APOSTILA MTM PLUS_2_2020

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COMPETÊNCIAS E HABILIDADES.
	COMPETÊNCIAS
	· Identificar situações que podem ser representadas por funções de exponenciais e logarítmicas 
· Reconhecer a lei de formação de uma função de exponencial e logarítmica
· Construir o gráfico de uma função exponencial e de logarítmica
· Determinar domínio e imagem dessas funções 
	
HABILIDADES
	· Aplicar os conceitos de funções de exponenciais nas resoluções de problemas 
· Aplicar os conceitos de funções de logarítmicas nas resoluções de problemas 
· Resolver situação-problema que envolva conhecimentos dessas funções. 
· Representar situações por meio de sentenças matemáticas
	Email para tirar dúvidas
	celsoberredo@hotmail.com
FUNÇÃO DO 1º GRAU E FUNÇÃO DO 2º GRAU
Peter Gustav Lejeune Dirichlet
A noção de Função foi-se construindo e aperfeiçoando ao longo de vários séculos. O estudo de função não é restrita apenas aos interesses da Matemática, as funções fazem parte do nosso cotidiano e estão presente na realização das coisas mais elementares que fazemos. Nem sempre percebemos, mas estamos em contato com as funções a todo momento, por exemplo: quando assistimos ou lemos um jornal, muitas vezes nos deparamos com um gráfico, que nada mais é que uma relação, comparação de duas grandezas ou até mesmo uma função, mas representada graficamente. Para que esse gráfico tome forma é necessário que essa relação, comparação seja representada em uma função na forma algébrica.
Foi Dirichlet quem criou a definição "formal" de função moderna, para ele uma função é um caso especial de uma relação. Relação é um conjunto de pares ordenados, onde cada elemento do par pertence a um dos conjuntos relacionados.
FUNÇÃO CONSTANTE 
Denomina-se função constante toda função f : IR  IR definida por f(x) = b com b  IR para todo x real. 
O gráfico da função constante é uma reta paralela ou coincidente com o eixo x. 
Podemos ter os casos:
FUNÇÃO DO 1º GRAU 
a)
Definição 
Denomina-se função do 1º grau toda função f: IR  IR definida por f(x) = ax + b, com a, b  IR e a  0. 
b)
Gráfico 
O gráfico da função do 1º grau é uma reta. Podemos ter os casos: 
a > 0
a < 0
c)
Raiz ou zero 
A raiz de uma função do 1º grau é o valor de x que torna f(x) = 0. 
f(x) = ax + b  0 = ax + b
x = –
A raiz de f(x)
d)
Estudo do sinal 
 1º Caso: a > 0 
x > –  y > 0 x = –  y = 0
x < –  y < 0
 2º caso: a < 0 
x > –  y < 0
x = –  y = 0
x < –  y > 0
FUNÇÃO DO 2º GRAU 
O trabalho com funções é desafiador para alunos e professores. São necessárias operações variadas, produção e análise de gráficos e também o estudo de suas aplicações. O objetivo dessa aula é criar condições para que o aluno trabalhe com a função quadrática e atinja um nível de entendimento adequado. Para isso usaremos um objeto de aprendizagem que apresenta uma aplicação prática e mostraremos como podem ser criados gráficos dessa importante função.
Ponte sendo sustentada por parábola 
Lançamento de Projéteis: quando se lança um objeto no espaço (pedra, tiro de canhão,...) visando alcançar a maior distância possível, tanto na horizontal como na vertical, a curva descrita pelo objeto é aproximadamente uma parábola, se considerarmos que a resistência do ar não existe ou é pequena. O lançamento de projéteis é modelado por uma função quadrática porque é um movimento acelerado pela ação do campo gravitacional.
FUNÇÃO DO 2º GRAU
· Definição 
Toda função f: IR  IR definida por f(x) = ax2 + bx + c, com a  IR* e b, c  IR, é chamada de função do 2º grau.
O domínio e o contradomínio dessa função são o conjunto IR.
Veja alguns exemplos de função do 2º grau.
f(x) = x2 5x + 6, na qual a = 1, b = 5 e c = 6.
f(x) = 2x2 + 3x, na qual a = 2, b = 3 e c = 0.
f(x) = 4x2 + 16, na qual a = 4, b = 0 e c = 16.
f(x) = 7x2, na qual a = 7, b = 0 e c = 0.
A função do 2º grau também é chamada de função quadrática, função polinominal do 2º grau ou função trinômio do 2º grau.
RAÍZES OU ZEROS DA FUNÇÃO DO 2º GRAU
As raízes ou zeros da função do 2º grau são os valores de x para os quais f(x) = 0.
Para obtê-las, basta resolver a equação ax2 + bx + c = 0, usando a fórmula, na qual  = b2  4ac.
Podem ocorrer três situações distintas com relação a :
•
 > 0  f(x) tem duas raízes reais e diferentes
•
 = 0  f(x) tem duas raízes reais e iguais
•
 < 0  não tem raízes reais
GRÁFICO CARTESIANO DA FUNÇÃO DO 2º GRAU
O gráfico de uma função do 2º grau é uma curva chamada parábola.
a > 0
(concavidade voltada para cima)
a < 0
(concavidade voltada para baixo)
 > 0
A parábola corta o eixo horizontal em dois pontos
 
 
 = 0
A parábola tangencia (toca em um só ponto) o eixo horizontal
 
 
 < 0
A parábola não intercepta o eixo horizontal
 
 
Para construir o gráfico cartesiano da função do 2º grau f(x) = ax2 + bx + c, devemos dar os seguintes passos:
•
Verificar se a > 0 ou a < 0 para saber se a concavidade da parábola é voltada, respectivamente, para cima ou para baixo.
•
Usar as coordenadas dos pontos onde a parábola corta os eixos coordenados: (0; c) no eixo vertical, (x’; 0) e (x’’; 0) no eixo horizontal, quando   0.
•
Usar as coordenadas do vértice V que podem ser calculadas, como veremos no item seguinte, pelas fórmulas xv = e yv = .
•
Se houver necessidade de outros pontos, atribuir a x valores simétricos em relação ao eixo de simetria (ou a xv).
COORDENADAS DO VÉRTICE
O gráfico da função y = ax2 + bx + c corta o eixo vertical, como vimos, no ponto (0; c). 
Quando y = c, podemos escrever c = ax2 + bx + c ou ax2 + bx = 0, donde x  (ax + b) = 0 e, então, x = 0 ou x = .
Portanto, para b  0, existe outro ponto da parábola cujo valor para y é c.
Como esses dois pontos são simétricos em relação ao eixo de simetria, podemos concluir que os pontos do eixo de simetria tem abcissa ou.
Como o vértice V pertence ao eixo de simetria, xv = 
Já yv é a imagem de xv; então, yv = a + b  xv + c ou yv = a + b + c e, daí, desenvolvendo e simplificando, temos yv = .
Portanto, as coordenadas do vértice V são: 
VALOR MÁXIMO E MÍNIMO E CONJUNTO IMAGEM DA FUNÇÃO DO 2º GRAU
Já vimos que na função do 2º grau, se a > 0 a concavidade da parábola é voltada para cima; portanto, y assume um valor mínimo (o menor valor que y assume) dado por yv = .
O conjunto imagem é:
Im = {y  IR | y  } ou Im = [ ; +[.
Se a < 0 a concavidade da parábola é voltada para baixo, portanto, y assume um valor máximo (o maior valor que y assume) dado por yv = .
O conjunto imagem é:
Im = {y  IR | y  } ou Im = ]; ]
ESTUDO DA VARIAÇÃO DO SINAL DA FUNÇAO DO 2º GRAU
Estudar a variação do sinal da função do 2º grau y = ax2 + bx + c significa descobrir para quais valores de x ocorre y > 0, y = 0 ou y < 0.
Temos três casos a considerar, resumidos no quadro seguinte:
a > 0
a < 0
A função admite duas raízes reais diferentes: x’ e x”.
A função admite duas raízes reais iguais: x’ = x”.
A função não admite raízes reais.
INEQUAÇÃO DO 2º GRAU
Inequação do 2º grau é qualquer inequação que pode ser reduzida à forma ax2 + bx + c > 0 ou ax2 + bx + c  0 ou ax2 + bx + c < 0 ou ax2 + bx + c  0, com a  IR* e b,c  IR.
Para resolver uma inequação do 2º grau, basta estudar a variação do sinal do trinômio ax2 + bx + c.
Resolvamos, como exemplo, a inequação 3x2 + 2x  5  0.
Considerando a função dada por y =3x2 + 2x  5, o sinal de y é dado pelo esquema abaixo:
EXERCITANDO COM MTM PLUS
01. Dois atletas A e B fazem teste de Cooper numa pista retilínea, ambos correndo com velocidade constante. A distância (d) que cada um percorre é mostrada no gráfico abaixo. Com base no gráfico, a alternativa correta é:
A) A é mais veloz que B, pois percorre 600m em 20 min.
B) B percorre 1km em 20 min.
C) B é mais veloz que A, pois percorre 400m em 5 min.
D) A e B correm na mesma velocidade.
E) A percorre 400m em 30 min.
02. (C. E. Juiz de Fora-MG) Um botânico mede o crescimento de uma planta, em centímetros, todos os dias. Ligando os pontos colocados por ele num gráfico, obtemos a figuraabaixo.
Se for mantida sempre esta relação entre tempo e altura, a planta terá, no 30º dia, uma altura igual a:
A) 5 cm
B) 6 cm
C) 3 cm 
D) 15 cm
E) 30 cm
03. (Cesumar-PR) Uma barra graduada é usada para medir o nível da água de uma represa. Ela é colocada perpendicular à superfície da água, sendo 0m o nível mínimo para o abastecimento da região servido pela represa. O gráfico mostra o nível dessa represa em função do tempo, nos 10 primeiros dias do mês de agosto. 
Supondo que o gráfico, em todo mês de agosto, seja um segmento de reta, em que dia do mês de agosto o nível de água atingirá o mínimo necessário para o abastecimento da região?
î
í
ì
¹
Þ
¹
+
-
>
Þ
>
+
0
x
1
1
x
1
x
0
1
x
A) Dia 19.
B) Dia 10.
C) Dia 21.
D) Dia 12.
E) Dia 15.
04. (EAESP-FGV) O valor de uma corrida de táxi é uma função polinomial do primeiro grau do número x de quilômetros rodados. Por uma corrida de 7 quilômetros, paga-se R$ 23,00 e por uma corrida de 10 quilômetros, paga-se R$ 32,00. Aplicando-se o valor de uma corrida de 90 quilômetros durante um mês à taxa de 10% ao mês, com o juro obtido será possível fazer uma corrida de táxi de
A) 8km.
B) 8,4km.
C) 9km.
D) 9,6km.
E) 10km.
05. (ESPM-SP) Do centro de uma cidade até o aeroporto são 40km por uma grande avenida. Os táxis que saem do aeroporto cobram R$3,60 pela bandeirada e R$0,80 por quilômetro rodado. Os que saem do centro cobram R$2,00 pela bandeirada e R$0,60 por quilômetro rodado. Dois amigos se encontraram num restaurante que fica nessa avenida, sendo que um tomou o táxi que sai do aeroporto o outro tomou o que parte do centro e, para surpresa dos dois, os seus gastos foram exatamente iguais. A distância do restaurante ao aeroporto é de:
A) 10km;
B) 12km;
C) 14km;
D) 16km;
E) 18km.
06. Uma turma de torcedores de um time de futebol quer encomendar camisetas com o emblema do time para a torcida. Contataram com um fabricante que deu o seguinte orçamento:
· Arte final mais serigrafia: R$ 90,00, independente do número de camisetas.
· Camiseta costurada, fio 30, de algodão: R$ 6,50 por camiseta.
Quantas camisetas devem ser encomendadas com o fabricante para que o custo por camiseta seja de R$ 7,00?
A) 18
B) 36
C) 60
D) 180
E) 200
07. O jornal de uma pequena cidade publicou a seguinte notícia:
CORREIO DA CIDADE
ABASTECIMENTO COMPROMETIDO
O novo pólo agroindustrial em nossa cidade tem atraído um enorme e constante fluxo migratório, resultando em um aumento da população em torno de 2000 habitantes por ano, conforme dados do nosso censo:
Esse crescimento tem ameaçado nosso fornecimento de água, pois os mananciais que abastecem a cidade têm capacidade para fornecer até 6 milhões de litros de água por dia. A prefeitura, preocupada com essa situação, vai iniciar uma campanha visando estabelecer um consumo médio de 150 litros por dia, por habitante.
A análise da notícia permite concluir que a medida é oportuna. Mantido esse fluxo migratório e bem sucedida a campanha, os mananciais serão suficientes para abastecer a cidade até o final de
A) 2005.
B) 2006.
C) 2007.
D) 2008.
E) 2009.
08. Para produzir um objeto, uma empresa gasta R$12,00 por unidade. Além disso, há uma despesa fixa de R$4.000,00, independentemente da quantidade produzida. Vendendo os objetos produzidos a R$20,00 a unidade, o lucro atual da empresa é de R$16.000,00. Com o intuito de enfrentar a concorrência, a empresa decide reduzir em 15% o preço unitário de venda dos objetos. Para continuar auferindo o mesmo lucro, o aumento percentual na quantidade vendida deverá ser de:
A) 100%
B) 15%
C) 60%
D) 40%
E) 70%
09. Da frieza dos números da pesquisa saíram algumas recomendações. Transformadas em políticas públicas, poderiam reduzir a gravidade e as dimensões da tragédia urbana do trânsito.
A primeira é a adoção de práticas que possam reduzir a gravidade dos acidentes.
A segunda recomendação trata dos motociclistas, cuja frota equivale a 10% do total, mas cujos custos correspondem a 19%. O 'motoboy' ganha R$2 por entrega, a empresa, R$8. É um exército de garotos em disparada.
O pedestre forma o contingente mais vulnerável no trânsito e necessita de maior proteção, diz a terceira recomendação da pesquisa. Entre a 0h e as 18h da quinta-feira, as ambulâncias vermelhas do Resgate recolheram 16 atropelados nas ruas de São Paulo.
Fonte: "Folha de São Paulo", 1Ž.06.03, p. C1 (adaptado).
Conforme o texto, num dia de trabalho, são necessárias 12 entregas para um motoboy receber R$24,00. Por medida de segurança, a empresa limitará a 10 a quantidade de entregas por dia. Como compensação, pagará um adicional fixo de p reais ao dia a quem atingir esse limite, porém reduzirá para R$1,80 o valor pago por cada entrega. O valor de p que manterá inalterada a quantia diária recebida pelo motoboy, ou seja, R$24,00, será
A) R$ 5,40
B) R$ 5,60
C) R$ 5,80
D) R$ 6,00
E) R$ 6,20
010. As imagens de satélite analisadas no Instituto de Pesquisas Espaciais (Inpe) mostram que o desmatamento no Estado do Acre está avançando no ritmo de dezesseis campos de futebol por hora.
Uma das consequências biológicas dessa destruição é o aumento da incidência de malária na região. Para cada 1% de aumento de área desflorestada, cresce em 8% a população dos mosquitos transmissores da malária na Amazônia.
O desmatamento no Estado do Acre está avançando a uma taxa constante de 16 campos de futebol por hora. Num dado instante, a área devastada equivale a 261 760 campos de futebol. Sabendo-se que as dimensões médias de um campo de futebol são: 95 m por 68 m, ao fim de 360 dias, a área total devastada, em quilômetros quadrados, será igual a
A) 2 584
B) 2 462
C) 2 024
D) 1 692
E) 1 482
011. Uma barra de ferro com temperatura inicial de -10°C foi aquecida até 30°C. O gráfico anterior representa a variação da temperatura da barra em função do tempo gasto nessa experiência. Calcule em quanto tempo, após o início da experiência, a temperatura da barra atingiu 0°C.
A) 1 min
B) 1 min 5 seg
C) 1 min e 10 seg
D) 1 min e 15 seg
E) 1 min e 20 seg
012. Em 2000, a porcentagem de indivíduos brancos na população dos Estados Unidos era de 70% e outras etnias - latinos, negros, asiáticos e outros - constituíam os 30% restantes. Projeções do órgão do Governo norte-americano encarregado do censo indicam que, em 2020, a porcentagem de brancos deverá ser de 62%. FONTE: "Newsweek International", 29 abr. 2004. Admite-se que essas porcentagens variam linearmente com o tempo. Com base nessas informações, é CORRETO afirmar que os brancos serão minoria na população norte-americana a partir de: 
A) 2050. 
B) 2060. 
C) 2070. 
D) 2040.
E) 2030
013. O gráfico, obtido a partir de dados do Ministério do Meio Ambiente, mostra o crescimento do número de espécies da fauna brasileira ameaçadas de extinção.
Se mantida, pelos próximos anos, a tendência de crescimento mostrada no gráfico, o número de espécies ameaçadas de extinção em 2011 será igual a:
A) 465 
B) 493 
C) 498 
 
