Praticas Experimentais_Matematica_V2

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LIVRO DO PROFESSOR
MARCIA VIVIANE BARBETTA MANOSSO
MICHELLY DELA VEDOVA COSTA
MATE
MÁTICA
ENSINO MÉDIO
1a Edição
laboratório de 
Projeto Gráfico:
Gil Marcel Cordeiro
Diagramação:
Mateus Marcos Bonn
Revisão Ortográfica:
Neusa Maria Andreoli
Fábrica:
Rua Nápoles, 149 / Atuba / Colombo -PR
Show Room e vendas:
Rua Ricardo Lemos, 404 / Ahú / Curitiba – PR
Fone:
0800 41 6255
www.brinkmobil.com.br
Título do livro:
Laboratório de Matemática – 
Ensino Médio
Ciclo:
Ensino Médio
Compontente curricular: 
Matemática
Autoras:
Marcia Viviane Barbetta 
Manosso
Michelly Dela Vedova Costa
C837
M285
 Costa, Michelly Dela Vedova/Manosso, Márcia Viviane 
Barbetta – 2020 
 Laboratório de Matemática - Ensino Médio – Michelly 
Dela Vedova Costa/Márcia Viviane Barbetta Manosso – Curitiba 
– Brink Mobil Equipamentos Educacionais Ltda. – 1ª ed. – 2020.
 ISBN 978-65-87758-21-3
 
