exercicio de sapata quadrada

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01
Exercício 01
Passo 01: Escolha do tipo de fundação: 
 
Tendo em vista a baixa carga, inúmeras soluções são possíveis. A melhor solução
seguindo o nosso passo a passo são sapatas. 
 
Passo 02: Escolha da profundidade da Fundação 
 
Devemos sempre que possível implantar fundações em camada com resistência
NSPT≥ 15 golpes. Porém, nem sempre é possível. Implantaremos as fundações
(sapatas) a 2,0m de profundidade sobre Silte Argiloso, rija, roxo. O nível de lençol é um
problema não tão grande devido a ser um solo pouco poroso e fino, desta forma será
sim necessário rebaixamento de lençol, muito provavelmente, mas não acarretará no
andamento da obra ou economia. 
 
Passo 03: Obtenção do NSPT médio: 
 
A parcela de solo envolvido na ruptura de uma fundação superficial é delimitada pela
Zona de Plastificação (ZP), essa região tem espessura de 1,5 vezes a menor dimensão
ou diâmetro da base. 
 
Nosso NSPT médio considerado inicialmente (a ser verificado), terá dimensão
quadrada com B=1,5m (estimativa). 
 
ZP = (1,5x1,5) = 2,25 = 3,00 (abaixo da base) 
 
ZP vai de 2,0m a 5,0m, logo... 
02
NSPT = (14+25+26)/3 = = 21,667 = 21 
 
Passo 04: Cálculo da tensão admissível por métodos consagrados: 
 
Método 01: NBR 6122: 1996 
 
Utilizando a tabela melhorada de Berberian, percebemos que não existe o solo Silte
argiloso, rija, desta forma, a favor da segurança, utilizaremos o solo Argila ou Silte Puro
NSPT 21 
 
O que nos dá σa = 3,00 kgf/cm² 
 
Método 02: Berberian (2010) 
 
Utilizando a tabela, entrando com Silte argiloso, e NSPT 21 
 
Dessa forma KB = 5,71 
 
σa= N72 médio / Kberb (kgf/cm²) 
 
σa= 21 / 5,71 = 3,68 kgf/cm² 
 
Método 03: Albieiro & Cintra (1996) 
 
σa = N72 médio / 5 (kgf/cm²) 
 
O que nos dá σa = 21 / 5 = 4,20 kgf/cm² 
 
Método 04: Milton Vargas (1960) 
 
Utilizando a tabela , percebemos que para o solo Silte argiloso 
 
Dessa forma KMV = 6,5 
 
σa= N72 médio / KMV (kgf/cm²) 
 
σa= 21 / 6,5 = 3,23 kgf/cm² 
 
Método 05: Teixeira (1996) 
 
A princípio esse método não poderia ser utilizado pelo intervalo que ele foi pensado,
como a diferença é muito pouca, 20 para 21 golpes, vamos mante-lo na média. 
 
σa= N72 médio / 5 (kgf/cm²) 
 
σa= 21 / 5 = 4,20 kgf/cm² 
 
Método 06: Victor de Mello (1975) 
 
Não aplicável
03
1ª Média = (3,00+3,68+4,20+3,23+4,20) / 5 = 3,66 kgf/cm² 
 
Considerando o desvio padrão de 30% o intervalo de valores válidos será: 
 
Para cima = 1,3 x 3,66 = 4,76 kgf/cm² 
Para baixo = 0,7 x 3,66 = 2,56 kgf/cm² 
 
Todos os métodos estão com grau de precisão apurado, desta forma, todos
permanecem para a segunda média e o resultado final é: 
 
2ª Média = 3,66 kgf/cm² 
 
 
Passo 05: Cálculo área da base / dimensões: 
 
Não havendo restrição de espaço, vamos optar por sapatas quadradas. 
Logo, puxando aquele velha fórmula de física de pressão em que temos: 
 
σ = P / A 
 
A nossa tensão admissível é σadm = 3,66 kgf/cm² 
P é uma força, que no nosso caso é a carga do pilar, 80t ou 80.000kgf (carga já
majorada) 
Essa é a carga que a superestrutura está transferindo às fundações, ainda falta
adicionar o peso próprio da sapata e do solo sobre a mesma. Normalmente considera-
se 10% da carga total transferida pela superestrutura. 
 