D) 538 
E) 699
FUNÇÕES DO 2 GRAU
014. A soma e o produto das raízes da equação do segundo grau (4m + 3n)x2 – 5nx + (m-2) = 0 Valem, respectivamente, 5/8 e 3/32. Então, m+n é igual:
A) 9
B) 8
C) 7
D) 6
E) 5
015. Os estudantes de uma classe organizaram sua festa de final de ano, devendo cada um contribuir com R$ 135,00 para as despesas. Como sete alunos deixaram a escola antes da arrecadação e as despesas permaneceram as mesmas, cada um dos estudantes restantes teria que de pagar R$ 27,00 a mais. No entanto, o diretor, para ajudar, colaborou com R$ 630,00. Quanto pagou cada aluno participante da festa?
A) R$ 136,00
B) R$ 138,00
C) R$ 140,00
D) R$ 142,00
E) R$ 144,00
016. Ao iniciar uma viagem de São Paulo para o Rio de Janeiro, Pedro abasteceu o tanque de combustível do carro, que estava totalmente vazio, até o limite máximo, pagando pelo abastecimento R$111,80. Após percorrer 180 km da viagem, Pedro parou em outro posto para completar o combustível do tanque até o limite máximo, gastando agora R$24,75. Sabe-seque a distância do ponto de partida de Pedro, em São Paulo, até a cidade do Rio de Janeiro é igual a 480km, que o tanque de combustível do carro de Pedro tem capacidade total de 52 litros, e que seu carro percorre na estrada, em média, 16km por litro de combustível.
A) Qual é o preço do litro de combustível em cada um dos dois postos em que Pedro abasteceu o carro?
B) Sem novos abastecimentos, quantos quilômetros, no máximo, o carro de Pedro poderá percorrer na cidade do Rio de Janeiro, sabendo-se que em trecho de cidade seu carro faz, em média, 12km por litro de combustível?
017. 
Uma pedra é lançada verticalmente para cima. Suponha que sua altura h(metros) em relação ao solo, t segundos depois do lançamento, seja h(t) = -5t2 +20t + 100. A altura máxima atingida pela pedra e o tempo t são, respectivamente.
A) 120 m e 4 s
B) 240 m e 5 s
C) 120 m e 2 s
D) 240 m e 10 s
018. A água que está esguichando de um bocal mantido horizontalmente a 4 metros acima do solo descreve uma curva parabólica com o vértice no bocal. Sabendo-se que a corrente de água desce 1 metro medido na vertical nos primeiros 10 metros de movimento horizontal, conforme a figura a seguir:
Podemos expressar y como função de x:
A) y = -x² + 4x + 10
B) y = x² - 10x + 4
C) y = (-x²/10) + 10
D) y = (-x²/100) + 10x + 4
E) y = (-x²/100) + 4
019. A figura abaixo representa parte do gráfico de uma função polinomial do segundo grau onde V é o valor máximo. Se f(2) + f(6) = 8, então f(7) vale:
A) 7
B) 6
C) 70
,
0
60
,
0
48
,
0
30
,
0
0
x
log
5
4
3
2
1
x
5 
D) 4
E) 3
020. î
í
ì
¹
Þ
¹
+
-
>
Þ
>
+
0
x
1
1
x
1
x
0
1
x
A figura representa a trajetória parabólica de um projétil, disparado para cima, a partir do solo, com uma certa inclinação.
O valor aproximado da altura máxima, em metros, atingida pelo projétil é:
A) 550
B) 535
C) 510
D) 505
E) 500
021. Na figura abaixo, fazendo-se o valor de x variar de 0 a 4, a área da região sombreada também varia. O valor máximo que essa área poderá ter é:
A) 30
B) 24
C) 20
D) 18
E) 16
022. Um caminhoneiro transporta caixas de uvas de 15kg e caixas de maçãs de 20kg. Pelo transporte, ele recebe R$2,00 por caixa de uvas e R$2,50 por caixa de maçãs. O caminhão utilizado tem capacidade para transportar cargas de até 2.500kg. Se são disponíveis 80 caixas de uvas e 80 caixas de maçãs, quantas caixas de maçãs ele deve transportar de forma a receber o máximo possível pela carga transportada?
A) 80
B) 75
C) 70
D) 65
60
023. (ESPM-SP) O gráfico abaixo mostra como variam as vendas de um certo produto conforme o preço cobrado por unidade. Com base somente nesses dados, podemos determinar o preço que fornece a máxima receita. Esse preço é:
A) R$8,00;
B) R$ 10,00;
C) R$12,00;
D) R$14,00;
E) R$16,00. 
024. Ao levantar dados para a realização de um evento, a comissão organizadora observou que, se cada pessoa pagasse R$6,00 por sua inscrição, poderia contar com 460 participantes, arrecadando um total de R$2760,00. Entretanto, também estimou que, a cada aumento de R$1,50 no preço de inscrição, receberia 10 participantes a menos. Considerando tais estimativas, para que a arrecadação seja a maior possível, o preço unitário, em reais, da inscrição em tal evento deve ser:
a) 15,00
b) 24,50
c) 32,75
d) 37,50
e) 42,50
025. Um laboratório testou a ação de uma droga em uma amostra de 720 frangos. Constatou-se que a lei de sobrevivência do lote de frangos era dada pela relação v(t)=at²+b, onde v(t) é o número de elementos vivos no tempo t (meses). Sabendo-se que o último frango morreu quando t=12 meses após o início da experiência, a quantidade de frangos que ainda estava viva no 10 mês é 
A) 80
B) 100
C) 120
D) 220
E) 300
026. Supondo que no dia 5 de dezembro de 1995, o Serviço de Meteorologia do Estado de São Paulo tenha informado que a temperatura na cidade de São Paulo atingiu o seu valor máximo às 14 horas, e que nesse dia a temperatura f(t) em graus é uma função do tempo "t" medido em horas, dada por f(t) = – t²+ bt – 156, quando 8 < t < 20. Obtenha o valor de b.
A) 14
B) 21
C) 28
D) 35
E) 42
027. (F. M. Triângulo Mineiro-MG) Na figura, o plano vertical que contém o garoto, a bola e o aro é um sistema de coordenadas cartesianas, com as unidades dadas em metros, em que o eixo x está no plano do chão. 
—
 