 1.Matemática 2. Ensino Médio 
 3.Título
 CDD 510 
FICHA
TÉCNICA
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TAÇÃO
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Para fins de reflexão, é importante o professor estar atento às 
metodologias de ensino da matemática, às diferentes possibilidades 
didáticas e aos estudos sobre Educação Matemática. Com o objetivo 
de evitar obstáculos didáticos, por exemplo, podemos visualizar sólidos 
geométricos com a utilização de materiais didáticos manipuláveis, 
evitando as representações em perspectiva no quadro, e substituindo 
uma representação bidimensional pelo objeto real tridimensional. Neste 
contexto, deve ser selecionado o material mais apropriado para cada 
situação didática. 
No ambiente escolar ocorrem muitas situações que dificultam a 
realização de aulas práticas. Dentre os vários motivos, destaca-se a 
falta de material didático, a falta de práticas pedagógicas vinculadas ao 
conteúdo, o tempo disponível para elaborar aulas com material didático 
manipulável e a falta de formação para o uso desses recursos. O contexto 
impede e o professor evita, na maior parte do tempo, essas inserções, 
limitando a oportunidade que o aluno teria de vivenciar as situações de 
aprendizagem no contexto do laboratório de ensino da Matemática. 
Com o Laboratório de Matemática há outra opção didática para 
o ensino, em que o aluno percebe a evolução e a articulação entre os 
conteúdos implícitos na prática e faz a relação com o saber, ao participar 
e discutir suas observações com colegas e professor.
Neste livro serão apresentadas orientações aos professores e 
propostas de atividades com os materiais didáticos manipuláveis que 
compõem o laboratório. Os capítulos estão organizados nas grandes 
áreas da matemática, como propõe a BNCC, contemplando as seguintes 
unidades: Números e Álgebra, Geometria e Medidas.
Cabe ressaltar que este livro traz apenas algumas sugestões e 
possibilidades para inspirar os professores. Um dos objetivos do 
Laboratório de Ensino de Matemática é possibilitar a exploração e a 
criação de práticas experimentais. Assim, é papel do professor inventar, 
testar e adaptar atividades com o uso dos recursos do laboratório, adaptar 
as práticas apresentadas para a realidade de cada turma, tornando-as 
mais fáceis ou mais complexas, bem como utilizar contextos similares 
para explorar conceitos matemáticos diferentes dos sugeridos ou até 
mesmo criar experimentos totalmente novos com os materiais didáticos.
Bom trabalho!
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05 Ensino e Aprendizagem de Matemática 
08 BNCC e os Materiais didáticos manipuláveis 
14 Composição 
15 Unidade 1 _ Números e Álgebra 
16 Conjunto de Produtos Notáveis MAT_01NA01
28 Conjunto para Funções Afins e Quadráticas MAT_01NA02
38 Unidade 2 _ Geometria e Medidas 
39 Conjunto de Figuras Planas MAT_02GM01
45 Eixos Articuláveis com Transversal MAT_02GM02
55 Triângulo Articulável MAT_02GM03
63 Quadro de Geometria Plana MAT_02GM04
72 Conjunto de Tales MAT_02GM05
78 Sólidos Geométricos MAT_02GM06
86 Sólidos de Revolução MAT_02GM07
93 Ciclo Trigonométrico MAT_02GM08
100 Referências
sumário
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ENSINO E APRENDIZAGEM EM MATEMÁTICA
No texto a seguir são apresentadas brevemente algumas pesquisas e discussões so-
bre o ensino de Matemática e a formação de professores, buscando analisar conceitos do 
campo de estudo da Educação Matemática inerentes à relação de ensino e aprendizagem, 
de forma a evidenciar a utilização de materiais didáticos manipuláveis de Matemática e 
sua possível influência no saber do aluno.
O professor muitas vezes se questiona 
se o aluno realmente entendeu o que foi 
explicado e repensa o processo de ensi-
no e aprendizagem a partir de uma nova 
reflexão sobre sua metodologia, gerando 
novos significados para seu saber e as 
relações que poderia fazer para ensinar 
determinado conteúdo. Nesse sentido, 
busca-se a fundamentação da didática da 
matemática. Segundo Pais (2011, p.11), 
A didática da matemática é uma das 
tendências da grande área de educação 
matemática, cujo objeto de estudo é a ela-
boração de conceitos e teorias que sejam 
compatíveis com a especificidade educa-
cional do saber escolar matemático, pro-
curando manter fortes vínculos com a for-
mação de conceitos matemáticos, tanto 
em nível experimental da prática pedagó-
gica como no território teórico da pesqui-
sa acadêmica (PAIS, 2011, p.11).
As tendências são de extrema impor-
tância para o professor conhecer as dife-
rentes metodologias, pois elas estão mais 
presentes no cotidiano escolar e se vincu-
lam às práticas pedagógicas da Educação 
Básica. No ambiente de laboratório de 
matemática pode-se identificar a relação 
com algumas tendências metodológicas, 
entre elas a Resolução de Problemas, a 
Modelagem Matemática, a Investigação 
Matemática, os Jogos e Brincadeiras, as 
Mídias Tecnológicas e a História da Ma-
temática.
Na educação escolar propõem-se si-
tuações didáticas para ensinar determi-
nado conceito matemático e, na busca 
da compreensão da teoria, realizamos um 
experimento que a verifica. As referências 
da teoria sobre o contrato didático estão 
nas pesquisas de Brousseau (1998), que 
afirmam existir na prática pedagógica de-
terminadas regras que se vinculam a esse 
processo didático. São decisões estabe-
lecidas entre o professor e os alunos, as 
quais podem ser modificadas conforme o 
andamento da situação didática. Ao pro-
por aos alunos uma aula de laboratório, 
buscam-se alguns critérios para o desen-
volvimento da aula – um contrato didático 
para cumprir nossa atividade prática, em 
que se trabalha em grupos e deve-se focar 
a intenção pedagógica e buscar o conhe-
cimento matemático com as dinâmicas 
estabelecidas. 
A relação com o saber pode estar em 
nosso cotidiano, em situações, lugares, 
pessoas ou palavras que se relacionam. 
Pode-se dizer que a relação com o sa-
ber do professor é consigo, com os ou-
tros e com o mundo. A linguagem que o 
professor usa em relação ao seu saber é 
apresentada aos alunos, que fazem suas 
interpretações, geram significados e no-
vos saberes. Considera-se que conheci-
mento, aprendizagem e saberes formam 
Didática da Matemática Contrato Didático
Relação com o SaberTendências Metodológicas
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um conjunto de relações que fazem parte 
de nossa educação desde o nascimento, 
num processo longo e contínuo. Assim, 
a formação é contínua, estamos sempre 
numa constante busca pelo saber. A fun-
damentação para esse conceito se dá a 
partir das leituras da obra Da Relação com 
o Saber, de Bernad Charlot (2000).
Quando se faz a contextualização de 
determinado conteúdo a ser ensinado, 
tem-se um saber ensinado, um saber em 
que o aluno gera significados para si, para 
os outros e para o mundo.
Nem sempre os conceitos matemá-
ticos foram ensinados a partir de apli-
cações ou uso de materiais didáticos 
manipuláveis que podem contribuircom 
a aprendizagem ao investigar conceitos 
matemáticos e estabelecer relações com 
o saber do aluno. A linguagem do saber 
científico é diferente daquela que temos 
para o saber escolar. O ensino da matemá-
tica escolar permeia o saber do professor 
e o saber do aluno. Ao se preocupar com o 
ensino, na busca de vincular o saber cien-
tífico ao saber escolar, tem-se a transposi-
ção didática. Segundo descreve Yves Che-
vallard (1991), a transposição didática é 
a organização do saber matemático para 
adequá-lo à intencionalidade e ao contex-
to inserido quando se tem os diferentes 
saberes no processo de ensino e apren-
dizagem: o saber científico, o saber do 
professor e o do aluno. Na transposição 
didática, pode-se articular teoria e concei-
tos por meio de práticas pedagógicas. A 
linguagem do livro didático já faz parte de 
uma transposição didática que oportuniza 
situações que viabilizam a relação com o 
saber escolar para a Educação Básica.
Podemos visualizar uma representa-
ção desses saberes na imagem, a seguir.
Transposição Didática
Compreendemos como saber cientí-
fico (saber sábio) a produção científica. 
Sua releitura se configura em saber cien-
tífico didatizado (saber a ser ensinado). 
No espaço escolar o saber do professor 
(saber ensinado) se configura no proces-
so de transposição didática desse co-
nhecimento para o saber do aluno (saber 
aprendido). É importante salientar que 
nem sempre se pode garantir que o que 
é ensinado é aprendido pelo aluno, mas, 
uma vez compreendido pelo aluno, há a 
construção de novos significados e co-
nhecimentos, e tem-se o saber aprendido.
Ao pensar na ruptura dos conceitos 
antigos da Matemática e estabelecer os 
atuais, é feita uma reflexão a respeito 
dos possíveis obstáculos didáticos que o 
professor enfrenta ao ensinar determina-
do conceito. Nas diferentes fases de seu 
aprendizado, o aluno realiza novas des-
cobertas no ambiente escolar, passa por 
obstáculos didáticos criados nos níveis 
anteriores de seu aprendizado, por causa 
de situações ou linguagens utilizadas no 
processo de ensino da matemática. Para 
compreender um pouco a abordagem des-
se conceito sobre obstáculo didático, Pais 
(2011, p.46-47) apresenta um exemplo so-
Obstáculos Didáticos
O SABER
CIENTÍFICO
O SABER 
CIENTÍFICO 
DIDATIZADO
O SABER
DO PROFESSOR
O SABER
DO ALUNO
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Para cada situação didática é impor-
tante que o professor selecione o material 
mais apropriado, considerando o objeto de 
estudo, o objetivo, a faixa etária, e outros 
fatores. No contexto de um laboratório de 
Matemática, há várias opções de mate-
riais didáticos para explorar, por exemplo: 
os conceitos de geometria espacial, como 
os sólidos geométricos em acrílico, os 
sólidos de revolução, entre outros. Mas, 
o que são materiais didáticos? Para Lo-
renzato (2012, p.18), o material didático 
(MD) pode ser algo útil para o professor 
no processo de ensino e aprendizagem: 
“para apresentar um assunto, para motivar 
os alunos, para auxiliar a memorização de 
resultados, para facilitar a redescoberta 
pelos alunos? São respostas a essas per-
guntas que facilitarão a escolha do MD 
mais conveniente à aula”.
O Laboratório de Matemática tem 
como principal objetivo propiciar a rela-
ção entre a teoria e a prática. Os recur-
sos que o compõem favorecem a utiliza-
Material Didático
Laboratório de Matemática
bre a representação do cubo em perspectiva, um conceito de geometria espacial, na qual 
se faz um desenho em perspectiva do objeto tridimensional. Assim, embora todas as faces 
do cubo sejam quadradas, o aluno visualiza uma imagem com o quadrado na face da frente 
e um paralelogramo na face superior, que na realidade é um quadrado. Ainda podem surgir 
complicações na explicação para o aluno do conceito dos ângulos internos do quadrado, 
que são formados por ângulos retos, enquanto na visualização do paralelogramo, o aluno 
percebe que isso não se verifica. Nesse momento é criado o obstáculo didático, que pode 
ser fixado pelo aluno e gerar futuros problemas em sua interpretação sobre a representa-
ção de outros poliedros. 
No Ensino Fundamental Anos iniciais, alguns professores ensinavam o sistema posi-
cional separando unidade, dezena e centena da unidade de milhar por um ponto (o mais 
indicado é deixar um espaço). Dependendo de como isso é fixado pelo aluno, ele terá difi-
culdades com a representação da multiplicação, que é um ponto. No Ensino Médio tem-se 
outro problema, ao realizar operações com a calculadora, o aluno pode acabar inserindo 
o ponto no momento de representar os números desejados. Na calculadora esse ponto 
é compreendido como a vírgula, então, o número inteiro muda para uma representação 
decimal. 
ção de tendências metodológicas, como 
investigação matemática, resolução de 
problemas e modelagem matemática, que 
se fundamentam no princípio de estimular 
as crianças e adolescentes a raciocinar, 
representar, comunicar e argumentar ma-
tematicamente.
Assim, com o apelo ao tátil e visu-
al, os recursos possibilitam que o aluno 
construa seu conhecimento ao manipu-
lar e explorar os recursos de forma inte-
rativa, investigativa e experimental, bus-
cando resolver problemas. 
Dessa maneira, são estabe-
lecidas conexões entre os 
materiais e os diferentes ob-
jetos de estudo da matemáti-
ca, entre estes e o cotidiano do 
aluno, e entre estes e os demais 
componentes curriculares. 
Por isso, o Laboratório de 
Matemática, com seus mate-
riais didáticos manipuláveis, 
cria um ambiente de explora-
ção e descobertas que cola-
boram com um aprendiza-
do significativo para os 
adolescentes.
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E OS MATERIAIS DIDÁTICOS
MANIPULÁVEIS
O ensino e aprendizagem de matemá-
tica no Ensino Médio deve ser repleto de 
ações que ampliem o letramento matemá-
tico iniciado na etapa anterior, através do 
estímulo, por exemplo, da argumentação 
matemática. Assim, novos conhecimen-
tos específicos devem promover proces-
sos mais elaborados de reflexão e de abs-
tração, que deem sustentação a modos de 
pensar que permitam aos estudantes for-
mular e resolver problemas em diversos 
contextos com mais autonomia e recursos 
matemáticos (BNCC, 2018, p. 529). Logo, 
o foco deve ser na construção de uma vi-
são integrada da Matemática na perspec-
tiva de relacioná-la a objetos concretos e 
diferentes contextos da realidade.
Diante dessas considerações, a Base 
Nacional Comum Curricular (BNCC, 2018, 
p. 530) elenca, para o Ensino Médio, com-
petências específicas a serem desenvol-
vidas pelos estudantes na área de Mate-
mática e suas Tecnologias. Atreladas às 
competências específicas, são indicadas 
também algumas habilidades a serem al-
cançadas nessa etapa. 
Para garantir o desenvolvimento ma-
temático integral e significativo do estu-
dante, planejamento escolar, currículo e 
proposta pedagógica devem ser articula-
dos aos pressupostos da BNCC e aos es-
tudos na área da Educação Matemática, 
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que apontam a relevância da exploração 
do objeto concreto na construção de no-
vos saberes. Assim, com o objetivo de 
facilitar o planejamento docente, apresen-
tamos as tabelas a seguir com algumas 
sugestões de materiais didáticos mani-
puláveis do Laboratório de Matemática 
Ensino Médio que se relacionam com as 
competências e habilidades apresentadas 
na BNCC.
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COMPETÊNCIA ESPECÍFICA 1
Utilizar estratégias, conceitos e procedimentos matemáticos para interpretar situações em 
diversos contextos, sejam atividades cotidianas, sejam fatos das Ciências da Natureza e Huma-
nas, das questões socioeconômicas ou tecnológicas, divulgados por diferentes meios, de modo 
a contribuir para uma formação geral.
Habilidades Indicação domaterial didático
(EM13MAT101) Interpretar criticamente situa-
ções econômicas, sociais e fatos relativos às 
Ciências da Natureza que envolvam a variaçãode grandezas, pela análise dos gráficos das 
funções representadas e das taxas de varia-
ção, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Conjunto para funções afins e quadráticas com 
multicronômetro - MX-PI3M
(EM13MAT105) Utilizar as noções de transfor-
mações isométricas (translação, reflexão, rota-
ção e composições destas) e transformações 
homotéticas para construir figuras e analisar 
elementos da natureza e diferentes produções 
humanas (fractais, construções civis, obras de 
arte, entre outras).
Conjunto de Matemática: quadro de Tales; 
cinco tábuas de proporção, Tales - MX-EXPM
COMPETÊNCIA ESPECÍFICA 2
Propor ou participar de ações para investigar desafios do mundo contemporâneo e tomar 
decisões éticas e socialmente responsáveis, com base na análise de problemas sociais, como 
os voltados a situações de saúde, sustentabilidade, das implicações da tecnologia no mundo 
do trabalho, entre outros, mobilizando e articulando conceitos, procedimentos e linguagens 
próprios da Matemática.
Habilidades Indicação domaterial didático
(EM13MAT201) Propor ou participar de ações 
adequadas às demandas da região, preferen-
cialmente para sua comunidade, envolvendo 
medições e cálculos de perímetro, de área, de 
volume, de capacidade ou de massa.
Conjunto de Matemática: quadro de geometria 
plana; conjunto de dez tábuas de geometria 
plana - MX-EXPM
Sólidos Geométricos: conjunto de seis sólidos 
geométricos (PC-32) hexaedro regular (PC-6); 
paralelepípedo (PC-4); prisma de base tra-
pezoidal (PC-5); esfera com secção (PC-0S); 
esfera inscrita em cilindro (PC-0C); pirâmide 
regular pentagonal (PC-3).
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A COMPETÊNCIA ESPECÍFICA 3
Utilizar estratégias, conceitos, definições e procedimentos matemáticos para interpretar, 
construir modelos e resolver problemas em diversos contextos, analisando a plausibilidade dos 
resultados e a adequação das soluções propostas, de modo a construir argumentação consis-
tente.
Habilidades Indicação domaterial didático
(EM13MAT301) Resolver e elaborar problemas 
do cotidiano, da Matemática e de outras áreas 
do conhecimento, que envolvem equações 
lineares simultâneas, usando técnicas algébri-
cas e gráficas, com ou sem apoio de tecnolo-
gias digitais.
Conjunto para funções afins e quadráticas com 
multicronômetro - MX-PI3M
(EM13MAT302) Construir modelos empregan-
do as funções polinomiais de 1º ou 2º graus, 
para resolver problemas em contextos diver-
sos, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Conjunto de Matemática: quadro de Produtos 
Notáveis; cinco tábuas de Produtos Notáveis - 
MX-EXPM
Conjunto para funções afins e quadráticas com 
multicronômetro - MX-PI3M
(EM13MAT306) Resolver e elaborar proble-
mas em contextos que envolvem fenômenos 
periódicos reais (ondas sonoras, fases da lua, 
movimentos cíclicos, entre outros) e comparar 
suas representações com as funções seno 
e cosseno, no plano cartesiano, com ou sem 
apoio de aplicativos de álgebra e geometria.
Grade para medidas de senos, cossenos e 
tangente - BM-GSEN
Conjunto de matemática: quadro com ciclo 
trigonométrico; cinco tábuas trigonométricas - 
MX-EXPM
(EM13MAT307) Empregar diferentes métodos 
para a obtenção da medida da área de uma 
superfície (reconfigurações, aproximação por 
cortes etc.) e deduzir expressões de cálculo 
para aplicá-las em situações reais (como o 
remanejamento e a distribuição de plantações, 
entre outros), com ou sem apoio de tecnolo-
gias digitais.
Conjunto de Matemática: quadro de Produtos 
Notáveis; cinco tábuas de Produtos Notáveis - 
MX-EXPM
Conjunto de Figuras Planas- MX-FPG
Conjunto de Matemática: quadro de geometria 
plana; conjunto de dez tábuas de geometria 
plana - MX-EXPM
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(EM13MAT308) Aplicar as relações métricas, 
incluindo as leis do seno e do cosseno ou as 
noções de congruência e semelhança, para 
