Maquinas de Fluxo

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Máquinas de Fluxo Prof. Carlos Catunda 1
Máquinas de Fluxo
Prof. Carlos Catunda
PARTE 1/2
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Prof. Carlos Catunda 2Máquinas de Fluxo
1. Definições,
2. Classificação de máquinas de fluxo e componentes básicos.
3. Transformação de energia em trabalho
4. Perdas e rendimento em máquinas de fluxo
5. O mecanismo do fluxo no rotor
6. Curvas características para bombas
7. Cavitação e altura de sucção das bombas hidráulicas
8. Associação e testes de bombas
9. Características construtivas
10.Materiais. Aplicações
Ementa
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1. Compreender os princípios de funcionamento das máquinas de fluxo.
� Identificar a estrutura e o funcionamento das máquinas de fluxo e a
sua operacionalidade.
� Analisar o mecanismo do fluxo no rotor e identificar suas aplicações
nas máquinas de fluxo, permitindo o calculo de parâmetros.
2. Conhecer os fundamentos conceituais das máquinas de fluxo e sua
aplicação nos vários tipos de bombas.
� Identificar e calcular as perdas de carga e o rendimento das máquinas
de fluxo.
� Analisar as propriedades físicas do fluido de trabalho.
Objetivos Gerais / Objetivos Específicos
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3. Desenvolver capacidade de selecionar e aplicar esses equipamentos em
projetos de instalações. Aprender noções de projeto destes equipamentos.
� Identificar os princípios básicos das energias de pressão e suas
aplicações. Comparar curvas características para bombas.
� Analisar o funcionamento de turbinas a vapor, de turbinas a gás,
compressores e ventiladores.
Objetivos Gerais / Objetivos Específicos
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Capítulo 1 - Introdução às Máquinas de Fluxo
Capítulo 2 – Teoria de Bombas Centrifugas
Capítulo 3 – Curvas Características e Associação de Bombas Série/Paralelo
Capítulo 4 – Coeficiente Adimensionais e Leis de Semelhança
Capítulo 5 – Curvas Operacionais de Sistemas de Bombeamento
Capítulo 6 - Sistemas de Bombeamento
Capítulo 7 - Perda de Carga em Sistemas de Bombeamento
Capítulo 8 – Cavitação
Sumário
Prof. Carlos Catunda 6Máquinas de Fluxo
1. de Mattos, E. E.; de Falco, R.; BOMBAS
INDUSTRIAIS, 2a ed., Editora Interciência
2. Fox, R. W. Introdução à Mecânica dos
Fluidos Editora LTC – 8aed
3. Alé, J. A. V., Sistemas Fluidomecânicos,
Apostila de Sistemas de Bombeamento,
PUC-RS, 2010.
Bibliografia
Bibliografia Complementar
G. T. Csanady THEORY OF TURBOMACHINES
6a ed., São Paulo: MC Graw-Hill Book
Prof. Carlos Catunda 7Máquinas de Fluxo
1. MACINTYRE, Archibald Joséph. Bombas e instalações de
bombeamento. Rio de Janeiro: Guanabara Dois, 1982
2. SOUZA, ZULCY DE. Projeto de maquinas:base teórica e experimental. Rio
de Janeiro: Interciência,2011. T. 1
3. ASSY, Tufi Mamed. Mecânica dos fluidos: fundamentos e aplicações. 2. ed.
Rio de Janeiro: LTC, 2004
4. ÇENGEL, Yunus A.; CIMBALA, John M. Mecânica dos fluidos: fundamentos
e aplicações. São Paulo: McGraw-Hill, 2011.
5. MATTOS, Edson Ezequiel de; FALCO, Reinaldo de. Bombas industriais. 2.
ed. Rio de Janeiro: McKlausen, 1998
6. MAZURENKO, Anton Stanislavovich. Máquinas térmicas de fluxo: cálculos
termodinâmicos e estruturais. Rio de Janeiro: Interciência, 2013
7. MORAN, Michael J.; SHAPIRO, Howard N.; DEWITT, David P.; MUNSON,
Bruce Roy. Introdução à engenharia de sistemas térmicos: termodinâmica,
mecânica dos fluidos e transferência de calor. Rio de Janeiro: LTC, 2005.
Bibliografia Complementar
Prof. Carlos Catunda 8Máquinas de Fluxo
≡ 1. Máquinas de Fluxo
≡ 1.1 Máquinas Motrizes
≡ 1.2 Máquinas Geratrizes ou Operatrizes
≡ 1.3 Ventiladores e Compressores
≡ 1.4 Turbinas
≡ 1.5 Bombas Hidráulicas
≡ 1.6 Bombas Volumétricas
≡ 1.7 Turbobombas
Capítulo 1 – Introdução às Máquinas de Fluxo
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Na indústria existe uma série de sistemas e equipamentos que utilizam
máquinas para movimentação e transporte de fluidos. Todos estes
processos estão relacionados com a energia e seus processos de
transformação.
A energia contida nos fluidos em movimento pode ser utilizada para
acionamento de máquinas de fluxo denominadas turbinas. A energia
gerada pelas turbinas pode ser utilizada para acionamento de
bombas, ventiladores, compressores para movimentação e
transporte de fluidos com diferentes finalidades, segundo o processo
industrial em que esteja inserido.
Introdução
Uma máquina de fluxo é um dispositivo que realiza
trabalho sobre um fluido ou extrai trabalho (ou 
potência) de um fluido.
Prof. Carlos Catunda 10Máquinas de Fluxo
As turbinas hidráulicas recebem energia do fluido (água) que
transformada em energia mecânica possibilita sua transformação final
em energia elétrica.
As turbinas eólicas recebem energia dos ventos que pode ser
transformada em energia mecânica.
As turbinas a vapor são máquinas movimentadas pela elevada
energia cinética de vapores em processos de expansão as quais
possibilitam o acionamento de geradores elétricos, bombas,
compressores, ventiladores.
Introdução
Uma turbina é uma máquina de fluxo que extrai 
trabalho (ou potência) de um fluido.
Prof. Carlos Catunda 11Máquinas de Fluxo
Prof. Carlos Catunda 12Máquinas de Fluxo
As bombas e ventiladores são máquinas que recebem trabalho
mecânico através de motores e realizam trabalho sobre um fluido e
favorecem o transporte líquidos (bombas) e gases (ventiladores)
vencendo desníveis energéticos.
Os compressores são utilizados em processo frigoríficos ou em
instalações com gases ou ar comprimido para acionamento de
máquinas e ferramentas pneumáticas. Trabalham com gases com
pressões superiores às utilizadas em ventiladores, levando em
consideração as mudanças significativas da variação da massa
específica pelas mudanças de temperatura e pressão.
Introdução
Bombas , ventiladores ou compressores são máquinas 
de fluxo que realizam trabalho (ou potência) sobre um 
fluido .
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Prof. Carlos Catunda 14Máquinas de Fluxo
Sistemas fluidomecânicos possibilitam o estudo das equações que
governam o movimento das turbomáquinas como turbinas,
bombas, ventiladores e compressores.
� A equação do momento da quantidade de movimento permite
determinar a energia obtida ou recebida pelas máquinas;
� As leis de semelhança permitem avaliar o funcionamento das
turbomáquinas em diferentes condições de operação.
� A dissipação de energia no escoamento nas máquinas de fluxo
leva as diferentes perdas hidráulicas, volumétricas, mecânicas
que determinam a eficiência de tais máquinas.
� A seleção do tipo de máquina mais apropriada em diferentes
processos industriais, assim como avaliação da potência
requerida e a interpretação gráfica das curvas características
verificando o ponto de operação entre as máquinas de fluxo e os
sistemas onde estão inseridas.
Objetivos
Prof. Carlos Catunda 15Máquinas de Fluxo
As máquinas de fluxo são utilizadas para adicionar ou retirar energia de um
fluido. Podem ser dinâmicas (turbomáquinas) ou volumétricas (máq desloc.
positivo). Nas dinâmicas o aumento da pressão do fluido é contínua. Nas
volumétricas o aumento da pressão se produz reduzindo o volume do fluido
confinado hermeticamente na câmara de compressão.
1 - Máquinas de Fluxo
Prof. Carlos Catunda 16Máquinas de Fluxo
As turbomáquinas direcionam o escoamento através de lâminas,
aletas ou pás solidárias ao rotor.
� Numa turbomáquina o fluido nunca permanece confinado no
interior da máquina, está sempre circulando.
� Numa máquina volumétrica o fluido permanece periodicamente
confinado no interior da máquina.
� Todas as interações de trabalho entre fluido-rotor de uma
turbomáquina resultam dos efeitos dinâmicos do rotor sobre a
corrente de fluido.
� As turbomáquinas podem ser máquinas motrizes (ex: turbinas) ou
geratrizes (ex: bombas)
1 - Máquinas de Fluxo (Turbomáquinas)
Prof. Carlos Catunda 17Máquinas de Fluxo
As turbomáquinas apresentam os seguintes componentesbásicos.
� Boca de entrada (Bombas: boca de aspiração ou de sucção)
� Rotor Impulso ou Impelidor
� Fileira de pás, lâminas, álabes solidárias ao rotor.
� Corpo, voluta ou coletor em caracol
� Boca de saída (Bombas: boca de recalque ou de descarga)
1 - Máquinas de Fluxo (Turbomáquinas)
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1 - Máquinas de Fluxo (Turbomáquinas)
Prof. Carlos Catunda 19Máquinas de Fluxo
Transformam a energia recebida por um fluido em energia mecânica
para um aproveitamento posterior, como por exemplo, na geração de
energia elétrica.
1 - Máquinas de Fluxo
1.1. – Máquinas Motrizes
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Recebem trabalho mecânico, fornecido por uma máquina motriz
(motor elétrico, diesel) e o transformam em energia de pressão.
1 - Máquinas de Fluxo
1.2. – Máquinas Geratrizes ou Operatrizes
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1 - Máquinas de Fluxo (Comparação)
Prof. Carlos Catunda 22Máquinas de Fluxo
Os ventiladores e compressores são máquinas semelhantes já que trabalham
com gases, contudo, os ventiladores são utilizados para movimentar gases
enquanto que os compressores são utilizados para aumentar a pressão
dos gases. Os compressores causam uma variação significativa da massa
específica do gás.
� Os ventiladores são utilizados para ventilação residencial e industrial,
sistemas de exaustão e insuflamento de ar e sistemas de climatização.
� Os compressores são utilizados para aplicações de ar comprimido
acionando equipamentos a pressão de ar como transporte pneumático,
acionadores de êmbolo, em equipamentos de jato de ar como resfriadores
ou aquecedores, jateamento de areia, máquinas de percussão como
martelos de ar comprimido, ou também para acionamento de máquinas
ferramentas fixas e portáteis como furadeiras, aparafusadeiras.
Os compressores e os ventiladores podem ser máquinas dinâmicas
(rotores centrífugos, axiais ou mistos) ou volumétricas (êmbolo ou rotativos
como os de palhetas, lóbulos e de parafuso).
1 - Máquinas de Fluxo
1.3. – Ventiladores e Compressores
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1 - Máquinas de Fluxo
1.3. – Ventiladores e Compressores
Prof. Carlos Catunda 24Máquinas de Fluxo
1 - Máquinas de Fluxo
1.3. – Ventiladores e Compressores (Campo de Aplicação)
O campo de aplicação
(aplication range) dos
diferentes tipos de máquinas
de fluido é tão amplo e sujeito
a regiões de superposição,
que, muitas vezes, torna-se
difícil definir qual a melhor
máquina para determinada
aplicação.
� ventilador (fan)
� compressor (compressor)
� soprador (blower)
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� Conheça o funcionamento dos ventiladores centrífugos em:
http://youtube.com/watch?v=ReH161TJjKA
http://youtube.com/watch?v=FYLVb6xQ5Bw
� Conheça o funcionamento dos ventiladores axiais em:
http://youtube.com/watch?v=hIl963i2A4w
http://youtube.com/watch?v=mAlCUnkKwb8
1 - Máquinas de Fluxo
1.3. – Ventiladores e Compressores (Referências)
Prof. Carlos Catunda 26Máquinas de Fluxo
� Conheça o funcionamento dos compressores centrífugos em:
http://youtube.com/watch?v=CJxtGoV2xks
� Conheça o funcionamento dos compressores axiais em:
http://youtube.com/watch?v=Il27VvHu-s0
http://youtube.com/watch?v=DG8aZ_KP4X0 (parte de uma turbina)
� Conheça o funcionamento dos compressores alternativos em:
http://youtube.com/watch?v=gGULiPfuWdw
http://youtube.com/watch?v=o35KOQT6kn4
http://youtube.com/watch?v=KifAWK2hqDQ
1 - Máquinas de Fluxo
1.3. – Ventiladores e Compressores (Referências)
Prof. Carlos Catunda 27Máquinas de Fluxo
� Conheça o funcionamento dos compressores de paletas em:
http://youtube.com/watch?v=jpBHKIXaXdM
http://youtube.com/watch?v=dBoeULcFR-g
http://youtube.com/watch?v=vlNR-oiXx0k
� Conheça o funcionamento dos compressores de lóbulos em:
http://youtube.com/watch?v=6c4gLyO9ITU
� Conheça o funcionamento dos compressores de parafuso em:
http://youtube.com/watch?v=stjvbAO_6JQ
1 - Máquinas de Fluxo
1.3. – Ventiladores e Compressores (Referências)
Prof. Carlos Catunda 28Máquinas de Fluxo
As turbinas são máquinas que extraem energia de uma corrente de
fluido. O conjunto de lâminas integrantes do eixo da turbina é
chamado de roda ou rotor. São utilizadas para acionar sistemas
mecânicos ou para acionar geradores de energia elétrica. Segundo o
fluido de trabalho podem ser turbinas hidráulicas (água), turbinas
eólicas (ar) ou turbinas a vapor e a gás. As turbinas podem ter eixo
vertical e de eixo horizontal. Podem ter rotores axiais, centrífugos ou
helicocentrífugos.
O escoamento pode ser:
� compressível como no caso das turbinas a vapor e gás ou
� incompressível como no caso das turbinas eólicas e turbinas
hidráulicas.
1 - Máquinas de Fluxo
1.4. – Turbinas
Prof. Carlos Catunda 29Máquinas de Fluxo
1 - Máquinas de Fluxo
1.4. – Turbinas
Prof. Carlos Catunda 30Máquinas de Fluxo
1 - Máquinas de Fluxo
1.4. – Turbinas
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Transformam toda a energia disponível do escoamento em energia
cinética à pressão atmosférica por meio de um bocal.
� São acionadas por um o mais jatos livres de alta velocidade.
� A velocidade e a pressão se mantém praticamente constante
quando atravessam as pás do rotor.
� A expansão do fluido de alta para baixa pressão ocorre em bocais
externos ao rotor da turbina.
� O rotor trabalha parcialmente submerso no fluido.
� As turbinas Pelton possuem um distribuidor e um receptor. O
distribuidor é um bocal que permite guiar o jato de água. O rotor é
formado por pás com forma de concha.
1 - Máquinas de Fluxo
1.4. – Turbinas
1.4.1 - Turbinas de Impulsão (Turbinas Pelton, Turbinas Turgo)
Prof. Carlos Catunda 32Máquinas de Fluxo
1 - Máquinas de Fluxo
1.4. – Turbinas
1.4.1 - Turbinas de Impulsão (Turbinas Pelton, Turbinas Turgo)
Prof. Carlos Catunda 33Máquinas de Fluxo
Nas turbinas de reação parte da expansão do fluido ocorre externamente e
parte na superfície das pás.
� A aceleração externa é imposta e o fluido é conduzido para o rotor na
direção adequada através de um conjunto de pás estacionárias chamadas
aletas guias do distribuidor.
� A combinação do conjunto de pás fixas do distribuidor e das móveis do
rotor é chamado de um estágio da turbina.
� Os rotores trabalham totalmente submersos no fluido produzindo maior
potência para um dado volume do que as turbinas de impulsão.
� As turbinas hidráulicas axiais ou de hélice são apropriadas para baixas
quedas (da ordem de 30m) e grandes descargas. O receptor tem forma
de hélice de propulsão com pás perfiladas aerodinamicamente.
