cristalografia

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Fragmentos de Cristalografia
Prof. Carlos Bas´ılio Pinheiro
Departamento de F´ısica
Universidade Federal de Minas Gerais
Agosto de 2012
Conteu´do
1 Apresentac¸a˜o 2
2 Fundamentos de Cristalografia 4
2.1 O conceito de cristal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Ce´lula Unita´ria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Tensor Me´trico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.4 Rede rec´ıproca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.5 Mudanc¸as de base nos espac¸os direto e rec´ıproco . . . . . . . . . . . . 10
2.6 Simetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.6.1 Operac¸o˜es de simetria ponto fixo . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.6.2 Operac¸o˜es se simetria com componentes translacionais . . . . 15
2.7 Sistemas cristalinos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.7.1 Sistema tricl´ınico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.7.2 Sistema monocl´ınico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.7.3 Sistema ortorroˆmbico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.7.4 Sistema tetragonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.7.5 Sistema cu´bico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.7.6 Sistema hexagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.7.7 Sistema trigonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.8 As 14 redes de Bravais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.9 Matrizes representando os elementos de simetria cristalogra´ficos . . . 26
3 Grupos de ponto cristalogra´ficos 31
3.1 Introduc¸a˜o a` teoria de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.1.1 Exemplo de grupo c´ıclico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.1.2 Exemplo de construc¸a˜o de grupo . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2 Deduc¸a˜o dos grupos de ponto cristaloga´ficos . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3 Grupos de ponto do sistema ortorroˆmbico . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.4 Grupos de ponto do sistema trigonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.5 Grupos de ponto do sistema tetragonal . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.6 Grupos de ponto do sistema hexagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.7 Grupos de ponto do sistema cu´bico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.8 Grupos de Laue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.9 Os 32 Grupos de Ponto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4 Grupos de espac¸o 41
4.1 Nomenclatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.2 Classificac¸a˜o dos grupos de espac¸o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.3 Tabela internacional de cristalografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5 Cristal-Qu´ımica 49
5.1 Empacotamentos compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.2 Estruturas hcp e ccp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.3 Estruturas cu´bica e bcc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.4 Estruturas intersticiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6 Difrac¸a˜o por Monocristais 57
6.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.2 Espalhamento Thompson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.3 Difrac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.4 Lei de Bragg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.5 Lei de Bragg e as Condic¸o˜es de Laue . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.6 Interpretac¸a˜o de Ewald . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6.7 Difrac¸a˜o por um Cristal Tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.8 O Fator de Estrutura na Cristalografia . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.9 Determinando o grupo de espac¸o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
7 Fator de Deslocamento Anisotro´pico 78
7.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
7.2 Fator de Temperatura - Vibrac¸o˜es Harmoˆnicas . . . . . . . . . . . . . 79
7.2.1 Fator de Temperatura e Func¸a˜o Probabilidade de Densidade . 79
7.2.2 Fator de Temperatura na Ana´lise da Estrutura Cristalina . . . 80
7.3 Fator de Temperatura - Vibrac¸o˜es Anarmoˆnicas . . . . . . . . . . . . 82
7.4 Pseudo Potenciais em Cristais Desordenados . . . . . . . . . . . . . . 83
7.5 O Efeito do Deslocamento Anisotro´pico no Ca´lculo de Distaˆncias . . . 86
Lista de Figuras
2.1 Cristais aperio´dicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Cristais aperio´dicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3 Cristais aperio´dicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.4 Espac¸o rec´ıproco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.5 Representac¸a˜o dos vetores e aˆngulos que definem a ce´lula unuita´ria.
Rede Cristalina indicando diferentes ce´lulas unita´rias primitivas e cen-
tradas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.6 Ce´lulas unita´rias em uma mesma estrutura cristalina bidimensional . 7
2.7 Definic¸a˜o de vetores h do espac¸o rec´ıproco. . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.8 Representac¸a˜o da rotac¸a˜o em torno de um eixo. . . . . . . . . . . . . 14
2.9 Rotac¸o˜es cristalograficamente permitidas. . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.10 Planos de deslizamento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.11 Eixos helicoidais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.12 Relac¸a˜o entre a ce´lula unita´ria trigonal e a ce´lula unita´ria romboe´drica 23
2.13 As 14 redes de Bravais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.1 Grupo de ponto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.1 Formac¸a˜o de grupos de espac¸o simo´rficos e na˜o-simo´rficos. . . . . . . 42
4.2 [Primeira pa´gina da Tabela Internacional de Cristalografia do grupo
Cmm2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.1 Representac¸a˜o mostrando diferentes ”formas”cristalinas. . . . . . . . 49
5.2 Representac¸a˜o mostrando camadas hexagonais e quadradas. . . . . . 50
5.3 Empilhamento de camadas hexagonais. . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.4 Empilhameno compacto hcp e ccp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.5 Ce´lulas unita´rias ccp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.6 Ce´lula unita´ria bcc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.7 Cavidades em estruturas compactas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.8 cavidades da ce´lula unita´ria ccp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.9 cavidades da ce´lula unita´ria bcc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6.1 Esquema do espalhamento Thompson de um ele´tron livre . . . . . . . 58
6.2 Linha de a´tomos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.3 Mo´dulo da func¸a˜o de Interfereˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.4 Mo´dulo da func¸a˜o de Interfereˆncia para 1000 a´tomos espalhadores . . 61
6.5 Diferenc¸a de caminho o´tico entre ondas espalhadas por a´tomos con-
secutivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6.6 Lei de Bragg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.7 Equivaleˆncia entre a Lei de Bragg e as condic¸o˜es de Laue . . . . . . . 65
6.8 Esfera de Ewald . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6.9 Interpretac¸a˜o de Ewald das condic¸o˜es de difrac¸a˜o . . . . . . . . . . . 67
6.10 Difrac¸a˜o tridimensional - aproximac¸o˜es de caminho . . . . . . . . . . 67
6.11 Onda incidindo num elemento de volume
cristalino . . . . . . . . . . 68
6.12 Esfera de Ewald - visa˜o tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.13 Definic¸a˜o dos vetores que posicionam a´tomos esfericamente sime´tricos 71
6.14 Comportamento geral do fator de forma com o aumento do mo´dulo
do vetor h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6.15 Planos do espac¸o rec´ıproco obtidos atrave´s da te´cnica de precessa˜o . . 75
6.16 Reconstruc¸a˜o do plano (0kl) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
7.1 Tensor de deslocamento anisotro´pico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
7.2 Pseudo potenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
7.3 Comportamento de Ueq do a´tomo O1 em func¸a˜o da temperatura . . . 88
Lista de Tabelas
2.1 Elementos de simetria cristalogra´ficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2 Elementos de simetria, redes e sistemas cristalinos, . . . . . . . . . . 24
2.3 Os sistemas cristalinos e suas respectivas redes de Bravais . . . . . . . 24
3.1 Conjunto de direc¸o˜es na˜o equivalentes por atuac¸a˜o de operac¸o˜es de
simetria, para cada sistema cristalino . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2 Elementos de simetria, redes e sistemas cristalinos . . . . . . . . . . . 38
4.1 Grupos de espac¸o simo´rficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.2 Classificac¸a˜o dos grupos de espac¸o segundo suas redes, sistemas e
classes cristalinas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
7.1 Modelos de correc¸a˜o das distaˆncias interatoˆmicas me´dias . . . . . . . 87
1 Apresentac¸a˜o
Estas notas tem como objetivo a apresentac¸a˜o de alguns conceitos ba´sicos utilizados
em cristalografia estrutural. Elas versam provisoriamente sobre : fundamentos de
cristalografia, difrac¸a˜o de raios X, soluc¸a˜o e refinamento estrutural usando te´cnicas
de difrac¸a˜o de raios X de monocristais (pequenas e grandes molculas) e soluc¸a˜o e
refinamento estrutural usando te´cnicas de difrac¸a˜o de raios X de policristais
Bibliografia
- International tables for crystallography: Volume A Space-group sym-
metry. Hahn, T (editor) (2006). Kluwer Academic Publishers.
- International tables for crystallography: Volume F Crystallography
of biological macromolecules. M. G. Rossmann and E. Arnold (2006).
Kluwer Academic Publishers.
- Space Groups For Solid State Scientists. Burns, Gerald - Glazer, Anthony
Michael. Academic Press, Inc., New York, 1978.
- X -ray crystallography. M. J. Buerger (1942). John Wiley and Sons.
- Modern Crystallography Vol I. Vainshtein, Boris K. (1981). Springer-
Verlag.
- Fundamentals of crystallography. C. Giacovazzo, H.L. Monaco, G.
