2 Dimensionamento a flexão (Estádios e Domínios)

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CONCRETO ARMADO I
Prof. Ma. Tamiris Lanini
Cálculo da Armadura de Flexão: 
Estádios e Domínios
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CÁLCULO DA ARMADURA DE FLEXÃO
Como funciona a armadura para combater esforços de flexão?
Os esforços são obtidos a partir das ações existentes na estrutura, como por exemplo, o peso-próprio, revestimento, ação acidental e demais.
O dimensionamento é feito no estado limite último de ruína, ou seja, trata-se do dimensionamento de uma elemento estrutural de modo a que a seção transversal possua capacidade resistente para se opor a flexão oriunda dos esforços solicitantes.
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CÁLCULO DA ARMADURA DE FLEXÃO
Quais são os tipos de flexão?
Flexão normal (simples ou composta) - quando o plano de carregamento ou de sua resultante é perpendicular à linha neutra;
Flexão oblíqua – quando o plano de carregamento não é perpendicular à linha neutra (L.N.)
Flexão simples – quando não há esforço normal na seção transversal, podendo esta ser normal ou oblíqua;
Flexão composta - quando há esforço normal na seção transversal com ou sem esforço cortante;
Flexão pura – caso particular de flexão normal (simples) em que não há esforço cortante atuando na seção; isso ocorre nas partes da viga onde o momento fletor é constante;
Flexão não pura – quando há esforço cortante atuando na seção transversal.
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CÁLCULO DA ARMADURA DE FLEXÃO
Pode-se dizer que, de acordo com as solicitações existentes, haverá fissuração do concreto e, portanto da viga, por exemplo, na sua direção longitudinal.
Essa fissuração conduz a ruptura da peça.
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CÁLCULO DA ARMADURA DE FLEXÃO
Para se resistir a esse esforço que causa fissuração na peça, há a necessidade de posicionar a armadura de flexão, ou armadura passiva.
Essa armadura “costura” a fissura, impedindo o seu avanço na seção transversal.
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CÁLCULO DA ARMADURA DE FLEXÃO
Para se resistir a esse esforço que causa fissuração na peça, há a necessidade de posicionar a armadura de flexão, ou armadura passiva.
Essa armadura “costura” a fissura, impedindo o seu avanço na seção transversal.
S(g+q)
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CÁLCULO DA ARMADURA DE FLEXÃO
Como há a fissuração do concreto, pode-se dizer que há níveis deformação na seção transversal de concreto.
 A esses níveis damos o nome de ESTÁDIOS, o qual determinam o comportamento da peça até a sua ruptura.
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CÁLCULO DA ARMADURA DE FLEXÃO
ESTÁDIO I
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CÁLCULO DA ARMADURA DE FLEXÃO
ESTÁDIO I
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CÁLCULO DA ARMADURA DE FLEXÃO
ESTÁDIO II
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CÁLCULO DA ARMADURA DE FLEXÃO
ESTÁDIO II
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CÁLCULO DA ARMADURA DE FLEXÃO
ESTÁDIO III
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CÁLCULO DA ARMADURA DE FLEXÃO
ESTÁDIO III
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CÁLCULO DA ARMADURA DE FLEXÃO
ESTÁDIO III
.
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CÁLCULO DA ARMADURA DE FLEXÃO
Verificações ELS
Dimensionamento - ELU
Momento de fissuração
EM RESUMO:
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CÁLCULO DA ARMADURA DE FLEXÃO
O diagrama retangular de tensão é permitido pela ABNT NBR 6118, como uma simplificação do diagrama parábola-retângulo;
A altura do diagrama retangular (y) é fixado em função da resistência à compressão do concreto e assume o valor igual a “l.x”, sendo “x” a profundidade da linha neutra na seção transversal;
d
es
ecu
Fc
z
Fs
scd
d’
Equações de equilíbrio
Fs
Fc
Diagrama
retangular
scd
A tensão máxima de projeto (σcd), medida paralelamente à linha neutra, varia em função da resistência à compressão do concreto, com o seu valor igual a:
Diagrama
parábola-retângulo
Equações de compatibilidade
Diagrama
de deformações
Como valor base para projeto, segundo a ABNT NBR 6118:2014, c = 1,4.
