Matemática Básica

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Matemática Básica 
 
Essa parte da apostila aborda: 
Soma e Subtração de Frações 
Multiplicação e divisão de frações 
Introdução à potenciação 
Multiplicação e divisão de potências 
Introdução à Radiciação 
Racionalização de denominadores 
Introdução aos Triângulos 
Semelhança de Triângulos 
Teorema de Pitágoras 
Introdução à trigonometria 
Lei dos Senos e Lei dos Cossenos 
Introdução aos vetores e as matrizes 
Operações com vetores 
Operações com matrizes 
Funções do 1 Grau 
Problemas com funções do 1 grau 
Funções do 2 Grau 
Problemas com funções do 2 grau 
Fórmula de Bhaskara e Método da soma e produto 
 
 
Soma e Subtraça o de Fraço es 
Introdução 
Dá uma olhada nesse númerozinho aqui 
 
Esse dai, nós já conhecemosss, ele é um número decimal. Mas e se eu te contar que ele é igual 
a esse outro camarada aqui: 
 
 
 
 
 
 
Hehe, mas que parada é essa? Isso é o que chamamos de fração, e toda fração equivale a um 
número decimal. 
Mas como fazemos as somas e subtrações dessas frações? Daqui a pouco vamos ver direitinho 
isso, mas antes vamos ver alguns conceitos básicos de frações. 
 
Frações 
Você provavelmente já deve ter escutado muitooo a palavra frações. Mas se fossemos definir, 
o que é uma fração em si? 
A fração nada mais é do que uma parte de um todo. Ou seja, você vai ter um valor que 
representa o total de algo, mas você só quer apenas uma parte, nesses casos utilizamos 
frações. 
Se nós conseguimos dividir o todo em partes iguais, nós conseguimos representar ele por meio 
de frações. 
Como por exemplo, imagine que você tem uma barra de chocolate e corta ela em quatro 
pedaços iguais. 
 
 
 
 
O todo dessa barra seria os 4 pedaços iguais que, juntos voltam à barra inteira. 
Porém você decide comer apenas 1 desses pedaços, ou seja, você comeu apenas um pedaço 
desse total, esse pedaço é a parte que você selecionou do todo. 
Assim, a fração que representa a quantidade que você comeu é: 
 
 
 
 
 
Belezinha, outra coisa que precisamos saber é como chamamos cada parte de uma fração : 
 
 
 
 
 
O nós chamamos de numerador e o chamamos de denominador. 
O denominador sempre vai ser a quantidade de partes iguais na qual dividimos (ou 
repartimos) o todo e o numerador vai ser o quanto foi usado dessas partes. 
 
Simplificação de frações: 
Outra coisa que é importante quando falamos de fração é a simplificação. Ou seja, nós vamos 
simplifica-la até chegarmos numa fração irredutível (Na qual, não conseguiremos simplificar 
mais). 
Ok, mas como que nós fazemos essa simplificação? 
Basta você dividir o numerador e o denominador por um múltiplo em comum á ambos. Você 
vai repetir isso até chegar ao ponto onde não existe um múltiplo comum ao denominador e 
numerador (é o ponto que chegamos à fração irredutível). 
 
Exemplo, vamos simplificar a fração: 
 
 
 
 
Note que de 80 e 248 são múltiplos de 2, logo vamos “simplificar por dois” (ou dividir por dois) 
o numerador e denominador. 
 
 
 
 
 
 
 
Novamente, conseguimos simplificar por 2 
 
 
 
 
 
 
 
Simplificando por 2 mais uma vez : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prontinho, 
 
 
 é a fração irredutível de 
 
 
. 
 
 
 
Uma coisa que é importante quando se trata de frações é que quando você chegar ao 
resultado final de uma questão, você sempre terá que verificar se sua fração é irredutível, se 
não for, é necessário fazer a simplificação. 
 
MMC 
 
Antes de partirmos para as somas e subtrações, é necessário que você entenda BEM o que é o 
Mínimo múltiplo comum ou mais conhecido por MMC. 
Ou seja, o MMC é uma operação feita pra encontrar o menor número, excluindo o zero, que 
seja múltiplo dos valores que temos. E no caso das frações o MMC sempre vai ser feito entre 
os denominadores. 
Beleza, mas como é essa operação? 
Vamos pensar nos números , e 
 
1º Passo: Colocar os números um do lado do outro e fazer uma reta á direita dos números, 
com isso você vai escolher um número primo (2, 3,5...), que divida pelo menos um dos 
números do lado esquerdo. Depois disso, a gente faz a divisão de cada um dos números do 
lado esquerdo pelo numero primo que escolhemos, escrevendo os resultados embaixo (se a 
divisão não for exata apenas repetimos o número). 
Vamos repetir esse passo até que todos os números ao lado esquerdos sejam iguais a 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2º Passo: Para descobrirmos o MMC, basta multiplicarmos os valores que temos do lado 
direito. 
 
Logo o MMC entre , e é 10. 
 
Soma e subtração de Frações 
 
Vamos separas em três casos 
 
1º Caso: Soma e subtrações de frações com denominadores iguais 
Quando temos denominadores iguais, nós vamos simplesmente “manter” o valor do 
denominador e somar (ou subtrair) os numeradores. 
 
 
 
 
2º Caso: Soma e subtrações de frações com denominadores diferentes 
A ideia geral é você aplicando algumas operações, você transforme cada uma das frações 
envolvidas em outra equivalente. Da forma que TODAS as frações que você estiver somando 
ou subtraindo fique com o mesmo denominador. 
Por exemplo, como fazemos. 
 
 
 
 
 
 
Você vai seguir esses passos: 
(a) Calcular o MMC entre os denominadores, esse MMC será o nosso novo denominador. 
(b) Vamos pegar o valor do MMC, dividir pelo denominador de cada uma das frações 
(uma de cada vez) e multiplicar pelo valor do numerador. 
Esse valor será o novo numerador de cada uma das nossas frações. 
(c) Teremos então duas novas frações, com o mesmo denominador, agora é só somar ou 
subtrair normalmente. 
Resolvendo nosso exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
(a) Precisamos calcular o MMC entre os denominadores 2 e 3 
 
 
 
Logo temos que o MMC é seis, ele vai ser nosso denominador novo. 
 
(b) Vamos pegar o valor do MMC, dividir pelo denominador de cada uma das frações 
(uma de cada vez) e multiplicar pelo valor do numerador. 
Para a primeira fração: 
 
 
 
Para a segunda fração: 
 
 
(c) Agora é só subtrair essas novas frações: 
 
3º Caso: Soma e subtrações de frações com números inteiros 
 
Vale lembrar, que todo número inteiro pode ser representado como uma fração basta apenas 
colocarmos o número 1 no denominador. 
Por exemplo, 
 
 
 
 
Logo, para fazermos a soma sempre vamos utilizar ele em forma de fração. 
Feito isso, agora é só fazer a mesma conta para somarmos ou subtraímos frações com 
denominadores diferentes. 
 
 
 
Exercí cios 
 
1) Encontre o MMC entre 
 , , 
 
2) Encontre a fração irredutível : 
(a) 
 
 
 
 
(b) 
 
 
 
 
3) Faça a subtração 
 
 
 
 
 
4) Resolva: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) O mês de Setembro tem 30 dias. Já se passaram 
 
 
 do número de dias do mês. Quantos dias 
ainda faltam para terminar o mês de setembro? 
 
6) Todos os 9 capítulos do livro que estou lendo têm a mesma quantidade de páginas. Sabendo 
que eu já li 5 capítulos, responda: 
(a) Que fração do livro eu já li? 
(b) Que fração do livro falta para eu terminar a leitura? 
 
7) O tanque de combustível de um veículo estava vazio e foi abastecido com 
 
 
 de sua 
capacidade de álcool e 
 
 
 de gasolina. 
(a) Com que fração da capacidade do tanque o veículo foi abastecido? 
(b) Que fração da capacidade do tanque faltou para que ele ficasse cheio? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Multiplicaça o e divisa o de fraço es 
Multiplicação de frações 
Falaa galerinha do meu coração 
Deem uma olhada nessa conta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como podemos encontrar o resultado? 
Pode ficar tranquilooo, multiplicar frações é muito de boas. Primeiro, nós nem vamos precisar 
de MMC. 
 
Para multiplicar as frações, nós vamos simplesmente multiplicar denominador com 
denominador e numerador com numerador. 
Pegando nosso exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vamos multiplicar denominador com denominador e numerador com numerador, assim 
temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Agora é só fazer a continha: 
 
 
 
 
 
 
 
Opa, terminamos nossa conta. Acabou? Sem mais nada?Nãaao! É sempre muuuitoimportante 
simplificarmos nossa fração pra dar a resposta final. 
Se olharmos nossa fração, podemos ver que 21 e 120são múltiplos de3. Por isso, 
vamossimplificar por 3. Ou seja, vamos dividir o numerador e o denominador da nossa linda 
fração por 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Agora, não temos mais nenhum múltiplo comum ao denominador e numerador. Logo nossa 
fração irredutível é o resultado para nossa multiplicação. 
Vamos ver mais um exemplinho: 
 
 
 
 
 
 
 
Nesse caso, temos um número inteiro 2, vamos lembrar que números inteiros podem ser 
escrito como frações por colocarmos 1 no denominador, ou seja, vamos ter : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para resolver, mutiplicamos numerador com numerador e denominador com denominador: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolvendo: 
 
 
 
 
 
 
Observa que podemos simplificar a fração, e devemos fazer issooo. Vamos dividir por 2 em 
cima e em baixo : 
 
 
 
 
 
 
 
 
Então toda vez que, você se deparar com multiplicação de frações é só você fazer essa 
multiplicação de DENOMINADOR COM DENOMINADOR E NUMERADOR COM NUMERADOR. 
 
Divisão de frações 
Belezinha, e agora falta só aprendermos a dividir frações. 
Vamos ver um exemplo, como dividimos: 
 
 
 
 
 
 
Primeira coisa que você vai fazer é inverter o denominador e o numerador da segunda fração. 
Quando você inverter a divisão vai virar uma multiplicação, do primeiro vezes o inverso da 
segunda. 
 
Vamos ver um exemplinho com um número inteiro: 
 
 
 
Relembrando que um número inteiro pode ser escrito como uma fração por colocar o 1 no 
denominador, ficaremos com : 
 
 
 
 
 
 
Vamos inverter a segunda fração ( numerador com denominador), e quando inverter a divisão 
vira multiplicação : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prontinho, agora você já sabe como multiplicar e dividir uma fração hehe. Agora é só dar uma 
treinada nos exercícios. 
 
 
Exercí cios 
1) Resolva: 
 
 
 
 
 
2) Resolva: 
 
 
 
 
3) Calcule : 
(
 
 
 
 
 
* 
 
4) Em uma caixa cabem 
 
 
 de quilogramas de bala. Até quantos quilogramas de balas 
podem ser colocados e em 10 caixas iguais a essa? 
 
5) Qual é o número que multiplicado por 
 
 
 dá 1? Como se chama esse número em 
relação ao número 
 
 
·? 
 
6) Em um mapa, cada 1 cm equivale a 
 
 
 quilômetros. Nesse mapa a, a distancia entre 
Serra Azul e Paraíso é de 12 cm. Qual a distância real, em quilômetros, entre essas 
duas cidades? 
 
7) Mara separou 
 
 
 de uma quantia e comprou 2 cadernos iguais. O preço de cada 
caderno corresponde a que fração da quantia total? 
 