Artioli, D. Viterbo, G. Ferraris, G. Gilli, G. Zanotti, and M. Catti (1992).
International Union of Crystallography - Oxford University Press.
- The Basics of Crystallography and Diffraction. Christopher Hammond
(2000). Oxford Science Publications.
- Crystal Structure Analysis Principles and Practice William Clegg,
Alexander J Blake, Jacqueline M Cole, John S O Evans, Peter Main, Simon
Parsons, and David J Watkin (2009). Oxford University Press.
- Crystal Structure Determination. Werner Massa (2004). Springer-Verlag.
- Crystal Structure Refinement. Christopher Hammond (2000). Oxford
Science Publications.
- Crystal Structure Analysis: A Primer Jenny Pickworth Glusker and
Kenneth N. Trueblood (2010). Oxford Science Publications.
- Crystal Structure Refinement Peter Mu¨ller, Regine Herbst-Irmer, Anthony
Spek, Thomas Schneider and Michael Sawaya (2007). Oxford Science Publi-
cations.
2 Fundamentos de Cristalografia
2.1 O conceito de cristal
A cristalografia e´ uma ramo das cieˆncias exatas que se ocupa do estudo da mate´ria
em escala atoˆmica e tem entre seus objetivos a determinac¸a˜o , a classificac¸a˜o e a
interpretac¸a˜o das estruturas geome´tricas dos so´lidos.
O estado cristalino da mate´ria e´ conhecido e pesquisado desde a antiguidade. No
se´culo XVIII, a morfologia cristalina era explicada pela hipo´tese de que os cristais
seriam constitu´ıdos de blocos elementares, tambe´m chamados de ce´lulas unita´rias,
constitu´ıdos de mole´culas ou grupos de mole´culas, repetidos nas treˆs direc¸o˜es do
espac¸o por distaˆncias maiores que milhares de dimenso˜es moleculares (Hay¨, R.J.
(1822) Trait de minralogie. Second edition, Paris). No entanto, cristais apresentam
defeitos em temperaturas diferentes de zero Kelvin e/ou podem conter impurezas
sem necessariamente perder seu ordenamento. Esta hipo´tese foi confirmada por Max
Von Laue, no in´ıcio do se´culo XX, atrave´s de uma famosa experieˆncia onde foram
encontradas regio˜es de interfereˆncia construtiva no padra˜o de difrac¸a˜o dos raios X
espalhados por um cristal (Laue, Max von (1913). Kritische Bemerkungen zu den
Deutungen der Photoframme von Friedich und Knipping. Physikalische Zeitschrift
14(10), 421423.). Desde enta˜o, prevaleceu a ide´ia de que, a na˜o por defeitos e
imperfeic¸o˜es locais, estruturas cristalinas apresentariam ordem de longo alcance e
simetria translacional como mostrado na Figura 2.1
(a) (b)
Figura 2.1: (a) Representac¸a˜o de um cristal ”normal”constitu´ıdo de blocos elementares repetidos
periodicamente e (b) sistema apresentando uma estrutura cristalina perio´dica; cada bloco elementar
conte´m apenas uma mole´cula.
Um conceito operacional sugere que cristais sa˜o so´lidos homogeˆneos e anisotro´picos
constitu´ıdos microscopicamente por uma repetic¸a˜o ordenada tridimensional de seus
constituintes. A homogeneidade garante que quaisquer propriedades do cristal in-
dependem da posic¸a˜o no seu interior e, devido a` anisotropia, as propriedades f´ısicas
tais como condutividade, elasticidade, velocidade de crescimento etc, sa˜o direcionais.
Embora u´til, o conceito anterior de cristal precisou ser revisto durante os anos
Fundamentos de Cristalografia 5
60 quando foram encontrados compostos apresentando fases denominadas modu-
ladas (Figura 2.2). Nestes fases o conteu´do e/ou localizac¸a˜o dos a´tomos variava
periodicamente de uma ce´lula unita´ria para outra. Assim, em primeira ana´lise,
os cristais modulados apresentavam fases ”sem simetria translacional”(Brouns, E.,
Visser, J. W. & de Wolff, P. M. (1964). Acta Cryst. 17, 614).
(a) (b)
Figura 2.2: (a) Representac¸a˜o de um cristal modulado mostrando a variac¸a˜o perio´dica da posic¸a˜o
dos blocos elementares e (b) cristal apresentando variac¸a˜o perio´dica da posic¸a˜o das mole´culas nos
sucessivos blocos elementares.
Uma nova ruptura ocorreu nos anos 80 quando materiais com ordem de longo alcance
em suas estruturas, pore´m sem ce´lulas unita´rias, foram observados em experimentos
de difrac¸a˜o de ele´trons (D. Shechtman,D., Blech, I.,Gratias, D., & Cahn, J. W.
(1984). Phys Rev. Let., 53, 1951-1953.). Estes materiais, denominados Quasi-
Cristais, apresentam simetrias pentagonal, heptagonal, decagonal, duodecagonal etc,
como mostrado na figura 2.3, ate´ enta˜o consideradas como na˜o cristalogra´ficas.
(a) (b)
Figura 2.3: (a) Representac¸a˜o de um quasi-cristal modulado e (b) exemplo de cristal com
simetria pentagonal.
Deve ser observado ainda que alguns pol´ımeros apresentam ordem bidimensional e
que a maioria das fibras apresentam apenas ordem unidimensional, ao longo do eixo
das fibras. Ale´m disto, alguns materiais orgaˆnicos, em condic¸o˜es termodinaˆmicas
apropriadas, assumem um estado entre o l´ıquido e o so´lido, o qual e´ chamado de
estado mesomo´rfico ou estado estado de cristal l´ıquido. Estes exemplo ilustram que
a periodicidade pode se manifestar em maior ou menor grau em cristais dependendo
de sua natureza qu´ımica e condic¸o˜es termodinaˆmicas.
Assim, tornou-se conveniente definir cristal real, realc¸ando as diferenc¸as para um
cristal ideal perfeitamente perio´dico, como um objeto que apresenta intensidades
pontuais (ma´ximos de interfereˆncia
construtiva) no padra˜o de difrac¸a˜o de raios X
conforme indicado na figura 2.4.
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Fundamentos de Cristalografia 6
Figura 2.4: Exemplo de padra˜o de difrac¸a˜o de um cristal real indicando caracter´ısticas que
podem ser observadas. Em (I) o espalhamento difuso indica uma desordem estrutural, em (III) o
cristal apresenta-se geminado i.e contitu´ıdo de dois domı´ınios macrosco´picos e em (IV) observa-se
uma fase modulada. Todos as figuras apresentadas referem-se ao cristal de hexametileno tetramina
co-cristalizado com a´cido heptadicarbox´ılico - HMT-C7. As temperaturas indicam as mudanc¸as de
fase estruturais do cristal.
Deve ser antecipado que a difrac¸a˜o de raios X e´ a te´cnica correta para investigar
so´lidos (ver ?). Raios X sa˜o ondas eletromagne´ticas de comprimento de onda em
torno de 1 A˚(≈ 10−10m) que sa˜o espalhadas pelos pro´tons e ele´trons que constituem
os a´tomos, mas preferencialmente pelos u´ltimos visto que sa˜o aproximadamente 1000
vezes mais leves que os primeiros. Apenas objetos apresentando ordem de longo al-
cance conseguem fazer com que os ma´ximos de interfereˆncia da radiac¸a˜o espalhada
fiquem concentrados em poucas posic¸o˜es do espao. Ou seja, apenas objetos com
ordem de longo alcance oferecem condic¸o˜es para que os raios X se interfiram cons-
trutivamente em poucos pontos do espac¸o. Quaisquer outros objetos apresentam
figuras de difrac¸a˜o com caractersticas muito distintas destas
2.2 Ce´lula Unita´ria
A descric¸a˜o formal de estrutura de um cristal se baseia fortemente nos conceitos de
ce´lula unita´ria e rede cristalina . Uma rede e´ definida como um conjunto infinito
de pontos no espac¸o, todos com a mesma vizinhanc¸a (objeto homgeˆneo). A rede
cristalina e´ constru´ıda com base na propriedade de invariaˆncia translacional atrave´s
do vetor
Tn = n1a1 + n2a2 + n3a3 (2.1)
onde os ni sa˜o nu´meros inteiros que variam entre −∞ e +∞ e os ai, tambe´m
chamados paraˆmetros de rede, formam o sistema de refereˆncia. A rede cristalina e´
um objeto puramente matema´tico.
Definimos como ce´lula unita´ria, o paralelep´ıpedo formado pelos vetores na˜o coplana-
res ai compreendendo o volume a1 ·(a2×a3) que deslocado por vetores de translac¸a˜o
T, preenche todo o espac¸o. Convencionalmente a ce´lula unita´ria e´ descrita por ve-
tores a1, a2, a3 ou equivalentemente por seus mo´dulos a1, a2, a3 e os aˆngulos entre
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Fundamentos de Cristalografia 7
eles α1,α2,α3 (ou a, b, c, α, β, γ) conforme indicado na Figura 2.5. Se o para-
NP
P
P
P
NP
(a) a,
b,
c,
γ,
β,
α,
α2
α1
α3
a1
a2
a3
(b)
Figura 2.5: (a) Representac¸a˜o dos vetores e aˆngulos que definem a ce´lula unuita´ria. (b) Rede
Cristalina indicando diferentes ce´lulas unita´rias primitivas e centradas. P designa ce´lulas primitivas
e NP ce´lulas na˜o primitivas ou centradas.
lelep´ıpedo contiver somente um ponto da rede ele sera´ chamado de ce´lula unita´ria
primitiva, caso ele contenha dois ou mais pontos ele sera´ chamado de ce´lula unita´ria
na˜o primitiva, mu´ltipla ou centrada. Na figura 2.6 sa˜o mostradas redes cristalinas
bidimensionis e va´rias ce´lulas unita´rias primitivas e na˜o primitivas.
Figura 2.6: Estruturas cristalinas bidimensionais possuindo a mesma rede cristalina. A escolha
da ce´lula unita´ria que define a rede cristalina das estruturas na˜o e´ u´nica.
E´ importante ressaltar que o volume de todas as ce´lulas unita´rias primitivas e´ o
mesmo e que um nu´mero infinito destas ce´lulas pode ser escolhido para representar
toda a rede. A escolha da ce´lula unita´ria na˜o e´ completamente arbitra´ria. Em geral,
ela e´ escolhida em func¸a˜o dos elementos de simetria presentes na rede, ou seja, dada
uma certa rede, escolhe-se como ce´lula unita´ria o paralelep´ıpedo de menor volume
que conserve a simetria da rede como um todo.
Estrutura cristalina e´ o arranjo perio´dico de a´tomos no cristal. Ela pode ser descrita
associando-se a cada ponto da rede cristalina descrito por vetores 2.1 um grupo
de a´tomos, denominados estrutura de base. Assim, Um cristal, objeto f´ısico, e´ o
resultado da colocac¸a˜o da estrutura de base (a´tomos, mole´culas) nos pontos da rede
cristalina.
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2.3 Tensor Me´trico
Os eixos da ce´lula unita´ria definem um sistema de refereˆncia obl´ıquo (figura 2.5) no
qual a norma de um vetor r = x1a1 + x2a2 + x3a3 e´ dada por:
r2 = x21a1 · a1 + x22a2 · a2 + x23a3 · a3 + 2x1x2a1 · a2 + 2x1x3a1 · a3 + 2x2x3a2 · a3
ou
r2 = x21a
2
1 + x
2
2a
2
2 + x
2
3a
2
3 + 2x1x2a1a2cosα3 + 2x1x3a1a3cosα2 + 2x2x3a2a3cosα1.
(2.2)
Matricialmente,
r2 = xtGx (2.3)
onde, x =
 x1x2
x3
, xt e´ a matriz transposta de x e
G =
 a1 · a1 a1 · a2 a1 · a3a2 · a1 a2 · a2 a2 · a3
a3 · a1 a3 · a2 a3 · a3
 (2.4)
e´ conhecido como Tensor me´trico. O tensor me´trico possui informac¸a˜o sobre os
mo´dulos dos vetores ai que definem o sistema de refereˆncia bem como dos aˆngulos
entre eles.
1. O produto vetorial r1 · r2 e´ dado por:
r1 · r2 = x1tGx2 ou
r1 · r2 = [x1y1z1]
 a1 · a1 a1 · a2 a1 · a3a2 · a1 a2 · a2 a2 · a3
a3 · a1 a3 · a2 a3 · a3
 x2y2
z2

