MARÇO MATEMATICA ANALISE COMBINATORIA APOSTILA

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PROF. GILBERTO SANTOS JR
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
 
SUMÁRIO 
 
1 . PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM 
(P.F.C) ........................................................... 1 
2 . CONCEITOS NUMÉRICOS ............................. 2 
2.1 Número e algarismo ................................... 2 
2.2 Múltiplos de um número ............................. 2 
2.2.1 Múltiplos de 2 ......................................... 2 
2.2.2 Múltiplos de 3 ......................................... 2 
2.2.3 Múltiplos de 5 ......................................... 2 
2.3 Números pares .......................................... 2 
3 . FATORIAL DE UM NÚMERO ........................... 4 
3.1 Definições especiais ................................... 4 
4 . ARRANJO SIMPLES ...................................... 4 
5 . PERMUTAÇÃO SIMPLES ............................... 5 
6 . COMBINAÇÃO SIMPLES ............................... 6 
7 . ARRANJO OU COMBINAÇÃO ......................... 8 
8 . PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO .................... 8 
Referências ........................................................ 9 
 
 
1 . PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CON-
TAGEM (P.F.C) 
 
 
Se um evento é composto por duas etapas su-
cessivas e independentes de tal maneira que o 
número de possibilidades na 1ª etapa é m e o 
número de possibilidades na 2ª etapa é n, então 
o número total de possibilidades do evento 
ocorrer é dado por m ∙ n 
 
 
Observação: Um evento pode ter um número ili-
mitado de etapas. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1) Uma pessoa quer viajar de Recife a Porto Ale-
gre passando por São Paulo. Sabendo-se que há 5 
roteiros diferentes para chegar a São Paulo partin-
do de Recife e 4 roteiros diferentes para chegar a 
Porto Alegre partindo de São Paulo, de quantas 
maneiras possíveis essa pessoa poderá viajar de 
Recife a Porto Alegre? R: 20 possibilidades 
 
2) Ao lançarmos uma moeda e um dado. Deter-
mine: 
a) Quantas são as possibilidades? 
 
b) Mostre quais são as possibili-
dades de resultados numa tabela 
ou diagrama da árvore (c para cara e k para 
coroa). 
R: 12 possibilidades, são (c,1), (c,2), (c,3), (c,4), (c,5), (c,6), (k,1), (k,2), (k,3), (k,4), (k,5), (k,6) 
 
3) Ao lançarmos duas moedas, usando c para 
cara e k para coroa. Determine: 
a) Quantas são as possibilidades de resultados? 
 
b) Mostre quais são as possibili-
dades de resultados construindo 
uma tabela ou diagrama da 
árvore. R: 4 possibilidades, são (c,c), (c,k), (k,c), (k,k) 
 
4) Um casal planeja ter dois filhos, usando M 
para filho do sexo masculino e 
F para filho do sexo feminino. 
Determine: 
a) Quantas são as possibilida-
des? 
b) Mostre quais são as possibi-
lidades construindo uma tabela ou diagrama da 
árvore. R: 4 possibilidades; são (M,M), (M,F), (F,M), (F,F) 
 
5) Ao lançarmos dois dados, um preto e um ver-
melho. Determine: 
a) Quantas são as possibilida-
des? 
b) Mostre quais são as possibili-
dades de resultados numa ta-
bela. 
 
6) Existem 2 vias de locomoção de uma cidade A 
para uma cidade B e 3 vias de locomoção da cida-
de B a uma cidade C. De quantas maneiras pode-
se ir de A a C, passando por B? R: 6 maneiras 
 
7) Uma montadora de automóveis apresenta um 
carro em 4 modelos diferentes e em 5 cores dife-
rentes. Um consumidor que quiser adquirir esse 
veículo terá quantas opções de escolha? R: 20 opções 
 
8) De quantas maneiras diferentes pode-se vestir 
uma pessoa que tenha 5 camisas, 3 calças, 2 pa-
res de meias e 2 pares de sapatos? R: 60 maneiras 
 
9) Numa lanchonete há 5 tipos sanduíche, 4 tipos 
de refrigerante e 3 tipos de sorvete. De quantas 
maneiras podemos tomar um lanche composto por 
1 sanduíche, 1 refrigerante e 1 sorvete? R: 60 maneiras 
 
10) Quatro times de futebol (Grêmio, Santos, São 
Paulo e Flamengo) disputam um torneio. Quantas 
são as possibilidades para os três primeiros luga-
res? 
 
11) A diretoria de um clube é composta por 10 
membros, que podem ocupar a função de presi-
dente, secretário ou tesoureiro. De quantas ma-
neiras possíveis podemos formar com os 10 mem-
bros, chapas que contenham presidente, secretá-
rio e tesoureiro? R: 720 possibilidades 
 
12) Quantos números de 3 algarismos podemos 
formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6? 
R: 216 possibilidades 
13) Quantos números de 3 algarismos distintos 
podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 
6? R: 120 possibilidades 
 
14) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7: 
a) Quantos números de 3 algarismos podemos 
formar? R: 343 possibilidades 
2 
b) E de 3 algarismos distintos? R: 210 possibilidades 
 
15) Utilizando-se dos algarismos 2, 4, 6 e 8 
a) Quantos números de 4 algarismos podemos 
formar? R: 256 possibilidades 
b) E de 4 algarismos distintos? 24 possibilidades 
 
2 . CONCEITOS NUMÉRICOS 
2.1 Número e algarismo 
 Os números de contagem são 
 
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, ... 
 
observa-se que são infinitos. 
Os algarismos do nosso sistema numérico 
são 
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 
 
observa-se que são finitos, em quantidade de 10. 
 