Sendo assim: P = 1,1 x 80.000 = 88.000kgf 
 
Agora é só substituir: 
 
A = Pmaj / σ = 88.000 / 3,66 = 24.043,72cm² 
 
Sabemos que a área de um quadrado é lado x lado, ou seja A = L² 
 
Substituindo L² = 24.043,72cm², para resolver essa equação basta extrair a raiz 
 
L = raiz (24.043,72) = 155,06cm, na prática 155cm 
 
Ou seja, as dimensões da nossa sapata seriam: 
 
Passo 06: Verificação se a zona de plastificação estimada condiz com a realidade 
 
Na prática erro de 50cm em B é considerado um bom resultado e considera-se que não
é necessária uma segunda iteração. Desta forma, como avaliamos inicialmente como 
B=150cm e depois de realizado os cálculos, B=155cm, vamos em frente!! 
 
04
Passo 07: Cálculo da altura da sapata 
 
Critério 01: A sapata deve atender a altura mínima para ser considerada rígida segundo
a NBR 6118, conforme a formulação abaixo. 
 
h= (155 - 20) / 3 = 45cm 
 
Passo 08: Verificação do comprimento de ancoragem das barras longitudinais do
pilar 
 
Na questão da altura, além da rigidez da sapata, devemos garantir a ancoragem das
armadura longitudinais do pilar. 
Sabendo que na região do pilar temos boa ancoragem, podemos utilizar a tabela
abaixo para descobrir o comprimento de ancoragem (Lb) 
Adotaremos a utilização de ganho (critério do projetista) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para concreto C25 a tabela nos dá como resultado prevendo a utilização de gancho =
26 
Lb =26 x ϕ(cm) 
ϕ(cm) = diâmetro da armadura longitudinal do pilar em cm 
Lb= 26x1,25= 32,5cm 
 
Para satisfazer a verificação de ancoragem, percebemos observando a ilustração
abaixo que a altura útil da sapata d, deve ser maior que o comprimento de ancoragem
Lb 
 
A altura útil da sapata é calculada da seguinte forma: 
 
d = h - c - ϕ1 
 
Sendo: 
h= altura total da sapata 
c= cobrimento 
ϕ1= diâmetro da armadura da sapata (considerada a princípio 10mm) 
 
Portanto: d= 45 - 5 - (1 / 2) = 39,50cm 
 
Se d>Lb 
Então 39,50>32,5 ok!! 
 
 
05
Desta forma está verificado o comprimento de ancoragem. Caso não ok, aumentar a
altura da sapata ou fck do concreto até passar na verificação. 
 
Passo 09: Cálculo da aba da sapata (ho) 
 
O cálculo da aba da sapata deve seguir duas condições 
 
1) Deve ser maior ou igual a 15cm 
2) Deve ser maior que h/3 
 
Desta forma 45/3 = 15cm 
 
Adotaremos então ho = 15cm 
 
Passo 10: Verificação da diagonal comprimida 
 
Como a sapata é rígida, não ocorre a ruptura por punção, por isso basta verificar a
tensão na diagonal de compressão, na superfície crítica C. 
 
 
 
Superfície Crítica C = u0 = perímetro do pilar 
u0= 4 x 20 = 80cm 
 
A verificação da diagonal comprimida deve satisfazer a seguinte equação: 
 
 
 
 
Onde o esforço cisalhante solicitante deve ser menor do que o esforço cisalhante
resistente. 
 