2. A distaˆncia d entre dois a´tomos posicionados em (x1y1z1) e (x2y2z2) chamando
∆1 = a1(x1 − x2), ∆2 = a2(y1 − y2), ∆3 = a3(z1 − z2) e´ dada por:
d2 = ∆21 + ∆
2
2 + ∆
2
3 + 2∆1∆2cosα3 + 2∆1∆3cosα2 + 2∆2∆3cosα1
3. O aˆngulo θ entre dois vetores e´ dado por:
cosθ = xtGx/(r1r2).
4. O produto vetorial r2 × r3 e´ dado por:
r2 × r3 = (x2y3 − x3y2)a1 × a2 + (y2z3 − y3z2)a2 × a3 + (z2x3 − z3x2)a3 × a1
5. O produto triplo r1 · r2 × r3 e´ dado por:
r1 · r2 × r3 = V det
 x1 y1 z1x2 y2 z2
x3 y3 z3

Onde V = a1 · a2 × a3 = a2 · a3 × a1 = a3 · a1 × a1
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Fundamentos de Cristalografia 9
2.4 Rede rec´ıproca
Como ja´ mencionado anteriormente o sistema de refereˆncia cristalogra´fico e´ defi-
nido pelos treˆs vetores da ce´lula unita´ria a1, a2, a3 e, em geral, na˜o e´ um sistema
ortonormal. Neste sistema um ponto P qualquer sera´ descrito por:
p = x1a1 + x2a2 + x3a3.
A equac¸a˜o de um plano neste sistema sera´:
x1h1 + x2h2 + x3h3 = 1. (2.5)
Este plano intercepta os eixos do sistema de refereˆncia em a1/h1, a2/h2 e a3/h3 res-
pectivamente, conforme indicado na figura 2.7. Um vetor normal ao plano definido
em 2.5 pode ser calculado atrave´s do produto vetorial de dois vetores
A = [a3/h3 − a1/h1] e B = [a2/h2 − a1/h1], na˜o paralelos e contidos no plano tal
que:
A×B ‖
[
h1(a2 × a3)
(a1a2a3)
+
h2(a3 × a1)
(a1a2a3)
+
h3(a1 × a2)
(a1a2a3)
]
(2.6)
onde ‖ significa paralelo; (a1a2a3) e´ o volume da ce´lula unita´ria. h1 h2 e h3 sa˜o
valores rec´ıprocos dos segmentos correspondentes a`s intercepc¸o˜es do plano 2.5 com
os eixos a1, a2 e a3 em unidades de a1, a2 e a3 respectivamente.
a1
a2
a3
a2/h2
a3/h3
a1/h1
a1
a2
a3
α1
α1
α3
r
s
θ
Figura 2.7: Definic¸a˜o de vetores h do espac¸o rec´ıproco.
Definindo-se a rede rec´ıproca a partir dos vetores a∗1, a
∗
2, a
∗
3 tais que
ai · a∗j = δij =
{
0 se i 6= j
1 se i = j
(2.7)
verifica-se que
a∗i =
aj × ak
(aiajak)
. (2.8)
Substituindo 2.8 em 2.6 temos que
(A×B) ‖ h1a∗1 + h2a∗2 + h3a∗3. (2.9)
Carlos Bas´ılio Pinheiro Fragmentos de Cristalografia
Fundamentos de Cristalografia 10
O conjunto de pontos descritos pelos vetores
h = h1a
∗
1 + h2a
∗
2 + h3a
∗
3 (2.10)
e´ chamado de Rede Rec´ıproca. hi sa˜o nu´meros inteiros entre ±∞ denominados
ı´ndices de Miller e cada ponto descrito pelo vetor h representa um plano cristalino
descrito por 2.5, que intercepta os eixos cristalogra´ficos em 1/h1, 1/h2
e 1/h3.
Chamamos de Espac¸o Rec´ıproco o espac¸o definido pelos vetores a∗1, a
∗
2, a
∗
3 e de
Espac¸o Direto o espac¸o definido pelos vetores a1, a2, a3.
A partir de 2.6, 2.7 e 2.10 verifica-se que h e´ normal ao plano dado por 2.5. Um
vetor unita´rio normal a este plano e´ dado por:
e =
h
h
A distaˆncia d do plano a` origem pode ser calculada pelo produto escalar de e com o
vetor posic¸a˜o p de um ponto qualquer no plano, d = p·e. Calculando explicitamente,
d =
1
h
(x1a1+x2a2+x3a3)·(h1a∗1+h2a∗2+h3a∗3) =
1
h
(x1h1+x2h2+x3h3) =
1
h
(2.11)
Pode ser mostrado que os aˆngulos nos espac¸os rec´ıprocos e diretos sa˜o relacionados
por:
cos(α∗i ) =
cos(αj)cos(αk)− cos(αi)
senαjsenαk
(2.12)
Notac¸a˜o nos espac¸os direto e rec´ıproco
[x y z ] representa um vetor xa1 + ya2 + za3 no espac¸o direto (ou a normal a um
plano do espac¸o rec´ıproco). Por exemplo, [100], [010] e [001] sa˜o os eixos a1,
a2, a3 (ou a, b, c), respectivamente.
(h k l) representa um vetor h1a
∗
1+h2a
∗
2+h3a
∗
3 (ou ha
∗+kb∗+lc∗) no espac¸o rec´ıproco o
qual e´ normal a um plano do cristal. Por exemplo, o vetor do espac¸o rec´ıproco
(200) representa o plano que corta os eixo cristalino a1 no ponto a1/2 e simul-
taneamente e´ paralelo aos eixos a2 e a3.
2.5 Mudanc¸as de base nos espac¸os direto e rec´ıproco
A descric¸a˜o de cristais usando o espac¸o direto ou rec´ıproco e´ de certa forma com-
plementar. Como sera´ visto nos cap´ıtulos a seguir, a utiliza-se o espac¸o rec´ıproco
para descrever eventos relacionados com o processo de difrac¸a˜o , ou de formac¸a˜o de
padro˜es, pela radiac¸a˜o ou neˆutrons apo´s a interac¸a˜o com a mate´ria. Ja´ o espac¸o
direto e´ usado sempre que e´ necessa´rio descrever quantidades relacionadas com as
coordenadas atoˆmicas ou com propriedades delas derivadas.
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Fundamentos de Cristalografia 11
Tendo em vista a definic¸a˜o de espac¸o rec´ıproco dada na equac¸a˜o 2.7 vemos que
existe uma transformac¸a˜o u´nica entre os vetores descritos nos dois espac¸os. Para
demonstrar as regras de transformac¸a˜o entre eles vamos inicialmente calcular a forma
das matrizes que relacionam as bases diretas A (a1, a2, a3) e rec´ıprocas B (b1,b2,b3)
bem como coordenadas X (x1, x2, x3) e ı´ndices de Mı´ler h (H1, h2, h3).
Suponhamos que a matriz R, descreva a mudanc¸a de base A′ = RA , ou de
(a1, a2, a3) para (a
′
1, a
′
2, a
′
3) mostrada a seguir a′1a′2
a
′
3
 =
 R11 R12 R13R21 R22 R23
R31 R32 R33
 a1a2
a3
 (2.13)
Logo, a
′
i =
∑
j Rijaj. A mudanc¸a de base inversa e´ dada por: A = R
−1A’
As componentes do vetor r =
∑
i x
′
ia
′
i na base A sera˜o dadas por: r
′ =
∑
ij x
′
iRijaj.
Enta˜o, na nova base A, as componentes de r sa˜o xj =
∑
iRijx
′
i. Assim se A
′ = RA
a matriz transposta Rt transforma as coordenadas de um vetor descrito na base A′
nas coordenadas do vetor descrito na base A, ou seja, X = RtX ′.
Da mesma forma que descrito anteriormente, podemos dizer que se S transforma
bases no espac¸o rec´ıproco tal que B′ = SB enta˜o h = Sth′.
Deve ser lembrado que existe uma relac¸a˜o de ortogonalidade entre as bases diretas
e rec´ıprocas dada por 2.7 tal que:
r · h =
∑
n
xnhn =
∑
m
x′mh
′
m (2.14)
Assim,
r · h =
∑
ij
∑
kl
(aiRjix
′
j)(bkSlkh
′
l) (2.15)
Como ai · bk = δjk e fazendo j = l enta˜o:
r · h =
∑
ij
(Rjix
′
j)(Sjih
′
j) (2.16)
Rearranjando os termos,
r · h =
∑
ij
RjiSijx
′
jh
′
j (2.17)
Comparando 2.14 e 2.17 temos que RjiSij = 1, e portanto S
t = R−1. Ou seja, a
matriz R−1 que transforma bases no espac¸o direto (A = R−1A′), tambe´m transforma
os ı´ndices de Mı´ler de um vetor do espac¸o rec´ıproco h = Sth′ = R−1h′.
Resumidamente temos:
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Base Coordenadas
Espac¸o direto A
′
= RA X = RtX
′
A = R−1A
′
X
′
= (Rt)−1X
Espac¸o rec´ıproco B
′
= (R−1)tB H = R−1H
′
B = RtB
′
H
′
= RH
2.6 Simetria
Simetria pode ser definida como um propriedade pela qual um objeto mante´m-se
invariante sob algumas transformac¸o˜es no espac¸o de varia´veis que o descrevem. Seja
g uma operac¸a˜o que transforma as coordenadas xi do espac¸o, tal que:
g(x1, x2, ..., xm) = x
′
1, x
′
2, ..., x
′
m ≡ g(x) = x
′
. (2.18)
F pode ser chamado de um objeto sime´trico e g de uma operac¸a˜o de simetria se:
F (x) = F [g(x)] = F (x
′
). (2.19)
Transformac¸o˜es que manteˆm inalteradas as propriedades me´tricas do espac¸o (que
conservam as distaˆncias) sa˜o chamadas isome´tricas. Qualquer operac¸a˜o isome´trica
pode ser reduzida a` combinac¸o˜es de translac¸o˜es , rotac¸o˜es e roto-inverso˜es.
Operac¸o˜es de rotac¸a˜o e roto-inversa˜o deixam pelo menos um ponto do espac¸o in-
variante. Estas operac¸o˜es sa˜o chamadas operac¸o˜es de ponto fixo. Operac¸o˜es
que possuem componentes translacionais deslocam todos os pontos do espac¸o na˜o
existindo, portanto, pontos especiais fixos.
Dois pontos sa˜o ditos simetricamente equivalentes quando sa˜o coincidentes pela
atuac¸a˜o de uma operac¸a˜o de simetria, mantendo-se numa vizinhanc¸a ideˆntica (ho-
mogeneidade). De maneira geral, as transformac¸o˜es de simetria g(x) sa˜o descritas
por equac¸o˜es lineares da seguinte forma:
x
′
1 = R11x1 + R12x2 + R13x3 + t1
x
′
2 = R21x1 + R22x2 + R23x3 + t2
x
′
3 = R31x1 + R32x2 + R33x3 + t3
(2.20)
ou operacionalmente como:
x
′
= Rx + t = {R|t}x (2.21)
onde a matriz R representa operac¸o˜es de ponto fixo e o vetor t representa translac¸o˜es
da rede. O operador {R|t} e´ denominado Operador de Seitz,
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Transformac¸o˜es isome´ricas na˜o mudam o mo´dulo de vetores nem o aˆngulo entre eles,
logo r
′
1 ·r′2 = r1 ·r2 e portanto de acordo com os resultados discutidos anteriormente
temos x
′
1
t
Gx
′
2 = x1
tRtGRx2 = x1
tGx2, de onde conclu´ımos que
G = RtGR ou G = (R−1)
t
GR−1 (2.22)
Assim, penas as matrizes R que satizfazem 2.22 podem descrever elementos de
simetria no sistema de refefreˆncia definido por G. Finalmente, multiplicando a
direita de ambos os lados da equac¸a˜o 2.22 por R ter´ıamos GR = (R−1)tG. Este
resultado implica, entre outros, que os determinantes das matrizes R podem ser
apenas ±1. A
2.6.1 Operac¸o˜es de simetria ponto fixo
Operac¸o˜es de ponto fixo podem ser divididas em dois grupos: operac¸o˜es pro´prias
e impro´prias. As matrizes que representam operac¸o˜es pro´prias possuem o determi-
nante igual a +1 e as que representam operac¸o˜es impro´prias possuem determinante
igual a -1. Operac¸o˜es impro´prias trocam a quiralidade dos objetos. Isto e´, sa˜o
operac¸o˜es de simetria que trocam o universo da ma˜o direita pelo universo da ma˜o
esquerda. 1
De agora em diante todos os s´ımbolos e convenc¸o˜es utilizados para elementos de
simetria, grupos de ponto e grupos de espac¸o seguira˜o a notac¸a˜o da Tabela Inter-
nacional de Cristalografia ou notac¸a˜o Hermann-Mauguin. (International tables for
crystallography: Volume A Space-group symmetry, Hahn, T., 2005).
Rotac¸o˜es
Rotac¸o˜es sa˜o operac¸o˜es de ponto fixo que giram um objeto de um aˆngulo θ em torno
de um eixo qualquer. Num caso particular, a matriz R que descreve a relac¸a˜o entre
as coordenadas do ponto P , em dois sistemas de refereˆncia sendo um deles e´ girado
em torno de um eixo perpendicular ao plano do papel de um aˆngulo θ, conforme
indicado na Figura 2.8, e´
R =