Exemplo: O número 234 tem os algarismos 2, 3 e 
4, sendo 
2 3 4 
 
 algarismo das unidades 
 algarismo das dezenas 
 
 algarismo das centenas 
 
2.2 Múltiplos de um número 
 
2.2.1 Múltiplos de 2 
 
M(2) = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, ...} 
 
2.2.2 Múltiplos de 3 
 
M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, ...} 
 
2.2.3 Múltiplos de 5 
 
M(5) = {0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, ...} 
 
2.3 Números pares 
 Números pares são todos aqueles termina-
dos em 0, 2, 4, 6 e 8. 
 
Exemplos: 
 O número 13572 é par, pois termina em 2. 
 O número 22225 não é par, pois termina em 5. 
 O número 2 000 007 não é par, pois termina 
em 7. 
 
Observações: 
 Quando um número não é par é chamado ím-
par, pela consequência da definição de número 
par, número ímpar é todo aquele terminado em 
1, 3, 5, 7 e 9. 
 O que determina um número ser par, ou ím-
par, é somente o algarismo da unidade, os 
demais algarismos (dezena, centena, unidade 
de milhar, etc) é indiferente. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
16) Quantos números de dois algarismos pode-
mos formar sabendo que o algarismo das dezenas 
é múltiplos de 2 (diferente de zero) e o algarismo 
das unidades é múltiplo de 3? R: 16 possibilidades 
 
17) Quantos números de 3 algarismos podem ser 
escritos nas seguintes condições: o algarismo das 
centenas é múltiplos de 3 (diferente de zero), o 
das dezenas é 4 ou 7 e o das unidades é múltiplos 
de 5? R: 12 possibilidades 
 
18) Usando somente os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 
6, podemos formar: 
a) Quantos números de 2 algarismos? R: 36 possibilidades 
b) Quantos números de 2 algarismos distintos? 
R: 30 possibilidades 
c) Quantos números pares de 2 algarismos? 
R: 18 possibilidades 
d) Quantos números ímpares de 2 algarismos? 
R: 18 possibilidades 
e) Quantos números de 2 algarismos pares? 
R: 9 possibilidades 
19) Uma sorveteria oferece 10 sabores de sorve-
te. Se uma pessoa vai tomar 3 bolas, do mesmo 
sabor ou não, quantas opções diferentes ela tem? 
R: 1 000 opções 
20) Usando as 26 letras e os 10 algarismos co-
nhecidos, quantas placas diferentes de automóvel 
podem ser feitas de modo que, em cada uma, 
existam 3 letras (não repetidas) seguidas de 4 
algarismos? 
 
 
R: 156 000 000 possibilidades 
 
EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 
21)(Enem-2012) João decidiu contratar os ser-
viços de uma empresa por telefone através do 
SAC (Serviço de Atendimento ao Consumidor). O 
atendente ditou para João o numero do protocolo 
de atendimento da ligação e pediu que ele anotas-
se. Entretanto, João não entendeu um dos alga-
rismos ditados pelo atendente e anotou o número 
1 3 9 8 2 0 7, sendo que o espaço vazio é o alga-
rismo que João não entendeu. 
De acordo com essas informações, a posi-
ção ocupada pelo algarismo que falta no número 
de protocolo é a de 
 
(a) centena (d) milhão 
 
(b) dezena de milhar (e) centena de milhão 
 
(c) centena de milhar 
 
22)(Enem-2012)
Jogar baralho é uma atividade 
que estimula o raciocínio. Um jogo tradicional é a 
paciência que utiliza 52 cartas. Inicialmente são 
formadas 7 colunas com as cartas. A primeira co-
luna tem uma carta, a segunda tem duas cartas, a 
terceira tem três cartas, a quarta tem quatro car-
tas, e assim sucessivamente até a sétima coluna, 
a qual tem sete cartas, e o que sobra forma o 
monte, que são as cartas não utilizadas. A quanti-
dade de cartas que forma o monte é 
 
(a) 21 (b) 24 (c) 26 (d) 28 (e) 31 
R: (b) 
23)(UFES) Um shopping center possui 4 portas 
de entrada para o andar térreo, 5 escadas rolantes 
ligando o térreo ao primeiro pavimento e 3 eleva-
dores que conduzem do primeiro para o segundo 
pavimento. De quantas maneiras diferentes uma 
3 
pessoa, partindo de fora do shopping center pode 
atingir o segundo pavimento usando os acessos 
mencionados? 
 
(a) 12 (b) 17 (c) 19 (d) 23 (e) 60 
R: (e) 
24)(CESUPA-2007/2) Suponha que você vai a 
um supermercado comprar 8 iogurtes e encontra 
os sabores: maçã, mamão e morango. Quantas 
são as diferentes possibilidades de fazer esta 
compra? 
 
