eletromag cap 2

Prévia do material em texto

Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori CAPÍTULO II - Campo Elétrico 
 
 Condutores e Isolantes: 
 
 Em alguns materiais, como aos metais, algumas 
das cargas negativas podem se mover livremente. 
Chamamos esses materiais de condutores. Em outros 
materiais, como o vidro, borracha e plástico, as cargas 
não podem se mover livremente. Chamamos de 
isolantes ou não-condutores 
 A estrutura e natureza elétrica dos átomos são 
responsáveis pelas propriedades dos condutores e 
isolantes. Os átomos consistem de cargas positivas, os 
prótons, cargas neutras, os nêutrons e cargas negativas, 
os elétrons. Os prótons e os nêutrons estão compactados 
no núcleo central e os elétrons orbitar o núcleo. 
 Quando os átomos de um condutor, como o 
cobre, ficam juntos para formar um sólido alguns dos 
elétrons não ficam presos ao núcleo, mas tornam-se 
livres para percorrer o sólido. Chamamos estes elétrons 
de elétrons de condução. Há poucos elétrons livres em 
um isolante. 
 Chama-se de semicondutores, materiais 
formados por silício e germânio (Si, Ge), por exemplo, 
aqueles materiais que são intermediários entre 
condutores e isolantes. Os elétrons num átomo só podem 
assumir níveis de energia discretos, obedecendo a Teoria 
atômica de Bohr e o princípio da exclusão de Pauli, que 
diz que os elétrons possuem números quânticos distintos. 
Quando dois átomos se aproximam em uma ligação 
química, os níveis se sobrepõem devido à interação entre 
os campos dos dois átomos. Em um cristal, o grande 
número de superposição dos níveis de energia dos 
átomos, origina um contínuo de níveis de energia 
próximos, denominado banda de energia. A configuração 
dessas bandas de energia determinará a natureza do 
material. 
 
 Figura 1 – Representação das bandas de energia em um 
sólido semicondutor, isolante e condutor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Nos 
proibida de ene
condução (“gap
(1eV = 1,6.10-19J). Nos materiais condutores, não 
há essa separação. 
Nos materiais semicondutores, essa 
separação é da ordem de 1 eV, de modo que alguns 
elétrons podem ser promovidos da banda de valência 
para a banda de condução. Os átomos de Si, C e Ge 
possuem 4 elétrons na última camada, formando entre 
si ligações covalentes e tetravalentes. Quando essas 
ligações num cristal desse material (Si, C ou Ge) são 
quebradas pela energia térmica dos elétrons a 
temperatura ambiente, surge os elétrons livres na 
banda de condução, gerando uma densidade de 
elétrons livres n, e aparecem “buracos” (ausência de 
elétrons na ligação) que geram a densidade de 
buracos p. Quando n = p denominamos de 
semicondutor intrínseco. A concentração n.p depende 
da temperatura: 
pnTn
i
⋅=)(2 
 O avanço da microeletrônica se deve ao 
grande desenvolvimento que das últimas décadas nos 
materiais semicondutores, com a descoberta que 
pode-se controlar o número de elétrons livres n ou de 
buracos p, inserindo-se átomos dopantes na rede 
cristalina do material semicondutor. 
 
 Tabela I – Tipos de átomos doadores e aceitadores. 
 
Dopantes 
Tipo Átomos Função 
Doadores 
n 
Com 5 elétrons na 
última camada: 
P,As, Sb 
Aumenta n e 
reduz p 
Aceitadores 
p 
Com 3 elétrons na 
última camada: 
B,Ga, In 
Aumenta p e 
reduz n 
 
Os circuitos integrados, por exemplo, são 
constituídos por milhares de diodos e transistores, 
estes por sua vez são fabricados por materiais 
semicondutores construídos a base dos elementos 
silício e germânio. 
Finalmente temos os materiais 
supercondutores, assim chamados pelo fato de não 
haver resistência elétrica ao movimento de cargas 
elétricas através desses materiais. Quando as cargas 
elétricas se movem em um material, dizemos que ele 
está sendo atravessado por uma corrente elétrica. 
 Naturalmente, os materiais possuem certa 
resistência à passagem de corrente elétrica. Por 
exemplo, o fio usado em dispositivos eletrônicos é 
um bom condutor de corrente elétrica, mas ainda 
assim apresenta certa resistência elétrica. Em um 
 
 
 
 E > 6 eV 
 
 
 Isolante 
Banda de condução 
 
 
 
 E ≈ 6 eV 
 
 
 
 Banda de valência 
 Semicondutor Condutor
14
materiais isolantes, há uma região 
rgia que separa as bandas de valência e de 
”), da ordem de valores maiores que 6 eV 
supercondutor a resistência elétrica é nula. Por 
exemplo, se você dispusesse de um material 
supercondutor na forma de um anel e fizesse passar 
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uma corrente elétrica por ele, esta irá atravessá-lo 
indefinidamente, sem a necessidade de uma bateria 
elétrica para mantê-la. 
 A supercondutividade foi descoberta em 1911 
pelo físico holandês Kammerlingh Onnes, que observou 
que mercúrio sólido perde sua resistência elétrica 
completamente a temperaturas inferiores a 4,2 K. Até 
1986, a supercondutividade estava limitada a pouca 
utilidade prática, pois até então havia o conhecimento 
de que os materiais que se tornavam supercondutores 
necessitavam de uma temperatura abaixo de 20 K. Nos 
anos recentes, novos materiais supercondutores foram 
descobertos a temperaturas superiores, dando 
possibilidade de uma nova era de aplicações. 
 
 • Condutores esféricos: 
 Se um excesso de carga é colocado em um 
material condutor esférico, esta carga é distribuída 
uniformemente na superfície externa do condutor. Por 
exemplo, ao colocarmos uma quantidade de elétrons em 
uma casca esférica condutora, estes elétrons se repelirão 
uns aos outros se distribuindo uniformemente sobre a 
superfície esférica externa. 
 
 Princípio da conservação da carga: 
 Benjamin Franklin pensava que a carga elétrica 
era um fluido contínuo, como o ar e a água, por 
exemplo. Hoje sabemos que a matéria é composta de 
certa quantidade de átomos: ela é discreta. Assim ocorre 
com a carga elétrica. Experimentos mostram que a 
carga elétrica é discreta, que toda carga elétrica pode ser 
escrita como: 
q ne n e C= = ± ± ⇔ = −; , ,..., , .1 2 1 6 10 19 
 Aqui e é denominada de carga elétrica 
elementar, uma importante constante da natureza. 
 É de fundamental importância o princípio da 
conservação da carga elétrica: 
 
 Num sistema eletricamente isolado, a soma 
algébrica das cargas negativas e positivas se mantém 
constante. 
 A tabela a seguir mostra algumas propriedades 
das três partículas elementares de um átomo. 
 
 
Tabela II – Dados das partículas que constituem o átomo. 
 
Nome S Q Massa 
me =
−9 1110 31, . kg 
Mom
ento 
angu
lar
2π
 
Elétron e -1e 1 1/2 
Próton p 1e 1836.15 1/2 
Nêutron n 0 1836.68 1/2 
 
 Quando uma quantidade física, como a carga 
elétrica, assume valores discretos, dizemos que esta 
quantidade é quantizada. A matéria, a energia e 
momento angular são quantidades quantizadas. Por 
exemplo, em um bulbo de uma lâmpada de 100 W, 
em torno de 10 elementos de carga entram e 
deixam o bulbo a cada segundo. 
19
 
 Exemplo 1 - Um material de Cobre de 3,11 g contém 
igual quantidade de cargas positivas e negativas. Qual a 
magnitude da quantidade de cargas positivas neste material? 
 
 Qualquer átomo neutro possui uma quantidade Ze de 
prótons e uma quantidade Ze de elétrons, onde Z é seu número 
atômico. Assim, a quantidade de carga no material é o produto de 
NZe, onde N é o número de átomos no material e e a carga 
elétrica elementar. 
 Sendo M a massa molar do Cu (M=63,5 g/mol) teremos: 
N N m
MA
= = =6 02 10 3 11
63 5
2 95 1023 22, . . .
.
, . Átomos. 
Sendo o número atômico do Cu Z=23: 
q NZe C= = =−( , . ).( ).( , . )2 95 10 29 1 6 10 13700022 19 
 
 A Conservação da carga elétrica: 
 
 Se você esfregar uma haste em um tecido, 
medidas mostram que as cargas positivas se 
acumularam na haste e as negativas no tecido. Isto 
sugere que não há criação da carga, porém uma 
transferência da mesma. Essa hipótese de 
conservação da carga foi colocada pela primeira vez 
por Benjamin Franklin. 
 Um exemplode fenômeno que envolve a 
conservação da carga: o decaimento do urânio, no 
qual um núcleo se transforma espontaneamente em 
outro tipo de núcleo. Por exemplo, o 238 , ou urânio 
238, o qual é encontrado, pode decair emitindo uma 
partícula alfa: e transformando-se em tório 234: 
U
238 234 4U Th He→ + 
 Outro exemplo de conservação da carga é o 
que acontece quando um elétron (e ) encontra sua 
anti-partícula, o pósitron (e ) , cuja carga é +e, dando 
origem a dois raios gama de alta energia: 
−
+
e e− ++ → +γ γ 
 Este processo é chamado de aniquilação. 
 
Exercícios: 
 
 1) Qual a força eletrostática entre duas 
cargas de 1C separadas por uma distância de: 
 
 a) 1 m. 
 b) 1 km 
 
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 2) Uma carga puntiforme de 3 00 10 6, . − C está a 
12cm de uma outra carga puntiforme de − −1 5 10 6, . C . 
Calcule a magnitude da .força sobre cada carga. 
 
 3) Qual deve ser a distância entre as cargas 
puntiformes q C q1 226 0 47 0= = −. ; . Cµ µ para que a 
força entre elas seja de 5.7 N? 
 
 4) Em um dispositivo luminoso, uma corrente 
de flui durante 20ms. Qual a quantidade de 
carga que a atravessa? 
2 5 104, . A
 
 5) A figura ilustra três cargas puntiformes, de 
intensidades q q q1 2 3 20= = = Cµ , e o valor de d é 
1,5m. 
a)
d
q
q
1
2
q
1
q2
q3
d
d
d
 
 a) Encontre a força elétrica sobre a carga q1 em 
cada caso. 
 
 6) Porque experimentos em eletrostática não se 
realizam muito bem emdias húmidos? 
 
 7) As cargas q1 e q2 e q3 estão alinhadas nas 
posições x=-a, x=0 e x=a, respectivamente, no eixo x. Os 
valores das cargas são:q Q q Q q1 2 3 2= + Q= − = +, ; . 
Determine: 
 
 a) A força elétrica resultante sobre a carga q1. 
 b) A força elétrica resultante sobre a carga q2. 
 c) A força elétrica resultante sobre a carga q3. 
 
 8) Dispõe-se de 4 cargas localizadas nos 
vértices de um quadrado, como mostra a figura abaixo: 
+2q -2q
+q -q
x
y
a
a
 
 Determine a força elétrica resultante sobre 
cada carga. 
 
 9) Duas cargas puntuais, de valores +q e 
+4q, estão a uma distância L entre si. Uma terceira 
carga é colocada de modo que o sistema permaneça 
em equilíbrio. 
 a) Determine a localização, a magnitude e o 
sinal da terceira carga. 
 b) Mostre que o equilíbrio do sistema é 
instável. 
 
 10) Determine a quantidade de elétrons em 
uma carga de 1 C. 
 
 11) A magnitude da força elétrica entre dois 
íons separados de 5 0 m é 3 710 10, . − 10 9, . − N . 
 
 a) Qual o valor da carga elétrica de cada íon? 
 b) Determine o excesso de elétrons do íon. 
 
 12) Quantos megacoulombs em de carga 
elétrica (prótons ou elétrons) estão presentes em 1,00 
mol de gás molecular hidrogênio (H2)? 
 
 13) A atmosfera terrestre é constantemente 
bombardeada por raios cósmicos (prótons) 
provenientes do espaço. Se em cada metro quadrado 
da superfície terrestre é bombardeado por uma taxa 
média de 1500 prótons por segundo, qual seria a 
correspondente corrente interceptada pela superfície 
total da terra? 
 
 14) Qual a magnitude da força elétrica entre 
um íon de sódio Na + (carga + e) e um íon de cloro 
Cl− (de carga -e) presentes no cristal NaCl 
(separação:Na-Cl: 2 8 )? 2 10 10, . − m
 
 15) Coloca-se uma carga A de magnitude +Q 
em contato com uma carga neutra B. Em seguida 
aproxima-se a carga A de uma carga C de valor -2Q 
colocando-as em contato e separando-as. Sabendo 
que as cargas estão isoladas eletricamente, determine: 
 a) O valor da carga A após o contato com a 
carga B. 
 b) Os valores das cargas A,B e C após os 
contatos finais. 
 c) Encontre a força de interação entre as 
cargas A e C, sabendo que sua separação é r. 
 