cosθ −senθ 0
senθ cosθ 0
0 0 1
 (2.23)
Todas as rotac¸o˜es sa˜o operac¸o˜es pro´prias e, do ponto de vista cristalogra´fico, as
u´nicas permitidas sa˜o as de θ igual a: ±60o, ±90o, ±120o, ±180o e ±360o (+
indica sentido
anti-hora´rio e − indica hora´rio) 2. Segundo a notac¸a˜o da Tabela
Internacional de Cristalografia, rotac¸o˜es de 2pi/n em torno de um eixo qualquer
1Um objeto e´ dito quiral ou enantiomo´rfico quando na˜o e´ ideˆntico a` sua imagem especular.
Pore´m de maneira mais geral, um objeto quiral e seu enantioˆmero sa˜o relacionados por qualquer
operac¸a˜o de simetria impro´pria.
2exerc´ıcio 1
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Fundamentos de Cristalografia 14
o
a
b
a
b
Figura 2.8: Representac¸a˜o da rotac¸a˜o em torno de um eixo. O ponto P tem coordenadas (x,y)
no sistema ab apo´s ser girado de um aˆngulo θ ocupa a posic¸a˜o descrita pelas coordenadas (x’,y’)
no sistema a
′
b
′
.
sa˜o representadas por n, onde n e´ a ordem da rotac¸a˜o , logo as u´nicas rotac¸o˜es
permitidas sa˜o as de ordem ±1, ±2, ±4 e ±6.
A rotac¸a˜o de ordem 1 (360o) e´ conhecida como Identidade. A figura 2.9 apresenta
esquematicamente as rotac¸o˜es cristalograficamente permitidas em projec¸o˜es bidi-
mensionais.
65(300O)
32 (240O)
43 (270O)
2(180O)
4 (90O)
1(360o)
6 (60O)
3 (120O) 
Figura 2.9: Rotac¸o˜es cristalograficamente permitidas. Os c´ırculos indicam as posic¸o˜es dos objetos
apo´s a atuac¸a˜o da rotac¸a˜o . O sinal + indicam cotas acima do plano do papel. As elipses, triaˆngulos,
quadrados e hexa´gonos representam a ordem (2,3,4 e 6 respectivamente) da roatc¸a˜o .
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Roto-inverso˜es
Para cada posic¸a˜o no espac¸o dada pelas coordenadas (x,y,z), a atuac¸a˜o da operac¸a˜o
de inversa˜o (1¯) leva a` posic¸a˜o (-x,-y,-z)≡(x¯,y¯,z¯). A inversa˜o e´ uma operac¸a˜o de ponto
fixo que troca a quiralidade dos objetos nos quais atua (determinante = -1), sendo
assim, e´ uma operac¸a˜o impro´pria.
Roto-inverso˜es sa˜o operac¸o˜es que podem ser visualizadas como sendo o produto de
uma rotac¸a˜o por uma inversa˜o. Todas as roto-inverso˜es sa˜o operac¸o˜es impro´prias
e co mo no caso das rotac¸o˜es , so´ podem ser de ordem 1,±2,±3,±4 e ±6. Em
geral, as operac¸o˜es de inversa˜o e rotac¸a˜o , separadamente, na˜o sa˜o operac¸o˜es de
simetria do objeto relacionado por uma roto-inversa˜o. O s´ımbolo das roto-inverso˜es
segundo a notac¸a˜o da Tabela Internacional de Cristalografia e´ n, onde n e´ a ordem
da rotac¸a˜o associada. Existe apenas uma excec¸a˜o para a roto-inversa˜o de ordem
2, ela e´ interpretada com sendo a reflexa˜o pelo plano perpendicular a` direc¸a˜o da
rotac¸a˜o . Segundo notac¸a˜o da Tabela Internacional de Cristalografia, o s´ımbolo
da roto-inversa˜o de ordem 2, ou reflexa˜o, e´ m[uwv], onde [uvw] indica uma direc¸a˜o
normal ao plano de reflexa˜o. Ex: a reflexa˜o por um plano perpendicular ao eixo
Oy sera´ representada por m[010] ou my. A figura ?? apresenta esquematicamente
algumas roto-iverso˜es cristalograficamente permitidas.
A representac¸a˜o matricial das operac¸o˜es de simetria muda conforme a escolha do sis-
tema de refereˆncia usado. Pore´m, sempre que referido aos eixos cristalogra´ficos estas
matrizes sera˜o constu´ıdas apenas por nu´meros inteiros (0 e ±1). A lista completa
com as 64 matrizes que representam todas as operac¸o˜es de ponto fixo cristalografi-
camente permitidas pode ser encontrada no apeˆndice 2.9
2.6.2 Operac¸o˜es se simetria com componentes translacionais
Existem dois tipos de translac¸o˜es da rede: primitivas e na˜o primitivas. As translac¸o˜es
primitivas sa˜o definidas em 2.1; As translac¸o˜es na˜o primitivas sa˜o definidas por:
t =
3∑
i=1
miai
ni
,
onde os ni e os mi sa˜o nu´meros inteiros e pelo menos uma raza˜o mi/ni < 1. Alguns
elementos de simetria com componentes translacionais podem ser constru´ıdos pela
combinac¸a˜o de rotac¸o˜es e espelhos com translac¸o˜es na˜o primitivas das redes.
Tomando-se o cristal unidimensional mostrado na Figura 2.10a como exemplo, observa-
se que ao se retirar da rede unidimensional com periodicidade T as mole´culas situ-
adas em 1′, 2, 3′, · · · podemos redefinir a nova rede cristalina mostrada na Figura
2.10b, de periodicidade A=2T. Nesta nova rede, o objeto em 2’ e´ gerado a partir
da atuac¸a˜o de espelho seguido de uma translac¸a˜o na˜o primitiva de A/2. Elementos
de simetria com esta caracter´ıstica sa˜o chamados planos de deslizamento (glide pla-
nes). Formalmente um plano de deslizamento e´ uma operac¸a˜o de simetria composta
pelo produto de uma reflexa˜o por uma translac¸a˜o na˜o-primitiva, perpendicular ao
plano de reflexa˜o. Basicamente existem treˆs tipos de planos de deslizamento: axi-
ais, diagonais e “diamante”. Nos planos axiais a magnitude do vetor translac¸a˜o
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na˜o primitivo e´ metade de um dos paraˆmetros de rede perpendiculares a direc¸a˜o
de reflexa˜o. Na notac¸a˜o internacional estas direc¸o˜es sa˜o representadas por a, b ou
c de acordo com a direc¸a˜o da translac¸a˜o . Nos planos diagonais as translac¸o˜es na˜o
primitivas envolvem duas ou treˆs direc¸o˜es . Ou seja, as translac¸o˜es primitivas sa˜o
do tipo: (a + b)/2; (a + c)/2; (b + c)/2 e no caso de sistemas cu´bicos e tetragonais
(a+ b+ c)/2. Na notac¸a˜o internacional os planos diagonais sa˜o representados por n.
Nos planos diamantes as translac¸o˜es na˜o primitivas sa˜o: (a+b)/4; (a+c)/4; (b+c)/4
e no caso de sistemas cu´bicos e tetragonais (a± b± c)/4.
reflexão perpendicular ao plano do papel
+
translação no plano do papel;
reflexão perpendicular ao plano do papel
+
translação também perpendicular ao plano do papel;
reflexão perpendicular ao plano do papel
+
translação com componentes para lela e perpendicular
ao plano do papel;
reflexão paralela ao plano do papel
+
 translação com componentes segundo as direções das
setas.
mT
1 2 3
1ʼ 2ʼ 3ʼ
a)
a
A=2T
A/2
1 3
2ʼ
b
(a,b, ou c)
(a,b, ou c)
n
n
(a,b, ou c)
d
Figura 2.10: Planos de deslizamento e os s´ımbolos usados pala representa´-los.
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Um construc¸a˜o semelhante a`quela mostrada na Figura 2.10 pode ser usada para
analizar estruturas com translac¸o˜es na˜o primitivas obtidas atrave´s de rotac¸a˜o . Os
elementos de simetria obtidos sa˜o chamados eixos helicoidais (screw axis). Eles sa˜o
constitu´ıdos pelo produto de uma rotac¸a˜o pro´pria, cristalograficamente aceita, com
uma translac¸a˜o de rede na˜o-primitiva paralela ao eixo de rotac¸a˜o conforme indicado
na figura 2.11. Em linguagem operacional temos: nk = {R|t}r = Rr + t. A ordem
na qual as operac¸o˜es sa˜o aplicadas e´ irrelevante.
Figura 2.11: Eixos helicoidais.
Consideremos um eixo helicoidal {R|t} de ordem n. A execuc¸a˜o desta operac¸a˜o
n vezes em um vetor posic¸a˜o r tem como resultado uma rotao de 360◦ mais um a
translac¸a˜o , ao longo daquele eixo, de um nu´mero n inteiro de paraˆmetros de rede (ou
combinac¸o˜es deles) naquela direc¸a˜o , ou seja {R|t}nr = {1|Tn}r = Tn . Vejamos:
{R|t}nr = {R|t}{R|t} · · · {R|t}r
{R|t}nr = {R|t}{R|t} · · · {R|t}(Rr + t)
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Fundamentos de Cristalografia 18
{R|t}2r = (R2r +Rt + t) (2.24)
Como t e´ paralelo ao eixo de rotac¸a˜o , enta˜o Rt = t e finalmente:
{R|t}nr = Rnr + nt = {Rn|nt}r = {1|Tn}r (2.25)
Portanto Tn = nt e como Tn e´ um mu´ltiplo de T logo, nt = mT, onde m e n
sa˜o nu´meros inteiros e m/n ≤ 1. Fazendo n = {1, 2, 3, 4, 6} ) (ordem das rotac¸o˜es
cristalograficamente aceitas), as componentes de t paralelas aos eixos helicoidais so´
podem assumir os seguintes valores:
n = 1⇒ t = {1}
n = 2⇒ t = {1/2, 1}
n = 3⇒ t = {1/3, 2/3, 1}
n = 4⇒ t = {1/4, 2/4, 3/4, 1}
n = 6⇒ t = {1/6, 2/6, 3/6, 4/6, 5/6, 1} (2.26)
Assim, conclui-se que existem 11 eixos helicoidais cristalograficamente permitidos,
que, na notac¸a˜o da Tabela Internacional, sa˜o representados por (nk) onde n e´ a
rotac¸a˜o e k/n = t, i.e 21, 31, 32, 41, 42, 43, 61, 62, 63, 64e65.
A tabela 2.1 indica todos os elementos de simetria cristalogra´ficos permitidos.
Tabela 2.1: Elementos de simetria cristalogra´ficos
Identidade, inversa˜o 1, 1
Rotac¸o˜es 2, 3, 32, 4, 42(≡ 2), 43, 6, 62(≡ 3), 63(≡ 2), 65
Eixos Helicoidais 21, 31, 32, 41, 42(≡ 21), 43, 61, 62(≡ 31), 63(≡ 21), 64(≡ 32), 65
Roto-inverso˜es 2(≡ m), 3, 32, 4, 43, 6, 65
Planos de deslizamento a, b, c, n, d
2.7 Sistemas cristalinos
As diversas combinac¸o˜es dos vetores da base a1, a2,a3 (ou a, b, c e α, β, γ) iguais
ou diferentes entre si levam a` sete tipos distintos de ce´lulas unita´rias ou sete siste-
mas cristalinos. A seguir e´ indicado como os sete sistemas cristalinos podera˜o ser
constru´ıdos a partir da aplicac¸a˜o das va´rias rotac¸o˜es pro´prias e impro´prias sobre os
eixos de uma ce´lula unita´ria primitiva.
Consideremos o efeito da aplicac¸a˜o de uma operac¸a˜o de simetria R num vetor posic¸a˜o
geral r. Este vetor tem suas componentes expressas como frac¸o˜es das dimenso˜es
Carlos Bas´ılio Pinheiro Fragmentos de Cristalografia
Fundamentos de Cristalografia 19
da ce´lula unita´ria. Assim, um ponto dentro da ce´lula unita´ria sera´ descrito por
r=xa1 + ya2 + za3.
As coordenadas fracionais (x,y,z) deste vetor sa˜o conhecidas como paraˆmetros de
posic¸a˜o atoˆmica, ja´ que sa˜o geralmente usados para representar as posic¸o˜es dos
a´tomos na estrutura cristalina. Efetuando a operac¸a˜o Rr, teremos:
r
′
= Rr = x
′
a1 + y
′
a2 + z
′
a3 (2.27)
que em notac¸a˜o matricial sera´ escrito como: x′y′
z
′
 =
 R11 R12 R13R21 R22 R23
R31 R32 R33
 xy
z
 (2.28)
Quando comparamos as componentes dos vetores antes e depois de efetuarmos a
operac¸a˜o R, obtemos relac¸o˜es entre os eixos das ce´lulas unita´rias. Estas restric¸o˜es
adve´m do fato das rotac¸o˜es serem transformac¸o˜es isome´ricas, ou seja, transformac¸o˜es
que deixa inalterado o mo´dulo do vetor r. O fato de r e r
′
possuirem o mesmo mo´dulo
impo˜em restric¸o˜es a` geometria da ce´lula unita´ria.
A seguir sera´ feita uma descric¸a˜o de cada um dos 7 sistemas cristalinos. As matrizes
usadas nas transformac¸o˜es mostradas nesta sec¸a˜o esta˜o indicadas no apeˆndice 2.9.
De acordo com a Tabela Internacional de Cristalografia, convencionaremos que as
direc¸o˜es a1, a2 e a3 isoladamente, sera˜o referidas entre colchetes por exemplo [100],
[010] e etc.. Conjuntos de direc¸o˜es equivalentes sera˜o descritos entre brackets , por
exemplo: < 100 >≡ [100], [010], [001], [100], [010], [001].
2.7.1 Sistema tricl´ınico
Se um sistema possui apenas as operac¸o˜es 1 e 1¯ teremos:
r
′
= {1}r = xa1 + ya2 + za3
r
′′
= {1}r = −xa1 − ya2 − za3. (2.29)
onde 1 =
 1 0 00 1 0
0 0 1
 e 1 =
 1 0 00 1 0
0 0 1
 . Ou seja: r′ = r e r′′ = −r. Em
ambos os casos as coordenadas fracionais (x, y, z) permaneceram relacionadas aos
respectivos eixos. Isto significa que na˜o existe nenhuma relac¸a˜o entre os eixos e
portanto nenhuma restric¸a˜o e´ colocada na geometria da ce´lula unita´ria. As operac¸o˜es
1 e 1¯ definem um sistema que chamamos de tricl´ınico, com geometria dada por:
a1 6= a2 6= a3 e α1 6= α2 6= α3 (2.30)
onde sinal 6= significa na˜o necessariamente igual.
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Fundamentos de Cristalografia 20
2.7.2 Sistema monocl´ınico
Neste sistema cristalino a simetria relevante e´ uma rotac¸a˜o de ordem 2 e/ou uma
reflexa˜o. Consideraremos o eixo de ordem 2 e um espelho ao longo de a3 e analisa-
remos as restric¸o˜es impostas por estas operac¸o˜es de simetria sobre a ce´lula unita´ria.
O efeito da operac¸a˜o 2[001] sera´:
r
′
= {2[001]}r = −xa1 − ya2 + za3 (2.31)
e o da operac¸a˜o m[001] sera´:
r
′
= {m[001]}r = +xa1 + ya2 − za3. (2.32)
A diferenc¸a entre o sinal das componentes segundo a3 e segundo a1 e a2 em ambas
equac¸o˜es , leva a uma condic¸a˜o de perpendicularidade. Isto pode ser verificado
lembrando a definic¸a˜o de simetria, que obriga r
′
= r. Assim,
r = |r · r|1/2 = r′ = |r′ · r′|1/2 (2.33)
ou explicitamente
r = (x2a21 + y
2a22 + z
2a23 + 2xya1 · a2 + 2xza1 · a3 + 2yza2 · a3)1/2
r
′
= (x
′2
a21 + y
′2
a22 + z
′2
a23 + 2x
′
y
′
a1 · a2 − 2x′z′a1 · a3 − 2y′z′a2 · a3)1/2.
(2.34)
Consequ¨entemente a u´nica soluc¸a˜o poss´ıvel para 2.33 e´ fazer com que os produtos
escales a1 · a3 e a2 · a3 se anulem simultaneamente. Isto obriga que cos(α2) =
cos(α1) = 0, ou seja, que, α1 = α2 = pi/2. Resumindo, um sistema cristalino
somente possuira´ elementos de simetria de ordem 2 (espelhos ou rotac¸o˜es de 180◦)
caso o eixo de rotac¸a˜o seja mutuamente perpendicular aos outros dois.
Nenhuma restric¸a˜o e´ imposta a`s direc¸o˜es a1 e a2. Como tambe´m na˜o houve troca de
componentes, nenhuma restric¸a˜o adicional e´ imposta a`s dimenso˜es dos paraˆmetros
de rede. Enta˜o para o sistema monocl´ınico:
a1 6= a2 6= a3 e α1 = α2 = pi/2 (2.35)
2.7.3 Sistema ortorroˆmbico
Consideremos o efeito da atuac¸a˜o de dois eixos de ordem 2 segundo a1 e a2, sobre
um vetor r:
r
′
= {2[100]}r = xa1 − ya2 − za3
r
′′
= {2[010]}r = −xa1 + ya2 − za3 (2.36)
Tomando o produto destas duas operac¸o˜es teremos:
s = {2[100]}{2[010]}r = −xa1 − ya2 + za3 (2.37)
que e´ equivalente a uma rotac¸a˜o 2[001]. Enta˜o, a presenc¸a de dois eixos de ordem 2
implica necessariamente na existeˆncia de um terceiro eixo de ordem 2, perpendicular
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Fundamentos de Cristalografia 21
aos dois primeiros. Um resultado ana´logo e´ obtido considerando-se dois espelhos em
vez de dois eixos 2.
Como ja´ discutido no sistema monocl´ınico, a mudanc¸a de sinal das componentes,
apo´s a atuac¸a˜o de uma operac¸a˜o de simetria, leva a` condic¸a˜o de perpendiculari-
dade. Portanto chegamos a` conclusa˜o que os treˆs eixos no sistema ortorroˆmbico
sa˜o mutualmente ortogonais. Novamente, nenhuma restric¸a˜o adicional e´ imposta a`s
dimenso˜es dos paraˆmetros de rede. Logo, para o sistema ortorroˆmbico:
a1 6= a2 6= a3 e α1 = α2 = α3 = pi/2
Combinac¸o˜es apropriadas de eixo 2 e espelho tambe´m levam ao sistema ortorroˆmbico.
2.7.4 Sistema tetragonal
Neste caso, consideraremos as restric¸o˜es impostas sobre a ce´lula unita´ria pela operac¸a˜o
4[001]. Calculando explicitamente
r
′
= {4[001]}r = −ya1 + xa2 + za3
r
′′
= {4[001]}r′ = −xa1 − ya2 + za3 (2.38)
onde 4[001] =
 0 1 01 0 0
0 0 1
 . Novamente as diferenc¸as entre os sinais mostram que
a1, a2 e a3 sa˜o perpendiculares. Ainda devemos notar que houve uma troca entre
x e y, o que significa que a1 e a2 devem ser iguais. Portanto a operac¸a˜o 4 leva ao
sistema denominado tetragonal, caracterizado por:
a1 = a2 6= a3 α1 = α2 = α3 = pi/2 (2.39)
Resultado semelhante seria obtido se considera´ssemos a operac¸a˜o 4[001] =
 0 1 01 0 0
0 0 1