8) Renata dividiu uma figura em 5 partes iguais e pintou 
 
 
 de uma das partes. Que fração 
da figura ela pintou? 
 
 
 
 
 
Introduça o a potenciaça o 
Introdução 
 
Faala galerinhaa, tudo bem com vocês? 
A partir de agora vamos entrar no universo das potências hehe. Só pra vocês terem uma ideia, 
quando a potenciação foi criada, ela foi vista como uma forma mais econômica de se 
representar números muito grandes. 
Por exemplo: 
 
Essa multiplicação pode ser vista, como: 
 
Por isso às vezes é muito mais prático usarmos essa forma exponencial ( , do que termos o 
mesmo número se multiplicando diversas vezes. 
 
Definição 
Uma potência nada mais é que pegarmos um número “A” e multiplicar ele mesmo quantas 
vezes precisarmos (“N” vezes). Assim teremos: 
 
Chamamos “A” de base e “N” de expoente. 
E lemos: 
 
“A elevado à N (forma ordinal) potência” 
 
A forma ordinal é: Primeira (1), quarta (4), Quinta (5),... 
Só que, nas potencias quando elevamos a expoente 3 chamamos de cubo e quando elevamos 
ao expoente 2 chamamos de quadrado. 
Exemplo: 
 
Lemos 7 elevado ao quadrado 
 
 
 
Lemos 5 elevado ao cubo 
 
 
 
Lemos 2 elevado à sétima potência 
Cuidado!!! 
A potênciação multiplica a base o número de vezes do expoente. Sobre nenhuma hipótese ela 
vai pegar a base e multiplicar pelo expoente. Ou seja : 
 
 
 
 
 
Propriedades 
(a) Qualquer número elevado a 1 é ele mesmo : 
 
 
 
(b) Qualquer número, diferente de 0, elevado ao expoente 0 é 1 : 
 
 
 
(c) 1 elevado á qualquer expoente, é 1: 
 
 
(d) Quando temos expoente negativo, invertemos a fração (lembrando que todo número 
inteiro pode ser escrito como uma fração, colocando o número 1 embaixo): 
 
 
 
 
 
(e) Quando elevamos uma potencia á uma potencia, nós multiplicamos os expoentes: 
 
 
( 
 
Ideias importantes 
Gente, aqui vai umas dicas de algumas situações para vocês, saber elas podem te ajudar mais 
pra frente: 
 
 
 Prontinho, agora é só dar aquela treinada nos exercícios  
 
 
 
Exercí cios 
1) Na operação 
 
Que número é a base? 
Que número é o expoente? 
Que número é a potência? 
 
2) Escreva os seguintes produtos em forma de potência 
a) 
b) 
 
 
3) Qual o valor destas potências? 
 e 
 
4) Efetue as potenciações: 
a) 
b) 
c) 
 
 
5) Efetue as potenciações: 
 
a) 
b) ( 
 
6) Resolva a potenciação: 
(
 
 
*
 
 
 
7) Resolva as potenciações: 
(a) ( 
(b) ( 
 
 
8) Resolva: 
 (
 
 
*
 
 ( 
 
 
 
 
 
 
 
Multiplicaça o e Divisa o de Pote ncias 
 
Introdução 
Oiee, vamos agora ver um pouco sobre multiplicação e divisão entre potências. Bom à 
primeira coisa que precisamos é de uma base igual ou de um expoente igual. Essas regrinhas 
que vão nos ajudar PRECISAM de um desses dois. 
Caso você não tenha, você poderá usar as propriedades para te ajudar a resolver ou pode 
simplesmente resolver a potenciação individualmente. 
Exemplo 1: 
 
Não temos nem base, nem expoentes iguais, logo a única maneira é resolver cada potenciação 
e depois multiplicar. 
Sabemos que: 
 e 
Logo temos: 
 
 
Exemplo 2: 
 
 
 
Como, não temos bases nem expoentes iguais, resolvemos cada um de forma separada e 
depois dividimos. 
Vamos começar com o Numerador: 
 
Como, 16 é a base e vamos multiplicar ela mesma 2 vezes (expoente). Assim: 
 
 
Agora o denominador: 
 
Como o expoente é 1, logo uma das propriedades diz que todo número elevado á 1 é ele 
mesmo: 
 
 
 
 
 
 
 
Prontinho agora você já teve umas ideias de como resolver, agora vamos para os casos de 
quando temos Bases iguais ou expoentes iguais. 
 
Multiplicação 
Vamos dividir em dois casos, quando temos expoentes iguais e quando temos bases iguais: 
(a) Expoentes iguais: 
Quando temos o produto de dois números elevados á um expoente, podemos elevar 
cada um dos números separadamente e multiplica-los: 
 
( 
 
Exemplo: 
 
 
 
Ambos possuem o mesmo expoente 4, logo podemos juntar em apenas um produto 
elevado ao expoente 4: 
 ( ( 
 
 
(b) Bases iguais: 
Quando temos duas ou mais potências se multiplicando e elas possuem a mesma base. 
Você simplesmente somará os expoentes e manterá a base. 
Ou seja: 
 
Por exemplo: 
 
 
Como todos possuem a base 5, agora é só somar os expoentes : 
 
 ( 
 
Prontinho, agora vamos ver a divisão. 
 
Divisão de potências de mesma base 
(a) Expoentes iguais: 
Quando temos uma fração como base, podemos elevar o numerador e o denominador 
separadamente: 
 
(
 
 
)
 
 
 
 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
Ambos possuem o expoente 5, podemos considerar como uma fração só elevado a 
quinta potência : 
 
 
 (
 
 
*
 
 ( 
 
(b) Bases iguais: 
Quando temos uma divisão de potencias com a mesma base, nós vamos diminuir os 
expoentes (importante que o de cima seja sempre o primeiro na subtração), ou seja: 
 
 
 
Por exemplo: 
 
 
 
 
Fazendo a subtração: 
 
 
 
 
 
 
 
É isto galeraa, agora bora arrebentar nos exercícios. 
 
 
 
 
Exercí cios 
1) Resolva: 
 
 
 
 
2) Resolva as multiplicações: 
a) 
b)3) Resolva as divisões: 
a) (
 
 
)
 
 
 
b) 
 
 
 
 
4) Calcule o valor da expressão numérica 
 
 
 
 
5) A medida do lado do quadrado abaixo é representada pela letra x. 
 
Utilize a potenciação para expressar a área do quadrado 
 
6) A medida da aresta do cubo abaixo é representada pela letra y 
 
 
 
Represente o volume desse sólido pela potenciação. 
 
7) Utilizando as propriedades das potências, calcule: 
a) 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
8) Mostre que: 
 
Sendo 
 
 
 
 
Introduça o a Radiciaça o 
Introdução 
Oiee galerx, tudo certo? Já vimos que , mas agora pensa comigo, e se já temos o valor 
 e queremos saber que número foi elevado ao quadrado para chegarmos nele? 
Pra descobrimos isso, vamos usar um negocinho chamado raiz quadrada. 
Já sabemos que nesse caso basta elevar 5 ao quadrado para chegarmos ao valor de 25, ou seja 
: 
√ 
 
 
Esse símbolo no número 25 é como expressamos uma raiz e lemos assim: A raiz quadrada de 
25 é 5. 
Gente, a raiz nada mais é a operação inversa da potência. Assim como a soma e subtração, 
multiplicação e divisão... 
Uma raiz é composta dos seguintes elementos: 
 
√ 
 
 
O n é o índice da nossa raiz, a é o radicando e o b é a raiz. 
 
Raízes 
TODA vez que você se deparar uma raiz, você vai se perguntar: “Que número foi elevado ao 
índice, para que eu tenha o valor do radicando?”. 
Por exemplo: 
√ 
 
 
Vamos pensar, em que número que foi elevado a quatro (índice), e chegamos ao valor 
(radicando)? 
 Vamos testar alguns, começando por 2: 
 
16 é um pouco longe do que queremos, vamos testar o número 4 : 
 
Quando testamos o o resultado é 16, que é menor que 81. E com 4, temos por resultado 
256, que é maior que 81. Assim, vamos escolher um número entre 2 e 4, ou seja, o 3: 
 
EEEE achamos o número que estávamos procurando, assim temos que: 
 
√ 
 
 
Aah, mais uma coisinha quando não temos nenhum índice na nossa raiz, consideramos como 
uma raiz quadrada (índice 2). 
Por exemplo: 
√ √ 
 
 
Para resolver vamos pensar “que número elevado ao quadrado (índice) dá 144 (radicando)” 
O número , assim sabemos que o valor que estamos procurando é 
maior que 10, vamos testar o 12. 
 
 
Pronto, achamos o que estamos procurando. Logo, temos: 
 
√ 
Propriedades 
 
 
(a) Independente do índice, a raiz de 0 é 0: 
√ 
 
 
(b) Independente do índice, a raiz de 1 é 1: 
 
√ 
 
 
(c) A raiz de índice n, de um número elevado a n é ele mesmo: 
 
√ 
 
 
(d) Toda raiz pode ser escrita em forma de potência, basta elevar o radicando pelo seu 
próprio expoente dividido pelo índice: 
√ 
 
 
 
 
(e) Quando temos uma raiz dentro da outra podemos colocar o radicando em uma raiz só e 
multiplicar os índices 
√√ 
 
 √ 
 
 
(f) Quando temos um expoente elevando uma raiz, esse expoente “entra” para dentro do 
radicando: 
( √ 
 )
 
 √ 
 
 
 
Observações 
Agora se prepara que vou te dar umas dicas pra que na hora de lidar com as raízes, você 
mande suuuper bem: 
 Se a raiz que estamos calculando tem índice par (2,4,6 ...), e o radicando é negativo. 
Essa raiz NÃO VAI EXISTIR. 
Ex: 
√ 
Podemos afirmar que essa raiz NÃO EXISTE, ou seja, não há nenhum número que 
vamos elevar ao quadrado que vai dar . 
 
 Se tivermos um índice par, quando aplicamos a propriedade C, sempre a resposta será 
em módulo (que é o valor positivo). 
Ex: 
√( 
 
 
Como o radicando está elevado a e o índice é , vamos cortar a raiz fora: 
√( 
 
 
Como é par, agora vamos aplicar o módulo: 
√( 
 
 | | 
 
Prontinhooo, agora é só treinaaar nos exercícios HEHE. 
 
 
 
 
 
 
Exercí cios 
 
1) Na operação √ 
 
 , pede-se: 
a) O radicando; 
b) A raiz; 
c) O índice; 
 
2) Um número elevado ao cubo é igual a 1000, determine: 
a) Que número é esse? 
b) Calcule √ 
 
 
 
3) Resolva: 
a) √ 
 
 
b) √ 
 
4) Resolva: 
(√√ 
 
)
 
 
 
5) O cubo representado a baixo tem volume de 
 
Determine, em cm, a medida x da aresta do cubo: 
 
6) Determine o valor de x 
√ √ √ √ 
 
7) A queda de um corpo de uma altura é regida pelas equações 
 
 
 e . 
Expressando em função da velocidade ( ) e da aceleração da gravidade ( , temos: 
 
 
 
 
 
 
 √ 
Obtemos, assim, uma expressão radical correspondente à velocidade com que um 
corpo chega ao solo. Supondo , com que velocidade chega ao solo um 
corpo que cai de uma altura de ? 
 