(a) 11 (b) 24 (c) 83 (d) 38 
R: (d) 
25)(UEPA-2009) 
Texto 2 
A Série Arte e Matemática na escola, que será 
apresentada pela TV ESCOLA, no Programa 
Salto para o Futuro, é constituída por cinco 
programas que pretendem oferecer um espaço 
de reflexão, interação e discussão sobre as 
múltiplas relações matemáticas existentes nas 
diversas linguagens. 
(Fonte:www.tvebrasil.com.br/SALTO/boletins2002/ame/ameimp.htm) 
 
Considere que os programas acima (Texto 
2) sejam exibidos em três turnos: o primeiro pela 
manhã, o segundo pela tarde, e o terceiro pela 
noite. Então, o número de maneiras distintas que 
a sequência de programas pode ser exibida é: 
 
(a) 120 (b) 80 (c) 60 (d) 30 (e) 10 
R: (c) 
26)(UEPA-2010) Uma loja de um shopping 
center na cidade de Manaus divulga inscrições 
para um torneio de Games. Para realizar essas 
inscrições, a loja gerou um código de inscrição 
com uma sequência de quatro dígitos distintos, 
sendo o primeiro elemento da sequência diferente 
de zero. A quantidade de códigos de inscrição que 
podem ser gerados utilizando os elementos do 
conjunto {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} é: 
 
(a) 4.500 (c) 4.684 (e) 5.000 
 
(b) 4.536 (d) 4.693 R: (b) 
 
27)(UEPA-2002) Numa prova automobilística de 
que participam 10 pilotos, de quantas maneiras 
diferentes pode ser formado o grupo dos 3 primei-
ros colocados? 
 
(a) 60 (b) 120 (c) 180 (d) 360 (e) 720 
R: (e) 
28)(UEPA-2004) Luciano realizou uma pesquisa 
para verificar a opinião dos paraenses a respeito 
de quem seriam os três primeiros colocados na 
corrida do círio de 2003, na seguinte ordem: ven-
cedor, 2º colocado e 3º colocado. No momento da 
pesquisa, Luciano apresentava, para escolha dos 
entrevistados, uma lista contendo o nome dos dez 
favoritos dentre os atletas participantes. Descon-
siderando qualquer possibilidade de empate, o 
número de formas diferentes de respostas é: 
 
(a) 120 (b) 240 (c) 360 (d) 540 (e) 720 
R: (e) 
29)(Enem-2012) O diretor de uma escola convi-
dou os 280 alunos de terceiro ano a participarem 
de uma brincadeira. Suponha que existem 5 obje-
tos e 6 personagens numa casa de 9 cômodos; um 
dos personagens escolhe um dos objetos em um 
dos cômodos da casa. O objeto da brincadeira é 
adivinhar qual objeto foi escondido por qual per-
sonagem e em qual cômodo da casa o objeto foi 
escolhido. 
Todos os alunos decidiram participar. A ca-
da vez um aluno é sorteado e dá a sua resposta. 
As respostas devem ser sempre distintas das ante-
riores, e um mesmo aluno não pode ser sorteado 
mais de uma vez. Se a resposta do aluno estiver 
correta, ele é declarado vencedor e a brincadeira é 
encerrada. 
O diretor sabe que algum aluno acertará a 
resposta porque há 
(a) 10 alunos a mais do que possíveis respostas 
distintas. 
(b) 20 alunos a mais do que possíveis respostas 
distintas. 
(c) 119 alunos a mais do que possíveis respostas 
distintas. 
(d) 260 alunos a mais do que possíveis respostas 
distintas. 
(e) 270 alunos a mais do que possíveis respostas 
distintas. R: (a) 
 
30)(Enem-2017) Uma empresa construirá sua 
página na internet e espera atrair um público de 
aproximadamente um milhão de clientes. Para 
acessar essa página, será necessária uma senha 
com formato a ser definido pela empresa. Existem 
cinco opções de formatos oferecidas pelo progra-
mador, descritas no quadro, em que “L” e “D” re-
presentam respectivamente, letra maiúscula e 
digito. 
 
 
 
 As letras do alfabeto, entre as 26 possíveis, 
bem como os dígitos, entre os 10 possíveis, podem 
se repetir em qualquer das opções. 
 A empresa quer escolher uma opção de 
formato cujo número de senhas distintas possíveis 
seja superior ao número esperado de clientes, mas 
que esse número não seja superior ao dobro do 
número esperado de clientes. 
 A opção que mais se adequa as condições 
da empresa é 
 
(a) I (b) II (c) III (d) IV (e) V 
 
31)(Enem-2013) Um banco solicitou aos seus 
clientes a criação de uma senha pessoal de seis 
dígitos, formada somente por algarismos de 0 a 9, 
para acesso à conta corrente pela internet. 
Entretanto, um especialista em sistemas de 
segurança eletrônica recomendou à direção do 
banco recadastra seus usuários, solicitando, para 
4 
cada um deles, a criação de uma nova senha com 
seis dígitos permitindo o uso agora das 26 letras 
do alfabeto, além dos algarismos de 0 a 9. Nesse 
novo sistema, cada letra maiúscula era considera-
da distinta de sua versão minúscula. Além disso, 
era proibido o uso de outros tipos de caracteres. 
Uma forma de avaliar uma alteração no sis-
tema de senhas é a verificação do coeficiente de 
melhora, que é uma razão do novo número de 
possibilidades de senhas em relação ao antigo. 
O coeficiente de melhora da alteração re-
comendada é 
 
(a) 
626
106
 (c) 
62!4!
10!56!
 (e) 626 – 106 
 
(b) 
62!
10!
 (d) 62! – 10! 
 
