Trabalho de Matemática Financeira

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FACULDADE DE TECNOLOGIA DA ZONA LESTE
Matemática Financeira: Compra e Substituição de Equipamentos 
São Paulo
2013
Centro estadual de educação tecnológica Paula Souza
 Faculdade Tecnologia da Zona Leste
Matemática Financeira
Danilo Guimarães
 Gabriel Nunes da Silva
 Kenyo Franco
Orientador (a): PROF: ANA SCARDINO
Compra e Substituição de Equipamentos
“O Trabalho de Matemática Financeira mostra a analise de Compra e Substituição de Equipamentos”
São Paulo
2013
Sumário
4INTRODUÇÃO
4AQUISIÇÃO
41.SUBSTITUIÇÃO DE EQUIPAMENTOS
41.1 DEFINIÇÃO
51.2 MOTIVOS PARA SUBSTITUIÇÃO DE EQUIPAMENTOS
61.3 VIDA DE UM BEM
72. METODOS
82.1 MÉTODO DO CUSTO ANUAL UNIFORME EQUIVALENTE (CAUE)
92.2 BAIXA COM SUBSTITUIÇÃO POR EQUIPAMENTO IDÊNTICO
102.3 BAIXA COM SUBSTITUIÇÃO POR EQUIPAMENTO DIFERENTE
122.4 BAIXA SEM SUBSTITUIÇÃO
132.5 MANTER O ATIVO DURANTE UM ANO
142.6 CONSTRUÇÃO DO FCI E DO CÁLCULO DO VPL
15CONSIDERAÇÕES FINAIS
15BIBLIOGRÁFIA
Introdução 
A compra e substituição de equipamento se apresentam como uma necessidade dentro da empresa os custos de se manter um equipamento desgastado, depreciado tende a ser alto já que a manutenção passa a compor uma parcela grande das despesas além de o equipamento pode não mais apresentar o mesmo desempenho que uma nova. 
Porém e necessário avaliar a viabilidade desta compra ou substituição, já que em certas situações o momento pode variar de acordo com o impacto econômico dentro do financeiro da empresa. 
Pode se também utilizar como motivo para a compra a evolução tecnológica que pode potencializar a produção da empresa dinamizando os ganhos e diminuindo as despesas como um todo. 
Análise para identificação da necessidade e viabilidade exige a avaliação dos ativos e demanda de produção assim como as possibilidades oferecidas pelo mercado na compra de equipamentos, prazos, vantagens, possibilidades, são todos muito importantes necessitando uma avaliação precisa para que a ação tomada esteja o máximo munido de informações corretas e úteis.
Aquisição
Aquisição é o ato de adquirir algum bem, seja ele produto ou serviço. A aquisição de um determinado bem se concretiza geralmente através da compra.
O poder aquisitivo ou o poder de compra é a capacidade de uma pessoa ou um grupo social, de ter condições financeiras de adquirir bens, mercadorias ou serviços.
Fazer uma aquisição significa adquirir algo, obter a posse, passar a ser o proprietário do bem.
1.SUBSTITUIÇÃO DE EQUIPAMENTOS
 1.1 DEFINIÇÃO 
Segundo Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá) Substituição de equipamento é um conceito amplo que abrange desde a seleção de ativos similares, porém novos, para substituir os existentes, até a avaliação de ativos que atuam de modos completamente distintos no desempenho da mesma função. 
Por definição Souza e Clemente (1999),o nome “Substituição de Equipamentos” refere-se a qualquer ativo fixo da empresa, como moveis, veículos, maquinas. Assim, o termo “equipamento” é utilizado em sentido amplo, para abranger qualquer bem de capital. O procedimento mais adequado para essa analise é estabelecer um prazo de vida útil para cada ativo, e desenvolver todas as implicações financeiras e econômicas para a analise (aplicação de métodos).
1.2 MOTIVOS PARA SUBSTITUIÇÃO DE EQUIPAMENTOS 
Podendo ser uma fonte de desenvolvimento progressivo da empresa potencializando sua capacidade de produção buscando a atualização tecnológica em prol de maior produtividade. Levando em consideração o custo de manutenção de equipamento depreciado as vantagens econômicas se tornam vantajosas segundo CASAROTTO FILHO (2000), “constatou-se que muitas empresas brasileiras (provavelmente a maioria) têm o costume de manter os equipamentos velhos em funcionamento, mesmo quando sua operação não é mais economicamente viável. As despesas de manutenção em geral superam em muito o valor dos investimentos. Acredita-se que existe atualmente no Brasil um potencial enorme de redução de custos simplesmente desfazendo-se de equipamentos obsoletos com tempos de operação muito elevados ou produzindo fora das especificações. Acredita-se que as empresas não fazem as substituições que deveriam fazer por causa de um comodismo administrativo: as decisões de substituição não chegam a ser cogitadas, pois o estilo administrativo dominante ainda é o de resolver os problemas só em último caso, e não se antecipar a eles. As empresas preferem os bombeiros às soluções mais racionais”. 