� As turbinas Kaplan apresentam a possibilidade de variar o passo das pás
de acordo com a descarga, permitindo maiores rendimentos.
1 - Máquinas de Fluxo
1.4. – Turbinas
1.4.2 - Turbinas de Reação (Francis, Kaplan)
Prof. Carlos Catunda 34Máquinas de Fluxo
1 - Máquinas de Fluxo
1.4. – Turbinas
1.4.2 - Turbinas de Reação (Francis, Kaplan)
Prof. Carlos Catunda 35Máquinas de Fluxo
Nas turbinas de reação parte da expansão do fluido ocorre externamente e
parte na superfície das pás.
� Nas turbinas Francis o receptor fica internamente ao distribuidor. Seu rotor
é tipo radial de fluxo misto. Possuem um difusor ou tubo de aspiração.
� As turbinas Francis possuem um distribuidor constituído por um conjunto
de pás móveis em volta do receptor, orientadas por sistema de controle
permitindo mudar o ângulo para diferentes descargas para minimizar as
perdas.
� Podem trabalhar com alturas de 5m a 500m.
1 - Máquinas de Fluxo
1.4. – Turbinas
1.4.2 - Turbinas de Reação (Francis, Kaplan)
Prof. Carlos Catunda 36Máquinas de Fluxo
1 - Máquinas de Fluxo
1.4. – Turbinas
1.4.2 - Turbinas de Reação (Francis, Kaplan)
Prof. Carlos Catunda 37Máquinas de Fluxo
1 - Máquinas de Fluxo
1.4. – Turbinas
Prof. Carlos Catunda 38Máquinas de Fluxo
As turbinas podem ser também classificadas segundo a direção do
escoamento através do rotor:
� Turbinas radial (Centrífugas)
� Turbinas axiais (Hélice, Kaplan, Straflo, tubular, bulbo),
� Turbinas tangenciais (Pelton,Michell-Banki)
� Turbinas com escoamento misto ou diagonal (Francis, Deriaz).
1 - Máquinas de Fluxo
1.4. – Turbinas
1.4.2 - Turbinas Segundo a Direção do Escoamento
Prof. Carlos Catunda 39Máquinas de Fluxo
1 - Máquinas de Fluxo
1.4. – Turbinas (Campo de Aplicação)
O campo de aplicação
(aplication range) dos
diferentes tipos de máquinas
de fluido é tão amplo e sujeito
a regiões de superposição,
que, muitas vezes, torna-se
difícil definir qual a melhor
máquina para determinada
aplicação.
� Michell-Banki (Ossberger)
micro e mini-centrais
hidrelétricas
Prof. Carlos Catunda 40Máquinas de Fluxo
� Conheça o funcionamento das Turbinas de Impulsão Pelton em:
http://youtube.com/watch?v=eofaMiaF6wc
http://youtube.com/watch?v=axQfYvdkTuE
� Conheça o funcionamento das Turbinas de Reação Francis em:
http://youtube.com/watch?v=Q0F-9HciA-A
http://youtube.com/watch?v=LdAAg2kK0Jo
� Conheça o funcionamento das Turbinas de Reação Kaplan em:
http://youtube.com/watch?v=0p03UTgpnDU
http://youtube.com/watch?v=6FXah2FcXSE
1 - Máquinas de Fluxo
1.4. – Turbinas (Referências)
Prof. Carlos Catunda 41Máquinas de Fluxo
� Conheça a comparação Pelton, Francis e Kaplan em:
http://youtube.com/watch?v=ZtNOpopvO7c
� Conheça o funcionamento das Turbinas tangenciais Michell-Banki
em:
http://youtube.com/watch?v=hGljiI_sN0A
� Conheça o funcionamento das Turbinas de fluxo misto Deriaz em:
http://youtube.com/watch?v=S5qLySL3bYs
1 - Máquinas de Fluxo
1.4. – Turbinas (Referências)
Prof. Carlos Catunda 42Máquinas de Fluxo
As turbinas a vapor aproveitam a energia do vapor saturado ou
sobreaquecido a altas pressões. O escoamento é compressível e desta
forma a massa especifica do fluido de trabalho varia significativamente. A
maioria é do tipo de fluxo axial.
São empregadas nas termoeléctricas para acionamento de geradores
elétricos. Podem também ser utilizadas para propulsão de barcos, aeronáutica
e trens de alta velocidade ou para movimentar máquinas rotativas, bombas,
compressores e ventiladores. Podem ser de impulsão ou de reação.
� Nas turbinas de impulsão ou de ação o vapor é completamente expandido
em um ou vários bocais fixos antes de atingir as pás do rotor.
� Nas turbinas de reação o vapor também se expande sendo a pressão do
vapor na entrada do rotor é maior que a pressão na saída.
As turbinas a gás são uma tecnologia mais recente das máquinas a vapor.
Apresentam alto torque e são silenciosas
1 - Máquinas de Fluxo
1.4. – Turbinas
1.4.2 - Turbinas a Vapor e Turbinas a Gás
Prof. Carlos Catunda 43Máquinas de Fluxo
� Conheça o funcionamento das Turbinas de impulsão a vapor em:
http://youtube.com/watch?v=w0tRID8uIjI
1 - Máquinas de Fluxo
1.4. – Turbinas (Referências)
Prof. Carlos Catunda 44Máquinas de Fluxo
Bombas são máquinas utilizadas para transporte de líquidos. São máquinas
de fluxo semelhantes aos ventiladores. A designação corrente no meio
profissional discrimina bombas de ventiladores de acordo com o fluido de
trabalho. As bombas promovem o deslocamento de líquidos, os
ventiladores propiciam a movimentação de gases, ambos transferindo energia
a estes fluidos de trabalho. As bombas classificam-se como turbobombas e
volumétricas.
1 - Máquinas de Fluxo
1.5. – Bombas Hidráulicas
Prof. Carlos Catunda 45Máquinas de Fluxo
Estas bombas são empregadas para trabalhar com altas pressões. A
descarga do fluido é pulsante. No seu movimento o êmbolo se afasta do
cabeçote provocando a aspiração do fluido através de uma válvula de
admissão. Na etapa de retorno o fluido é comprimido obrigando o fluido a sair
pela válvula de descarga. Seu funcionamento é pulsante já que o fluido fica
confinado no cilindro durante a aspiração. Estas bombas podem ter um ou
vários cilindros. A pulsação diminui conforme aumenta o número de cilindros.
1 - Máquinas de Fluxo
1.6. – Bombas Volumétricas
1.6.1 - Bombas Alternativas ou de Deslocamento Positivo
Prof. Carlos Catunda 46Máquinas de Fluxo
� Conheça o funcionamento das Bombas Volumétricas Alternativas
de Pistão em:
http://youtube.com/watch?v=vX5k_9AwGMg
http://youtube.com/watch?v=vOHoLjafoW0
� Conheça o funcionamento das Bombas Volumétricas Alternativas
de Diafragma em:
http://youtube.com/watch?v=9_JFbT3kwc4
http://youtube.com/watch?v=UScibLE3ZLs
1 - Máquinas de Fluxo
1.6. – Bombas Volumétricas (Referências)
Prof. Carlos Catunda 47Máquinas de Fluxo
Operam pela ação um rotor. Diferentemente das bombas de descolamento
positivo estas não apresentam válvulas que permitam controlar o fluido na
aspiração e na descarga. Podem trabalhar com líquidos muito viscosos e
com sólidos em suspensão. Conseguem atingir pressões muito elevadas
até de 3500 mca. Podem transportar fluidos tais como graxas, óleos vegetais
e minerais, melaço, tintas e vernizes, argamassas e outros.
1 - Máquinas de Fluxo
1.6. – Bombas Volumétricas
1.6.2 - Bombas Rotativas
Prof. Carlos Catunda 48Máquinas de Fluxo
( a ) Bomba de Engrenagem
No funcionamento típico de uma bomba de engrenagem as rodas dentadas
trabalham no interior da carcaça com mínima folga. O fluido confinado é
deslocado pelos dentes e forçado a sair pela tubulação de descarga. Para
uma determinada rotação a descarga e a pressão são praticamente
constantes.
1 - Máquinas de Fluxo
1.6. – Bombas Volumétricas
1.6.2 - Bombas Rotativas
Prof. Carlos Catunda 49Máquinas de Fluxo
( b ) Bombas de Lóbulos
As bombas de lóbulos são mais apropriadas para mover e comprimir gases,
sendo utilizadas para movimentar líquidos viscosos. Existe um lóbulo motor e
outro livre montados ortogonalmente. A bolsa de líquido aprisionada na sução
é conduzida até o recalque.
1 - Máquinas de Fluxo
1.6. – Bombas Volumétricas
1.6.2 - Bombas Rotativas
Prof. Carlos Catunda 50Máquinas de Fluxo
( c ) Bombas de Palhetas
As bombas de palhetas deslizantes tem palhetas radiais (4 a 8) que pela ação
centrífuga deslocam-se em direção a carcaça, sobre a qual deslizam. O rotor é
montado excentricamente e sua velocidade é limitada para mover gases
sendo utilizada também para bombeamento de líquidos.
1 - Máquinas de Fluxo
1.6. – Bombas Volumétricas
1.6.2 - Bombas Rotativas
Prof. Carlos Catunda 51Máquinas de Fluxo
( c ) Bombas de Parafuso
As bombas parafuso permitem elevar desde
pequenas a altas vazões em alturas relativamente
baixas, sendo útil no campo de saneamento para
elevatórias de esgoto, recirculação de lodos
ativados, elevação de águas, controle de
inundações pluviais e bombeamento em plantas
de tratamentos de resíduos industriais. Pode ser
ainda usada para bombeamento de sólidos
granulados como carvão e grãos, e na irrigação
de campos agrícolas sem bombas elétricas
1 - Máquinas de Fluxo
1.6. – Bombas Volumétricas
1.6.2 - Bombas Rotativas
Prof. Carlos Catunda 52Máquinas de Fluxo
� Conheça o funcionamento das Bombas Volumétricas Rotativas de
Engrenagem em:
http://youtube.com/watch?v=MoKd0cILUJQ
http://youtube.com/watch?v=Bhxiq3GOQgs
� Conheça o funcionamento das Bombas Volumétricas Rotativas de
Lóbulos em:
http://youtube.com/watch?v=C1yEK4JuZGM
� Conheça o funcionamento das Bombas Volumétricas Rotativas de
Palhetas em:
http://youtube.com/watch?v=yQnMiwRh3CU
http://youtube.com/watch?v=XNac5EX5zW0
1 - Máquinas de Fluxo
1.6. – Bombas Volumétricas (Referências)
Prof. Carlos Catunda 53Máquinas de Fluxo
Nestas máquinas o fluido é aspirado pela
boca de entrada até atingir o rotor
denominado impulsor ou impelidor. O rotor
conta com uma fileira de pás, lâminas,
álabes, sendo envolvido por um corpo
denominado voluta ou coletor em caracol. A
voluta transforma a energia cinética
adquirida pelo fluido ao passar pelo rotor em
energia de pressão. O fluido abandona a
bomba pela boca de saída denominada boca
de recalque ou de descarga.
1 - Máquinas de Fluxo
1.7. – Turbobombas
Todas as interações de trabalho em uma turbomáquina 
resultam de efeitos dinâmicos do rotor sobre a 
corrente de fluido.
Prof. Carlos Catunda 54Máquinas de Fluxo
Os rotores podem ser radiais (bombas centrífugas), axiais (bombas
axiais) ou mistos (bombas hélico-centrífugas).� O rotor pode ser de simples aspiração ou de aspiração dupla o qual
permite aumentar a vazão fornecida.
� Para aumentar a pressão as turbobombas podem ter vários
estágios.
� Os rotores podem ser fechados, abertos semi-abertos.
� Podem transportar fluidos limpos ou com partículas em suspensão.
1 - Máquinas de Fluxo
1.7. – Turbobombas
Prof. Carlos Catunda 55Máquinas de Fluxo
Geometria do percurso do fluido
� Máquinas de fluxo radial, a
trajetória do fluido é
essencialmente radial, com
mudanças significativas no raio, da
entrada para a saída. (Máquinas
centrífugas)
� Máquinas de fluxo axial, a
trajetória do fluido é
aproximadamente paralela à linha
de centro da máquina, e o raio de
percurso aprox. não varia.
� Máquinas de fluxo misto, o raio
da trajetória do fluido varia
moderadamente.
1 - Máquinas de Fluxo
1.7. – Turbobombas
Prof. Carlos Catunda 56Máquinas de Fluxo
1 - Máquinas de Fluxo
1.7. – Turbobombas
Prof. Carlos Catunda 57Máquinas de Fluxo
As bombas centrifugas são amplamente utilizadas na indústria.
� Apresentam capacidade de 0,5m3/h até 20.000m3/h e trabalham com
alturas manométricas entre 1,5 a 5000 mca (metros de coluna de
água).
� Caracterizam-se por ausência de pulsação em serviço contínuo.
� Apresentam um rotor com pás montado em um eixo girando no
interior da carcaça.
� O fluido chega ao centro do rotor através de uma boca de aspiração
sendo forçado através de pás do rotor para a periferia onde atinge
uma velocidade elevada. Saindo da ponta das pás o líquido passa
para a voluta onde ocorre a transformação da energia cinética em
energia de pressão.
1 - Máquinas de Fluxo
1.7. – Turbobombas
1.7.1.- Bombas Centrífugas
Prof. Carlos Catunda 58Máquinas de Fluxo
1 - Máquinas de Fluxo
1.7. – Turbobombas
1.7.1.- Bombas Centrífugas
Prof. Carlos Catunda 59Máquinas de Fluxo
As bombas centrífugas podem trabalhar com água limpa, água do
mar, condensados, óleos com pressões até de 160 mca. e
temperatura de até 140°C. Na indústria química e petroquímica podem
ser utilizadas para trabalhar com água até 300°C e pressões de até
250 mca. Bombas de processo podem operar com temperaturas de até
400°C e pressões de até 450 mca. O material da carcaça depende do
tipo de serviço. Para líquidos com temperatura de até 250°C utiliza-se
ferro fundido. Para óleos soluções e produtos químicos com
temperaturas de trabalha de até 450°C utiliza-se aço fundido. Para
pressões elevadas (acima de 10 MPa) emprega-se aço forjado.
Produtos químicos corrosivos requerem emprego de bronze, inox e
em casos especiais vidro ou materiais plásticos. O alumínio é
utilizado para bombear formol. O eixo da bomba centrífuga é fabricado
de aço ou liga de alta resistência mecânica. Utiliza-se aço SAE 1035,
SAE 4414, e SAE 2340, e ligas contendo 11 a 13 % de cromo.
1 - Máquinas de Fluxo
1.7. – Turbobombas
1.7.1.- Bombas Centrífugas
Prof. Carlos Catunda 60Máquinas de Fluxo
Os rotores das bombas centrífugas podem ser fechados ou abertos.
� Os rotores fechados têm paredes laterais minimizando o vazamento entre a
aspiração e descarga. São utilizados para bombeamento de líquidos limpos.
� O rotor semi-aberto é fechado só na parte traseira.Os rotores abertos não
apresentam paredes laterais. Ambos são utilizados para bombear líquidos
viscosos ou contendo sólidos em suspensão.
Os rotores de bombas são fundidos numa única peça, podendo ser de ferro
fundido, bronze ou inox, em material plástico ou borracha.
1 - Máquinas de Fluxo
1.7. – Turbobombas
1.7.1.- Bombas Centrífugas
Prof. Carlos Catunda 61Máquinas de Fluxo
Os rotores axiais são utilizados para trabalhar com grandes vazões e
pequenas alturas manométricas. Tipicamente 500m3/h ou mais e alturas
manométricas inferiores a 15mca. Operam com velocidade maiores que os
radiais. Nos rotores de escoamento misto ou tipo turbina as pás tem curvatura
dupla, (forma helicoidal) desta forma o escoamento é parcialmente axial e
parcialmente radial. Operam com velocidades menores que os axiais.
Trabalham tipicamente com capacidade acima de 20m3/h e altura manométrica
até 30mca.