2.7.5 Sistema cu´bico
E´ o sistema cristalino de mais alta simetria. Um cuidado especial deve ser tomado ao
defin´ı-lo: na˜o e´ suficiente afirmar que todos os eixos sa˜o iguais e que todos os aˆngulos
medem 90o. Devemos enfatizar que a simetria e´ o fator importante na determinac¸a˜o
do sistema cristalino, ou seja, a simetria determina a escolha dos eixos e na˜o o
contra´rio.
Os elementos de simetria que caracterizam o sistema cu´bico sa˜o 4 eixos de ordem
3, segundo as diagonais de um cubo. Esta afirmac¸a˜o pode ser demonstrada pela
atuac¸a˜o de apenas dois eixos de ordem 3 num vetor posic¸a˜o arbitra´rio. Ou seja,
considerando:
r
′
= {3[111]}r = za1 + xa2 + ya3
r
′′
= {32[111]}r = ya1 + za2 + xa3
r
′′′
= {3[111]}r = ya1 − za2 − xa3
r
′′′′
= {32
[111]
}r = −za1 + xa2 − ya3
(2.40)
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Fundamentos de Cristalografia 22
onde 3[111] =
 0 0 11 0 0
0 1 0
 e 32[111] =
 0 1 00 0 1
1 0 0
. As duas primeiras operac¸o˜es
mostradas em 2.40 implicam em que as dimenso˜es de a, b e c devem ser iguais ja´ que
ocorreram trocas de componentes. A trocas de sinais nas duas u´ltimas operac¸o˜es
implicam na perpendicularidade entre os eixos. Assim, em relac¸a˜o aos paraˆmetros
de rede, o sistema cu´bico e´ caracterizado por:
a1 = a2 = a3 α1 = α2 = α3 = pi/2
A atuac¸a˜o de quaisquer outros dois eixos de ordem 3 levariam ao mesmo resultado.
E´ perfeitamente poss´ıvel a existeˆncia de um cristal cu´bico sem nenhum dos treˆs eixos
de ordem 4 mutuamante perpendiculares que, a princ´ıpio, parecem ta˜o evidentes.
2.7.6 Sistema hexagonal
Este sistema apresenta algumas caracter´ısticas que o distingue dos demais e pode
ser caracterizado por um eixo 6 ou um eixo 6¯.
De acordo com os procedimentos adotados nos sistemas anteriores, temos:
r
′
= {6[001]}r = x(a1 + a2)− ya2 + za3
r
′′
= {62[001]}r = xa2 − y(a1 + a2) + za3 (2.41)
onde 6[001] =
 1 1 01 0 0
0 0 1
 e 62[001] =
 0 1 01 1 0
0 0 1
 .
Novamente, a troca das coordenadas x e y indica que a1 e a2 teˆm o mesmo tamanho.
Por outro lado, como no sistema monocl´ınico, o produto escalar das componentes
segundo a1 e a2 antes e depois da transformac¸a˜o devem ser iguais, enta˜o:
xy(a1 · a2) = −xy[(a1 + a2) · a1]. (2.42)
Como a1 = a2, enta˜o cos(α3) = 1/2, logo α3 = 120
o. Tomando os produtos escalares
xz(a1 · a3) = xz[(a1 + a2) · a3]
yz(a2 · a3) = −yz[(a2 · a3)] (2.43)
como na˜o existe nenhuma relac¸a˜o entre o tamanho de a3 e as demais componentes,
encontraremos α1 = α2 = pi/2. Portanto um eixo de rotac¸a˜o de ordem 6 leva ao
sistema hexagonal, definido por:
a1 = a2 6= a3 α1 = α2 = pi/2 e α3 = 2pi/3 (2.44)
Devemos notar que as direc¸o˜es −(a1+a2), a1 e a2 sa˜o equivalentes, pois sa˜o transfor-
madas entre si atrave´s da atuac¸a˜o da operac¸a˜o 6[001]. Outra observac¸a˜o importante
diz respeito a` geometria da ce´lula unita´ria da rede hexagonal. Esta ce´lula na˜o e´ um
prisma de base hexagonal e sim um prisma onde a base e´ um losango perfeito.
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2.7.7 Sistema trigonal
Definimos o sistema trigonal como aquele que possui apenas um eixo 3 ou 3¯. As
restric¸o˜es impostas sobre os paraˆmetros de rede da ce´lula unita´ria pelos elementos
3 ou 3¯, sa˜o as mesmas impostas pelo elemento 6. Assim, para a ce´lula unita´ria
trigonal encontramos:
a1 = a2 6= a3 α1 = α2 = pi/2 e α3 = 2pi/3. (2.45)
E´ comum encontrarmos autores que tratam o sistema trigonal como um caso particu-
lar do sistema hexagonal, uma vez que eles possuem as mesmas relac¸o˜es geome´tricas
na ce´lula unita´ria. O problema pode ser colocado da seguinte forma: existem duas
maneiras de definir sistemas cristalinos, uma usa a simetria do cristal e a outra usa
a simetria da rede. Neste u´ltimo caso, temos a rede hexagonal compreendendo o
sistema hexagonal (eixo de simetria de ordem 6) e o sistema romboe´drico, que possui
um eixo de simetria de ordem 3 mas na˜o possui eixo de simetria de ordem 6. Neste
contexto na˜o existiria o sistema trigonal, pore´m o nu´mero de sistemas cristalinos
continuaria sendo de 7. Utilizando a notac¸a˜o da Tabela Internacional de Crista-
lografia, trataremos o sistema hexagonal e trigonal como dois sistemas cristalinos
distintos, sendo o sistema romboe´drico um caso especial de centragem do sistema
trigonal.
Uma ce´lula unita´ria romboe´drica sera´ obtida adicionando-se pontos em posic¸o˜es
especiais de uma ce´lula unita´ria trigonal, descrita num sistema hexagonal, ate´ que
as seguintes relac¸o˜es sejam satisfeitas:
a1 = a2 = a3 α1 = α2 = α1 6= pi/2 (2.46)
A figura 2.12 mostra a relac¸a˜o entre as ce´lulas unita´rias trigonal e romboe´drica.
a2R
a1R
a1H 
a2H 
a3H 
a3R
2/3 
0 
2/3 2/3 
0 
1/3 1/3 
1/3 1/3 1/3 
0 0,1 0 
1/3 1/3 
2/3 2/3 2/3 
0 0 
2/3 2/3 
a2H 
a1H 
a2R 
a1R 
a3R 
(a) (b) 
Figura 2.12: (a) Relac¸a˜o entre a ce´lula unita´ria trigonal descrita numa rede hexagonal (aiH) e
a ce´lula unita´ria romboe´drica aiR; (b) Projec¸a˜o sobre o plano perpendicular ao eixo de simetria
principal (os nu´meros denotam as cotas na direc¸a˜o a3).
A Tabela 2.2 resume as restric¸o˜es impostas por todos os elementos de simetria sobre
os paraˆmetros de rede, bem como o sistema cristalino definido por tais restric¸o˜es .
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Tabela 2.2: Elementos de simetria, redes e sistemas cristalinos e as restric¸o˜es impostas sobre seus
respectivos paraˆmetros de rede.
Elementos Redes Sistemas Restric¸o˜es nos
de simetria Cristalinas Cristalinos Paraˆmetros de Rede
1 ou 1¯ Tricl´ınica Tricl´ınico nenhuma
2 ou m Monocl´ınica Monocl´ınico α1 = α2 = pi/2
2i e 2i Ortorroˆmbica Ortorroˆmbico α1 = α2 = α3 = pi/2
mi e mj Ortorroˆmbica Ortorroˆmbico α1 = α2 = α3 = pi/2
4 ou 4¯ Tetragonal Tetragonal a1 = a2, α1 = α2 = α3 = pi/2
3 ou 3¯ Hexagonal Trigonal
Eixos hexagonais a1 = a2, α3 = 2pi/3, α1 = α2 = pi/2
Eixos romboe´dricos a1 = a2 = a3, α1 = α2 = α3 6= pi/2
6 ou 6¯ Hexagonal Hexagonal a1 = a2, α3 = 2pi/3, α1 = α2 = pi/2
3<111> Cu´bica Cu´bico a1 = a2 = a3, α1 = α2 = α3 = pi/2
2.8 As 14 redes de Bravais
Como vimos anteriormente, a definic¸a˜o de eixos de refereˆncia de acordo com as
restric¸o˜es impostas por elementos de simetria determinam 6 redes primitivas (P):
tricl´ınica, monocl´ınica, ortorroˆmbica, tetragonal, cu´bica e hexagonal. Obteremos
outras 8 redes, adicionando a cada uma destas 6 redes primitivas, pontos especiais
de centragem sem que sejam alterados os respectivos sistemas cristalinos nem as
restric¸o˜es impostas sobre seus eixos. A adic¸a˜o destes pontos especiais conduzem
a redes centradas do tipo: I (corpo centrada), F (todas as faces centradas), R
(romboe´drica) e A, B ou C (uma face centrada).
Como o sistema cristalino na˜o deve ser alterado, os pontos especiais devem ser
adicionados em posic¸o˜es sime´tricas da rede primitiva. Na tabela 2.3 relacionamos os
7 sistemas cristalinos e as suas compatat´ıveis redes. Denominamos o conjunto destas
14 redes por Redes de Bravais. Discutiremos a seguir, cada tipo de centragem
separadamente.
Usando a convenc¸a˜o das ce´lulas centradas, todas as redes de um dado sistema crista-
Tabela 2.3: Os sistemas cristalinos e suas respectivas redes de Bravais
Sistema Redes de Bravais
Cristalino poss´ıveis
Tricl´ınico P
Monocl´ınico P, B≡A
Ortorroˆmbico P, A ≡ B ≡ C, I, F
Trigonal R
Tetragonal P, I
Hexagonal P
Cu´bico P, I, F
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Fundamentos de Cristalografia 25
lino possuem um mesmo sistema de refereˆncia e todas as ce´luas centradas apresentam
a mesmas simetrias rotacionais encontradas nas ce´luas primitivas de uma dado sis-
tema cristalino. No entanto, deve ser lembrando, que para todas as ce´lulas centradas
e´ sempre poss´ıvel encontrar uma ce´lula unita´ria primitiva contendo apenas um u´nico
ponto da rede. A u´nica desvantagem desta ce´lula menor (que obviamente tambe´m
e´ uma ce´lula que descreve a simetria translacional do cristal) e´ que ela na˜o mostra
de uma maneira clara a simetria rotacional completa do sistema cristalino.
1. Rede de Corpo Centrado (I)
Nesta centragem um ponto especial deve ser colocado na posic¸a˜o determinada
pelo vetor (a1 + a2 + a3)/2, isto e´, no centro da ce´lula unita´ria. Enta˜o esta
ce´lula contera´ dois pontos da rede nas posic¸o˜es (0,0,0) e (1/2,1/2,1/2).
2. Rede de Faces Centradas (F)
Nesta rede, treˆs pontos sa˜o adicionados a` ce´lula primitiva, cada um deles
ocupando o centro de uma face. Enta˜o a ce´lula unita´ria contera´ quatro pontos
da rede nas posic¸o˜es (0,0,0),(1/2,0,1/2),(1/2,1/2,0)
e (0,1/2,1/2).
3. Rede de Face Centrada (A, B ou C)
A ce´lula unita´ria conte´m dois pontos da rede: a centrada do tipo A posui
pontos em (0,0,0) e (0,1/2,1/2); a centrada do tipo B possui pontos em (0,0,0)
e (1/2,0,1/2); a centrada tipo C possui pontos em (0,0,0) e (1/2,1/2,0).
4. Rede Romboe´drica (R)
Uma ce´lula unita´ria trigonal pode ser centrada de uma maneira especial dando
origem a` ce´lula romboe´drica. Existem duas possibilidades de centragem: pon-
tos em ±(2/3,1/3,1/3) e pontos em ±(1/3,2/3,1/3). A rede romboe´drica
pode ser descita em relac¸a˜o aos eixos romboe´dricos, resultando em uma ce´lula
unita´ria contendo um ponto da rede, ou pode ser descrita em relac¸a˜o aos eixos
hexagonais, resultando numa ce´lula contendo treˆs pontos da rede.
Na figura 2.13 esta˜o esquematizadas todas as 14 redes de Bravais.
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P
P
R
P I
P F I
P C
P A=B=C I F
Triclínico Monoclínico
Tetragonal Hexagonal
Cúbico
Ortorrômbico
Romboédrio
Figura 2.13: As 14 redes de Bravais.
2.9 Matrizes representando os elementos de simetria crista-
logra´ficos
Direc¸a˜o [000]
1(E)
 1 0 00 1 0
0 0 1
 1(i)
 1 0 00 1 0
0 0 1