 16) aproxima-se um condutor de carga 
negativa de um corpo neutro. Em seguida aterra-se o 
corpo neutro. Qual será a carga final do corpo neutro? 
 
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 17) Duas idênticas esferas condutoras, fixas no 
espaço, atraem-se com uma força de 0,108 N quando 
separadas por uma distância de 50,0 cm. As esferas são 
então conectadas por um fio condutor. Quando o fio é 
removido, as esferas exercem entre si uma força de 
0,0360 N. Qual o valor inicial da carga das esferas? 
 
 18) Que quantidade de cargas positivas deveria 
ser colocada naTerra e na Lua para neutralizar sua 
atração gravitacional? Quantos kilogramas de hidrogênio 
seriam necessários para prover essa carga? 
 
 19) São colocadas algumas cargas no plano xy: 
q1=+3µC; x1=3,5 cm e y1=0,5cm; q2=-4µC; x2=-2,0 
cm, y2=1,5 cm. 
 a) Encontre a magnitude e direção da força 
eletrostática sobre a carga q2. 
 b) Onde seria necessário colocar uma carga q3 = 
+4 µC para que anulasse a força eletrostática sobre a 
carga 2 ? 
 
 20) Uma lâmpada de 100 W opera a 120 V e 
passa por ela uma corrente de 0,83 A (assumindo a 
corrente estacionária). Quanto tempo demora para 1 mol 
de elétrons atravessar a lâmpada? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 Campo Elétrico 
 • Introdução: 
 Suponha que uma carga fixa positiva q1 está 
fixa em um ponto do espaço e colocamos uma segunda 
carga q2 próxima a ela. Da Lei de Coulomb sabemos que 
q1 exerce uma força eletrostática repulsiva sobre q2 e 
poderíamos, conhecidas as cargas e a distância entre elas, 
determinar a força de interação. Porém permanece a 
questão: Como q1 "sabe" da presença de q2? 
 Esta questão sobre ação à distância pode ser 
explicada devido a presença de um campo elétrico, 
criado no espaço em torno da carga q1. Em um dado 
ponto P do espaço, o campo elétrico dependerá da 
magnitude da carga q1 e da distância da carga q1 a P. 
Quando colocamos q2 em P, q1 interage com q2, através 
do campo elétrico em P. 
 Como um exemplo prático de ação à distância, 
durante o vôo da espaçonave Voyager II em torno do 
planeta Urano, sinais de comando eram enviados da 
Terra para a espaçonave. Esses sinais enviados por ondas 
de rádio, (um tipo de onda eletromagnética), eram 
gerados por meio de oscilações de elétrons em uma 
antena de transmissão na Terra. O sinal movia-se através 
do espaço e era recebido pela espaçonave somente 
quando elétrons na antena receptora da nave oscilavam, 
2,3 h depois do sinal ser enviado pela Terra. O sinal se 
propaga pela velocidade c da luz no vácuo. Este e muitos 
outros exemplos mostram que a eletricidade, o 
magnetismo, a ótica podem representar juntas uma 
maneira conjunta de se explicar um fenômeno. 
 
 • O Campo Elétrico: 
 O campo elétrico é um campo vetorial: 
consiste de uma distribuição de vetores, um em cada 
ponto da região em torno de um objeto carregado. Em 
princípio, definimos o campo elétrico quando colocamos 
uma carga teste ou carga de prova q0 em uma região do 
espaço próxima a um objeto carregado, em um ponto P, 
como mostra a figura 2 (a): E 
 rrR ′−= 
 P(x, y, z) 
 
Q(x’, y’, z’) 
 r ′ r 
 
 O (Origem) 
 Figura 2 – (a) Cálculo do campo em P (x, y, z). 
 
rr
rr
rr
QrE
′−
′−
′−
= 2
04
)(
πε
 
 Aqui: 
• O vetor r′ localiza o ponto Q da 
carga . 
r• O vetor identifica o ponto 
genérico do espaço P(x, y, z). 
• O vetor rrR ′−= de Q a P. 
Podemos ainda escrever: 
( )
3
04
)(
rr
rrQrE
′−
′−
=
πε
 
Ou: 
 
( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( )[ ] 2322204
ˆˆˆ
)(
zzyyxx
azzayyaxxQ
rE zyx
′−+′−+′−
′−+′−+′−
=
πε
 
 
O campo devido a n cargas pontuais Q1 
localizada em 1r 2r, Q2 localizada em ,..., Qn 
localizada em nr será dado por: 
n
n
n a
rrQa
rr
Qa
rr
QrE ˆ
4
ˆ
4
ˆ
4
)(
0
22
20
2
12
10
1
−
++
−
+
−
=
πεπεπε
∑
= −
=
n
m
m
m
m a
rr
QrE
1
2
10
ˆ
4
)(
πε
 
Esse resultado é conhecido como o princípio 
da superposição, que veremos adiante. 
 
Figura 2 – (b) Carga de prova na presença de um 
campo elétrico. 
+ + + + + + + + + + + +
Objeto carregado Carga teste
F + + + + + + + + + + +
Campo e
em P
E
a) b) 
P . +
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mede-se a força eletrostática F que atua na 
carga de prova. O Campo elétrico no ponto P devido 
a presença do objeto carregado é definido por: 
E F
q
=
0
 
 
 
 
 
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 Figura 3 – Representação das linhas de força de uma carga 
elétrica negativa. 
 
A direção de E é a direção da força elétrica e o 
sentido depende do sinal da carga do corpo carregado. A 
unidade do sistema internacional (SI) para o campo 
elétrico é o Newton por Coulomb (N/C). 
 Na figura a seguir ilustramos o sentido do 
campo elétrico para dois corpos carregados com cargas 
opostas: 
 
 Figura 4 – Campo elétrico de carga positiva e negativa. 
+ + + - - - - -
- - - - -
+ + +
P
P
E E
Corpo carregado 
 
 Ou seja, o campo converge em P para o objeto 
carregado negativamente e diverge em P para um objeto 
carregado negativamente. 
 A força atuando entre duas partículas carregadas 
era pensada como uma interação direta e instantânea 
entre as partículas: A ação à distância era vista como: 
Carga 1 → Carga 2 
 Hoje, sabemos que o campo elétrico atua como 
um intermediário entre as cargas, ou seja, a ação é 
simbolizada por: 
Carga 1 → campo → Carga 2 
 A tabela a seguir ilustra alguns campos elétricos 
existentes na natureza: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tabela III – Valores de Campos elétricos típicos. 
 
Campo Valor (N/C) 
Na superfície de um 
núcleo de Urânio 
3 0 1021, . 
Átomo de 
Hidrogênio (órbita de 
um elétron) 
5 0 1011, . 
Acelerador de 
elétrons em um tubo 
de TV 
105 
Baixa atmosfera 102 
Dentro de um fio de 
cobre em circuitos de 
casa 
10 2− 
 
 • Linhas de Força - Linhas de Campo 
Elétrico: 
 
 Michael Faraday introduziu a idéia de campo 
elétrico no século XIX, através de linhas de força que 
preenchiam o espaço ao redor de uma carga elétrica. 
A relação entre as linhas de campo e o vetor campo 
elétrico é: 
 
 1) Em qualquer ponto, a direção do campo 
a de linha de força. elétrico é o da tangente à curv
 2) O número de linhas de força por unidade 
de área, medida em um plano que é perpendicular às 
linhas de força, é proporcional à magnitude do campo 
elétrico E. Ou seja, se as linhas de campo estão mais 
juntas, o campo é intenso, se estão mais distanciadas, 
o campo é pequeno. 
 A figura abaixo ilustra as linhas de força 
para cargas elétricas puntiformes de sinais iguais e de 
sinais opostos. 
 
 Figura 5 – Linhas de força de cargas positivas (a) e 
dipolo elétrico (b). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) 
 
 
 
 
 
 
 
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(b) 
 
 Observe que: O número de linhas de força que 
saem da carga positiva é o mesmo que chegam à carga 
negativa; as linhas de força não se cruzam em nenhum 
ponto do espaço e convergem para a carga negativa, 
divergindo para a carga positiva. 
 Equação das linhas de Força: 
 Observe que: 
x
y
E
E
dx
dy
= 
 O campo elétrico de uma carga pontual é dado 
por: 
E k q
r
= 2 
 Onde q é o valor da carga, r é a distância do 
ponto à carga elétrica. 
 Se tivermos diversas cargas puntiformes 
q1,q2,...,qn , o campo elétrico resultante em um ponto P 
do espaço é da erposição: do pelo princípio da sup
E E E E ERP n= + + + +1 2 3 ... 
 
Exemplo 2 - A figura abaixo mostra uma carga 
+8q na origem do eixo x e uma carga -2q localizada em 
x=L. Em que posição o campo elétrico resultante se 
anula? 
 
 Figura 6 – Distribuição de cargas do Exemplo 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Observe que as únicas regiões possíveis do 
campo elétrico resultante se anular estão à direita da 
carga -2q (carga 2) e a esquerda da carga +8q (carga 
1). Assim temos: 
E E E E E= + = ⇒ = −1 2 1 20 
 Em módulo temos: E E1 2= . Chamando a 
distância do ponto à carga 1 de x, teremos: 
k q
x
k q
x L
x L
x
x L8 2 1
4
22 2
2=
−
⇒
−
= → =
( )
( ) 
 
 Exemplo 3 - O núcleo de um átomo de 
Urânio têm raio igual a 6,8 fm (fermi) . Assumindo 
que a carga positiva no núcleo está distribuida 
uniformemente, determine o campo elétrico num 
ponto da superfície do núcleo devido a esta carga. 
 O núcleo tem uma carga positiva Ze, onde o 
número atômico Z para o átomo de urânio é de Z=92, 
e e C= −1 6 10 19, . é a carga de um próton. Se a carga 
está distribuída uniformemente, a força eletrostática 
sobre uma carga de prova na superfície do núcleo é a 
mesma se toda a carga nuclear estivesse concentrada 
no centro nuclear. Então: 
 
E Ze
R
N
C= = =
−
−
1
4
9 0 10 92 1 6 10
6 8 10
2 9 10
0 2
9
19
15 2
21
πε
, . ( , . )
( , . )
, .
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 • Campo Elétrico de um Dipolo Elétrico: 
 
 Duas cargas de mesma magnitude porém sinais 
opostos formam um dipolo elétrico. O campo elétrico 
num ponto P é dado por (Observe da figura): 
 
 Figura 7 – Representação de dipolo elétrico. 
+ -
+q -q
P
E(-)
E(+)
r(+)
r(-)
d
p
z 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E E E k q
r
k q
r
kq
z d z d
= − = − = −+ −
+ −
− +( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
[ ]2 2
1 1
1
2
2 1
2
2 
 Após uma pequena álgebra, chega-se a: 
E k q
z
d
z
d
z= − − +
− −
2 2
2
2
21 1[( ) ( ) ] 
 É interessante usualmente verificar os efeitos do 
dipolo a distâncias grandes comparadas com suas 
dimensões. Assim, suponha que 
z d d z>> ⇒ << a grandes distâncias 2 1. Pode-se 
expandir as duas quantidades no colchetes da equação 
acima por: 
 E k q
z
d
z
d
z
d
z= + + − − + ⇒ <2 1 1[( ...) ( ...)] < 1 
Teremos o campo elétrico do dipolo dado por: 
E k qd
z
p
z
= =
2 1
23 0 3πε
 
 Chamamos de p o momento de dipolo 
elétrico o produto q.d: 
p qd= 
 p possui sentido da carga negativa para a 
positiva e direção do eixo do dipolo. 
 