1 - Máquinas de Fluxo
1.7. – Turbobombas
1.7.2.- Bombas Axiais
Prof. Carlos Catunda 62Máquinas de Fluxo
1 - Máquinas de Fluxo
Bombas (Campo de Aplicação)
O campo de aplicação
(aplication range) dos
diferentes tipos de máquinas
de fluido é tão amplo e sujeito
a regiões de superposição,
que, muitas vezes, torna-se
difícil definir qual a melhor
máquina para determinada
aplicação.
Prof. Carlos Catunda 63Máquinas de Fluxo
� Conheça o funcionamento das Turbobombas Centrífugas em:
http://youtube.com/watch?v=SpKuTfw560U
� Conheça o funcionamento das Turbobombas Axiais em:
http://youtube.com/watch?v=hp-I76nfMh4
http://youtube.com/watch?v=X36X25UhFXE
1 - Máquinas de Fluxo
1.7. – Bombas Turbobombas (Referências)
Prof. Carlos Catunda 64Máquinas de Fluxo
1 - Máquinas de Fluxo
Considerações Finais (Rotores - impeller ou runner)
Prof. Carlos Catunda 65Máquinas de Fluxo
1 - Máquinas de Fluxo
Considerações Finais (Rotores - impeller ou runner)
Prof. Carlos Catunda 66Máquinas de Fluxo
1 - Máquinas de Fluxo
Considerações Finais (sistema diretor - stationary guide casing)
Classificação das Máquinas de Fluxo
Segundo a direção da conversão de energia
MFO (Máquina de Fluxo Operatriz) – “bombas” o sistema diretor de
saída é fundamentalmente um difusor (diffuser) que transforma parte
da energia de velocidade do líquido que é expelido pelo rotor em
energia de pressão
Prof. Carlos Catunda 67Máquinas de Fluxo
1 - Máquinas de Fluxo
Considerações Finais (sistema diretor - stationary guide casing)
Classificação das Máquinas de Fluxo
Segundo a direção da conversão de energia (MFO)
Prof. Carlos Catunda 68Máquinas de Fluxo
1 - Máquinas de Fluxo
Considerações Finais (sistema diretor - stationary guide casing)
Classificação das Máquinas de Fluxo
Segundo a direção da conversão de energia (MFO)
Prof. Carlos Catunda 69Máquinas de Fluxo
1 - Máquinas de Fluxo
Considerações Finais (sistema diretor - stationary guide casing)
Classificação das Máquinas de Fluxo
Segundo a direção da conversão de energia (MFO)
Prof. Carlos Catunda 70Máquinas de Fluxo
1 - Máquinas de Fluxo
Considerações Finais (sistema diretor - stationary guide casing)
Classificação das Máquinas de Fluxo
Segundo a direção da conversão de energia (MFM)
MFM (Máquina de Fluxo Motriz) – “turbinas” o fluido dotado de energia cinética
e de energia potencial, antes de encontrar o rotor, encontra o distribuidor cuja
função, que é: além de orientar o fluxo de fluido segundo as pás do rotor, para
reduzir os efeitos de choques, tem como objetivo principal transformar a
energia potencial contida no fluido em movimento em energia cinética
antes do rotor, pois o rotor só “entende” este tipo de energia.
Prof. Carlos Catunda 71Máquinas de Fluxo
1 - Máquinas de Fluxo
Considerações Finais (sistema diretor - stationary guide casing)
Classificação das Máquinas de Fluxo
Segundo a direção da conversão de energia (MFM)
MFM (Máquina de Fluxo Motriz) – Enquanto isto, numa turbina hidráulica do
tipo Pelton, o sistema diretor é, em última análise, um injetor (nozzle) que
transforma a energia de pressão do fluido em energia de velocidade que
será fornecida ao rotor através de jatos convenientemente orientados.
� Em alguns tipos de máquinas o sistema diretor não se faz presente, como
nos ventiladores axiais de uso doméstico. A existência do rotor, no entanto,
é imprescindível para a caracterização de uma máquina de fluxo.
Prof. Carlos Catunda 72Máquinas de Fluxo
1 - Máquinas de Fluxo
Considerações Finais (sistema diretor - stationary guide casing)
Classificação das Máquinas de Fluxo
Segundo a direção da conversão de energia (MFM)
Prof. Carlos Catunda 73Máquinas de Fluxo
1 - Máquinas de Fluxo
Considerações Finais (sistema diretor - stationary guide casing)
Classificação das Máquinas de Fluxo
Segundo a direção da conversão de energia (MFM)
Prof. Carlos Catunda 74Máquinas de Fluxo
1 - Máquinas de Fluxo
Considerações Finais (sistemadiretor - stationary guide casing)
Classificação das Máquinas de Fluxo
Segundo a direção da conversão de energia (MFM)
Prof. Carlos Catunda 75Máquinas de Fluxo
1 - Máquinas de Fluxo
Classificação das Máquinas de Fluxo
Segundo a forma dos canais entre as pás (Ação – impulse
turbomachines)
Nas máquinas de fluxo de ação os canais do rotor constituem simples
desviadores de fluxo, não havendo aumento ou diminuição da pressão do
fluido que passa através do rotor.
Prof. Carlos Catunda 76Máquinas de Fluxo
1 - Máquinas de Fluxo
Considerações Finais (pás giratórias - runner blades)
Classificação das Máquinas de Fluxo
Segundo a forma dos canais entre as pás (Reação – Reaction
turbomachines)
Nas máquinas de fluxo de reação os
canais constituídos pelas pás móveis
do rotor têm a forma de injetores (nas
turbinas) ou a forma de difusores (nas
bombas e nos ventiladores), havendo
redução, no primeiro caso (turbina),
ou aumento, no segundo caso
(bombas e ventiladores), da pressão
do fluido que passa através do rotor.
Prof. Carlos Catunda 77Máquinas de Fluxo
1 - Máquinas de Fluxo
Considerações Finais (pás giratórias - runner blades)
Classificação das Máquinas de Fluxo
Segundo a trajetória do fluído no rotor
� Radiais
� Axiais
� Tangenciais
� Diagonais, semi-axiais ou de fluxo misto
Prof. Carlos Catunda 78Máquinas de Fluxo
1 - Máquinas de Fluxo
Considerações Finais (pás giratórias - runner blades)
Classificação das Máquinas de Fluxo
Segundo a trajetória do fluído no rotor
Radiais
� Nas máquinas de fluxo radiais (radial flow turbomachines) o
escoamento do fluído através do rotor percorre uma trajetória
predominantemente radial (perpendicular ao eixo do rotor).
Prof. Carlos Catunda 79Máquinas de Fluxo
1 - Máquinas de Fluxo
Considerações Finais (pás giratórias - runner blades)
Classificação das Máquinas de Fluxo
Segundo a trajetória do fluído no rotor
Radiais (radial flow turbomachines)
Prof. Carlos Catunda 80Máquinas de Fluxo
1 - Máquinas de Fluxo
Considerações Finais (pás giratórias - runner blades)
Classificação das Máquinas de Fluxo
Segundo a trajetória do fluído no rotor
Axiais
� Nas máquinas de fluxo axiais (axial flow turbomachines) o
escoamento do fluído através do rotor percorre uma trajetória
paralela ao eixo do rotor).
Prof. Carlos Catunda 81Máquinas de Fluxo
1 - Máquinas de Fluxo
Considerações Finais (pás giratórias - runner blades)
Classificação das Máquinas de Fluxo
Segundo a trajetória do fluído no rotor
Axiais (axial flow turbomachines)
Prof. Carlos Catunda 82Máquinas de Fluxo
1 - Máquinas de Fluxo
Considerações Finais (pás giratórias - runner blades)
Classificação das Máquinas de Fluxo
Segundo a trajetória do fluído no rotor
Tangenciais
� Nas máquinas de fluxo tangenciais (tangencial flow
turbomachines) o jato líquido proveniente do injetor incide
tangencialmente sobre o rotor.
Prof. Carlos Catunda 83Máquinas de Fluxo
1 - Máquinas de Fluxo
Considerações Finais (pás giratórias - runner blades)
Classificação das Máquinas de Fluxo
Segundo a trajetória do fluído no rotor
Tangencial (tangencial flow turbomachines)
Prof. Carlos Catunda 84Máquinas de Fluxo
1 - Máquinas de Fluxo
Considerações Finais (pás giratórias - runner blades)
Classificação das Máquinas de Fluxo
Segundo a trajetória do fluído no rotor
Diagonal
� Quando o escoamento não é axial nem radial, a máquina é
denominada de fluxo misto, com as partículas de fluído percorrendo
o rotor numa trajetória situada sobre uma superfície
aproximadamente cônica.
� Turbina Francis Rápida
� Turbina hidráulica Dériaz
Prof. Carlos Catunda 85Máquinas de Fluxo
1 - Máquinas de Fluxo
Considerações Finais (pás giratórias - runner blades)
Classificação das Máquinas de Fluxo
Segundo a trajetória do fluído no rotor
Diagonal (mixed flow turbomachines)
Prof. Carlos Catunda 86Máquinas de Fluxo
Estudo Dirigido
Atividade em grupo (em sala)
Exercícios Teóricos 
x
PROCESSO SELETIVO (PETROBRAS 2010). ENGENHEIRO(A) DE EQUIPAMENTOS JÚNIOR MECÂNICA
Prof. Carlos Catunda 87Máquinas de Fluxo
x
Estudo Dirigido
Atividade em grupo (em sala)
Exercícios Teóricos 
PROCESSO SELETIVO (TRANSPETRO 2012): 
ENGENHEIRO JÚNIOR MECÂNICA
PROCESSO SELETIVO (TRANSPETRO 2012): 
ENGENHEIRO JÚNIOR MECÂNICA:.
Prof. Carlos Catunda 88Máquinas de Fluxo
x
Estudo Dirigido
Atividade em grupo (em sala)
Exercícios Teóricos 
PROCESSO SELETIVO (PETROBRAS 2018): ENGENHEIRO(A) 
DE EQUIPAMENTOS JÚNIOR MECÂNICA:.
Prof. Carlos Catunda 89Máquinas de Fluxo
Como reforço do aprendizado do conteúdo apresentado em sala de aula, são sugeridos
os exercícios dispostos na lista abaixo. Bom estudo!
E. E. de Mattos, R. de Falco; BOMBAS INDUSTRIAIS, 2a ed., Editora Interciência
Fox, R. W. Introdução à Mecânica dos Fluidos Editora LTC – 8aed
x
Bombas Industriais
Capítulo 2 e 3 Revisão
Capítulo 4 Leitura
Introdução à Mecânica dos Fluidos 
Capítulo 10 (seção 10.1) Leitura
Importante!
Lista de Exercícios
. 
Resposta: 45 (E)
Prof. Carlos Catunda 90Máquinas de Fluxo
≡ 2.1 INTRODUÇÃO e 2.2. MOMENTO DA QUANT. PARA TURBOMÁQUINAS
≡ 2.3 POTÊNCIA E ENERGIA ESPECÍFICA
≡ 2.4 e 2.5 EQUAÇÃO DE EULER e APLICAÇÃO DAS EQ. PARA BOMBAS
CENTRÍFUGAS
≡ 2.6 POLÍGONO DE VELOCIDADES (ROTOR DE BOMBA CENTRÍFUGA)
≡ 2.7 PARCELAS DE ENERGIA NA EQ. DE EULER PARA TURBOMÁQUINAS
≡ 2.8 RELAÇÃO DA EQUAÇÃO DE EULER E A EQUAÇÃO DE ENERGIA
≡ 2.9 GRAU DE REAÇÃO
≡ 2.10 INFLUÊNCIA DA CURVATURA DAS PÁS
≡ 2.11 EFEITO DA CURVATURA DAS PÁS NA ALTURA TEÓRICA DE
ELEVAÇÃO (HT-Q)
≡ 2.12 EFEITO DA CURVATURA DA PÁS NA CURVA DE POTÊNCIA (P - Q)
≡ 2.13 REPRESENTAÇÃO DA CURVA CARASTERÍSTISTICA TEÓRICA
Capítulo 2 – Teoria de Bombas Centrífugas
Prof. Carlos Catunda 91Máquinas de Fluxo
O objetivo deste capítulo é introduzir conceitos para análise, projeto e
aplicação em Turbo Máquinas. A equação teórica fundamental que
representa esta transferência desta energia é denominada Equação de
Euler. A ênfase é, em:
≡ Equação de Euler, na verdade, é um caso específico da equação do
momento da quantidade do movimento. A dedução da mesma é
realizada com simplificações não levando em consideração efeitos de
dissipação de energia.
≡ Equações constitutivas simplificadas para formas de projeto e
aplicação.
2.1 Introdução
A equação teórica fundamental que representa a 
transferência de energia é a Equação de Euler que é 
um caso específico da equação do momento da 
quantidade do movimento
Prof. Carlos Catunda 92Máquinas de Fluxo
A Eq. de Euler nos mostra que tal transferência de energia depende da
velocidade do rotor e do fluido que escoa pelo rotor.
�Rotores axiais, semi-axiais e rotores centrífugos podem ser
avaliados com tal equação.
�A dissipação de energia no rotor, é originada por efeitos de atrito
rotor-fluido e por efeitos de recirculação do fluido no interior do
rotor. Tais efeitos modificam os denominados polígonos de
velocidades e desta forma a energia transferida.
No presente capítulo são abordados estes tópicos permitindo avaliar a
energia transferida no caso específico de bombas centrífugas. Mostra-
se qual o efeito do número de pás e da curvatura das mesmas na
energia transferida do rotor ao fluido
2.1 Introdução
Prof. Carlos Catunda 93Máquinas de Fluxo
2.1 Introdução
REVISÃO – MECFLU
Relação entre as Derivadas do Sistema e a Formulação para Volume 
de Controle
Da definição de uma derivada, a taxa de variação de Nsistema é dada por
Prof. Carlos Catunda 94Máquinas de Fluxo
2.1 Introdução
REVISÃO – MECFLU
Relação entre as Derivadas do Sistema e a Formulação para Volume 
de Controle
Da geometria tem-se
Substituindo na definição da derivada do sistema
Prof. Carlos Catunda 95Máquinas de Fluxo
2.1 Introdução
REVISÃO – MECFLU
Relação entre as Derivadas do Sistema e a Formulação para Volume 
de Controle
Como o limite da soma é igual à soma dos limites, então:
Avaliando cada termo:
Prof. Carlos Catunda 96Máquinas de Fluxo
2.1 Introdução
REVISÃO – MECFLU
Relação entre as Derivadas do Sistema e a Formulação para Volume 
de Controle
Para avaliaro termo 2, primeiro desenvolveremos uma expressão para
NIII)t0+∆t examinando a sub-região III (3)
O vetor elemento de área dA tem o módulo do elemento de área, dA, da
superfície de controle; o sentido de dA é o da normal à superfície para fora do
elemento. O vetor velocidade V fará um ângulo qualquer α com relação a dA
2
Prof. Carlos Catunda 97Máquinas de Fluxo
2.1 Introdução
REVISÃO – MECFLU
Relação entre as Derivadas do Sistema e a Formulação para Volume 
de Controle
Podemos desenvolver uma análise similar para a sub-região (1), e obter,
o termo
e as duas últimas integrais podem ser combinadas porque SCI e SCIII constituem
a superfície de controle inteira
3
Prof. Carlos Catunda 98Máquinas de Fluxo
2.1 Introdução
REVISÃO – MECFLU
Relação entre as Derivadas do Sistema e a Formulação para Volume 
de Controle
Essa é a relação fundamental entre a taxa de variação de qualquer
propriedade extensiva arbitrária, N, de um sistema e as variações dessa
propriedade associadas a um volume de controle.
Alguns autores referem-se à esta Eq. como o Teorema 
de Transporte de Reynolds
Prof. Carlos Catunda 99Máquinas de Fluxo
2.1 Introdução
REVISÃO – MECFLU
Relação entre as Derivadas do Sistema e a Formulação para Volume 
de Controle
Interpretação Física
Esta é uma fórmula que podemos usar para converter a taxa de variação
de qualquer propriedade extensiva, N, de um sistema para uma
formulação equivalente para uso com um volume de controle. Agora
podemos as equações das leis físicas fundamentais para cada caso
particular.