A partir da posição (0, 1) o garoto joga uma bola para o alto. Esta descreve uma parábola, atinge a altura máxima no ponto (2, 5) e atinge exatamente o centro do aro, que está a 4 m de altura. Desprezando as dimensões próprias da bola e do aro, a coordenada x da posição do aro é igual a
A) 2,0
B) 3,0
C) 3,5
D) 4,0
E) 4,5
028. Suponha que, certo dia, em que o preço unitário de venda de um sorvete era x reais, foram vendidas 20 -x unidades, 0 < x < 20. Se, nesse dia, o custo da fabricação de cada unidade desse sorvete era de 2 reais, quantas unidades teriam que ser vendidas para que o lucro do fabricante fosse o maior possível?
A) 9
B) 11
C) 13
D) 15
E) 17
029. De um cartão retangular de base 14 cm e altura 12 cm, deseja-se recortar um quadrado de lado x e um trapézio isósceles, conforme a figura, onde a parte hachurada será retirada. O valor de x em centímetros, para que a área total removida seja mínima, é
A) 3
B) 2. 
C) 1,5. 
D) 1. 
E) 0,5
030. Um professor dispunha de 144 doces para dividir igualmente entre os alunos de sua classe. Como no dia da distribuição faltaram 12 alunos, ele dividiu os 144 doces igualmente entre os presentes, cabendo a cada aluno 1 doce a mais. O número de alunos presentes no dia da distribuição era: 
A) 36
B) 40 
C) 42
D) 48
E) 50
031. (UEMS) A figura abaixo mostra um quadrado externo com lado de 1 cm. Qual é o valor de x para que o quadrado interno tenha área mínima?
a)A) 7
 B) 6 
C) 5 
D) 4 
E) 3
 
032. (UFGO) Um motobói entrega cartuchos(c) e bobinas(b) para uma empresa. Cada bobina pesa 0,3 kg e cada cartucho 0,25 kg. O motobói recebe R$ 0,30 por bobina e R$ 0,08 por cartucho entregue. Ele pode carregar no máximo 75 kg e deve receber no mínimo R$ 30,00 por entrega.
As quantidades de cartuchos e bobinas a serem entregues pelo motobói, por entrega, de acordo com esses dados, determinam, no plano cartesiano b × c,
A) um quadrilátero com um dos vértices na origem.
B) dois triângulos com um vértice em comum.
C) um trapézio determinado por duas retas paralelas.
D) uma região triangular, no primeiro quadrante.
E) uma região ilimitada, no primeiro quadrante.
033. Quando o preço do pão francês era de R$ 0,12 a unidade, uma padaria vendia 1000 unidades diariamente. A cada aumento de R$ 0,01 no preço de cada pão, o número de pães vendidos por dia diminui de 50 unidades. Reajustando adequadamente o preço do pão, qual a quantia máxima (em reais) que pode ser arrecadada diariamente pela padaria com a venda dos pães? Assinale metade do valor correspondente à quantia obtida. 
A) 64
B) 54
C) 34
D) 84
E) 104
034. (U. Amazônia-PA) Nos últimos anos, tem sido registrado um aumento significativo no número de acidentes ambientais envolvendo a Petrobrás, o que pode ser evidenciado no gráfico abaixo. Após o ano 2000 esse aumento foi maior ainda. 
Se tomarmos apenas o período entre 1975 e 2000 e considerarmos que o número de acidentes sofreu um crescimento constante, podemos dizer que a expressão f(x) = 0,2x + 14, onde x é o número de anos contados a partir de 1975, nos dará o número de acidentes ambientais ocorridos a cada ano, nesse período. Determine, então, o número de acidentes que teria ocorrido no ano de 1990.
A) 16 acidentes
B) 17 acidentes
C) 18 acidentes
D) 3 acidentes
035. (U. Amazônia-PA) O número N de batimentos cardíacos, por minuto, de uma pessoa depende da temperatura ambiente T. Para uma pessoa adulta que não esteja exercendo atividade física, esse número pode ser calculado através da função N(T) = 0,1T2 – 4T + 90. Foi feita medição em uma pessoa, nessas condições, obtendo-se como resultado 60 batimentos por minuto. Qual a temperatura,em graus Celsius, no momento da medição?
A) 30º C ou 10ºC
B) 30º C ou –10ºC
C) –30º C ou 10ºC
D) –30º C ou –10ºC
036. Uma locadora de veículos cobra, para cada locação, uma parcela fixa e uma outra parcela que depende da quilometragem rodada. Sabendo que a parcela fixa é de R$50,00 e que o custo do quilômetro rodado é de R$ 0,80, pode-se afirmar que um cliente, ao pagar R$450,00, percorreu um total de:
A) 5x105m
B) 50 km
C) 4,4x105m
D) 450 km
E) 5x103m
037. A figura a seguir representa a evolução dos milhares de unidades vendidas de um produto em função do tempo, dado em meses, desde seu lançamento.
O trecho correspondente ao intervalo [0, t1] pode ser representado pela expressão y = 0,05x2 e o trecho correspondente ao intervalo ]t1, t2] por y = –0,05x2 + 4x – 40.
Considere que o ponto (t2, V) corresponde ao vértice da parábola de equação y = –0,05x2 + 4x – 40. Nos últimos dez meses representados no gráfico, as vendas totais, em milhares de unidades, foram iguais a
A) 1.
B) 2.
C) 3.
D) 4.
E) 5.
Texto Comum à questão: 45
Num restaurante localizado numa cidade do Nordeste brasileiro são servidos diversos tipos de sobremesas, dentre os quais sorvetes. O dono do restaurante registrou numa tabela as temperaturas médias mensais na cidade para o horário do jantar e a média diária de bolas de sorvete servidas como sobremesa no período noturno.
Sabe-se que, em certo posto de combustível, as bombas de gasolina despejam o líquido à vazão constante de 3 litros por minuto.
Certo dia, Lia parou nesse posto para abastecer seu carro quando ainda havia 10 litros de gasolina no tanque e foram gastos 5 minutos para colocar em seu interior mais alguns litros da gasolina, após o que ela seguiu sua viagem. Imediatamente após ter saído do posto, sabe-se que o carro de Lia:
– rodou ininterruptamente por 95 minutos, quando, então, esgotou-se toda a gasolina do tanque e ele teve que parar;
– ao longo desses 95 minutos, o volume de combustível no tanque, em litros, pode ser descrito como uma função do tempo t, em minutos, cujo gráfico é parte do ramo de uma parábola cujo vértice é o ponto (100; 0).
038. Considerando o intervalo 0  t  100, em que t = 0 é o instante em que Lia parou no posto para colocar gasolina, então, se V(t) é o volume de gasolina no tanque, em função do tempo t, em minutos, a expressão de V(t),em litros, é
EXERCITANDO EM CASA
01. O imposto de renda devido por uma pessoa física à Receita Federal é função da chamada base de cálculo, que se calcula subtraindo o valor das deduções do valor dos rendimentos tributáveis. 
O gráfico dessa função, representado na figura, é a união dos segmentos de reta 
CD
,
BC
,
AB
,
OA
e da semirreta. 
DE
João preparou sua declaração tendo apurado como base de cálculo o valor de R$ 43.800,00. Pouco antes de enviar a declaração, ele encontrou um documento esquecido numa gaveta que comprovava uma renda tributável adicional de R$ 1.000,00. Ao corrigir a declaração, informando essa renda adicional, o valor do imposto devido será acrescido de
A) R$ 100,00
B) R$ 200,00
C) R$ 225,00
D) R$ 450,00
E) R$ 600,00
02. Uma empresa de tecnologia desenvolveu um produto do qual, hoje, 60% das peças são fabricadas no Brasil, e o restante é importado de outros países. Para aumentar a participação brasileira, essa empresa investiu em pesquisa, e sua meta é, daqui a 10 anos, produzir, no Brasil, 85% das peças empregadas na confecção do produto. 
Com base nesses dados e admitindo-se que essa porcentagem varie linearmente com o tempo contado em anos, o percentual de peças brasileiras na fabricação desse produto será superior a 95% a partir de
A) 2027
B) 2026
C) 2028
D) 2025
03. Ao pesquisar preços para a compra de uniformes, duas empresas, E1 e E2, encontraram, como melhor proposta, uma que estabelecia o preço de venda de cada unidade por 
20
n
120
-
, onde n é o número de uniformes comprados, com o valor por uniforme se tornando constante a partir de 500 unidades. 
Se a empresa E1 comprou 400 uniformes e a E2, 600, na planilha de gastos, deverá constar que cada uma pagou pelos uniformes, respectivamente, 
A) R$ 38.000,00 e R$ 57.000,00. 
B) R$ 40.000,00 e R$ 54.000,00. 
C) R$ 40.000,00 e R$ 57.000,00. 
D) R$ 38.000,00 e R$ 54.000,00.
04. Analise o gráfico a seguir, que representa a população mundial, em milhões, entre os anos de 1800 e 2010.
Disponível em: <en.wikipedia.org/wiki/World_population>.Acesso em: 1º nov. 2012. (Adaptado).
Denotando por p(t) a população mundial, em milhões, no ano t, é possível aproximar diferentes trechos do gráfico por funções afins. Com relação à dinâmica histórico-demográfica, representada no gráfico, observa-se, no período em que p(t) aproxima-se de
A) 75t – 144000, um aumento da estabilidade política mundial, evidenciado pela inexistência de conflitos internacionais.
B) 75t – 144000, uma redução das desigualdades socioeconômicas, com a coletivização dos meios de produção nos países socialistas.
C) 
,
11000
3
20t
-
um aumento da expectativa de vida da população, com o desenvolvimento científico e tecnológico decorrente das corridas espacial e armamentista.
D) 
,
11000
3
20t
-
, uma redução da fome nos países africanos em decorrência do processo de descolonização, além da melhora das condições sanitárias e de saúde pública.
E) 
,
11000
3
20t
-
, uma redução das taxas de mortalidade nos países onde iniciou-se a Revolução Industrial, além da manutenção de elevadas taxas de natalidade.
05. O jornal Folha de S. Paulo publicou, em maio de 2012, o seguinte gráfico sobre o número de pessoas diabéticas no mundo em função do ano especificado.
Suponha que, entre os anos de 2008 e 2030, o gráfico represente uma função do 1º grau. Nessas condições, é possível estimar que o número de pessoas com diabetes no mundo em 2013, em milhões, será aproximadamente de
A) 423.
B) 289.
C) 357.
D) 393.
E) 485.
06. O valor cobrado por uma empresa, em milhões de reais, para construir uma estrada, varia de acordo com o número x de quilômetros de estrada construídos. O modelo matemático para determinar esse valor é uma função polinomial do primeiro grau, cujo gráfico é uma reta que passa pelos pontos de coordenadas (x, y), dadas abaixo.
	x
	y
	0
	4
	p
	5
	15
	7
	18
	k
Qual é o valor de p + k?
A) 9,4
B) 10,4
C) 11,4
D) 12,6
E) 22,5
07. Uma empresa vende x unidades de um produto em um mês a um preço de R$100,00 por unidade. Do total arrecadado, 24% são destinados ao pagamento de impostos e R$6.000,00 cobrem despesas fixas. A receita da empresa, descontando-se os impostos e os custos fixos, é dada por
A) 100x – 4560.
B) 76x – 6000.
C) 100x + 6000.
D) 76x – 4560.
E) 24x + 6000.
08. Uma única linha aérea oferece apenas um voo diário da cidade A para a cidade B. O número de passageiros y que comparecem diariamente para esse voo relaciona-se com o preço da passagem x, por meio de uma função polinomial do primeiro grau.
Quando o preço da passagem é R$ 200,00, comparecem 120 passageiros e, para cada aumento de R$ 10,00 no preço da passagem, há uma redução de 4 passageiros. Qual é o preço da passagem que maximiza a receita em cada voo?
A) R$ 220,00
B) R$ 230,00
C) R$ 240,00
D) R$ 250,00
E) R$ 260,00
09. O custo total diário de produção de x unidades de certo produto é dado pela função C(x) = 
,
k
x
200
-
600x
+
 em que k é uma constante e x  100.
Se 20 unidades foram produzidas ontem por um custo total de R$ 640,00, o valor de k é
A) 45.
B) 50.
C) 35.
D) 40.
E) 30.
010. As residências do distrito de Feiticeiro em Jaguaribe, no estado do Ceará, que estão conectadas à rede de abastecimento d’água, pagam uma taxa fixa mensal, acrescida de uma outra taxa variável por m3 de água consumida. Por exemplo, uma residência que gasta 2,5 m3 paga R$ 90,00, enquanto outra residência que gasta 4,0 m3 paga R$105,00. Sendo assim, podemos concluir que o consumo d’água de uma residência cuja conta foi de R$ 130,00 é:
A) 6,5 m3
B) 6,8 m3
C) 7,0 m3
D) 7,5 m3
E) 8,0 m3
011. O preço de um carro, a partir do momento emque é retirado de uma concessionária, sofre uma desvalorização nos primeiros 10 anos de uso representada pela função P(t) = 30000 – 2000t, em que P é o preço do carro em reais e t ≥ 0 é o tempo em anos. Com base nestes dados, determine: 
A) o preço do carro ao sair da concessionária; 
B) o preço do carro cinco anos após ter saído da concessionária; 
C) o valor que o carro perde a cada ano de uso; 
D) a sequência que representa o preço do carro nos primeiros dez anos de uso; 
E) o gráfico da função P(t), para 0  t  10.
012. A função f(x) = ax + b é decrescente e f(1) = 3. A soma dos possíveis valores de a, de modo que a área formada pelo gráfico da função f e os eixos coordenados seja 8, vale
A) –6.
B) –8.
C) –10.
D) –12.
E) –14.
013. Uma loja de eletrodomésticos paga mensalmente, aos funcionários que trabalham no setor de vendas, 800 reais mais 5 por cento de comissão. As comissões são calculadas no final de cada mês contabilizando as vendas do período de cada vendedor. Carlos, que é do setor de venda, contabilizou um total de R$ 20.485,00 reais de produtos da loja vendidos por ele. O salário que Carlos receberá esse mês será de 
A) R$ 1724,25 
B) R$ 1721,25 
C) R$ 1024,25 
D) R$ 1124,25 
E) R$ 1824,25 
014. A relação entre o lucro, em milhares de reais, de determinada companhia de televisão a cabo e o número x de assinantes é descrita por uma função quadrática L, tal que L(x) = –x2 + bx + c.
Sabendo que a companhia será rentável quando tiver entre 12 mil e 84 mil assinantes, identifique a alternativa em que consta o lucro máximo que ela pode atingir e o correspondente número de assinantes que ela deve ter para que isso ocorra.
	