 • Distribuições de Carga: 
 Uma distribuição de carga consiste de muitas 
cargas pontuais (bilhões) espaçadas ao longo de uma 
linha, superfície ou volume. Desde que estas 
distribuições são dita contínua e contém um número 
enorme de cargas elétricas pontuais, o campo 
elétrico é encontrado considerando cada carga da 
distribuição. Nesse caso, é conveniente tratar o 
problema com o auxílio da densidade de carga, que 
pode ser de acordo com a tabela abaixo: 
 
Nome Símbolo SI 
Unidade 
Carga q C 
Densidade de Carga 
Linear 
λ = rL C/m 
Densidade de Carga 
Superficial 
σ = rS C m2 
Densidade de Carga 
Volumétrica 
ρ = rv C m3 
 
Aqui, escrevemos a densidade de carga 
volumétrica por: 
v
Q
vv ∆
∆
=
→∆ 0
limρ 
A carga total num volume finito é: 
dvQ
V
v∫∫∫= ρ 
 Campo Elétrico devido a uma distribuição 
de cargas: 
rr
rr
rr
QrE
′−
′−
′−
∆
=∆ 2
04
)(
πε
 
rr
rr
rr
v
rE v
′−
′−
′−
′∆
=∆ 2
04
)(
πε
ρ
 
 Se somarmos as contribuições para todas as 
cargas deste volume em uma dada região e 
considerarmos o volume elementar dv’ tendendo a 
zero a medida que esses elementos se tornam 
infinitos, o somatório se torna uma integral: 
 
∫∫∫ ′−
′−
′−
′′
=
v
v
rr
rr
rr
vdr
rE 2
04
)(
)(
πε
ρ
 
 A seguir, indicaremos os versores, elementos 
de volume e transformação de coordenadas que 
serão úteis na resolução de problemas. 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori CAPÍTULO II - Campo Elétrico 
 22
 
 Coordenadas Cilíndricas 
 
Relações: P(r, f, z) → P(x,y,z): 
φρ cos=x ; φρseny = ; z z= 
Relações: P(x,y,z) → P(r, f, z): 
 
x
yarctg=φ z=z 22 yx +=ρ
 
 zP 
 y 
 r zâ
 φâ
 f zâ ρâ
 yâ
 x xâ
• Relações entre versores das 
coordenadas cartesianas para cilíndricas: 
 Mostramos que: 
 
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
+=
−=
zz
y
x
aa
asenaa
senaaa
ˆˆ
cosˆˆˆ
ˆcosˆˆ
φφ
φφ
φρ
φρ
• Relações entre versores das 
coordenadas cilíndricas para cartesianas: 
 Manipulando as equações acima, veja que: 
 
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
+−=
+=
zz
yx
yx
aa
asenaa
senaaa
ˆˆ
cosˆˆˆ
ˆcosˆˆ
φφ
φφ
φ
ρ
 
Produtos escalares entre os sistemas 
cartesiano e cilíndrico 
 
ρâ φâ zâ 
xâ φcos φsen− 0 
yâ φsen φcos 0 
zâ 0 0 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Elemento de Volume: 
 
dzdddv φρρ= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Vetor deslocamento: 
zyx azayaxr ˆˆˆ ++= 
zyx azasenar ˆˆˆcos ++= φρφρ 
zazar ˆˆ += ρρ 
• Diferencial do deslocamento: 
 
Diferenciando a relação acima, vemos 
que: 
 
zadzadadrd ˆˆˆ ++= φρ φρρ 
 
• Coordenadas Esféricas 
 
Relações: P(f,r,θ) → P(x,y,z): 
 
θφsenrx cos= ; φθsenrseny = ; θcosrz = 
 
Relações: P(x,y,z) → P(f,r,θ): 
 
222 zyxr ++= 
x
yarctg=φ 
z
yxarctg
22 +
=θ 
 
 
 
 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori CAPÍTULO II - Campo Elétrico 
 23
 
 
 
 
 z râ φâ
 θ P 
 r 
 y θâ
 r 
 
 f zâ
 yâ
 x xâ
• Vetor deslocamento: 
zyx azayaxr ˆˆˆ ++= 
rarr ˆ= 
• Diferencial do deslocamento: 
 
φθ φθθ adrsenardadrrd r ˆˆˆ ++= 
 
• Relações entre versores das 
coordenadas cartesianas para esféricas: 
 Veja que: 
zyxr azayaxarr ˆˆˆˆ ++== 
zyxr arasenrsenasenrar ˆcosˆˆcosˆ θθφθφ ++=
zyxr aasensenasena ˆcosˆˆcosˆ θθφθφ ++= 
 Da figura, veja que: 
zyx asenasenaa ˆˆcosˆcoscosˆ θφθφθθ −+= 
 E: 
yx aasena ˆcosˆˆ φφφ +−= 
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
++=
+−=
−+=
zyxr
yx
zyx
aasensenasena
aasena
asenasenaa
ˆcosˆˆcosˆ
ˆcosˆˆ
ˆˆcosˆcoscosˆ
θθφθφ
φφ
θφθφθ
φ
θ
 
Produtos escalares entre os sistemas cartesiano e 
esférico 
 
râ θâ φâ 
xâ φθ cossen φθ coscos φsen− 
yâ φθsensen φθsencos φcos 
zâ φcos θsen− 0 
• Elemento de Volume: 
θφθ ddrdsenrdv 2= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Exemplo 4 - Encontre o Campo elétrico 
resultante sobre o eixo de um anel de raio R com 
densidade de carga uniforme e positiva. 
 
Figura 8 – Anel de raio R com carga Q. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (Young & Freedman, Física III) 
 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori CAPÍTULO II - Campo Elétrico 
 24
Cada elemento de carga se relaciona com a 
densidade linear l por: dq ds= λ . Este elemento de 
carga diferencial produz um vetor campo elétrico dE no 
ponto P, dado por: 
dE k k ds
r
dq
r
= =2 2
λ 
 Podemos escrever: 
 dE k ds
z R
=
+
λ
( )2 2
 , porém, somente a 
componente do campo elétrico ao longo do eixo do anel 
contribuirá para o campo elétrico resultante: 
 
2
1)()()(
cos
222222 Rz
z
Rz
dsk
Rz
dskdE rz ++
=
+
=
λλθ 
2
3)(
cos
22 Rz
dszkdE
+
=
λθ 
 Para adicionar todas as componentes integra-se 
sobre todos os elementos de campo: 
∫ ∫+==
R
ds
Rz
zkdEE
πλθ
2
0
22 23)(
cos 
E k z R
z R
=
+
λ π2
2 2 32( )
 
2322
0 )(4
1
Rz
zQE
+
⋅
=
πε
 
 
 
 Exemplo 5 – Seja um fio longo e carregado, 
com densidade linear λ por unidade de comprimento.O 
fio encontra-se sobre o eixo y. Deseja-se calcular a 
intensidade do campo elétrico, devido ao fio, num 
ponto P a uma distância r do ponto médio, como é 
mostrado na figura: 
 
Figura 9 – Fio longo com densidade de carga linear λ.. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Seja o fio dividido em pequenos pedaços dy. 
A carga dq em cada elemento será: 
 
dydydq
dy
dq
L
Q
Lρλλ ==⇒== 
 O Campo elétrico devido a este elemento de 
carga será: 
2
0
2
0 4
1
4
1
r
dydE
r
dqdE λ
πεπε
=⇒= 
 O campo total em P terá componentes em x e 
em y, de forma que: 
 
⎩
⎨
⎧
⋅=
⋅=
α
α
sendEdE
dEdE
y
x cos
Assim, com , teremos: 222 yxr +=
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
+
−
⋅=
+
⋅=
22
22
yx
ydEdE
yx
xdEdE
y
x
 
Assim, teremos: 
( )
( )⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
+
⋅
−
=
+
⋅=
3220
3220
4
4
yx
ydydE
yx
xdydE
y
x
πε
λ
πε
λ
 
 Os campos totais serão dados pelas 
integrais das expressões anteriores: 
 
( )
( )⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
+
⋅
−
=
+
⋅=
∫
∫
−
+
−
dy
yx
yE
dy
yx
xE
L
L
y
L
L
x
2322
0
2322
0
4
4
πε
λ
πε
λ
 
 Calculando as integrais: 
( )
( )
Ly
Ly
x
yxx
yxyE
+=
−=⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
+
= 2322
22
04πε
λ
 
( )
( )
( )
( ) ⎥⎥⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
+−
−
+
+
= 2322
22
2322
22
04 Lxx
LxL
Lxx
LxLEx πε
λ
( )
( ) ⎥⎥⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
+
= 2322
22
0
2
4 Lxx
LxLEx πε
λ
 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori CAPÍTULO II - Campo Elétrico 
 25
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
=
22
0
2
4 Lxx
LEx πε
λ
 
Mostre que: Ey=0 
Veja que se 
LLxxL ≅+⇔>> 22 
Então: 
x
Ex
λ
πε 02
1
= 
No livro do Hayt, a expressão mostrada idêntica é: 
ρρπε
ρ aE L ˆ
2 0
= 
 
Aqui: 
r é a distância do fio ao ponto, perpendicular ao fio 
(em coordenadas cilíndricas, se o fio estiver sobre o eixo 
Oz, por exemplo). 
ρâ : vetor unitário que sai do ponto P que se quer 
calcular o campo elétrico. 
 
 
 Exemplo 6 – Um plano infinito 
carregado com uma carga positiva Q distribuída 
uniformemente sobre sua superfície no plano xy. A 
densidade superficial de carga é rS = σ. Encontre o 
campo elétrico em P situado a uma distância a do 
plano. 
 z y´ dy’ 
 
 
 
 
 y 
 
 
 
 
 
 
 
 
 r’ 
 
 θ 
 
 
 
 P(x,0,0) x 
 
Ed , xEd 
Vamos calcular o campo elétrico em P como 
o campo devido a contribuição de infinitos fios 
colocados no plano zy: 
As densidades superficial e linear de carga se 
relacionam por:d 
yd
ydzdyd
dQ
Ad
dQ
SL
L
S ′=⇒′
=
′′
=
′
= ρρ
ρ
ρ 
 Da figura observe que: 
 θ
ρπε
ρ
cos
2 0 ′
= LxdE 
θ
πε
ρ
cos
2 220 yx
yd
dE Sx
′+
′
= 
2222
02 yx
x
yx
yd
dE Sx
′+′+
′
=
πε
ρ
 
22
02 yx
yddE Sx +
′
=
πε
ρ
 
 Fazendo a integração, 
consideraremos a contribuição de todas as faixas: 
∫
+∞
∞− ′+
′
= 22
02 yx
yxdE Sx πε
ρ
 
∫
+∞
∞− ′+
′
= 22
02 yx
ydxE Sx πε
ρ
 
( )( )∫
+∞
∞−
′+
′
= 22
0 12 x
y
S
x
x
ydxE
πε
ρ
 
Fazendo: xduyd
x
yu =′⇒
′
= 
∫
+∞
∞− +
= 2
0 1
1
2 u
xdu
x
E Sx πε
ρ
 
∫
+∞
∞− +
= 2
0 12 u
du
x
xE Sx πε
ρ
 
Como: 
Carctgu
u
du
+=
+∫ 21 
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ′−
′
=
−∞→+∞→ x
yarctg
x
yarctgE
yy
S
x ''
0
limlim
2πε
ρ
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−−=
222 0
ππ
πε
ρ S
xE 
02ε
ρ S
xE = 
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 26
Observe que se o ponto P estivesse no semieixo 
Ox negativo: 
02ε
ρ S
xE −= 
Se definirmos um vetor sempre normal ao 
plano: 
N
S aE ˆ
2 0ε
ρ
= 
Observações: 
• O campo é constante em módulo e direção. 
• Se uma segunda lâmina com mesma densidade 
de carga, porém negativa, estivesse localizada no plano 
paralelo ao anterior x = a teríamos na prática, um 
capacitor plano, desde que desprezassem os efeitos de 
borda. Nesse caso, o campo será dado por: 
 
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
>
<<
<
=
ax
axa
xE x
S
;0
0;ˆ
0;0
0ε
ρ
 
 
Exemplo 7 – Um disco carregado com uma 
carga positiva Q distribuída uniformemente sobre sua 
superfície no plano xy. A densidade superficial de carga 
é rS = σ. Se o raio externo do disco é R, determine o 
campo no eixo do disco. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
rdrdAdQ sS πρρ 2== 
 
ρπρρρ ddAdQ sS 2== 
zazr ˆ= 
ρρar ˆ=′ 
ρρaazrr z ˆˆ −=′− 
22 ρ+=′− zrr 
 
rr
rr
rr
dQrEd
′−
′−
′−
= 2
04
)(
πε
 
 
( ) ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++
=
2222
04
2
)(
ρρπε
ρπρρ
z
z
z
d
rdE Sz 
 
φφρ senaaa yx ˆcosˆˆ += 
As componentes Ex e Ey são nulas. Mostre 
isso integrando. 
( )
ρ
ρ
ρ
πε
πρ
d
z
z
rE
R
S
z ∫
+
=
0
2322
04
2
)( 
 
R
S
z
z
z
rE
=
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
−=
ρ
ρ
ρπε
πρ
0
22
0
1
4
2
)( 
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −
−
+
−=
zzR
z
rE Sz
11
2
)(
22
0ε
ρ
 
 
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−=
22
0
11
2
)(
zRz
z
rE Sz ε
ρ
 
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−=
22
0
1
2
)(
zR
zrE Sz ε
ρ
 
 
Observe que interessante: quando R tender a 
infinito, teremos: teremos: 
 
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−=
∞→∞→ 22
0
lim1
2
)(lim
zR
zrE
R
S
zR ε
ρ
 
02
)(
ε
ρ S
z rE = 
Ou seja, o campo do disco infinito fica 
idêntico ao de um plano infinito, o que era 
esperado!!!. 
 