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Direc¸a˜o [100]
2(C2)
 1 0 00 1 0
0 0 1
 2 ≡ m(σ)
 1 0 00 1 0
0 0 1

2hex(C2)
 1 1 00 1 0
0 0 1
 2 ≡ mhex(σ)
 1 1 00 1 0
0 0 1

4(C4)
 1 0 00 0 1
0 1 0
 4(S34)
 1 0 00 0 1
0 1 0

43(C34)
 1 0 00 0 1
0 1 0
 43(S4)
 1 0 00 0 1
0 1 0

42(C24) = 2(C2) 4
2
(S24) = 2(C2)
Direc¸a˜o [010]
2(C2)
 1 0 00 1 0
0 0 1
 2 ≡ m(σ)
 1 0 00 1 0
0 0 1

2hex(C2)
 1 0 01 1 0
0 0 1
 2hex ≡ m(σ)
 1 0 01 1 0
0 0 1

4(C4)
 0 0 10 1 0
1 0 0
 4(S34)
 0 0 10 1 0
1 0 0

43(C34)
 0 0 10 1 0
1 0 0
 43(S4)
 0 0 10 1 0
1 0 0

42(C24) = 2(C2) 4
2
(S24) = 2(C2)
Direc¸a˜o [001]
2(C2)
 1 0 00 1 0
0 0 1
 2 ≡ m(σ)
 1 0 00 1 0
0 0 1

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Fundamentos de Cristalografia 28
3hex(C3)
 1 1 01 1 0
0 0 1
 3hex(S56)
 0 1 01 1 0
0 0 1

3hex2(C23)
 1 1 01 0 0
0 0 1
 35hex(S6)
 1 1 01 0 0
0 0 1

4(C4)
 0 1 01 0 0
0 0 1
 4(S34)
 0 1 01 0 0
0 0 1

43(C34)
 0 1 01 0 0
0 0 1
 43(S4)
 0 1 01 0 0
0 0 1

6hex(C6)
 1 1 01 0 0
0 0 1
 6hex(S53)
 1 1 01 0 0
0 0 1

65hex(C
5
6)
 0 1 01 1 0
0 0 1
 65hex(S3)
 0 1 01 1 0
0 0 1

42(C24) = 2(C2) 4
2
(S24) = 2(C2)
62hex(C
2
6) = 3(C3) 6
2
hex(S
4
3) = 3(C3)
6hex3(C36) = 2(C2) 6hex(S
3
3) = m(σ)
6hex4(C46) = 3
2(C23) 6
4
hex(S
2
3) = 3
2(C23)
3
2
hex(S
4
6) = 3
2(C23) 3
3
hex(S
3
6) = 1(i)
3
4
hex(S
2
6) = 3(C3)
Direc¸a˜o [110]
2(C2)
 0 1 01 0 0
0 0 1
 2 ≡ m(σ)
 0 1 01 0 0
0 0 1

Direc¸a˜o [101]
2(C2)
 0 0 10 1 0
1 0 0
 2 ≡ m(σ)
 0 0 10 1 0
1 0 0

Carlos Bas´ılio Pinheiro Fragmentos de Cristalografia
Fundamentos de Cristalografia 29
Direc¸a˜o [011]
2(C2)
 1 0 00 0 1
0 1 0
 2 ≡ m(σ)
 1 0 00 0 1
0 1 0

Direc¸a˜o [101]
2(C2)
 0 0 10 1 0
1 0 0
 2 ≡ m(σ)
 0 0 10 1 0
1 0 0

Direc¸a˜o [011]
2(C2)
 1 0 00 0 1
0 1 0
 2 ≡ m(σ)
 1 0 00 0 1
0 1 0

Direc¸a˜o [111]
3(C3)
 0 0 11 0 0
0 1 0
 3(S56)
 0 0 11 0 0
0 1 0

32(C23)
 0 1 00 0 1
1 0 0
 35(S6)
 0 1 00 0 1
1 0 0

3
2
(S46) = 3
2(C23) 33
(S36) = 1(i)
3
4
(S26) = 3(C3)
Direc¸a˜o [111]
3(C3)
 0 1 00 0 1
1 0 0
 3(S56)
 0 1 00 0 1
1 0 0

32(C23)
 0 0 11 0 0
0 1 0
 35(S6)
 0 0 11 0 0
0 1 0

32(S46) = 3
2(C23)
3
3
(S36) = 1(i)
3
4
(S26) = 3(C3)
Carlos Bas´ılio Pinheiro Fragmentos de Cristalografia
Fundamentos de Cristalografia 30
Direc¸a˜o [111]
3(C3)
 0 1 00 0 1
1 0 0
 3(S56)
 0 1 00 0 1
1 0 0

32(C23)
 0 0 11 0 0
0 1 0
 35(S6)
 0 0 11 0 0
0 1 0

3
2
(S46) = 3
2(C23) 3
3
(S36) = 1(i)
3
4
(S26) = 3(C3)
Direc¸a˜o [111]
3(C3)
 0 1 00 0 1
1 0 0
 3(S56)
 0 1 00 0 1
1 0 0

32(C23)
 0 0 11 0 0
0 1 0
 35(S6)
 0 0 11 0 0
0 1 0

3
2
(S46) = 3
2(C23) 3
3
(S36) = 1(i)
3
4
(S26) = 3(C3)
Direc¸a˜o [210]
2hex(C2)
 1 0 01 1 0
0 0 1
 2 ≡ m(σ)
 1 0 01 1 1
0 0 1

