prova de calculo 2 - UVA EAD

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Código: 34123 - Enunciado: Considere o paraboloide elíptico . A equação do plano tangente a essa superfície no ponto  é .
Portanto, para o ponto (1,1,2), a equação do plano tangente é:
Alternativa correta:
·  c) .
A equação do plano tangente, nesse caso, é dada por: 
Escrevendo a equação do paraboloide na forma  temos, para as derivadas:
Assim,  
Código: 33365 - Enunciado: Um sólido retangular  tem uma temperatura não uniforme que varia de acordo com as equações a seguir:
 
O ponto de máximo/mínimo da função  ocorre em:
Alternativa correta:
·  e) (0,0)
Achando os pontos de máximo/mínimo:
Assim, o ponto de máximo/mínimo da função é (0,0). Nos pontos (1,1), (1,0), (0,1) e (1,2), as derivadas parciais não zeram, e, portanto, esses pontos não são pontos de inflexão (máximos ou mínimos).
Código: 34111 - Enunciado: A área da figura a seguir pode ser calculada através de uma integral dupla utilizando coordenadas polares.
Lembrando que o elemento de área em coordenadas polares é , leia as asserções a seguir:
1 A equação do círculo em coordenadas polares é 
2 O intervalo de variação da jvariável  é 
3 O intervalo de variação da variável  é 
É correto o que se afirma em:
Alternativa correta:
·  e) I, II e III.
Sabemos que  e , logo:
Logo, I é verdadeira. Observando a figura, verificamos que os intervalos de variação das variáveis  e  são, respectivamente,
 uma vez que  varia de 0 até a curva definida por  e a área ocupa o primeiro e o quarto quadrantes. Logo, II e III são verdadeiras.
Código: 34235 - Enunciado: A figura a seguir mostra o gráfico e as curvas de nível para a função 
Com base em seu conhecimento e nas representações gráficas apresentadas, analise as asserções a seguir:
I. O ponto (0,0) é um ponto de mínimo local, chamado de ponto de sela.
II. A direção de máxima variação de  no ponto (1,1) é 
III. Os pontos onde  é máxima são  e .
É correto o que se afirma em:
Alternativa correta:
·  e) II e III, apenas.
O ponto (0,0) não é um mínimo local, uma vez que a função em sua vizinhança tem valores negativos (=0 ). No entanto, (0,0) é um ponto crítico, chamado de ponto de sela. Assim, I é negativa. Calculamos agora as derivadas parciais de primeira ordem:
Calculando o gradiente de  no ponto (1,1), temos
Logo II é verdadeira. 
Pelas figuras, verificamos que a função tem dois pontos de máximo. Para obtê-los, primeiramente, devemos determinar os pontos críticos:
,
logo  ou 
Assim, os três pontos críticos serão
 ponto de sela
 e pontos de máximo (podem ser confirmados com o teste da segunda derivada). Logo, III é verdadeira.
Código: 33367 - Enunciado: Se  representa a densidade populacional de uma região plana na Terra, onde  e  são medidos em milhas, a população em uma área de 1 milha quadrada é:
Alternativa correta:
·  b) 150.
Achando a população P:
Código: 33351 - Enunciado: O potencial gravitacional gerado por um corpo de massa  (como o Sol ou a Terra) a uma distância  do centro do corpo é descrito por uma função de três variáveis,
, onde  e  é uma constante.
O domínio de  é:
Alternativa correta:
·  a) 
A função potencial  deve ser um número real, e por essa razão .  
Por estar no denominador da função, a opção  resultaria em uma possível divisão por zero, e 
portanto deve ser descartada, assim como  A opção  é mais “frou
xa” que , e   não garante que a raiz quadrada no denominador resulte em um número real.
Código: 33350 - Enunciado: Uma chapa de metal tem a forma indicada na figura, a seguir: 
Podemos calcular a área da chapa utilizando uma integral dupla em coordenadas polares, cujos limites de integração devem ser:
Alternativa correta:
·  d) 
Observando a figura, verificamos que a coordenada , que deve ser traçada a partir da origem, apresenta diferentes valores para diferentes pontos da curva, e, portanto, não tem valor máximo igual a 1 ou 2. Assim, temos . Do mesmo modo, se girarmos no sentido anti-horário o segmento que vai da origem até a curva que define a borda da chapa, verificamos que o ângulo  varia entre 0 e , e não 0 e . Logo, 
Código: 33358 - Enunciado: O potencial eletrostático gerado por uma carga em uma determinada região do espaço é dado pela função  onde é uma constante e  é a distância da carga ao ponto onde calculamos o potencial.
A direção de variação máxima da função  (ou ) é dada pelo vetor:
Alternativa correta:
·  e)  
A direção de variação máxima é dada pelo vetor: