Operações com Vetores

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Aula 01 - Tratamento Geométrico
Existe dois tipos de grandezas: as escalares e as vetoriais. As escalares são aquelas que �cam
completamente de�nidas por apenas um número real (acompanhado de uma unidade adequada),
algum exemplos são: comprimento, área, volume, massa, etc. As vetoriais, para serem de�nidas
precisamos conhecer seu módulo (ou comprimento ou intensidade), sua direção e seu sentido. Mas o
que é um módulo, uma direção e um sentido de um vetor?
Os vetores representam as grandezas vetoriais e indicam seu módulo, direção e sentido. O módulo
é o valor numérico do vetor seguido da unidade de medida que de�ne a grandeza vetorial. A direção
é a reta onde o vetor está localizado, e as direções possíveis são: diagonal, horizontal e vertical. O
sentido trata-se de para onde o vetor atua de acordo com sua direção, assim, os sentidos podem ser
para a direita, para a esquerda, para cima, para baixo, para o leste, para o norte, etc.
O vetor a seguir representa uma força que atua na horizontal, para a direita e que possui módulo
igual a 50 N.
Já o vetor abaixo possui o mesmo módulo do vetor anterior (valor numérico), porém sua direção é
diagonal, com sentido para cima e para esquerda.
Vimos acima que força é um exemplo de grandeza vetorial, também temos a velocidade e a
aceleração.
Abstendo-se da ideia de grandezas vetoriais, diríamos que o vetor é representado por um segmento
orientado:
Dois ou mais segmentos orientados de mesmo comprimento, direção e sentido são representantes
de um mesmo vetor. Na �gura abaixo, todos os segmentos orientados paralelos, de mesmo sentido e
mesmo comprimento AB, representam o mesmo vetor, que será indicado por
~AB ou B − A
onde A é a origem e B a extremidade do segmento.
Uma outra forma de representar um vetor é "~v"e podemos indicar o módulo de ~v por |~v| ou ||~v||.
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Vetores e Operações de Vetores:
1. Soma:
Método do polígono
Usado para somar gra�camente dois ou mais vetores ~A e ~B, pelo método do polígono, move-se
a origem do vetor ~B até coincidir com a extremidade do vetor ~A. O vetor soma ou resultante
é representado pela união da origem do vetor ~A à extremidade do vetor ~B.
Observe que o vetor soma não tem necessariamente módulo igual à soma dos módulos dos
vetores ~A e ~B.
Método do paralelogramo
Outro método utilizado para determinação grá�ca da soma é o método do paralelogramo. Dados
dois vetores ~A e ~B que queremos somar, juntam-se as origens e monta-se um paralelogramo
cuja diagonal formada é o vetor soma ou resultante.
Observação: Podemos utilizar a lei dos cossenos para encontrar diretamente o módulo do vetor
resultante:
R2 = A2 +B2 + 2 · A ·B · cos α
2. Produto de Vetor por Escalar
Podemos multiplicar um vetor ~V por um número k. Dessa operação resulta um novo vetor ~R:
~R = k · ~V
Com as seguintes características:
O módulo do novo vetor é o que resulta da multiplicação do valor absoluto de k pelo módulo
de ~V ;
A direção do novo vetor ~R é igual à direção do vetor ~V ;
O sentido de ~R é o mesmo de ~V se k for positivo e oposto ao de ~V se k for negativo.
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3. Subtração
Consideremos os vetores ~V1 e ~V2. A subtração de vetores é a operação denotada por: ~V = ~V1−~V2
Ela resulta em um terceiro vetor (chamado resultante), cujas propriedades são inferidas a partir
da soma dos vetores ~V1 e −~V2. O vetor −~V2 tem módulo e direção iguais ao do vetor ~V2, mas
com sentido oposto.
Em outras palavras, podemos reduzir o problema da subtração dos dois vetores ao problema
da soma de ~V1 e −~V2.
4. Decomposição de Vetor
Considere um vetor ~v0 formando um ângulo α em relação a uma direção qualquer. Este vetor
pode ser sempre decomposto em duas direções perpendiculares, sendo:
~v0x Componente de ~v0 na direção x; ~v0 y Componente de ~v0 na direção y.