	Lucro máximo (em milhares de reais
	Número de assinantes em milhares)
	A)
	1.296
	48
	B)
	1.152
	36
	C)
	1.008
	84
	D)
	1.008
	36
	E)
	1.152
	48
015. O conjunto das soluções inteiras da inequação x2 – 3x  0 é:
A) {0, 3}
B) {1, 2}
C) {–1, 0, 2}
D) 1, 2, 3}
E) {0, 1, 2, 3}
016. A posição de um objeto que se move horizontalmente é dada pela função x(t) = 25,0 + 35,0t – 3,5 t2, onde a posição x e o tempo t estão em unidades do SI.
Quantos segundos são necessários para que a velocidade atinja 1/5 de seu valor inicial?
A) 4,0
B) 5,0
C) 10,0
D) 12,5
E) 28,0
017. O número total de pessoas infectadas por um novo tipo de vírus no intervalo de tempo de zero a 10 semanas é dado pela função f(t) = - 2t2 + 40t + 15, na qual t = 0 é a semana em que foram registrados os primeiros 15 casos e t = 10 a semana em que estavam infectadas o maior número de pessoas. Na semana de t = 10, um medicamento para combater o vírus começou a ser ministrado e o número de pessoas infectadas começou a diminuir em 25 casos por semana, até a erradicação completa do vírus. A aplicação do medicamento também evitou que novos casos de contaminação surgissem após a décima semana. A semana em que o número total de pessoas infectadas volta a ser 15 foi a
A) 19.
B) 21.
C) 20.
D) 18.
E) 22.
018. Um tio rico de Joãozinho deixa para ele o terreno que ele escolher dentre suas propriedades. Contudo, Joãozinho deve seguir duas regras para fazer a escolha do terreno: o terreno deve ter forma retangular e plana e o perímetro do mesmo não pode exceder 400 m. Joãozinho acabou escolhendo um terreno que, além de satisfazer as regras impostas, tem a maior área possível.
A área, em m2, do terreno escolhido por Joãozinho é
A) 4 × 104
B) 1 × 104
C) 4 × 103
D) 1 × 103
E) 4 × 102
019. Deseja-se construir um galpão com base retangular de perímetro igual a 100 m. A área máxima possível desse retângulo é:
A) 575m2
B) 600m2
C) 625m2
D) 650m2
E) 675m2
020. Em um terreno, na forma de um triângulo retângulo, será construído um jardim retangular, conforme figura abaixo.
Sabendo-se que os dois menores lados do terreno medem 9 m e 4 m, as dimensões do jardim para que ele tenha a maior área possível, serão, respectivamente,
A) 2,0 m e 4,5 m.
B) 3,0 m e 4,0 m.
C) 3,5 m e 5,0 m.
D) 2,5 m e 7,0 m.
021. Um jogador de futebol chuta uma bola a 30 m do gol adversário. A bola descreve uma trajetória parabólica, passa por cima da trave e cai a uma distância de 40 m de sua posição original. Se, ao cruzar a linha do gol, a bola estava a 3 m do chão, a altura máxima por ela alcançada esteve entre
A) 4,1 e 4,4 m.
B) 3,8 e 4,1 m.
C) 3,2 e 3,5 m.
D) 3,5 e 3,8 m.
022. Uma dose de um medicamento foi administrada a um paciente por via intravenosa. Enquanto a dose estava sendo administrada, a quantidade do medicamento na corrente sanguínea crescia. Imediatamente após cessar essa administração, a quantidade do medicamento começou a decrescer. 
Um modelo matemático simplificado para avaliar a quantidade q, em mg, do medicamento, na corrente sanguínea, t horas após iniciada a administração, é q(t) = – t2 + 7t + 60.
Considerando esse modelo, a quantidade, em mg, do medicamento que havia na corrente sanguínea, ao ser iniciada a administração da dose e o tempo que durou a administração dessa dose, em horas, foram, respectivamente,
A) 5 e 12.
B) 0 e 12.
C) 0 e 3,5.
D) 60 e 12.
E) 60 e 3,5.
023. Estima-se que a distância D, em metros, percorrida por um automóvel desde o momento em que seus freios são acionados até a parada definitiva é dada pela função 
5
v
80
v
D
2
+
=
, para velocidades V em km/h. De acordo com essa função, um automóvel que freia a 60 km/h vai parar após ter percorrido uma distância de:
A) 45 m
B) 57 m
C) 32 m
D) 50 m
E) 63 m
024. Na comercialização de certo produto, a receita é dada por R(q) = –q2 + 27q, o custo, pela equação C(q) = q+48 e o lucro, pela igualdade L(q) = R(q) – C(q). Nessas funções, o lucro, o custo e a receita são medidos em milhares de reais e a variável q indica o número de peças comercializadas. Com base nessas informações, pode-se afirmar que o número q de peças que devem ser comercializadas, de modo que o lucro seja máximo, é igual a:
A) 13
B) 14
C) 15
D) 16
025. Uma placa retangular de metal com 105cmde largura e 280cm de comprimento deve ser totalmente recortada em placas quadradas, todas com o mesmo tamanho e cada uma com a maior área possível. O perímetro de cada uma dessas placas, em centímetros, é:
A) 120
B) 140
C) 160
D) 180
026. Suponha que, em um sistema de eixos coordenados cartesianos, o Recruta Zero, no momento do lançamento do projétil, e o Sargento Tainha, no instante em que foi atingido, estivessem localizados, respectivamente, nos pontos (0, 6) e (24, 0) e que o projétil lançado descreveu uma trajetória parabólica atingindo uma altura máxima H, em relação ao nível do solo, no ponto de abscissa igual a 10.
Nessas condições, o valor de H, em u.c., é
A) 11,5 
 Disponível em: < http://blog.clickgratis.com.br/SOTIRINHAS/.>.Acesso em: 5 ago. 2011.
B) 11,75 
C) 12,0 
D) 12,25
E) 12,5
027. Um jogador de futebol ao bater uma falta com barreira, chuta a bola de forma a encobri-la. A trajetória percorrida pela bola descreve uma parábola para chegar ao gol.
Sabendo-se que a bola estava parada no local da falta no momento do chute, isto é, com tempo e altura iguais a zero. Sabendo-se ainda, que no primeiro segundo após o chute, a bola atingiu uma altura de 6 metros e, cinco segundos após o chute, ela atingiu altura de 10 metros. Pode-se afirmar que após o chute a bola atingiu a altura máxima no tempo igual a: 
A) 3 segundos 
B) 3,5 segundos 
C) 4 segundos 
D) 4,5 segundos 
E) 5 segundos
028. Um ourives adota o seguinte critério para negociar certo tipo de pedra semipreciosa não polida: por uma pedra de x gramas ele paga o valor C(x) = x2 + 10 (reais) e a revende pelo preço V(x) = (x + 1)2 + 8 (reais). Tendo adquirido uma pedra por R$ 110,00, já estava para vendê-la quando, por descuido, ela caiu, partindo-se em apenas duas partes. Com a queda, a desvalorização da pedra foi máxima. Após a venda das duas pedras menores, o ourives teve um prejuízo de:
A) R$ 22,00
B) R$ 16,50
C) R$ 11,00
D) R$ 27,50
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO
Num restaurante localizado numa cidade do Nordeste brasileiro são servidos diversos tipos de sobremesas,dentre os quais sorvetes. O dono do restaurante registrou numa tabela as temperaturas médias mensais na cidade para o horário do jantar e a média diária de bolas de sorvete servidas como sobremesa no período noturno. 
029. Ao analisar as variáveis da tabela, um aluno de Administração, que fazia estágio de férias no restaurante, percebeu que poderia estabelecer uma relação do tipo y = ax + b, sendo x a temperatura média mensal e y a média diária de bolas vendidas no mês correspondente. Ao ver o estudo, o dono do restaurante fez a seguinte pergunta:
“É possível com base nessa equação saber o quanto aumentam as vendas médias diárias de sorvete caso a temperatura média do mês seja um grau maior do que o esperado?”
Das opções abaixo, a resposta que o estagiário pode dar, baseando-se no estudo que fez é:
A) Não é possível, a equação só revela que quanto maior a temperatura, mais bolas são vendidas.
B) Não é possível, pois esse aumento irá depender do mês em que a temperatura for mais alta.
C) Serão 20 bolas, pois esse é o valor de a na equação.
D) Serão 20 bolas, pois esse é o valor de b na equação.
E) Serão 400 bolas, pois esse é o valor de a na equação.
030. (UFJF) A figura ilustra três tipos diferentes de reservatórios de água, sendo que: o reservatório A é um prisma retangular reto, o reservatório B é um cone circular reto com vértice para baixo e o reservatório C é um cilindro circular reto na posição horizontal. Esses reservatórios, inicialmente vazios, estão sendo abastecidos com água a uma taxa constante igual a K m3 /min.
Os esboços de gráficos abaixo representam a altura h do nível de água, em metros, em função do tempo t, em minutos, para cada um dos reservatórios. 
A alternativa que melhor relaciona cada reservatório com o respectivo esboço de gráfico é:
A) A-I, B-II, C-III.
B) A-III, B-I, C-II.
C) A-II, B-III, C-I.
D) A-III, B-II, C-I.
E) A-II, B-I, C-III
031. (PUC-RS) Um clube reservou 100 lugares em um avião para que a torcida de seu time assistisse à final do campeonato em outro estado. Uma companhia aérea aceitou a reserva desde que o clube pagasse por passageiro R$ 800,00 mais uma taxa extra de R$ 10,00 por lugar vago, e nessas mesmas condições assumisse o pagamento correspondente ao número mínimo de 60 passageiros. A receita que a companhia obterá do clube, em função do número x de passageiros, é dada pela expressão
a) [800 + 10 (100 - x )] x, sendo máxima igual a R$ 80 000,00 quando o número desses passageiros for 100.
b) [800 + 10 (100 - x )] x, sendo máxima igual a R$ 81 000,00 quando o número desses passageiros for 90.
c) 800 x + 10 (100 - x ), sendo máxima igual a R$ 80 000,00 quando o número desses passageiros for 100.
d) 800 x + 10 (100 - x ), sendo máxima igual a R$ 81 000,00 quando o número desses passageiros for 90.
e) 800 x + 10 (100 - x ), sendo mínima igual a R$ 72 000,00, mesmo que não haja nenhum passageiro.
032. (Unicsul-SP) Um estacionamento para automóveis oferece duas modalidades de pagamento pelos seus serviços: a primeira, em que o cliente paga R$ 5,00 por dia de utilização, e a segunda, em que ele adquire um selo por R$ 50,00 e paga somente R$ 0,80 por dia de utilização. Comparando as duas modalidades de pagamento quanto ao custo para o cliente, é correto afirmar que
A) a primeira modalidade é mais vantajosa para o cliente que utiliza o estacionamento por 20 dias no máximo.
B) a primeira modalidade é mais vantajosa para o cliente que utiliza o estacionamento por 16 dias no máximo.
C) a primeira modalidade é mais vantajosa para o cliente que utiliza o estacionamento por 12 dias no máximo.
D) a primeira modalidade é mais vantajosa para o cliente que utiliza o estacionamento por 11 dias no máximo.
E) a primeira modalidade é mais vantajosa para o cliente que utiliza o estacionamento por 15 dias no máximo.
033. Se f é a função real de variável real, tal que f(2x + 1) = x para todo x, então 2f(x) + 3 é igual a:
A) x + 2 
B) x + 1
C) x
D) x – 1
034. Usando uma unidade monetária conveniente, o lucro obtido com a venda de uma unidade de certo produto é x – 10, sendo x o preço de venda e 10 o preço de custo. A quantidade vendida, a cada mês, depende do preço de venda e é, aproximadamente, igual a 70 – x. Nas condições dadas, o lucro mensal obtido com a venda do produto é, aproximadamente, uma função quadrática de x, cujo valor máximo, na unidade monetária usada, é:
a) 1200 
 b) 1000
 c) 900
 d) 800
e) 600
GABARITO
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
c
a
c
d
d
b
d
b
A
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
c
a
e
a
d
b
c
a
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
b
b
b
d
b
a
c
e
31
32
33 a
34 c
MTM PLUS DESAFIA VOCÊ
01. As raízes da equação x2 - px + q = 0, onde p e q são constantes, são os cubos das raízes da equação x2 + x + 1 = 0. Determine os valores de p e q.
COMPETÊNCIAS E HABILIDADES.
	COMPETÊNCIAS
	· Identificar situações que podem ser representadas por funções de exponenciais e logarítmicas 
· Reconhecer a lei de formação de uma função de exponencial e logarítmica
· Construir o gráfico de uma função exponencial e de logarítmica
· Determinar domínio e imagem dessas funções 
	