 
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 27
 
 Aplicações: 
1. Forno de Microondas: 
o muda, pois na 
 devem quebrar pelo menos uma de suas 
pos se separam, aumentando assim a sua 
 
 
 ilustram a orientação de 
m dipolo na presença de um campo elétrico 
niforme, a molécula de água e a energia associada à 
tação devido ao torque. 
 
 
 
 
 
 
 
Na água, as moléculas se encontram livres para 
se mover relativamente às outras moléculas. O campo 
elétrico produzido por cada dipolo afeta os outros 
dipolos em sua volta.Como resultado, as moléculas 
podem estar ligadas em grupos de dois ou três, devido 
ao fim negativo de um dipolo (oxigênio) e ao fim 
positivo de outro dipolo (hidrogênio) que se atraem. 
Quando cada grupo é formado, a energia potencial 
elétrica é transferida através de movimento térmico do 
grupo e para as moléculas em volta. Quando ocorre a 
colisão entre as moléculas, há a transferência inversa de 
energia. A temperatura da água, que está associado com 
o movimento térmico das moléculas, nã
média, a energia transferida é zero. 
 Em um forno de microondas, porém, ocorre um 
processo diferente. Quando está funcionando, as 
microondas produzidas pelo forno produzem um campo 
elétrico que oscilam rapidamente numa direção para 
frente e para trás. Se há água no forno, o campo elétrico 
oscilante exerce torques também oscilantes na molécula 
de água, rodando continuamente para trás e para frente 
alinhando seus momentos de dipolo com a direção do 
campo elétrico. As moléculas que estão ligadas aos 
pares podem se alinhar, porém aquelas ligadas em 
grupos de três
três ligações. 
 As energias para quebrar essas ligações vêm do 
campo elétrico, isto é, das microondas. Então as 
moléculas que se separaram dos grupos podem formar 
outros grupos, transferindo a energia que ganharam em 
energia térmica. Então a energia térmica é adicionada à 
água quando os grupos se formam, mas não é removida 
quando os gru
temperatura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Graças ao dipolo elétrico que a molécula de 
água forma, é possível cozinhar alimentos a partir de 
um forno de microondas. 
 As figuras abaixo
u
u
ro
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2. Tubo de Raios Catódicos. 
 
Em 1897, J.J. Thompson, juntamente com 
um grupo dos estudantes diplomado dele, tinha a 
intenção de investigar o elétron. Ele projetou alguns 
tubos que continham eletrodos dentro com o ar 
evacuado dos tubos. Estes foram chamados “Tubos” 
de Crookes nomeados mais tarde de “Tubos” de 
Raios Catódicos. Foram executadas Experiências 
nestes tubos nas quais atas voltagens geradas por uma 
corrente elétrica passada entre os dois elétrodos. 
Foram gerados raios como emanações procedidas do 
elétrodo de Cátodo ao elétrodo de Ânodo. 
Considerando que estas emanações originaram do 
elétrodo de Cátodo que eles seriam chamados "Raios" 
Catódicos. J.J. Thompson projetou alguns tubos 
especiais que investigaram as propriedades destes 
"Raios" Catódicos. Ele projetou um tubo que permitiu 
Raios Catódicos imprensar contra uma tela de 
superfície de Sulfeto de Zinco. Como os raios 
imprensaram na superfície, emitiu uma faísca de luz 
de forma que o caminho do raio invisível poderia ser 
observado. Ele procedeu fazer um campo elétrico que 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori CAPÍTULO II - Campo Elétrico 
 28
consiste em um prato positivo e um prato negativo perto 
do vacinity dos Raios. Quando a corrente elétrica do 
campo elétrico foi invertida, o caminho dos “raios” foi 
mudado para longe do prato negativo e para o prato 
positivo. Esta era uma indicação clara que deduziu que 
os raios possuíam uma carga negativa. Uma sombra em 
forma de cruz foi formada na frente do tubo. O único 
modo que os “raios” pudessem lançar uma impressão de 
sombra 
gia 
s dentro dos átomos. É interessante notar que a 
terçeira 
ossa compreensão 
da quím
Thompson determinou a carga de pólvora para amontoar 
eterminação da carga de pólvora por 
trário 
provar que o cátodo 
roduziu que um fluxo de partículas negativamente 
arregadas chamado elétrone. 
 
3. Impressoras jato de Tinta. (DeskJet). 
 
4. 
na parte de trás do tubo era se eles fossem além 
do caminho de saída e formassem a cruz. Isto indicaria 
fortemente que os teriam que possuir massa 
Mas se os “raios” possuíssem massa que 
significaria que eles não eram raios (pura radiação) e sim 
partículas com uma massa finita! Outro tubo 
experimental envolvendo uma roda de remo colocada no 
caminho dos raios de cátodo resultado no movimento da 
roda de remo quando a corrente foi invertida. Para que a 
roda de remo seja usada para mover, os Raios teriam que 
ter impulso passando para a roda. Isso significaria que o 
assim chamou raios teriam que possuir impulso isto para 
dar impulso a algum outro objeto. Estes “raios” eram na 
verdade elétrons. Em 1891 um Professor chamado Stony 
(Prof. de Eletricidade) investigava uma fonte de ener
para reações químicas. Ele sugeriu que uma corrente 
elétrica fosse o resultado de partículas móveis que ele 
sugeriu deveriam ser chamadas "elétrons". 
 Estas experiências definitivamente definiram os raios 
como partículas atuais que têm uma carga de negativa e 
uma massa finita. Em 1886, Professor Goldstein 
executou experiências semelhantes que usam uma 
superfície de cátodo perfurada. Isto produziu uma 
partícula que possuiu uma carga positiva e uma massa 
umas 2000 vezes mais que o elétron de Thompson. Esta 
partícula foi chamada de próton. Considerando que 
elétrons e prótons vieram da superfície de um objeto, é 
lógico concluir que todo objeto está composto destas 
partícula
partícula subatômica do átomo não foi observada 
até 1932 uns 35 anos depois da descoberta do elétron e o 
próton. 
A partícula tinha sido predita em 1920, mas não 
foi descoberta até 1932, quando Chadwick observou 
estas partículas neutras que ele chamou de nêutrons 
enquanto executava uma série de experiências de câmara 
de nuvem. Era o caminho de condensação dos nêutrons 
semelhante para os rastros de jato que motores a jato 
fazem quando a altitude que permitiu a observação 
destas partículas. Como a chave para n
ica reside em nosso conhecimento dos elétrons e 
prótons, a descoberta atrasada dos nêutrons não alterou o 
quadro formado do átomo em 1932. 
Em 1909, Robert Millikan executou a 
experiência de gota de óleo legendária dele que lhe 
permitiu determinar a magnitude exata da carga de 
pólvora do elétron, 1.60 X 10-19 C. Mais cedo, 
relação do elétron, 1.76 X 108 coulomb / grama, 
assim esta d
Millikan permitiu a determinação da massa do 
elétron, 9.09.10-28 gramas. 
 A experiência de J.J. Thompson demonstrou que 
átomos estãorealmente compostos de agregados de 
partículas carregadas. Antes do trabalho dele, 
acreditava-se que átomos eram distribuídos de 
maneira uniforme. A primeira evidência ao con
veio quando as pessoas começaram a estudar as 
propriedades de átomos em campos elétricos. 
 Se uma amostra de gás é introduzida na região entre 
dois pratos carregados, um fluxo atual pode ser 
observado e sugere que os átomos estiveram abaixo 
quebrados em componentes carregados. Em 1897, 
Thompson teve a intenção de 
p
c
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Experiência de Millikan. 
 
Robert Andrew Millikan nasceu em 22 de 
março, 1868, em Morrison. (EUA), como o segundo 
filho do Reverendo Silas Franklin Millikan e Mary 
Jane Andrews. Os avós dele eram da Velha ação de 
Inglaterra Nova que tinha vindo para a América antes 
das 1750, e era o colono pioneiro no Oeste Mediano. 
Sua infância teve aspectos rurais e freqüentou a 
escola secundária de Maquoketa (Iowa). Depois de 
trabalhar pouco tempo como um repórter de tribunal, 
ele entrou em Faculdade de Oberlin (Ohio) em 1886. 
Durante seu curso de estudante universitário seus 
assuntos favoritos eram gregos e matemáticos; mas 
depois da graduação em 1891 levou, durante dois 
anos, um posto pedagógico em física elementar. Era 
durante este período que desenvolveu o interesse no 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori CAPÍTULO II - Campo Elétrico 
 29
assunto no qual chegou a superar. Em 1893, depois de 
obter o mestrado em física, foi designado Professor em 
Física na Universidade de Columbia. Ele recebeu o Ph.D 
depois (1895) na pesquisa da polarização de luz emitida 
up
ht, (1908); 
última instância aos estudos significantes 
Tempo, Importe, e Valores (1932). Logo antes a morte 
aios Cósmicos (1947) e a sua 
Autobio
ião de Honour, e 
ástico, e 
: Clark Blanchard, Glenn 
de dezembro, 1953, em San 
 De Conferências de Nobel, Físicas 1922-1941. 
O Aparelho: 
 
sui aproximadamente 
12 poleg
bombardeiro que voa a 30,000 pés de Hudson Bay 
por s erfícies incandescentes - usando para este 
propósito ouro fundido e prata. 
 Na companhia de seus professores, Millikan 
passou um ano (1895-1896) na Alemanha, nas 
Universidades de Berlim e Göttingen. A convite de 
Michelson, resolveu ficar assistente no Laboratório de 
Ryerson recentemente estabelecido na Universidade de 
Chicago (1896). Millikan era um professor eminente, e 
atravessando os graus habituais ele se tornou o professor 
naquela universidade em 1910, um posto que ele reteve 
até 1921. Durante os anos em Chicago ele gastou muito 
tempo preparando livros de ensino e simplificando o 
ensino de física. Ele era autor ou co-autor dos títulos: 
Um Curso de Faculdade em Física, com S.W. Stratton 
(1898); Mecânica, Física Molecular, e Calor (1902); A 
Teoria de Óptica, com C.R. Mann traduziu do alemão 
(1903); Um Primeiro Curso em Física, com H.G. (1906); 
UM Curso de Laboratório em Física para Escolas 
Secundárias (1907); Eletricidade, Soe, e Lig
Físicas Práticas - revisão de UM Primeiro Curso (1920); 
O Elétron (1917; rotação. eds. 1924, 1935). 
 Como um cientista, Millikan fez numerosas 
descobertas, principalmente nos campos de eletricidade, 
ótica, e física molecular. O sucesso principal dele era a 
determinação precisa da carga de levada por um elétron e 
usou o método “de gota de óleo”; ele também provou 
que esta quantidade era uma constante para todos os 
elétrons (1910), demonstrando assim a estrutura atômica 
de eletricidade. Logo, ele verificou a equação 
fotoelétrica de Einstein experimentalmente, e fez a 
primeira determinação da constante h de Planck (1912-
1915). Além dos estudos dos movimentos de Brownian 
em gases acabaram toda a oposição com as teorias 
atômicas e cinéticas. Durante 1920-1923, Millikan se 
ocupou com trabalho relativo de espectroscopia dos 
elementos (que explorou a região do espectro entre o 
ultravioleta e radiação-X), estendendo assim o espectro 
ultravioleta distante além do limite conhecido. A 
descoberta da lei de movimento de uma partícula que se 
cai para a terra depois de entrar na atmosfera da terra, 
junto com as outras investigações dele em eletricidade, o 
conduziu em 
de radiação cósmica (particularmente com câmaras de 
ionização). 
 Ao longo da vida Millikan permaneceu um autor 
prolífico e faz numerosas contribuições a diários 
científicos. Ele não só era um cientista de ponta, mas a 
natureza religiosa e filosófica era evidente nas 
conferências e na reconciliação de ciência e religião e em 
seus livros: Ciência e Vida (1924); Evolução em Ciência 
e Religião (1927); Ciência e a Civilização Nova (1930); 
dele ele publicou Elétrons (+ e–), Prótons, Fótons, 
Nêutrons, Mésons, e R
grafia (1950). 
Durante a Primeira Guerra Mundial, 
Millikan era o Více-presidente do Conselho de 
Pesquisa Nacional e estudou dispositivos 
meteorológicos. Em 1921, ele foi designado o Diretor 
do Laboratório de Física no Instituto de Tecnologia 
da Califórnia, Pasadena,; ele também foi Presidente 
do Conselho Executivo daquele instituto. Em 1946 
ele se aposentou deste posto. Millikan foi Presidente 
da Sociedade Física americana, Vice-presidente da 
Associação americana para o Avanço de Ciência, e 
foi o sócio americano do Comitê em Cooperação 
Intelectual da Liga de Nações, e o representante 
americano ao Congresso Internacional de Físicas, 
conhecido como o Congresso de Solvay, em Bruxelas 
em 1921. Ele obteve os graus de doutor honorário de 
vinte e cinco universidades, e era um sócio ou o sócio 
honorário de muitas instituições instruídas no país e 
no estrangeiro. Ele foi o Prêmio de Comstock da 
Academia Nacional de Ciências, da Medalha de 
Edison do Instituto americano de Engenheiros 
Elétricos, da Hughes Medal da Sociedade Real de Grã 
Bretanha, e do Prêmio de Nobel para Físicas 1923. 
Ele também foi feito o Chefe da Leg
recebeu a Ordem chinesa de Jade. 
 Millikan era um jogador de tênis entusi
golfe também era um das recreações dele. 
 Millikan Greta Erwin Blanchard casado em 1902; 
eles tiveram três filhos
Allen, e Max Franklin. 
 Ele morreu nos 19º 
Marino, a Califórnia. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vários destes detectores Geiger-Müller 
(GM) foram construídos em 1939 no laboratório de 
física do Caltech para uso em estudos de raios 
cósmicos. O exemplo acima pos
adas e é feito de cobre. 
 A etiqueta de papel identifica três datas: 2 
de agosto de 1947; 25 de janeiro de 1948; e 8 de julho 
de 1950. A data 1947 se refere para viajar de balão 
vôos executados a latitudes diferentes do Texas para 
Saskatoon. Um vôo típico levaria os instrumentos 
para 70,000 a 80,000 pés. A data de 1948 data se 
refere a experiências executadas em um B-29 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori CAPÍTULO II - Campo Elétrico 
 30
para Lima, Peru. Robert Millikan e Neher estavam entre 
o pessoal neste vôo. 
Robert Millikan (1868-1950) era o Cientista de 
América mais famoso dos anos vinte, e o segundo 
americano receber o Prêmio Nobel em física. O 
posterior foi premiado para as medidas da carga do 
elétron (pelo Millikan, conhecido " experiência " da 
gota) e por confirmar as equações de Einstein 
experimentalmente para o efeito fotoelétrico. Em 1921, 
Millikan deixou a Universidade de Chicago para 
encabeçar o Instituto de Califórnia de Tecnologia em 
Pasadena, recentemente criado. No CalTech, ele serviu 
também como Diretor do Departamento de Física. A 
pesquisa dele enfocou a natureza e origem de raios 
cósmicos - Millikan cunhou o termo "raio" cósmico. 
Estas investigações ajudadas demonstram a fonte 
extraterrestre desta radiação e sua variação em 
intensidade com latitude. Doado pelo Instituto de 
Califórnia de cortesia de Tecnologia de Broto Cowan. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Exemplos 
 