De acordo com Newman & Lavelle (1998), a substituição de um ativo existente pode ser recomendada em várias situações, incluindo obsolescência, depleção e deterioração devido ao envelhecimento. Tais termos compõem alguns dos pressupostos necessários à compreensão deste tema, sendo definidos pelos referidos autores como segue: Obsolescência: concerne à situação em que a tecnologia de um ativo foi ultrapassada por tecnologias novas e/ou diferentes. 
Depleção: refere-se à perda gradativa do valor de mercado de um bem, na medida em que este é consumido ou exaurido. Na grande maioria dos casos, o ativo será utilizado até esgotar-se, quando, então, será substituído. 
Deterioração devida ao envelhecimento: trata-se da condição geral de perda de valor de um ativo devido ao processo de envelhecimento. Visando a compensar a perda de eficiência devida ao processo de envelhecimento, incorre-se em despesas adicionais de operação e manutenção para manter o ativo em condições eficientes de operações. 
Ainda segundo Julio de Mesquita Filho de maneira especificada o que contribui para substituição de equipamentos são: 
.a) Desgaste: 
• Diminuição da produtividade física. 
• Redução da qualidade dos produtos fabricados e/ou serviços prestados. 
• Aumento dos custos de manutenção e de reparação. 
b) Obsolescência: 
• Novos equipamentos (ativos) poderão proporcionar: 
• Melhoria da qualidade dos produtos fabricados / serviços prestados. 
• Prestação de serviços em melhores condições (menores custos ou menores prazos). 
c) Novas exigências em termos de produção ou serviços 
Outro fator que merece consideração nas análises de substituição de equipamentos é a diferença tecnológica entre os equipamentos. Baseados nesse ponto de vista Bhurisith e Touran (2002) introduziram o custo do desenvolvimento tecnológico em suas análises de substituição. Segundo eles, da mesma forma que o dinheiro sofre desvalorização ao longo do tempo, os equipamentos também sofrem uma desvalorização tecnológica. Por exemplo, se um caminhão gasta hoje R$5,00 por tonelada transportada, daqui a dez anos, um caminhão para ser equivalente a esse teria que gastar menos. A diferença entre esses custos seria alocada como custo de desenvolvimento tecnológico do caminhão mais novo. 
Nair (1997) também faz algumas considerações sobre o desenvolvimento tecnológico nas análises de investimento, sobretudo as de substituição de equipamentos, afirmando que as inovações tecnológicas que surgem no futuro podem influir na tomada de decisão. Por exemplo, quando os carros “flex” (bicombustíveis) surgiram no Brasil, os carros antigos sofreram uma desvalorização devido à nova tecnologia dos motores bicombustíveis. Isso também acontece nos equipamentos industriais. Para esses casos Nair (1997) sugere o cálculo do horizonte tecnológico, que é o número mínimo de inovações tecnológicas que não influirá na decisão. 
Apesar da grande importância dada aos critérios econômicos e financeiros na análise de investimentos, Filho e Kopittke (2000) citam também a importância dos fatores imponderáveis na engenharia econômica, ou seja, os fatores não conversíveis em dinheiro (e.g., restrições políticas), também devem ser levados em conta na análise final do investimento. 
1.3 VIDA DE UM BEM 
A vida econômica de um bem, segundo DEGARMO (1973), “é o período de tempo (geralmente em anos) em que o custo anual uniforme equivalente de possuir e de operar o bem é mínimo. Os bens, como equipamentos e instalações, desgastam-se com o uso, necessitandocada vez mais de manutenção. Assim, é de esperar que os custos operacionais aumentem com o passar do tempo”. 
Vida útil de um bem, segundo DEGARMO (1973), “é o período de tempo em que o bem consegue exercer as funções que dele se espera. A vida útil depende de como o bem é utilizado e mantido”.