3 . FATORIAL DE UM NÚMERO 
 Seja n um número natural não-nulo, o fato-
rial de n é o produto de fatores decrescentes de n 
até 1, isto é, 
 
 
n! = n ∙ (n ‒ 1).(n ‒ 2) ... 3∙2∙1;  n ∈ ℕ* 
 
 
3.1 Definições especiais 
 
0! = 1 1! = 1 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
32) Simplifique as expressões: 
 
a) 4! = 24 d) 
5!
4!
 = 5 g) 
51!
50!
 = 51 
 
b) 5! = 120 e) 
4!
5!
 = 1/5 h) 
4!6!
3!5!
 = 24 
 
c) 6! = 720 f) 
20!
18!
 = 380 i) 
n!
(n−1)!
 = n 
 
33) Calcule o valor ou simplifique: 
 
a) 7! = 5040 d) 
101!
99!
 = 10.100 g) 
n!
(n−2)!
 = 
 
b) 
7!
4!
 = 210 e) 
501!
500!
 = 501 h) 
(n+1)!
n!
 = 
 
c) 
4!
7!
 = 1/210 f) 
3!5!
4!6!
 = 1/24 
R: g) n(n – 1) ou n2 – n; h) n+1 
 
 
34) Calcule o valor da expressão 
100!+101!
99!
.R: 10 200 
 
35) Resolva a equação 
(x+1)!
(x−1)!
 = 56. R: S = {7} 
 
4 . ARRANJO SIMPLES 
 É um caso particular de princípio funda-
mental da contagem, na qual os elementos são 
distintos nos grupos formados. 
É a quantidade de agrupamentos de p ele-
mentos distintos utilizando-se de n elementos, 
sendo n ≥ p. 
 
An,p = 
𝐧!
(𝐧−𝐩)!
 
 
,onde: 
 An,p = é a quantidade de grupos formados; 
 n = é a quantidade total de elementos dados 
(maior); 
 p = é a quantidade de elementos nos grupos 
(menor). 
 
Exemplos: 
a) Calcular A5,2: 
 
Resolução: 
 
A5,2 = 
5!
(5‒2)!
 = 
5!
3!
 = 
5∙4∙3!
3!
 = 5 ∙ 4 = 20 
 
ou simplesmente, A5,2 = 5 ∙ 4 = 20 
 
b) Quantos números de dois algarismos di-
ferentes podemos escrever com os algarismos 1, 
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9? 
 
Resolução: 
 
n = 9
p = 2
} → A9,2 = 
9!
(9−2)!
 = 
9!
7!
 = 
9∙8∙7!
7!
 = 72 
 
Observação: Nada impede que seja feito pelo 
princípio fundamental da contagem. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
36) Calcule: 
a) A4,2 12 c) A8,2 56 e) A5,1 5 g) A8,5 6.720 
 
b) A6,3
120 d) A4,4 24 f) A7,0 1 h) An,0 1 
 
37) Calcule 
A6,2 + A4,3 − A5,2
A9,2 + A8,1
. R: 17/40 
 
38) Usando os algarismos 2, 3, 5, 7 e 9, quantos 
números naturais de dois algarismos distintos po-
demos formar? R: podemos formar 20 números 
 
39) De quantas maneiras 5 meninos podem sen-
tar-se num banco que tem apenas 3 lugares? R: 60 
maneiras 
40) Um estudante tem 6 lápis de cores dife-
rentes. De quantas maneiras ele poderá pintar os 
estados da região sudeste do Brasil (São Paulo, 
Rio de Janeiro, Minas Gerais e Espírito Santo), 
cada um de uma cor? R: 360 maneiras 
 
41) Quantas frações diferentes (e não iguais a 1) 
podemos escrever usando os números 2, 3, 5, 7, 
11 e 13? R: 30 frações 
 
42) A diretoria de um clube é composta por 10 
membros, que podem ocupar a função de presi-
dente, secretário ou tesoureiro. De quantas ma-
neiras possíveis podemos formar com os 10 mem-
bros, chapas que contenham presidente, secretá-
rio e tesoureiro? R: 720 maneiras 
 
43) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos 
números de 3 algarismos distintos maiores que 
300 podemos formar? R: 80 números 
 
44) Quantos números ímpares de 4 algarismos 
não repetidos podemos escrever com os algaris-
mos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9? R: 1 680 números 
 
45) Quantos números de 3 algarismos distintos 
podemos formar com o algarismos do sistema de-
cimal 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 de modo que: 
5 
a) comecem com 1; R: 72 números 
b) comecem com 2 e termine com 5; R: 8 números 
c) sejam divisíveis por 5. R: 136 números 
 
46) Tenho 6 livros diferentes de Português e 6 
diferentes de Matemática. Quero colocar 4 livros 
de Português e 3 de Matemática na prateleira de 
uma estante. De quantas maneiras posso fazer 
isso, de modo que livros da mesma matéria fi-
quem juntos? R: 86 400 maneiras 
 
5 . PERMUTAÇÃO SIMPLES 
É um caso particular de arranjo simples, na 
qual n é igual a p, isto é 
 
An,n = 
n!
(n−n)!
 = 
n!
0!
 = 
n!
1
 = n! 
 
Esse tipo de arranjo recebe o nome de 
permutação simples. Indicamos por Pn o número 
de permutações simples de n elementos: 
 
 
Pn = n! 
 
,onde: 
 Pn = é a quantidade de grupos formados; 
 n = é a quantidade total de elementos dados e 
a quantidade de elementos nos grupos. 
 
Exemplos: 
1º) Calcular: 
 
a) P2 b) P4 c) P5 
Resolução: 
 
a) P2 = 2! = 2.1 = 2 
b) P4 = 4! = 4.3.2.1 = 24 
c) P5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120 
 
2º) Quantos números de 3 algarismos distintos 
podemos formar com os algarismos 1, 2 e 3? 
 