resolver e elaborar problemas que envolvem 
triângulos, em variados contextos.
Triângulo Articulável - MX-TA1
Conjunto de Matemática: quadro de Tales; 
cinco tábuas de proporção, Tales - MX-EXPM
Grade para medidas de senos, cossenos e 
tangente - BM-GSEN
Conjunto de matemática: quadro com ciclo 
trigonométrico; cinco tábuas trigonométricas - 
MX-EXPM
(EM13MAT309) Resolver e elaborar proble-
mas que envolvem o cálculo de áreas totais 
e de volumes de prismas, pirâmides e corpos 
redondos em situações reais (como o cálculo 
do gasto de material para revestimento ou 
pinturas de objetos cujos formatos sejam 
composições dos sólidos estudados), com ou 
sem apoio de tecnologias digitais.
Sólidos Geométricos: conjunto de seis sólidos 
geométricos (PC-32) hexaedro regular (PC-6); 
paralelepípedo (PC-4); prisma de base tra-
pezoidal (PC-5); esfera com secção (PC-0S); 
esfera inscrita em cilindro (PC-0C); pirâmide 
regular pentagonal (PC-3).
Conjunto para sólidos de revolução - MX-SG1
(EM13MAT314) Resolver e elaborar problemas 
que envolvem grandezas determinadas pela 
razão ou pelo produto de outras (velocidade, 
densidade demográfica, energia elétrica etc.).
Conjunto para funções afins e quadráticas com 
multicronômetro - MX-PI3M
Conjunto de Matemática: quadro de Tales; 
cinco tábuas de proporção, Tales - MX-EXPM
(EM13MAT315) Investigar e registrar, por meio 
de um fluxograma, quando possível, um algo-
ritmo que resolve um problema.
Conjunto de Matemática: quadro de Produtos 
Notáveis; cinco tábuas de Produtos Notáveis - 
MX-EXPM
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A COMPETÊNCIA ESPECÍFICA 4
Compreender e utilizar, com flexibilidade e precisão, diferentes registros de representação 
matemáticos (algébrico, geométrico, estatístico, computacional etc.), na busca de solução e 
comunicação de resultados de problemas.
Habilidades Indicação domaterial didático
(EM13MAT401) Converter representações 
algébricas de funções polinomiais de 1º grau 
em representações geométricas no plano 
cartesiano, distinguindo os casos nos quais 
o comportamento é proporcional, recorrendo 
ou não a softwares ou aplicativos de álgebra e 
geometria dinâmica.
Conjunto para funções afins e quadráticas com 
multicronômetro - MX-PI3M
(EM13MAT402) Converter representações 
algébricas de funções polinomiais de 2º grau 
em representações geométricas no plano 
cartesiano, distinguindo os casos nos quais 
uma variável for diretamente proporcional ao 
quadrado da outra, recorrendo ou não a sof-
twares ou aplicativos de álgebra e geometria 
dinâmica, entre outros materiais.
Conjunto para funções afins e quadráticas com 
multicronômetro - MX-PI3M
COMPETÊNCIA ESPECÍFICA 5
Investigar e estabelecer conjecturas a respeito de diferentes conceitos e propriedades mate-
máticas, empregando estratégias e recursos, como observação de padrões, experimentações 
e diferentes tecnologias, identificando a necessidade, ou não, de uma demonstração cada vez 
mais formal na validação das referidas conjecturas.
Habilidades Indicação domaterial didático
(EM13MAT501) Investigar relações entre nú-
meros expressos em tabelas para representá-
los no plano cartesiano, identificando padrões 
e criando conjecturas para generalizar e 
expressar algebricamente essa generalização, 
reconhecendo quando essa representação é 
de função polinomial de 1º grau.
Conjunto para funções afins e quadráticas com 
multicronômetro - MX-PI3M
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(EM13MAT502) Investigar relações entre 
números expressos em tabelas para repre-
sentálos no plano cartesiano, identificando 
padrões e criando conjecturas para generalizar 
e expressar algebricamente essa generaliza-
ção, reconhecendo quando essa representa-
ção é de função polinomial de 2º grau do tipo 
y = ax2.
Conjunto para funções afins e quadráticas com 
multicronômetro - MX-PI3M
(EM13MAT504) Investigar processos de obten-
ção da medida do volume de prismas, pirâmi-des, cilindros e cones, incluindo o princípio 
de Cavalieri, para a obtenção das fórmulas de 
cálculo da medida do volume dessas figuras.
Sólidos Geométricos: conjunto de seis sólidos 
geométricos (PC-32) hexaedro regular (PC-6); 
paralelepípedo (PC-4); prisma de base tra-
pezoidal (PC-5); esfera com secção (PC-0S); 
esfera inscrita em cilindro (PC-0C); pirâmide 
regular pentagonal (PC-3).
Conjunto para sólidos de revolução - MX-SG1
(EM13MAT505) Resolver problemas sobre 
ladrilhamento do plano, com ou sem apoio de 
aplicativos de geometria dinâmica, para con-
jecturar a respeito dos tipos ou composição de 
polígonos que podem ser utilizados em ladri-
lhamento, generalizando padrões observados.
Conjunto de Matemática: quadro de geometria 
plana; conjunto de dez tábuas de geometria 
plana - MX-EXPM
(EM13MAT506) Representar graficamente a 
variação da área e do perímetro de um polígo-
no regular quando os comprimentos de seus 
lados variam, analisando e classificando as 
funções envolvidas.
Conjunto de Matemática: quadro de geometria 
plana; conjunto de dez tábuas de geometria 
plana - MX-EXPM
(EM13MAT509) Investigar a deformação de 
ângulos e áreas provocada pelas diferentes 
projeções usadas em cartografia (como a 
cilíndrica e a cônica), com ou sem suporte de 
tecnologia digital.
Conjunto em acrílico com eixos articuláveis 
com transversal - MX-RGA
(EM13MAT510) Investigar conjuntos de dados 
relativos ao comportamento de duas variá-
veis numéricas, usando ou não tecnologias 
da informação, e, quando apropriado, levar 
em conta a variação e utilizar uma reta para 
descrever a relação observada.
Conjunto de Matemática: quadro de Produtos 
Notáveis; cinco tábuas de Produtos Notáveis - 
MX-EXPM
LA
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 M
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14 AT
MATERIAL BNCC: COMP. E HABILIDADES
ENEM: COMP. E 
HABILIDADES
Conjunto de Produtos 
Notáveis
C3: EM13MAT302 / 
EM13MAT307/ EM13MAT315
C5: EM13MAT510
C2: H8
C3: H10/ H12
C4: H15/ H17
C5: H19/ H21/ H22
Conjunto p funções 
afins e quadráticas
C1: EM13MAT101 C3: 
EM13MAT301/ EM13MAT302/ 
EM13MAT314
C4: EM13MAT401/ 
EM13MAT402
C5: EM13MAT501/ 
EM13MAT502
C3: H10/ H12/ H13
C4: H15/ H16/ H17
C5: H19/ H20/ H21
C6: H25
Conjunto de figuras 
planas C3: EM13MAT307
C2: H7/ H8
C3: H10/ H12/ H13
C4: H15/ H17
C5: H22
Eixos Articuláveis 
com transversal C5: EM13MAT509
C2: H7/ H8
C3: H10/ H12/ H13
Triângulo Articulável C3: EM13MAT308
C2: H7/ H8
C3: H10/ H12/ H13
C4: H15/ H17
C5: H22
Quadros de Geome-
tria Plana
C2: EM13MAT201
C3: EM13MAT307
C5: EM13MAT505/ 
EM13MAT506
C2: H7/ H8
C3: H10/ H12/ H13
C4: H15/ H17
C5: H22
Conjunto de Tales
C1: EM13MAT105
C3: EM13MAT308 / 
EM13MAT314
C2: H7/ H8/ H9
C3: H10/ H12/ H13
C4: H15/ H17
C5: H19
Sólidos Geométricos
C2: EM13MAT201
C3: EM13MAT309
C5: EM13MAT504
C2: H7/ H8/H9
C3: H10/ H12/ H13
C4: H15/ H17
C5: H19/ H22
Sólidos de Revolução C3: EM13MAT309C5: EM13MAT504
C2: H7/ H8
C4: H15
Ciclo Trigonométrico C3: EM13MAT306 / EM13MAT308
C2: H8
C3: H10/ H12/ H13
C4: H15/ H17
C5: H19/ H22
AT 15
O ensino da matemática, conforme alguns registros de sua história, se 
configurou com os gregos por volta dos séculos V a.C. Naquela época, existia 
a preocupação em registrar a linguagem matemática, escrita dos números e 
algumas operações, que se configuravam de formas diferentes entre as civi-
lizações. Com a necessidade de uma sistematização da matemática, se deu 
origem ao registro e ao desenvolvimento da aritmética, geometria, álgebra e 
trigonometria (RIBNIKOV, 1987).
O registro histórico mais antigo sobre contagem pode ser o osso de Ishan-
go, que tem mais de 8 mil anos de idade. Apresenta segmentos paralelos gra-
vados ao longo do osso, como um registro de contagem, mas não podemos 
afirmar que cada segmento se refere a uma unidade.
Em relação à linguagem atual sobre números, utilizamos o sistema de 
numeração decimal (SND), com a base 10 para a maioria das operações mate-
máticas. Temos o sistema sexagesimal, a base 60, para medidas de ângulos e 
contagem das horas, minutos e segundos. Os números são representados por 
algarismos (0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9) devido aos estudos dos árabes e hindus, 
que avançaram no pensamento sobre números, por isso nosso sistema de 
numeração é chamado de hinduarábico em homenagem a eles.
Vamos lembrar que temos as diferentes nomeações para determinados 
números, como os números cardinais, números perfeitos, números primos, 
números quadrados, números triangulares, números amigos, dentre outros, 
cada um com sua especificidade, e ao longo do aprendizado o aluno irá estu-
dálos.
Na Educação Básica, temos uma organização curricular do estudo sobre 
os Números Naturais, Números Inteiros, Números Racionais, Números Reais e 
Números Complexos. Associadas ao estudo desses números temos as opera-
ções de adição, subtração, multiplicação e divisão, e o estudo das expressões 
algébricas. O primeiro contato com frações, por exemplo, ocorre nos anos 
iniciais do Ensino Fundamental e continuarão sendo utilizadas ao longo da 
escolaridade dos alunos em diversas situações-problemas de matemática, 
nos diferentes níveis, passando a ser estudadas como expoentes de núme-
ros, compondo funções, representando relações como de proporcionalidade, 
e assim por diante. Dessa forma, apresentamos algumas possibilidades de 
materiais didáticos manipuláveis para o ensino de números e álgebra.
Neste contexto, seguem os capítulos que discorrem sobre os materiais, 
com orientação pedagógica, objetivos e alguns exemplos de atividades a se-
rem desenvolvidas em sala de aula.
ENÚMEROS
ÁLGEBRA
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LA
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Conjunto de
Produtos Notáveis
O Conjunto de Produtos Notáveis é um recur-
so pedagógico que favorece a visualização e a 
investigação de diferentes relações em expres-
sões algébricas. Quando o aluno observa e cons-
trói formas com os componentes do conjunto, 
ele é capaz de sistematizar e aprofundar seus 
conhecimentos em álgebra, tanto na análise das 
formas, verificando regularidades e medidas, 
quanto no cálculo da área das figuras planas e 
na validação de conceitos relacionados aos pro-
dutos notáveis. Assim, as interações com o re-
curso para resolver os problemas propostos per-
mitem que o aluno encontre diferentes maneiras 
de interpretar e representar produtos notáveis.
BNCC
Competências e habilidades
C3: EM13MAT302 / EM13MAT307/ 
EM13MAT315
C5: EM13MAT510
ENEM
Competências e habilidades
C2: H8
C3: H10/ H12
C4: H15/ H17
C5: H19/ H21/ H22
Orientações Pedagógicas
 As demonstrações geométricas são muito im-
portantes no estudo de conceitos algébricos, 
como do quadrado da soma ou a diferença de 
dois termos: (a + b)2 ou (a – b)2. Na prática, 
o aluno pode investigar e compreender por que 
a relação de igualdade é de fato válida, como 
se obtém o resultado a2+2ab+b2 sem apenas 
decorar que (a + b)2 é igual ao quadrado do pri-
meiro termo, mais duas vezes o primeiro termo 
pelo segundo, mais o quadrado do segundo. Te-
mos ainda a possibilidade de explorar o cálculo 
e relações entre áreas e realizar a introdução ao 
estudo do Binômio de Newton.
Ac
er
vo
 B
rin
k M
ob
il
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Competência 3: Utilizar estratégias, 
conceitos, definições e procedimentos 
matemáticos para interpretar, construir 
modelos e resolver problemas em diver-
sos contextos, analisando a plausibili-
dade dos resultados e a adequação das 
soluções propostas, de modo a construir 
argumentação consistente.
(EM13MAT302) Construir modelos em-
pregando as funções polinomiais de 1º 
ou 2º graus, para resolver problemas em 
contextos diversos, com ou sem apoio de 
tecnologias digitais.
(EM13MAT315) Investigar e registrar, 
por meio de um fluxograma, quando pos-
sível, um algoritmo que resolve um proble-
ma.
(EM13MAT307) Empregar diferentes 
métodos para a obtenção da medida da 
área de uma superfície (reconfigurações, 
aproximação por cortes etc.) e deduzir ex-
pressões de cálculo paraaplicá-las em si-
tuações reais (como o remanejamento e a 
distribuição de plantações, entre outros), 
com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Competência 5: Investigar e estabele-
cer conjecturas a respeito de diferentes 
conceitos e propriedades matemáticas, 
empregando estratégias e recursos, como 
observação de padrões, experimentações 
e diferentes tecnologias, identificando a 
necessidade, ou não, de uma demonstra-
ção cada vez mais formal na validação 
das referidas conjecturas.
 Explorar o conceito de produtos notáveis;
 Demonstrar geometricamente os produ-
tos notáveis que abordam o quadrado da 
soma, quadrado da diferença e produto 
da soma pela diferença;
 Identificar relações algébricas em ativi-
dades sobre perímetro, área e volume;
 Conhecer o Triângulo de Pascal e suas 
propriedades;
 Desenvolver um Binômio de Newton.
O Conjunto de Produtos Notáveis é 
composto de:
 Quadro de Produtos Notáveis
Ac
er
vo
 B
rin
k M
ob
il
O conjunto de produtos notáveis, sob a 
orientação do professor, pode ser usado 
como recurso pedagógico para favorecer 
a visualização dessas relações, permitin-
do sistematizar e aprofundar os conheci-
mentos em álgebra.
Relação com a BNCC Objetivos
Conhecendo o material
(EM13MAT510) Investigar conjuntos 
de dados relativos ao comportamento 
de duas variáveis numéricas, usando ou 
não tecnologias da informação, e, quando 
apropriado, levar em conta a variação e 
utilizar uma reta para descrever a relação 
observada.
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 Tábuas de Produtos Notáveis
 Componentes auxiliares
Duas réguas com linha de referência; 
régua com linha central e escala milime-
trada; quadrados transparentes com esca-
la quadrangular de 20 x 20 mm de lados 
120 mm e 100 mm; dois fixadores mag-
néticos; elásticos com fixadores magnéti-
cos; suporte com manípulo fêmea.
Indicadores magnéticos para medidas 
de lados e área de polígonos, e represen-
tação dos produtos notáveis mais usuais. 
São estes:
Quant.
Escrita no
indicador
magnético
4 a
4 b
1 a²
1 b²
4 a-b
2 ab
1 (a+b)²
1 (a-b)²
2 (ab - b²)
1 c
1 c²
 Interpretação geométrica dos 
produtos notáveis de expoente 2
 (a+b)²
Uma possível interpretação geométri-
ca inicia com a malha quadriculada divi-
dida em dois quadrados diferentes e dois 
retângulos iguais, como na imagem a se-
guir: 
Primeiro Passo
 Selecione o material a ser utilizado em 
cada prática ou momento de exploração 
e posicione-os da seguinte forma:
 Para uso do Quadro na vertical encaixe e 
ajuste os manípulos e sapatas nivelado-
ras para que o suporte sustente o qua-
dro nessa posição.
 Para uso do Quadro na horizontal basta 
desrosquear os manípulos retirando o 
suporte do quadro e posicionando-o em 
uma mesa ou outra superfície reta com 
o desenho voltado para cima.
Segundo Passo
 Utilizando as linhas, indicadores mag-
néticos, réguas e outros componentes 
destinados a manipulação e posiciona-
mento nos quadros e tábuas, componha 
as configurações necessárias para as 
explorações desejadas.
PASSO A PASSO
Explorando conceitos
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18 1918 19
Seja a a medida do lado do quadrado 
menor e b o lado do quadrado maior, en-
tão, o lado do quadrado que contempla 
toda a malha quadriculada é igual a a+b.
Na busca pela área do quadrado de 
lado (a+b), foram encontrados os seguin-
tes resultados:
Qual a relação entre eles?
Os dois métodos utilizados para o cál-
culo da área estão corretos e representam 
a mesma área. 
Portanto, 
Essa expressão algébrica representa 
o Produto Notável chamado Quadrado da 
Soma de Dois Termos.
Exemplo de verificação:
a = 5, b = 3
 (a-b)²
Neste caso é feita a análise do quadra-
do de lado (a-b) partindo apenas segmen-
tos de tamanho a ou b.
Calculando l², sendo l a medida do 
lado, a área do quadrado é dada por (a-b)².
Sendo a área do quadrado l², sendo l a 
medida do lado, calcula-se que a área do 
quadrado analisado é igual a (a+b)².
Existe outra forma de calcular a área?
Outra maneira é: calcular a área de 
cada polígono que compõe o quadrado e 
somar essas áreas para encontrar a área 
total.
2 2 2 2 2Área Total a ab ab b a ab b= + + + = + +
2 2² ÁÁrea Total ( ) ea Total 2ra b e a ab b= + = + +
2 2 ²( ) 2a b a ab b+ = + +
2 2 2
2 2 2
2
( ) 2
(5 3) 5 2.5.3 3
(8) 25 30 9
64 64
a b a ab b+ = + +
+ = + +
= + +
=
ab
b
a
b
a
a
(a+b)
(a+b)
b2 ab
ab a2
b
a
b a
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Existe outra forma de calcular a área?
Uma maneira é considerando a área 
dos polígonos envolvidos na composição.
Possível construção do quadrado de 
lado (a-b):
Considerando
Como a intenção é desconsiderar a 
área do retângulo ab para continuar a aná-
lise na outra parte, a respectiva área deve 
ser subtraída da expressão:
A construção do quadrado de lado 
(a-b) foi finalizada:
Porém, ao subtrair a área dos retângu-
los ab, a área equivalente a um quadrado 
de lado b foi retirada duas vezes. 
Como só é necessário descontar essa 
área uma única vez é preciso adicionar 
uma vez sua área:
Na busca pela área do quadrado de 
lado (a-b), foram encontrados os seguin-
tes resultados:
Qual a relação entre eles?
Independentemente do método utiliza-
do para o cálculo da área, os resultados 
são iguais, pois representam a mesma 
área.
Portanto, 
Logo,
Assim, deve ser adicionada a área a² 
na expressão:
1º) No início da composição, repre-
sentar o quadrado de lado a.
2º) Dividir um segmento a em b e a-b 
3º) Dividir outro segmento a em b e 
a-b
 ( )Área do Quadrado de lado a b A− =
2A a= +
2A a ab= + −
2A a ab ab= + − −
2 ²A a ab ab b= + − − +
22 2 2 2A a ab ab b a ab b= + − − + = − +
2( )A a b= −
2 22A a ab b= − +
2 2 2( ) 2a b a ab b− = − +
a
a
b
a-b
a
b
a-b
ba-b
a
b
a-b
ba-b
a
b
a-b
ba-b
a
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20 21
De maneira similar a investigação do 
quadrado da soma de dois termos, tem-
-se neste caso o lado quadrado da malha 
quadriculada divididos em três segmentos 
de tamanhos diferentes: a, b e c, como na 
imagem a seguir:
 (a+b+c)²
 (a+b) . (a-b)
Essa expressão algébrica representa 
o Produto Notável chamado Quadrado da 
Soma de Três Termos.
Para a análise do produto da soma 
pela diferença de dois termos, será con-
siderada uma figura plana com área 
(a+b).(a-b).
A investigação da área (S) será feita 
considerando os polígonos que a com-
põem, como nas etapas do exemplo a se-
guir:
 1º) No início da composição, repre-
sentar o quadrado de lado a.
Assim, deve ser adicionada a área a² 
na expressão:
Assim, o lado do quadrado é igual a
 a+b+c.
Cálculo da área total com a fórmula da 
área do quadrado (l², sendo l a medida do 
lado): 
(a+b+c)².
Cálculo da área total a partir da soma 
da área das partes: 
Essa expressão representa o Produto 
Notável chamado Quadrado da Diferença 
de Dois Termos.
Exemplo de verificação:
a = 5, b = 3
Análise da relação de igualdade:
2 2
2
2 2 2
 