A vida econômica refere-se aos custos globais em que a empresa utiliza para manter em operação certo equipamento. Enquanto a vida útil diz respeito à capacidade física de produção de certo equipamento. 
De certa forma vida econômica de um bem corresponde ao tempo de utilização do bem, capaz de produzir com menor custo para a empresa, e que certamente, é menor ou igual à sua vida útil, onde o conceito encontra-se associado ao limite possível de uso do bem. 
2. METODOS 
Segundo Ehrlich (1977, p. 14): "Antes de desenvolver a estrutura matemática necessária para a avaliação das propostas de aplicação do capital, é conveniente postular alguns princípios qualitativos que fundamentam a racionalização das decisões.”
Para determinar o momento ideal de substituição de ativos depreciáveis ou analisar alternativas de investimentos, existem vários métodos disponíveis para auxiliar a tomada de decisão. Entretanto, logo a seguir é dado destaque apenas aos métodos principais, sendo que eles serão divididos em três classes, baseadas nas classificações de Dorneles (2001) e De Rocchi (1987). Assim, neste estudo, os métodos foram classificados nas seguintes classes: 
1) Métodos que utilizam fluxos de caixa em termos nominais: 
• Pay-back nominal; 
• Taxa de retorno contábil ou taxa média de retorno. 
2) Métodos que utilizam fluxos de caixa reais: 
• Valor presente líquido (VPL); 
• Valor anual uniforme equivalente (VAUE); 
• Custo anual uniforme equivalente (CAUE); 
• Taxa interna de retorno (TIR); 
• Índice de lucratividade (IL); 
• Pay-Back atualizado ou descontado. 
3) Métodos da pesquisa operacional: 
• Método MAPI ou Terborgh; 
• Método de Ornstein; 
• Método de Clapham. 
Após vários estudos realizados sobre os métodos acima citados, optou-se pela utilização do método do custo anual uniforme equivalente (CAUE), o qual é descrito na sequência do trabalho. 
Os problemas de substituição de ativos fixos podem ser agrupados segundo Casarotto Filho & Kopittke (2000, p. 167) em cinco modelos tradicionais que são: a baixa sem reposição, substituição idêntica, substituição não idêntica, substituição com progresso tecnológico e substituição estratégica, que serão estudos a seguir. 
2.1 MÉTODO DO CUSTO ANUAL UNIFORME EQUIVALENTE (CAUE) 
O CAUE pode corresponder à soma do custo anual de recuperação de capital (CRC) com os custos anuais de manutenção (CM): 
CAUE = CRC + CM 
Newman & Lavelle (1998) afirmam que o CAUE total para cada ano é calculado através da soma das seguintes parcelas: CAUE dos custos de recuperação de 
capital; CAUE dos custos de operação e CAUE dos custos de manutenção e reparo. O CAUE dos custos de recuperação de capital é calculado por intermédio da expressão algébrica seguinte:
(
)
(
)
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ë
é
-
+
+
=
1
1
1
.
.
n
n
i
i
i
P
A
Já o CAUE dos custos de operação, bem como dos custos de manutenção e reparo são calculados para cada ano através da expressão: 
(
)
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ë
é
-
+
-
=
1
1
1
.
n
n
i
i
G
A
onde i = Taxa efetiva de juros por período (dada em forma de decimal); n = Número de períodos; P = Valor presente ou atual; G = Aumento ou decréscimo uniforme, período por período, nos recebimentos ou desembolsos de dinheiro – gradiente aritmético; e A = Um recebimento ou desembolso de dinheiro, ao final do período, em uma série uniforme de n períodos. 
2.2 BAIXA COM SUBSTITUIÇÃO POR EQUIPAMENTO IDÊNTICO 
Na baixa com substituição por equipamento idêntico, a função desempenhada pelo equipamento continua após a sua baixa. Para que não haja confusão com o item seguinte – baixa com substituição por equipamento diferente – vamos enunciar o problema da seguinte maneira: uma firma vai adquirir um bem novo e deseja saber por quanto tempo deverá usá-lo antes de substituí-lo por um idêntico. Vejamos o problema. 
Problema: Método do CAUE Vai ser comprada uma máquina de marca e tipo previamente escolhidos. Conhecidos os custos, deseja-se determinar se a renovação da máquina deve ocorrer no 2°, 3°, 4º ou 5° ano. Sabe-se que a taxa de retorno mínima aceitável da empresa é de 10% a.a 
	Ano
	Custo Inicial
	Custo de Operação
	Valor Res.