O esforço cisalhante resistente é dado pela fórmula: 
 
 
 
Onde: 
 
 
 
 
Desta forma: 
 
trd2 = 0,27 x (1 - (25/250)) x (2,5/1,4) 
trd2 = 0,434 kN/cm² = 44 kgf/cm² 
 
E o esforço cisalhante solicitante é dado pela fórmula: 
 
 
 
 
 
 
06
Em que: 
Fsd = esforço solicitante majorado = 80.000 kgf 
u0 = perímetro do pilar = 80cm 
d= altura útil da sapata 
 
Desta forma: 
 
tsd = 80.000 / (80 x 39,50) = 25,31kgf/cm² 
 
Desta forma percebemos que o esforço cisalhante solicitante é menor do que o esforço
cisalhante resistente. Caso não ok, aumentar a altura da sapata ou fck. 
 
Tudo ok, podemos prosseguir. 
 
Passo 11: Verificação da aplicabilidade do "Método das Bielas" 
 
Para cálculo da armadura, considera-se que a carga é transferida do pilar para a base
da sapata por meio de bielas de concreto comprimido, que induzem tensões de tração
na base da sapata, que devem ser resistidas por armadura. 
 
d ≥ (155 - 20) / 4 = 33,75cm 
 
Foi calculado anterior d=39,50cm, sendo assim, o método das bielas pode ser aplicado. 
 
Passo 12: Cálculo da armadura 
 
Para isso devemos calcular as forças de tração na base da sapata (T) e posteriormente
calcular a área de armadura (As) utilizando as fórmulas abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sendo: 
P= carga do pilar 
b= dimensão da sapata no sentido que se está calculando a armadura 
bo= dimensão do pilar no sentido que se está calculando a armadura 
d= altura útil 
T= força de tração na base 
fyk= resistência característica do aço (CA50 - 5000 kgf/cm²) 
 
T= (88.000 x (155 -20)) / 8 x 39,50 
T= 37.595kgf 
 
 
07
As= (1,61 x 38.323) / 5000 
 
As= 12,11cm² 
 
Utilzando barras de 12,5mm (As=1,25cm²) 
 
n =12,11 / 1,25 = 9,68 = 10 barras 
 
Espaçamento = (155 - 10) / 9 = 16cm 
 
10ϕ 12,5 mm c/ 16cm para cada lado como sapata quadrada 
 
Detalhamento vide exemplo. 
 
 
08
Exercício 02
Dimensionar uma sapata de fundação superficial para um pilar com seção transversal
25 x 100 cm, que transfere à sapata uma carga vertical centrada total de 200t, com
armadura vertical no pilar composta por barras de 16 mm, tensãoadmissível do solo
(σadm) de 3,2 kgf/cm2) e: 
 
momentos fletores solicitantes externos inexistentes (Mx = My = 0); 
coeficientes de ponderação da segurança: γc = γf = 1,4 ; γs = 1,15; 
materiais: concreto C25, aço CA-50 (fyk = 5000 kgf/cm2); 
cobrimento de concreto: c = 5 cm. 
 
Passo 05: Cálculo área da base / dimensões: 
 
Como o pilar é retangular, vamos optar por sapata retangular também. 
 
σ = P / A 
 
A nossa tensão admissível é σadm = 3,2 kgf/cm² 
P é uma força, que no nosso caso é a carga do pilar, 200t ou 200.000,00kgf (carga já
majorada) 
Essa é a carga que a superestrutura está transferindo às fundações, ainda falta
adicionar o peso próprio da sapata e do solo sobre a mesma. Normalmente considera-
se 10% da carga total transferida pela superestrutura. 
 
Sendo assim: P = 1,1 x 200.000,00 = 220.000,00kgf 
 
Agora é só substituir: 
 
A = Pmaj / σ =220.000 / 3,20 = 68.750,00cm² 
 
B = 0,5 x (25-100) + raiz(0,25 x (25-100)² + 68.750) 
B = 0,5 x -75 + raiz(0,25 x 5625 + 68.750) 
B = -37,5 + raiz (1406,25 + 68.750) 
B= = 227,37cm = 230cm 
 
e... 
 