Direc¸a˜o [120]
2hex(C2)
 1 1 00 1 0
0 0 1
 2 ≡ m(σ)
 1 1 00 1 0
0 0 1

Carlos Bas´ılio Pinheiro Fragmentos de Cristalografia
3 Grupos de ponto cristalogra´ficos
3.1 Introduc¸a˜o a` teoria de grupos
Seja G um conjunto de g elementos R1,R2,...Rg. Este conjunto forma um grupo se
os seguintes axiomas forem satisfeitas:
1 Axioma da Clausura
o produto de dois elementos de um grupo tambe´m deve ser um elemento do
grupo
RiRj = Rk{Rk ∈ G};
2 Axioma da Associatividade
a multiplicac¸a˜o de dois elementos do grupo deve ser associativa
(RiRj)Rk = Ri(RjRk);
3 Axioma do Elemento Identidade
o grupo deve possuir um elemento de identidade tal que
ERi = Ri;
4 Axioma do Elemento Inverso
para cada elemento Ri do grupo deve existir um elemento ineverso, tal que
RiR
1
i = R
1
iRi = E.
O grupo G = {R1, R2, ..., Rg} tambe´m pode ser definido pela sua tabela de multi-
plicac¸a˜o sem que haja repetic¸o˜es dos elementos nas linhas ou nas colunas. Assu-
mindo a validade dos axiomas anunciados anteriormente, um determinado elemento
Rk do grupo somente aparecera´ na tabela de multiplicac¸a˜o uma u´nica vez.
R1 R2 R3 · · · Rg
R1 R1R1 R2R1 R3R1 · · · RgR1
R2 R1R2 R2R2 R3R2 · · · RgR2
R3 R1R3 R2R3 R3R3 · · · RgR3
...
...
...
...
...
...
Rg R1Rg R2Rg R3Rg · · · RgRg
Elementos conjugados : dois elementos Ri e Rj sa˜o conjugados se Ri = g
−1Rjg
ou Rj = gRjg
−1 onde g ∈ G . Ou seja, Ri e Rj sa˜o conjugados se esta˜o
relacionados por uma relac¸a˜o de similaridade.
Grupos de ponto cristalogra´ficos 32
Classe: todos os elementos gi de um grupo G, conjugados por um mesmo gj
sa˜o agrupados numa classe. Os elementos de uma classe possuem a mesma
natureza f´ısica; como rotac¸o˜es de uma mesma ordem atuando sobre eixos dis-
tintos.
Ordem do Grupo: e´ o nu´mero de elementos do um grupo. Ex.: O grupo G
acima de ordem g.
Sub-grupo: se um sub-conjunto H contendo h elementos de G satisfaz, ele
mesmo, as condic¸o˜es para ser um grupo enta˜o este sub-conjunto e´ dito ser um
sub-grupo H do grupo G.
Grupo Abeliano: um grupo e´ dito abeliano se RiRj = RjRi∀i, j ou seja, quando
o produto (operac¸a˜o que na˜o e´ necessariamente a operac¸a˜o alge´brica produto)
de dois elementos do grupo comuta. Neste caso a tabela de multiplicac¸a˜o do
grupo sera´ sime´trica.
Grupo c´ıclico: um grupo e´ dito c´ıclico quando os elementos do grupo sa˜o gera-
dos a partir de um elemento R com suas poteˆncias sucessivas G = {R1, R2, ..., Rn =
E}.
Grupo isomo´rfico: possuem a mesma tabela de multiplicac¸a˜o . Ou seja. dados
G = {g1, g2, ..., gn} e H = {h1, h2, ..., hg}, G e H sa˜o isomo´rficos se gi↔hi.
Grupo homomo´rfico: Dados G = {g1, g2, ..., gn} e H = {h1, h2, ..., hg}, G e H
sa˜o homomo´rficos se gigjgk↔hi.
3.1.1 Exemplo de grupo c´ıclico
O grupo 6 = {61, 62, 63, 64, 65, 66} ≡ {6, 3, 2, 32, 65, 1}, formado por rotac¸o˜es suces-
sivas de ordem 6 (rotac¸o˜es de 60o) em torno de uma direc¸a˜o qualquer. Este grupo
ale´m de c´ıclico e´ Abelino j´’a que o produto de dois elementos de simetria comuta ou
seja, 6i6j = 6j6i. A tabela de multiplicac¸a˜o deste grupo
sera´:
61 62 63 64 65 66
61 62 63 64 65 66 61
62 63 64 65 66 61 62
63 64 65 66 61 62 63
64 65 66 61 62 63 64
65 66 61 62 63 64 65
66 61 62 63 64 65 66
Ou
3.1.2 Exemplo de construc¸a˜o de grupo
O conjunto de elementos X = {1, 3, 32, 2a, 2b, 2(−a−b)}, (rotac¸o˜es de 120o segundo
um eixo perpendicular ao plano do papel e de 60o paralelas ao plano do papel)
Carlos Bas´ılio Pinheiro Fragmentos de Cristalografia
Grupos de ponto cristalogra´ficos 33
1 6 3 2 32 65
1 1 6 3 2 32 65
6 6 3 2 32 65 1
3 3 2 32 65 1 6
2 2 32 65 1 6 3
32 32 65 1 6 3 2
65 65 1 6 3 2 32
representa as operac¸o˜es de simetria que deixam invariante um triaˆngulo equila´tero.
Os ı´ndices a, b e −(a+ b) representam as direc¸o˜es dos ve´rtices do triaˆngulo levando
em conta um sistema de refereˆncia indicado na Figura 3.1.
a
b
-a-b
Figura 3.1: Objeto invariante pela atuac¸a˜o dos elementos de simetria do grupo X =
{1, 3, 32, 2a, 2b, 2(−a−b)}, .
A matriz de multiplicac¸a˜o deste grupo e´ dada por:
1 3 32 2a 2b 2(−a−b)
1 1 3 32 2a 2b 2(−a−b)
3 3 32 1 2b 2(−a−b) 2b
32 32 1 3 2(−a−b) 2a 2a
2a 2a 2(−a−b) 2b 1 32 3
2b 2b 2a 2(−a−b) 3 1 32
2(−a−b) 2(−a−b) 2b 2a 32 3 1
Logo, como os elementos nas linhas e nas colunas da matriz de multiplicac¸a˜o de X
na˜o se repetem, X e´ de fato um grupo. Repare que os elementos X ′ = {1, 3, 32} for-
mam um subgrupo de X de ordem 3. Os elementos (3, 32) bem como (2a, 2b, 2(−a−b))
formam classes.
3.2 Deduc¸a˜o dos grupos de ponto cristaloga´ficos
O conjunto dos elementos de simetria que descrevem um objeto definem o que deno-
minamos Grupos de Ponto. Usamos esta terminologia por se tratarem os grupos
Carlos Bas´ılio Pinheiro Fragmentos de Cristalografia
Grupos de ponto cristalogra´ficos 34
de ponto, de grupos no sentido matema´tico da definic¸a˜o 3.2. A partir desta sec¸a˜o o
estudo de grupos sera´ restrito aos grupos de ponto cristalogra´ficos, ou seja, conside-
raremos apenas objetos descritos por eixos de rotac¸a˜o de ordem 1,2,3,4 e 6.
Na sec¸a˜o 2.7, aplicamos uma a uma as operac¸o˜es de simetria de ponto fixo sobre um
sistema de eixos qualquer e constru´ımos os 7 sistemas cristalinos. O me´todo utilizado
na determinac¸a˜o dos 32 grupos de ponto cristalogra´ficos consiste em combinar ao
elemento que define o sistema cristalino elementos de simetria de ordem mais baixa
sem que sejam impostas novas restric¸o˜es nos paraˆmetros de rede das ce´lula uniata´rias
ja´ definidas. Em seguida sa˜o considerados os axiomas de grupo para encontrar os
demais elementos pertencentes ao grupo.
Na nomenclatura internacional, os s´ımbolos utilizados para os grupos de ponto se-
guem os seguintes crite´rios:
1. grupos de ponto rotacionais, compostos por atuac¸o˜es sucessivas de uma mesma
rotac¸a˜o de ordem n, sa˜o representados unicamente pelo s´ımbolo do elemento
de simetria gerador do grupo. Assim os grupos rotacionais podem ser: 1 =
{1}, 2 = {1, 2}, 2 = {1, 3, 32}, 4 = {4, 2, 43, 1} ≡ {41, 42, 43, 44} e 6 =
{6, 3, 2, 32, 65, 1} ≡ {61, 62, 63, 64, 65, 66}
2. nos demais grupos, a posic¸a˜o que cada elemento de simetria ocupa no s´ımbolo
do grupo de ponto, esta´ relacionada a` uma direc¸a˜o de atuac¸a˜o . Esta, por sua
vez e´ escolhida entre as direc¸o˜es na˜o equivalentes por atuac¸a˜o de operac¸o˜es
de simetria. As direc¸o˜es na˜o equivalentes para cada sistema cristalino, de
acordo com a convenc¸a˜o da Tabela Internacional de Cristalografia, esta˜o in-
dicadas na tabela 3.1. Ex: grupo 222 = {1, 2x, 2y, 2z} e o grupo 32 =
{1, 3z, 32z, 2x, 2y, 2(−x−y)}. Os ı´ndices nos elementos determinam a direc¸a˜o dos
eixos de rotac¸a˜o .
3. o s´ımbolo n/m, indica que a direc¸a˜o do eixo de rotac¸a˜o n e da normal ao
espelho m sa˜o coincidentes. Ex: no grupo 2/m = {1, 2z,mz, 1} o eixo de
ordem 2 e o espelho m esta˜o na mesma direc¸a˜o - no caso do espelho dizemos
que ele e´ um espelho segundo z, ou seja no plano perpendicular ao eixo z.
Como vimos na sec¸a˜o 2.7.1, no sistema tricl´ınico na˜o existe nenhuma restric¸a˜o nos
paraˆmetros de rede. Portanto a combinac¸a˜o de identidade e inversa˜o com qualquer
outro elemento de simetria implicaria numa mudanc¸a de sistema. Ou seja, os u´nicos
grupos permitidos no sistema tricl´ınico sa˜o 1 = {1} e 1 = {1, 1}
Qualquer tentativa de se adicionar outro elemento de simetria de ordem maior que
2 no sistema monocl´ınico levaria a` mudanc¸a das restric¸o˜es impostas sobre os eixos.
Ale´m disto como mostrado na sec¸a˜o , um objeto descrito por de dois eixos de ordem
2 perpendiculares entre si, possui necessariamente num terceiro eixo de ordem 2
perpendicular aos dois primeiros. Ou seja, se adicionarmos mais um eixo de ordem 2
ao sistema monocl´ınico, obteremos as restric¸o˜es pertinentes ao sistema ortorroˆmbico.
Como a inversa˜o na˜o obriga nenhuma mudanc¸a das restric¸o˜es impostas sobre os
eixos de um sistema de refereˆncia, este elemento de simetria pode estar presente em
grupos do sistema monocl´ınico. Assim, os grupos de ponto do sistema monocl´ınico
sa˜o: 2 = {1, 2}, m = {1,m}, 2/m = {1, 2z,mz, 1}. Note que os produto dos
elementos 12 = m e que o produto 1m = 2.
Carlos Bas´ılio Pinheiro Fragmentos de Cristalografia
Grupos de ponto cristalogra´ficos 35
Tabela 3.1: Conjunto de direc¸o˜es na˜o equivalentes por atuac¸a˜o de operac¸o˜es de simetria, para
cada sistema cristalino
Sistema Cristalino Direc¸o˜es na˜o equivalentes
Primeira Segunda Terceira
Tricl´ınico [100] [010] [001]
Monocl´ınico [100] [010] [001]
Ortorroˆmbico [100] [010] [001]
Tetragonal [001] [100] [110]
[010] [1¯10]
Hexagonal [001] [100] [11¯0]
[010] [120]
[1¯1¯0] [2¯1¯0]
Trigonal [001] [100]
Eixos hexagonais [010]
[1¯1¯0]
Trigonal [111] [11¯0]
Eixos Romboe´dricos [011¯]
[1¯01¯]
Cu´bico [100] [111] [11¯0]
[010] [11¯1¯] [011¯]
[001] [1¯11¯] [1¯01]
[1¯1¯1] [110]
[011]
[101]
3.3 Grupos de ponto do sistema ortorroˆmbico
O sistema ortorroˆmbico pode ser obtido das restric¸o˜es impostas sobre os paraˆmetros
de rede por dois espelhos perpendiculares. Consideremos
m[100] =
 1 0 00 1 0
0 0 1
 e m[010] =
 1 0 00 1 0
0 0 1
 .
Enta˜o de acordo com os axiomas de grupo, se o elemento R estiver presente num