2( )
Área Total a ab ab b ac ac
bc bc c
a b c ab ac bc
= + + + + +
+ + +
= + + + + +
2 2 2 2( ) 2( )a b c a b c ab ac bc+ + = + + + + +
2S a= +
Canva
2 2 2
2 2
( - ) - 2
(5 -3) 5 - 2.5.3 3
(2) 25 -30 9
4 4
²
²
a b a ab b= +
= +
= +
=
a
a
+
b
+
c
+ +b c
a
a
+
b
+
c
a2 ab ac
ab b2 ac
ac bc c2
+ +b c
a-b
b
(a+b)
ba
a
a
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 2º) Dividir o segmento a em b e a-b:
 3º) Construir um retângulo ab para 
ampliar a figura e obter uma dimensão 
a+b:
Como a intenção é desconsiderar a 
área do retângulo ab para continuar a aná-
lise na outra parte, a respectiva área deve 
ser subtraída da expressão:
A construção do retângulo de lados (a-
b) e (a+b) foi finalizada:
Porém, ao somar no 3º passo a área 
do retângulo ab, a área equivalente a um 
quadrado de lado b foi acrescentada à ex-
pressão. 
Como esse quadrado não compõe a 
figura com área (a+b).(a-b), é preciso sub-
trair a área do quadrado de lado b:
Para explorar os produtos notáveis re-lacionados a polinômios de grau dois, ou 
seja, o quadrado da soma ou a subtração 
de dois termos, a soma de três termos, 
entre outros, a partir da representação ge-
ométrica, usa-se a geometria plana. Quan-
do o produto notável estudado é elevado 
ao cubo, o cubo da soma de dois ou três 
termos, a exploração geométrica se rela-
ciona com sólidos geométricos. Note que, 
quando se calcula uma área (bidimensio-
nal) com medidas em centímetros, o re-
sultado é dado em centímetros quadrados 
(cm²), e quando se indica o volume (tridi-
mensional), este aparece em centímetros 
cúbicos (cm³).
Por isso, na construção de uma de-
monstração ou interpretação geométrica 
para produtos notáveis de expoente dois, 
analisa-se a área de figuras planas. Ago-
ra, para o cubo da soma de dois termos, 
Essa expressão algébrica representa 
o Produto da Soma pela Diferença de Dois 
Termos.
 Interpretação geométrica dos 
produtos notáveis de expoente 3
Portanto
 (a+b)3
2S a ab= + −
2S a ab ab= + − +
2 2 2 2S a ab ab b a b= + − + − = + −
2 2( ) ( )a b a b a b+ ⋅ − = −
b
a-b
a
b
a-b a
(a+b)
b
a-b
(a+b)
ba
b
a-b
(a+b)
a
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22 23
Com todos esses sólidos é possível 
construir o seguinte cubo: 
Note que a aresta do cubo é igual a 
a+b.
Calculando o volume como l³, sendo l 
a medida da aresta, o volume é dado por 
(a+b)³.
Calculando o volume de cada sólido 
que compõe o cubo e somando esses va-
lores obtém-se:
Na busca pelo volume do cubo de lado 
(a+b), foram encontrados os seguintes re-
sultados:
Os dois métodos utilizados para o cál-
culo do volume estão corretos e represen-
tam a mesma superfície volumétrica. 
Portanto, 
Essa expressão algébrica representa o 
Produto Notável chamado Cubo da Soma 
de Dois Termos.
Exemplo de verificação:
a = 5, b = 3
 (a-b)3
é possível realizar uma análise similar, 
porém a partir do volume de sólidos ge-
ométricos.
Inicialmente, tem-se os seguintes po-
liedros:
 1 cubo com aresta a;
 1 cubo com aresta b;
 3 paralelepípedos com dimensões: 
a, a e b;
 3 paralelepípedos com dimensões: 
a, b e b.
3 2 2 2
2 2 2 3
3 2 2 3
 