HABILIDADES
	· Aplicar os conceitos de funções de exponenciais nas resoluções de problemas 
· Aplicar os conceitos de funções de logarítmicas nas resoluções de problemas 
· Resolver situação-problema que envolva conhecimentos dessas funções. 
· Representar situações por meio de sentenças matemáticas
	Email para tirar dúvidas
	celsoberredo@hotmail.com
FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTMICA
FUNÇÃO EXPONENCIAL
Introdução: as aplicações da função exponencial no nosso cotidiano
 
 A falta de interesse por parte dos alunos nos conteúdos relacionados às funções é consequência, muitas vezes, de aulas mal planejadas. Muitos professores não colocam em prática a interdisciplinaridade no ensino das funções matemáticas. As funções exponenciais possuem uma diversidade de aplicações do cotidiano, estão presentes em diversas ciências como: na Matemática financeira é utilizada na capitalização de capitais pelo método do juro composto, na Geografia está relacionada a expressões responsáveis por explicar os crescimentos populacionais, na Química é utilizada em situações envolvendo decaimento radioativo, na Biologia está ligada a desenvolvimento de bactérias em culturas e crescimentos de determinadas plantas, na Psicologia expressa as curvas de aprendizagem, entre outras inúmeras aplicações. 
 As exponenciais, como são chamadas, possuem a característica de expressar acentuadas variações em períodos curtos, em razão da presença da incógnita no expoente da expressão. Somente essa definição não contribui para o sucesso da aprendizagem, o profissional licenciado em Matemática precisa buscar mecanismos capazes de relacionar os assuntos com o cotidiano, isto pode ser feito através de exemplos interdisciplinarizados. 
UM LENDA...
Conta a lenda que um rei solicitou aos seus súditos que lhe inventassem um novo jogo, a fim de diminuir o seu tédio. O melhor jogo teria direito a realizar qualquer desejo. Um dos seus súditos inventou, então, o jogo de xadrez. O Rei ficou maravilhado com o jogo e viu-se obrigado a cumprir a sua promessa. Chamou, então, o inventor do jogo e disse que ele poderia pedir o que desejasse. O astuto inventor pediu então que as 64 casas do tabuleiro do jogo de xadrez fossem preenchidas com moedas de ouro, seguindo a seguinte condição: na primeira casa seria colocada uma moeda e em cada casa seguinte seria colocado o dobro de moedas que havia na casa anterior. O Rei considerou o pedido fácil de ser atendido e ordenou que providenciassem o pagamento. Tal foi sua surpresa quando os tesoureiros do reino lhe apresentaram a suposta conta, pois apenas na última casa o total de moedas era de 263, o que corresponde a aproximadamente 9 223 300 000 000 000 000 = 9,2233.1018. Não se pode esquecer ainda que o valor entregue ao inventor seria a soma de todas as moedas contidas em todas as casas. O rei estava falido!A lenda nos apresenta uma aplicação de funções exponenciais, especialmente da função y = 2x.
1) O que é uma função exponencial?
Observe a notícia abaixo:
 Você provavelmente já deve ter lido ou escutado uma notícia onde cita-se um aumento exponencial ou descréscimo exponencial. Segundo o dicionário o termo "exponencialmente ou exponencial" significa algo que é considerado acima ou abaixo do comum ou que tem grande ritmo ou variação (ex.: crescimento exponencial).
Vamos supor que a cada ano o número dos casos de dengue nesse município aumente, aproximandamente, 10 vezes em relação ao ano anterior e este padrão se mantenha nos anos seguintes.
2010 → 17 casos
2011 → 17 . 10 = 170 casos (aproximadamente)
2012 → 17 . 10 . 10 = 1700 casos (aproximadamente)
... e assim sucessivamente.
Vamos chamar de Q(t) a quantidade de casos de dengue a cada ano t, considerando o ano de 2010 como t=0. 
A função que expressa o número de casos de dengue de acordos com o ano t será: Q(t) = 17 . 10t
Por exemplo, se nada for feito para conter o avanço do número de casos de dengue, em 2015 teremos t=5 anos. Portanto Q = 17 . 105 = 1.700.000 casos. Um valor que seria considerado absurdo.
Chamaremos de função exponencial toda função da dada por uma lei da forma:
Chama-se função exponencial de base a, com a ( 
*
IR
+
– {1}, a função f de IR ( 
*
IR
+
 definida por: 
x
a
)
x
(
f
=
Exemplos: 
1) f(x) = 3x é uma função exponencial de base 3. 
2) f(x) = 
x
3
2
÷
ø
ö
ç
è
æ
 é uma função exponencial de base 
3
2
. 
3) f(x) = 0,2x é uma função exponencial de base 0,2. 
MTM PLUS INFORMA:
As restrições a > 0 e a ( 1 dadas na definição são necessárias, pois: 
· Para a = 0 e x negativo, não existiria ax (não teríamos uma função definida em IR);
· Para a < 0 e x = ½, por exemplo, não haveria ax (não teríamos uma função em IR); 
· Para a = 1 e x qualquer número real, ax = 1 (função constante). 
2) COMO OBTER O GRÁFICO 
Exemplo 1: 
Construir o gráfico da função exponencial f : IR ( 
*
IR
+
 definida por f(x) = 2x. 
Resolução: 
Construímos uma tabela atribuindo alguns valores a x e calculamos as imagens correspondentes. 
	x 
	y = 2x
	(x; y)
	-3
	y = 2–3 = 
8
1
	
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
8
1
;
3
	–2
	y = 2–2 = 
4
1
	
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
4
1
;
2
	–1
	y = 2–1 = 
2
1
	
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
2
1
;
1
	0
	y = 20 = 1
	(0; 1)
	1
	y = 21 = 2 
	(1; 2)
	2
	y = 22 = 4
	(2; 4)
	3
	y = 23 = 8 
	(3; 8) 
Localizamos os pontos obtidos num sistema de coordenadas cartesianas. 
Exemplo 2: 
Construir o gráfico da função exponencial f : IR ( 
*
IR
+
 definida por f(x) = 
x
2
1
÷
ø
ö
ç
è
æ
Resolução
Construímos uma tabela atribuindo alguns valores a x e calculamos as imagens correspondentes. 
	x
	y = 
x
2
1
÷
ø
ö
ç
è
æ
	(x; y)
	-3
	y = 
3
2
1
-
÷
ø
ö
ç
è
æ
= 8
	(–3; 8)
	–2
	y = 
2
2
1
-
÷
ø
ö
ç
è
æ
= 4
	(–2; 4)
	–1
	y = 
1
2
1
-
÷
ø
ö
ç
è
æ
= 2
	(–1; 2)
	0
	y = 
0
2
1
÷
ø
ö
ç
è
æ
= 1
	(0; 1)
	1
	y = 
1
2
1
÷
ø
ö
ç
è
æ
= 
2
1
	
