para as despesas. R.: $ 6,45 milhões 
 
17. O presidente da Martin Corporation está considerando duas alternativas de investimento X e Y. 
Se cada uma das alternativas for levada a diante há 4 possibilidades de resultado. O valor 
presente líquido e sua respectiva probabilidade de ocorrência são mostrados abaixo. Qual é o 
valor esperado do valor presente do lucro para os investimentos X e Y? E qual das oportunidades 
é a mais interessante (maior valor esperado do lucro)? 
 
INVESTIMENTO X INVESTIMENTO Y 
Resultado VP Lucro Probabilidade Resultado VP Lucro Probabilidade 
1 $ 20 Milhões 0,2 1 $ 12 Milhões 0,1 
2 $ 08 Milhões 0,3 2 $ 09 Milhões 0,3 
3 $ 10 Milhões 0,4 3 $ 16 Milhões 0,1 
4 $ 03 Milhões 0,1 4 $ 11 Milhões 0,5 
 
 a) $ 10,7 milhões 
 b) $ 11,0 milhões 
 
18. A Indústria Controlada S.A. tem dois eventuais compradores de seu produto, que pagam preços 
em função da qualidade: 
a) O comprador A paga R$ 150,00 por peça, se em uma amostra de 100 peças não encontrar 
nenhuma defeituosa e R$ 50,00 por peça, caso contrário; 
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b) b) O comprador B paga R$ 200,00 por peça, desde que encontre no máximo uma peça 
defeituosa em 120 peças e R$ 30,00 por peça, caso contrário. 
c) Para qual dos dois compradores o empresário deveria vender se ele sabe que na produção 3% 
das peças são defeituosas? 
 
 $ P x. p 
Comprador A 150 0,97 145,50 $ 144 
- 50 0,03 -1,5 
Comprador B 200 0,97 194 $ 193,1 
 - 30 0,03 -0,9 
 
19. Uma companhia de exploração de petróleo tem um arrendamento para o qual precisa decidir 
se: 
a) vende agora; 
b) segura durante um ano e então vende ou 
c) perfura agora. 
 
O custo de perfurar é de $ 200K (= $ 200.000) 
Perfurando conduzirá a um dos resultados seguintes: 
 
Resultado Probabilidade Receita 
Poço seco 0,5 0 
Poço com pouco petróleo 0,4 400k 
Poço com jorro 0,1 1500K 
 
Se a companhia vender agora, pode adquirir $ 125k. Se segura e vende durante uma ano e os 
preços do petróleo sobem (p = 0,6) pode vender por $ 300k ou se os preços do petróleo caem ( 
p = 0,4) pode adquirir $ 100k. O que fazer? 
 
Valor esperado perfuração = $ 110 K 
Valor esperado na venda após 1 ano = $ 220 
Venda agora = $ 125K 
 
20. Uma empresa faz produtos para mercados locais e de exportação. O número de unidades 
vendidas pode ser estimado conforme a tabela. A cia lucra $2000 em unidades vendidas no 
mercado interno e $ 3500 em cada unidade exportada. 
 
Vendas locais 1000 3000 5000 10000 
Probabilidade 0,1 0,3 0,4 0,2 
 
Vendas exp. 300 500 700 
Probabilidade 0,4 0,5 0,1 
 
Vendas esperadas locais: 5000 
Vendas esperadas externas: 440 
Lucro total esperado: $ 11.540.000