Exemplo 1 – Uma carga positiva Q é distribuída 
uniformemente ao longo de uma semi-circunferência de 
raio a. Obtenha o campo elétrico 
no centro de curvatura P.O campo elétrico da metade da esquerda da 
semicircunferência na direção x 
 anula o campo elétrico da metade do lado 
direito. O componente y restante 
 aponta para o sentido negativo do eixo 
y. A carga por unidade de 
 comprimento da semicircunferência é: 
2e 
Q k dl k ddE
a a a
λ λ θλ
π
= = =
senporém sen .y
k ddE dE
a
λ θ θθ= = 
Portanto, 
/ 2 / 2
00
2 2sen [ cos ]y
k kE d
a a
π πλ λθ θ θ= = −∫ 
/ 2
0 2
2 2[ cos ] ,y
k kE
a a
π 2kQ
a
λ λθ
π
= − = = 
 Orientado de cima para baixo. 
 
 Exemplo 2 – Uma carga elétrica Q é 
distribuída uniformemente ao longo dos quatro lados 
de um quadrado. Dois lados adjacentes possuem a 
mesma carga +Q distribuída ao longo desses lados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (a) Supondo que os outros dois lados 
possuam a mesma carga –Q distribuída, determine os 
componentes x e y do campo elétrico resultante no 
centro do quadrado. O quadrado tem lado a. 
 (b) Repita o cálculo supondo que os quatro 
lados possuam a mesma carga Q distribuída. 
 
 (a) Ex = Ey, e Ex = 2Ecomprim. do fio α, carga Q = 
2
 onde,
4
12
22
0
ax
axx
Q
=
+πε
 
2 2
0 0
2 ,
5 / 4 5x
Q QE
a aπε πε
⇒ = =
2
0
2ˆ ˆsentido , ,sentido .
5y
Qi E j
aπε
− = − 
 (b) Supondo que todos os lados do quadrado 
possuem a mesma carga, por simetria concluímos que 
os campos elétricos fornecem uma resultante igual a 
zero no centro do quadrado. 
 
Exemplo 3 – (a) Determine a carga total 
sobre a coroa anular da figura, sabendo que esta 
possui uma densidade superficial de carga σ. 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori CAPÍTULO II - Campo Elétrico 
 31
(b) Se a coroa anular está sobre o plano yz, 
determine sobre o eixo Ox o campo elétrico E. 
(c) Mostre que, para pontos sobre o eixo Ox 
suficientemente próximos da origem, o módulo do 
campo elétrico é aproximadamente proporcional à 
distância entre o centro da coroa e o ponto considerado. 
(d) Uma partícula puntiforme de carga –q e 
massa m pode-se mover sobre o eixo Ox e é colocada 
sobre o ponto x = 0,01R1 e a seguir liberada. Determine a 
freqüência de oscilações da partícula. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) Q = Aσ = π σ)( 21
2
2 RR −
 
(b) Lembre que o campo elétrico de um disco, Eq. 
(22-11), é dado por: 
 
 
 [ ]( ).1)/(/11
2
2
0
+−= xRE
ε
σ
 
 
 Portanto, 
 
 
( )2 22 1
0
ˆ( ) 1 1/ ( / ) 1 1 1/ ( / ) 1
2
x
E x R x R x i
x
σ
ε
⎡ ⎤ ⎡= − + − − +⎣ ⎦ ⎣
⎤
⎦
( )2 22 1
0
ˆ( ) 1/ ( / ) 1 1/ ( / ) 1 .
2
x
E x x R x R x i
x
σ
ε
−
= ⇔ + − + 
 
c) Note que 
( ) ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅⋅⋅+−≈==+
−
2
)/(1)/(11)/(/1
2
1
1
2/12
1
1
2
1
Rx
R
xRx
R
xxR
0 1 2
ˆ( )
2
x x xE x i
R R x
σ
ε
⎛ ⎞
⇒ = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
2
0 1
1 1 ˆ( ) ,
2
xE x i
R R x
σ
ε
⎛ ⎞
⇒ = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
 
e considerar pontos suficientemente próximos 
significa que (x/R1)2 << 1. 
 
d) 
0 1 2
1 1( )
2
qF qE x x mx
R R
σ
ε
⎛ ⎞
= = − − =⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
0 1 2
1 1
2 2 2
qf
m R R
ω σ
π π ε
⎛ ⎞
= = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
1
 
 
 
Exemplo 4 – (a) Determine o campo elétrico 
produzido por uma linha carregada com densidade 
linear de carga uniforme ρL e comprimento a no 
ponto P(x,y,z). 
(b) Faça o limite em que a tende a infinito e 
calcule o campo elétrico de uma linha infinita. 
 
 
 
 
 z 
 P(x,y,z) 
 
 
 
 r
 r′
 
 
 
 y 
 
 
 x 
 
 
 
 Fazendo a distribuição de cargas: 
2 2
a a
L
Q z
a
ρ = ⇔ − ≤ ≤ + 
O Campo elétrico é dado por: 
rr
rr
rr
QrE
′−
′−
′−
∆
=∆ 2
04
)(
πε
 
2
0
( )
4
Ldz r rdE r
r rr r
ρ
πε
′ ′−
=
′−′−
 
 
ˆ ˆx y zr xa ya za= + + 
ˆzr z a′ ′= 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori CAPÍTULO II - Campo Elétrico 
 32
r r xa ya z z a′ ′− = + + −( )ˆ ˆx y z 
( )22 2r r x y z z′ ′− = + + − 
( )3
0
( )
4
LdE r r r dz
r r
ρ
πε
′ ′= −
′−
 
( )
( )3
22 2
0
ˆ ˆ( )
4
L
x y zdE r xa ya z z a dz
x y z z
ρ
πε
′ ′⎡ ⎤= + +⎣ ⎦
′+ + −
− 
( )
( )
2
2
3
22 2
0
ˆ ˆ( )
4
a
a
L
x y zE r xa ya z z a dz
x y z z
ρ
πε
+
−
′ ′⎡ ⎤= +⎣ ⎦
′+ + −
∫
( )
+ −
2
2
3
22 2 0
ˆ( )
4
a
a
L
x y
dzE r x
x y z z
ρ
πε
+
−
′
⎡ ⎤= +⎣ ⎦
′+ + −
∫
( )
( )
a ya
2
2
3
22 2 0
ˆ
4
a
a
L
z
z z dz
a
x y z z
ρ
πε
+
−
′ ′−
+
′+ + −
∫ {1} 
( ) ( )( )
2 2
2 2
3 322 2 22 2
2
a a
dz dz
x y z zx y z z
+ +
− −
′ ′
=
′+ + −′+ + −
∫ ∫ 
a a
( )
2
2
3 2 3 222 2
2 2
1
1
a
a
dz
x y z z
x y
+
−
′
=
⎛ ⎞+ ⎛ ⎞′−⎜ ⎟⎜ ⎟+
⎜ ⎟⎜ ⎟+ ⎠⎝ ⎠
∫ 
Chamando de: 
 
⎝
 
2 2
z ztg
x y
θ
′−
=
+
 
2 2z z tg x yθ′ = − + 
2 2secdz d x yθ θ′ = − + 2
( ) ( ) ( )
2 2
2 2
2 2
3 3 2 3 22 2 222 2
sec1
1
a a
a a
d x ydz
x y tgx y z z
θ θ
θ
+ +
− −
′ − +
=
+ +′+ + −
∫ ∫
( )
2
( ) ( )
2 2
2 2
2 2 2
3 3 22 2 222 2
sec
sec
a a
a a
x ydz d
x yx y z z
3 2
θ θ
θ
+ +
− −
′ + −
=
+′+ + −
∫ ∫ 
( )
( )
( )
2 2
2 2
1 22 2 2
3 3 2 32 222 2
sec
sec
a a
a a
x ydz d
x yx y z z
θ θ
θ
+ +
− −
+′
=−
+′+ + −
∫ ∫ 
( )
2
2 2
3 2 2
22 2
1
sec
a
a a
dz d
x yx y z z
2
a
θ
θ
+
− −
′
=−
+′+ + −
∫ ∫ 
( )
2 2
2 2
3 2 2
22 2
1 cos
a a
a a
dz d
x yx y z z
θ θ 
+ +
− −
′
=−
+′+ + −
∫ ∫
( )
]
2
2
2
2
3 2 2
22 2
1
a
ax
axa
dz sen
x yx y z z
θ
θ
θ =
=−
+
−
′
=−
+′+ + −
∫ 
2 2 2
2
1cos 1 1
sec
sen senθ θ θ
θ
+ = ⇔ + = 
2
2
11
sec
sen θ
θ
= − 
2
2
11
1
sen
tg
θ
θ
= −
+
 
2
2
2
1 1
1
tgsen
tg
θθ
θ
+ −
=
+
 
2
2
2 1
tgsen
tg
θθ
θ
=
+
 
2 1
tgsen
tg
θθ
θ
=
+
 
2 2
2
2 2
1
z z
x y
sen
z z
x y
θ
′−
+
=
⎛ ⎞′−⎜ ⎟ +
⎜ ⎟+⎝ ⎠
 
( )
2 2
22 2
2 2
z z
x y
sen
x y z z
x y
θ
′−
+
=
′+ + −
+
 
( )22 2
z zsen
x y z z
θ
′−
=
′+ + −
 
+
( ) ( )
2 2
2
2
3 2 2 22 222 2
1
a a
a
a
z
z
dz z z
x y x y z zx y z z
+ ′=+
−
′=−
′ ′−
=−
+ ′+ + −′+ + −
∫
( ) ( )
2
2
2
3 2 2 22 222 2
2
1
a
a
a
a
zdz
x y x y zx y z z
+
−
⎡′ −⎢=−
⎢+ + + −′+ + − ⎣
∫
( )
2
22 2
2
az ⎤+
ax y z
⎥−
⎥+ + + ⎦
{a} 
 A outra integral será: 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori CAPÍTULO II - Campo Elétrico 
 33
( )
( )
( )
( ) ( )
2
2
2
2
3 22 222 2
1
a
a
a
a
z
z
z z dz
x y z zx y z z
′=+
+
−
′=−
⎤′ ′−
=−
′+ + −′+ + − ⎦
∫ ⎥⎥
 