 
 
Operaço es com raí zes 
Soma e Subtração 
Fala ae, tudo bem? Vamos a partir de agora aprender como fazer as quatro operações (soma 
subtração, multiplicação e divisão). 
Seguinte, tanto pra soma quanto pra subtração, não temos nenhuma regra especial, você 
resolve as raízes e faz a conta: 
Exemplo: 
√ 
 
 √ √ 
 
 
Vamos resolver cada uma das raízes: 
Primeira raiz: 
√ 
 
 
Pensando em que número elevado ao cubo (índice), dá 125 (radicando). 
Se tentarmos vemos que o valor é menor que 125, assim vamos testar o 
5 
 
Logo 
√ 
 
 
Segunda raiz: 
√ 
Vamos pensar em que número elevado ao quadrado dá 81. 
Sabemos que , logo o número que estamos procurando é menor que 10, 
vamos testar 9 
 
Assim, temos: 
√ 
Terceira raiz: 
√ 
 
 
Independente do índice, a raiz de 1, sempre vai ser 1: 
√ 
 
 
Agora é só resolver à expressãozinha: 
 
√ 
 
 √ √ 
 
 
 
Multiplicação 
Para fazer a multiplicação com a regrinha que vou dar, é necessário que as raízes tenham o 
mesmo índice. Se não tiver, você resolve as raízes separadamente e faz a multiplicação. 
Quando temos o mesmo índice, por exemplo: 
 
√ 
 
 √ 
 
 √ 
 
 
Podemos juntar todos como uma raizona, e multiplicamos dentro dela 
√ 
 
 √ 
 
 
Agora é só resolver, vamos pensar em que número elevado ao cubo dá 64, vamos testar o 4 
 
Assim, temos: 
√ 
 
 √ 
 
 √ 
 
 √ 
 
 
 
 
Essa ideia, lembrando que só vale para índices iguais. Você também pode usar quando tem 
uma raiz com um número em que o resultado não seja exato (ou muito grande) e enxergar ele 
como uma multiplicação ajuda a simplificarmos. 
Por exemplo: 
√ 
Se pensarmos, em que numero elevado ao quadrado dá 32, não vamos encontrar um número 
inteiro, por que e , logo o resultado para a raiz de 32 é um número decimal 
entre 5 e 6. 
Mas podemos usar a multiplicação ao nosso favor, podemos pensar que , com 
isso fazemos 
√ √ 
 
Agora nesse caso temos uma raizona, podemos considerar ela como duas raízes do mesmo 
índice se multiplicando: 
√ √ √ 
A raiz quadrada de 16 é 4, mas não existe um número inteiro que a raiz dê 2 (por isso vamos 
deixá-la assim mesmo). Nossa simplificação vai ficar: 
√ √ √ √ 
 
Logo nosso resultado simplificado é √ , observe que não colocamos o símbolo de 
multiplicação, mas quando temos um número antes de uma raiz, já fica entendido que eles 
estão se multiplicando. 
 
Divisão 
Para fazermos á divisão é necessário novamente ter INDICES IGUAIS. Se você não tiver, é só 
resolver as raízes individualmente e depois fazer a divisão. 
Seguinte quando você tem duas raízes de mesmo índice se dividindo, você pode fazer uma 
raizona só, com os números se dividindo. 
Exemplo: 
√ 
 
√ 
 
Agora aplicando e fazendo uma raizona só, temos: 
√ 
 
√ 
 √
 
 
 
 √ 
 
 
Pronto, agora é só resolver, vamos pensar em que número elevado ao cubo, dá 27. 
Testaremos o 3: 
 
Pronto, assim temos: 
√ 
 
√ 
 √
 
 
 
 √ 
 
 
É isto galerinha, vamos agora dar aquela treinadaaa PARTIUU 
 
 
 
 
 
Exercí cios 
 
1) Efetue a soma: 
√ 
 
 √ 
 
 √ 
 
 
 
2) Transforme em um único radical: 
a) √ √ √ 
b) √ 
 
 √ 
 
 
 
3) Transforme em um único radical, escrevendo o radicando na sua forma mais simples 
possível: 
a) 
√ 
√b) 
√ 
 
√ 
 
 
4) Resolva a multiplicação; 
√ 
 
 √ 
 
 √ 
 
 
 
5) Resolva : 
 √ √ 
 
6) Faça a divisão: 
√ 
 
√ 
 
 
7) Resolva: 
 √ 
 
 √ 
 
 
8) A metade da raiz quadrada de um número x é igual a 5. Então o valor de x é : 
a) 10 
b) 25 
c) 50 
d) 100 
 
 
 
 
 
Racionalizaça o de Denominadores 
Introdução 
Falaa ae meus queridosss, saca só essas duas fraçõezinhas: 
 
√ 
 e 
√ 
 
 
 
 
E se eu te contar que elas são equivalentes?? 
 
 
 
É Isso mesmo gente, se você resolver essas contas, o resultado vai ser o mesmoooo pra ambas 
as frações. 
Da uma olhada na primeira fração: 
 
√ 
 
Podemos observar que no denominador temos uma raiz, e quando se trata de frações, por 
uma questão de facilitar os cálculos manuais, VOCÊ NUNCA VAI QUERER TER RAIZES NO 
DENOMINADOR. 
É serio mesmo, sempre que você se deparar com uma fração com uma ou mais raízes no 
denominador, pula fora dessa. 
Mas pra fazer isso, vamos aprender a usar uma coisinha chamada RACIONALIZAÇÃO. 
A racionalização, nada mais é do que você pegar a fração com o denominador contendo raízes, 
e multiplicar o numerador e denominador por um FATOR RACIONALIZANTE. 
Esse fator vai fazer com que a nossa fração passe a ter um denominador sem raízes. 
Voltando ao nosso exemplo de inicio, a fração foi racionalizada multiplicando √ (fator 
racionalizante), no numerador e denominador da nossa fração: 
 √ 
√ √ 
 
√ 
 
 
Belezinha, mas como que vamos saber que fator é esse que vamos usar ??? 
Relaxa, vamos ver três casos. Ai quando você se deparar com exercícios, basta ver em que caso 
entra. 
 
 
 
Fator racionalizante 
 1° Caso : Denominador com uma raiz quadrada 
Por exemplo: 
 
 √ 
 
Vamos olhar somente para o denominador, temos uma raiz quadrada, logo entra 
nesse primeiro caso. 
O fator racionalizante nesses casos, sempre vai ser a própria raiz. Assim, no nosso 
exemplo o fator será √ , agora bastam multiplicarmos o numerador e denominador 
da nossa fração original por ele: 
 √ 
 √ √ 
 
Agora é só resolver: 
 √ 
 √ √ 
 
 √ 
 
 
√ 
 
 
 
Então não se esqueça de nesse caso o fator é a própria raiz quadrada que está no 
denominador. 
 
 2° Caso: Denominador com uma raiz, onde o índice é diferente de dois. 
Nesse caso, vamos ter uma fração onde o denominador é parecido com: 
√ 
 
 
O fator racionalizante será: 
√ 
 
 
Exemplo: 
 
√ 
 
No denominador agora temos uma raiz cúbica, assim, entramos no segundo caso. 
Vamos usar a formulazinha do fator integrante: 
√ 
 
 
“n” é o índice da raiz que temos no nosso denominador. 
“a” é o radicando da raiz que temos 
“’m’’ é o valor que o radicando está sendo elevado. 
 
Nesse casso nosso denominador é: 
√ 
 
 
 Temos que n = 3, a =7 e m = 1. 
Assim, nosso fator fica: 
√ 
 
 
Agora é só multiplicar ele, no numerador e denominador da nossa ração original: 
 
 √ 
 
√ 
 
 √ 
 
Vamos escrever essas raízes em forma de potenciação e resolver: 
√ 
 
√ 
 
 √ 
 
√ 
 
 
 
 
 
 
 
 
√ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
√ 
 
 
 
Prontinho. 
 
 
 
 3° Caso: Denominador com soma ou subtração, onde pelo menos um dos elementos é 
uma raiz quadrada. 
Seguinte à ideia é, que o fator racionalizante vai ser a mesma soma (ou subtração) que 
temos no denominador, a única coisa que vai trocar é o sinal, ou seja: 
 
Exemplo: 
 
√ 
 
 
Opaaa há uma subtração no denominador, logo entramos no terceiro e ultimo caso. 
Como temos √ , o fator racionalizante vai ser √ (só troca o sinal). 
Agora é só multiplicar o fator no denominador e numerador da nossa fração 
 
 (√ 
(√ (√ 
 
√ 
 
 
√ 
 
 
 
Então é isto, vamos sempre se lembrar de que quando chegarmos num exercício que é 
necessário racionalizar, primeiro você vai ver em qual caso ele entra. Feito isso, basta 
descobrir o fator racionalizante, depois é só multiplicar ele pelo denominador e numerador 
da fração original que tínhamos. 
Agora vamos dar aquela praticada marotaaa nos exercícios. 
 
 
 
 
Exercí cios 
 
1) Indique qual seria o fator racionalizante das seguintes frações: 
a) 
 
√ 
 
b) 
 
√ 
 
c) 
 
√ √ 
 
 
2) Racionalize o denominador das frações: 
a) 
 √ 
√ 
 
b) 
 
 √ 
 
 
3) Racionalize o denominador das frações : 
a) 
 √ 
√ 
 
b) 
 
 √ 
 
 
4) Racionalize o denominador: 
 
 √ 
 
 
5) Racionalize o denominador de: 
√ √ 
√ √ 
 
 
 
6) Racionalize e deixe em uma única fração: 
 
√ 
 
 
√ 
 
7) 
8) Resolva: 
√ 
√ √ 
 
√ 
√ √ 
 
 
9) Racionalize: 
 
 
 
 
 
 
 
Introduça o aos vetores e as matrizes 
Introdução aos vetores 
Falaa galerinhaaa, você já deve ter escutado muito sobre a palavra grandezas. 
As grandezas estão relacionadas com aquilo que se pode ser medido, ou contado. 
Por exemplo, quando você quer comprar de fita, você está utilizando uma grandeza 
escalar . 
Esse tipo de grandeza é representado somente por um valor numérico e saber esse valor 
numérico já é bastante para nós. 
Agora existem situações em que apenas o valor numérico não é o suficiente, como a 
velocidade, não basta apenas saber qual é seu valor numérico (que aqui chamaremos de 
módulo). Nós queremos saber também qual é a direção e o sentido na qual o carro está indo 
É pra isso que existem os vetores, eles trazem mais informações para as grandezas escalares 
que vemos normalmente. 
Representação de um vetor 
O vetor é representado por meio de uma seta, que começa em um ponto e termina em outro. 
Por exemplo: 
 
Dá uma olhada que esse vetor começa no ponto O, que é chamado de origem, e termina no 
ponto P que é chamado de extremidade. 
A notação que temos para um vetor é uma letra minúscula com uma seta em cima, ou seja : 
 
 ⃗ 
Também podemos escrever usando os pontos de origem e extremidade: 
 
 ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ 
 
Quando quisermos saber o valor da coordenada que representa o vetor fazemos 
o ponto da extremidade menos o ponto da origem . Ou seja: 
 
 ⃗ 
 
Agora observa que, usar essa seta nos mostra o que queríamos saber antes: 
 Módulo (comprimento, ou tamanho). 
 Direção (posição horizontal, vertical, norte, sul, leste, oeste...) 
 Sentido (de O para P). 
Tipos de vetores 
Agora vamos ver que tipos de vetores existem: 
 Vetores iguais 
Dois ou mais vetores são iguais quando possuem o mesmo módulo, direção e sentido. 
 
 
 
 Vetores Opostos 
Dois ou mais vetores são iguais quando possuem o mesmo módulo e direção. Mas o 
sentido é contrário. 
 
 Vetor unitário: 
Quando o módulo do vetor é um, temos um vetor unitário. 
 