÷
ø
ö
ç
è
æ
2
1
;
1
	2
	y = 
2
2
1
÷
ø
ö
ç
è
æ
= 
4
1
	
÷
ø
ö
ç
è
æ
4
1
;
2
	3
	y = 
3
2
1
÷
ø
ö
ç
è
æ
= 
8
1
	
÷
ø
ö
ç
è
æ
8
1
;
3
Localizamos os pontos obtidos num sistema de coordenadas cartesianas. 
Demonstra-se que: 
a) O gráfico da função exponencial está sempre “acima do eixo 
Ox
”, pois ax > 0, (x ( IR; 
b) O gráfico da função exponencial sempre intercepta o eixo 
Oy
 no ponto (0; 1), pois a0 = 1, (a ( 
*
IR
+
– {1}; 
c) Se a > 1 a função exponencial é estritamente crescente e seu gráfico é do tipo do exemplo 1. 
d) Se 0 < a < 1 a função exponencial é estritamente decrescente e seu gráfico é do tipo do exemplo 2. 
e) A função exponencial é sobrejetora, pois o contradomínio e o conjunto-imagem são, ambos, iguais a 
*
IR
+
. 
f) A função exponencial é injetora pois qualquer reta horizontal intercepta seu gráfico no máximo uma vez. 
g) A função exponencial é, pois, bijetora. 
CONCLUSÕES 
a) O gráfico da função exponencial é do tipo: 
	a > 1
	0 < a < 1
	
	
b) 
2
1
x
x
x
x
a
a
2
1
=
Û
=
, pois a função exponencial é injetora. 
c) Se a > 1 então 
2
1
x
x
x
x
a
a
2
1
³
Û
³
, pois a função exponencial é estritamente crescente. 
d) Se 0 < a < 1 então 
2
1
x
x
x
x
a
a
2
1
£
Û
³
, pois a função exponencial é estritamente decrescente. 
3) EQUAÇÕES EXPONENCIAIS 
Chamamos de equação exponencial toda equação na qual a incógnita aparece em expoente. 
Exemplos: 
1) 3x = 81, cuja solução é x = 4. 
2) 2x – 5 = 16, cuja solução é x = 9. 
3) 16x – 42x – 1 – 10 = 22x – 1 , cuja solução é x = 1. 
4) 32x – 1 – 3x – 3x – 1 + 1 = 0, cujas soluções são x’ = 0 e x” = 1. 
Para resolver equações exponenciais, devemos observar dois passos importantes. 
1º) redução dos dois membros da equação a potências de mesma base; 
2º) aplicação da propriedade: am = an ( m = n (1 ( a > 0)
Exemplos: 
Resolva em IR as equações abaixo: 
a) 23x – 1 = 322x
Resolução: 
23x – 1 = 322x ( 23x – 1 = (25)2x ( 23x – 1 = 210x; daí, 3x – 1 = 10x, donde x = 
7
1
-
. Portanto, V = 
þ
ý
ü
î
í
ì
-
7
1
. 
b) 9x = 1 
Resolução: 
9x = 1 ( 9x = 90; logo: x = 0. Portanto, V = {0}
4) INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS 
Chamamos de inequação exponencial toda inequação na qual a incógnita aparece em expoente. 
Exemplos: 
1) 3x > 81, que é satisfeita para x > 4. 
2) 22x – 2 ( 
1
x
2
2
-
, que é satisfeita para todo x real. 
3) 
3
x
5
4
5
4
-
÷
ø
ö
ç
è
æ
³
÷
ø
ö
ç
è
æ
, que é satisfeita para x ( –3. 
4) 25x – 150 ( 5x + 3 125 < 0, que é satisfeita para 2 < x < 3. 
Para resolver inequações exponenciais, devemos observar dois passos importantes: 
1º) redução dos dois membros da inequação a potências de mesma base; 
2º) aplicação da propriedade: 
	a > 1
	0 < a < 1
	am > an ( m > n
(as desigualdades têm mesmo sentido)
	am > an ( m < n
(as desigualdades têm sentidos diferentes)
Exemplos: 
	a) 2x > 32 
Resolução: 
Como 32 = 25, a inequação pode ser escrita: 2x > 25. 
Sendo a base (2) maior que 1, temos: 2x > 25 ( ( x > 5.
Portanto, S = {x ( IR|x > 5}. 
	b) 
7
x
2
3
x
2
1
2
1
-
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
<
÷
ø
ö
ç
è
æ
Resolução: 
A base 
÷
ø
ö
ç
è
æ
2
1
 está compreendida entre 0 e 1; portanto, podemos escrever: 
7
x
2
3
x
2
1
2
1
-
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
<
÷
ø
ö
ç
è
æ
 ( x + 3 > 2x – 7 
x + 3 > 2x – 7 ( –x > –10 ( x < 10.
Portanto, S = {x ( IR|x < 10}. 
LEITURA COMPLEMENTAR: APLICABILIDADES DA FUNÇÃO EXPONENCIAL
Exemplo 1 
Após o início de um experimento o número de bactérias de uma cultura é dado pela expressão:
 N(t) = 1200*20,4t 
Quanto tempo após o início do experimento a cultura terá 19200 bactérias? 
N(t) = 1200*20,4t 
N(t) = 19200 
1200*20,4t = 19200 
20,4t = 19200/1200 
20,4t = 16 
20,4t = 24 
0,4t = 4 
t = 4/0,4 
t = 10 h 
A cultura terá 19200 bactérias após 10 h. 
Exemplo 2 
A quantia de R$ 1200,00 foi aplicada durante 6 anos em uma instituição bancária a uma taxa de 1,5% ao mês, no sistema de juros compostos. 
a) Qual será o saldo no final de 12 meses? 
b) Qual será o montante final? 
M = C(1+i)t (Fórmula dos juros compostos) onde: 
C = capital 
M = montante final 
i = taxa unitária 
t = tempo de aplicação 
a) Após 12 meses. 
Resolução 
M = ? 
C = 1200 
i = 1,5% = 0,015 (taxa unitária) 
t = 12 meses 
M = 1200(1+0,015)12 
M = 1200(1,015) 12 
M = 1200*(1,195618) 
M = 1.434,74 
Após 12 meses ele terá um saldo de R$ 1.434,74. 
b) Montante final 
Resolução 
M = ? 
C = 1200 
i = 1,5% = 0,015 (taxa unitária) 
t = 6 anos = 72 meses 
M = 1200(1+ 0,015)72 
M = 1200(1,015) 72 
M = 1200(2,921158) 
M = 3.505,39 
Após 6 anos ele terá um saldo de R$ 3.505,39 
Exemplo 3 
Sob certas condições, o número de bactérias B de uma cultura, em função do temo t, medido em horas, é dado por B(t) = 2t/12. Qual será o número de bactérias 6 dias após a hora zero? 
6 dias = 6 * 24 = 144 horas 
B(t)= 2t/12 
B(144) = 2144/12 
B(144) = 212 
B(144) = 4096 bactérias 
A cultura terá 4096 bactérias.
EXERCITANDO COM MTM PLUS
Questões reforçando a teoria 
01. Os números inteiros x e y satisfazem a equação 
y
3
y
1
x
3
x
5
.
3
5
2
2
+
=
+
+
+
+
. Então x - y é:
A) 8
B) 5
C) 9
D) 6
E) 7
02. Dada a inequação 
3
x
1
x
2
x
9
3
3
-
-
÷
ø
ö
ç
è
æ
³
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
o conjunto verdade V, considerando o conjunto universo como sendo o dos reais, é dado por
A) V = {x IR | x  -3 ou x  2}.
B) V = {x IR | x  -3 e x  2}.
C) V = {x IR | -3  x  2}.
D) V = {x IR | x  -3}.
E) V = {x IR | x  2}.
03. Resolva as equações exponenciais, determinando os correspondentes valores de x.
a) 7(x - 3) + 7(x - 2) + 7(x - 1) = 57
b) 
207
3
1
3
1
3
1
2
x
1
x
x
-
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
+
04. Sejam p e q raízes da equação 
.
0
3
3
4
3
x
4
x
4
=
+
×
-
Então o valor de 16(p + q) é:
A) 2
B) 4
C) 6
D) 8
E) 10
05. Resolver as seguintes equações exponenciais
A) 3x – 
2
x
3
x
1
x
3
23
3
3
15
-
-
+
=
+
B) 2x + 1 + 2x – 2 - 
x
1
x
2
30
2
3
=
-
A) Resolver as seguintes equações exponenciais 
)
x
1
_
x
(
)
x
1
x
(
3
81
3
2
2
=
+
B) (-3-√5)/2, 1 e (-3+√5)/2
C) (-2-√5)/2, 1 e (-2+√5)/2
D) 1
E) 0
F) 3
06. Se a área do triângulo retângulo ABC, indicado na figura, é igual a 3n, conclui-se que f (n) é igual a
A) 2.
B) 2
2
C) 3.
D) 3
2
E) 4.
07. A soma das raízes da equação 4 x+1 - 9.2x+ 2 = 0 é
A) -2
B) -1
C) 0
D) 1
08. O módulo da diferença entre as raízes da equação 
0
125
5
5
x
7
x
3
2
=
-
+
-
é igual a:
A) 1/5
B) 3/7
C) 2/3
D) 7/5
E) 5/3
09. O gráfico abaixo representa a função f: IR = IR definida por: f(x) = a.3-bx 
O valor de a · b é:
a) -1
b) -0,5
c) 0
d) 1
e) 1,5
010. Se f : R ( R é a função dada por f(x) = 100x – 5, então o valor de 
5
5
5
5
10
10
)
10
(
f
)
10
(
f
-
-
-
-
 é:
A) 10-1
B) 1
C) 10
D) 102 
011. Se os inteiros x e y satisfazem a equação 3x + 1 + 2y = 2y + 2 - 3x, então o valor de 3x é:
A) 1
B) 
3
1
C) 
9
1
D) 3
E) 9
012. Se x é solução da equação 34x – 1 + 9x = 6, então xx é igual a:
A)
2
2
B)
4
1
C)
2
1
D)
1
E)
27
013. Resolver a seguinte equação exponencial 4x - 
1
x
2
2
1
x
2
1
x
2
3
3
-
+
-
-
=
A) 1/5
B) 3/2
C) 2/3
D) 2/5
E) 5/3
DE “OLHO” NAS QUESTÕES DO ENEM
014. (ENEM) A população mundial está ficando mais velha, os índices de natalidade diminuíram e a expectativa de vida aumentou. No gráfico seguinte, são apresentados dados obtidos por pesquisa realizada pela Organização das Nações Unidas (ONU), a respeito da quantidade de pessoas com 60 anos ou mais em todo o mundo. Os números da coluna da direita representam as faixas percentuais. Por exemplo, em 1950 havia 95 milhões de pessoas com 60 anos ou mais nos países desenvolvidos, número entre 10% e 15% da população total nos países desenvolvidos.
Suponha que o modelo exponencial y = 363e0,03x, em que x = 0 corresponde ao ano 2000, x = 1 corresponde ao ano 2001, e assim sucessivamente, e que y é a população em milhões de habitantes no ano x, seja usado para estimar essa população com 60 anos ou mais de idade nos países em desenvolvimento entre 2010 e 2050. Desse modo, considerando e0,3 = 1,35, estima-se que a população com 60 anos ou mais estará, em 2030, entre
A) 490 e 510 milhões.
B) 550 e 620 milhões.
C) 780 e 800 milhões.
D) 810 e 860 milhões.
E) 870 e 910 milhões.
015. (ENEM) Considere que uma pessoa decida investir uma determinada quantia e que lhe sejam apresentadas três possibilidades de investimento, com rentabilidades líquidas garantidas pelo período de um ano, conforme descritas:
Investimento A: 3% ao mês
Investimento B: 36% ao ano
Investimento C: 18% ao semestre
As rentabilidades, para esses investimentos, incidem sobre o valor do período anterior. O quadro fornece algumas aproximações para a análise das rentabilidades:
Para escolher o investimento com a maior rentabilidade anual, essa pessoa deverá
A) escolher qualquer um dos investimentos A, B ou C, pois as suas rentabilidades anuais são iguais a 36%.
B) escolher os investimentos A ou C, pois suas rentabilidades anuais são iguais a 39%.
C) escolher o investimento A, pois a sua rentabilidade anual é maior que as rentabilidades anuais dos investimentos B e C.
D) escolher o investimento B, pois sua rentabilidade de 36% é maior que as rentabilidades de 3% do investimento A e de 18% do investimento C.
E) escolher o investimento C, pois sua rentabilidade de 39% ao ano é maior que a rentabilidade de 36% ao ano dos investimentos A e B.
QUESTÕES CONTEXTUALIZADAS
01. Um computador desvaloriza-se exponencialmente em função do tempo, de modo que seu valor y, daqui a x anos, será y = A ( kx, em que A e k são constantes positivas. Se hoje o computador vale R$ 5000,00 e valerá a metade desse valor daqui a 2 anos, seu valor daqui a 6 anos será:
A) R$ 625,00 
B) R$ 550,00 
C) R$ 575,00
D) R$ 600,00
E) R$ 650,00
02. Em setembro de 1987, Goiânia foi palco do maior acidente radioativo ocorrido no Brasil, quando uma amostra do césio-137, removida de um aparelho de radioterapia abandonado, foi manipulada inadvertidamente por parte da população. A meia-vida de um material radioativo é o tempo necessário para que a massa desse material se reduza a metade. A meia-vida do césio−137 é 30 anos e a quantidade restante de massa de um material radioativo após t anos, é calculada pela expressão M(t)=A⋅(2,7)kt, onde A é a massa inicial e k é uma constante negativa. Considere 0,3 como aproximação para log2.
Qual o tempo necessário, em anos para que uma quantidade de massa do césio−137 se reduza a 10% da quantidade inicial?
a) 27
b) 36
c) 50
d) 54
e) 100
03. A posição de um objeto A num eixo numerado é descrita pela lei 
t
5
,
0
2
.
8
7
8
1
-
-
, onde t é o tempo em segundos. No mesmo eixo, move-se o objeto B, de acordo com a lei 2-t. Os objetos A e B se encontrarão num certo instante tAB. O valor de tAB, em segundos, é um divisor de
A) 28.
B) 26.
C) 24.
D) 22.
E) 20. 
04. Num período prolongado de seca, a variação da quantidade de água de certo reservatório é dada pela função q(t) = q0 . 2(-0,1)t sendo q0 a quantidade inicial de água no reservatório e q(t) a quantidade de água no reservatório após t meses.
Em quantos meses a quantidade de água do reservatório se reduzirá à metade do que era no início?
A) 5.
B) 7.
C) 8.
D) 9.
E) 10.
05. Para realizar uma pesagem utilizando uma balança de dois pratos, coloca-se em um dos pratos o objeto que se deseja pesar e no outro uma ou mais peças, chamadas pesos, de modo que os pratos atinjam o equilíbrio (fiquem no mesmo plano horizontal). Assim, a massa do objeto será igual à soma das massas dos pesos, dos quais se conhece a massa de cada um. Podemos também colocar o objeto e um peso em um dos pratos e pesos no outro prato até obter o equilíbrio; assim, a massa do objeto será a diferença entre a soma das massas dos pesos colocados no outro prato e a massa do peso colocado junto com o objeto. 
Demonstra-se que, para pesar um objeto cuja massa, em certa unidade u, é um valor inteiro n, são necessários e suficientes pesos de massas 30, 31, 32, ..., 3k, na unidade u, tal que 3k é a maior potência inteira de 3, menor que n. Usando pesos cujas massas, em grama, sejam valores inteiros, a menor quantidade possível desses pesos que permite realizar todas as pesagens de resultados inteiros em grama, desde 1 g a 1.000 g, é: 
A) 8 
B) 7 
C) 6 
D) 5 
E) 4
06. O número N de bactérias de uma cultura é dado, em função do tempo t, em horas, por N(t) = 105.24t. Supondo log2 = 0,3, o tempo necessário para que o número inicial de bactérias fique multiplicado por 100 é:
A) 2 horas e 2 minutos 
B) 2 horas e 12 minutos 
C) 1 hora e 40 minutos
D) 1 hora e 15 minutos
E) 2 horas e 20 minutos
07. O crescimento excessivo de plantas aquáticas em um lago pode ser causado pelolançamento desordenado de nitrogênio e fósforo nessas águas. Considere um pequeno lago de área total igual a 256 m2. Suponha que a área tomada inicialmente pela vegetação seja de 16m2 e cresça de acordo com a expressão A(t)=AO(1,5)t , em que t é o tempo medido em horas a partir do momento em que foi constatada a presença dessa vegetação. Com base nessas informações, em quanto tempo aproximadamente a vegetação tomaria conta de todo o lago?
log 2 ( 0,30 e log 3 ( 0,48)
A) 2,8 anos.
B) 3,7 anos.
C) 6,6 anos.
D) 7,2 anos.
08. O total de indivíduos, na n-ésima geração, de duas populações P e Q, é dado, respectivamente, por 
n
4
)
n
(
P
=
 e 
n
2
)
n
(
Q
=
. Sabe-se que, quando 
1024
)
n
(
Q
)
n
(
P
³
, a população Q estará ameaçada de extinção. Com base nessas informações, essa ameaça de extinção ocorrerá a partir da:
A) décima geração.
B) nona geração.
C) oitava geração.
D) sétima geração.
E) sexta geração.
09. Certa substância radioativa de massa M0 (no instante t = 0) se desintegra (perde massa) ao longo do tempo. Em cada instante t ( 0 em segundos, a massa M(t) da substância restante é dada por M(t) = M03–2t. O tempo transcorrido, em segundos, para que a massa desintegrada da substância seja dois terços da massa inicial M0 é:
A) 0,5
B) 1
C) 1,5
D) 2
E) 4
010. Ambientalistas, após estudos sobre o impacto que possa vir a ser causado à população de certa espécie de pássaros pela construção de um grande conjunto de edifícios residenciais próximo ao sopé da Serra do Japi, em Jundiaí, SP, concluíram que a quantidade de tais pássaros, naquela região, em função do tempo, pode ser expressa, aproximadamente, pela função 
)
2
(
3
4
P
)
t
(
P
t
0
-
×
-
=
, onde t representa o tempo, em anos, e P0 a população de pássaros na data de início da construção do conjunto. Baseado nessas informações, pode-se afirmar que:
A) após 1 ano do início da construção do conjunto, P(t) estará reduzida a 30% de P0.
B) após 1 ano do início da construção do conjunto, P(t) será reduzida de 30% de P0.
C) após 2 anos do início da construção do conjunto, P(t) estará reduzida a 40% de P0.
D) após 2 anos do início da construção do conjunto, P(t) será reduzida de 40% de P0.
E) P(t) não será inferior a 25% de P0.
011. Com base em uma pesquisa, obteve-se o gráfico abaixo, que indica o crescimento de uma cultura de bactérias ao longo de 12 meses pela lei de formação representada pela função N(t) = k ( pt, onde k e p são constantes reais.
Nas condições dadas, o número de bactérias, após 4 meses, é:
A) 1800;
B) 2400;
C) 3000;
D) 3200;
E) 3600.
012. Um importante estudo a respeito de como se processa o esquecimento foi desenvolvido pelo alemão Hermann Ebbinghaus no final do século XIX. Utilizando métodos experimentais, Ebbinghaus determinou que, dentro de certas condições, o percentual P do conhecimento adquirido que uma pessoa retém após t semanas pode ser aproximado pela fórmula
P = (100 – a)(bt + a,
sendo que a e b variam de uma pessoa para outra. Se essa fórmula é válida para um certo estudante, com a = 20 e b = 0,5 , o tempo necessário para que o percentual se reduza a 28% será:
A) entre uma e duas semanas.
B) entre duas e três semanas.
C) entre três e quatro semanas.
D) entre quatro e cinco semanas.
E) entre cinco e seis semanas.
013. Dois modelos matemáticos que podem representar o crescimento de uma quantidade q em relação ao tempo t são: a função afim (por alguns autores, também chamada linear) – quando q cresce em quantidades iguais para valores igualmente espaçados de t; e a função exponencial – quando q cresce a uma razão constante para valores igualmente espaçados de t.
Considere a tabela de valores abaixo.
Os valores que provêm de uma função afim e de uma função exponencial são, respectivamente, os de:
A) q1 e q2.
B) q3 e q1.
C) q2 e q3.
D) q3 e q2.
E) q1 e q3.
ANLISANDO EM CASA
01. A solução da equação 
4
x
8
x
3
2
+
-
= 
3
8
x
3
2
-
 no conjunto R dos números reais é:
A) x = –2 
B) x = 1
C) x = 0
D) x = 2
E) x = –1
02. No sistema 
ï
î
ï
í
ì
=
+
=
-
+
+
2
3
2
2
16
1
4
1
b
2
a
b
a
, o valor de (2b – a) é dado por:
A) 0
B) 1
C) –1
D) –2
E) 2
03. Seja o sistema: 
ï
î
ï
í
ì
=
+
+
+
+
×
=
+
+
-
64
1
...
2
2
2
2
2
2
1
2
3
4
b
2
a
b
a
a
1
b
b
Logo, o produto a ( b (a > b > 0) é igual a:
A) 4
B) 8
C) 16
D) 20
E) 24
04. Seja V o conjunto de todas as soluções reais de 
15
3
5
2
x
x
2
2
£
-
+
. Então:
A) V = {x ( R tal que x ( –1}
B) V = {x ( R tal que x ( –1 ou x ( 3}
C) V = {x ( R tal que x ( 3}
D) V = {x ( R tal que –1 ( x ( 3}
E) V = {x ( R tal que x ( 0}
05. Para resolver a equação exponencial 
0
8
 4
.
 