( ) ( )2 22 2 2 22 2
1 1
a ax y z x y z
⎡ ⎤
⎢ ⎥=− −
⎢ ⎥+ + − + + +⎣ ⎦
 {b} 
 Substituindo {a} e {b} em {1}: 
( ) ( )
2 2
2 2 2 22 2 2 20 2 2⎣ ⎦
1ˆ( )
4
a a
L
x y
a a
z zE r xa ya
x y x y z x y z
ρ
πε
⎡ ⎤− +⎢ ⎥⎡ ⎤=− + −⎣ ⎦ ⎢ ⎥+ + + − + + +
( ) ( )2 22 2 2 2 02 2
1 1 ˆ
4
L
z
a a
a
x y z x y z
ρ
πε
⎥−
⎢ ⎥+ + − + + +⎣ ⎦
 
Podemos transf rmar para coordenadas 
cilíndricas: 
⎡ ⎤
⎢−
o
2 2
cos
x y
x
y sen
ρ
ρ φ
ρ φ
⎧ = +
⎪⎪ =⎨
⎪ =⎪⎩
 
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
+−=
+=
zz
yx
yx
aa
asenaa
senaaa
ˆˆ
cosˆˆˆ
ˆcosˆˆ
φφ
φφ
φ
ρ
 
⎪
⎩
⎪
⎧
⎨
=
+=
−=
zz
y
x
aa
asenaa
senaaa
ˆˆ
cosˆˆˆ
ˆcosˆˆ
φφ
φφ
φρ
φρ
 
 
( ) ( )
2 2
2 2 22 20 2 2
1ˆ( ) cos
4
a a
L
x y
a a
z zE r a senρ a
z z
ρ ρ φ φ
πε ρ ρ ρ
⎡ ⎤− +⎢ ⎥⎡ ⎤=− + −⎣ ⎦ ⎢ ⎥+ − + +⎣ ⎦
 
( ) ( )2 22 2 02 2
1 1 ˆ
4
L
z
a a
a
z z
ρ
περ ρ
⎡ ⎤
⎢ ⎥− −
⎢ ⎥+ − + +⎣
 
⎦
( ) ( )
2 2
2 2 22 20 2 2
ˆ( ) cos
4
a a
L
a a
z zE r a sen a
z z
ρ ρ φ φ
πε ρ ρ ρ
⎡ ⎤− +⎢ ⎥⎡ ⎤=− + −
⎢ ⎥+ − + +⎣ ⎦
x y⎣ ⎦
( ) ( )2 22 2 02 2
1 1 ˆ
4
L
z
a a
a
z z
ρ
περ ρ
⎡
⎢− −
⎢ ⎥+ − + +⎣ ⎦
 
( ) ( )
2 2
2 22 20 2 2
( )
4
a az zρL
a a
E r a
z z
ρπε ρ ρ ρ
⎡ ⎤− +⎢ ⎥=− −
⎢ ⎥+ − + +⎣ ⎦
( ) ( )2 22 2 02 2
1 1 ˆza4
L
a az z
ρ
περ ρ
⎡ ⎤
⎢ ⎥− −
⎢ ⎥+ − + +⎣ ⎦
 
 
 Limite de um fio infinito: 
Se imaginarmos que o fio é muito comprido: 
 
( ) ( )
2 2
2 22 20 2 2
( ) lim
4
a a
L
a a a
z zE r a
z z
ρ
ρ
πε ρ ρ ρ→∞
⎡ ⎤− +⎢ ⎥=− −
⎢ ⎥+ − ++⎣⎦
( ) ( )2 22 2 02 2
ˆ
4
1 1lim L za
ρ
a a
a
z z περ ρ→∞
⎡ ⎤
⎢ ⎥− −
⎢ ⎥+ −
 
+ +⎣ ⎦
 
⎤
⎥
[ ]
0
( ) 1 1
4
LE r aρ
ρ
πε ρ
=− − − [ ]
0
ˆ0
4
0 zaL
ρ
πε
 − −
0
2( ) L
4
E r aρ
ρ
πε ρ
−
=− 
0
( )
2
LE r aρ
ρ
πε ρ
= 
 
Exemplo 5 – (a) Determine o campo elétrico 
roduzido por um plano quadrado de lado a carregada 
 tende a infinito e 
 o campo elétrico de um plano infinito. 
 
 
 P(x,y,z) 
 
 
 
 
 
 
 a/2 
 y 
 
 
x 
do a distribuição de cargas: 
p
com densidade superficial de carga uniforme ρS e 
comprimento a no ponto P(x,y,z). 
(b) Faça o limite em que a
calcule
 
 
 
z 
 
 
 
r
 r′ 
 a/2 
 
 (a) Fazen
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori CAPÍTULO II - Campo Elétrico 
 34
2 2
2 2
a a
S a a
yQ
xA
ρ
− ≤ ≤ +⎧
= ⇔ ⎨− ≤ ≤ +⎩
 
O Campo elétrico é dado por: 
rr
rr
rr
QrE
′−
′−
′−
∆
=∆ 2
04
)(
πε
 
( )3
0
( )
4
S dx dydE r r r
r r
ρ
πε
′ ′
′= −
′−
 
 
zˆ ˆx yr xa ya za= + + 
ˆ ˆx yr x a y a′ ′ ′= + 
( ) ( ) ˆ ˆx yr r x x a y y a za′ ′ ′− = − + − + z 
( ) ( )2 2 2r r x x y y z′ ′ ′− = − + − + 
( )3
0
( )
4
SdE r r r dx dy
r r
ρ
πε
′ ′= −
′−
 ′
 
( ) ( )
( ) ( )( )3 22 2 20
ˆ ˆ
( )
4
x y zS
x x a y y a za
dE r dx dy
x x y y z
ρ
πε
′ ′⎡ ⎤− + − +⎣ ⎦ ′ ′=
′ ′− + − +
 
( )
( ) ( )( )
2 2
2 2
3 22 2 20
( )
4
a a
a a
S
x
x x dx dy
E r a
x x y y z
ρ
πε
+ +
− −
⎡
′ ′ ′−⎢= +⎢
′ ′− + − +⎢⎣
∫ ∫ 
 
( )
( ) ( )( )
2 2
2 2
3 22 2 2
ˆ
a a
a a
y
y y dx dy
a
x x y y z
+ +
− −
′ ′ ′−
+
′ ′− + − +
∫ ∫ 
 
)( ) ( )(
2 2
2 2
3 22 2 2
ˆ
a a
a a
z
zdx dy a
x x y y z
+ +
− −
⎤
′ ′ ⎥
⎥
′ ′− + − + ⎥⎦
∫ ∫ 
 
( ) ( )
2
2
2
2
2 2 20
1( )
4
a
a
a
a
x
S
x
x
E r dy a
x x y y z
ρ
πε
′=+
+
−
′=−
⎡ ⎡ ⎤⎢ ⎢ ⎥ ′= +⎢ ⎢ ⎥′ ′− + − +⎢ ⎣ ⎦⎣
∫
( ) ( )
2
2
2
2
2 2 20
1
4
a
a
a
a
y
S
y
y
dx a
x x y y z
ρ
πε
′=+
+
−
′=−
⎡ ⎡ ⎤⎢ ⎢ ⎥ ′ +⎢ ⎢ ⎥′ ′− + − +⎢ ⎣ ⎦⎣
∫ 
( )
( ) ( ) ( )
2
2
2
2
2 2 22 204
a
a
a
a
x
S
z
x
z x x
dy a
y y z x x y y z
ρ
πε
′=+
+
−
′=−
⎡ ⎡ ⎤⎢ ′−⎢ ⎥ ′⎢ ⎢ ⎥⎡ ⎤′ ′ ′⎢ − + − + − +⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦⎢⎣
∫
( ) ( ) ( ) ( )
2
2
2 22 22 20 2 2
1 1( )
4
a
a
S
x
a a
E r d
x y y z x y y z
ρ
πε
+
−
⎡ ⎛ ⎞
⎢ ⎜ ⎟ y a′= − +⎢ ⎜ ⎟′ ′− + − + + + − +⎢ ⎝ ⎠⎣
∫
( ) ( ) ( ) ( )
2
2
2 22 22 20 2 2
1 1
4
a
a
S
y
a a
dx a
x x y z x x y z
ρ
πε
+
−
⎡ ⎛ ⎞
⎢ ⎜ ⎟ ′− +⎢ ⎜ ⎟′ ′− + − + − + + +⎢ ⎝ ⎠⎣
∫
 
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
2
2
2
22 22 2
2
0 2
22 22 2
2
4
a
a
a
a
S
za
a
z x
y y z x y y z
dy a
z x
y y z x y y z
ρ
πε
+
−
⎡ ⎡ ⎤−
−⎢ ⎢ ⎥
⎡ ⎤′ ′⎢ − + − + − +⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎢ ⎥ ′
⎢ ⎢ ⎥+
⎢ ⎢ ⎥
⎡ ⎤′ ′⎢ − + + + − +⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦⎣
∫
 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
22 22 22 2
2 2
0
( ) ln ln
4
a
a
s
y
S a a
x
y
E r y y x y y z y y x y y z aρ
πε
′=+
′=−
⎧ ⎫− ⎪ ⎪⎡ ⎤ ⎡′ ′ ′ ′ ⎤= − + + + − + − − + − + − + +⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣⎪ ⎪⎩ ⎭⎥⎦
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2
a
2 22 22 2
2 2
0
ln ln
4
ax
S a a
y
x
x x y x x z x x y x x z aρ
πε
′=+
′
⎧ ⎫⎪ ⎪⎡ ⎤ ⎡ ⎤′ ′ ′
=−
− + − + − + − − + + + − + +⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭
 
−
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
2
2
2
22 22 2
2
0 2
22 22 2
2
4
a
a
a
a
S
za
a
z x
y y z x y y z
dy a
z x
y y z x y y z
ρ
πε
+
−
⎡ ⎡ ⎤−
−⎢ ⎢ ⎥
⎡ ⎤′ ′⎢ − + − + − +⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎢ ⎥ ′
⎢ ⎢ ⎥+
⎢ ⎢ ⎥
⎡ ⎤′ ′⎢ − + + + − +⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦⎣
∫
 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
22 2 2
2
2 2 20 2
( ) ln
4
a
a
s
y
a
S
x
a
y
y y x y y z
E r a
y y x y y z
ρ
πε
′=+
′=−
⎧ ⎫⎡ ⎤′ ′− + + + − +− ⎪ ⎪⎢ ⎥= +⎨ ⎬⎢ ⎥′ ′⎪ ⎪− + − + − +⎣ ⎦⎩ ⎭
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
2
2 2 2
2
2 2 20 2
ln
4
a
a
x
a
S
y
a
x
x x y x x z
a
x x y x x z
ρ
πε
′=+
′=−
⎧ ⎫⎡ ⎤′− + + + − +− ⎪ ⎪⎢ ⎥ +⎨ ⎬⎢ ⎥′ ′⎪ ⎪− + − + − +⎣ ⎦⎩ ⎭
 
( )( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
2 2
2 22 22 20 2 2
4
a a
a a
y y
a a
S
z
a a
y y
x y y x y y
Arctg Arctg a
z x y y z z x y y z
ρ
πε
′ ′=+ =+
′ ′=− =−
⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡′ ′− − + − ⎤⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢− ⎥⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢′ ′ ⎥⎪ ⎪− + − + + + − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭
 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2 22 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 22 20 2 2 2 2 2 2
( ) ln ln
4
a a a a a a
S
x
a a a a a a
y x y z y x y z
E r a
y x y z y x y z
ρ
πε
⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡− + + + − + + + + + + +− ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢
⎤
⎥= − +⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢⎪ ⎪− + − + − + + + − + + +⎣ ⎦ ⎣⎩ ⎭
⎥
⎦
 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2 22 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 22 20 2 2
ln
4
a a a a a a
y
a a a a a a
y x z x y x z
a
x yπε
⎤ ⎡ ⎤+ + + − + + + + + + +⎥ ⎢ ⎥
2 2 2 2
lnS
x
x z x y x z
ρ
⎧ ⎫⎡ −− ⎪ ⎪⎢ − +⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪+ − + + + − + + +⎦ ⎣ ⎦− + −⎣⎩ ⎭
 
( )( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( )( )
( ) ( )
2 2 2 2
2 2 22 2
2 2 2 2
0
2 2 2 2
2 2 2 22 2
2 2 2 2
4
a a a a
a a a a
S
2
z
a a a a
a a a a
x y x y
Arctg Arctg
z x y z z x y z
a
x y x y
Arctg Arctg
z x y z z x z
ρ
πε
y
⎧ ⎫⎡ ⎤− − − +⎡ ⎤⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥− + − + − + + +⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎨ ⎬
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎪ ⎪+ − + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪− +
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪+ + − + + + + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭
 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2 22 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 22 20 2 2 2 2 2 2
( ) ln ln
4
a a a a a a
S
x
a a a a a a
y x y z y x y z
E r a
y x y z y x y z
ρ
πε
⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡− + + + − + + + + + + +− ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢
⎤
⎥= − +⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎦⎪ ⎪− + − + − + + + − + + +⎣ ⎦ ⎣⎩ ⎭
 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2 22 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 22 20 2 2 2 2 2 2
ln ln
4
a a a a a a
S
y
a a a a a a
x y x z x y x z
a
x y x z x y x z
ρ
πε
⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡− + + + − + + + + + + +− ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢− +⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢⎪ ⎪− + − + − + + + − + + +⎣ ⎦ ⎣⎩ ⎭
⎤
⎥
⎥
⎦
 