Resolução: 
 
P3 = 3! = 3.2.1 = 6 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
47) Quantos números de 5 algarismos distintos 
podem ser formados por 1, 2, 3, 5 e 8? R: 120 números 
 
48) De quantas maneiras podem ser arrumados 
de forma horizontal três selos: 1 da Argentina, 1 
do Brasil e 1 do Chile? R: 6 maneiras 
 
49) Quantos anagramas têm a palavra DEUS? 
R: 24 anagramas 
50) Utilizando-se dos algarismos 2, 4, 6 e 8 
a) Quantos números de 4 algarismos podemos 
formar? R: 256 números 
b) E de 4 algarismos distintos? R: 24 números 
 
51) Responda: 
a) Quantos anagramas têm a palavra EDITORA? 
R: 5 040 anagramas 
b) E que começam com a letra A? R: 720 anagramas 
c) E que começam com A e terminam com E? 
R: 120 anagramas 
52) Responda: 
a) Quantos são os anagramas da palavra PER-
DÃO? R: 720 anagramas 
b) Quantos são os anagramas da palavra PERDÃO 
que iniciam com P e terminam por O? R: 24 anagramas 
c) Quantos são os anagramas da palavra PERDÃO 
em que as letras A e O aparecem juntas e nessa 
ordem (AO)? R: 120 anagramas 
d) Quantos são os anagramas da palavra PERDÃO 
em que as letras A e O aparecem juntas e em 
qualquer ordem? R: 240 anagramas 
e) Quantos são os anagramas da palavra PERDÃO 
em que P e O aparecem nos extremos? R: 48 anagramas 
 
53) De quantas maneiras uma família de 5 pes-
soas pode sentar-se num banco de 5 lugares para 
tirar uma foto? R: 120 maneiras 
 
54) De quantas maneiras uma família de 5 pes-
soas pode sentar-se num banco de 5 lugares, fi-
cando duas delas (por exemplo, pai e mãe) sem-
pre juntas, em qualquer ordem? R: 48 maneiras 
 
55) Um automóvel “acomoda” duas pessoas nos 
bancos dianteiros e três no banco traseiro. De 
quantas maneiras distintas podem cinco pessoas 
ocupar esse automóvel? Imagine que todos sai-
bam dirigir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R: 120 maneiras 
 
EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 
56)(Enem-2015) Uma família composta por sete 
pessoas adultas, após decidir o itinerário de sua 
viagem, consultou o site de uma empresa aérea e 
constatou que o voo para data escolhida estava 
quase lotado. Na figura, disponibilizada pelo site, 
as poltronas ocupadas estão marcadas com X e as 
únicas poltronas disponíveis são as mostradas em 
branco. 
 
 
 
O número de formas distintas de se aco-
modar a família nesse voo é calculado por 
 
(a) 
9!
2!
 (c) 7! (e) 
5!
4!
  
4!
3!
 
 
(b) 
9!
7!2!
 (d) 
5!
2!
  4! 
R: (a) 
57)(UEPA-2007, modificada) Obedecendo ao 
código de cores disposto no quadro III (cores: 
amarelo, azul, verde e vermelho), o síndico de um 
6 
edifício de apartamentos resolveu recolher seleti-
vamente os resíduos sólidos do prédio, instalando 
na área de serviço quatro recipientes, um de cada 
cor, numerados de 1 a 4 e colocados lado a lado. O 
número de maneiras diferentes que o síndico dis-
põe para arrumar esses quatro recipientes, de 
modo que o azul seja sempre o número 1, é: 
 
 
 
(a) 6 (b) 8 (c) 12 (d) 18 (e) 24 
R: (a) 
58)(UEPA-2007, modificada) Para coleta de 
resíduos sólidos do prédio, o síndico pretende utili-
zar os 6 recipientes que encontram-se enfileirados 
na área de serviço. Para tanto, deseja pintá-los, 
cada um de uma só cor, utilizando as quatro cores 
do código de cores do quadro III (cores: amarelo, 
azul, verde e vermelho). O número de maneiras 
que poderá fazer essa pintura é: 
 
 
 
(a) 4 096 (b) 1 296 (c) 972 (d) 720 (e) 360 
R: (d) 
59)(UEPA-2006) Os amigos Paulo, Sávio e Carla 
foram assistir ao jogo da Seleção Brasileira de 
Futebol contra a seleção da Venezuela, ocorrido no 
dia 12 de outubro, no Estádio Jornalista Edgar 
Proença, o Estádio Olímpico do Pará, conhecido 
popularmente como Mangueirão. Quando chega-
ram, encontraram uma fila com 8 cadeiras, nume-
radas de 11 a 18, todas desocupadas, uma ao lado 
da outra. Sabendo que os três amigos sentaram 
nessa fileira em lugares distintos e que ninguém 
quis sentar nas cadeiras de número 11 e 12, pois 
estavam sujas, então o número de maneiras dis-
tintas que as cadeiras puderam ser ocupadas pelos 
três amigos foi: 
 
(a) 20 (b) 56 (c) 90 (d) 120 (e) 336 
R: (d) 
60)(UEPA-2008) Visando obter mais infor-
mações sobre a denúncia de que uma tribo da 
região Amazônica estava sendo dizimada, um re-
pórter recorreu a seu computador para acessar a 
Internet, entretanto não lembrou a senha de aces-
so, que era composta por três algarismos. Lem-
brava apenas que a senha era composta por três 
dos cinco algarismos: 1, 3, 5, 6 e 9. Para encon-
trar a senha, o repórter escreveu num papel todos 
os possíveis agrupamentos com esses algarismos. 
O número de agrupamentos escritos por esse re-
pórter, na tentativa de encontrar a senha de aces-
so à Internet, é: 
 