LN
x
DIAGRAMA DE TENSÃO PARA O CONCRETO
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CÁLCULO DA ARMADURA DE FLEXÃO
Como valor base para projeto, segundo a ABNT NBR 6118:2014, s = 1,15.
O diagrama tensão-deformação de cálculo das barras e fios de aço é obtido a partir do diagrama de resistência característica do material, dividindo-se os valores das tensões pelo coeficiente de ponderação da resistência do aço (s). A reta de proporcionalidade entre tensões e deformações fica com o ângulo de inclinação mantido, ou seja, é obedecida a lei de Hooke. Para as barras e fios de aço das armaduras passivas a ABNT NBR 6118:2014 adota o módulo de deformação Es = 210.000 MPa.
DIAGRAMA DE TENSÃO PARA O AÇO
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CÁLCULO DA ARMADURA DE FLEXÃO
HIPÓTESES BÁSICAS DE DIMENSIONAMENTO
As hipóteses citadas a seguir são válidas para flexão simples, composta normal ou oblíqua e compressão e tração uniformes, aplicadas às peças de concreto armado em geral, com exceção de vigas-parede.
A respeito das vigas-parede, devido à existência de duas dimensões relativamente grandes em relação à terceira, esta deixa de ter o comportamento de elemento de barra, e passa a ter um comportamento laminar. 
Sendo assim, como as vigas-parede têm ações externas aplicadas na direção do seu próprio plano, estas devem ser calculadas como chapas.
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CÁLCULO DA ARMADURA DE FLEXÃO
HIPÓTESES BÁSICAS DE DIMENSIONAMENTO
No estado limite último, o estudo da capacidade resistente das peças submetidas a solicitações normais é feito com as seguintes hipóteses básicas:
As seções transversais planas antes do carregamento permanecem planas até a ruptura (Lei de Bernoulli) – Distribuição linear das deformações na seção;
A deformação em cada barra é a mesma do concreto adjacente, pois se considera a perfeita aderência entre os materiais aço e concreto não fissurado;
Despreza-se a resistência à tração do concreto;
O alongamento máximo ao longo da armadura de tração é de 10 ‰, representando os domínios 1 e 2, com o propósito de prevenir a deformação plástica excessiva;
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CÁLCULO DA ARMADURA DE FLEXÃO
HIPÓTESES BÁSICAS DE DIMENSIONAMENTO
A distribuição de tensões no concreto se faz de acordo com o diagrama parábola-retângulo, mas pode ser simplificado para um diagrama retangular de tensões com y=λ.x;
A tensão na armadura é a correspondente à deformação determinada de acordo com os diagramas simplificados de tensão-deformação do aço.
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CÁLCULO DA ARMADURA DE FLEXÃO
HIPÓTESES BÁSICAS DE DIMENSIONAMENTO
bw
d
h
d’
d’
As’
As
Msd
Eixo
d-d’
es
es'
ecu
Fc
x
y
z
Fs
scd
LN
Fs’
d-d’
d’
d’
Equações de equilíbrio
Equações de compatibilidade
Fs
Fc
Diagrama
parábola-retângulo
Diagrama
retangular
scd
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CÁLCULO DA ARMADURA DE FLEXÃO
Determinar o início do fenômeno físico de ruptura do concreto é razoavelmente difícil e, sendo assim, convencionou-se que o concreto atinge a ruptura quando o seu encurtamento alcança determinados valores experimentalmente justificados.
Os estados limites últimos de ruptura do concreto passam a ser substituídos por deformações últimas convencionais, ou seja, encurtamento último do concreto e alongamento último do aço. Consideram-se estados limites últimos convencionais, designados por estado limite último de ruptura ou de deformação plástica excessiva.
O estado limite último é alcançado quando na fibra mais comprimida de concreto, o encurtamento é igual a um valor último convencional “εcu”, ou, quando na armadura tracionada a barra de aço mais deformada tem o alongamento igual ao valor último convencional, ou seja, εsu = 10‰.
ESTADO LIMITE ÚLTIMO (ELU)
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CÁLCULO DA ARMADURA DE FLEXÃO
ESTADO LIMITE ÚLTIMO (ELU)
Os conjuntos de deformações específicas do concreto e do aço ao longo de uma seção transversal retangular com armadura simples (só tracionada) submetida a ações normais, definem sete domínios de deformação.