24
4
2
-
x
2
x
2
=
+
-
-
, Aline tomou o cuidado de inicialmente multiplicar ambos os membros da equação por 16. Tendo resolvido corretamente, Aline encontrou dois números reais cujo produto vale:
A) 5
B) 4
C) 3
D) 2
06. Uma cidade é servida por três empresas de telefonia. A empresa X cobra, por mês, uma assinatura de R$ 35,00 mais R$ 0,50 por minuto utilizado. A empresa Y cobra, por mês, uma assinatura de R$ 20,00 mais R$ 0,80 por minuto utilizado. A empresa Z não cobra assinatura mensal para até 50 minutos utilizados e, acima de 50 minutos, o custo de cada minuto utilizado é de R$ 1,20. Portanto, acima de 50 minutos de uso mensal a empresa X é mais vantajosa para o cliente do que as outras duas.
Com base nos dados fornecidos pelo gráfico, pode-se afirmar que no ano 2000 houve um aumento de 20% no gasto com impostos, em relação a 1995.
A) 20
B) 30
C) 40
D) 50
E) Nra
07. O conjunto solução da inequação 
008
,
0
)
04
,
0
(
2
x
2
x
2
>
-
 é igual a:
A) 
{
}
3
x
/ 
 
R
x
S
<
Î
=
B) 
{
}
3
x
 
ou
 
-1
x
/ 
 
R
x
S
>
<
Î
=
C) 
{
}
3
x
 
1
x
/ 
 
R
x
S
<
<
Î
=
D) 
{
}
3
x
 
ou
 
1
x
/ 
 
R
x
S
<
>
Î
=
E) 
{
}
3
x
 
1
-
/ 
 
R
x
S
<
<
Î
=
08. Um barco parte de um porto A com 2k passageiros e passa pelos portos B e C, deixando em cada um metade dos passageiros presentes no momento de chegada, e recebendo, em cada um, 
2
k
2
novos passageiros. Se o barco parte do porto C com 28 passageiros e se N representa o número de passageiros que partiram de A, é correto afirmar que:
A) N é múltiplo de 7
B) N é múltiplo de 13
C) N é divisor de 50
D) N é divisor de 128
E) N é primo
09. Um programa computacional, cada vez que é executado, reduz à metade o número de linhas verticais e de linhas horizontais que formam uma imagem digital. Uma imagem com 2048 linhas verticais e 1024 linhas horizontais sofreu uma redução para 256 linhas verticais e 128 linhas horizontais. Para que essa redução ocorresse, o programa foi executado k vezes. O valor de k é:
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7 
010. No final da década de 1830, o fisiologista francês Jean Poiseuille descobriu que o volume V de sangue que corre em uma artéria por unidade de tempo, sob pressão constante, é igual à quarta potência do raio r da artéria multiplicado por uma constante, 
4
k(r)
 