(a) 120 (b) 108 (c) 84 (d) 60 (e) 56 
R: (d) 
61)(UEPA-2012) Um profissional de design de 
interiores precisa planejar as cores que serão 
utilizadas em quatro paredes de uma casa, para 
isso possui seis cores diferentes de tinta. O 
número de maneiras diferentes que esse 
profissional poderá utilizar as seis cores nas 
paredes, sabendo-se que somente utilizará uma 
cor em cada parede, é: 
 
(a) 24 (b) 30 (c) 120 (d) 360 (e) 400 
R: (d) 
62)(UEPA-2011) 
Texto VII 
 Os 33 mineiros presos, em uma mina no 
norte do Chile, se alimentavam com uma dieta 
racionada de duas colheres de atum enlatado, 
um gole de leite e meio biscoito a cada 48 ho-
ras. Esse é um exemplo de sobrevivência e da 
manutenção das melhores condições de vida 
possível, de acordo da situação que se apresen-
ta. O resgate deles ocorreu de forma individual 
e em uma determinada sequência 
 
Suponha, então, que, no momento do res-
gate, os 33 mineiros tenham sido divididos em 3 
subgrupos de 11, de acordo com suas condições 
físicas, sendo assim, o número de formas e ordens 
diferentes em que poderiam ser escolhidos os 5 
primeiros mineiros, do primeiro subgrupo a ser 
resgatado, seria: 
 
(a) 55 (b) 66 (c) 462 (d) 1 087 (e) 55 440 
R: (e) 
6 . COMBINAÇÃO SIMPLES 
 É a quantidade de conjuntos de p elemen-
tos utilizando-se de n elementos, sendo n ≥ p. 
Indica-se por Cn,p, Cn
p
, ou (
n
p) o número to-
tal de combinações de n elementos tomados p a p 
e calcula-se por: 
 
 
Cn,p = 
𝐧!
𝐩!(𝐧−𝐩)!
 ou Cn,p = 
𝐀𝐧,𝐩
𝐩!
 
 
 
, onde: 
 cn,p = é a quantidade de conjuntos formados; 
 n = é a quantidade total de elementos dados 
(maior); 
 p = é a quantidade de elementos nos conjuntos 
(menor). 
 
Observação: Vale lembrar, que em conjunto a 
ordem dos elementos não importa. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
63) Calcule o valor de: 
a) C6,4 =15 d) C5,4 =5 g) (
7
6
) = 7 j) C45,44=45 
 
b) C5,3 =10 e) C6
5 =5 h) (
6
2
) =15 l) C30,26 = 
 
c) C4,1 = 4 f) C7
5 =21 i) (
6
0
) =1 m) (
20
18
) = 
l) 27 405; m) 190 
64) Quantas equipes de 3 astronautas podem ser 
formados com 20 astronautas? R: 1 140 equipes 
 
65) Quantos times diferentes de basquete pode-
mos formar com 12 atletas? (obs.: um time de 
basquete tem 5 jogadores) R: 792 times 
 
7 
66) Numa prova de 10 questões, o aluno pode 
fazer apenas 6. De quantas maneiras diferentes 
ele poderá escolher essas questões? R: 210 maneiras 
 
67) Quantas comissões de 5 elementos podem 
formar com os 30 alunos de uma classe? 
R: 142 506 comissões 
68) Quantas duplas diferentes podemos formar 
com um grupo de 8 tenistas? R: 28 duplas 
 
69) Uma associação tem uma diretoria formada 
por 10 pessoas: 6 homens e 4 mulheres. De quan-
tas maneiras podemos formar uma comissão des-
sa diretoria que tenha 3 homens e 2 mulheres? 
R: 120 comissões 
70) Num grupo de 4 rapazes e 7 moças, quantas 
comissões com 2 rapazes e 2 moças podemos 
formar? R: 126 comissões 
 
71) O conselho desportivo de uma escola é for-
mado por 2 professores e 3 alunos. Candidataram-
se 5 professores e 30 alunos. De quantas maneiras 
diferentes esse conselho pode ser eleito? R: 4 060 maneiras 
 
72) Quantas comissões de 3 pessoas podem ser 
formadas com 10 pessoas, sendo que uma deter-
minada pessoa deve figurar em todas as comis-
sões? R: 36 comissões 
 
EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 
73)(UF-BA) Dispondo-se de abacaxi, acerola, 
goiaba, laranja, maçã, mamão e melão, calcule de 
quantos sabores diferentes pode-se preparar um 
suco, usando-se três frutas distintas? R: 35 sabores diferentes 
 
74)(Enem-2017, modificada) Um brinquedo 
infantil caminhão-cegonha é formado por uma 
carreta e dez carrinhos nela transportados, con-
forme a figura. 
 