Prof. Carlos Catunda 100Máquinas de Fluxo
Considere o escoamento permanente de água em uma junção de
tubos conforme mostrado na imagem. As áreas das seções são
A1=0,2m2, A2=0,2m2 e A3=0,15m2. O fluido também vaza para fora do
tubo através de um orifício em 4 com uma vazão volumétrica estimada
em 0,1m3/s. As velocidades médias nas seções 1 e 3 são V1=5m/s e
V3=12m/s. Determine a velocidade do escoamento na seção 2.
x
Caso 1 - O princípio da Conservação de Massa
Prof. Carlos Catunda 101Máquinas de Fluxo
Considerações: Escoamento permanente, incompressível e uniforme
x
Caso 1 - O princípio da Conservação de Massa
Prof. Carlos Catunda 102Máquinas de Fluxo
x
Estudo Dirigido
Atividade em grupo (em sala)
Exercícios Teóricos 
PROCESSO SELETIVO (PETROBRAS 2018.1) 
ENGENHEIRO(A) DE EQUIPAMENTOS JÚNIOR MECÂNICA
PROCESSO SELETIVO (TRANSPETRO 2012) ENGENHEIRO 
JÚNIOR MECÂNICA
Prof. Carlos Catunda 103Máquinas de Fluxo
Abordagem de volume de controle na forma integral relaciona a
taxa de variação da propriedade extensiva, N, para um sistema,
com as variações temporais desta propriedade associada ao volume
de controle
2.2. O princípio do Momento da Quantidade de 
Movimento para Turbomáquinas (Axial e Radial)
(1) (2) (3) (6)
Resposta: 28 (B)
Resposta: 36 (D
)
Prof. Carlos Catunda 104Máquinas de Fluxo
Simplificações
(1) Torques devido a forças de superfície são considerados
desprezíveis. rxFs=0
(2) Torques devido a forças de campo consideram-se desprezíveis.
rxB=0 (por simetria)
(3) Escoamento em regime permanente, V=V(x,y,z)
(4) Eixo z alinhado com o eixo de rotação da máquina.
(5) Fluido atravessa as fronteiras do v.c. em duas seções, na entrada
(subíndice 1) e a saída ( subíndice 2).
(6) Escoamento uniforme nas seções de entrada e saída do fluido.
2.2. O princípio do Momento da Quantidade de 
Movimento para Turbomáquinas (Axial e Radial)
Prof. Carlos Catunda 105Máquinas de Fluxo
2.2. O princípio do Momento da Quantidade de 
Movimento para Turbomáquinas (Axial e Radial)
Vetorial
Da conservação da massa
Prof. Carlos Catunda 106Máquinas de Fluxo
2.2. O princípio do Momento da Quantidade de 
Movimento para Turbomáquinas (Axial e Radial)
Vetorial
Escalar
Vel. tangenciais positivas, 
quando no mesmo sentido 
da velocidade da pá, U.
Esta convenção de sinal conduz a:
� Teixo > 0 para bombas, ventiladores, 
sopradores e compressores; 
� Teixo < 0 para turbinas.
Prof. Carlos Catunda 107Máquinas de Fluxo
2.3 Potência e Energia Específica
Esta convenção de sinal 
conduz a:
� Para uma bomba, Ẇ > 0 e a quant. de 
mov. angular do fluido deve aumentar.
� Para uma turbina, Ẇ < 0 e a quant. de 
mov. angular do fluido deve diminuir.
Vetorial
Escalar
Prof. Carlos Catunda 108Máquinas de Fluxo
A taxa de trabalho (Potência) pode ser reescrita de 2 formas úteis:
As equações mostram que apenas a diferença no produto rVt ou UVt,
entre as seções de saída e de entrada, é importante na determinação
do torque aplicado ao rotor ou na potência mecânica.
A equação de Euler é dada em metros de coluna de fluido e se
conhece também como energia específica. É independe das
características do tipo de fluido (líquido ou gás), do seu peso
específico e não é afetada por efeitos de viscosidade do fluido.
2.4. A equação de Euler para Turbo máquinas
/
Prof. Carlos Catunda 109Máquinas de Fluxo
Resumo das equações básicas
2.4. A equação de Euler para Turbo máquinas
Prof. Carlos Catunda 110Máquinas de Fluxo
A Equação de Euler representa as condições ideais do desempenho
de uma turbomáquina no ponto operacional para a qual foi projetada.
Aproximações feitas para obter a Eq. de Euler:
� Número Infinito de álabes (pás, palhetas).
� Espessura das pás desprezível.
� Simetria central do escoamento.
� Velocidade relativa do fluido (W) é sempre tangencial às pás.
� Escoamento em regime permanente.
� Escoamento uniforme nas seções de entrada e saída do fluido.
� Efeitos de atrito desprezíveis.
2.5. Aplicação das Equações para Bombas Centrífugas
HIPÓTESES
Prof. Carlos Catunda 111Máquinas de Fluxo
Os diagramas de velocidade fornecem todas as informações necessárias
para calcular o torque ou a potência ideal, absorvida ou entregue pelo rotor.
Os resultados representam o desempenho da turbomáquina sob condições
ideais no ponto de operação.
2.6. Polígono de Velocidades num Rotor de Bomba 
Centrífuga
Prof. Carlos Catunda 112Máquinas de Fluxo
Os diagramas de velocidade fornecem todas as informações necessárias
para calcular o torque ou a potência ideal, absorvida ou entregue pelo rotor.
Os resultados representam o desempenho da turbomáquina sob condições
ideais no ponto de operação.
2.6. Polígono de Velocidades num Rotor de Bomba 
Centrífuga
Ângulos de pá β
fixa a orientação da
velocidade relativa
tangencial
Âng. escoamento α
fixa a orientação da
velocidade absoluta
em relação a
velocidade Normal
Prof. Carlos Catunda 113Máquinas de Fluxo
Uma bomba centrífuga é utilizada para bombear 0,009m3/h de água. A água
entra no rotor axialmente através de um orifício de φ32mm . A velocidade de
entrada é axial e uniforme. O saída do rotor tem φ100mm. O escoamento sai
do rotor a 3m/s em relação às pás, que são radiais na saída. A velocidade do
rotor é 3450rpm. Determine a largura de saída do, b2, o torque de entrada e
a potência requerida prevista pela equação de Euler.
x
Solução–Conservação do momento da quantidade de movimento // Conservação da massa
Exemplo
Bomba Centrífuga Idealizada
Prof. Carlos Catunda 114Máquinas de Fluxo
� Conservação da massa
x
Exemplo
Bomba Centrífuga Idealizada
� Conservação do momento da quantidade de movimento
largura de saída
torque de entrada
potência requerida
Prof. Carlos Catunda 115Máquinas de Fluxo
2.7 Parcelas de Energia na Equação de Euler para 
Turbomáquinas
Pode-se estudar as parcelas de
energia na forma de energia de
pressão (potencial) e na forma de
energia cinética que se
manifestam nas turbomáquinas
Prof. Carlos Catunda 116Máquinas de Fluxo
2.7 Parcelas de Energia na Equação de Euler para 
Turbomáquinas
Substituindo estes termos na Eq.
de Euler se obtém:
(1) Variação da energia
cinética do fluido ao escoar
no interior da turbomáquina
pela variação da velocidade
absoluta.
(2) Variação da energia de
pressão devido à força
centrífuga dando às
partículas do fluido um
movimento circular em torno
do eixo.
(3)Variação da energia de pressão
provocada pela redução da
velocidade relativa ao passar pelocanal divergente (difusor)do rotor.
Representa a variação de pressão
estática dentro do rotor.
Prof. Carlos Catunda 117Máquinas de Fluxo
2.8 Relação da Equação de Euler e a Equação de 
Energia
Por comparação da Eq. de Euler
Observamos que a altura teórica pode ser representada por uma
parcela de energia de pressão e outra de energia cinética
Prof. Carlos Catunda 118Máquinas de Fluxo
2.9 Grau de Reação
A relação entre a energia de pressão e a pressão total é denominada
grau de reação.
G é maior quanto maior for a parcela de energia de pressão (Hp)
fornecida pelo rotor ao fluido. O grau de reação de uma turbomáquina
está relacionado com a forma do rotor, e com a eficiência no processo
de transferência de energia:
� Turbomáquinas de Reação:
Uma bomba, ou máquina de fluxo em geral, é denominada "de 
reação" se o seu grau de reação é maior que zero (G > 0), isto é, se a 
pressão de saída do escoamento é maior que a pressão de entrada. 
Representa o caso geral das bombas.
� Turbomáquinas de Ação:
Quando o processo de transferência de energia ocorre a pressão 
constante, (G=0 ), a máquina de fluxo é denominada "de ação" como 
o caso das turbinas Pelton.
Prof. Carlos Catunda 119Máquinas de Fluxo
A energia teórica cedida pelo rotor ao fluido, em bombas centrífugas,
pode ser analisada em função do ângulo das pás na saída (β2) com as
seguintes relações e simplificações:
� Escoamento com entrada radial: α1=90°
� Seções iguais na entrada e saída com o qual Vn1=Vn2 (Cm1=Cm2) e
também Vt1=0 (ou Cu1), como é mostrado na Fig.2.9.
As relações obtidas com tais simplificações são:
2.10. Influência da forma da pá
A equação de Euler para Turbo
máquinas (próximo slide)
Prof. Carlos Catunda 120Máquinas de Fluxo
Voltando ao conceito de ALTURA DE CARGA, em se
tratando de bombas centrífugas, o fluido entra no
impelidor com velocidade puramente radial, assim:
� Momento da quantidade de movimento (entrada) nulo
� Vt1 é aprox. nulo
� Função da vazão em volume
2.10. Influência da forma da pá
** Equação fundamental das turbo bombas
(0)
Eq. fundamental
Prof. Carlos Catunda 121Máquinas de Fluxo
� C1 representa a altura de carga
ideal desenvolvida pela bomba
para vazão zero; isto é
denominado altura de carga de
bloqueio (ou de “shutoff”).
� C2 é a inclinação da curva de
altura de carga x vazão e
depende do sinal e da sua
magnitude.
2.11. Influência da forma da pá sobre a altura de 
elevação
As características de uma 
máquina de fluxo radial 
podem ser alteradas
mudando o ângulo de saída das pás. 
O modelo idealizado prevê as 
tendências à medida que o ângulo de 
saída das pás é variado.
Prof. Carlos Catunda 122Máquinas de Fluxo
2.11. Influência da forma da pá sobre a altura de 
elevação
Prof. Carlos Catunda 123Máquinas de Fluxo
x
Considerando que β2 é menor que 90° e na situação limite em a
componente periférica da velocidade absoluta seja nula (Cu2=0). Para
satisfazer esta condição α2=90°.
Conclusão: Quando, β2<90° tal que α2=90°, e observa que as
parcelas de energia na forma de pressão e de energia cinética são
ambas nulas. Portanto a energia cedida pela bomba ao fluido é nula.
� Em tal situação β2 se conhece como ângulo critico inferior.
Caso 1 - Pás Voltadas para Trás. 
Prof. Carlos Catunda 124Máquinas de Fluxo
Considerando que β2 é igual a 90° e se obtém um polígono de
velocidades em que Cu2=U2. Neste caso:
Conclusão: Na situação em que β2=90° a componente periférica da
velocidade absoluta na saída Cu2 torna-se a velocidade tangencial do
rotor (Cu2=U2).
� Isto faz com que a energia cedida pela bomba ao fluido seja da
50% na forma de energia de pressão e 50% na forma de cinética
x
Caso 2 - Pás Radiais na Saída
Prof. Carlos Catunda 125Máquinas de Fluxo
Escolhemos na análise um valor de β2 >90° na condição limite em que
torne Cu2=2U2.
Conclusão: Na situação em que β2 >90° de tal forma que torne
Cu2=2U2 a energia de pressão é nula, e a energia total é igual a
energia cinética. Em tal situação β2: ângulo crítico superior
x
Caso 3 - Pás Voltadas para Frente
Prof. Carlos Catunda 126Máquinas de Fluxo
2.11. Influência da forma da pá sobre a altura de 
elevação
(1) Pás voltadas para Trás:
β2<90° [Hp>Hc] a energia cedida
pela bomba ao fluido predomina
na forma de energia de
pressão.
(2) Pás Radiais na Saída:
β2=90° [Hp=Hc]: A energia cedida
pela bomba ao fluido se faz
igualmente na forma de energia
de pressão e energia cinética.
(3) Pás voltadas para Frente.
β2>90° [Hc>Hp]: A energia cedida
pela bomba ao fluido predomina
na forma de energia cinética.
Prof. Carlos Catunda 127Máquinas de Fluxo
2.11. Influência da forma da pá sobre a altura de 
elevação
Recomendações para Ângulo das Pás
� As bombas são empregadas para vencer desníveis energéticos. Isto
deve ser obtido às expensas da energia de pressão e não da energia
cinética.
� Pás com β2>90° (curvadas para frente) fazem com que a energia
predominante seja do tipo cinética, o que envolve altas velocidades e
portanto maiores perdas de carga.
� Recomenda-se sempre pás inclinadas para trás (β2<90°) encontradas
nas seguintes faixas:
Prof. Carlos Catunda 128Máquinas de Fluxo
2.12 Efeito da Curvatura da Pás na Curva de Potência
Prof. Carlos Catunda 129Máquinas de Fluxo
� β =90° (pá radial) potência varia
linearmente com a vazão
� β >90° (pá para frente) potência
aumenta com a vazão
� β <90° (pá para trás) potência
reduz com a vazão
2.12 Efeito da Curvatura da Pás na Curva de Potência
As características de uma 
máquina de fluxo radial 
podem ser alteradas
mudando o ângulo de saída das pás. 
O modelo idealizado prevê as 
tendências à medida que o ângulo de 
saída das pás é variado.
** Analogamente...
Prof. Carlos Catunda 130Máquinas de Fluxo
2.12 Efeito da Curvatura da Pás na Curva de Potência
Prof. Carlos Catunda 131Máquinas de Fluxo
2.13 Representação da Curva Característica Teórica
Efeito da Curvatura da Pás em H-Q e P-Q (RESUMO)
Prof. Carlos Catunda 132Máquinas de Fluxo
x
Uma bomba centrífuga com entrada radial trabalha com água com
vazão de 0,3m3/s. O diâmetro do impelidor é de 250mm e as pás tem
30mm de largura na saída. Considere que as pás são radiais na saída.
Determine a altura teórica considerando número infinito de pás e a
potência necessária quando a bomba trabalha com 1000rpm.
Estudo Dirigido
Atividade em grupo (em sala)
Exemplo – 2.1. 
Prof. Carlos Catunda 133Máquinas de Fluxo
x
Estudo Dirigido
Atividade em grupo (em sala)
Exemplo – 2.1. 
Prof. Carlos Catunda 134Máquinas de Fluxo
x
Estudo Dirigido
Atividade em grupo (em sala)
Exemplo – 2.1. 
Prof. Carlos Catunda 135Máquinas de Fluxo
x
(a) Determinar o polígono de velocidades na entrada e na saída de
uma bomba centrífuga que apresenta escoamento com entrada radial.
O diâmetro interno do rotor é de 50mm e o diâmetro externo do rotor é
de 250mm. A largura da pá na entrada é igual a 10mm e a largura da
pá na saída é igual a 5mm. O ângulo da pá na entrada é igual a 200 e
na saída igual a 230. Considere que a bomba gira com uma rotação de
1300 rpm
(b) Determinar a altura teórica, potência e torque da bomba, assim
como as parcelas de energia cinética e energia de pressão.
Estudo Dirigido
Atividade em grupo (em sala)
Exemplo – 2.2. 
Prof. Carlos Catunda 136Máquinas de Fluxo
x
Estudo Dirigido
Atividade em grupo (em sala)
Exemplo – 2.2. 
Prof. Carlos Catunda 137Máquinas de Fluxo
x
Estudo Dirigido
Atividade em grupo (em sala)
Exemplo – 2.2. 
Prof. Carlos Catunda 138Máquinas de Fluxo
x
Um rotor de bomba centrifuga de 200mm de diâmetro gira a 3500 rpm.
O ângulo das pás na saída é igual a 22° e a componente meridiana da
velocidade absoluta é igual a 3,6m/s. Determinar a altura teórica para
número infinito de pás. Considere escoamento com entrada radial.