	0
	30.000.000
	 
	 
	1
	 
	100,00
	20.000,00
	2
	 
	200,00
	18.000,00
	3
	 
	300,00
	16.000,00
	4
	 
	400,00
	13.000,00
	5
	 
	800,00
	7.000,00
Para 2 anos: 
CAUE1 = 13.100 
CAUE2 = 
PV = 30.000 + 100(F/P,10,1) + 200 (F/P, 10,2) - 
18.000(F/P,10,2) = 15.380 
CAUE2 = 8.862 
Para 3 anos: 
PV3 = 18460 CAUE3 = 7.423 
PV4 = 21876 CAUE4 = 6.901 
PV5 = 26905 CAUE5 = 7.097 
A melhor alternativa é renovar a frota de 4 em 4 anos 
2.3 BAIXA COM SUBSTITUIÇÃO POR EQUIPAMENTO DIFERENTE 
Neste caso, como no anterior, a função desempenhada pelo equipamento continua após sua baixa. O enunciado do problema é: uma Companhia possui determinado bem e quer saber por quanto tempo ainda deve utilizá-lo antes de substituí-lo por outro, de características conhecidas. 
Na literatura norte-americana, utiliza-se o termo Desafiante ou Atacante para indicar o ativo novo que está sendo cogitado para substituir o Defensor que é o que é o ativo existente. Esses termos serão os adotados neste texto. 
Quando a substituição por desafiante diferente está sendo considerada, (COSTA, 1984), há duas possibilidades: 
a. o defensor já atingiu a vida econômica; 
b. o defensor ainda não atingiu a vida econômica. 
No primeiro caso, a substituição deverá ser realizada imediatamente por desafiante diferente, se este apresentar CAUE referente à vida econômica com valor inferior ao CAUE referente à vida econômica do defensor. Observe-se que se a substituição por desafiante diferente não for economicamente viável, o desafiante idêntico deve ser imediatamente adquirido. De qualquer forma nenhum equipamento deverá ser utilizado além de sua vida econômica. 
No segundo caso, como o defensor ainda não atingiu sua vida econômica, a substituição por idêntico está descartada, considerando-se exclusivamente a substituição por desafiantes diferentes. Nessa situação, é necessário decidir: 
a. se a substituição por diferente é economicamente viável; 
b. se viável, em que época deverá ser realizada a substituição. 
A primeira decisão baseia-se nos CAUEs referentes às vidas econômicas do defensor e do desafiante. O desafiante deve substituir o equipamento em uso se apresentar menor custo quando ambos são comparados na melhor hipótese, ou seja, quando se considera que ambos sejam mantidos por período igual às respectivas vidas econômicas. Para essa finalidade, o procedimento de cálculo da vida econômica, mostrado anteriormente, deverá ser aplicado a ambos, defensor e desafiante. 
Se o menor CAUE de algum desafiante diferente for inferior ao menor CAUE do defensor (CAUEs referentes às vidas econômicas), então, a substituição por esse desafiante diferente configurar-se-á interessante – é evidente que, se vários desafiantes diferentes apresentarem CAUE, na vida econômica, inferior ao CAUE do defensor, é necessário considerar apenas o mais favorável. Isso mostra a necessidade de um trabalho contínuo de análise de todos os possíveis substitutos para certo equipamento. É necessário, então, determinar a época economicamente mais apropriada. 
A determinação da época ótima de substituição por desafiante diferente, pode ser feita comparando-se o CAUE da alternativa de manter por mais 1, 2, 3, … k períodos o defensor, com o CAUE da alternativa de dispor do desafiante operando por período igual à sua vida econômica. O exemplo a seguir esclarecerá melhor os pontos acima abordados. 
Exemplo. Suponhamos que o carro da marca X, cuja vida econômica foi determinada como sendo de seis anos, correspondendo ao CAUE mínimo de 2.628 u.m.,esteja em operação há dois anos, e que esteja sendo considerada a substituição por um carro da marca Y que apresenta características conforme tabela abaixo: 
Calculando o CAUE para o carro da marca Y, da mesma maneira como foi calculado para o carro da marca X, obtém-se os seguintes resultados: 
Observa-se imediatamente que o desafiante apresenta perfil de custo mais vantajoso, com vida econômica também igual a seis anos e CAUE mínimo igual a 2586 u.m. Portanto, a comparação dos CAUEs referentes às vidas econômicas, indica que o defensor deverá ser substituído pelo desafiante. É necessário, então, determinar a época mais vantajosa. 