3 3
Volume Total a a b a b a b
ab ab ab b
a a b ab b
= + + +
+ + + +
= + + +
3
3 2 2 3
 ( )
3 3
Volume Total a b
VolumeTotal a a b ab b
= +
= + + +
3 3 2 2 2( ) 3 3a b a a b ab b+ = + + +
3 2
2 2
3 2 2 2
2 3
3 2 2 3
( - ) ( - ) .( - )
( 2 ).( )
2
2
3 3
a b a b a b
a ab b a b
a a b ab a b
ab b
a a b ab b
=
= − − −
= − − −
− +
= − − +
3 3 2 2 2
3 2 3
3
3 2
( ) 3 3
(5 3) 5 3.5 .3 3.5.3 3
(8) 125 225 135 27
512 512
a b a a b ab b+ = + + +
+ = + + +
= + + +
=
b3
a3
a2b
ab2
b3
a3
a2b
ab2
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24 2524 25
 O produto da soma de dois 
 termos para um grau qualquer
 O Triângulo de Pascal e os 
 Produtos Notáveis
Continuando o estudo sobre Produtos 
Notáveis, temos o cálculo de (a+b)4.
Observe que a complexidade do cálcu-
lo aumenta exponencialmente conforme 
o expoente do produto da soma de dois 
termos aumenta.
Com o objetivo de aprofundar a análi-
se algébrica dos Produtos Notáveis bus-
cou-se uma forma de determinar o produ-
to da soma de dois termos para qualquer 
grau sem realizar a conta com distributiva.
Análise o padrão nos seguintes resul-
tados:
Observe que o grau dos coeficientes 
literais segue a lógica de construção:
 A partir do primeiro monômio, termo 
do polinômio, os expoentes de a vão de-
crescendo e os de b vão crescendo;
 A soma dos expoentes de cada mo-
nômio da expressão algébrica é igual ao 
expoente n do binômio (a+b)n;
 O primeiro expoente de a é igual ao 
expoente do binômio (n), e o último é igual 
a zero;
 O primeiro expoente de b é igual a 
zero e o último é igual ao expoente do bi-
nômio (n);
 A expressão algébrica possui um ter-
mo a mais que o expoente do binômio, ou 
seja, n+1 termos.
Exemplo:
 Os expoentes de a: 4, 3, 2, 1, 0 (ordem 
decrescente)
 Os expoentes de b: 0, 1, 2, 3, 4 (ordem 
crescente)
 A soma dos expoentes de a e de b 
em cada monômio é igual a 4 (expoente 
do binômio (a+b)4). 
Exs.: 
 a4.b0 , 4+0=4
 a2.b2 , 2+2=4
 A expressão algébrica obtida 
possui 5 termos (4+1).
E para calcular (a+b)5, por exemplo, 
como determinar os coeficientes numéri-
cos de cada monômio? Assim, essa pro-
posta motiva a continuidade da investiga-
ção algébrica sobre Produtos Notáveis. 
Para continuar essa análise, é necessário 
introduzir o Triângulo de Pascal.
Os coeficientes numéricos de cada 
monômio podem ser obtidos através do 
triângulo aritmético, conhecido como o 
Triângulo de Pascal. 
Esse é um arranjo triangular de núme-
ros, em que cada um dos números é igual 
à soma do par de números acima de si. 
Além disso, o triângulo aritmético reúne 
inúmeras relações e propriedades que po-
dem ser propostas como objeto de estu-
do em momento oportuno. Muitas dessas 
relações foram descobertas pelo próprio 
Pascal, o que justifica o nome que lhe foi 
atribuído.
4 2 2
2 2 2 2
4 3 2 2 3 4
( ) ( ) .( )
( 2 ).( 2 )
4 6 4
a b a b a b
a ab b a ab b
a a b a b ab b
+ = + +
= + + + +
= + + + +
2 2 2
3 3 2 2 2
4 4 3 2 2 3 4
( )
( ) 3 3
( ) 4 6 4
a b a ab b
a b a a b ab b
a b a a b a b ab b
+ = + +
+ = + + +
+ = + + + +
4
4 3 2 2 3 4
( )
4 6 4
a b
a a b a b ab b
+
= + + + +
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 Triângulo de Pascal e Binômio de 
 Newton
 Triângulo de Pascal 
Números Binominais
Binômio de Newton
Sabia que existem sequências de nú-
meros que podem ser modelados por 
figuras geométricas? São os chamados 
Números Figurados, um exemplo interes-
sante de aplicação das relações do Triân-
gulo de Pascal.
Definição de número binomial : 
Esta Foto de Autor Desconhecido está licenciado em CC BY-SA-NC
O interessante é que podemos escre-
ver cada número do Triângulo de Pascal 
como um número binomial.
Este é o nome dado a todo termo da 
forma (a+b)n, com n sendo um número na-
tural.
Os conceitos de números binomiais e 
Binômio de Newton possibilitam generali-
zar os padrões estudados de desenvolvi-
mento de um binômio. 
Utilizando a ideia de somatório, é pos-
sível generalizar o Binômio de Newton da 
seguinte forma:
Note que são os coeficientes do
 Triângulo de Pascal e são as po-
tências de a e b, cuja soma é n.
O Triangulo de Pascal pode ser cons-
truído infinitamente pela seguinte sequên-
cia de passos: 
1) No canto esquerdo, dê números a 
cada linha, começando do zero;
2) Na linha 0, escreva o número 1, 
bem no meio da linha;
3) Na linha 1, escreva o número 1 
duas vezes;
4) Na linha 2, escreva o número 1, 
deixe um espaço em branco, e escreva o 
número 1 novamente. Neste espaço em 
branco, some os dois números que estão 
imediatamente acima.
5) Na linha 3, escreva o número 1, dei-
xe dois espaços em branco, e escreva o 
número 1 novamente. Em cada espaço em 
branco, escreva a soma dos dois números 
imediatamente acima.
6) Repita o processo até a linha de-
sejada, sempre iniciando e terminando a 
linha por 1, e, a cada linha nova, deixando 
um espaço em branco a mais do que na 
anterior.
Os algarismos da linha 5 serão os co-
eficientes numéricos dos monômios do 
produto notável de expoente com mesmo 
número:
5 5 0 4 1 3 2
2 3 1 4
0 5
( ) 1. . 5. . 10. .
10. . 5. .
1. .
a b a b a b a b
a b a b
a b
+ = + +
+ +
+
n
k
 