A - 227,37 = 100-25 
A = 75+ 227,37 
A = 302,37 = 305cm 
 
Área da Sapata = 230 x 305 = 70.150cm² > 68.750,00cm² ok!! 
 
Passo 06: Verificação se a zona de plastificação estimada condiz com a realidade 
 
Não se aplica condições geotécnicas fornecidas pelo problema (já estudado). 
 
09
Passo 07: Cálculo da altura da sapata 
 
Critério 01: A sapata deve atender a altura mínima para ser considerada rígida segundo
a NBR 6118, conforme a formulação abaixo. 
 
Considerando que temos um pilar retangular de 100x25cm e sapata retangular de
305x230cm 
 
h= (305 - 100) / 3 = 68,33cm arredondando 70cm 
 
Passo 08: Verificação do comprimento de ancoragem das barras longitudinais do
pilar 
 
Na questão da altura, além da rigidez da sapata, devemos garantir a ancoragem das
armadura longitudinais do pilar. 
Sabendo que na região do pilar temos boa ancoragem, podemos utilizar a tabela
abaixo para descobrir o comprimento de ancoragem (Lb) 
Adotaremos a utilização de ganho (critério do projetista) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para concreto C25 a tabela nos dá como resultado prevendo a utilização de gancho =
26 
Lb =26 x ϕ(cm) 
ϕ(cm) = diâmetro da armadura longitudinal do pilar em cm 
Lb= 26x1,6=41,6cm 
 
Para satisfazer a verificação de ancoragem, percebemos observando a ilustração
abaixo que a altura útil da sapata d, deve ser maior que o comprimento de ancoragem
Lb 
 
A altura útil da sapata é calculada da seguinte forma: 
 
d = h - c - ϕ1 
 
Sendo: 
h= altura total da sapata 
c= cobrimento 
ϕ1= diâmetro da armadura da sapata (considerada a princípio 12,5mm) 
 
10
 
Portanto: d= 70 - 5 - (1,25 / 2)= 64,375cm 
 
Se d>Lb 
Então 64,375>41,6 ok!! 
 
Desta forma está verificado o comprimento de ancoragem. Caso não ok, aumentar a
altura da sapata ou fck do concreto até passar na verificação. 
 
Passo 09: Cálculo da aba da sapata (ho) 
 
O cálculo da aba da sapata deve seguir duas condições 
 
1) Deve ser maior ou igual a 15cm 
2) Deve ser maior que h/3 
 
Adotaremos então ho = 23,33 = 25cm 
 
Passo 10: Verificação da diagonal comprimida 
 
Como a sapata é rígida, não ocorre a ruptura por punção, por isso basta verificar a
tensão na diagonal de compressão, na superfície crítica C. 
 
Superfície Crítica C = u0 = perímetro do pilar 
u0= 25+100+25+100 = 250cm 
 
A verificação da diagonal comprimida deve satisfazer a seguinte equação: 
 
 
 
 
Onde o esforço cisalhante solicitante deve ser menor do que o esforço cisalhante
resistente. 
 
O esforço cisalhante resistente é dado pela fórmula: 
 
 
 
Onde: 
 
 
 
 
11
 
Desta forma: 
 
fcd= fck/1,4 
fck em (kN/cm²) de MPa p/ kN/cm² divide por 10 
 
trd2 = 0,27 x (1 - (25/250)) x (2,5/1,4) 
trd2 = 0,434 kN/cm² = 44 kgf/cm² 
 
E o esforço cisalhante solicitante é dado pela fórmula: 
 
 
 
 
 
Em que: 
Fsd = esforço solicitante majorado = 200.000 kgf 
u0 = perímetro do pilar = 250cm 
d= altura útil da sapata 
 
Desta forma: 
 
tsd = 200.000 / (250 x 64,375) = 12,43kgf/cm² 
 
Desta forma percebemos que o esforço cisalhante solicitante é menor do que o esforço
cisalhante resistente. Caso não ok, aumentar a altura da sapata ou fck. 
 