 Vetores colineares : 
Dizemos que dois ou mais vetores são colineares se eles possuem a e mesma direção, 
eles podem estar paralelos ou na mesma reta ( um embaixo e outro em cima). 
 
 
 
 
 
 Vetores coplanares: 
Quando dois ou mais vetores estão no mesmo plano, dizemos que eles são coplanares. 
Dois vetores sempre são coplanares, porém 3 já podem não ser mais . 
 
 
Introdução ás matrizes 
Dá uma olhadinha nisso aqui: 
Você já deve ter se deparado alguma vez com algo parecido, bom isso é o que chamamos de 
Matriz. 
(
 
 
) 
 
Uma matriz pode ser encarada como uma tabela, com m linhas e n colunas. 
Nesse caso temos duas linhas e duas colunas, e cada um desses elementos, nós chamamos de 
termos da matriz. 
E ela pode ser vista como uma tabela, por exemplo, a quantidade de alunos de duas turmas 
que participaram de uma palestra que ocorreu no período matutino e vespertino. 
 
 
 
 
Representação genérica de uma matriz 
Cada um dos termos da matriz vai ter uma “localização’’ própria dentro dela. Por isso é usado 
a notação: 
 
 
 
i é a linha onde o termo se encontra, e j é a coluna. 
Assim, uma matriz de forma mais geral é: 
 
Essa matriz tem apenas três linhas e três colunas. Mas essa ideia de cada termo vale para 
qualquer matriz. 
Aaaah, mais uma coisinha: 
Uma matriz tem a seguinte notação: 
 
Ou seja, é sempre uma letra maiúscula, com oíndice , onde n é a quantidade de linhas e 
n é a de colunas. E lemos “matriz m por n” 
 
Em alguns exercícios eles vão nos dar o termo geral da matriz e vão pedir para monta-la. 
Por exemplo: 
Monte a matriz , tal que {
 
 
 
Note que a matriz vai ter 2 linhas e 2 colunas, assim a forma geral dela é ; 
 
O termo geral diz que quando , o valor do termo é 1, e se , o valor do termo passa a 
ser 0. 
Vamos fazer cada elemento, primeiro: 
 
Temos que e , logo eles são iguais, assim nosso termo fica: 
 
 
 
Segundo: 
 
Temos que e , logo eles são diferentes, assim nosso termo fica: 
 
 
 
Terceiro: 
 
Temos que e , logo eles são diferentes, assim nosso termo fica: 
 
 
 
 
Quarto: 
 
Temos que e , logo eles são iguais, assim nosso termo fica: 
 
 
Terminamos todos os termos, agora vamos montar nossa matriz: 
 (
 
 
) (
 
 
) 
É isso, então você monta os termos a partir do termo geral que foi dado no exercício. 
 
 
Tipos de matrizes 
Vamos ver os tipos mais utilizados de matrizes: 
 Matriz nula: 
Todos os elementos da matriz nula é igual a 0, independente de quantas linhas ou 
coluna temos. Exemplos: 
 ( 
 
 ( 
 
 
) 
 
 (
 
 
 
+ 
 Matriz coluna: 
É uma matriz formada por apenas uma coluna. Exemplos: 
 (
 
 
) 
 
 (
 
 
 
+ 
 
 
 
 
 Matriz linha: 
É formada por apenas uma linha. Exemplo: 
 ( 
 
 Matriz quadrada: 
Essa é uma matriz, muito importante, ela possui o número de linhas iguais ao numero 
de colunas (m=n), por exemplo: 
 (
 
 
 
+ 
Note que usamos só um índice, pra fazer o . E dizemos matriz de ordem 3, ou 
ordem n. 
 Matriz identidade: 
É a matiz quadrada de ordem n, que todos s elementos da diagonal principal vale 1, e 
o resto vale 0. 
 
 
A diagonal principal começa no primeiro termo ( e segue na diagonal ( . 
E é representada pela letra I, e o índice é a ordem da matriz. 
Exemplo: 
 
 (
 
 
)
 
 
 
 (
 
 
 
+
 
 
 
 Matriz transposta: 
Dado uma matriz , a sua transposta é a troca de linha com colunas. 
Ou seja: 
 (
 
 
) 
Sua transposta é : 
 
 
 (
 
 
 
+ 
Ou seja, primeira linha vira primeira coluna, e assim vamos fazendo a troca. 
É Isto galeraaa, partiu exercícios. 
 
 
Exercí cios 
1) Sabendo que ( e ( , cacule a coordenada do vetor ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ : 
 
2) Escreva as coordenadas da origem O e da extremidade P do seguinte vetor: 
 
 
 
3) Indique os elementos da diagonal principal e os da diagonal secundária de cada uma das 
seguintes matrizes quadradas: 
 
a) (
√ 
 √ 
 
) 
 
b) 
(
 
 
 
 
 
 
 )
 
 
 
4) Diga qual a ordem das matrizes abaixo: 
a) (
 
 
 
) 
 
a) (
 
 
 
 
, 
 
5) Escreva a matriz ( , onde 
 
 
 
 
6) Escreva a matriz ( , onde 
 
 
7)Escreva a matriz ( , onde {
 
 
 
 
8) Encontre a matriz transposta da matriz: 
 (
 
 
 
+ 
 
 
 
 
 
Operaço es com vetores 
Soma entre vetores- regra do paralelogramo 
Fala minha genteee, já vimos o que é um vetor, e agora vamos ver algumas operações que 
podemos fazer com eles. 
Para a soma, temos suas opções: 
 Regra do paralelogramo 
 Fechamento do triângulo 
Vamos começar, imagine dois vetores: 
 
E você quer fazer a soma deles, tá MAS COMO ? 
Primeiro vamos usar a regra do paralelogramo: 
A ideia é a seguinte, primeiro você vai colocar os vetores saindo de uma mesma origem. 
Lembrando que se não mudarmos nem o módulo, nem a direção e nem o sentido de um vetor, 
ele continua sendo igual. 
Então, vamos arrastar os vetores para deixar eles com a mesma origem, lembrando-sede não 
mudar nenhuma das características do vetor que queremos (basicamente só vamos 
“desenhar” ele em outro lugar). 
 
Feito isso, agora vamos fazer uma reta tracejada paralela ao vetor ⃗⃗, que começa na 
extremidade do vetor 
 
 
 
Agora, também fazemos uma linha tracejada, mas agora paralelo ao vetor ⃗, e que começa na 
extremidade do vetor ⃗⃗: 
 
Essa figura que acabamos de formar é um paralelogramo, é por isso que tem esse nome 
hahaha. 
A soma desses vetores é a reta que começa na origem O e termina no encontro das linhas 
tracejadas: 
 
E nesse caso, se quisermos saber o valor do módulo (comprimento) da soma, vamos usar essa 
formulazinha aqui (vamos chamar o vetor ⃗⃗ ⃗ de ⃗⃗ : 
 
Onde: 
R é o módulo da soma 
u e v são os módulos de cada um dos vetores. 
 é o ângulo entre os vetores u e v ( quando ambos estão na mesma origem). 
 
 
 
EX: 
Dois vetores têm direções perpendiculares, ⃗⃗ com módulo 3 e ⃗ com módulo 5, calcule o vetor 
resultante : 
Pela regra do paralelogramo, vamos usar a fórmula 
 
Onde temos : 
 
 
 ou perpendicular. 
 
Como temos que , 
 
 √ 
 
 
Prontinho então a regra do paralelogramo tem os seguintes passos; 
1º Colocar os vetores saindo de uma mesma origem 
2º Fazer as linhas tracejadas 
3º Encontrar o vetor correspondente a soma 
 
Soma entre vetores- regra do fechamento do triangulo 
 
A segunda maneira de resolver é por meio do fechamento do triangulo: 
Vamos usar os mesmos vetores 
 
Agora ao invés de colocar ambos saindo de uma mesma origem, vamos colocar um dos vetores 
saindo da extremidade do outro: 
 
Se quisermos colocar o vetor ⃗ na extremidade do ⃗⃗, também da certo. 
Feito isso a soma é o vetor que começa na origem do primeiro vetor e que termina na 
extremidade do ultimo, ou seja, 
 
 
: 
Nós realmente fechamos para formar um triangulo. 
Se quisermos saber o móduloda soma usamos : 
 
Onde : 
R é o módulo da soma 
u e v são os módulos de cada um dos vetores. 
 é o ângulo entre os vetores u e v ( quando ambos estão na mesma origem). 
 
Subtração entre vetores: 
Agora, queremos subtrair os vetores: 
 
Ou seja, queremos saber quanto é ⃗⃗ ⃗, para resolvertemos que lembrar que 
 ⃗ 
É o vetor oposto de ⃗, ou seja, eles têm mesmo módulos e direção, mas sentidos contrários. 
Assim basta vermos essa diferença como uma soma: 
 ⃗⃗ ( ⃗ 
Ai é só inverter a direção da seta do vetor ⃗ no desenho, e depois é só resolver a soma. 
 
Multiplicação por um escalar: 
Um escalar é um número qualquer que estamos acostumados ( 1, 8, -7 ...) 
Quando multiplicamos um vetor por um escalar, ele apenas vai mudar seu tamanho e o 
resultado do módulo vai ser o escalar multiplicado do módulo do próprio vetor. 
Ex: 
 
Ou seja, se temos um vetor ⃗⃗, e queremos multiplica-lo por 2. Nós fazemos ele com o dobro 
do seu tamanho. E seguimos essa ideia para todo escalar. 
 
 
E se for dado o valor do módulo vetor e quiser saber o valor do resultado do módulo de ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗, 
vamos simplesmente multiplicar o módulo pelo escalar. 
Por exemplo: 
| | 
| | 
 
 
É isso, partiu exercíciosss ^~^ 
 
Exercí cios 
1) Dois vetores ⃗ e ⃗⃗ têm direções perpendiculares. Seus módulos são e . 
Determine o módulo da soma ⃗ ⃗ ⃗⃗ 
2) Obtenha a soma de dois vetores ⃗ e ⃗⃗, de módulos e , sabendo que ele 
tem a mesma direção e mesmo sentido. 
3) Se | | e | | e estão perpendiculares, calcule o módulo de 
 ⃗⃗ ⃗ 
 
 
 
4) Se | | , | | e , calcule o módulo de 
 ⃗⃗ ⃗ 
 
5) Se | | , calcule o módulo de: 
a) ⃗⃗ 
b) 
 
 
 ⃗⃗ 
 
6) Obtenha a soma de dois vetores ⃗ e ⃗⃗, de módulos e , sabendo que 
eles tem a mesma direção e sentidos opostos. 
 
7) Dois vetores ⃗ e ⃗⃗ têm módulos são e . Determine o módulo Do 
vetor ⃗ ⃗ ⃗⃗ nos seguintes casos: 
 ⃗ e ⃗⃗ com a mesma direção e mesmo sentido 
 ⃗ e ⃗⃗ com a mesma direção e sentidos opostos 
 
8) Considere dois vetores: um de módulo e outro de módulo . Mostre como deve 
ser os vetores para que sua soma tenha módulo: 
a) 70 
b) 10 
c)50 
 
 
Operaço es com matrizes 
Soma e subtração 
Caara, chegamos na parte de fazer as operações com as famosas matrizes. Vamos começar 
com a soma e subtração 
Exemplo : 
(
 
 
) (
 
 
) 
A ideia é você somar (ou subtrair )elemento com elemento, ou seja, primeiro termo de uma 
matriz com o primeiro termo da outra e assim vai, dessa forma : 
 
Agora é só terminar, fazendo essas continhas: 
(
 ( 
 ( 
* (
 
 
) 
 
Então a ideia é essa para soma e subtrações de matrizes. Única coisa que você tem que tomar 
cuidado é que para você somar as matrizes ambas tem que ter a mesma quantidade de linhas 
e colunas . 
 