Estudo Dirigido
Atividade em grupo (em sala)
Exemplo – 2.3. 
Prof. Carlos Catunda 139Máquinas de Fluxo
x
Estudo Dirigido
Atividade em grupo (em sala)
Exemplo – 2.3. 
Prof. Carlos Catunda 140Máquinas de Fluxo
x
Uma bomba centrífuga tem asseguintes características. Vazão
0,005m3/s. Diâmetro do rotor na entrada 100mm. Diâmetro do rotor na
saída 200mm; rotação 1500rpm. A altura manometrica é igual a 22m. A
largura da pá na entrada e saída é igual a 10mm e 5mm
respectivamente. Fazendo desprezíveis as perdas determine a energia
de pressão em termos de altura equivalente. Considere pás voltadas
para trás com ângulo na saída igual a 30°
Estudo Dirigido
Atividade em grupo (em sala)
Exemplo – 2.5. 
Prof. Carlos Catunda 141Máquinas de Fluxo
x
Estudo Dirigido
Atividade em grupo (em sala)
Exemplo – 2.5. 
Prof. Carlos Catunda 142Máquinas de Fluxo
x
Um rotor de bomba centrifuga tem as seguintes características:
Diâmetro do rotor na entrada 150mm, largura da pá na entrada 75mm
ângulo da pá na entrada 20°. Diâmetro do rotor na saída 300mm,
largura da pá na saída 50mm ângulo da pá na saída 25°. A bomba tem
uma rotação de 1450rpm. Determinar:
(a) A altura teórica para número infinito de pás e sua respectiva
potência considerando que bomba trabalha com água com massa
especifica igual a 1000kg/m3.
Obs. Considere escoamento com entrada radial, isto é α1=90°.
Estudo Dirigido
Atividade em grupo (em sala)
Exemplo – 2.6. 
Prof. Carlos Catunda 143Máquinas de Fluxo
x
Estudo Dirigido
Atividade em grupo (em sala)
Exemplo – 2.6
Prof. Carlos Catunda 144Máquinas de Fluxo
x
Uma bomba com escoamento com entrada radial trabalha com uma
vazão de 2,0m3/min e 1200rpm. A largura do canal de saída do rotor é
de 20mm, sendo que o ângulo de saída da pá é igual a 25°. A
componente meridiana da velocidade absoluta na saída é igual a
2,5m/s.
a)Determine a altura e potência teórica da bomba nas condições
dadas.
b)Determine as equações características de H=f(Q) e P=f(Q). Com as
equações características trace as curvas H-Q e P-Q desde uma vazão
nula até uma vazão máxima de 4,0m3/min. Utilize água com massa
específica igual a 1000kg/m3
Estudo Dirigido
Atividade em grupo (em sala)
Exemplo – 2.7. 
Prof. Carlos Catunda 145Máquinas de Fluxo
x
Estudo Dirigido
Atividade em grupo (em sala)
Exemplo – 2.7. 
Prof. Carlos Catunda 146Máquinas de Fluxo
x
Estudo Dirigido
Atividade em grupo (em sala)
Exemplo – 2.7. 
Prof. Carlos Catunda 147Máquinas de Fluxo
Como reforço do aprendizado do conteúdo apresentado em sala de aula, são sugeridos
os exercícios dispostos na lista abaixo. Bom estudo!
E. E. de Mattos, R. de Falco; BOMBAS INDUSTRIAIS, 2a ed., Editora Interciência
Fox, R. W. Introdução à Mecânica dos Fluidos Editora LTC – 8aed
x
Capítulo 10 (FOX)
Exercícios 10.1 10.5 10.8 10.9 10.11
10.13 10.14 10.15 10.16 10.17
Importante!
Lista de Exercícios
. 
Prof. Carlos Catunda 148Máquinas de Fluxo
≡ 3.1 e 3.2 Fluxo de Energia e Rendimentos
≡ 3.3 Curvas Reais de Altura - Vazão (H-Q)
≡ 3.4 Curvas Reais de Altura - Vazão (H-Q)
≡ 3.5 Curvas Características de Bombas Centrífugas
≡ 3.6 Efeito do Tipo de Pás nas Curvas Reais (H-Q) e (P-Q)
≡ 3.7 Ponto de Operação das Bombas
≡ 3.8 Outras Representações de Curvas Características
≡ 3.9 Identificação Variáveis nas Curvas Características
≡ 3.10 Equações Especificas Para Corte de Rotores
≡ 3.11 Associação de Bombas em Série
≡ 3.12 Associação de Bombas em Paralelo
Capítulo 3 – Curvas Características e Associação de
Bombas Série e em Paralelo
Prof. Carlos Catunda 149Máquinas de Fluxo
Considerando o fluxo de energia transferido da bomba para o fluido, se
observa que existem diversas formas de dissipação de energia, desde a
energia inicial do motor que aciona a bomba até a energia final absorvida
pelo fluido
≡ energia motriz (Hm)
≡ perda mecânica (∆hm)
≡ energia de elevação (Ht#)
≡ perdas hidráulicas (∆hh)
≡ altura manométrica (HMan)
3.1 Fluxo de Energia e Rendimentos
≡ rendimento mecânico (ηm)
≡ rendimento hidráulico
≡ rendimento volumétrico (ηv)
≡ rendimento global (ηG)
Prof. Carlos Catunda 150Máquinas de Fluxo
A energia efetivamente absorvida pelo rotor é denominada energia
de elevação (Ht#) sendo relacionada com a energia motriz pelo
rendimento mecânico (ηm). Devido à dissipação de energia no
interior da bomba (por atrito e recirculação de fluxo) a energia do rotor
(Ht#) não é transferida totalmente ao fluido sendo as perdas
quantificadas como perdas hidráulicas(ηhh). A energia transferida do
rotor ao fluido é relacionada pelo rendimento hidráulico. Além disto,
parte da vazão que entra na bomba recircula na mesma e escapa por
má vedação. Isto se quantifica considerando um rendimento
volumétrico (ηv). A energia realmente absorvida pelo fluido é
denominada altura manométrica (Hman), reconhecida como a
energia final do fluxo energético do sistema de bombeamento. O
rendimento global (ηG) quantifica a relação entre energia final (Hman)
(absorvida pelo fluido) e a energia motriz para acionamento da bomba
(Hm).
3.1 Fluxo de Energia e Rendimentos
Prof. Carlos Catunda 151Máquinas de Fluxo
Rendimento Mecânico
Relação entre a altura de elevação e altura motriz. Também relaciona
a potência de elevação e a potência motriz. Esta última conhecida
como potência de acionamento do motor da bomba.
� valores típicos de 92 a 95% encontram-se nas bombas modernas,
sendo que os valores maiores correspondem às bombas de
maiores dimensões.
3.2 Rendimentos
Prof. Carlos Catunda 152Máquinas de Fluxo
Rendimento Hidráulico
A altura teórica de elevação (Ht#) não é aproveitada totalmente na
elevação do fluido (HMan). Uma parte é perdida para vencer as
resistências ou perdas hidráulicas denominadas ∆hh.
O rendimento hidráulico é definido como a relação entre a altura
manométrica (Hman), que representa a energia absorvida pelo fluido, e
a altura teórica de elevação para número finito de pás (Ht#), que
representa a energia cedida pelo rotor ao fluido:
3.2 Rendimentos
Prof. Carlos Catunda 153Máquinas de Fluxo
Rendimento Volumétrico
Existe no rotor uma pequena quantidade de fluido que recircula na
carcaça (q) e que pode escapar por má vedação. O rendimento
volumétrico relaciona a vazão que efetivamente escoa pelo recalque
(Q) e a vazão que passa pelo rotor, recircula e escapa por deficiência
na vedação (Q´=Q+q). ηv=Q/Q´. As bombas centrífugas podem ter um
ηv na faixa de 85 a 99%.
3.2 Rendimentos
Prof. Carlos Catunda 154Máquinas de Fluxo
Rendimento Total ou Global
Relação entre a energia realmente cedida pelo rotor ao fluido (útil) e a
energia necessária para movimentar o rotor. Relaciona de forma
equivalente a potência útil com a potência motriz.
Quando se consideram perdas volumétricas, o rendimento total é dado
como:
� Em bombas de grande porte o rendimento global pode ultrapassar 85%.
� Nas bombas pequeno porte, dependendo do tipo e condições de operação,
pode cair até menos de 40%.
� Por estimativa considera-se 60% em bombas pequenas e 75% em médias.
3.2 Rendimentos
Prof. Carlos Catunda 155Máquinas de Fluxo
Rendimento Total ou Global
Onde:
Q: vazão (m3/h ); H: altura manométrica (m)
Validade: 20 < Q < 250
15 < H < 100
3.2 Rendimentos
O rendimento global depende da bomba sendo uma 
informação dada pelo fabricante. Pode-se utilizar como 
ordem de grandeza a seguinte expressão:
Prof. Carlos Catunda 156Máquinas de Fluxo
x
Estudo Dirigido
Atividade em grupo (em sala)
Exercícios Teóricos 
PROCESSO SELETIVO (TRANSPETRO 2012): ENGENHEIRO JÚNIOR MECÂNICA:.
Prof. Carlos Catunda 157Máquinas de Fluxo
Foi analisada teoricamente a importância da curvatura das pás na
curva característica de H-Q. Contudo estas curvas reais sofrem
modificações devido aos efeitos do número finito de pás e à dissipação
da energia.
As curvas reais de H-Q são diferentes devido aos seguintes efeitos:
� Número finito de pás
� Dissipação de Energia
� Choques
� Fugas
3.3 Curvas Reais de Altura - Vazão (H-Q)
Prof. Carlos Catunda 158Máquinas de Fluxo
� Número finito de pás
A espessura das pás provoca um desvio das trajetórias das
velocidades à saída das pás, variando a componente meridiana da
velocidade. Isto faz com que Hreal seja menor do que Ht00 . Desta
forma, na origem o valor de Hreal, émenor que o termo U2/g iniciando
as curvas numa ordenada inferior a U2/g.
3.3 Curvas Reais de Altura - Vazão (H-Q)
Prof. Carlos Catunda 159Máquinas de Fluxo
� Dissipação de Energia
Devido ao atrito do fluido no rotor por:
� Imperfeita condução das veias de fluido
� Transformação da elevada parcela de energia cinética em energia
de pressão.
3.3 Curvas Reais de Altura - Vazão (H-Q)
� Choques: Mudanças
bruscas de direção do
escoamento na entrada
e saída do fluido.
� Fugas: Do fluido nos
interstícios, labirintos e
espaços entre o rotor e
o difusor e coletor.
Prof. Carlos Catunda 160Máquinas de Fluxo
A Figura representa uma curva característica de H-Q de bomba
centrífuga onde se mostram os diferentes efeitos provocados pela
turbulência, atrito e pelo efeito de recirculação do escoamento. Devido
a isto, a curva teórica modifica-se se transformando numa curva real.
3.4 Curvas Reais de Altura - Vazão (H-Q)
Prof. Carlos Catunda 161Máquinas de Fluxo
As análises idealizadas apresentadas até
então são úteis para prever tendências e
para avaliar, em primeira aproximação, o
desempenho do ponto de projeto de uma
máquina de fluxo. Contudo, o desempenho
completo de uma máquina real, incluindo
a operação em condições fora de projeto,
deve ser determinado experimentalmente.
3.5 Curvas Características de Bombas Centrífugas
** Modelo Real
Prof. Carlos Catunda 162Máquinas de Fluxo
Representam o comportamento real das bombas mostrando o
relacionamento de interdependência entre as grandezas
características. Os fabricantes fornecem estas curvas obtidas
experimentalmente em laboratório. Os principais gráficos
apresentados são:
� Hman-Q : Variação da altura manométrica em função da vazão
� η-Q: Variação do rendimento global em função da vazão
� W-Q: Relação entre potência requerida no acionamento e a vazão.
� NPSH-Q Variação do Net Posistive Suction head (altura líquida
positiva de sucção) e a vazão.
Obs: NPSH representa a energia que a bomba requer para aspirar o líquido. O
fabricante pode fornecer esta informação numa curva única tal como representado na
imagem do slide anterior.
3.5 Curvas Características de Bombas Centrífugas
Prof. Carlos Catunda 163Máquinas de Fluxo
O efeito do ângulo da pá na saída é mostrado através do gráfico
abaixo, onde se observam curvas reais dos diferentes tipos de pá
estudados.
Curvas de altura e potência de diferentes tipo de pás
3.6 Efeito do Tipo de Pás nas Curvas Reais (H-Q) e (P-Q)
Prof. Carlos Catunda 164Máquinas de Fluxo
� Observa-se que pás voltadas para frente geram grandes alturas para um
certo volume, contudo, deve ser lembrado que uma parte substancial desta
altura total é devida à contribuição de energia cinética.
� As curvas de potência também são fundamentalmente diferentes para os
diferentes tipos de rotores. Nos rotores com pás voltadas para trás a
potência máxima ocorre próximo do ponto de máximo rendimento e
qualquer aumento da vazão após este ponto resulta numa diminuição da
potência. Desta forma, um motor elétrico usado para mover tal bomba pode
alcançar com segurança o ponto de máxima potência sem perigo de
trabalhar com vazões maiores que as obtidas a partir deste ponto.
� Isto não ocorre para o caso de pás radiais na saída e pás voltadas para
frente, nas quais a potência aumenta continuamente devendo-se ter
muito cuidado na escolha da potência do motor.
� Por outro lado se trabalhamos com um motor pequeno que opere no ponto
de máxima potência será perigoso já que acidentalmente pode-se exceder
a vazão no ponto de máxima eficiência e encontramos que requeremos
maior potência para o acionamento, danificando o motor.
3.6 Efeito do Tipo de Pás nas Curvas Reais (H-Q) e (P-Q)
Prof. Carlos Catunda 165Máquinas de Fluxo
Tipo de Curva (H-Q) Ascendente.
A Figura mostra como varia a altura manométrica (Hman), a potência no eixo
(Peixo) e o rendimento global de uma bomba que opera numa dada rotação em
função da vazão (Q). Se observa que a curva de Hman aumenta quando a
vazão diminui. Isto caracteriza uma bomba com curva de carga ascendente.
Bombas com curvas opostas a esta se denominam curvas de carga
descendentes.
3.7 Ponto de Operação das Bombas
Prof. Carlos Catunda 166Máquinas de Fluxo
Altura ou Carga de Shutoff
Denomina-se a carga (altura) desenvolvida quando a vazão é nula (Q=0), e
representa a carga de pressão com a válvula de descarga fechada. Como não
há escoamento a eficiência é nula (η=0) e a potência fornecida à bomba é
totalmente dissipada em forma de calor. É uma situação que pode ocorrer e
deve ser evitada no funcionamento de bombas.
3.7 Ponto de Operação das Bombas
Prof. Carlos Catunda 167Máquinas de Fluxo
Ponto Ótimo de Funcionamento
Quando a vazão aumenta a partir da vazão nula, a potência de acionamento
da bomba aumenta, atinge um máximo. A Figura mostra que o rendimento da
bomba é função da vazão e que atinge um máximo numa determinada vazão
denominada vazão de projeto, (QProjeto) ou vazão ótima (Qotima) Por isto é
muito importante que a bomba, sempre que possível, opere numa condição
próxima do rendimento máximo.
3.7 Ponto de Operação das Bombas
Prof. Carlos Catunda 168Máquinas de Fluxo
Diferentes tipos de rotores podem ser utilizados num determinado
corpo. Por isto os fabricantes de bombas fornecem as curvas do
comportamento de vários conjuntos de rotores (para um mesmo corpo)
num único gráfico, tal como mostrado na Fig.3.7. Observa-se que a
bomba, dependendo do diâmetro, apresenta curvas H-Q diferentes.