Esses domínios representam as diversas possibilidades de ruína da seção; a cada par de deformações específicas de cálculo c e s correspondem um esforço normal, se houver,e um momento fletor atuantes na seção.
Os domínios de deformação tem como limites a ruptura dos materiais aço e concreto, levando em conta o tipo de aço utilizado (CA-25, CA-50 e CA-60) e a classe de resistência à compressão do concreto (C20 até C90).
		fck (MPa)								
		≤ 50	55	60	65	70	75	80	85	90
	ec2 (‰)	2,000	2,199	2,288	2,357	2,416	2,468	2,516	2,559	2,600
	ecu (‰)	3,500	3,125	2,884	2,737	2,656	2,618	2,604	2,600	2,600
		Tipo de aço		
		CA-25	CA-50	CA-60
	fyk (MPa)	250	500	600
	eyd (‰)	1,03	2,07	2,49
	eyu (‰)	10,00	10,00	10,00
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CÁLCULO DA ARMADURA DE FLEXÃO
bw
d
h
d’
As
Seção transversal
Vista longitudinal da seção transversal
Eixo
esu=10‰
ecu
Encurtamento
Alongamento
ec2
eyd
Para se montar o diagrama de deformações da seção transversal, monta-se a seção transversal e nele se limitam as deformação máximas pertinentes aos materiais adotados.
ESTADO LIMITE ÚLTIMO (ELU)
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CÁLCULO DA ARMADURA DE FLEXÃO
ESTADO LIMITE ÚLTIMO (ELU)
Vista longitudinal da seção transversal
L.N.
eyu=10‰
ecu
Encurtamento
Alongamento
ec2
eyd
Reta “a”
A
A reta “a” corresponde à tração uniforme da seção transversal. A deformação na seção é representada por uma reta paralela à face da seção, que é a origem das deformações. A posição da linha neutra é dada por x=-∞.
O estado limite último é atingido por deformação plástica excessiva da armadura sendo caracterizado por um alongamento de esu. Por isso, a reta “a”, que representa as deformações no estado limite último para o caso da tração uniforme, passa pelo ponto A, que corresponde a um alongamento de 10 ‰ na armadura. 
A seção resistente é constituída somente pelas armaduras, pois o concreto tracionado é considerado fissurado.
O seu alongamento máximo, está limitado a 10‰ e, será chamado de reta “a”.
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CÁLCULO DA ARMADURA DE FLEXÃO
ESTADO LIMITE ÚLTIMO (ELU)
Vista longitudinal da seção transversal
L.N.
eyu=10‰
ecu
Encurtamento
Alongamento
ec2
eyd
Reta “a”
A
1
d
h
d’
O domínio 1 corresponde a situação em que toda a seção está tracionada, mas de modo não uniforme. A linha neutra externa à seção transversal e a reta do diagrama de deformações na seção passa pelo ponto A correspondente a um alongamento de 10 ‰ na armadura mais tracionada. Cobre o campo de profundidade da linha neutra desde 0 ≤ x < -∞.
O estado limite último é caracterizado por deformação plástica excessiva da armadura. A seção resistente é composta somente pelas armaduras e não havendo, portanto, participação resistente do concreto, pois o mesmo está fissurado.
Com a aproximação da linha neutra da seção transversal, ocorrerá um giro na seção de modo que ainda haja somente tração na seção, porém, essa tração será do tipo não-uniforme, e será chamado de “Domínio 1”.
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CÁLCULO DA ARMADURA DE FLEXÃO
ESTADO LIMITE ÚLTIMO (ELU)
Com a entrada da linha neutra da seção transversal, ocorrerá um giro na seção de modo que haja somente tração e compressão na seção, sendo que a ruptura da seção ocorrerá ou por deformação plástica excessiva ou compressão excessiva, e será chamado de “Domínio 2”.