 
 
 No setor de produção dessa empresa que 
fabrica esse brinquedo, é feita a pintura de todos 
os carrinhos para que o aspecto do brinquedo fi-
que mais atraente. São utilizadas as cores ama-
relo, branco, laranja e verde, e cada carrinho é 
pintado apenas de uma cor. O caminhão-cegonha 
tem uma cor fixa [de um carrinho]. A empresa 
determinou que em todo o caminhão cegonha de-
ve haver pelo menos um carrinho de cada uma 
das quatro cores disponíveis. Mudança de posição 
de posição dos carrinhos no caminhão-cegonha 
não gera um novo tipo de brinquedo. 
 Com base nessas informações, quantos são 
os modelos distintos do brinquedo caminhão-
cegonha que essa empresa poderá produzir? 
 
(a) C6,4 (b) C9,3 (c) C10,4 (d) 64 (e) 46
 
 
75)(UFPA-2006) Por ocasião dos festejos da 
Semana da Pátria, uma escola decidiu exibir seus 
melhores atletas e as respectivas medalhas. Des-
ses atletas, em número de oito e designados por 
a1, a2, a3, ..., a8, serão escolhidos cinco para, no 
momento do desfile, fazerem honra à Bandeira 
Nacional. Do total de grupos que podem ser for-
mados, em quantos o atleta a2 estará presente? 
 
(a) 18 (b) 21 (c) 35 (d) 41 (e) 55 
R: (c) 
76)(UFPA-2007) No cartão da mega-sena existe 
a opção de aposta em que o apostador marca oito 
números inteiros de 1 a 60. Suponha que o apos-
tador conheça um pouco de Análise Combinatória 
e que ele percebeu que é mais vantajoso marcar 
um determinado número de cartões, usando ape-
nas os oito números, de modo que, se os seis nú-
meros sorteados estiverem entre os oito números 
escolhidos, ele ganha, além da sena, algumas qui-
nas e algumas quadras. Supondo que cada aposta 
seja feita usando apenas seis números, a quanti-
dade de cartões que o apostador deve apostar é: 
 
(a) 8 (b) 25 (c) 28 (d) 19 (e) 17 
R: (c) 
77)(UEPA-2006) O presidente de uma Comissão 
Parlamentar Mista de Inquérito (CPMI) escolheu 5 
senadores e 6 deputados federais para formação 
de subcomissões com 5 parlamentares, sendo 2 
senadores e 3 deputados federais. Assim, o núme-
ro de subcomissões que podem ser formadas com 
os parlamentares escolhidos é: 
 
(a) 30 (b) 90 (c) 150 (d) 200 (e) 240 
 
78)(UEPA-2005) Para a formação de uma 
equipe de trabalho, uma empresa realizou um 
concurso para preenchimento de vagas em seu 
setor de informática, sendo 2 vagas para Analista 
de Sistemas e 3 para Técnico. O primeiro colocado 
no cargo de analista de sistemas terá função de 
coordenador da equipe e os aprovados no cargo 
de técnico terão funções idênticas. Todos os 
aprovados no concurso serão chamados juntos, 
independente da classificação de cada um. 
Inscreveram-se 5 pessoas para concorrer ao cargo 
de analista de sistemas e 6 ao cargo de técnico. 
Então o número de maneiras distintas que essas 5 
vagas podem ser preenchidas, para a formação da 
equipe de trabalho, pelos candidatos é: 
 
(a) 200 (b) 400 (c) 800 (d) 1200 (e) 2400 
R: (a) 
79)(UEPA-2003) Uma organização não gover-
namental de proteção ao meio ambiente possui 
em seu quadro 8 técnicos do sexo feminino e 8 do 
sexo masculino. Para sua representação em um 
encontro internacional, esta organização deverá, 
com seus técnicos, formar uma equipe de 5 pes-
soas, sendo 3 homens e 2 mulheres. O número de 
equipes que podem ser formadas com esses técni-
cos é: 
 
(a) 18 806 (b) 1 568 (c) 936 (d) 392 (e) 84 
R: (b) 
80)(UEPA-2011) Na floresta amazônica, há vá-
rios animais em processo de extinção e, dentre 
8 
eles, vários mamíferos. O peixe-boi é um deles. O 
processo de extinção está ligado, principalmente, 
a pesca predatória. Se decidirmos pela procriação 
do peixe-boi em cativeiro, num lago especialmente 
preparado para isso, e tivermos 10 desses ani-
mais, sendo 6 machos e 4 fêmeas, a quantidade 
de maneiras distintas de escolha de um casal para 
ocupar o lago será: 
 
(a) 10 (b) 24 (c) 40 (d) 48 (e) 60 
 
R: (b) 
81)(UF-SE) Uma classe de tem 17 alunos, sendo 
10 rapazes e 7 moças. Quantas comissões de 4 
alunos podem ser formadas com os alunos dessa 
classe, nas qual participou somente uma moça? 
R: 840 comissões 
 
7 . ARRANJO OU COMBINAÇÃO 
 
 
Tanto arranjo como combinação são agrupa-
mentos de p elementos distintos escolhidos a 
partir de um conjunto de n elementos. A dife-
rença é que, no arranjo se mudarmos a ordem 
dos elementos de certo agrupamento, obtere-
mos um novo agrupamento (altera a natureza), 
enquanto que na combinação mudando a ordem 
dos elementos de certo agrupamento, obtemos 
o mesmo agrupamento (não altera a natureza). 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
82) Marque com “A” se for arranjo ou “C” se for 
combinação: 
a)( ) Utilizando-se de 1, 2, 3 e 4 quantos núme-
ros de 2 algarismos distintos dão para formar? 
b)( ) Utilizando-se de 1, 2, 3 e 4 quantos núme-
ros de 4 algarismos distintos dão para formar? 
c)( ) Um hospital tem 10 médicos quantas du-
plas diferentes de plantonistas dão para formar? 
 
