Cálculo de Limites e Continuidade em R2

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MA211 – Limites e Continuidade
(i) Calcule caso exista:
a) lim(x,y)→(0,0) x sin
1
x2+y2
b) lim(x,y)→(0,0)
x√
x2+y2
;
c) lim(x,y)→(0,0)
xy(x−y)
x4+y4
d) lim(x,y)→(0,0)
x+y
x−y .
(ii) Seja f(x, y) = 2xy
2
x2+y4
.
a) Considere a reta γ(t) = (at, bt) com a2 + b2 > 0. Mostre que quaisquer que sejam a, b
tem-se que
lim
t→0
f(γ(t)) = 0.
b) Calcule limt→0 f(δ(t)), onde δ(t) = (t, t
2);
c) lim(x,y)→(0,0)
2xy2
x2+y4
existe? Por quê?
(iii) Seja
f(x, y) =
{
e
(
1
x2+y2−1
)
se x2 + y2 < 1
0 se x2 + y2 ≥ 1.
.
Calcule
lim
(x,y)→
(√
2
2
,
√
2
2
) f(x, y)x2 + y2 − 1 .
(iv) Prove que se f for cont́ınua em (x0, y0) ∈ R2 e se f(x0, y0) > 0 então existe δ > 0 tal que
‖(x, y)− (x0, y0)‖ < δ =⇒ f(x, y) > 0.
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