Multiplicação por escalar 
Fazer a multiplicação de uma matriz por um escalar é bem tranquilo, basta você multiplicar 
todos os termos da matriz por esse escalar, ou seja ele entra para dentro da matriz 
multiplicando todos os elementos : 
Ex : 
 (
 
 
 
+ 
O escalar vai entrar na matriz multiplicando cada termo: 
 (
 
 
 
+ (
 
 
 
+ (
 
 
 
+ 
Prontinho, a ideia é a mesma para qualquer que seja a quantidade de linhas e colunas da nossa 
matriz. 
 
Multiplicação entre matrizes 
Para resolver a multiplicação entre duas matrizes ( A e B) você precisa que isso aconteça : 
 
O número de colunas da matriz A têm que ser igual ao número de linhas da matriz B, nesse 
caso ambas são n. E o resultado sempre vai ser a quantidade de linhas da primeira e q 
quantidade de colunas da segunda. 
 
 
CUIDADO: 
No caso das matrizes 
Então você sempre vai ter que cuidar esse lance do número de colunas da primeira matriz ser 
igual ao número de linhas da segunda. 
 
Beleza, mas como resolver essa multiplicação? 
Grava essa frase aqui: 
“Linha por coluna” 
Quando você pegar duas matrizes se multiplicando você fixar a primeira linha da matriz A e 
multiplica primeiro pela primeira coluna da matriz B, depois a segunda, até acabar as colunas 
da matriz B. Assim, você vai estar calculando cada um dos termos da nossa matriz resultada da 
multiplicação. 
Depois passamos para as outras linhas da matriz A, sempre repetindo o mesmo procedimento. 
Até acabar a matriz toda. 
Ex: 
 (
 
 
) 
 
 (
 
 
) 
Vamos calcular , da uma olhada que a matriz A tem 2 colunas e a matriz B tem 2 linhas, e 
por elas serem iguais, podemos multiplicar: 
(
 
 
) (
 
 
) 
Vamos multiplicar a primeira linha da matriz A com a primeira coluna da matriz B: 
 
 
Agora continuando na primeira linha da matriz A, vamos multiplicar a segunda coluna de B: 
 
Terminamos a primeira linha, vamos para a segunda e a primeira coluna novamente : 
 
 
 
Para finalizar vamos pegar a segunda coluna: 
 
Agora é só resolver a expressãozinha pra cada termo, e no final ficamos por resultado : 
 
 (
 
 
) 
É ISSO GALERAAA, bora exercicios 
 
 
 
 
Exercí cios 
1) Faça a soma : 
(
 
 
) (
 
 
) 
2) Resolva : 
(
 
 
 
+ (
 
 
 
+ 
3) Dado (
 
 
 
 ) calcule: 
 
a) 
b) 
 
 
 
 
4) Sejam (
 
 
) e (
 
 
), calcule: 
 
 
 
5) Sejam (
 
 
 
+, (
 
 
 
+ e (
 
 
 
+, calcule: 
 
 
6) É possível fazer as seguintes multiplicações? 
a) (
 
 
) (
 
 
) 
 
b) (
 
 
) (
 
 
 
) 
 
7) Seja a matriz 
 (
 
 
) 
Calcule 
 
8) Calcule: 
(
 
 
 
+ (
 
 
 
+ 
 
 
 
Introduça o aos Tria ngulos 
 
Introdução 
Os triângulos são um dos assuntos mais importantes dentro da trigonometria, através do 
estudo deles conseguimos extrair muitas propriedades que serão extremamente úteis em 
cálculos mais complexos. 
Tá, mas o que seriam os triângulos? 
O triângulo é um polígono que possui três lados e três ângulos. 
 
Esses ângulos vão ser muito importantes quando quisermos classificar os triângulos em grupos 
diferentes, mas antes, vamos ver algumas propriedades que são comuns a todos os triângulos. 
Propriedades do Triângulos 
( Os triângulos são compostos por vértices, lados e ângulos. 
( A soma dos ângulos internos dos triângulos resulta em . 
 
( A soma dos ângulos externos dos triângulos resulta em . 
 
Mas por que os ângulos são tão importantes quando trabalhamos com os triângulos? 
Os ângulos determinam qual será o tipo do triângulo, ou seja, dependo da disposição dos seus 
ângulos, o triângulo pode pertencer à classes diferentes, 
Tipos de Triângulos 
 
 
Triângulo Equilátero 
No triângulo equilátero, todos os seus lados tem a mesma medida e por consequência, todos 
seus ângulos também. 
 
 
 
Triângulo Isósceles 
O triângulo isósceles tem dois de seus lados iguais, dessa forma, dois de seus ângulos também 
são equivalentes. 
 
 
 
Triângulo Obtuso 
Um de seus ângulos é maior que . 
 
 
 
Obs: O triângulo obtuso também pode ser considerado isósceles caso . 
Triângulo Escaleno 
Nenhum de seus lados são iguais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Triângulo Retângulo 
Um de seus ângulos é de , é um dos mais importantes para trigonometria. 
 
 
Obs: O triângulo retângulo também pode ser considerado como isósceles caso . 
Mediana e Baricentro 
O baricentro de um triângulo também é conhecido como seu centro d gravidade, centro de 
massa ou ponto de equilíbrio. 
Mas como baricentro e medianas se relacionam? 
A mediana é o ponto médio de um lado que se liga com o vértice oposto ao lado: 
 
 é o ponto médio entre . 
Podemos fazer isso com os outros dois lados e teremos algo assim: 
 
 
 
Os pontos , e são pontos médios dos lados. 
Quando ligamos os pontos das medianas com os vértices opostos observamos que as três 
medianas se cruzam em um único ponto. 
Esse ponto (Ponto ) será o baricentro do triângulo. 
E aí, já está craque com os triângulos? Bora praticar... 
 
 
Exercí cios 
 
1) Um triângulo possui um de seus ângulos internos igual a , tal triângulo pode ser 
triângulo equilátero? Justifique. 
 
2) Um triângulo escaleno tem seu maior ângulo interno de e o menor de . Qual 
é o valor do ângulo restante? 
 
3) Qual das alternativas abaixo está incorreta: 
a) O baricentro de um triângulo é o ponto onde as três medianas se cruzam. 
b) Para obter uma mediana é necessário encontrar o ponto médio dos lados do 
triângulo. 
c) Um triângulo pode possuir duas ou três medianas. 
d) A mediana liga o ponto médio de um dos lados ao vértice oposto a esse ponto. 
 
4) Os triângulos podem ser classificados com relação aos seus ângulos ou com relação 
aos seus lados. Dois triângulos colocados lado a lado possuem as seguintes 
características: o primeiro possui um ângulo de 90° e o segundo possui três lados 
iguais. As classificações respectivamente corretas para esses triângulos são: 
a) Retângulo e isósceles 
b) Retângulo e escaleno 
c) Retângulo e equilátero 
d) Obtusângulo e escaleno 
e) Obtusângulo e equilátero 
 
5) A soma dos lados de um triângulo isósceles é igual a , sabendo que o lado 
diferente tem medida igual a , determine o valor dos lados restantes. 
6) No triângulo abaixo, é mediana. Determine qual é o perímetro do triângulo: 
 
 
 
 
7) Dois triângulos retângulos iguais são colocados de costas um para o outro. Determine 
a medida do lado desconhecido: 
 
Obs: A soma da área dos triângulos é 
 
8) Determine analisando triângulo abaixo qual é o valor da soma das medianas. 
 
 
 
 
 
 
 
Semelhança de Tria ngulos 
 
Fala aí, tudo tranquilo? 
Provavelmente você já ouviu falar sobre essa tal semelhança de triângulos, mas o que será 
que realmente significa isso? 
 
Introdução 
Definição: Há semelhança de triângulo quando essas figuras geométricas possuem ângulos 
congruentes e por consequência, seus lados também são correspondentes. 
 
Possuir ângulos congruentes significa dizer que o valor de seus ângulos são equivalentesum a 
um. 
Ou seja: 
 
- Todos os ângulos são equivalentes; 
- Todos os ângulos são equivalentes; 
- Todos os ângulos são equivalentes. 
Perceba que se os ângulos são equivalentes, o comprimento dos lados também será 
 
Casos de semelhança 
Os casos de semelhança entre os triângulos podem ser divididos em três tipos: 
1º - AA (ângulo, ângulo) - Dois triângulos serão semelhantes se dois ângulos de um forem 
iguais a dois ângulos do outro. 
 
 
 
2º - LLL (lado, lado, lado) – Dois triângulos serão semelhantes se seus três lados forem 
proporcionais entre si. 
 
Para verificar se realmente sã semelhantes pode encontrar a razão dividido o lado de um dos 
triângulos pelo seu correspondente no outro triângulo. 
Caso a razão de todos os lados sejam iguais, podemos dizer que são proporcionais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Onde será a razão de proporcionalidade. 
Simplificando as frações, temos que: 
Dividindo por : 
 
 
 
 
 
 
Dividindo por : 
 
 
 
 
 
 
Dividindo por 
 
 
 
 
 
 
Dessa forma, conseguimos comprovar que os triângulos são semelhantes e a razão entre eles é 
 
 
 
. 
3º - LAL (lado, ângulo, lado) – Dois triângulos serão semelhantes se possuírem um ângulo 
congruente entre dois lados proporcionais. 
 
 
 
Como os ângulos são iguais, basta ver a proporção entre os lados. Caso sejam a mesma, os 
triângulos serão semelhantes. 
 
 
 
 
 
 
Dividindo por , temos: 
 
 
 
 
 
 
Dividindo por , temos: 
 
 
 
 
 
 
A razão entre os lados é igual, logo pelo critério LAL os triângulos são semelhantes. 
 
Teorema da semelhança 
Quando adicionamos uma reta paralela a um dos lados do triângulo de modo que esta 
intercepte os dois outros lados em pontos diferentes, forma-se um novo triângulo semelhante 
primeiro. 
 
Sabendo disso, podemos fazer várias análises quando nos deparamos com imagens como essa: 
1º 
 
 
2º 
- Os lados e são equivalentes. 
- Os lados e são equivalentes. 
- Os lados e são equivalentes. 
3º 
O triângulo é proporcional ao triângulo . 
E aí, bora fazer exercícios para fixar essas ideias? 
 
 
 
Exercí cios 
1) Qual caso garante a semelhança entre os triângulos abaixo? 
 
2) Três triângulos tem seus lados dados por: 
Lado 1 ; 
Lado 2 ; 
Lado 3 . 
Qual será a medida dos lados de um triângulo cuja razão é vezes maior que o 
primeiro triângulo? 
 
3) Existem alguns procedimentos que podem ser usados para descobrir se dois triângulos 
são semelhantes sem ter de analisar a proporcionalidade de todos os lados e, ao 
mesmo tempo, as medidas de todos os ângulos desses triângulos. A respeito desses 
casos, determine quais alternativas estão incorretas e quais estão corretas: 
a) Para que dois triângulos sejam semelhantes, basta que eles tenham três 
ângulos correspondentes congruentes. 
b) Para que dois triângulos sejam semelhantes, basta que eles tenham dois lados 
proporcionais e um ângulo congruente, em qualquer ordem. 
c) Dois triângulos que possuem apenas dois ângulos correspondentes 
congruentes não podem ser considerados semelhantes. 
d) Para que dois triângulos sejam congruentes, basta que eles tenham os três 
lados correspondentes com medidas proporcionais. 
 