Vista longitudinal da seção transversal
L.N.
eyu=10‰
ecu
Encurtamento
Alongamento
ec2
eyd
Reta “a”
A
1
B
2
d
d’
O Domínio 2 contempla os casos de flexão simples e flexão composta com grande excentricidade. A linha neutra se encontra na seção transversal, estando uma parte desta sujeita à compressão. Este domínio corresponde às situações em que o alongamento da armadura atinge 10‰ e o encurtamento da fibra mais comprimida de concreto varia de 0 ≤ ec ≤ ecu. 
A reta do diagrama de deformações na seção passa pelo ponto A, correspondente a um alongamento de 10‰ na armadura e a profundidade da linha neutra varia de 0 < x ≤ x23.
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CÁLCULO DA ARMADURA DE FLEXÃO
ESTADO LIMITE ÚLTIMO (ELU)
Com a entrada da linha neutra da seção transversal, ocorrerá um giro na seção de modo que haja somente tração e compressão na seção, sendo que a ruptura da seção ocorrerá por compressão excessiva, e será chamado de “Domínio 3”.
Vista longitudinal da seção transversal
L.N.
eyu=10‰
ecu
Encurtamento
Alongamento
ec2
eyd
Reta “a”
A
1
B
2
d
d’
3
O Domínio 3 contempla os casos de flexão simples e flexão composta com grande excentricidade. A linha neutra se encontra na seção transversal, estando uma parte desta sujeita à compressão. Este domínio corresponde às situações em que o encurtamento do concreto atinge seu valor limite ecu e o alongamento da armadura varia de eyd ≤ ey ≤ 10‰. 
A reta do diagrama de deformações na seção passa pelo ponto B, correspondente a um encurtamento de ecu e alongamento variando de 10‰ até eyd na armadura e a profundidade da linha neutra varia de x23 ≤ x ≤ x34.
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CÁLCULO DA ARMADURA DE FLEXÃO
ESTADO LIMITE ÚLTIMO (ELU)
Vista longitudinal da seção transversal
L.N.
eyu=10‰
ecu
Encurtamento
Alongamento
ec2
eyd
Reta “a”
A
1
B
2
d
d’
3
4
O Domínio 4 contempla os casos de flexão simples e flexão composta com grande excentricidade. A linha neutra se encontra na seção transversal, estando uma parte desta sujeita à compressão. Corresponde à situação em que o encurtamento do concreto atinge seu valor limite ecu e o alongamento da armadura varia de eyd ≤ ey ≤ 0‰. 
O ELU é caracterizado pela ruptura do concreto comprimido sem que haja escoamento da armadura. A ruptura ocorre de modo frágil (sem aviso). O concreto sofre esmagamento na zona comprimida antes que a armadura tracionada possa permitir a abertura de fissuras visíveis que sirvam de advertência.
Com a entrada da linha neutra da seção transversal, ocorrerá um giro na seção de modo que haja somente tração e compressão na seção, sendo que a ruptura da seção ocorrerá por compressão excessiva, e será chamado de “Domínio 4”
As peças de concreto armado nestas condições são denominadas peças superarmadas e devem ser evitadas.
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CÁLCULO DA ARMADURA DE FLEXÃO
ESTADO LIMITE ÚLTIMO (ELU)
Vista longitudinal da seção transversal
L.N.
eyu=10‰
ecu
Encurtamento
Alongamento
ec2
eyd
Reta “a”
A
1
B
2
d
d’
3
4
4a
O domínio 4a corresponde à flexão composta com pequena excentricidade. As armaduras são comprimidas e existe somente uma pequena região de concreto tracionada próxima a uma das bordas da seção. Só poderá ocorrer na flexo-compressão.
A linha neutra é interna à seção, mas situa-se entre a armadura menos comprimida e a borda tracionada da seção. A profundidade da linha varia de d ≤ x4a ≤ h. O estado limite último é caracterizado pela ruptura do concreto com encurtamento de ecu da borda comprimida, sem aparecimento de fissuras.
Com a entrada da linha neutra da seção transversal, ocorrerá um pequeno giro na seção de modo que haja compressão na armadura, sendo que a ruptura da seção ocorrerá por compressão excessiva, e será chamado de “Domínio 4a”.