Tudo ok, podemos prosseguir. 
 
Passo 11: Verificação da aplicabilidade do "Método das Bielas" 
 
Para cálculo da armadura, considera-se que a carga é transferida do pilar para a base
da sapata por meio de bielas de concreto comprimido, que induzem tensões de tração
na base da sapata, que devem ser resistidas por armadura. 
 
d ≥ (305 - 100) / 4 = 51,25cm ok!! 
d ≥ (230 - 25) / 4 = 51,25cm ok!! 
d ≥ 1,44 x raiz(2.000 / (0,85 x (25.000/1,96)) = 0,618m = 61,8cm ok!! 
 
Foi calculado anterior d=63,75cm, sendo assim, o método das bielas pode ser aplicado. 
 
Passo 12: Cálculo da armadura 
 
Para isso devemos calcular as forças de tração na base da sapata (Tx e Ty) e
posteriormente calcular a área de armadura (Asx e Asy) utilizando as fórmulas abaixo: 
 
 
12
Sendo: 
Tx= força de tração na base da sapata na direção x (?) 
Ty= força de tração na base da sapata na direção y (?) 
P= carga do pilar (220.000kgf) 
a= maior dimensão da sapata (305cm) 
b= menor dimensão da sapata (230cm) 
ao = maior dimensão do pilar (100cm) 
bo= menor dimensão do pilar (25cm) 
d= altura útil (64,375cm) 
fyk= resistência característica do aço (CA50 - 5000 kgf/cm²) 
 
Tx= (220.000 x (305 - 100)) / 8 x 64,375 
Tx= 87.572,82kgf 
 
Ty= (220.000 x (230 - 25)) / 8 x 64,375 
Ty= 87.572,82kgf 
 
Se Tx = Ty, então Asx = Asy 
 
Asx = Asy = (1,61 x 87.572,82) / 5000 
 
As= 28,20cm² 
 
Cada barra de 16mm tem área de 2,00cm² como pode-se ver na tabela. 
 
Sendo assim: 
 
O número de barras (n) necessário será 
 
n = 28,20/2,00 = 14,09 = 15 barras 
n = 15 
 
Lembrando que o espaçamento entre barras deverá ficar entre 10cm e 20cm 
 
Esp = 
 
Espassamento para x = (305-10) / 14 = 21cm 
Espassamento para y = (230-10) / 14 = 16cm 
 
Em x = 15ϕ16mm c/ 21cm 
Em y = 15ϕ16mm c/ 16cm 
 
Detalhamento vide exemplo 
 
 
13
Essa é a carga que a superestrutura está transferindo às fundações, ainda falta
adicionar o peso próprio da sapata e do solo sobre a mesma. Normalmente considera-
se 10% da carga total transferida pela superestrutura. 
 
Sendo assim: P = 1,1 x 10.000 = 11.000 kgf 
 
Agora é só substituir: 
 
A = Pmaj / σ = 11.000/ 2 = 5.500cm² 
 
Sabemos que a área de um quadrado é lado x lado, ou seja A = L² 
 
Substituindo L² = 5.500cm², para resolver essa equação basta extrair a raiz 
 
L = raiz (5.500) =74,16cm, na prática 75cm 
 
Ou seja, as dimensões do nosso bloco seriam: 
 
B1 (75 x 75) 
 
Já a altura deve satisfazer (α=60º), portanto: 
 
h = ((a - a0)/2) x tg60º 
 
h = ((75 - 25)/2) x 1,73 = 43,30 = 45cm 
 
Portanto as dimensões do nosso bloco de fundação seriam: 
 
B1 (75 x 75) 
h= 45cm 
 
 
 
 
Exercício 03