4) A sombra de um prédio, em um terreno plano, em uma determinada hora do dia, 
mede 15 m. Nesse mesmo instante, próximo ao prédio, a sombra de um poste de 
altura 5 m mede 3 m. A altura do prédio, em metros, é: 
 
5) Sabendo que os triângulos abaixo são semelhantes, determine: 
 
 
 
a) O valor de . 
b) A razão entre os triângulos. 
 
6) Estudando os triângulos determine o valor de , sabendo que os lados e são 
paralelos. 
 
 
 
7) Dado dois triângulos semelhantes, sabendo que a razão de semelhança é igual a ⁄ e 
que as medidas dos lados do triângulo maior são iguais a , e , qual é o 
perímetro do triângulo menor? 
 
8) A ilustração a seguir representa uma mesa de sinuca retangular, de largura e 
comprimento iguais a 1,5 e 2,0 m, respectivamente. Um jogador deve lançar a bola 
branca do ponto e acertar a preta no ponto , sem acertar em nenhuma outra, 
antes. Como a amarela está no ponto A, esse jogador lançará a bola branca até o 
ponto , de modo que a mesma possa rebater e colidir com a preta. 
 
 
 
Se o ângulo da trajetória de incidência da bola na lateral da mesa e o ângulo de 
rebatimento são iguais, como mostra a figura, então a distância de a , em , é 
aproximadamente: 
a) 67 
b) 70 
c) 74 
d) 81 
 
 
 
Teorema de Pita goras 
 
Um dos principais assuntos quando falamos sobre triângulos é o Teorema de Pitágoras. 
Mas pra que será que serve esse teorema?? 
Veja o triângulo abaixo: 
 
Com Pitágoras somos capazes de encontrar o valor de com apenas uma fórmula simples. 
Mas se liga!!! 
Para que sua aplicação seja possível, é necessário que haja um triângulo retângulo, que como 
vimos anteriormente, é aquele que tem um de seus ângulos internos igual a 
 
Introdução 
Para você que adora uma definição, segura essa aí: 
Definição: Em um triângulo retângulo, temos que a soma dos quadrados dos catetos é igual ao 
quadrado da hipotenusa. 
CATETO? HIPOTENUSA?? QUEEEE?? 
 
 
Ok... Isso pode assustar um pouco de cara, mas respira fundo e vem comigo... 
Vamos entender primeiro o que é essa tal de hipotenusa e o que são esses catetos. 
Em um triângulo retângulo, os catetos sempre serão os lados encostados no ângulo e a 
hipotenusa sempre estará oposta ao ângulo. 
 
 
 
Por conveniência, podemos dizer que: 
- Hipotenusa . 
- Cateto . 
- Outro Cateto . 
Dessa forma chegamos na fórmula do Teorema de Pitágoras: 
 
Relações importantes 
Já vimos que o Teorema de Pitágoras só pode ser aplicado em triângulos retângulo. Mas será 
que tem algum jeito de aplicar nos outros tipos de triângulos também? 
SIM!!! E é por isso que Pitágoras é tão importante quando falamos de triângulos... 
Olhe o triângulo abaixo: 
 
 
A princípio não sabemos aplicar Pitágoras, pois não temos um triângulo retângulo. 
Em casos como esse, colocamos uma reta que liga um dos vértices até o lado oposto. 
Ao fazermos isso, termos dois triângulos retângulos e assim, seremos capazes de aplicar 
Pitágoras em cada um deles. 
 
 
 
 
Pronto, desse modo conseguimos separar um triângulo inicial em dois triângulos retângulos e 
assim podemos aplicar Pitágoras para encontrar a medida de seus lados. 
 
Aplicação 
Que tal a gente ver como isso funciona ria na prática agora? 
Determine a medida do lado não conhecido do triângulo abaixo: 
 
Pela fórmula sabemos que hipotenusa ao quadrado é igual à soma dos catetos ao quadrado. 
 
Beleza, mas quem é a hipotenusa? 
Moleza, é só lembrar da regrinha que diz que a hipotenusa é oposta ao ângulo de . 
 
Agora que já encontramos quem é a hipotenusa, podemos colocar tudo na fórmula, desse 
modo, teremos que: 
 
 
 
 
 √ 
 
“Tcharaaaam” 
Está resolvido, pelo Teorema de Pitágoras fomos capazes de encontrar que a medida do lado 
restante vale metros. 
 
Ficha de Resumo 
Recapitulando... 
1º - Aplicamos o Teorema de Pitágoras exclusivamente em triângulos retângulos. 
2º - Os catetos são adjacentes ao ângulo de (colados ao ângulo de ). 
3º - A hipotenusa é sempre oposta ao ângulo de . 
4º - Podemos traçar uma linha ligando um dos vértices à margem oposta, formando assim, 
dois triângulos retângulos. 
5º - Fórmula do Teorema de Pitágoras é dada por: 
 
 
 
Os exercícios envolvendo Pitágoras serão em geral, variações do exemplo que nós fizemos. 
Portanto, para ficarmos craques basta treinar bastante até que a ideia seja fixada na nossa 
cabeça. 
Bora praticar? 
 
Exercí cios 
1) Um jato percorre metros inclinadamente, e atinge uma altura de metros. 
Qual é a distância que o jato percorreu horizontalmente em relação ao plano 
horizontal do solo? 
 
2) Um campo de futebol retangular tem comprimento iguala metros e largura de 
metros. Qual a distância percorrida por um jogador que cruza de uma ponta a oura 
diagonalmente. 
 
3) Um homem encosta a ponta de uma barra de ferro em um muro de metros, 
sabendo que a distância da base do muro até a base da barra é de metros, 
determine o comprimento da barra. 
 
4) Um homem deseja cercar seu terreno na forma de um triângulo retângulo com um 
muro. O maior lado do triângulo que mede metros está encostado em um riacho e, 
portanto, não precisa ser cercado. Quantos metros de muro deverão ser construídos 
sabendo que o menor lado mede metros? 
 
5) As extremidades de um fio de antena totalmente esticado estão presas no topo de um 
prédio e no topo de um poste, respectivamente, de 16 e 4 m de altura. Considerando-
se o terreno horizontal e sabendo-se que a distância entre o prédio e o poste é de 9 m, 
o comprimento do fio, em metros, é 
a) 30 m 
b) 15 m 
c) 26 m 
d) 35 m 
e) 42 m 
 
6) As extremidades de um fio de antena totalmente esticado estão presas no topo de um 
prédio e no topo de um poste, respectivamente, de 16 e 4 m de altura. Considerando-
se o terreno horizontal e sabendo-se que a distância entre o prédio e o poste é de 9 m, 
o comprimento do fio, em metros, é 
a) 30 m 
b) 15 m 
c) 26 m 
d) 35 m 
e) 42 m 
 
7) A soma dos quadrados dos três lados de um triângulo retângulo é igual a 32 metros. 
Quanto mede a hipotenusa do triângulo? 
 
 
 
8) Na figura abaixo, que representa o projeto de uma escada com 5 degraus de mesma 
altura, o comprimento total do corrimão é igual a: 
 
a) 1,8 m 
b) 1,9 m 
c) 2,0 m 
d) 2,1 m 
e) 2,2 m 
 
 
 
 
 
Introduça o a trigonometria 
Introdução 
Vamos falar agora de trigonometria. O nome pode assustar um pouco, mas não tem nada 
demais. Basicamente, é o estudo das relações de um triângulo retangulo. Mas o que que eu 
tenho a ver com as relações desse cara? 
Calma, calma. Além do triângulo retângulo ser importante por sí só, seu estudo ajuda a 
compreender outros fenômenos, como ondas, distâncias e circuferências. Então se ajeita na 
cadeira e vamos lá! 
Relações trigonométricas 
Vamos começar então. O triângulo retângulo é um triângulo que tem um dos ângulos igual a 
 como o triângulo abaixo: 
 
O ângulo representado pelo quadrado é o ângulo de e vai ser o nosso ângulo de análise. 
A partir dele, temos: 
 
Onde cateto oposto é o lado para qual o ângulo de análise aponta. 
Já o cateto adjacente é o lado que forma tanto o ângulo quanto o ângulo . 
A hipotenusa, por sua vez, é a reta que liga o cateto oposto e o cateto adjacente. Para ficar 
mais bonito na hora representar algebricamente, vamos chamar o cateto oposto de , cateto 
adjacente de e a hipotenusa de mesmo. 
 
 
Beleza? A partir disso, podemos definir: 
 ( 
 
 
 ( 
 
 
 ( 
 
 
 
Que pode ser lido como seno de , cosseno de e tangente de , sempre referido ao ângulo 
em questão. 
Temos também que, associado a isso: 
 ( 
 
 ( 
 
 
 
 ( 
 
 ( 
 
 
 
 ( 
 
 ( 
 
 
 
 
Que pode ser lido como cossecante de , secante de e cotangente de . Não vá pensar que 
a secante é sobre seno só porque começa com se hein?! A secante é sobre cosseno! (Dica: 
se ficar em dúvida, pensa na 3ᵃ letra da palavra: a 3ᵃ letra de secante é c, então é inverso do 
cosseno. A 3ᵃ letra de cossecante é s, então é o inverso do seno. ) 
Vamos prosseguir? Veja que: 
 ( 
 
 
 ( 
 ( 
 
 
 ( 
Substituindo esses valores na tangente: 
 ( 
 
 
 
 ( 
 ( 
 ( 
 ( 
 ( 
 
A mesma ideia segue para a cotangente também: 
 ( 
 ( 
 ( 
 
Opa! Vamos embalar agora. Lembra do Teorema de Pitágoras? Ele diz que: 
 
Também substituindo: 
 [ ( ] [ ( ] [ ( ( ] 
Dividindo tudo por , chegamos na Relação Fundamental da Trigonometria: 
 ( ( 
Esse nome imponente não está aí a toa, essa relação é, de fato, muito importante. Lembre 
dela. Podemos também tirar outras relações a partir dela. Dividindo-a por ( : 
 ( 
 ( 
 
 ( 
 ( 
 
 
 ( 
 ( ( 
Da mesma, maneira, se dividirmos tudo por ( , temos que: 
 ( ( 
Senos, cossenos e tangentes notáveis 
O seno, cosseno e tangente não possuem uma relação linear, como veremos mais a frente. 
Isso significa que, por exemplo: 
 ( ( ( 
Para achar o seno de um ângulo você pode recorrer a boa e velha calculadora ou, quando ela 
não estiver disponível (julgo sempre quando você precisa) recorrer a uma tabelinha simpática 
de seno, cosseno e tangente de ângulos comuns nos problemas. 
Como a calculadora é o Pokémon raro das provas, você precisa ter a tabelinha bem firme na 
cabeça! Lá vai: 
 
 
 
Se você não se lembra nem do que tomou hoje no café da manhã, não tem problema. Grave 
somente as colunas do seno e cosseno e lembre que a tangente é razão entre eles. 
Se mesmo assim bater um branco e só lembrar de uma coluna, use a relação fundamental da 
trigometria para achar o resto. 
Tudo bem? Nos vemos nos exercícios agora! 
 
 
Exercí cios 
 
1) Uma escada de metros de comprimento está apoiada em uma parede, encostando 
num ponto a metros do chão. Qual é o ângulo de inclinação da escada em relação a 
parede? 
 
2) Fatore e simplifique a expressão: 
 ( ( ( ( . 
 