Também mostra que o rendimento da bomba apresenta faixas de
valores diferentes (curvas de iso-rendimento) dependendo da
solicitação do sistema, isto é da H-Q requerido. Na Fig.3.7 também é
representada a curva NPSH (altura positiva liquida de aspiração) e a
curva de potência de acionamento da bomba. A Fig.3.8 mostra um
gráfico com toda a faixa de operação de famílias de bombas
centrífugas de determinado fabricantes. Se o ponto de operação
requerido num sistema de bombeamento está dentro da área
demarcada significa que uma das bombas de este fabricantes pode
suprir tal necessidade de operação
3.8 Outras Representações de Curvas Características
Prof. Carlos Catunda 169Máquinas de Fluxo
Curva de bomba para diferentes 
diâmetros do rotor
3.8 Outras Representações de Curvas Características
Prof. Carlos Catunda 170Máquinas de Fluxo
Operação da bomba centrífuga KSB, Modelo Megabloc para N=3500rpm
3.8 Outras Representações de Curvas Características
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Prof. Carlos Catunda 171Máquinas de Fluxo
Nas curvas típicas de bombas
centrifugas observa-se que no
gráfico superior que existem 05
curvas de altura manométrica (H-Q)
correspondente a 05 rotores com
diâmetros diferentes. Mostram-se
também na mesma figura as
curvas de iso-rendimento. Na
figura inferior as respectivas 05
curvas de potência de acionamento
para os 05 rotores. Na figura
intermediaria mostra-se a curva de
NPSH que representa a altura
positiva liquida de aspiração
condição para não ocorrer
cavitação cujo detalhamento será
abordado no Cap.8.
3.9 Identificação Variáveis nas Curvas Características
Prof. Carlos Catunda 172Máquinas de Fluxo
Utilizando os gráficos das curvas características do slide anterior podemos
realizar algumas considerações:
1. Se por exemplo um sistema deve operar com uma vazão de 150 m3/h e
uma altura manométrica de 62m, então a o rotor com diâmetro de 219mm
satisfaz tal operação.
2. Neste ponto o rendimento global da bomba é um pouco menor que 80%.
3. Observa-se que para esta vazão o rotor de diâmetro de 219mm requer
uma potência de acionamento de pouco mais de 32 kW.
Os fabricantes apresentam as curvas características levantadas utilizando
água com massa especifica padrão (ρ=1000 kg/m3); desta forma podemos
verificar a potência utilizando a expressão:
x
Estudo de Caso 1 – Ponto de Operação
Prof. Carlos Catunda 173Máquinas de Fluxo
Observamos que este valor é muito próximo ao especificadopelo fabricante.
Tomemos outro exemplo em que se deseje operar um sistema com uma vazão
de 200m3/h e altura manométrica de 44m.
Utilizando o mesmo gráfico observa-se que o ponto de operação desejado se
encontra entre as curvas dos rotores com diâmetro de 199mm e de 208mm.
1. Observa-se que rotor de 199mm não consegue atender esta demanda já
que a sua altura manométrica (43m) é inferior a altura manométrica
requerida.
2. No caso do rotor de 208mm este consegue atender com muita folga já que
para esta vazão sua altura manométrica é de 50m.
** No caso em que o ponto de operação não coincide com um ponto na curva
característica de um determinado rotor os fabricantes podem apresentar
alternativas de realizar corte nos rotores a fim de ajustar o ponto de
operação.
x
Estudo de Caso 2 – Ponto de Operação
Prof. Carlos Catunda 174Máquinas de Fluxo
Existem vários métodos que permitem relacionar as conduções da
máquina com o diâmetro original e o diâmetro após o corte do rotor.
Dentre eles:
� Método da Semelhança
� Método Gráfico para Determinar novo Diâmetro
� Método de Stepanoff (Correção do Diâmetro de corte )
3.10 Equações Especificas Para Corte de Rotores
No caso em que o ponto de operação não coincide 
com um ponto na curva característica de um 
determinado rotor os fabricantes recomendam cortes 
nos rotores a fim de ajustar o ponto de operação.
Prof. Carlos Catunda 175Máquinas de Fluxo
Quando o rotor possui um corte menor que 10% podem ser utilizadas
as leis de semelhança para levantar as novas condições de
funcionamento.
3.10 Equações Especificas Para Corte de Rotores
Método da Semelhança
Prof. Carlos Catunda 176Máquinas de Fluxo
Consideremos o exemplo em que
temos uma curva de uma bomba com
diâmetro de 208mm além de ter
também a sua respectiva equação
característica aproximada por:
Se deseja determinar o diâmetro que
deve ser reduzido o rotor de 208mm
para que possa operar junto com o
sistema com vazão de 200m3/h e
altura manométrica de 44m.
x Determinação do Diâmetro de Corte de Uma 
Bomba Centrífuga – Método da Semelhança 
(Estudo de Caso )
Prof. Carlos Catunda 177Máquinas de Fluxo
Primeiro determinamos com os
valores de Hman=44m e
Q=200m3/h a equação de uma
curva parabólica que passa pela
origem e por este ponto dada pela
expressão: Hc=kQ2 . Neste caso a
constante k=44/(200)2=0,0011.
Desta forma a equação que
representa a curva parabólica é
dada por:
Hc = 0,0011 Q2
Igualando as duas equações
determinamos o ponto de
interseção da curva parabólica
com a curva da bomba.
x Determinação do Diâmetro de Corte de Uma 
Bomba Centrífuga – Método da Semelhança 
(Estudo de Caso )
Prof. Carlos Catunda 178Máquinas de Fluxo
Pela igualdade das equações se obtém uma equação resultante de 2°grau do
tipo aQ2+bQ-c=0 , com as constantes a=-0,0015, b=0,0421, c=60.
Resolvendo, se obtém Q0=214,5m3/h. Com tal vazão se obtém a altura
manométrica H0=50,62m. A figura mostra este ponto na interseção das duas
curvas.
Tendo o ponto correspondente ao rotor de 208mm podemos agora determinar
o diâmetro necessário para o ponto de operação requerido:
Utilizando as relações de semelhança podemos apresentar graficamente a
nova curva da altura manométrica
x Determinação do Diâmetro de Corte de Uma 
Bomba Centrífuga – Método da Semelhança 
(Estudo de Caso )
Prof. Carlos Catunda 179Máquinas de Fluxo
Resultado da nova curva com rotor de 201mm que passa pelo ponto de
operação
x Determinação do Diâmetro de Corte de Uma 
Bomba Centrífuga – Método da Semelhança 
(Estudo de Caso )
Prof. Carlos Catunda 180Máquinas de Fluxo
O método consiste em determinar um novo diâmetro (D2) a partir de
uma bomba que possui um rotor com diâmetro D1 com sua curva
característica de altura vazão conhecida. Deseja-se, portanto que a
bomba opere no ponto 2 com uma vazão Q2 e altura manométrica H2.
Curva da bomba com diâmetro conhecido e ponto de operação requerido
3.10 Equações Especificas Para Corte de Rotores
Método Gráfico para Determinar novo Diâmetro
Prof. Carlos Catunda 181Máquinas de Fluxo
Neste procedimento se escolhe um ponto A próximo e acima da curva
com diâmetro D1 para o qual se determina a vazão e altura
manométrica. HA e QA. Se demarca uma linha reta unindo os pontos A
e 2 interceptando assim a curva com diâmetro D1 determinando-se a
vazão Q1 e H1. Tendo os valores de Q1 e H1 e os dados iniciais de Q2 e
H1 determina-se com as relações de semelhança o diâmetro D1 que
deve ser cortado o rotor da bomba para atender a demanda especifica.
3.10 Equações Especificas Para Corte de Rotores
Método Gráfico para Determinar novo Diâmetro
Prof. Carlos Catunda 182Máquinas de Fluxo
Etapas para determinar graficamente o novo diâmetro de corte.
3.10 Equações Especificas Para Corte de Rotores
Método Gráfico para Determinar novo Diâmetro
Prof. Carlos Catunda 183Máquinas de Fluxo
Contamos com uma curva de altura vazão de uma bomba com diâmetro
original igual a D1=208mm. Consideremos que temos um ponto 2 com dados
de operação de altura manométrica e vazão conhecidos para os quais
desejamos determinar o diâmetro de corte D2.
H2=44m
Q2=200m3/h
D2=?
x Determinação do Diâmetro de Corte de Uma 
Bomba Centrífuga – Método Gráfico
(Estudo de Caso)
Prof. Carlos Catunda 184Máquinas de Fluxo
1. Escolhemos um ponto A
ligeiramente superior a curva da
bomba e determinamos os valores
de altura manométrica e vazão.
HA=53,2m
QA=220m3/h
2. Unindo o ponto A com o ponto 2
com uma linha reta que intercepta a
curva da bomba com diâmetro D1,
determinamos a sua altura e vazão.
H1=50,6m
Q1=214,5m3/h
D1=208mm
x Determinação do Diâmetro de Corte de Uma 
Bomba Centrífuga – Método Gráfico
(Estudo de Caso)
3. Com os valores do ponto 1
conhecido determina-se o diâmetro
do rotor
D2=201mm
Desta forma podemos verificar os
resultados utilizando as relações de
altura e vazão:
Prof. Carlos Catunda 185Máquinas de Fluxo
Também podemos supor que conhecemos o rendimento no ponto 1 e assim
determinamos a potência:
Com esta informação podemos avaliar a potencia e o rendimento do ponto 2 da
bomba neste ponto de operação, observando-se que o rendimento é inferior ao
do ponto 1.
** Este procedimento pode ser realizado para outros pontos obtendo-se a 
curva que representa a faixa de operação da bomba com diâmetro D2
x Determinação do Diâmetro de Corte de Uma 
Bomba Centrífuga – Método Gráfico
(Estudo de Caso)
Prof. Carlos Catunda 186Máquinas de Fluxo
Resultado mostrando a curva com novo diâmetro do rotor
x Determinação do Diâmetro de Corte de Uma 
Bomba Centrífuga – Método Gráfico
(Estudo de Caso)
Prof. Carlos Catunda 187Máquinas de Fluxo
O procedimento que permite determinar o diâmetro de corte do rotor
para atender uma determinada condição de operação pode ser
corrigido utilizando o método de Stepanoff.
O método propõe uma correção dada por uma relação linear:
3.10 Equações Especificas Para Corte de Rotores
Método de Stepanoff (Correção do Diâmetro de corte )
Prof. Carlos Catunda 188Máquinas de Fluxo
A tabela e o gráfico mostram alguns valores desta relação linear.
Observa-se que a correção do diâmetro tende ao valor calculado
quando o diâmetro de corte é muito próximo do diâmetro original. Por
exemplo, na para Rcal>0,95 temos que Rcal=Rcor e desta forma
Dcor=Dcal.
3.10 Equações Especificas Para Corte de Rotores
Método de Stepanoff (Correção do Diâmetro de corte )
Prof. Carlos Catunda 189Máquinas de Fluxo
Utilizando o mesmo Estudo de caso anterior no Método Gráfico. Após o o
cálculo do Dcal (passo 4), podemos aplicar a Correção do Diâmetro de corte
pelo Método de Stepanoff.
H1=50,6m H2=44m
Q1=214,5m3/h Q2=200m3/h
D1=208mm D2=201mm
** Observa-se que a correção para esta relação de diâmetros é muito pequena.
x Determinação do Diâmetro de Corte de Uma 
Bomba Centrífuga – Método de Stepanoff
(Estudo de Caso)
Prof. Carlos Catunda 190Máquinas de Fluxo
� São utilizadas em instalações que requerem resolver problemas de
alturas elevadas.
� Empregadas em condições de alta pressão ou quando serequer
grandes mudanças de altura manométrica.
� As bombas utilizadas podem ser iguais ou diferentes
� Neste tipo de conexão as bombas trabalham com a mesma vazão,
sendo que a altura manométrica é determinada pela contribuição
das altura manométricas de cada uma das bombas.
� Bombas em estágio são consideradas bombas em série e utilizadas
quando Hman é maior que 50m.
3.11 Associação de Bombas em Série
Prof. Carlos Catunda 191Máquinas de Fluxo
Para obter a curva resultante de uma conexão em série de duas
bombas A e B devemos conhecer suas curvas características.
Considerando uma série de n pontos podemos determinar para ponto
de igual vazão a altura manométrica de cada bomba. Para determinar
curva característica das duas bombas conectadas em série adicionam-
se as alturas manométricas de cada bomba H para cada vazão
considerada. Por exemplo, para um ponto i
Rendimento de duas bombas em série
3.11 Associação de Bombas em Série
Prof. Carlos Catunda 192Máquinas de Fluxo
Curva característica:
3.11 Associação de Bombas em Série
Prof. Carlos Catunda 193Máquinas de Fluxo
Consideremos 2 bombas diferentes
HA= a0 – a1 QA – a2 Q2A
HB= b0 – b1 QB – b2 Q2B
Para conexão em série:
HS = HA + HB QS = QA = QB = Q
Desta forma obtemos:
HS = (a0 + a0 ) – (a1 + b1) Q – (a2 + b2) Q2
Duas bombas iguais
3.11 Associação de Bombas em Série
Curva característica (Caso Geral)
Para duas bombas iguais
um caso simplificado é
dado por:
Prof. Carlos Catunda 194Máquinas de Fluxo
No caso de duas bombas diferentes A e B conectadas em série:
Na conexão em série a potencia total é a soma das potencias parciais
de cada bomba: onde:
Como:
3.11 Associação de Bombas em Série
Análise de Rendimento
Prof. Carlos Catunda 195Máquinas de Fluxo
� Utilizada em sistemas onde se requer aumentar a vazão e tendo
flexibilidade em relação à demanda podendo conectar ou desligar
unidades em funcionamento.
� Devido à existência de perdas de carga, a vazão resultante da
associação de bombas em paralelo é sempre menor que a soma
algébrica da vazão de cada uma das bombas funcionando
isoladamente.
� Recomenda-se utilizar bombas iguais para evitar recirculação de
correntes desde a bomba de maior potência para a de menor
potência.
� Bombas de aspiração dupla ou de entrada bilateral (rotor
germinado) trabalham como bombas em paralelo.
3.11 Associação de Bombas em Paralelo
Prof. Carlos Catunda 196Máquinas de Fluxo
Conhecida a curva característica das duas bombas associadas em
paralelo pode ser determinada a curva característica das bombas
trabalhando separadas. Para um ponto “i” vazão e altura pode ser
determinada como:
Rendimento de duas bombas em série
3.11 Associação de Bombas em Paralelo
Prof. Carlos Catunda 197Máquinas de Fluxo
Curva característica:
3.11 Associação de Bombas em Paralelo
Prof. Carlos Catunda 198Máquinas de Fluxo
Consideremos 2 bombas diferentes
HA= a0 – a1 QA – a2 Q2A
HB= b0 – b1 QB – b2 Q2B
Para conexão em paralelo:
QP = QA + QB HP = HA = HB = H
Considerando a bomba A obtemos:
HP = a0 – a1 QA – a2Q2A
Duas bombas iguais
3.11 Associação de Bombas em Paralelo
Curva característica (Caso Geral)
Para duas bombas iguais
um caso simplificado é
dado por:
Prof. Carlos Catunda 199Máquinas de Fluxo
No caso de duas bombas diferentes A e B conectadas em paralelo:
Na conexão em série a potencia total é a soma das potencias parciais
de cada bomba: onde:
Como:
3.11 Associação de Bombas em Paralelo
Análise de Rendimento
Prof. Carlos Catunda 200Máquinas de Fluxo
x
A tabela abaixo fornece os dados de altura manométrica e vazão da
curva característica de uma bomba centrifuga. A partir destes dados
tabele e trace o resultado de 02 bombas iguais conectadas em série e
de 02 bombas iguais conectadas em paralelo.
Estudo Dirigido
Atividade em grupo (em sala)
Bombas Conexão em Série e em Paralelo. 
Prof. Carlos Catunda 201Máquinas de Fluxo
x
Solução: No caso da conexão em série somamos as alturas e
mantemos a vazão. Por exemplo, para uma vazão de 80m3/h e altura
de 30,5m temos Qs=Q=80m3/h e para altura Hs=2H=2*30,5m=61m.
No caso da conexão em paralelo a vazão é adicionada mantendo a
mesma altura. Para o mesmo exemplo Qp=2*Q=2x80=160m3/h sendo
que HP=H=30,5m. O mesmo pode ser realizado para os demais pontos
da tabela.
Estudo Dirigido
Atividade em grupo (em sala)
Bombas Conexão em Série e em Paralelo. 