( )( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( )( )
( ) ( )
2 2 2 2
2 2 2 22 2
2 2 2 2
0
2 2 2 2
2 2 2 22 2
2 2 2 2
4
a a a a
a a a a
S
z
a a a a
a a a a
x y x y
Arctg Arctg
z x y z z x y z
a
x y x y
Arctg Arctg
z x y z z x y z
ρ
πε
⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − − +⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥− + − + − + ++⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎨ ⎬
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎪ ⎪+ − + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪− +
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪+ + − + + + + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭
 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori CAPÍTULO II - Campo Elétrico 
 35
 
(b) Observando que quando o valor de a tende a 
infinito: 
2 2
0
2 2
2 2
2 2lim ( ) ln ln
4 2 2
2 2
a a
S
xa
a a
a a
E r a
a a
ρ
πε→∞
⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤
− + +⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⎪ ⎪= −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎨ ⎬
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪− + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭
+
 
2 2
0
2 2
2 2
2 2ln ln
4 2 2
a a
S
y
a a
a a
a
a a
ρ
πε
⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤
− + +⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⎪ ⎪
2 2
− +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎨ ⎬
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪
⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭
− + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪
 
2 2
2 2 2 2
2 20
2 2 2 2
4 4 4
2 4 2 4
4 4
2 4 2 4
S
z
a aArctg Arctg
z a z z a z
aρ
⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤−⎪ ⎪−⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ +⎪ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎪
a aArctg Arctg
z a z z a z
πε ⎨ ⎬⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎪ ⎪−
− +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪
⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ +
 
[ ] [ ]{ }
0
lim ( ) ln 1 ln 1
4
S
xa
E r aρ
πε→∞
−
= − + 
[ ] [ ]{ }
0
ln 1 ln 1
4
S
ya
ρ
πε
−
− +
 
2
2 2
0
44
4 2 4
S
z
aArctg a
z a z
ρ
πε
⎪ ⎪⎧ ⎫⎡ ⎤⎢ ⎥⎨ ⎬
⎢ ⎥+⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭
 
2
0
4lim ( ) 4
4 2 2
S
za
aE r Arctg a
z a
ρ
πε→∞
⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎢ ⎥
⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭
 
0
2lim ( ) 4S
4 4 za zπε→∞
aE r Arctg aρ
⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎢ ⎥
⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭
 
Fazendo a expansão por séries de potências para a 
função arco-tangente, t remos: e
3
3
0
2 2 16 2lim ( ) 4
4 2 3
S
za
z zE r a
a a
ρ π
πε→∞
⎧ ⎫⎛⎪ ⎪= − + −⎜ ⎟⎨ ⎬⎜⎪ ⎪⎝⎩ ⎭
⎞
⎟
⎠
 
 Considerando apenas o primeiro termo: 
0
lim ( ) 4
4 2
S
za
E r aρ π
πε→∞
⎧ ⎫⎛ ⎞= ⎨ ⎬⎜ ⎟
⎝ ⎠⎩ ⎭
 
0
lim ( )
2
S
za
E r aρ
ε→∞
= 
0
( )
2
S
zE r a
ρ
ε
= 
 
 Veja que é o mesmo resultado que chegamos 
nteriormente: a
N
S aE ˆ
2 0ε
ρ
= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Então, para um plano infinito carregado, teremos:Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori CAPÍTULO II - Campo Elétrico 
 14
 
. Quatro cargas positivas de 10 nC estão 
local
 um ponto distante 8 cm de cada uma 
das o força total nesta 
quint
2. a carga Q=0.1 localizada na origem 
do es
pone uma terceira carga positiva é 
zero. 
3. Quatro cargas pontuais de 50 nC cada estão 
local
e a 
carga
mC localizada em P1(2, 5, 8). 
nquanto Q2. = -5mC localizada em P2(6, 15, 8). 
Consi
) Encontre as coordenadas de P3, se a carga Q3, 
exper enta uma força total F3 = 0 em P3. 
 
5.. Seja a carga pontual Q = 25 nC localizada em 
P1 (4, em P2(-3, 4,-
2). 
(a) Se e = e0., determine E em P(1, 2, 3). 
(b) Em que ponto do eixo y Ex = 0? 
 
de 120 nC estão 
localizadas em A(0,0,l) e B(0, 0, -1) no espaço livre, 
) Determine E em P(0.5, 0, 0). 
b) Qual carga na origem forneceria um campo de 
mesm ódulo? 
 
r f z
Solução: 
 
o d por: 
 
. Quatro cargas positivas de 10 nC estão 
local
 um ponto distante 8 cm de cada uma 
das o força total nesta 
quint
2. Uma carga Q=0.1m localizada na origem 
do es
ponente x da força em uma terceira carga positiva é 
zero. 
3. Quatro cargas pontuais de 50 nC cada estão 
local
e a 
carga
mC localizada em P1(2, 5, 8). 
nquanto Q2. = -5mC localizada em P2(6, 15, 8). 
Consi
) Encontre as coordenadas de P3, se a carga Q3, 
exper enta uma força total F3 = 0 em P3. 
 
5.. Seja a carga pontual Q = 25 nC localizada em 
P1 (4, em P2(-3, 4,-
2). 
(a) Se e = e0., determine E em P(1, 2, 3). 
(b) Em que ponto do eixo y Ex = 0? 
 
de 120 nC estão 
localizadas em A(0,0,l) e B(0, 0, -1) no espaço livre, 
) Determine E em P(0.5, 0, 0). 
b) Qual carga na origem forneceria um campo de 
mesm ódulo? 
 
r f z
Solução: 
 
o d por: 
 Exercícios: 
Willian H. Hayt, Jr.; John A. Buck, pg. 30 
 
 Exercícios: 
Willian H. Hayt, Jr.; John A. Buck, pg. 30 
 
11
izadas no plano z = 0 nos vértices de um quadrado 
de 8 cm de lado. Lima quinta carga positiva de 10 nC 
está localizada em
izadas no plano z = 0 nos vértices de um quadrado 
de 8 cm de lado. Lima quinta carga positiva de 10 nC 
está localizada em
utras cargas. Calcule o módulo dautras cargas. Calcule o módulo da
a carga para e = e0. 
 
a carga para e = e
Um mC esta 
paço livre, enquanto Q = 0.2mC está em A(0.8, 0.6, 
0). Determine o lugar dos pontos no plano z = 0 em que a 
com
paço livre, enquanto Q = 0.2mC está em A(0.8, 0.6, 
0). Determine o lugar dos pontos no plano z = 0 em que a 
com nte x da força em
 
izadas cm A( l, 0, 0). B(- l, 0, 0), C(0, l, 0) e D(0, -
1, 0) no espaço livre. Determine a força total sobr
izadas cm A( l, 0, 0). B(- l, 0, 0), C(0, l, 0) e D(0, -
1, 0) no espaço livre. Determine a força total sobr
 em A. em A. 
 
4. Seja Q1 = 8
 
4. Seja Q
ee
dere e = e0. 
(a) Determine F2 a força sobre Q. 
(b
dere e = e
imim
1
-2, 7) e a carga Q2;= 60 nC localizada-2, 7) e a carga Q
6. Duas cargas pontuais 6. Duas cargas pontuais 
(a
(
(a
(
o mo m
7. Uma carga pontual de 2mC está localizada em 
A(4, 3, 5) no espaço livre. Determine E , E e E em P(8, 
12, 2)
7. Uma carga pontual de 2mC está localizada em 
A(4, 3, 5) no espaço livre. Determine E , E e E em P(8, 
12, 2). . 
 
Campo elétrico n ponto é da oCampo elétrico n ponto é da o
0. 
 
C esta 
1 = 8
0. 
(a) Determine F2 a força sobre Q. 
(b
1
2;= 60 nC localizada
APAP rr04 ε
APr
2 
m
aaar ˆ5ˆ3ˆ4 ++=
PE π
=
Q
 
E coordenadas cartesianas: 
 
 zyxA
 zyxP aaar ˆ2ˆ12ˆ8 ++= 
 As relações entre os 
r
versores das 
coordenadas cilíndricas pola es: e as cartesianas são 
obtid com o auxílio da figura: 
 
 
 f 
 
 r 
 
 f 
 Da figura, então vemos que: 
 
as
 
 
 
 φâ yâ 
 ρâ 
 
 xâ 
 
 
φφ φρ senaaax ˆcosˆˆ −= 
φφ φρ cosˆˆˆ asenaay += 
zz aa ˆˆ = 
 aaarrr ˆ3ˆ9ˆ4 zyxAPAP −+=−= 
106)3(94 222 =−++=−= APAP rrr 
 Como: 
 
x
yarctg=φ 
22 yx +=ρ 
087,36643,0
4
3
=== radarctgAφ 
031,56983,0
8
12
=== arctgPφ rad 
C
N
AP
P r
QE 81,169
106
36
104
102
4 9
6
2
0
==
⋅
= −
−
π
ππε
 
Em coordenadas cartesianas: 
AP
AP
P rrr
E
AP
rrQ
−
= 24πε
 
−
0
zyx
APAP rrr 106106106−
APAP aaa
rrr ˆ3ˆ9ˆ4 −+=
−
= 
 
zyxP aaE
81,1693ˆ
106
81,1699ˆ
106
81,1694 ⋅
−
⋅
+
⋅ â
106
= 
PE = zyx aaa ˆ480,49ˆ441,148ˆ974,65 −+ 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori CAPÍTULO II - Campo Elétrico 
 15
Substituindo: 
φφ φρ senaaax ˆcosˆˆ −= 
 φφ φρ cosây + ˆˆ senaa =
(
( ) zaasen
asen )
ˆ480,49ˆcos44,148974,65
ˆ441,148cos974,65
−+−
+=
φ
ρ
φφ
φφ
das 
ˆˆ +φφρρ
E
+
 Para acharmos o campo em coordena
cilíndricas: 
zzaEaEaEE ˆ += 
recisamos então descobrir o ângulo f. Para isso observe 
 figura a seguir: 
rvando o paralelogramo no plano xy 
formado pelas projeções dos vetores 
P
a
 Obse
PA rr , e APr no 
plano xy,: 
( )APP φφφφ −+= 
 
 z 
 
 
 
 
 
 
 
)
asen ˆ75,75441,14875,75cos974,65
00+
+ ρ
 
 y
 f 
 fA fP 
 
 
 
 x 
( ) 075,7587,3631,5631,56 =−+=φ 
Substituindo em: 
( )asenE ˆ441,148cos974,65 += ρφφ 
( ) zaasen ˆ480,49ˆcos44,148974,65 −+−+ φφφ
( )E 00=
( zaasen ˆ480,49ˆ75,75cos44,14875,75974,65 −+− φ
( ) ( ) zaaaE ˆ480,49ˆ839,36944,63ˆ8736,1432397,16 −+−++= φρ
zaaaE ˆ01,27ˆ11,160 −−= φρ ˆ48,49 
8. Dadas duas cargas pontuais de -lmC em P (0, 0, 
-0.5
e e = e . 
 nC está localizada em 
A( -
ontos P(x, y, z.) no qual 
 500 V/m. 
(b) Determine y1, se P(-2, y1, 3) pertencer a este 
lugar. 
 
em (3, 0, 0) e (-3, 
= e . 
a) Determine |E| em P(0, y,0). 
e |E| vs. y em P. 
 
11. Uma carga Q0, localizada na origem no 
/m no 
(a) Determine Q0. Determine E em M( l, 6, 5) 
m: 
(b) coordenadas cartesianas: 
(c) coordenadas cilíndricas: 
(d) coordenadas esféricas. 
 
12. A densidade volumétrica de carga 
 
1
) e P2(0, 0, -0.5), e uma carga de 2mC na origem, 
determine E em P(0, 2, l) em componentes esféricas. 
Consider 0
 
9. Uma carga pontual de 100
1, 1, 3) no espaço livre: 
(a) Encontre o lugar dos p
E =
10. Duas cargas de 20 e -20 nC estão localizadas 
0, 0), respectivamente. Considere e 
0
 
(
(b) Esboc
espaço livre produz um campo no qual Ez=l k V
ponto P( -2. l, -1), 
e
zyx
v e
−−−= 0ρρ existe em todo o espaço li e. 
Calcule a carga total presente. 
 