 
 
( )
!
! !
n n
k k n k
 
=  − 
0
( )
n
n n k k
k
n
a b a b
k
−
=
 
+ =  
 
∑
n
k
 
 
 
( )n k ka b−
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Propostas de Atividades
 Produtos notáveis e o Triângulo de 
Pascal – MAT_NA0801
 (a+b)2
1. Divida a malha quadriculada em dois quadrados 
diferentes e dois retângulos iguais.
Considere a a medida do lado do quadrado 
menor e b o lado do quadrado maior. Posicione 
os ímãs com as respectivas identificações.
2. Qual o lado do quadrado que contempla toda a 
malha quadriculada?
3. Qual a área desse quadrado?
4. Existe outra forma de calcular a área?5. Qual a relação entre as duas maneiras de se cal-
cular a área?
6. O que é possível concluir?
7. Meças os lados dos polígonos e atribuam o va-
lor encontrado às variáveis a e b.
a= ____cm
b= ____cm
8. Calcule o produto notável da soma de dois ter-
mos (a+b)2 para esses valores. 
9. Divida com seu grupo a construção dos sólidos 
a seguir utilizando as medidas de a e b encon-
trados na questão 7:
 1 cubo com aresta a;
 1 cubo com aresta b;
 3 paralelepípedos com dimensões: a, a e b;
 3 paralelepípedos com dimensões: a, b e b.
10. Construam um cubo utilizando todos os sóli-
dos que acabaram de construir.
 a) Quanto mede a aresta do cubo?
 b) Qual o volume desse cubo?
 c) Existe outra forma de calcular o volume?
 d) Qual a relação entre os resultados obtidos?
11. É possível representar geometricamente o pro-
duto notável (a+b)4? Justifique.
12. Calcule (a+b)4.
 Existe uma forma de determinar o produto da 
soma de dois termos para qualquer grau sem 
realizar a conta com distributiva?
 Existe algum padrão nessas expressões algé-
bricas dos produtos notáveis?
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13. Registre as relações existentes:
14. Os coeficientes numéricos de cada monômio 
dos produtos notáveis podem ser obtidos atra-
vés do triângulo aritmético, conhecido como o 
Triângulo de Pascal.
 a) Complete o Triângulo de Pascal:
 b) Qual o método de construção utilizado para 
completar o Triângulo de Pascal?
 
 c) Como o Triângulo de Pascal pode facilitar a 
resolução de um produto notável?
 d) Calcule (a+b)5.
15. Considere a definição de número binomial 
 :
Podemos escrever cada número do Triângulo 
de Pascal como um número binomial. Calcule 
os números binomiais pela definição e comple-
te o Triângulo de Pascal.
n
k
 
 
 