Prof. Carlos Catunda 202Máquinas de Fluxo
x Estudo Dirigido
Atividade em grupo (em sala)
Bombas Conexão em Série e em Paralelo. 
Prof. Carlos Catunda 203Máquinas de Fluxo
x
Utilize a planilha interativa com os dados experimentais do ensaio para
traçar as Curvas Características da Bomba. Calcule a altura de carga,
eficiência e potência como funções da vazão volumétrica.
Estudo Dirigido
Atividade em grupo (em sala)
Cálculo das curvas características de bombas a partir de 
dados experimentais
. 
Planilha (Exemplo 10_4 )
Curvas Características
Prof. Carlos Catunda 204Máquinas de Fluxo
Como reforço do aprendizado do conteúdo apresentado em sala de aula, são sugeridos
os exercícios dispostos na lista abaixo. Bom estudo!
E. E. de Mattos, R. de Falco; BOMBAS INDUSTRIAIS, 2a ed., Editora Interciência
Fox, R. W. Introdução à Mecânica dos Fluidos Editora LTC – 8aed
x
Capítulo 10 (FOX)
Exercícios 10.20 10.24 10.25 10.28 10.32 10.34 10.36 10.42 10.43
Planilhas Interativas 10_4 10_5 10_6 10_7 10_8 10_9 10_10
Importante!
Lista de Exercícios
. 
Prof. Carlos Catunda 205Máquinas de Fluxo
≡ 4.1 Coeficientes Adimensionais
≡ 4.1.1 Número de Reynolds
≡ 4.1.2 Número de Mach
≡ 4.1.3 Rugosidade Relativa
≡ 4.1.4 Coeficiente de Pressão ou Altura Específica
≡ 4.1.5 Coeficiente de vazão ou Capacidade Especifica
≡ 4.1.6 Coeficiente de Potência
≡ 4.2 Efeitos de Escala
≡ 4.2.1 Efeito do Número de Reynolds
≡ 4.2.2 Efeito do Número de Mach
≡ 4.2.3 Efeito da Rugosidade Relativa
≡ 4.2.4 Efeito de Espessura
Capítulo 4 – Coeficiente Adimensionais e Leis de 
Semelhança
Prof. Carlos Catunda 206Máquinas de Fluxo
≡ 4.3 Leis de Similaridade
≡ 4.3.1 Leis de Similaridade para Duas Máquinas Semelhantes
≡ 4.4 Utilizando as Leis de Similaridade
≡ 4.5 Modificação do Tamanho da Bomba
≡ 4.6 Curva Característica de Bomba Variando a Rotação
≡ 4.7 Rendimento Global Variando a Rotação
≡ 4.8 Determinação da Rotação Especifica
≡ 4.9 Rotação Específica Característica - nq
≡ 4.10 Número Específico de Rotações por Minuto
≡ 4.10.1 Relação entre ns - nq
≡ 4.11 Velocidade Específica em Bombas de Múltiplos Estágios
Capítulo 4 – Coeficiente Adimensionais e Leis de 
Semelhança
Prof. Carlos Catunda 207Máquinas de Fluxo
A performance das máquinas de fluxo deve ser determinada por
testes experimentais, sendo que diferentes máquinas apresentam
características diferentes.
Podem existir máquinas da mesma família (mesmo desenho porém
fabricadas com diferentes tamanhos), as quais constituem uma série
de máquinas geometricamente semelhantes ou similares,
podendo funcionar com diferentes rotações dentro de limites práticos.
Trabalhando com as grandezas reais de cada máquina seria
impossível caracterizar uma família de máquinas semelhantes pela
grande quantidade de variáveis envolvidas.
O problema é resolvido aplicando análise adimensional às variáveis
envolvidas, formando grupos adimensionais. Desta forma, os
grupos adimensionais fornecem leis de similaridade que governam
as relações entre uma família de máquinas geometricamente
semelhantes.
4.1 Coeficientes Adimensionais
Prof. Carlos Catunda 208Máquinas de Fluxo
A Tabela abaixo apresentada as variáveis envolvidas em
turbomáquinas.
4.1 Coeficientes Adimensionais
Grupos adimensionais fornecem leis de similaridade 
que governam as relações entre uma família de 
máquinas geometricamente semelhantes.
Prof. Carlos Catunda 209Máquinas de Fluxo
Dado um problema físico no qual o parâmetro dependente é uma
função de (n-1) parâmetros independentes, podemos expressar a
relação entre as variáveis como:
q1 = f (q2, q3, ... , qn)
Matematicamente, podemosexpressar a relação por uma função
equivalente:
ϕ (q1, q2, q3, ... , qn) = 0
Teorema do Pi de Buckingham
Dada uma relação entre n parâmetros da forma acima, então os n
parâmetros podem ser agrupados em (n – k) razões independentes
adimensionais, ou parâmetros π.
4.1 Coeficientes Adimensionais
Teorema do Pi de Buckingham (REVISÃO MECFLU)
Prof. Carlos Catunda 210Máquinas de Fluxo
Os parâmetros π podem ser expressos na forma funcional por:
G (Π1, Π1, ..., Πn-k) = 0 ou Π1 = Φ (Π2, Π3, ... , Πn-k)
O número k é, usualmente, igual ao número de dimensões
primárias necessárias para especificar as unidades de todos os
parâmetros envolvidos q1,q2,q3,...qn.
O teorema não prevê a forma funcional de G ou de g. A relação
funcional entre os parâmetros adimensionais π, deve ser obtida
experimentalmente.
4.1 Coeficientes Adimensionais
Teorema do Pi de Buckingham (REVISÃO MECFLU)
Em uma relação entre n parâmetros, estes podem ser 
agrupados em (n – k) razões independentes 
adimensionais, ou parâmetros π
Prof. Carlos Catunda 211Máquinas de Fluxo
Procedimento recomendado para determinar os parâmetros Π:
� Passo 1. Liste todos os parâmetros dimensionais envolvidos
� Passo 2. Selecione um conjunto de dimensões fundamentais (primárias)
� Passo 3. Liste as dimensões de todos os parâmetros em termos das
dimensões primárias
� Passo 4. Selecione da lista um conjunto de k parâmetros dimensionais
que inclua todas as dimensões primárias
� Passo 5. Forme equações dimensionais, combinando os parâmetros
selecionados no Passo 4 com cada um dos outros parâmetros
remanescentes, um de cada vez, a fim de formar grupos dimensionais
� Passo 6. Certifique-se de que cada grupo obtido é adimensional
** Informações adicionais acerca desta REVISÃO, consulte: Fox, R. W. Introdução à
Mecânica dos Fluidos Editora LTC – 8aed, Capítulo 7, seções 7.2 a 7.4
4.1 Coeficientes Adimensionais
Determinação dos Grupos Π (REVISÃO MECFLU)
Prof. Carlos Catunda 212Máquinas de Fluxo
x
Exemplo 7.1 (Fox, R. W. Introdução à Mecânica dos Fluidos – 8aed, Cap. 7)
A força de arrasto, F, sobre uma esfera lisa depende da velocidade
relativa, V, do diâmetro da esfera, D, da massa específica do fluído, ρ,
e da viscosidade do fluído, µ,. Obtenha um conjunto de grupos
adimensionais que podem ser usados para correlacionar dados
experimentais. F = f (ρ, V, D, µ)
Exemplo
Teorema do Pi de Buckingham
Determinação dos Grupos Adimensionais Π em:
Força de Arrasto sobre uma esfera lisa (REVISÃO MECFLU)
k
Prof. Carlos Catunda 213Máquinas de Fluxo
x Exemplo
Teorema do Pi de Buckingham
Determinação dos Grupos Adimensionais Π em:
Força de Arrasto sobre uma esfera lisa (REVISÃO MECFLU)
Prof. Carlos Catunda 214Máquinas de Fluxo
x Exemplo
Teorema do Pi de Buckingham
Determinação dos Grupos Adimensionais Π em:
Força de Arrasto sobre uma esfera lisa (REVISÃO MECFLU)
Prof. Carlos Catunda 215Máquinas de Fluxo
x
A configuração detalhada do escoamento dentro de uma bomba varia
com a vazão volumétrica e com a velocidade; estas mudanças
afetam o desempenho da bomba. Os parâmetros de desempenho de
interesse incluem o aumento de pressão (altura manométrica ou de
carga) desenvolvido, a potência de entrada requerida e a eficiência
medida da máquina sob condições específicas de operação. As curvas
de desempenho são geradas, variando um parâmetro independente tal
como a vazão volumétrica. Desse modo, as variáveis independentes
são: 1) a vazão volumétrica, 2) a velocidade angular, 3) o diâmetro do
rotor, 4) as propriedades do fluido e 5) características do sistema. As
variáveis dependentes são os diversos parâmetros de desempenho de
interesse.
h = f1(Q, n, D, ρ, µ, K, ε)
Exemplo
Teorema do Pi de Buckingham
Determinação dos Grupos Π em Bomba Centrífuga típica
Prof. Carlos Catunda 216Máquinas de Fluxo
x
A determinação dos parâmetros adimensionais começa com as
equações simbólicas para a dependência da altura de carga, h
(energia por unidade de massa, L2/t2) h = f1(Q, n, D, ρ, µ, K, ε)
� h Q n D ρ µ K ε n = 8 parâmetros dimensionais
� Selecione as dimensões primárias M, L e t
�
� Selecione como parâmetros repetentes n, D, ρ
k = 3 parâmetros repetentes
Exemplo
Teorema do Pi de Buckingham
Determinação dos Grupos Π em Bomba Centrífuga típica
r = 3 dimensões primárias
Prof. Carlos Catunda 217Máquinas de Fluxo
�
x Exemplo
Teorema do Pi de Buckingham
Determinação dos Grupos Π em Bomba Centrífuga típica
A expressão apresenta diferentes 
parâmetros característicos que 
serão definidos a seguir.
Prof. Carlos Catunda 218Máquinas de Fluxo
Sabemos que velocidade periférica é dada como U=ωR. Podemos
também expressar que U é proporcional a nD isto é U∝nD desta
forma na expressão:
o qual representa:
a viscosidade cinemática é dada como ν = ρ / µ e desta forma a
expressão representa o número de Reynolds definido como:
4.1 Coeficientes Adimensionais
4.1.1 Número de Reynolds
Prof. Carlos Catunda 219Máquinas de Fluxo
A velocidade do som pode ser dada como: c =( k / ρ)1/2 onde k=ρ c2 é
o módulo elasticidade volumétrico. A velocidade periférica n=U/D.
4.1.3 Rugosidade Relativa
O último termo ε/D é definido como rugosidade relativa.
Desta forma, o coeficiente de pressão é representado em função dos
seguintes parâmetros adimensionais.
Da mesma forma, com auxilio da análise dimensional, considerando a
vazão como variável independente se obtém o coeficiente de potência
(Cw). Ambos são função das variáveis φ (CQ. Re, Ma, ε/D)
4.1 Coeficientes Adimensionais
4.1.2 Número de Mach
Prof. Carlos Catunda 220Máquinas de Fluxo
Para trabalhar em unidades coerentes as expressões dos coeficientes
são apresentadas em função da velocidade angular ω (rad/s) e não
da rotação n (rpm).
4.1.5 Coeficiente de vazão ou Capacidade Especifica
4.1.6 Coeficiente de Potência
** As relações funcionais entre CH, CQ, CW constituem um conjunto
característico que representam a performance de uma família de
máquinas geometricamente semelhantes.
4.1 Coeficientes Adimensionais
4.1.4 Coeficiente de Pressão ou Altura Específica
Prof. Carlos Catunda 221Máquinas de Fluxo
Nas máquinas geometricamente semelhantes, as relações funcionais
entre CH, CQ, CW são idênticas para todas aquelas máquinas em que
Re, Ma, ε /D são os mesmos
O rendimento global é função destas variáveis adimensionais
Podemos representar as curvas características das turbomáquinas
em função destes coeficientes.
4.1 Coeficientes Adimensionais
4.1.7 Rendimento Global
Prof. Carlos Catunda 222Máquinas de Fluxo
x
Podemos representar as curvas características das turbomáquinas em
função dos coeficientes CH, CQ, CW. Por exemplo, vamos supor que temos
a informação de uma bomba de um fabricante com diâmetro do rotor de
200mm a qual opera com rotação de 1750rpm sendo fornecidos os dados
de altura, vazão e rendimento conforme tabela abaixo. A partir de estes
dados, utilizando uma planilha, obtemos a potência e podemos traçar as
curvas respectivas da altura manométrica, rendimento e potência.
Exemplo
Curvas características das turbomáquinas em 
função dos coeficientes CH, CQ, CW
Prof. Carlos Catunda 223Máquinas de Fluxo
x
O resultado mostra que a bomba apresenta seu rendimento máximo
(79%) para uma vazão de 46m3/h fornecendo uma altura manométrica em
torno de 15,3m.
Exemplo
Curvas características das turbomáquinas em 
função dos coeficientes CH, CQ, CW
Para cada um dos pontos 
podemos determinar os 
respectivos coeficientes 
de vazão, altura e 
potência...
Prof. Carlos Catunda 224Máquinas de Fluxo
x
Os coeficientes de vazão, altura e potência podem estão serem
calculados, conforme tabela abaixo. Obs: O coeficiente de vazão foi
multiplicado por 100 e o coeficiente de altura por 10 para traçar um gráfico
de escalas apropriadas.
Exemplo
Curvas características das turbomáquinas em 
função dos coeficientes CH, CQ, CW
Prof. Carlos Catunda 225Máquinas de Fluxo
x Exemplo
Curvas características das turbomáquinas em 
função dos coeficientes CH, CQ, CW
Prof. Carlos Catunda 226Máquinas de Fluxox
Por exemplo, para Q=50m3/h temos:
Para verificar o resultado podemos utilizar para a vazão de 50m3/h a
expressão do rendimento global
Exemplo
Curvas características das turbomáquinas em 
função dos coeficientes CH, CQ, CW
Prof. Carlos Catunda 227Máquinas de Fluxo
Quando se utilizam as leis de similaridade se assume que todos os
critérios de similaridade dinâmica são satisfeitos. Quando se
analisam os grupos adimensionais que representam o número de
Reynolds, o número de Mach e a rugosidade relativa se observa que
isto não ocorre na realidade.
4.2.1 Efeito do Número de Reynolds
Sabemos que o Re para turbomáquinas é definido como Re=UD/ν .
Toda mudança de rotação ou diâmetro altera o valor de Re, e por isto
não pode ser considerado como um valor constante. Contudo, para
água e ar este efeito é pequeno já que geralmente Re é muito alto,
e o fluxo é geralmente turbulento.
4.2 Efeitos de Escala
Prof. Carlos Catunda 228Máquinas de Fluxo
4.2.2 Efeito do Número de Mach.
O aumento da rotação ou o diâmetro do rotor faz com que o número
de Mach aumente. Desta forma a condição de similaridade não é
satisfeita e os efeitos de compressibilidade poderão ser
importantes, afetando a performance da máquina. Os efeitos de
compressibilidade devem ser estudados cuidadosamente no caso de
compressores e ventiladores quando se trabalha com as leis de
similaridade.
4.2.3 Efeito da Rugosidade Relativa
A rugosidade absoluta (ε) é um valor médio das perturbações
superficiais para um certo material e processo de fabricação,
independente de seu tamanho. Porém, qualquer modificação de
tamanho da máquina e, portanto do impelidor implicará numa
modificação da sua rugosidade relativa. Bombas maiores apresentam
menor rugosidade relativa, isto tende a perdas por atrito menores e
menos importantes.
4.2 Efeitos de Escala
Prof. Carlos Catunda 229Máquinas de Fluxo
Na prática é difícil manter similaridade geométrica devido ao efeito
de interstícios (tamanhos). A mesma bitola de chapa, por exemplo,
pode ser utilizada para uma ampla faixa de tamanhos de rotores.
Todos estes efeitos são conhecidos como efeitos de escala. Em geral,
o efeito de escala tende a melhorar a performance das máquinas de
maior porte.
Nas equações de semelhança são desprezados os efeitos de
viscosidade e rugosidade superficial. Quando o tamanho da
turbomáquina diminuí, como por exemplo no caso de modelos e
protótipos, tais efeitos podem se tornar significativos. No caso de
bombas pode ser utilizada a seguinte relação que considera a
variação da eficiência em função da semelhança geométrica da
bomba.