3) Se ( ( , calcule ( . 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lei dos Senos e Lei dos Cossenos 
Introdução 
Nesse texto, vamos falar de duas leis bem importantes no estudo da trigonometria e que vão 
nos ajudar na solução de diversos problemas. Vamos começar pela lei dos senos e depois 
caminhar para as leis dos cossenos. 
Lei dos Senos 
A lei dos senos não tem muito mistério, mas vamos dividi-la em duas partes para ficar mais 
fácil de entender o seu conceito. Imagine que temos um triângulo qualquer, pode ser qualquer 
triângulo mesmo. 
 
Não, você não. 
 
Pode ser isósceles, equilátero, retângulo ou qualquer outro rótulo, como abaixo: 
 
 
 
Temos um triângulo qualquer com ângulos ̂ e ̂ e os lados , e Veja que o lado é 
oposto ao ângulo , pois aposta para . O mesmo vale para que é o lado oposto ao ângulo 
 ̂ e oposto a ̂. 
A primeira parte da lei dos senos diz que a razão entre um lado oposto e seu ângulo é sempre 
igual para todo o triângulo. Em outras palavras: 
 
 ( )
 
 
 ( ̂)
 
 
 ( ̂)
 
Até aí tudo bem? Sabemos que a razão entre um lado oposto e seu ângulo é sempre igual, mas 
qual o valor dessa razão? Essa é a motivação para a segunda parte da lei. 
Para chegar nesse resultado, imagine que o triângulo está dentro de uma circunferência e 
todos seus vértices fazem parte desta circunferência, ou seja, tocam nela: 
 
 
Quando isso acontece dizemos que o triângulo está inscrito na circunferência ou é um 
triângulo circunscrito. A razão entre o lado oposto e seu ângulo será sempre no triângulo e 
igual ao diâmetro, ou duas vezes o raio, de uma circunferência em que é possível inscrever o 
triângulo: 
 
 
 
 
 ( )
 
 
 ( ̂)
 
 
 ( ̂)
 
 
Se um triângulo tem ângulos , ̂, ̂ com respectivos lados opostos , e e pode ser 
inscrito numa circunferência de raio , então: 
 
 ( )
 
 
 ( ̂)
 
 
 ( ̂)
 
 
Lei dos cossenos 
Lembra do Teorema de Pitágoras, né? Ele diz que a soma dos quadrados dos catetos é igual ao 
quadrado da hipotenusa. Esse Teorema é realmente muito bom e nos ajuda bastante quando 
temos dois lados de um triângulo retângulo e queremos achar o terceiro. 
Repare, porém, que o triângulo tem que ser um triângulo retângulo. Mas e se precisarmos 
calcular o terceiro lado de um triângulo que não é retângulo? Aí jovem, entra a lei dos 
cossenos, que permite qualquer um terceiro lado de qualquer triângulo sabendo seu ângulo 
oposto e os outros dois. 
Para ilustrar, observe o triângulo abaixo: 
 
Se quisermos calcular conhecendo osoutros lados e e o ângulo oposto ̂, usamos a Lei 
dos Cossenos, que diz: 
 ( ̂) 
Ou seja, o quadrado de um lado de um triângulo qualquer é a soma do quadrado dos 
outros dois lados menos duas vezes o produto deles com o cosseno do ângulo oposto. 
Repare que quando temos um triângulo retângulo, ainda podemos aplicar a lei dos 
cossenos. 
 
 
 
Para a hipotenusa, teríamos: 
 ( ( ( 
Como o ângulo oposto a hipotenusa é e ( , tudo se resume a: 
 
Que é o bom e velho Teorema de Pitágoras. Dessa maneira, o Teorema de Pitágoras passa a 
ser um caso particular da lei dos cossenos para quando o triângulo é um triângulo 
retângulo. 
Conseguiu pegar? É importante nos acompanhar nos exercícios agora para colocar em 
prática tudo que foi visto. Vamos lá! 
 
Exercí cios 
 
1) Uma construtora quer colocar uma ponte ligando os pontos e em lados 
diferentes de um rio. Os operários, estando em , precisam calcular a distância 
entre esses pontos. Dispunham apenas de um teodolito. Do ponto A. foram até o 
ponto , na mesma margem a quilômetros de distância. Os ângulos que 
obtiveram são e ̂ . Determine a distância entre e . 
2) A água utilizada na casa de um sítio é captada e bombeada de um rio para uma 
caixa-d’água a de distância. A casa está a de distância da caixa-d’água e 
o ângulo formado entre as direções caixa-d’água-bomba e caixa-d’água-casa é de 
 . Para bombear água do ponto de captação até a casa são necessários quantos 
metros de tubulação? 
3) Na figura abaixo , √ , e . 
Qual a medida de ? 
 
 
 
 
Funço es do 1º Grau 
 
Introdução 
Falaaa meus queridos, tudo certo!? 
Nesse tópico vamos entender melhor o que é um Função do 1º Grau e como ela se comporta 
graficamente. 
Mas antes de falar disso precisamos nos fazer uma perguntar: 
“O que é uma função?” 
Na maioria das vezes, a primeira coisa vem na nossa cabeça quando falamos de funções são 
aquelas notações comuns: 
 ( 
 ( 
 ( 
 
Mas o que realmente significa ser uma função? 
Para responder isso vamos dizer que uma função “ ” é dada por ( . 
Quando escrevemos ( queremos dizer que a função “ ” varia conforme o valor de “ ” 
também varia. 
Ou seja, para , a função será: 
 ( ( 
 ( 
 ( 
Para : 
 ( ( 
 ( 
 ( 
E assim por diante... 
 
Percebeu? Conforme os valores de “ ” mudam, o valor da ( também muda, logo está em 
função de “ ”. 
 
Função do 1º Grau ou Função Afim 
Já demos uma relembrada nos conceitos de funções. 
Mas como identificar uma função do 1º grau? 
A lei de formação é dada por: 
 
Onde: 
 coeficiente angular. 
 
 
 coeficiente linear. 
Obs: é o mesmo que ( , ( , ( ... 
QUE?????? 
 
Relaaxa!! 
Com um exemplo tudo fica mais fácil... 
Olhe essa função: 
 ( 
Nesse caso: 
 ( ; 
 ; 
 . 
Ok, mas pra que serve esses coeficientes? 
Eles são importantes quando queremos estudar o comportamento gráfico das funções. 
Gráfico da Função do 1º Grau 
Grave isso: 
“O gráfico de uma função afim sempre será um RETA!!!” 
E agora, os valores de e de serão muito úteis para entendermos esses gráficos. 
 (coeficiente angular) – Será a inclinação da reta. 
 (coeficiente linear) – Será o valor em que a função cruza o eixo . 
 
Mas como eu consigo montar um gráfico de uma função afim? 
Como o gráfico da função afim é uma reta, basta que nós encontremos dois pontos por onde a 
reta passa e traçar a reta passando por eles. 
 
 
Exemplo 
Vamos esboçar o gráfico da função ( . 
Primeiramente, precisamos achar dois pontos que pertençam à reta. 
Esses pontos podem ser encontrados substituindo qualquer valor para , porém, para facilitar 
os cálculos, podemos escolher e . 
Para ( , temos: 
 ( ( 
 ( 
 ( 
Para ( , temos: 
 ( ( 
 ( 
 ( 
Desse modo, encontramos dois pontos que pertencem à reta, dados pelos pares ordenados 
 ( e ( : 
 
Por fim, como já temos dois pontos por onde a reta passa, precisamos apenas traça-la 
passando por esses dois pontos: 
 
E está feito nosso gráfico da função ( . 
 
 
 
Raiz de uma Função do 1º Grau 
Em uma reta que se estende por todos os reais , o eixo terá em algum momento valor igual 
a zero. 
Esse ponto ocorre graficamente quando a reta cruza o eixo . 
 
Mas como achar o valor da raiz? 
Em uma reta ( , ( representa o eixo . 
Dessa forma, se acharmos um valor de que faça com que ( , esse será a raiz da 
função. 
Exemplo: Encontre a raiz da função ( 
Primeiramente, igualamos a função a zero. 
 
Agora é só resolver... 
 
 
 
 
 
 
E está aí, a reta cruza o eixo em , logo, é a raiz da função. 
Tranquilasso né!? 
 
 
 
 
Exercí cios 
1) Determine o coeficiente linear da função ( . 
2) Encontre a raiz da função ( 
3) Qual é o valor da função ( para 
 
 
. 
a) 21 
b) 17 
c) 25 
d) 23 
e) 19 
4) Determine a função afim ( , sabendo que ( e ( 
5) Seja a função de em definida por ( , determine o valor de 
 ( ( . 
6) Uma função é dada por ( , em que e são números reais. Se 
 ( e ( , determine o valor de ( . 
7) Esboce os seguintes gráficos: 
a) ( 
 
 
 
b) ( 
8) Determine o valor de m para que os gráficos da função ( : 
a) Intersecte o eixo y no ponto ( ; 
b) Intersecte o eixo x no ponto ( ; 
 
 
 
 
Problemas com Funço es do 1º Grau 
 
Introdução 
Anteriormente, vimos o que é e como se conforta uma função de 1º grau. 
Mas será que essas funções são capazes de modelar situações do cotidiano? 
Olhe esse exemplo: 
Imagine que você precisa pegar um táxi do aeroporto até sua casa... 
 
O preço da bandeira (valor inicial da corrida) é de reais e é cobrado reais a cada 
quilômetro percorrido. 
O valor da bandeira nunca é alterado, porém a quantidade de quilômetros percorridos 
resultará no valor final da corrida. 
Sendo assim, o valor da corrida varia conforme a distância varia. Podemos chamar a distância 
percorrida de e escrever a função: 
 ( 
Sendo, 
 ( O valor total da corrida. 
 A variável independente. 
 O valor da bandeira. 
 
Montando o Gráfico 
Atribuindo valores para podemos montar uma tabela e compreender melhor o 
comportamento dessa função: 
 
E o gráfico fica assim: 
 
 
 
Equações do 1º Grau 
O próximo passo depois de se familiarizar com as funções é estudar as equações. 
Mas o que são equações do 1º grau e o que muda em relação às funções??? 
Nas funções o se comporta como uma variável independente, ou seja, conforme o valor de 
 muda, o valor de ( também muda. 
Já na equação, o irá se comportar como uma incógnita, ou seja, ela terá um valor específico 
para que não irá se alterar. 
Vamos ver um exemplo... 
Resolva a equação abaixo: 
 
Deixando de um lado e números do outro teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
Nessa equação tem um valor específico ( . 
Percebeu a diferença!? 
Beleza... Mas por que as equações são tão importante para resolver problemas? 
Em muitos casos, os problemas iram pedir um valor específico de e você só será capaz de 
encontrar a partir de uma equação. 
 
Problema Prático 
A diferença de idade entre dois meninos é de anos, sabendo que dois anos atrás o menino 
mais velho tinha vezes a idade do mais novo, determine a idade atual do menino mais velho. 
Vamos chamar a idade do menino mais velho de . 
Há dois anos atrás a sua idade era quatro vezes maior que a do menino mais novo, portanto, 
temos que: 
 
 
 
 
Também sabemos que a diferença de idade entre eles é de anos, logo: 
 
 
 
 
E está pronto nossa equação. 
 
 
Resolvendo-a, poderemos encontrar a idade que o menino mais velho a dois anos atrásComo se passaram dois anos, somamos essa idade ao valor encontrado anteriormente: 
 
 
E assim, achamos que a idade atual do menino mais velho é anos. 
A equação aqui foi necessária para achar um valor específico de , que neste caso foi a idade 
atual do menino. 
Viu como as funções e as equações andam lado a lado nas resoluções desses problemas!? 
Agora que já vimos como lidar e resolver esses problemas, que tal praticarmos um pouco? 
 