83) Marque com “A” se for arranjo, “C” se for 
combinação, “P” para permutação ou “PFC” para 
princípio fundamental da contagem:
a)( ) Utilizando-se de 1, 2 e 3 quantos números 
de 2 algarismos podemos formar? 
 
b)( ) Utilizando-se de 1, 2 e 3 quantos números 
de 2 algarismos distintos podemos formar? 
 
c)( ) Utilizando-se de 1, 2 e 3 quantos números 
de 3 algarismos podemos formar? 
 
d)( ) Utilizando-se de 1, 2 e 3 quantos números 
de 3 algarismos distintos podemos formar? 
 
e)( ) Um hospital tem 10 médicos quantas du-
plas diferentes de plantonistas dão para formar? 
 
f)( ) Seis times de futebol disputam um torneio. 
Quantas são as possibilidades para os três primei-
ros lugares? 
 
g)( ) Dispondo-se de 4 frutas de quantas manei-
ras diferentes pode-se fazer um suco com 2 fru-
tas? 
 
h)( ) Em uma sorveteria há 4 sabores de sorve-
tes de quantas maneiras pode-se fazer um copo 
de sorvete de 2 sabores? 
 
i)( ) Em uma sorveteria há 4 sabores de sorve-
tes de quantas maneiras pode-se fazer um copo 
de sorvete de 2 sabores diferentes? 
 
j)( ) Um globo de sorteios tem bolas enumera-
das de 1 a 60, quantas são as possibilidades de 
retirar duas bolas com resultados diferentes? 
 
 
8 . PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO 
 A permutação de n elementos, na qual ∝ é 
a quantidade de elementos de um tipo,  é a 
quantidade de elemento de outro tipo e  de outro, 
é dada por: 
 
𝐏𝐧
𝛂,,𝛄
=
𝐧!
𝛂!! 𝛄!
 
 
 
, onde: 
 Pn = é a quantidade de grupos formados; 
 n = é a quantidade total de elementos dados e 
a quantidade de elementos nos grupos; 
 ∝,  e γ = é a quantidade de elementos que se 
repetem; 
 ∝ +  + γ = n. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
84) Quantos são os anagramas da palavra BATA-
TA? R: 60 anagramas 
 
85) Quantos são os anagramas da palavra PAPA? 
R: 6 anagramas 
86) Quantos são os anagramas da palavra ARA-
RA? R: 10 anagramas 
 
87) Quantos são os anagramas da palavra CAMA-
RADA que começa por C? R: 210 anagramas 
 
EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 
88)(UEPA-2011) O termo SUSTENTABILIDADE 
está relacionado a manutenção das condições eco-
nômicas, sociais, culturais e ambientais da socie-
dade humana. O número de anagramas possíveis, 
com as 6 letras que se repetem desse termo será: 
 
(a) 720 (b) 540 (c) 120 (d) 48 (e) 24 
R: (a) 
89)(CEFET-PA, 2008) O número de anagramas 
que se pode formar com as letras da palavra 
CEFETPA é n vezes o número de anagramas da 
palavra IFETPA. O valor de n é: 
 
(a) 5 (b) 7 (c) 3,5 (d) 4,8 (e) 2,1 
R: (c) 
90)(UEPA-2005, modificada) O cacique, ao 
homenagear a filha, deu o nome à fruta, fazendo 
apenas a inversão das letras da palavra IAÇA. 
9 
Porém, com essas letras, o total de anagramas 
que poderiam ser formados é de: 
 
(a) 36 (b) 24 (c) 18 (d) 12 (e) 6 
 
R: (d) 
 
91)(CEFET-PA, 2008) Uma associação 
comunitária fez o sorteio de cinco prêmios a um 
grupo de casais, sendo que de cada casal sorteado 
só recebeu o prêmio o marido ou a esposa, nunca 
os dois. Se 7 maridos e 4 esposas ficaram sem 
prêmios, quantos casais não foram sorteados? 
 
(a) 3 (b) 5 (c) 7 (d) 4 (e) 6 
 
92)(UFPA-2010) É do grande poeta português 
Fernando Pessoa a belíssima frase: 
 
“Tudo vale a pena se a alma não é pequena” 
 
Tomados pelo espírito dessa frase, queremos 
formar novas sequências de palavras, 
permutando-se as palavras do verso, 
indiferentemente de constituir ou não frases, por 
exemplo: “A pena não vale tudo se pequena é a 
alma” ou “A a é pena não se vale pequena tudo 
alma”. É correto afirmar que o número de 
sequências distintas de palavras que se pode 
construir, utilizando todas as dez palavras, é igual 
a: 
 
(a) 453.600 (c) 1.814.400 (e) 7.257.600 
 
(b) 907.200 (d) 3.628.800 R: (c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
“Por que nos torna tão pouco felizes esta maravilhosa 
ciência aplicada que economiza trabalho e torna a vida 
mais fácil? A resposta é simples: porque ainda não apren-
demos a nos servir dela com bom senso”. 
Albert Einstein. 
 
Atualizada em 25/8/2018 
 
 
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Referências 
 
DANTE, L.R. Matemática: Contexto & Aplicações. 2. Ed. São 
Paulo: Ática, 2000, v.2. 
 
IEZZI, G.; DOCE, O.; MACHADO, A. Matemática e Reali-
dade: Ensino Fundamental. 4. Ed. São Paulo: Atual, 2000. (8ª 
Série). 
 
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