4.2 Efeitos de Escala
4.2.4 Efeito de Espessura
Prof. Carlos Catunda 230Máquinas de Fluxo
Casos particulares:
a) Mesmo Rotor
b) Mesmo Fluido
c) Mesma Rotação.
Q1,Q2: vazões das bombas
n1,n2: rotações das bombas
W’1, W’2:potência das bombas.
H1,H2: alturas de elevação manométrica do líquido bombeado.
4.3 Leis de Similaridade
Prof. Carlos Catunda 231Máquinas de Fluxo
Todas as máquinas de uma mesma família operam sob condições
dinamicamente semelhantes. Desta forma os coeficientes
adimensionais são os mesmos em pontos correspondentes de suas
características. Isto implica que as leis de similaridade, que governam
as relações entre tais pontos, podem ser relacionadas como:
Coeficiente de vazão:
Coeficiente de altura:
Coeficiente de potência:
Devendo também satisfazer que Re, Ma, ε/D sejam os mesmos. Tais
máquinas apresentam um rendimento constante η=cte.
4.3 Leis de Similaridade
Prof. Carlos Catunda 232Máquinas de Fluxo
Consideremos uma bomba, com rotação n1 e diâmetro D, que apresenta
curvas características de altura vazão, H-Q rendimento vazão η-Q e
potência vazão P-Q. Desejamos determinar nova curva característica
quando se modifica a rotação para um valor n2 tal que n2>n1. Quando a
bomba está operando num ponto x fornece uma altura manométrica Hx
para uma vazão Qx e consome uma potência Px com um rendimento ηx.
4.4 Utilizando as Leis de Similaridade
Prof. Carlos Catunda 233Máquinas de Fluxo
Quando trabalha numa rotação n2 maior que n1 se obtém pelas leis de
similaridade um novo ponto que denominaremos x’, com a nova
vazão e altura que fornecerá a bomba:
Na gráfico do slide anterior mostra-se o ponto x´. Aplicando tal
método a outros pontos podemos determinar a curva da bomba para
a rotação n2. Da mesma forma pode-se determinar a potência
consumida na nova rotação e traçar a curva de potência da bomba
para a nova rotação n2
4.4 Utilizando as Leis de Similaridade
Prof. Carlos Catunda 234Máquinas de Fluxo
Na imagem mostra-se o resultado gráfico da mudança de rotação
para vários pontos da curva. Observa-se que existe uma relação de
curvas parabólicas do tipo H=cQ2 que passam pelos pontos com
mudança de rotação.
4.4 Utilizando as Leis de Similaridade
Prof. Carlos Catunda 235Máquinas de Fluxo
Entretanto, quando um ponto se modifica para uma nova altura
manométrica e vazão, o rendimento permanece constante. Isto
significa que no caso anterior para qualquer ponto ηx= ηx’
O rendimento global é definido como a razão entre a potência
hidráulica e a potência mecânica fornecida (potência de
acionamento).
Aplicando a expressão de rendimento global para as rotações n1 e n2.
Dividindo as duas expressões;
Utilizando as relações de similaridade:
4.4 Utilizando as Leis de Similaridade
Prof. Carlos Catunda 236Máquinas de Fluxo
Apesar de ηx=ηx’ quando se traçam os gráficos mostram-se como
sendo curvas diferentes já que:
4.4 Utilizando as Leis de Similaridade
O procedimento visto 
pode ser aplicado a 
outros pontos, obtendo-
se a nova curva de 
rendimento da bomba.
Observa-se que para 
um ponto qualquer na 
mudança de rotação o 
rendimento se 
mantém constante.
Prof. Carlos Catunda 237Máquinas de Fluxo
A modificação do diâmetro do rotor pode fornecer novas curvas
características quando trabalhamos com as leis de similaridade para
uma bomba com a mesma rotação. (n1=n2)
4.5 Modificação do Tamanho da Bomba
Prof. Carlos Catunda 238Máquinas de Fluxo
Consideremos uma 
bomba A com rotação nA
Pelas relações de 
semelhança se a bomba 
muda de rotação a altura 
e vazão da curva é 
modificada pelas 
relações:
4.6 Curva Característica de Bomba Variando a Rotação
Prof. Carlos Catunda 239Máquinas de Fluxo
Denominado a relação de rotações por:
Obtemos a relação:
Também podemos escrever a Eq. como:
4.6 Curva Característica de Bomba Variando a Rotação
Prof. Carlos Catunda 240Máquinas de Fluxo
Para determinar o rendimento global de uma bomba que muda de
rotação utilizamos as equações de semelhança. Estas relações são
válidas para máquinas semelhantes de igual rendimento.
Consideremos uma bomba A com rotação nA a qual apresenta um
rendimento global dado pela expressão do tipo:
onde a1 e a2 são constantes.
Quando a bomba muda de rotação (nB) a vazão é modificada
considerando a equação de semelhança:
Desta forma a curva do rendimento o rendimento:
4.7 Rendimento Global Variando a Rotação
Prof. Carlos Catunda 241Máquinas de Fluxo
Consideremos duas bombas semelhantes. Uma com diâmetro do
rotor igual a D1 e outra com diâmetro do rotor igual a D2
4.8 Determinação da Rotação Especifica
Prof. Carlos Catunda 242Máquinas de Fluxo
Admitindo que uma destas bombas seja uma bomba padrão com
uma altura unitária H=1m e vazão unitária Q=1m3/s, tal bomba terá
uma rotação denominada rotação específica característica.
Cada família de bombas apresenta uma faixa de nq . Observa-se que
ns tem como unidades rpm já que tanto a vazão como a altura
manométrica foram adimensionalizadas.
4.8 Determinação da Rotação Especifica
Prof. Carlos Catunda 243Máquinas de Fluxo
Rotação específica é a rotação na qual deverá operar uma bomba
geometricamente semelhante à bomba considerada, capaz de elevar
1m de altura a uma vazão de 1m3/s com o máximo rendimento.
Obs: Os valores de (Q,Hman) correspondem ao máximo rendimento.
� Cada família ou classe de bombas apresenta uma faixa particular
de rotação específica.
� O conceito é muitoútil já que é possível selecionar o tipo de
bomba mais eficiente para uma determinada aplicação.
� As bombas centrífugas, trabalham com vazões baixas e grandes
elevações, por isto apresentam baixas rotações específicas.
4.9 Rotação Específica Característica - nq
Prof. Carlos Catunda 244Máquinas de Fluxo
A Tabela mostra velocidades específicas para diversos tipos de
rotores
A Figura mostra o resultado equivalente ao dado na Tabela incluindo
a representação gráfica do tipo de rotor e a aplicação em quanto a
altura manométrica.
4.9 Rotação Específica Característica - nq
Prof. Carlos Catunda 245Máquinas de Fluxo
x
Utilizando novamente o exemplo da bomba de um fabricante com
diâmetro do rotor de 200mm a qual opera com rotação de 1750rpm sendo
fornecidos os dados conforme tabela abaixo.
O resultado já mostrara que a bomba apresentava seu rendimento
máximo (79%) para uma vazão de 46m3/h fornecendo uma altura
manométrica em torno de 15,3m.
Exemplo
Rotação Específica Característica - nq
Prof. Carlos Catunda 246Máquinas de Fluxo
x
Desta forma:
O que pode representar o caso de um rotor centrifugo normal
Exemplo
Curvas características das turbomáquinas em 
função dos coeficientes CH, CQ, CW
Prof. Carlos Catunda 247Máquinas de Fluxo
Representa o número de rpm de uma bomba geometricamente
semelhante à bomba considerada que eleva 75litros de água a uma
altura de 1 metro em 1 segundo, e demanda uma potência de 1CV.
Obs: Desta forma se trabalha com uma vazão de Q=0,0075m3/s..
� Com ns determina-se o tipo de bomba mais apropriado.
� A caracterização do tipo de rotor depende não apenas de Q e H
mais também da sua rotação (n).
� Maiores valores de ns representa menores bombas.
� A equação de ns mostra que quanto maior Q e menor H maior será
a velocidade específica ns.
4.10 Número Específico de Rotações por Minuto
Prof. Carlos Catunda 248Máquinas de Fluxo
A figura abaixo mostra diferentes rotores com os respectivos valores de ns.
4.10 Número Específico de Rotações por Minuto
Prof. Carlos Catunda 249Máquinas de Fluxo
O número específico de rpm se relaciona com a rotação específica
característica pela seguinte expressão:
4.10 Número Específico de Rotações por Minuto
4.10.1 Relação entre ns - nq
Prof. Carlos Catunda 250Máquinas de Fluxo
x
Utilizando novamente o exemplo da bomba de um fabricante com
diâmetro do rotor de 200mm a qual opera com rotação de 1750rpm, onde
o resultado já mostrara que a bomba apresentava seu rendimento máximo
(79%) para uma vazão de 46m3/h fornecendo uma altura manométrica em
torno de 15,3m e Rotação Específica Característica, nq, de 25,57rpm.
Assim:
Confirmando que trata-se de um rotor de bomba centrifuga já que está na
faixa entre 90rpm e 130 rpm
Exemplo
Rotação Específica Característica - nq
ns = 3,65 x 25,57 = 93,7
Prof. Carlos Catunda 251Máquinas de Fluxo
Para determinar a rotação específica em bombas de múltiplos
estágios divide-se a altura útil pelo número de estágios (i) da bomba:
Número de Estágios:
� Como primeira aproximação pode-se admitir que para alturas até
50m pode-se trabalhar com 01 estágio (i=1).
� Se a altura for maior que 50m se utilizam vários estágios cada um
proporcionando uma altura entre 20 a 30m
4.11 Velocidade Específica em Bombas de Múltiplos Estágios
Prof. Carlos Catunda 252Máquinas de Fluxo
4.11.1 Bombas com entradas bilaterais (Rotor Geminado)
Trata-se de 2 rotores de costas um ao outro, fundidos numa única
peça. Neste caso a vazão se divide metade em cada lado do rotor
para se obter a rotação específica
4.11.2 Bombas com vários estágios e entrada bilateral
4.11 Velocidade Específica em Bombas de Múltiplos Estágios
Prof. Carlos Catunda 253Máquinas de Fluxo
4.11.3 Rotação Específica - Unidades Americanas
No sistema americano a rotação específica é dada por:
Expressões utilizadas para conversão do sistema americano ao
métrico:
ou utilizando a rotação específica
4.11 Velocidade Específica em Bombas de Múltiplos Estágios
Prof. Carlos Catunda 254Máquinas de Fluxo
x
Uma bomba com rotor de 343mm opera no seu ponto de máxima
eficiência com uma vazão de 115 m3/h e uma altura manométrica de 50m.
A bomba trabalha com 1750rpm.
(a) Determinar o tipo de bomba
(b) Determinar o coeficiente de pressão e de vazão.
Exemplo
Bomba
Determinar coeficiente de pressão e de vazão
Prof. Carlos Catunda 255Máquinas de Fluxo
x
Uma bomba centrífuga com rotor de 0,5m de diâmetro e uma rotação de
750rpm apresentando dados fornecidos na tabela abaixo. Trace a curva
H-Q e η-Q da bomba original e de uma bomba geometricamente
semelhante com diâmetro de 0,35m e opera com uma rotação de
1450rpm
Exemplo
Bomba - Determinar curva H-Q e h-Q da bomba 
original e semelhante
Prof. Carlos Catunda 256Máquinas de Fluxo
x
Uma bomba com 1450rpm apresenta os seguintes dados obtidos do
catálogo da bomba:
(a) Traçasr as curvas de Altura-Vazão e Rendimento-vazão
(b) Determinar e traçar a curva de H-Q quando a rotação diminui para
1400rpm.
Exemplo
Bomba - Determinar curva H-Q semelhante
com redução de rotação
Q (L/s) 40 80 120 160 200
Hman(m) 32,0 30,5 28,0 24,5 20,0
P (kW) 34,2 39,2 45,0 52,5 64,5
Prof. Carlos Catunda 257Máquinas de Fluxo
x
Na figura representa-se a curva H-Q de uma bomba operando numa
instalação com uma rotação de n (rpm). Um manômetro e um vacuômetro
são instalados na saída e entrada da bomba, indicam respectivamente
1,8kgf/cm2 e 0,4kgf/cm2. Em tais condições a bomba tem uma rotação
específica (nq) igual a 53,99rpm.
Exemplo
Bomba - Determinar curvas características com 
nova condição de operação
a) Determinar a vazão, altura
manométrica e rotação da bomba.
b) Se mantivermos a mesma vazão
na instalação qual a nova altura
manométrica que poderá fornecer
a bomba quando se modifica a
rotação para n’ (rpm). Determine
esta nova rotação nas condições
de operação. (Fluido: água)
Prof. Carlos Catunda 258Máquinas de Fluxo
x
Uma bomba centrífuga trabalha com água com uma vazão de
68,4m3/hora. O rotor de 320mm gira a 1500 rpm e apresenta escoamento
radial na entrada do rotor e pás radiais na saída.
a) Determine potência teórica da bomba para número infinito de pás.
b) Determine as condições de operação de uma bomba
geometricamente semelhante com diâmetro de 380mm e rotação de
1750rpm.
Exemplo
Bomba - Determinar potência teórica da bomba 
para número infinito de pás
Prof. Carlos Catunda 259Máquinas de Fluxo
x
Os parâmetros da bomba são: rotação 400rpm; vazão 1,7m3/s e altura
manométrica 36,5m e potência 720kW. Um modelo geometricamente
semelhante com escala 1:6 desta bomba será testado. Se o modelo é
testado com altura manométrica de 9,0m, determine a rotação e descarga
que deverá funcionar assim como a potência requerida para o mesmo.
Exemplo
Bomba - Determinar Curvas de semelhança em 
modelos
Prof. Carlos Catunda 260Máquinas de Fluxo
x
Um sistema deve bombear água através de uma tubulação de 150mm de
diâmetro interno com 460m de comprimento. Considere o coeficiente de
atrito igual a 0,025. A altura estática de elevação é igual a 12m
considerando nulas todas as perdas localizadas e hvel=0. Determinar e a
equação característica do sistema.
Qual a altura manométrica do sistema quando a vazão requerida é igual a
80m3/h. Qual a nova vazão e altura que poderia operar uma bomba
quando muda a rotação de 1750rpm para 2000rpm.
Exemplo
Bomba - Determinar equação característica do 
sistema e curvas de semelhança de operação
Prof. Carlos Catunda 261Máquinas de Fluxo
x
Uma bomba com diâmetro de 75mm opera com uma rotação de
3450rpm. A bomba fornece uma vazão de 60m3/h e desenvolve uma
altura manométrica de 20m requerendo uma potência de acionamento de
10 kW.
Determinar a rotação, vazão e potência necessária para o acionamento de 
uma bomba semelhante com 100mm de diâmetro e deve operar com uma 
altura manométrica de 30m
Exemplo
Bomba - Determinar potência necessária para o 
acionamento de uma bomba semelhante
Prof. Carlos Catunda 262Máquinas de Fluxo
x
Especificar o tipo de bombae determinar o diâmetro externo do rotor, a
qual deve trabalhar com uma vazão de 75m3/h desenvolvendo uma altura
manométrica de 22m operando com rotação de 1500 rpm.
Exemplo
Bomba - Especificação de bombas
Prof. Carlos Catunda 263Máquinas de Fluxo
x
Estudo Dirigido
Atividade em grupo (em sala)
Exercícios Teóricos 
PROCESSO SELETIVO (PETROBRAS 2011): ENGENHEIRO(A) 
DE EQUIPAMENTOS JÚNIOR MECÂNICA
PROCESSO SELETIVO (PETROBRAS 2018): ENGENHEIRO(A) 
DE EQUIPAMENTOS JÚNIOR MECÂNICA
Prof. Carlos Catunda 264Máquinas de Fluxo
x
Estudo Dirigido
Atividade em grupo (em sala)
Exercícios Teóricos 
PROCESSO SELETIVO (PETROBRAS 2011): ENGENHEIRO(A) 
DE EQUIPAMENTOS JÚNIOR MECÂNICA:
Prof. Carlos Catunda 265Máquinas de Fluxo
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