 
 
 
Exercí cios 
1) Certo vendedor tem um salário composto de uma parte fixa de e a cada 
venda é acrescentado . Qual a função que representa o salário desse 
vendedor com relação ao número de vendas realizadas? 
 
2) Uma pessoa tinha no banco um saldo de . Após um saque no caixa 
eletrônico que fornece apenas nota de reais, o novo saldo (y) é dado em função do 
número (x) de notas retiradas. 
a) Escreva a lei da função que fornece o novo saldo 
b) De quanto é o novo saldo se a pessoa retirar 5 notas de 50 reais? 
 
3) Um retângulo tem altura , se x representa a base: 
a) Expresse a lei da função que representa a área desse retângulo(y) 
Qual a área desses triangula se sua base é ? 
 
4) Determine o número real tal que sua metade menos sua quinta parte é -6. 
 
5) Divida entre Paulo e César de modo que Paulo receba 
 
 
 do que César 
receber. Quanto cada um recebeu ? 
6) Fernando costuma a ser exigente com os resultados escolares de seus filhos. A fim de 
estimular o bom desempenho ele bolou uma forma de mesada, na qual cada um 
recebe fixo um valor de mais a média das suas notas multiplicada por 10. 
a) Expresse a lei da função representada pelo valor (y) da mesada, com relação à 
média (x) das notas escolares. 
b) Sabendo que as médias variam de á , qual o valor máximo que poderão 
receber em uma mesada? 
7) Uma pessoa vai escolher um plano de saúde entre duas opções: A e B 
 O plano A cobra de inscrição e por consulta num certo 
período. 
 O plano B cobra de inscrição e por consulta no mesmo 
período. 
O gasto total de cada plano é dado em função do número x de consultas. 
Determine: 
a) A equação da função correspondente a cada plano 
b) Em que condições podemos afirmar que os dois planos são equivalentes no 
valor gasto 
c) 
8) Um padeiro fabrica 300 pães por hora. Considerando-se esse dado, pede-se: 
a) A equação que representa o número de pães fabricados ( ) em função do tempo 
( . 
b) O número de pães fabricados em 3 horas e 30 minutos 
 
 
 
 
 
Introduça o a Funço es do 2º Grau 
 
Introdução 
As funções do 2º grau (também conhecidas como função quadrática) são conhecidas por ter 
um gráfico na forma de parábola. 
 
Existem diversos exemplos de aplicações onde essas funções são utilizadas no cotidiano, 
como: 
- Cálculos da Física. 
- Cálculos Financeiro. 
- Taxas de crescimento e decrescimento. 
 
Definição 
A função do 2º Grau é dada por: 
 ( 
Onde, 
 , e são números reais ; 
 ; 
Para , temos dois casos. 
Caso 1 – Para , temos uma parábola com concavidade para cima. 
 
Caso 2 – Para temos uma parábola com concavidade para baixo. 
 
 
 
Beleza, mas por que o não pode ser zero? 
 
Exemplos de funções: 
Para responder essa pergunta, vamos analisar a função abaixo: 
 ( 
Temos que: 
 . 
 . 
 . 
Caso tivéssemos , o termo sumiria e voltaríamos ao caso de uma função do primeiro 
grau. 
 ( 
 ( 
 
Como montar o Gráfico de uma Função do 2º Grau? 
Já vimos como definir uma função quadrática, vimos que o gráfico dessa função é uma 
parábola e que o sinal de define a concavidade da parábola, 
Mas como podemos realmente construir o gráfico de uma função do 2º grau? 
Podemos construir o gráfico variando os valores de e obtendo os valores respectivos em . 
Vamos construir o gráfico da função ( 
Para , temos: 
 ( ( ( 
 ( 
 ( 
Para , temos: 
 ( ( ( 
 ( 
 ( 
Para , temos: 
 ( ( ( 
 ( 
 ( 
Para , temos: 
 ( ( 
 ( 
Para , temos: 
 ( 
 ( 
Esboço do gráfico 
 
 
De início, como já sabemos que , nossa parábola terá concavidade para cima. 
Com os pontos que encontramos variando os valores de , podemos montar uma tabela: 
 
Aplicando esses pontos no gráfico teremos: 
 
 
Perceba que para cada ponto no eixo existem dois pontos no eixo correspondente. 
 ( ( 
 ( ( 
Esse padrão se repete infinitamente formando a parábola do gráfico. 
Porém existe apenas um ponto no eixo em que existe somente um ponto no correspondente 
no eixo . 
 ( 
Esse é um ponto importante da parábola, chamado de vértice. 
Aguenta um pouquinho que já vamos falar dele... 
Voltando ao gráfico, podemos completar seu esboço traçando uma linha curva entre os pontos 
que resultará na parábola. 
 
 
 
E assim conseguimos fazer um esboço do gráfico de uma função do 2º grau. 
 
Vértice da Parábola 
Já vimos o que é o vértice da parábola, mas será que existe uma fórmula para encontrar esse 
cara rapidamente? 
É CLARO QUE EXISTE!! 
Se liga... 
 ( 
 
 
 
 
 
* 
Onde, 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se não ficou tão claro ainda, bora pra um exemplo. 
Queremos encontrar o vértice da função ( , onde . 
A coordenada do vértice é dada pelo par ordenado ( , para temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para , temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, o vértice da nossa parábola se encontra na posição ( . 
 
 
 
 
 
 
Exercí cios 
 
1) Entre as sentenças abaixo indique aas que representam funções quadráticas: 
a) 
b) 
c) 
d) ( 
e) 
f) ( ( 
g) 
h) 
 
 
 
i) ( 
 
2) As seguintes funções são definidas sobre . Verifique quais delas são funções 
quadráticas e identifique em cada uma os valores de a, b e c: 
a) ( ( 
b) ( ( ( 
c) ( ( ( 
d) ( ( ( 
 
3) Dada à função quadrática , determine: 
a) Os coeficientes a, b e c; 
b) y para 
c) y para 
d) y para 
e) y para 
 
 
 
 
4) Considere a função dada por 
a) Essa função é quadrática? 
b) Determine os coeficientes de a,b e c para essa função 
c) Ache o valor de y para e 
 
5) Dada à função quadrática ( , determine: 
a) ( 
b) ( 
c) ( 
d) ( 
e) ( 
 
6) Considere a função definida por para todos os valores reais de x. 
Responda: 
a) Essa função é afim ou quadrática? 
b) Qual a forma do seu gráfico? 
c) O Ponto ( pertence ao gráfico? 
d) Qual é o vértice da parábola 
 
7) Descubra o vértice das seguintes funções quadráticas: 
a) 
 
 
b) 
c) 
 
8) Gerador é um aparelho que transforma qualquer tipo de energia em energia elétrica. 
Se a potência (em watts) que certo gerador lança num circuito elétrico é dado pela 
relação ( , em que é a intensidade da corrente elétrica que atravessa 
o gerador, determine o número de watts que expressa à potência quando 
ampères. 
 
 
 
Fo rmula de Bhaskara e Me todo da 
Soma e Produto 
 
Uma das coisas mais importante nas funções do 2º Grau é encontrarmos as raízes da função. 
Vimos na função do 1º grau que para achar a raiz da função bastava igualar a equação a zero e 
isolar o . 
 
Mas como isolar o em uma equação como essa?? 
Perceba que o termo complica nossa vida e impede que encontremos o valor de de 
maneira fácil. 
Mas então, será que não existe nenhum método de encontrar esses valores para ? 
 
RELAXAAAAA!!! 
É claro que existe, é conhecido como Fórmula de Bhaskara. 
 
Definição 
Relembrando: 
A função do 2º grau é dada por 
 ( 
A fórmula de Bhaskara é dividida em duas partes. 
Parte 1 
Primeiramente, precisamos encontrar o delta. 
QUE??DE ONDE SURGIU ISSO?? 
Sem stress, é molezinha, dá uma olhada. 
 
Parte 2 
Beleza, achei o delta, e agora? 
Agora está na hora de encontramos os valores de , e também existe uma fórmula pra isso: 
 
 √ 
 
 
É comum encontramos essas duas fórmulas em uma só, ficando algo como: 
 
 √ 
 
 
Aplicação 
 
 
Bora ver como isso funciona na prática 
Encontre os valores de na equação 
Temos que: 
 . 
 . 
 . 
Precisamos agora encontrar o valor de . 
 ( 
 
 
Já achamos que , agora é só achar os valores de . 
 
 ( √ 
 
 
 
 
 
 
Vamos precisar dividir em dois casos agora, para e para . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pronto, achamos que os valores de são e . 
Quer conferir? É só substituir esses valores na equação... 
 
Possíveis Deltas 
Existem três casos para deltas... 
1º Caso 
 . 
Nesses casos, a equação possuirá duas raízes. 
Graficamente, interpretamos assim: 
 
2º Caso 
 . 
Nesses casos, a equação possuirá apenas uma raiz. 
Graficamente, interpretamos assim: 
 
 
 
3º Caso 
 . 
Nesses casos, a equação não possuirá raiz real. 
Graficamente, podemos interpretar como: 
 
 
Método Soma e Produto 
Esse método é um daqueles que salva nossa vida e nos traz muita agilidade na hora de 
calcularmos. 
Como o próprio nome diz, esse método relaciona a relação entre soma e multiplicação entre 
as raízes. 
Temos que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sendo e , valores dos coeficientes obtidos na equação. 
Com esse monte de letras parece ser complicado, mas com um exemplo prático, você vai ver 
como é fácil... 
 
Aplicando 
Vamos encontrar as raízes da equação . 
Nesse caso, temos: 
 . 
 . 
 . 
Vamos primeiro jogar esses valores na fórmula da multiplicação 
 
 
 
 
 
 
 
 
Temos que , agora precisamos pensar quais valores e poderiam assumir para 
que multiplicados dessem . 
 
 
 
 
 
Guarde esses números, eles serão importantes no final. 
Agora usaremos a fórmula da soma. 
 
 
 
 
 
( 
 
 
OLHA O SINAL!!! 
 
 
 
 
Do mesmo jeito que fizemos antes, precisamos pensar em dois valores para e que 
somados dão . 
 
 
 
Temos que e , logo pelo método da soma e produto, as raízes dessa 
equação são e . 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercí cios 
1) Encontre as raízes das funções abaixo por meio de Bhaskara: 
a) 
b) 
 
2) Encontre as raízes das funções abaixo por meio de Bhaskara: 
a) 
b) 
 
3) Encontre as raízes das funções abaixo por meio de Bhaskara: 
a) 
b) 
 
4) Sem fazer gráfico, registre se a parábola cruza o eixo x em um único ponto, em dois 
pontos ou se não cruza o eixo x. 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
5) Determine os pontos se existirem, nos quais a parábola intersecta os eixos y e x: 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
6) Pelo método soma e produto, encontre as raízes: 
 ( 
7) Pelo método soma e produto, encontre as raízes: 
 ( 
8) Seja ,a função definida por ( . Determine x se houver, 
para que se tenha: 
a) ( 
b) ( 
c) ( 
 
9) A reta gráfico da função ( , e a parábola, gráfico da função ( 
 , têm pontos comuns? Se tiverem, descubram quais. 
 
10) A área de um círculo é dada em função da medida r do raio, ou seja, ( 
 , que é uma função quadrática. Considerando , calcule: 
a) S quando 
b) r quando