( )
!
! !
n n
k k n k
 
=  − 
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Conjunto para funções
afins e quadráticas
Este material didático com carrinho e trilho 
acompanha um multicronômetro, tendo este 
como uma de suas funções registrar o tempo 
em diferentes percursos realizados pelo carri-
nho. Destinado principalmente ao estudo das 
funções afim e quadrática. Podemos rever o es-
tudo dos movimentos em física quando um mó-
vel possui velocidade constante ou quando ele 
altera a velocidade, em que temos a aceleração. 
Estudaremos a construção gráfica desse 
movimento no plano cartesiano. A partir dos da-
dos coletados, faremos os gráficos com coorde-
nadas nos eixos x e y. Se a imagem gerada repre-
senta uma reta, a função é afim. Se a imagem for 
uma parábola, temos a função quadrática.
BNCC
Competências e habilidades
C1: EM13MAT101 C3: EM13MAT301/ 
EM13MAT302/ EM13MAT314
C4: EM13MAT401/ EM13MAT402
C5: EM13MAT501/ EM13MAT502
ENEM
Competências e habilidades
C3: H10/ H12/ H13
C4: H15/ H16/ H17
C5: H19/ H20/ H21
C6: H25
Orientações Pedagógicas
Em muitas situações do cotidiano temos rela-
ções entre grandezas e medidas, por exemplo, 
a velocidade (V) de um carro está relacionada 
com a distância (x) percorrida em um intervalo 
de tempo (t). Se realizarmos um percurso de 100 
km em 2 horas, a velocidade média será de 50 
km/h. Se o mesmo percurso for realizado em 1h, 
significa que aumentamos a velocidade do veí-
culo para 100 km/h. Esse é um exemplo do tem-
po em função da velocidade, e são inversamente 
proporcionais. Cada função tem uma imagem 
gráfica na qual estudaremos os coeficientes da 
função, e a interpretamos geometricamente. 
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Competência 1: Utilizar estratégias, con-
ceitos e procedimentos matemáticos para 
interpretar situações em diversos contex-
tos, sejam atividades cotidiana, sejam fa-
tos das Ciências da Natureza e Humanas, 
das questões socioeconômicas ou tecno-
lógicas, divulgados por diferentes meios, 
de modo a contribuir para uma formação 
geral. 
 (EM13MAT101) Interpretar critica-
mente situações econômicas, sociais e fa-
tos relativos às Ciências da Natureza que 
envolvem a variação de grandezas, pela 
análise dos grá¬ficos das funções repre-
O gráfico dessas funções é construído no 
plano cartesiano, no qual temos o eixo x 
(abscissa) e o eixo y (ordenada) que deli-
mitam o plano em quatro quadrantes. Com 
o conjunto para funções afim e quadrática 
poderemos explorar os conceitos de velo-
cidade e aceleração, pois possui um car-
rinho e trilhos que simulam o movimento, 
e sua tecnologia eletrônica possibilita re-
gistrar os dados coletados no movimento 
do carrinho com o sensor fotoelétrico. No 
“passo a passo” temos a orientação de 
uso desse material. 
Os conteúdos a serem abordados estão 
articulados entre:
 Geometria Analítica: plano cartesiano;
 Funções: função polinomial do 1°grau 
(função afim) e função polinomial do 2° 
grau (função quadrática);
 Grandezas e Medidas: medida de com-
primento, tempo, velocidade e aceleração. 
Grandezas diretamente e inversamente 
proporcionais.
 Números e Álgebra: representação algé-
brica de funções polinomiais de 1° grau e 
2° grau.
Apontaremos os conceitos previstos con-
forme apresentados na BNCC.
Relação com a BNCC
sentadas e das taxas de variação, com ou 
sem apoio de tecnologias digitais.
Competência 3: Utilizar estratégias, con-
ceitos, definições e procedimentos ma-
temáticos para interpretar, construir mo-
delos e resolver problemas em diversos 
contextos, analisando a plausibilidade 
dos resultados e a adequação das solu-
ções propostas, de modo a construir argu-
mentação consistente.
 (EM13MAT301) Resolver e elabo-
rar problemas do cotidiano, da Matemá¬-
tica e de outras áreas do conhecimento, 
que envolvem equações lineares simultâ-
neas, usando técnicas algébricas e gráfi-
cas, com ou sem apoio de tecno¬logias 
digitais. 
 (EM13MAT302) Construir modelos 
empregando as fun¬ções polinomiais de 
1º e 2º graus, para resolver problemas em 
contextos diversos, com ou sem apoio de 
tecno¬logias digitais.
 (EM13MAT314) Resolver e elabo-
rar problemas que envolvem grandezas 
determinadas pela razão ou pelo produto 
de duas outras (velocidade, densidade de-
mográfica, energia elétrica etc.).
Competência 4: Compreender e utilizar, 
com flexibilidade e fluidez, diferentes re-
gistros de representação matemáticos 
(algébrico, geométrico, estatístico, com-
putacional etc.), na busca de solução e co-
municação de resultados de proble¬mas. 
 (EM13MAT401) Converter repre-
sentações algébricas de funções poli-
nomiais de 1º grau em representações 
geométricas no plano cartesiano, dis¬tin-
guindo os casos nos quais o comporta-
mento é proporcional, recorrendo ou não 
a softwares ou aplicativos de álgebra e 
geometria dinâmica. 
 (EM13MAT402) Converter repre-
sentações algébricas de funções poli-
no¬miais de 2º grau em representações 
geométricas no plano cartesiano, distin-
guindo os casos nos quais uma variável 
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for diretamente proporcional ao quadrado 
da outra, recorrendo ou não a softwares 
ou aplicativos de álgebra e geometria di-
nâmica, entre outros materiais.
Competência 5: Investigar e estabelecer 
conjecturas a respeito de diferentes con-
ceitos e propriedades matemáticas, em-
pregando estratégias e recursos, como 
observação de padrões, experimentações 
e diferentes tecnologias, identificando a 
necessidade, ou não, de uma demonstra-
ção cada vez mais formal na validação 
das referidas conjecturas.
 (EM13MAT501) Investigar rela-
ções entre números expressos em tabelas 
para representá-los no plano cartesiano, 
identificando padrões e criando conjectu-
ras para generalizar e expressar algebri-
camente essa generaliza¬ção, reconhe-
cendo quando essa representação é de 
função polinomial de 1º grau. 
 (EM13MAT502) Investigar rela-
ções entre números expressos em tabelas 
para representá-los no plano cartesiano, 
identificando padrões e criando conjectu-
ras para generalizar e expressar algebrica-
mente essa generalização,reconhecendo 
quando essa representação é de função 
polinomial de 2º grau do tipo y = ax2. 
Objetivos
Conhecendo o Material
 Conhecer o plano cartesiano e formar os 
pontos com pares ordenados (x; y).
 Identificar os dados em tabelas e repre-
sentá-los no plano cartesiano ao reco-
nhecer que essa representação é uma 
função polinomial do 1° grau (função 
afim) quando sua imagem é uma reta.
 Identificar os dados em tabelas e repre-
sentá-los no plano cartesiano ao reco-
nhecer que essa representação é uma 
função polinomial do 2° grau (função 
quadrática) quando sua imagem é uma 
parábola.
Este material didático possibilita uma 
contextualização dos conceitos de fun-
ções polinomiais com a investigação dos 
dados coletados com o movimento do car-
rinho no trilho, seja de tempo, velocidade 
ou aceleração. Com um plano inclinado 
articulável, possui base em aço e escalas 
serigrafadas, comprimento de 67,5 cm e 
variação angular de inclinação de 0 a 45 
graus. Sua interface de 12 funções possui 
sensor disparador manual, com plugue 
Micro USB-B e chave de disparo, sem em-
prego de computador. Tem teclado e tela 
LCD; cinco portas de entrada para senso-
res, permitindo rolagem e a identificação 
dos valores medidos na própria tela; cinco 
entradas Micro USB-B; teclas de comando 
orientadas pelo display, disparar, reiniciar, 
resetar, rolar dados (rever os valores ad-
quiridos); mede e armazena até 10 inter-
valos de tempo.
 Converter representações geométricas 
no plano cartesiano em representações 
algébricas de funções polino¬miais de 
1º grau. 
 Converter representações geométricas 
no plano cartesiano em representações 
algébricas de funções polino¬miais de 
2º grau. 
 Resolver problemas que envolvem gran-
dezas velocidade, distância e tempo.
 Resolver problemas que envolvem gran-
dezas velocidade, distância, tempo e 
aceleração.
 Identificar e saber utilizar as unidades 
de medidas do Sistema Internacional de 
medidas (SI) dentre comprimento (m), 
tempo (s), velocidade (m/s) e acelera-
ção (m/s2).
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Principais componentes:
1) Carrinho com quatro rodas e cerca 
ativadora de dez intervalos iguais com su-
porte para realização de movimento retilí-
neo uniformemente variado (MRUV).
O sensor registra o tempo de passagem de 
cada retângulo preto da cerca ativadora.
2) Trilho com plano inclinado que possibi-
lita variação de 0 a 45 graus. 
3) Sensor para coletar dados referente ao 
tempo de deslocamento do carrinho no 
trilho.
4) Utensílio para comando com disparo 
manual que possibilita delimitar até 10 
intervalos de tempo consecutivos inde-
pendente de sensores. Utilizado no expe-
rimento do tubo com líquido para análise 
do movimento retilíneo uniforme (MRU) e 
função afim.
5) Multicronômetro com rolagem: inter-
face com tela LCD, 12 funções, entradas 
USB.
Para registro dos dados coletados pelo 
sensor automático ou manual.
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Passo a Passo 
 Primeiro Passo
Monte o trilho, determine e posicione o 
ângulo de inclinação (entre 0 e 45 graus). 
 Segundo Passo
Determine a posição do sensor ao lon-
go da haste superior (para MRUV).
 Terceiro Passo
Conecte os cabos da interface e sen-
sor manual e automático. Ligue o equipa-
mento para registro de dados. 
 Sexto Passo
Solte os corpos de prova, observe o 
movimento e colete os dados. 
No caso do experimento com a es-
fera, se o percurso a ser percorrido pela 
esfera tem 450 mm e for selecionada a 
opção de registro de 5 toques no sensor, 
por exemplo, este deve ser acionado com 
um clique no botão superio nas distâncias 
0, 100 mm, 200 mm, 300 mm e 400 mm. 
Para isso é necessário ficar bem atento ao 
movimento e se guiar pela escala milime-
trada ligeiramente acima do tudo.
 Quarto Passo
Insira o carrinho no topo da rampa 
para experimento de MRUV ou com o ímã 
arraste a esfera para o topo do tubo com 
líquido na parte frontal do trilho. 
 Quinto Passo
Configure o multicronômetro de acor-
do com o caso. Ao selecionar a ferramen-
ta de coleta de dados relativos a inter-
valos de tempo aparecerão as seguintes 
opções:
1) Função quadrática: Irá registrar dez 
intervalos de tempo referentes a passa-
gem do carrinho com cerca ativadora pelo 
sensor automático.
2) Função afim:
 10 intervalos de tempo.
 número menor de intervalos de 
 tempo.
Registra a quantidade definida de me-
didas de tempo em função dos disparos 
manuais no sensor de toque.
Para alterar o ângulo de inclinação 
basta rosquear e desrosquear o manípulo 
apontado na flecha laranja.
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 Sétimo Passo
Colete os dados no multicronômetro e 
analise as funções afins e quadráticas a 
partir destes.
 Plano cartesiano
O plano cartesiano é uma represen-
tação em duas dimensões, com os eixos 
das abscissas (x) e das ordenadas (y). Os 
pontos são formados por um par de coor-
denadas (x; y). 
 Função afim
Uma função do tipo f(x) = ax + b é de-
nominada Função Afim, onde:
 a é o coeficiente real de x, chamado coe-
ficiente angular, considerando a ≠ 0.
 b é um coeficiente real (termo indepen-
dente), chamado coeficiente linear.
Observe a tabela e os pares ordena-
dos.
x y = 2,5x + 5 (x; y)
1 y = 2,5.1 + 5 = 7,5 (1; 7,5)
2 y = 2,5.2 + 5 = 10 (2; 10)
3 y = 2,5.3 + 5 = 12,5 (3; 12,5)
4 y = 2,5.4 + 5 = 15 (4; 15)
5 y = 2,5.5 + 5 = 17,5 (5; 17,5)
6 y = 2,5.6 + 5 = 20 (6; 20)
Explorando os conceitos
No estudo de funções, inicialmente se 
realiza a retomada dos conceitos sobre 
as coordenadas de pontos (x; y) no pla-
no cartesiano; posteriormente, se faz um 
estudo sobre a imagem gráfica da função 
afim (reta) e da função quadrática (pará-
bola). Como iremos realizar propostas de 
atividades num contexto da física, com o 
movimento de um carrinho, devemos bus-
car fundamentação nos conceitos sobre 
movimento retilíneo uniforme (MRU) e 
movimento retilíneo uniformemente varia-
do (MRUV). A diferença está em relação à 
velocidade, em que um deles permanece 
com a velocidade constante e o outro mo-
vimento varia a velocidade, o que indica 
que temos aceleração. Contudo, busca-se 
relacionar com os conceitos matemáticos 
de função afim e função quadrática nes-
ses movimentos.
Dada uma função f de A em B, o conjunto 
A é denominado domínio (D) da função, e 
o conjunto B contradomínio (CD) da fun-
ção.
Observe a representação por diagrama:
Considere que a cada temos um 
 que se chama imagem de x; assim, 
representamos y = f(x). 
x A∈
y B∈
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A imagem gráfica de uma função afim é 
uma reta. Esta reta não será paralela e 
nem perpendicular ao eixo x.
Ao aumentar os valores de x, também au-
mentam os de y; assim, temos uma fun-
ção crescente, ou seja, a > 0.
Quando a < 0, a função é decrescente.
Quando a > 0, a parábola tem concavidade 
para cima. 
 Função quadrática
Uma função quadrática completa é do 
tipo
f(x) = ax2 + bx +c
 a é o coeficiente real de x2, considerando 
a ≠ 0.
 b é o coeficiente real de x.
 c é um coeficiente real denominado ter-
mo independente.
São funções quadráticas incompletas:
 f(x) = 3x2 (b = 0 e c = 0)
 f(x) = x2 + 2 (b = 0)
 f(x) = 2x2 + x (c = 0)
Vamos considerar as funções e obser-
var seus gráficos:
a) f(x) = x2 - 2x - 3
x y = x2 - 2x - 3 (x; y)
-2 y = (-2)2 – 2.(-2) – 3 = 5 (-2; 5)
-1 y = (-1)2 – 2.(-1) – 3 = 0 (-1; 0)
0 y = 02 – 2.0 – 3 = -3 (0; -3)
1 y = 12 – 2.1 – 3 = -4 (1; -4)
2 y = 22 – 2.2 – 3 = -3 (2; -3)
3 y = 32 – 2.3 – 3 = 0 (3; 0)
4 y = 42 – 2.4 – 3 = 5 (4; 5)
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O ponto (1; -4) é o vértice da função.
Os pontos onde a parábola intercepta o 
eixo x são os zeros da função (-1 e 3).
A função tem ponto de mínimo (-4) no eixo 
vertical.
b) f(x) = -x2 + 2x -1
x y = -x2 + 2x -1 (x; y)
-2 y = (-2)2 + 2.(-2) – 1 = -1 (-2; -1)
-1 y = (-1)2 + 2.(-1) – 1 = 0 (-1; -2)
0 y = 02 + 2.0 – 1 = -1 (0; -1)
1 y = 12 + 2.1 – 1 = 2 (1; 2)
Quando a < 0, a parábolatem concavidade 
para baixo. 
 Os zeros da função quadrática, quando 
∆>0, podem ser determinados por:
1 2
bx
a
− + ∆
= 2 2
bx
a
− − ∆
=
Alguns conceitos de física
O ponto (1; 0) é o vértice da função
O ponto onde a parábola intercepta o eixo 
horizontal (x) é o zero da função (1).
Neste caso, vértice da função coincide 
com o zero da função.
A função tem ponto de máximo (0) no eixo 
vertical.
 O ponto do vértice (xv; yv) de uma 
função f(x) = ax2 + bx +c é determina-
do por:
 