 
V
=
. Para um aumento percentual de 10% no raio da artéria, o aumento percentual no volume de sangue é de
A) 46,41%
B) 10,50%
C) 20,21%
D) 140%
E) 44%
011. Dada a equação 
1
x
1
x
2
x
3
4
8
2
-
+
-
=
×
, podemos afirmar que sua solução é um número:
A) natural.
B) maior que 1.
C) de módulo maior do que 1.
D) par.
E) de módulo menor do que 1.
012. O acidente ocorrido com o monumento à época foi presenciado por 1/65 da população de São Luís-MA. O número de pessoas que soube do acontecimento, t horas depois, é dado por 
kt
Ce
1
B
)
t
(
f
-
+
=
, onde B representa toda a população da cidade. Sabendo-se que 1/9 da população soube do acidente 3 horas depois, então o tempo que passou até que 1/5 da população soubesse da notícia foi de: 
A) 4 horas 
B) 5 horas 
C) 6 horas
D) 7 horas 
E) 8 horas
013. Um candidato a deputado de São Paulofoi apresentado pelo programa eleitoral gratuito, e o número de pessoas que assistiram a sua propaganda foi modelado pela função N = 30 - 30(0,95)t, em que t é o número de dias e M é a quantidade de pessoas, em milhões, que assistiram a essa propaganda depois de t dias de exibição. A partir desse modelamento, pode-se concluir que, durante o segundo dia de exibição, o número de novas pessoas que foram atingidas pela propaganda foi de, aproximadamente, 
A) 1 milhão. 
B) 1 milhão e meio. 
C) 2 milhões. 
D) 2 milhões e meio 
E) 3 milhões.
014. Resolver as seguintes equações exponenciais
A) 3x – 1 – 3x + 3x + 1 + 3x + 2 = 306
B) 5x – 2 – 5x + 5x + 1 = 505
C) 23x + 23x + 1 + 23x + 2 + 23x + 3 = 240
D) 54x – 1 – 54x – 54x + 1 + 54x + 2 = 480
E) 3 ( 2x – 5 ( 2x + 1 + 5 ( 2x + 3 – 2x + 5 = 2
F) 2 ( 4x + 2 – 5 ( 4x + 1 – 3 ( 22x + 1 – 4x = 20
015. A equação 4x + 6x = 2.9x tem como solução o conjunto
016. a) {0} b) {1} c) {2} d) {3}
017. Um médico, ao tratar uma infecção grave de um paciente, necessita administrar doses de um antibiótico. A eliminação da droga pelo organismo ocorre segundo uma função exponencial. Sabe-se que, após 12 horas, a concentração do medicamento no organismo do paciente é de 20% da dose administrada, entretanto sabemos que é necessário manter uma concentração mínima da dose administrada inicialmente. 
	x
	1
	2
	3
	4
	5
	6
	7
	8
	9
	10
	Ln(x)
	0,00
	0,69
	1,10
	1,39
	1,61
	1,79
	1,95
	2,08
	2,20
	2,30
Considerando a tabela de logaritmos fornecida abaixo, o máximo intervalo de horas, após o qual deve ser administrada uma nova dose do antibiótico, de modo a manter a concentração da droga em um nível superior ou igual a 40% da dose administrada, é de, aproximadamente
B) 5 horas e 38 minutos 
C) 6 horas 
D) 6 horas e 12 minutos 
E) 6 horas e 51 minutos 
F) 7 horas e 25 minutos 
018. Admita que a oferta (S) e demanda (D) de uma mercadoria sejam dadas em função de real pelas funções S(x) = 4x + 2x + 1 e D(x) = - 2x + 40. Nessas condições, a oferta será igual à demanda para x igual a: 
A) 
2
log
2
log
1
-
B) 
2
log
1
C) 
2
log
3
log
2
D) 
2
log
3
log
2
log
+
GABARITO
1
2
3
4
5
6
7
8
 9
10
11
12
13 
14
15
E
E
B
D
C
A
d
D
 A
 A 
 E
 A
 E
 *
 A
*14 
a) 3
b) 3
c) 4/3
d) 1/2
e) 1
f) 1 
FUNÇÃO LOGARÍTMICA
Introdução
 John Napier (lê-se e escreve-se, em geral, Neper) (1550-1617) introduziu o cálculo logarítmico em 1614. John Napier foi um lorde escocês, homem muito culto e conhecedor das matemáticas da época que se envolveu na procura de um sistema que facilitasse a multiplicação de senos, mais tarde estendido a quaisquer números. Esse trabalho estendeu-se por mais de vinte anos e levou à publicação de um livro em 1614, que revolucionou a Matemática da época. 
 A sua obra "Descrição da maravilhosa regra dos logaritmos" causou grande surpresa e entusiasmo porque se tratava de técnicas simplificadoras de resolução de problemas de cálculo numérico, problemas estes relacionados com o desenvolvimento do comércio e da banca e do progresso da Navegação e Astronomia. "A invenção dos logaritmos surgiu no mundo como um relâmpago. Nenhum trabalho prévio anunciava ou fazia prever a sua chegada. Surge isolada e abruptamente no pensamento humano sem que se possa considerar consequência de obras ou de pesquisas anteriores" - citação de Lord Moulton
 O sistema logarítmico aplicou-se inicialmente à trigonometria, necessária à navegação e às observações astronômicas, mas foi estendido ao cálculo corrente. A invenção dos logaritmos no século XVI é comparável ao aparecimento dos computadores no século XX - foi um grande salto na realização das operações aritméticas e representou para a astronomia e para a navegação algo muito próximo do que hoje o computador representa para essas mesmas áreas. 
 Transformando os produtos em somas e os quocientes em diferenças, o uso dos logaritmos conseguiu diminuir em muito o tempo que os astrônomos gastavam nos seus cálculos. A ideia é bastante simples. Se for possível escrever dois números positivos quaisquer na forma de potências com a mesma base, então multiplicar esses números equivale a somar os expoentes respectivos.
1) DEFINIÇÃO DE LOGARITMO 
Dados dois números reais positivos, a e b, com a ( 1, existe um único número real x de modo que ax= b.
Este número x é chamado de logaritmo de b na base a e indica-se loga b. 
Podemos, então, escrever: 
)
0
b
,
0
a
1
(
b
log
x
b
a
a
x
>
>
¹
=
Û
=
Note que o logaritmo de b na base a nada mais é que o expoente ao qual se deve elevar o número a para obter b. 
Na igualdade x = loga b, temos: 
· a = base do logaritmo; 
· b = logaritmando ou antilogaritmo; 
· x = logaritmo. 
Exemplos: 
1) log2 32 = 5 pois 25 = 32 
4) log3 81 = 4 pois 34 = 81 
70
,
0
60
,
0
48
,
0
30
,
0
0
x
log
5
4
3
2
1
x
2) log4 16 = 2 pois 42 = 16 
5) log5 1 = 0 pois 50 = 1
3) log8 8 = 1 pois 81 = 8
MTM PLUS INFORMA:
1) A base deve ser positiva e diferente de 1, pois 1x = 1, (x ( IR, e 0x (x ( IR) e ax (a < 0 e x ( IR) nem sempre são definidos. 
2) Os números negativos e o zero não têm logaritmo. Já vimos que loga b = x ( ax = b e sabemos que ax é positivo (potência de base positiva é positiva). Portanto, b é positivo. 
3) Quando escreveos somente log b sem indicar a base, fica subentendido que a base é 10. Assim, log b = log10 b. 
Exemplo: Determine os valores de x para que exista log(x + 1) (x2 – 4). 
Resolução: 
As condições de existência (C.E.) para o logaritmo são: 
ï
î
ï
í
ì
+
¹
+
>
+
-
>
-
base)
 
a
 
é
 
1
(x
(2)
1
1
x
e
0
1
x
do)
logaritman
 
o
 
é
4
x
(
)
1
(
0
4
x
2
2
(1) x2 – 4 > 0 
(2) 
x2 – 4 = 0 ( x’ = 2 e x” = 2 
Portanto, deveremos ter x > 2 para que exista o logaritmo. 
Consequências da definição 
Sendo 1 ( a > 0, b > 0, c > 0 e m um número real qualquer, temos, a seguir, algumas consequências da definição de logaritmo: 
1. loga 1 = 0 
De fato, loga 1 = x ( ax = 1 ( x = 0. 
Exemplos: log2 1 = 0, log3 1 = 0, log5 1 = 0 e 
0
1
log
2
1
=
. 
2. loga a = 1
De fato, loga a = x ( ax = a ( x = 1. 
Exemplos: log2 2 = 1, log5 5 = 1, log0,2 0,2 = 1 e 
1
3
log
3
=
. 
3. loga am = m 
De fato, loga am = x ( ax = am ( x = m. 
Exemplos: log2 23 = 3; log4 45 = 5; log3 243 = log3 35 = 5; 
4
5
3
log
81
625
log
4
5
3
5
3
-
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
-
. 
4. loga b = loga c ( b = c 
De fato, loga b = loga c = x ( 
ï
î
ï
í
ì
=
=
c
a
b
a
x
x
( b = c 
Exemplos: 
log2 x = log2 (2x – 3) ( x = 2x – 3 ( x = 3; 
log5 (x2 – 3) = log 6 ( x2 – 3 = 6 ( x’ = 3 e x” = –3. 
5. 
b
a
b
log
a
=
De fato, 
b
log
a
a
 = x ( loga x = loga b ( x = b. 
Exemplos: 
8
3
2
;
7
2
;
5
3
8
log
7
log
5
log
3
2
2
3
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
=
. 
2) PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LOGARITMOS 
Vejamos, agora, propriedades que podem ser úteis no cálculo de alguns logaritmos. 
· 1ª) Logaritmo de produto 
loga (x ( y) = loga x + loga y (1 ( a > 0, x > 0 e y > 0). 
Exemplos: 
log10 (2 ( 3) = log10 2 + log10 3 
loga (x ( y2 ( z) = loga x + loga y2 + loga z (respeitadas as condições de existência). 
· 2ª) Logaritmo de quociente 
y
log
x
log
y
x
log
a
a
a
-
=
 (1 ( a > 0, x > 0 e y > 0). 
Exemplos: 
log10 
5
4
 = log10 4 – log10 5 
loga 
3
2
y
x
 = loga x2 – loga y3 (respeitadas as condições de existência) 
· 3ª) Logaritmo de potência 
loga xm = m ( loga x (1 ( a > 0, x > 0 e m ( IR) 
Exemplos: 
log10 53 = 3 ( log10 5
loga x3 = 3 ( loga x (respeitadas as condições de existência)
Caso particular: Como 
n
m
n
m
x
x
=
, temos: 
x
log
n
m
x
log
x
log
a
n
m
a
n
m
a
×
=
=
 (1 ( a > 0, x > 0, m ( Z, n ( Z e n ( 2) 
Exemplos: 
5
log
3
2
5
log
2
3
2
2
×
=
x
log
5
4
x
log
a
5
4
a
×
=
 (respeitadas as condições de existência) 
MTM PLUS INFORMA:
É importante perceber que não podemos obter o logaritmo de uma soma ou