Solução: 
 
 
vr
dvQ
V
v∫∫∫= ρ 
 Em coordenadas cartesianas: 
∫ ∫ ∫
+∞+∞+∞
∞− ∞− ∞−
−−−= xdydzeQ zyx0ρ d
( ) ( ) dzedyedxedxe xx ∫∫∫∫
∞−∞−
+−
∞−
−−
⎟⎟
⎠
⎜⎜
⎝
+
0
0ρ
zy
+∞
−
+∞
−
+∞ ⎞⎛
=
0
Q
dzedyeeeQ zyxx ∫
+∞
−
+∞
−∞+− ⎟⎞⎜⎛ −+=
0
0ρ ∫ 
∞−∞−
∞− ⎠⎝ 0
( ) dzedyeeeQ zy
+∞
−
+∞
−−+−= 000 0ρ ∫∫
∞−∞−
−− (0 
dzedyeQ zy ∫∫
+∞
∞−
−
∞−
= 02ρ 
 Como as outras integrais são idênticas: 
+∞
−
2.2.2 0ρ=Q 
08ρ=Q 
 
13 Uma densidade volumétrica uniforme de 
arga de 0.2 mC/m3 está presente através de um
r = 3 cm até r = 5 cm. Se rv = 0 em 
ualquer outra parte, determine: 
(a) a carga total presente dentro da casca e 
(b) r1, se metade da carga está localizada na 
região 3 cm < r < r1. 
 
 o: 
c a casca 
esférica de 
q
Soluçã
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 16
 
 
2
2
2.0
ππ
φθθµ 
 
dvQ
V
v∫∫∫= ρ 
∫ ∫ ∫ ′′′′′⋅=
ππ
φ θ
φθθµ
2
0 0
05.0
03.0
22.0 ddrdsenrQ
r
 
 rdrddsenQ ′′′′′= ∫∫∫
05.0
03.000
( ) pCrQ 1.82
3
)cos(2,0
05.0
03.0
3
2
00
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
′−= ππ φθµ 
14. Seja: 
( ) 221,0 10
15 mC
z
ev µφπρ
ρ
+
−= − 
na região:
⎪ ≤≤− πφπ e r =0 em qualquer outra 
⎪
⎩ ;az
parte. 
(a) Determine a carga total presente. 
(b) Calcule a carga dentro da região: 
⎨
⎧ ≤≤ 100 ρ
v
⎪
⎪
⎨ ≤≤− 22ππ φ 
⎩
⎧
≤≤−
≤≤
1010
40
z
ρ
ume esférico de 2 mm de raio contém 
uma densidade volumétrica uniforme de carga de 
1015C
uma grande região 
conte
 de lado e que não há 
dade 
olum
 
e carga: 
 
15. Um vol
/m. 
(a) Qual a carga total confinada dentro do volume 
esférico? 
(b) Considere agora que 
nha uma dessas pequenas esferas em cada quina de 
uma grelha cúbica de 3 cm
a carga entre as esferas. Qual é a densinenhum
v étrica de carga média através desta região? 
16. A região na qual 4 < r < 5, O < θ < 25° e 0,9π 
< f <1,1π conté a densidade volumétrica dm um
( )( ) φθρ 2154 sensenr −1v 0 r −= 
ão, rv = 0. Determine a carga dentro 
desta região. 
 z =- 5. 
Se e 
P( l, 2. 3) 
) determine E no ponto do plano z = 0 onde a 
direç E é dada por
Fora desta regi
 
17. Uma linha de cargas uniforme de 16 nC/m está 
localizada ao longo da linha definida por y = -2,
. 
 
Duas linhas de cargas uniformes de 0,4 
m.C/m ocalizadas no plano x = 0 
em y - 0,6 e y =0,6 m, respectivamente. Considere e 
= e0. 
(x, 0, z). 
9. Uma linha de carga uniforme de 2mC/m está 
localizada no eixo z. Determine E em coordenadas 
cartesianas em P(1,2,3) se a carga se estende de: 
 z +¶. 
(b) z = -4 a z = +4. 
olução: 
) 
 
 3 
 2 
 
 1 r E 
 x f y 
 
 
= e0: 
(a) determine E em 
(b
ão do vetor zy aa ˆˆ 3231 −
18. 
 e - 0,4 p-C/m estão l
= 
Determine E em : 
(a) P
(b) Q(2,3,4). 
 
1
(a) z = -¶ a =
 
S
 
(a
 z 
 
 Como: ρρπε2 0
ρ aE L ˆ= 
 Observe da figura que: 
 01
2 435,63=== arctgarctg x
yφ 
512 2222 =+=+= yxρ 
 Como em coordenadas cilíndricas: 
φφρ senaaa yx ˆcosˆˆ += 
5
1coscos =⇒= φ
ρ
φ x 
5
2
=⇒= φ
ρ
φ senysen 
yx aaa ˆˆˆ 5
2
5
1 +=ρ 
 uindo: 
 
 
Substit
ρρπε
â
2 0
=
ρE L 
 (E 2= )21 yx aa ˆˆ52 550
+
πε
µ
 
( )aaE ˆˆ 21 += yx 55
0πε
µ
 
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 17
( )yx aaE ˆˆ10
36
5
2
5
1
9 += −π
πµ
 
( )mkVaaE yx ˆ4,14ˆ2,7 += 
 
Solução: 
 
(b) 
 z
 
 
 
 
 1 E 
 x y 
Como:
4 
 
3 
 2 
 
 
 r 
 f -4 
 
 
 ( )∫ ′−′−
=
Q
rr
rr
dQrE 3
04
)(
πε
 
 
zyx aaar ˆ3ˆ2ˆ ++= 
zazr ˆ′=′ 
( ) zyx azaarr ˆ3ˆ2ˆ ′−++=′− 
( )222 321 zrr −++=′− 
( )235 zrr −+=′− 
 
 Observe que: zddQ L ′= ρ 
 Substituindo na integral, teremos: 
( )( ) ( )( ) zda
′ ˆzaa
z
rE zyxL ′−++
′−+
= ∫
−
4
4
232
0
3ˆ2ˆ
354
)(
πε
ρ 
 Separando por componentes, teremos: 
( )( )
zd
z
E Lx ′
′−+
= ∫
−
4
4
232
0 35
1
4πε
ρ
 
4
4
2
0 146
3
4
=
−=−
−
=
z
z
L
zz
zE
πε
ρ
 
5 +
x
33
2
4πε
ρL
xE = 
0
33
2
36
104
102
9
6
π
π
−
−⋅
=xE 
CNEx 97,48983
26000 ≅= 
( )( )
zd
z
E Ly ′
′−+
= ∫
−
4
4
232
0 35
1
4
2
πε
ρ
 
33
2
4
2
0πε
ρL
yE = 
CNEy 96,97973
212000 ≅= 
( )
( )( )
zd
z
zE Lz ′
′−+
′−
= ∫
−
4
4
232
0 35
3
4πε
ρ
 
4
4
2
0 146
1
4
−=+−
=
z
L
z
zz
E
πε
ρ
 
=z
33
2ρL
4 0πε
zE = 
CNEz 98,48983
6000 ≅= 2 
Logo: 
( )mkVaarE ˆ899,4ˆ( +ax 798,9ˆ899,4) += zy 
 120 
nC/m dos 
três ções 
do es
 
 21. Duas linhas de carga uniformes idênticas 
com rL = 75 nC/m estão localizadas no espaço livre, 
em x = 0, y= ≤ 0,4 m. Que força por unidade de 
comprimento cada linha de cargas exerce sobre a 
outra? 
 
Solução: 
 
(a) (1) (2) 
 z 
 dQ’ 
 
 -0,4 0,4 
 E 
 1 r 
 x y 
 
 
 
20. Uma linha de cargas uniforme de
o está situada ao longo de toda a extensã
eixos coordenados. Considerando as condi
aço livre, determine E em P(-3, 2, -1). p
 
 
 
1221 QdEFd ′= 
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 18
ρρπε
ρ aE L ˆ
2 0
2 = 
yaE ˆ
8,0
36
102
1075
9
9
2
π
π
−
−⋅
= 
 
= y2 aE ˆ5,1687 
 
LEFd Lρ221 = 
921 1=Fd 1075ˆ5,687 −⋅yaL
 
921 1075ˆ5,1687 −⋅= yaL
Fd
 
mNa
L
Fd 21
yˆ10265625,1
4−⋅= 
mNa
L
Fd 21
y µˆ5625,126 ⋅= 
rficial de carga 
niforme de 5nC/m2 está presente na região x=0, -2 < y < 
A
(b) PB(0, 3, 0) 
23. Dada uma densidade superficial de carga rS 
2 na região r < 0,2 m, z = 0 e rS =0 em qualquer 
gar, determine E em: 
(b) PA(r=0, z=-0.5). 
 
 z 
 
 
 
 
 
 y 
 
 
 
 22. Uma densidade supe
u
0 e " z. Se e = e0, determine E em: 
(a) P (3, 0, 0). 
 
 
 
= 2mC/m
utro luo
 
 
 
 
 
 
 x 
 
rr
rr
rr
dA
rEd S
′−
′−
′−
= 2
04
)(
πε
ρ
 
ρρ ar ˆ′=′ 
zar ˆ5.0−= 
ρρ aarr z ˆˆ5.0 ′−−=′− 
225,0 ρ′+=′− rr 
 O elemento de área da distribuição será 
expresso em coordenadas cilíndricas: 
φρρ ′′′=′ dd Ad
 Assim: 
( )
( )∫∫=
πρ2
EA ′′′−−
′+
ρ φρρρ
ρπε
ρ
0 0
2322
0
ˆˆ5,0
5,04
ddaaz
S 
( )
( )∫∫ ′′′−−′+
=
πρ
ρ φρρρ
ρπε
ρ2
0 0
2322
0
ˆˆ5,0
5,04
ddaaE z
S
A 
4
9
0
108,1
36
104
2
4
⋅==
−
π
π
µ
πε
ρ S Como: 
: φφρ senaaa yx ˆc Como osˆˆ += teremos 
ao substituir na expressão acima apenas a 
dependência em : zâ
( ) ⎥⎥⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
′+
′′
−⋅= ∫∫
2,0
0
2322
2
0
4 ˆ
5,0
5,0108,1 zA a
ddE
ρ
ρρφ
π
 
 
zA aE ˆ
15,02108,1 4 ⎥⎢ −−⋅⋅= π 
25,0
2,0
0
22
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
′+
=′
=′
ρ
ρ
ρ
⎡
 
zA aE ˆ
25,0
1
2,025,0
15,0106,3
222
4
⎥
⎥
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
⋅= π 
⎦⎠
( )[ ]â143047,05,04 − zAE 106,3 ⋅= π 
mkVaE zA ˆ089,8−= 
 
 
 (a) PA(r=0, z=0.5). 
Analogamente e por questões de simetria, 
chega-se a: 
 mkVaE zA ˆ089,8= 
 24. Três densidades de cargas superficiais 
stão posicionadas no espaço livre como se segue: 20 
0 nC/m2 em y = 4 e 40 nC/m2 em z 
tude de E em: 
3, -2); (b) PB(-2, 5, -1); 
(c) PC(0, 0, 0); 
25. Determine E na origem se as seguintes 
istribuições de carga estão presentes no espaço livre: 
e
nC/m2 em x=-3; -3
=2. Determine a magni
 (a) PA(4, 
 
 
 
d
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori CAPÍTULO II - Campo Elétrico 
 19
Uma carga pontual de 12 nC, em P(2,0,6). 
orme de 
Uma densidade superficial de carga uniforme de 
 em
(2,0,6) 
 
 rL=3nC/m 
 
 
 
 
 y 
 
 2 rS =0,2nC/m2
 
 x 
 
• Campo devido à carga puntiforme: 
 
Uma densidade linear de carga unif
3nC/m, em x = -2, y = 3. 
0,2 nC/m2 x = 2. 
 
 Solução: 
 6 
 z 
 
 Q
 
 
 
 
 -2 
 θ 
 ρâ E(0) ? 
 0 3 
rr
rr
rr
QrEQ ′−
′−
′−
= 2
04
)(
πε
 
zx aar ˆ6ˆ2 +=′ 
zyx aaar ˆ0ˆ0ˆ0 ++= 
zx aarr ˆ6ˆ2 −−=′− 
40)6()2( 22 =−+−=′− rr 
zx aarr
ˆ
40
ˆ
40
−−=
′−
rr 62′−
 
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−−
⋅
= −
−
zxQ aarE ˆ40
6ˆ
40
2
40
36
104
1012)(
29
9
π
π
zxQ aarE ˆˆ)( 40
2,16
40
4,5 −−= 
• Campo devido à dens ade de carga 
linear: 
id
ρρπε
ρ
aE LL ˆ2 0
= 
 Observando a figura, escrevemos: 
 ( ) 1332 22 =+−=ρ 
 
13
2cos == ρθ x ; 13
yx asenaa ˆˆcosˆ θθρ −= 
yx aaa ˆ13
3ˆ
13
2ˆ −=ρ 
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎛⋅
= −L aE
2103
9
⎝
−
−
yx â13
3ˆ
1313
36
102
9
π
π
 
3==