Uma vez que o defensor está em operação há dois anos, a escolha da época mais vantajosa para substituí-lo pode ser realizada calculando-se os CAUEs das decisões de mantê-lo por mais um, dois, três ou quatro anos, quando ele atinge sua vida econômica. 
Extraindo os dados da tabela 1, a partir do segundo ano até o sexto ano (ano correspondente à vida econômica do carro da marca X), obtém-se a seguinte: 
Pela tabela 6, observa-se que para manter o carro da marca X por mais 1, 2 ou 3 anos, o CAUE será, respectivamente, de 2304 u.m., 2318 u.m. e 2346 u.m. Portanto, menor que o CAUE mínimo do carro da marca Y. Conclui-se que o desafiante não deverá substituir o defensor nos próximos três anos (ou seja, no quinto ano). 
Por outro lado, manter o defensor por mais quatro anos (ou seja, sexto ano) o CAUE será de 2.764 u.m.; maior que o CAUE mínimo do desafiante. Portanto, o defensor deverá ser mantido por mais três anos, ou seja, o defensor deverá ser substituído pelo desafiante no fim do quinto ano (é evidente que durante esse período de três anos deverá ser considerada a possibilidade de surgir outra substituição mais vantajosa). 
Ex.: 1) Supondo que tenha-se um desafiante fisicamente capaz de substituir um ativo. Sendo a TMA = 10% e a vida econômica do desafiante de 4 anos e o custo anual a essa vida é de 8.835,00. 
2) O valor de mercado do defensor seja atualmente $8.000,00, cairá para $5.000,00 (seu valor residual no final do ano) e os custos operacionais serão de $5.500. O custo de se estender a vida do defensor por mais um ano: 
 CAUE Defensor = 8.000(P/F,10%,1) + 5.500 – 5000 
 CAUE Defensor = 9.300,00 
2.4 BAIXA SEM SUBSTITUIÇÃO 
No problema de baixa sem substituição, a função desempenhada pelo equipamento não mais será executada após a baixa. 
Deixamos este item por último, em virtude de não ser conveniente utilizar o método do CAUE para estudos de baixa de equipamentos, segundo CASAROTTO FILHO (2000). O estudo de baixa de equipamentos é feito pelo método do Valor Presente Líquido (VPL), já que este método não é conveniente para determinar a vida econômica de um bem. 
Um equipamento poderá deixar de ser econômico antes de atingir sua vida física, e não ser desejável sua substituição. O critério de decisão na baixa sem substituição será: 
O ativo deverá ser mantido por mais um período se o VPL de sua manutenção neste período for maior que zero. 
O cálculo do número de períodos – usualmente anos – em que o ativo deve ser mantido, envolve, pois, o cálculo do VPL de manutenção do ativo no primeiro período, no segundo período, e assim por diante, até que se obtenha no período n: VPL < 0. O ativo deverá, então, ser substituído no período n – 1. 
Ex.: Considerem-se as seguintes estimativas de retorno, custos operacionais e valor residual para um equipamento que por ocasião da análise tem 8 anos de uso e cuja vida restante prevista é de mais 2 anos. A taxa de retorno mínima aceitável é de 10% a.a.
Resolução: Para verificar qual das alternativas é melhor, utiliza-se o método do Valor Presente. Ä Vender hoje: VP = 200.000,00 
Vender daqui a 1 ano: 
VP 2 = (+1.500.000 - 1.000.000)(F/P,10%,1) 
+ 100.000 (F/P,10%,1) = 545.455,00 
Vender daqui a dois anos: 
VP3 = (+1.500.000 - 1.000.000)(F/P,10%,1) + 
(1.000.000 - 800.000) (F/P,10%,2) 
VP3 = $ 619.830,00 
Conclusão: 
A melhor alternativa é vender o ativo daqui a dois anos. 
2.5 MANTER O ATIVO DURANTE UM ANO 
A manutenção do ativo durante um ano implica investir 500 u.m. agora (deixar de receber é, no caso, o mesmo que investir) para receber 400 u.m. (venda) mais 200 u.m. [400 u.m. (receita) – 200 u.m.(custos)] no fim de um ano. 
Cálculo do VPL (na época zero) usando a fórmula financeira: 
VPL = – 500 + 600 (1,1)–1 = 45,45 u.m. 
Manter o ativo durante dois anos 
Manter o ativo durante dois anos, implica um investimento de 400 u.m. (no ano 1) para receber 320 u.m. mais 100 u.m. um ano depois. 