grupo, o elemento R1 tal que {RR1} = 1 (elemento unita´rio) tambe´m estara´. Como
pode ser facilmente constatado, {m[100]m[100]} = {m[010]m[010]} = 1. Ainda, se os
elementos R e S estiverem presentes no grupo o elemento G = {RS} tambe´m estara´.
Das matrizes m[100] e m[010] vemos que G = 2[001]:
{m[100]m[010]} =
 1 0 00 1 0
0 0 1
 1 0 00 1 0
0 0 1
 =
 1 0 00 1 0
0 0 1
 ≡ 2[001].
Carlos Bas´ılio Pinheiro Fragmentos de Cristalografia
Grupos de ponto cristalogra´ficos 36
De acordo com a tabela 2.3 e com com os s´ımbolos adotados para a representac¸a˜o
de cada elemento, o grupo obtido acima e´ o mm2, que pode ser descrito em func¸a˜o
de seus elementos por:
mm2 =
{
1,m[100],m[010], 2[001]
}
Como visto na sec¸a˜o 2.3.3 e de acordo com o me´todo acima, se o sistema or-
torroˆmbico for descrito por dois eixos de ordem 2, contruiremos o grupo 222 =
{1, 2[100], 2[010], 2[001]}.
A estes grupos podemos adicionar o elemento de simetria inversa˜o ja´ que este na˜o
impo˜em mudanc¸a das restric¸o˜es impostas sobre os eixos de um sistema de refereˆncia.
O grupo de ponto gerado seria mmm = {1,m[100],m[010],m[001], 2[100], 2[010], 2[001], 1}.
Aqui usamos os axiomas de grupo para encontrar todos os elementos do grupo.
3.4 Grupos de ponto do sistema trigonal
Como vimos na sec¸a˜o 2.3.6, o principal elemento de simetria deste sistema e´ um eixo
de rotac¸a˜o de ordem 3. Podemos tentar adicionar neste sistema eixos de ordem 2
e/ou espelhos m. Um eixo 2[001] ou um espelho m[001] combinado com o eixo 3[001],
resultaria na existeˆncia de um eixo 6[001], que e´ caracter´ıstico do sistema hexagonal.
Pore´m eixos 2[100], 2[010] e 2[110] (e
espelhos nas mesmas direc¸o˜es ) sa˜o aceita´veis,
pois:
{2[100]}(a1 + a2) =
 1 1 00 1 0
0 0 1
 11
0
 =
 01
0
 .
Ou seja, rotac¸o˜es de ordem 2 segundo [100], [010] e [110] apenas transformam
estas direc¸o˜es entre si, o que na˜o traz problema pois estas direc¸o˜es ja´ sa˜o equi-
valentes devido ao elemento 3[001]. Quaisquer outras tentativas de acre´scimo de
elementos de simetria no sistema trigonal na˜o sera˜o bem sucedidas. Portanto os
dois grupos adicionais no sistema trigonal sa˜o: 32 = {1, 3z, 32z, 2x, 2y, 2(−x−y)} e
3m = {1, 3z, 32z,mx,my,m(−x−y)}.
A estes grupos podemos adicionar o elemento de simetria inversa˜o ja´ que este na˜o
impo˜em mudanc¸a das restric¸o˜es impostas sobre os eixos de um sistema de refereˆncia.
O grupo de ponto gerado seria 3m = {1, 3, 3−1, 2x, 2y, 2xy, 1, 3, 3,mx,my,mz}. Aqui
usamos os axiomas de grupo para encontrar todos os elementos do grupo.
3.5 Grupos de ponto do sistema tetragonal
O principal elemento de simetria destes grupos e´ um eixo de rotac¸a˜o de ordem 4,
que e´ convencionalmente referido a` direc¸a˜o [001]. Na˜o e´ poss´ıvel adicionar neste sis-
tema, eixos de rotac¸a˜o de ordem 3, pois tais elementos implicariam em treˆs direc¸o˜es
equivalentes a 120o, num dado plano. Obviamente esta propriedade na˜o e´ verificada
no sistema tetragonal. Se num sistema temos um eixo 4[001], necessariamente tere-
mos um eixo de ordem 2[001]. E´ perfeitamente poss´ıvel adicionar um eixo 2[100] ou
Carlos Bas´ılio Pinheiro Fragmentos de Cristalografia
Grupos de ponto cristalogra´ficos 37
um espelho m[100], pois todos os aˆngulos do sistema sa˜o de 90
o. Para satisfazer as
condic¸o˜es de grupo, o acre´scimo do eixo 2[100] implica na existeˆncia de elementos de
simetria que sejam os produtos {2[100]4[001]} e {4[001]2[100]}. Logo,
{2[100]4[001]} =
 1 0 00 1 0
0 0 1
 0 1 01 0 0
0 0 1
 =
 0 1 01 0 0
0 0 1
 ≡ 2[110]
e
{4[001]2[100]} =
 0 1 01 0 0
0 0 1
 1 0 00 1 0
0 0 1
 =
 0 1 01 0 0
0 0 1
 ≡ 2[110].
Portanto, temos como grupo resultante o 422. Resultados semelhantes sa˜o obtidos
quando da inclusa˜o do espelho m[100], e o grupo resultante e´ o 4mm.
Outra possibilidade seria combinarmos neste sistema, o eixo 4¯[001] com o eixo 2[100],
o que, de maneira semelhante ao procedimento anterior, implicaria na existeˆncia do
elemento m[110], resultando no grupo 4¯2m (combinar o 4¯[001] com um espelho m[100]
na˜o levaria a um novo grupo, pois este seria semelhante ao 4¯2m com uma mudanc¸a
apropriada de eixos).
3.6 Grupos de ponto do sistema hexagonal
Os principais elementos de simetria neste sistema sa˜o eixos de rotac¸a˜o de ordem 6
ou 6¯, que sa˜o convencionalmente referidos a` direc¸a˜o [001]. A existeˆncia do eixo 6[001]
implica necessariamente na existeˆncia de eixos 2[001] e 3[001]. Podem ser adicionados
a este sistema, de forma semelhante aos anteriores, eixos 2[100] (ou [010] ou [110]) e
espelhos m[100] (ou [010] ou [110]); enta˜o:
{2[100]6[001]} =
 1 1 00 1 0
0 0 1
 1 1 01 0 0
0 0 1
 =
 0 1 01 0 0
0 0 1
 ≡ 2[110]
resultando no grupo 622. Da mesma forma:
{m[100]6[001]} =
 1 1 00 1 0
0 0 1
 1 1 01 0 0
0 0 1
 =
 0 1 01 0 0
0 0 1
 ≡ m[110]
resultando no grupo 6mm.
Se trocamos o eixo 6[001] pelo 6¯[001] e efetuarmos o procedimento anterior, obteremos
apenas o grupo 6¯2m, pois ele e´ equivalente ao grupo 6¯m2 com a mudanc¸a apropriada
de eixos .
3.7 Grupos de ponto do sistema cu´bico
Os principais elementos deste sistema sa˜o a famı´lia de eixos 3<111>. Nenhuma nova
restric¸a˜o sera´ imposta se combinarmos com estes elementos eixos de rotac¸a˜o 4<100>
Carlos Bas´ılio Pinheiro Fragmentos de Cristalografia
Grupos de ponto cristalogra´ficos 38
ou 4¯<100>. Nestes casos, as condic¸o˜es de grupo sera˜o satisfeitas por elementos 2<100>
e m<100>, respectivamente. Os grupos resultantes destas combinac¸o˜es sera˜o: o 432 e
o 4¯3m. Tambe´m e´ poss´ıvel combinar os elementos 3<111> apenas com os elementos
2<100> ou m<100>, desta forma obte´m-se os grupos: 23 e m3. O grupo m3, segundo
a Tabela Internacional, e´ reescrito como m3¯.
Acrescentando aos grupos de ponto relacionados nas sec¸o˜es anteriores o elemento
inversa˜o, obteremos todos os grupos de ponto cristalogra´ficos poss´ıveis. Quaisquer
outras combinac¸o˜es de elementos de simetria ou sera˜o redefinic¸o˜es dos 32 grupos
existentes ou na˜o sera˜o permitidas.
3.8 Grupos de Laue
Sabe-se que o espectro de difrac¸a˜o de Raios-X e´ centrossime´trico, independentemente
do elemento 1¯ pertencer ou na˜o ao grupo de ponto. Portanto podem ser distintos,
sem analisar as intensidades dos pontos no espectro de difrac¸a˜o , apenas 11 grupos
de ponto denominados Grupos de Laue. A tabela 2.5 mostra a relac¸a˜o entre os
grupos de ponto e os grupos de Laue.
A tabela3.2 mostra um resumo dos resultados obtidos na sec¸a˜o 3.
Tabela 3.2: Elementos de simetria, redes e sistemas cristalinos, seus respectivos grupos de ponto
e paraˆmetros de rede. Os grupos de ponto em negrito tambe´m sa˜o grupos de Laue
Elementos Redes Sistemas Grupos de Ponto Restric¸o˜es nos
de simetria Cristalinas Cristalinos Poss´ıveis Paraˆmetros de Rede
1 ou 1¯ Tricl´ınica Tricl´ınico 1, 1¯ nenhuma
2 ou m Monocl´ınica Monocl´ınico 2, m, 2/m α1 = α2 = pi/2
2i e 2i ou Ortorroˆmbica Ortorroˆmbico 222, mm2, mmm α1 = α2 = α3 = pi/2
mi e mj
4 ou 4¯ Tetragonal Tetragonal 4, 4/m 422, 4mm, a1 = a2
4¯, 4¯2m, 4/mmm α1 = α2 = α3 = pi/2
3 ou 3¯ Hexagonal Trigonal 3, 3¯, 32, 3m,3¯m
Eixos hexagonais a1 = a2, α3 = 3pi/2
α1 = α2 = pi/2
Eixos romboe´dricos a1 = a2 = a3
α1 = α2 = α3 6= pi/2
6 ou 6¯ Hexagonal 6, 6mm, 6/m 622, a1 = a2, α3 = 3pi/2
6¯, 6¯2m, 6/mmm e α1 = α2 = pi/2
3<111> Cu´bica Cu´bico 23, m3¯, 432, a1 = a2 = a3
4¯3m, m3m α1 = α2 = α3 = pi/2
Carlos Bas´ılio Pinheiro Fragmentos de Cristalografia
Grupos de ponto cristalogra´ficos 39
3.9 Os 32 Grupos de Ponto
Grupo Elementos Nu´m. de elementos
1 1 1
1 1,1 2
m 1,m 2
2 1,2 2
2/m 1,1,m,2 4
222 1,2z,2x,2y 4
mm2 1,mx,my,2z 4
mmm 1,1,mz,mx,my,2z,2x,2y 8
4 1,4,4−1,2z 4
4 1,2z,4,4
−1
4
4/m 1,1,mz,4,4
−1,2z,4,4
−1
8
422 1,4,4−1,2z,2x,2y,2xy,2xy 8
4mm 1,mx,my,mxy,mxy,4,4
−1
,2z 8
4m2 1,mxy,mxy,2z,4,4
−1
,2x,2y 8
4/mmm 1,1,mz,mx,my,mxy,mxy,4,4
−1,2z,4,4
−1
,2x,2y,2xy, 2xy 16
3 1,3,3−1 3
3 1,3,3−1,1,3,3
−1
6
32 1,3,3−1,2x,2y,2xy 6
3m 1,3,3−1,mx,my,mxy 6
3m 1,3,3−1, 2x,2y,2xy,1,3, 3
−1
,mx,my,mz 12
Carlos Bas´ılio Pinheiro Fragmentos de Cristalografia
Grupos de ponto cristalogra´ficos 40
Grupo Elementos Nu´m. de elementos
6 1,6,6−1,3,3−1,2z 6
6 1,3,3−1,6,6
−1
6
6/m 1,6,6−1,3,3−1,2z,1,6,6
−1
,3,3
−1
,mz 12
622 1,6,6−1,3,3−1,2z,2x,2y,2xy,2xxy,2xxy,2xy 12
6mm 1,6,6−1,3,3−1,2z,mx,my,mxy,mxxy,mxyy,mxy 12
6m2 1,3,3−1,2x,2y,2xy,6,6
−1
,mz,mx,my,mxy 12
6/mmm 1,6,6−1,3,3−1,2z,2x,2y,2xy,2xxy,2xxy,2xy
1,6, 6
−1
,3,3
−1
,mz,mx,my,mxy,mxxy,mxyy,mxy
24
23 1,2x,2y,2z,3xyz,3
−1
xyz,3xyz,3
−1
xyz,3xyz,3
−1
xyz, 3xyz,3
−1
xyz 12
m3 1,2x,2y,2z,1,mx,my,mz,3xyz,3
−1
xyz,3xyz,3
−1
xyz,3xyz,3
−1
xyz,3xyz,
3−1xyz,3xyz,3
−1
xyz,3xyz,3
−1
xyz,3xyz, 3
−1
xyz,3xyz,3
−1
xyz
24
432 1,4x,4
−1
x ,2x,4y,4
−1
y ,2y,4z,4
−1
z ,2z,2xy,2xy,2xz,2xz,2yz,2yz,
3xyz,3
−1
xyz,3xyz,3
−1
xyz,3xyz,3
−1
xyz,3xyz,3
−1
xyz
24
43m 1,x,2y,2z,4x,4
−1
x ,4y,4
−1
y ,4z,4
−1
z ,mxy,mxy,mxz,mxz,myz,myz,
3xyz,3
−1
xyz,3xyz,3
−1
xyz,3xyz,3
−1
xyz,3xyz,3
−1
xyz
24
m3m 1,4x,4
−1
x ,2x,4y,4
−1
y ,2y,4z,4
−1
z ,2z,1,mx,4x,4
−1
x ,my,4y,4
−1
y ,
mz,4z,4
−1
z ,2xy,mxy,2xy,mxy,2xz,mxz,2xz,mxz,2yz,myz,
2yz,2yz 3xyz,3
−1
xyz,3xyz,3
−1
xyz,3xyz,3
−1
xyz,3xyz,3
−1
xyz,3xyz,3
−1
xyz,
3xyz,3