2v
bx
a
= −
4v
y
a
∆
= −
Temos: 2 4b ac∆ = −
 Movimento Retilíneo Uniforme 
 (MRU)
Este movimento se caracteriza por 
possuir uma trajetória retilínea e uma 
velocidade constante durante certo in-
tervalo de tempo. Nele observamos que, 
distâncias iguais em intervalos de tem-
pos iguais, a velocidade é constante. Por 
exemplo, se temos uma velocidade de 60 
km/h, isto significa que em 1 hora ele per-
correrá 60 km, em 2 horas percorrerá 120 
km, e assim por diante. O MRU possui uma 
função horária que descreve o movimento 
para um determinado instante de tempo:
S=S0+v.t
S é a posição do corpo, S0 é a posição 
inicial, v a velocidade e t o instante de tem-
po. Assim:
∆S=v.t
 Movimento Retilíneo 
Uniformemente Variado (MRUV)
Em uma viagem, na ultrapassagem 
devemos aumentar a velocidade. A essa 
variação de velocidade, ocorrida em um 
determinado intervalo de tempo, chama-
mos de aceleração. Se ela ocorrer de ma-
neira que a velocidade aumente ou dimi-
nua sempre de um mesmo valor num certo 
instante, dizemos que é uma aceleração 
constante. Um exemplo de aceleração 
constante está representado na tabela:
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t(s) V(m/s)
0 6
1 12
2 18
3 24
A cada segundo, a velocidade aumentou 
sempre em um mesmo valor, assim a ace-
leração foi de 6 m/s2.
Existem duas funções horárias para o es-
tudo do MRUV:
1) Função horária da posição:
Temos a equação de Torricelli que rela-
ciona a velocidade do corpo com o seu 
deslocamento, independente da medida 
do tempo:
2) Função horária da velocidade:
2
0 0. . 2
tS S v t a= + +
0v v a t= + ⋅
2 2
0 2v v a S= + ⋅ ⋅∆
Propostas de Atividades
 Funções afins e quadráticas –
 MAT_NA0901
1. Incline o trilho com ângulo de 30 graus. Conecte 
o sensor manual ao multicronômetro e selecio-
ne neste a opção de registro de 5 toques que de-
finem 4 intervalos de tempo para função afim. A 
esfera metálica deve ser posicionada na extre-
midade alta do tubo na posição zero do trilho. 
Ao abandonar o corpo, imediatamente deve ser 
dado o primeiro toque no sensor. Em seguida 
selecioná-lo quando a esfera passar pelas mar-
cas de 100 mm, 200 mm, 300 mm e 400 mm. 
A esfera sofrerá um pequeno impulso inicial, 
mas depois o meio líquido torna sua velocidade 
constante. Assim, ela se movimentará e o mul-
ticronômetro indicará os quatro intervalos de 
tempo.
 Repetir o experimento mais duas vezes. Fazer 
com que os intervalos fiquem próximos, mas 
não exatamente iguais. 
 a) Preencha a tabela com os dados coletados. O 
t(s) é a média entre t1, t2 e t3.
S(m) t1(s) t2(s) t3(s) t(s) v(m/s)
0,1
0,2
0,3
0,4
 b) Montar o gráfico da posição em função do 
tempo.
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 c) Qual é a função que representa a imagem ge-
ométrica do gráfico?
 d) Escreva essa função algebricamente.
2. Monte o trilho com o sensor posicionado em 30 
cm. Deixe uma inclinação de 45 graus. O carri-
nho deve estar fixo na posição zero do trilho. 
Para que o impacto do carrinho com o material 
no fim do trilho seja “minimizado”, posicione o 
ímã cilíndrico preto no centro do plano, e no fim 
do trajeto. Ao abandonar o corpo, o carrinho 
aplicará um pequeno impulso. Ele se movimen-
tará passando pelo sensor e o cronômetro in-
dicará os dez intervalos de tempo referentes a 
cerca ativadora. 
 Repetir o experimento mais duas vezes. 
 Os intervalos ficam próximos, mas não exata-
mente iguais. 
 a) Preencha a tabela com os dados coletados, 
calcule a velocidade e a aceleração. O t(s) é a 
média entre t1, t2 e t3.
 b) Montar o gráfico da posição em função do 
tempo.
 c) Qual é a função que representa a imagem ge-
ométrica do gráfico?
 d) Escreva essa função algebricamente.
S(m) t1(s) t2(s) t3(s) t(s)
a
(m/s2)
V
(m/s)
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As formas do mundo em que vivemos já 
eram percebidas pelo homem primitivo. Na 
caça, pesca, agricultura ou pecuária primiti-
va já existia a noção de espaço e formas que 
possibilitavam a visualização espacial. Muitos 
conceitos foram se desenvolvendo no pensa-
mento do homem, mas não eram registrados 
para passar de geração a geração. Considera-
da a fonte mais antiga sobre o ensino da ma-
temática, o livro “Elementos”, de Euclides de 
Alexandria (c. 300 a.C.), apresenta conceitos 
da natureza da matemática e continua sendo a 
referência mais importante dos registros que 
dizem respeito, na sua maioria, ao desenvolvi-
mento da geometria e aritmética. Suas defini-
ções, axiomas, postulados, representações de 
problemas matemáticos ainda são utilizados 
até os dias atuais por meio da transposição 
didática para estabelecer o saber no ambiente 
escolar.
Muitas situações didáticas que envolvem 
as geometrias se articulam com os conceitos 
de “grandezas e medidas”. A necessidade de 
medir fazia parte da vida e sobrevivência de 
nossos antepassados, bem como a constru-
ção de instrumentos de medidas e a padroni-
zação das unidades de medidas. Na maioria 
das aulas que iniciamos sobre medidas, pedi-
mos para os alunos medirem suas mesas, o 
comprimento da sala ou o tamanho do lápis. 
Sem instrumentos de medida, intuitivamente, 
usamos partes do corpo para realizar essas 
medidas, como o palmo, o passo e a polega-
da.
Os barcos, as ondas e a maioria das me-
didas náuticas são indicadas em pés, que atu-
almente é equivalente a 30,48 centímetros. Se 
abordarmos a aula num contexto da história 
EGEOMETRIA
MEDIDAS
da matemática, veremos que essas medidas 
existem, porém em determinados períodos 
foram consideradas não confiáveis. O palmo 
seria da mão de quem? E a medida do pé? 
Atualmente, há uma medida exata em centí-
metros ou metros. Agora, no mundo inteiro, é 
utilizado o Sistema Internacional de Unidades 
(SI) que padroniza as medidas. Por exemplo, a 
unidadepadrão de comprimento é o metro (m), 
e temos seus derivados como o centímetro, o 
milímetro, além das medidas maiores como o 
quilômetro (Km).
Assim, com os materiais apresentados, 
são propostas diversas explorações que arti-
culam conceitos de “Geometria e Medidas”.
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Conjunto de
Figuras Planas
As formas geométricas estão presentes em 
todos os lugares. São de fundamental importân-
cia para as construções e para desenvolver a 
percepção espacial e de localização.
Com o Conjunto de Figuras Planas é possível 
investigar características de cada forma, explo-
rando as medidas de lado, o perímetro, a área e 
as medidas dos ângulos internos, entre outros 
elementos da geometria fundamentais no dia a 
dia. O material possibilita ainda explorar as si-
metrias de reflexão, rotação e translação, e in-
troduzir o estudo sobre ladrilhamento do plano 
a partir da análise dos ângulos internos de po-
lígonos, em especial dos regulares. 
C3: EM13MAT307
ENEM
Competências e habilidades
C2: H7/ H8
C3: H10/ H12/ H13
C4: H15/ H17
C5: H22
Orientações Pedagógicas
A Geometria Plana tem sua origem na obra Ele-
mentos, do matemático grego Euclides (c. 300 a. 
C.), composta por treze livros com postulados, 
teoremas e conceitos que definem a Geometria 
Euclidiana. O conjunto de figuras planas possibi-
lita explorar a unidade de Geometria e Medidas, 
em especial o estudo da geometria plana a partir 
de polígonos, círculos e outras formas geométri-
cas, além da investigação sobre comprimento, 
ângulo, perímetro e área dessas figuras.
BNCC
Competências e habilidades
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40 41Relação com a BNCC Passo a passo
Competência 3: Utilizar estratégias, con-
ceitos, definições e procedimentos ma-
temáticos para interpretar, construir mo-
delos e resolver problemas em diversos 
contextos, analisando a plausibilidade 
dos resultados e a adequação das solu-
ções propostas, de modo a construir argu-
mentação consistente.
 (EM13MAT307) Empregar diferen-
tes métodos para a obtenção da medida da 
área de uma superfície (reconfigurações, 
aproximação por cortes etc.) e deduzir ex-
pressões de cálculo para aplicá-las em si-
tuações reais (como o remanejamento e a 
distribuição de plantações, entre outros), 
com ou sem apoio de tecnologias digitais.
 Primeiro Passo:
Identifique cada uma das figuras planas 
do material.
 Segundo Passo:
Observe a malha quadriculada em A4, ela 
possui quadrado unitário de lado igual a 1 
cm assim como as escalas quadrangula-
res nas figuras planas transparentes.
 Terceiro Passo:
Sobreponha uma a uma as figuras pla-
nas na malha quadriculada alinhando as 
linhas das escalas quadrangulares centi-
metradas.
 Quarto Passo:
Meça ou estime as medidas dos lados e a 
área das figuras planas.
 Quinto Passo:
Construa outras figuras planas na malha 
quadriculada em A4.
 Sexto Passo:
Analise as propriedades dos polígonos e 
não polígonos, além dos quadriláteros e 
triângulos.
 Diferenciar as formas geométricas e 
agrupar figuras semelhantes.
 Conhecer definições e propriedades so-
bre polígonos, círculos e demais figuras 
planas.
 Perceber a diferença entre perímetro e 
área.
 Utilizar a malha quadriculada para esti-
mar a área de figuras planas.
 Resolver problemas envolvendo medidas 
de ângulos de polígonos.
O material é composto das seguintes 
figuras planas: quadrado, retângulo, pa-
ralelogramo, trapézio, losango, triângulo 
equilátero, triângulo retângulo, triângulo 
escaleno, círculo, figura irregular.
Além de todas as figuras possuírem esca-
la quadrangular em centímetros, o conjun-
to acompanha folhas A4 com malha qua-
driculada centimetrada.
Objetivos
Conhecendo o material
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Explorando conceitos
O círculo e a figura irregular não são po-
lígonos pois não são formados por seg-
mentos de retas.
Exemplos de figuras que podem gerar dú-
vida:
Note que as figuras 1, 2 e 8 não são po-
lígonos, pois seus contornos não são for-
mados exclusivamente por segmentos de 
retas.
As figuras 3 e 6 também não são polígo-
nos, mas porque seu contorno não é fe-
chado.
Já a figura 5 não é polígono porque seu 
contorno é composto por segmentos de 
retas que se cruzam.
Portanto, apenas as figuras planas 4 e 7 
são polígonos.
 Quadriláteros 
Definições:
 Paralelogramo: é um quadrilátero que 
possui lados opostos paralelos. 
 Retângulo: é um quadrilátero que possui 
lados opostos paralelos, e os quatro ân-
gulos são congruentes (retos). 
 Losango: é um quadrilátero que possui 
lados opostos paralelos, e os quatro la-
dos são congruentes. 
 Quadrado: é um quadrilátero que possui 
lados opostos paralelos, além de ter os 
quatro lados e os quatro ângulos con-
gruentes. 
 Trapézio: é um quadrilátero que apresen-
ta somente dois lados paralelos, chama-
dos bases.
 Polígonos convexos e 
 não convexos 
Definições:
Polígono convexo: dados dois pontos A e 
B quaisquer dentro de um polígono, se o 
segmento de reta determinado por esses 
dois pontos estiver inteiramente contido 
no interior do polígono, então esse polígo-
no será convexo. 
Polígono não convexo: dados dois pontos 
A e B quaisquer dentro de um polígono, se 
existir pelo menos um segmento de reta 
determinado por esses dois pontos que 
não estiver inteiramente contido no inte-
rior do polígono, então esse polígono será 
não convexo. 
Observe os polígonos a seguir:
 Polígonos 
Polígono é uma figura geométrica plana 
com contorno fechado, formado por se-
guimentos de retas que não se cruzam.
No conjunto temos apenas duas figuras 
não são polígonos:
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São convexos os polígonos 2,3,5 e 6 e não 
convexos os identificados por 1,4 e 7.
 Polígonos Regulares
Um polígono é regular quando for convexo 
e possuir todos os lados e ângulos com a 
mesma medida.
 Círculo e circunferência 
Definições:
Circunferência é o espaço geométrico de 
uma região circular que compreende to-
dos os pontos de um plano localizados a 
uma determinada distância, denominada 
raio, de um ponto chamado centro. Assim, 
circunferência é uma linha, ou seja, a bor-
da do círculo. 
Círculo é a região interna da circunferên-
cia. Ele possui todos os pontos da circun-
ferência e os pontos internos desta. As-
sim, círculo é uma região plana delimitada 
pela circunferência.
A tabela a seguir resume as classifica as 
formas geométricas do Conjunto de Figu-
ras Planas em função de alguns dos con-
ceitos definidos. 
Figura Polígono Convexo Regular
Quadrado x x x
Retângulo x x
Círculo
Triângulo 
equilátero
x x x
Figura 
irregular
Trapézio x x
Propostas de Atividades
 Definições e classificações de 
figuras planas – MAT_GM1101
1. Identifiquem os quadriláteros entre as figuras 
planas do conjunto. 
2. Investigue as relações entre as medidas dos 
lados e dos ângulos internos, completando a 
tabela como no exemplo a seguir: 
3. Classifique as sentenças sobre quadriláteros 
como verdadeiras (V) ou falsas (F):
 [ ] Todo quadrado é um retângulo.
 [ ] Todo retângulo é um quadrado.
 [ ] Todo quadrado é um paralelogramo.
 [ ] Todo retângulo é um paralelogramo.
 [ ] Todo quadrado é um losango.
 [ ] Todo losango é um quadrado.
 [ ] Todo trapézio é um paralelogramo.
Quadri-
láteros Imagem Lados Ângulos
Paralelo-
gramo
Retângulo
Quadrado
Losango
Trapézio
Note que apesar de os conceitos de quadrilátero, polígono 
e círculo serem conhecidos de maneira geral pelos alunos, 
muitos não sabem as definições. Isso pode gerar confusão 
a respeito de algumas figuras planas. Então, a ideia é levan-
tar questionamentos para que os estudantes sejam incenti-
vados a explicar e argumentar esses conceitos. 
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5. Identifiquem quais figuras planas do conjunto 
são polígonos e quais não são.
6. Construa os polígonos a seguir na malha quadri-
culada do conjunto utilizando régua, compasso, 
e/ou transferidor, e/ou esquadros.
7. Separem esses polígonos em dois grupos com 
características em comum e explique o critério 
utilizado.
1. Identifiquem as figuras e, com o auxílio de um 
fio ou barbante e da malha quadriculada, deter-
minem o perímetro e a área de algumas figuras 
planas, completando a tabela:
Observe a malha quadriculada e considere para 
essa atividade a unidade de comprimento e a 
área do quadrado unitário.
4. O que são polígonos? 8. Identifique os polígonos regulares do conjunto. 
 a) Por que esses polígonos são regulares? O 
que são polígonos regulares?
9. Identifique agora o círculo do Conjunto de Figu-
ras Planas. 
 a) Essa figura é um círculo ou uma circunferên-
cia? Círculo e circunferência são a mesma coi-
sa? Por quê?
GRUPO 1
Imagem
Lados
Ângulos
GRUPO 2
CRITÉRIO 
UTILIZADO
O objetivo é incentivar a argumentação e a busca por um 
padrão. Assim como na discussão sobre o conceito de 
polígonos, o professor precisa apresentar contraexemplos, 
argumentos e questionamentos sobre as definições e agru-
pamentos criados pelos alunos.
Utilizar um fio ou barbante para contornar o círculo e a 
figura irregular. Na sequência, esticar o fio sobre a malha 
quadriculada e determinar o comprimento aproximado do 
contorno das respectivas figuras a partir da unidade de 
comprimento utilizada, o lado do quadrado. Para os po-
É importante analisar com cautela todas as explicações 
dos alunos e sempre questionar se elas são suficientes 
para demarcar esse grupo de figuras planas. Uma possi-
bilidade é apresentar contraexemplos e figuras que podem 
gerar dúvidas.
 Perímetro e Área – MAT_GM1802
Figura Imagem Perímetro (u.c.)
Área 
(u.a.)