Cálculo do VPL (na época 1) usando a fórmula financeira: 
VPL = – 400 + 420 (1,1) –1 = – 18,18 u.m. 
A conclusão, no presente exemplo, é que o ativo deve ser substituído no fim do ano um, já que no fim do ano dois o VPL é negativo. 
2.6 CONSTRUÇÃO DO FCI E DO CÁLCULO DO VPL
Outro modelo para se proceder à análise de substituição de equipamentos é apresentado por Lapponi (2000), tendo como sua diretriz estrutural a construção do fluxo de caixa incremental e o cálculo do valor presente líquido através da equação (3), anteriormente exposta. A base para a determinação dos valores que compõem o fluxo de caixa incremental reside nos valores calculados para o fluxo de caixa operacional (FCO) de um projeto de investimento. Para se obter o FCO, o referido autor propõe um conjunto de expressões algébricas, usadas para modelar matematicamente algumas definições contábeis, a saber: 
Lucro Bruto: LB = R -C (4) 
Lucro Líquido: LL = LB - IR - Dep (5) 
Lucro Tributável: LT = R - C - Dep (6) 
Imposto de Renda:IR = (R - C - Dep) × t (7) 
Logo, o fluxo de caixa operacional (FCO) pode ser calculado a partir de uma das expressões 
abaixo: 
FCO = R -C - IR (8) 
FCO = LT + Dep - IR (9) 
FCO = LL + Dep (10) 
FCO = [(R - C)× (1- t)]+ (Dep × t) (11) 
sendo R as receitas, C os custos, Dep a depreciação e t o valor da alíquota do imposto de renda. 
O procedimento de obtenção do fluxo de caixa incremental de um projeto de substituição é equivalente ao apresentado nos casos de projetos de investimento para aumento do lucro da empresa, onde as reduções de custo provenientes da substituição passam a ser receitas do projeto. A esse procedimento devem ser adicionadas as restantes particularidades dos valores residuais do equipamento novo e do equipamento substituído. Segundo este autor, “(...) a substituição de um equipamento será aceitável se o valor presente da empresa com a substituição for maior que o valor presente da empresa sem a substituição”. A regra de decisão deste modelo é resumida na análise do valor do VPL calculado para o projeto de investimento, isto é, caso VPL > 0 , o projeto é viável e a substituição deve ser efetuada, todavia se VPL < 0 , o projeto de substituição gerará prejuízo para a empresa, devendo neste caso ser rejeitado.
Considerações Finais
É muito importante para as empresas analisarem a compra e substituição de equipamentos que estão sendo utilizados pelas mesmas, muitos equipamentos que a companhia usa pode estar ultrapassado e não mais eficaz tendo custo alto na operação do equipamento, a firma pode optar pelo equipamento idêntico, similar ou ficar sem equipamento para utilizar. Para a empresa realizar a operação de substituição de equipamentos precisa analisar custos para trazer retorno significativo na troca de equipamento e fazer a operação mais adequada na compra ou troca de equipamento.
BIBLIOGRÁFIA 
CASAROTTO FILHO, Nelson. Análise de investimentos: matemática financeira, engenharia econômica, tomada de decisão, estratégia empresarial. – 9.ed. — São Paulo: Atlas, 2000. 
COSTA, Paulo Henrique Soto. Análise de projetos de investimentos. Rio de Janeiro: Editora da Fundação Getúkio Vargas, 1984 
DEGARMO, E. Paul & CANADA, John R. Engineering economy. 5. Ed. New York, Macmillan Publishing Co., Inc., 1973. 
NASCIMENTO, Sebastião Vieira do. Engenharia econômica: técnica de avaliação e seleção de projetos de investimentos. Rio de Janeiro: Editora Ciência Moderna Ltda., 2010. 
SOUZA, Alceu; CLEMENTE, Ademir.Decisões financeiras e análise de investimentos: fundamentos, técnicas e aplicações. São Paulo: Atlas, 1999 
EHRLICH, Pierre Jacques. Avaliação e seleção de projetos de investimento: critérios quantitativos. 1. ed. São Paulo: Atlas, 1977. 
http://www.logisticadescomplicada.com/a-importancia-da-substituicao-de-equipamentos/ 
http://www.biblioteca.sebrae.com.br/bds/BDS.nsf/B7F4CB4354DD398403256FA4004EA595/$File/NT000A3A6A.pdf
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