Os módulos destas duas componentes serão dados por:
v0x = v0 · cos α;
v0y = v0 · sen α.
5. Ângulo de dois vetores
O ângulo entre os vetores não-nulos ~u e ~v é o ângulo α formado por entre eles e 0 5 α 5 π.
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Vetores no Plano
De mogo geral, dados dois vetores quaisquer ~v1 e ~v2 não paralelos, para cada vetor ~v representado
no mesmo plano de ~v1 e ~v2, existe uma só dupla de números reais a1 e a2 tal que
~v = a1 ~v1 + a2 ~v2
Neste caso, dizemos que ~v é combinação linear de ~v1 e ~v2. O conjunto {~v1, ~v2} é chamado de base no
plano.
O vetor ~v pode ser representado também por ~v = (a1, a2)B
Uma base {~e1, ~e2} é dita ortonormal se os vetores forem ortogonais e unitários, isto é, se o ângulo
entre ~e1 e ~e2 é de 90
◦ e |~e1| = |~e2| = 1.
Assim, dado um vetor ~v qualquer do plano, existe uma dupla de números x e y tal que
~v = x~i+ y~j,
onde ~i = (1, 0) e ~j = (0, 1) é a base canônica do plano.
Vetores e Operações de Vetores:
1. Igualdade: Dois vetores ~u = (x, y) e ~v = (z, w) são iguais se, e somente se, x = z e y = w.
2. Soma: A soma de dois vetores ~u = (x, y) e ~v = (z, w) é de�nida por
~u+ ~v = (x, y) + (z, w) = (x+ z, y + w).
3. Multiplicação por escalar: A multiplicação de um vetor ~u = (x, y) e por um número real k
é de�nida por
k · ~u = k(x, y) = (kx, ky).
A �gura abaixo mostra tais operações:
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Vetor de�nido por dois pontos
Consideremos o vetor ~AB de origem no ponto A(x, y) e extremidade em B(z, w), então ~AB =
(z − x,w − y)
Ponto Médio
Consideremos o vetor ~AB de origem no ponto A(x, y) e extremidade em B(z, w), então o ponto
médio M = (x+z
2
, y+w
2
)
Paralelismo de dois vetores
Consideremos os dois vetores ~u = (x, y) e ~v = (z, w), então eles são paralelos se ~u = k~v, onde k é
um número real.
Módulo de um vetor
Consideremos o vetor ~v = (x, y), então |~v| =
√
x2 + y2
Distância entre dois pontos
Consideremos os dois pontos A(x, y) e B(z, w), então a distância deles é o comprimento do vetor
~AB, isto é, d(A,B) = | ~AB| =
√
(z − x)2 + (w − y)2
Produto Escalar
Chama-se produto escalar de dois vetores ~u = x~i + y~j + z~k e ~v = a~i + b~j + c~k, e se representa por
~u · ~v, ao número real
~u · ~v = xa+ yb+ zc
O produto escalar de ~u por ~v também é indicado por < ~u,~v > e se lê "~u escalar ~v".
Propriedades do produto escalar
Para quaisquer vetores ~u,~v e ~w e o número real α, é fácil veri�car que:
1. ~u · ~v = ~v · ~u
2. ~u · (~v + ~w) = ~u · ~v + ~u · ~w e (~u+ ~v) · ~w = ~u · ~w + ~v · ~w
3. α(~u · ~v) = (α~u) · ~v = ~u(α~v)
4. ~u · ~u > 0 se ~u 6= ~0 e ~u · ~u = 0, se ~u = (0, 0, 0)
5. ~u · ~u = |~u|2
De�nição Geométrica de Produto Escalar
Se ~u e ~v são vetores não-nulos e θ o ângulo entre eles, então
~u · ~v = |~u||~v| cos θ
Temos através disso, dois resultados importantes:
1. |~u · ~v| ≤ |~u||~v| (Desigualdade de Schwartz)
2. |~u+ ~v| ≤ |~u|+ |~v|(Desigualdade Triangular)
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