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CÁLCULO DA ARMADURA DE FLEXÃO
ESTADO LIMITE ÚLTIMO (ELU)
Vista longitudinal da seção transversal
L.N.
eyu=10‰
ecu
Encurtamento
Alongamento
ec2
eyd
Reta “a”
A
1
B
2
d
d’
3
4
4a
C
5
O domínio 5 trata-se da compressão não uniforme, com toda a seção transversal comprimida. A linha neutra é externa à seção e a reta do diagrama de deformações na seção passa pelo ponto C, afastado da borda mais comprimida e correspondente a um encurtamento de ec2. 
A profundidade da linha neutra varia de h < x < +∞. O estado limite último é atingido pela ruptura do concreto comprimido com encurtamento na borda mais comprimida situado entre ec2 e ecu , dependendo da posição da linha neutra, mas constante e igual a ec2 na fibra que passa pelo ponto C.
Com a saída da linha neutra da seção transversal, ocorrerá um giro na seção de modo que ainda haja somente compressão na seção, porém, essa compressão será do tipo não-uniforme, e será chamado de “Domínio 5”.
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CÁLCULO DA ARMADURA DE FLEXÃO
ESTADO LIMITE ÚLTIMO (ELU)
Com a saída da linha neutra da seção transversal,ocorrerá um giro na seção de modo que ainda haja somente compressão na seção, porém, essa compressão será do tipo não-uniforme, e será chamado de “Domínio 5”.
Vista longitudinal da seção transversal
L.N.
eyu=10‰
ecu
Encurtamento
Alongamento
ec2
eyd
Reta “a”
A
1
B
2
d
d’
3
4
4a
C
5
Reta “b”
A reta b corresponde à compressão uniforme, ou seja, toda a seção é comprimida de modo uniforme. A deformação na seção é representada por uma reta paralela à face da seção, que é a origem das deformações. A posição da linha neutra é dada por x = + ∞.
O estado limite último é atingido por ruptura do concreto com um encurtamento de ec2 . Por isso, a reta b que representa as deformações no estado limite último para o caso da compressão uniforme, passa pelo ponto C, que corresponde a um encurtamento de ec2. 
Assim, a seção resistente é constituída pelo concreto e pelas armaduras, sendo a deformação nestas igual à do concreto sob compressão uniforme, ou seja, ec2.
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DIAGRAMA ÚNICO ABNT NBR 6118 (2014)
Fonte: ABNT NBR 6118 (2014)
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CÁLCULO DA ARMADURA DE FLEXÃO
EQUACIONAMENTO
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CÁLCULO DA ARMADURA DE FLEXÃO
EQUACIONAMENTO
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
CARVALHO, R. C.; FIGUEIREDO FILHO, J. R. Cálculo e detalhamento de estruturas usuais de concreto armado: segundo a NBR-6118:2004. 4. ed. São Carlos: EdUFSCar, 2015. 415 p. 
FUSCO, P. B. Técnica de armar as estruturas de concreto. 2. ed. rev. e ampl. São Paulo: Pini, 2013. 395 p.
LEONHARDT, F.; MONNIG, E. Construções de concreto. Rio de Janeiro, RJ: Interciência, 2007-2013. 6 v.
 
REBELLO, Y. C. P. Estruturas de aço, concreto e madeira: atendimento da expectativa dimensional. 7. ed. São Paulo, SP: Zigurate, 2005. 373p. 
CONCRETO ARMADO I
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Cálculo da Armadura de Flexão: 
Estádios e Domínios
c
ck
c
cd
c
cd
f
f
g
a
a
s
×
=
×
=
x
y
×
=
l
10,0
o
1,03
o
/
o
s
e
s
s
(MPa)
f
yk
o
/
o
o
217
Aço CA-25
Aço CA-50
435
2,07
/
o
o
o
f
yk
(MPa)
s
s
10,0
/
o
o
o
e
s
2,49
/
o
o
o
o
/
10,0
o
o
e
s
f
522
yk
(MPa)
s
s
Aço CA-60
-¥
=
x
-¥
<
£
x
0
23
0
x
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£
<
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34
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cu
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b
34
34
34
,
d
x
x
<
<
34
1
lim
,
4
lim
,
4
=
=
=
d
d
d
x
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b
h
x
d
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d
h
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x
a
a
x
=
=
lim
,
4
lim
,
4
b
h
cu
c
cu
×
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
e
e
e
2
+¥
<
£
x
0
+¥
=
x