Baixe o app para aproveitar ainda mais
Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original
PROF. GILBERTO SANTOS JR ANÁLISE COMBINATÓRIA SUMÁRIO 1 . PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM (P.F.C) ........................................................... 1 2 . CONCEITOS NUMÉRICOS ............................. 2 2.1 Número e algarismo ................................... 2 2.2 Múltiplos de um número ............................. 2 2.2.1 Múltiplos de 2 ......................................... 2 2.2.2 Múltiplos de 3 ......................................... 2 2.2.3 Múltiplos de 5 ......................................... 2 2.3 Números pares .......................................... 2 3 . FATORIAL DE UM NÚMERO ........................... 4 3.1 Definições especiais ................................... 4 4 . ARRANJO SIMPLES ...................................... 4 5 . PERMUTAÇÃO SIMPLES ............................... 5 6 . COMBINAÇÃO SIMPLES ............................... 6 7 . ARRANJO OU COMBINAÇÃO ......................... 8 8 . PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO .................... 8 Referências ........................................................ 9 1 . PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CON- TAGEM (P.F.C) Se um evento é composto por duas etapas su- cessivas e independentes de tal maneira que o número de possibilidades na 1ª etapa é m e o número de possibilidades na 2ª etapa é n, então o número total de possibilidades do evento ocorrer é dado por m ∙ n Observação: Um evento pode ter um número ili- mitado de etapas. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) Uma pessoa quer viajar de Recife a Porto Ale- gre passando por São Paulo. Sabendo-se que há 5 roteiros diferentes para chegar a São Paulo partin- do de Recife e 4 roteiros diferentes para chegar a Porto Alegre partindo de São Paulo, de quantas maneiras possíveis essa pessoa poderá viajar de Recife a Porto Alegre? R: 20 possibilidades 2) Ao lançarmos uma moeda e um dado. Deter- mine: a) Quantas são as possibilidades? b) Mostre quais são as possibili- dades de resultados numa tabela ou diagrama da árvore (c para cara e k para coroa). R: 12 possibilidades, são (c,1), (c,2), (c,3), (c,4), (c,5), (c,6), (k,1), (k,2), (k,3), (k,4), (k,5), (k,6) 3) Ao lançarmos duas moedas, usando c para cara e k para coroa. Determine: a) Quantas são as possibilidades de resultados? b) Mostre quais são as possibili- dades de resultados construindo uma tabela ou diagrama da árvore. R: 4 possibilidades, são (c,c), (c,k), (k,c), (k,k) 4) Um casal planeja ter dois filhos, usando M para filho do sexo masculino e F para filho do sexo feminino. Determine: a) Quantas são as possibilida- des? b) Mostre quais são as possibi- lidades construindo uma tabela ou diagrama da árvore. R: 4 possibilidades; são (M,M), (M,F), (F,M), (F,F) 5) Ao lançarmos dois dados, um preto e um ver- melho. Determine: a) Quantas são as possibilida- des? b) Mostre quais são as possibili- dades de resultados numa ta- bela. 6) Existem 2 vias de locomoção de uma cidade A para uma cidade B e 3 vias de locomoção da cida- de B a uma cidade C. De quantas maneiras pode- se ir de A a C, passando por B? R: 6 maneiras 7) Uma montadora de automóveis apresenta um carro em 4 modelos diferentes e em 5 cores dife- rentes. Um consumidor que quiser adquirir esse veículo terá quantas opções de escolha? R: 20 opções 8) De quantas maneiras diferentes pode-se vestir uma pessoa que tenha 5 camisas, 3 calças, 2 pa- res de meias e 2 pares de sapatos? R: 60 maneiras 9) Numa lanchonete há 5 tipos sanduíche, 4 tipos de refrigerante e 3 tipos de sorvete. De quantas maneiras podemos tomar um lanche composto por 1 sanduíche, 1 refrigerante e 1 sorvete? R: 60 maneiras 10) Quatro times de futebol (Grêmio, Santos, São Paulo e Flamengo) disputam um torneio. Quantas são as possibilidades para os três primeiros luga- res? 11) A diretoria de um clube é composta por 10 membros, que podem ocupar a função de presi- dente, secretário ou tesoureiro. De quantas ma- neiras possíveis podemos formar com os 10 mem- bros, chapas que contenham presidente, secretá- rio e tesoureiro? R: 720 possibilidades 12) Quantos números de 3 algarismos podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6? R: 216 possibilidades 13) Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6? R: 120 possibilidades 14) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7: a) Quantos números de 3 algarismos podemos formar? R: 343 possibilidades 2 b) E de 3 algarismos distintos? R: 210 possibilidades 15) Utilizando-se dos algarismos 2, 4, 6 e 8 a) Quantos números de 4 algarismos podemos formar? R: 256 possibilidades b) E de 4 algarismos distintos? 24 possibilidades 2 . CONCEITOS NUMÉRICOS 2.1 Número e algarismo Os números de contagem são 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, ... observa-se que são infinitos. Os algarismos do nosso sistema numérico são 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 observa-se que são finitos, em quantidade de 10. Exemplo: O número 234 tem os algarismos 2, 3 e 4, sendo 2 3 4 algarismo das unidades algarismo das dezenas algarismo das centenas 2.2 Múltiplos de um número 2.2.1 Múltiplos de 2 M(2) = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, ...} 2.2.2 Múltiplos de 3 M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, ...} 2.2.3 Múltiplos de 5 M(5) = {0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, ...} 2.3 Números pares Números pares são todos aqueles termina- dos em 0, 2, 4, 6 e 8. Exemplos: O número 13572 é par, pois termina em 2. O número 22225 não é par, pois termina em 5. O número 2 000 007 não é par, pois termina em 7. Observações: Quando um número não é par é chamado ím- par, pela consequência da definição de número par, número ímpar é todo aquele terminado em 1, 3, 5, 7 e 9. O que determina um número ser par, ou ím- par, é somente o algarismo da unidade, os demais algarismos (dezena, centena, unidade de milhar, etc) é indiferente. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 16) Quantos números de dois algarismos pode- mos formar sabendo que o algarismo das dezenas é múltiplos de 2 (diferente de zero) e o algarismo das unidades é múltiplo de 3? R: 16 possibilidades 17) Quantos números de 3 algarismos podem ser escritos nas seguintes condições: o algarismo das centenas é múltiplos de 3 (diferente de zero), o das dezenas é 4 ou 7 e o das unidades é múltiplos de 5? R: 12 possibilidades 18) Usando somente os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, podemos formar: a) Quantos números de 2 algarismos? R: 36 possibilidades b) Quantos números de 2 algarismos distintos? R: 30 possibilidades c) Quantos números pares de 2 algarismos? R: 18 possibilidades d) Quantos números ímpares de 2 algarismos? R: 18 possibilidades e) Quantos números de 2 algarismos pares? R: 9 possibilidades 19) Uma sorveteria oferece 10 sabores de sorve- te. Se uma pessoa vai tomar 3 bolas, do mesmo sabor ou não, quantas opções diferentes ela tem? R: 1 000 opções 20) Usando as 26 letras e os 10 algarismos co- nhecidos, quantas placas diferentes de automóvel podem ser feitas de modo que, em cada uma, existam 3 letras (não repetidas) seguidas de 4 algarismos? R: 156 000 000 possibilidades EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 21)(Enem-2012) João decidiu contratar os ser- viços de uma empresa por telefone através do SAC (Serviço de Atendimento ao Consumidor). O atendente ditou para João o numero do protocolo de atendimento da ligação e pediu que ele anotas- se. Entretanto, João não entendeu um dos alga- rismos ditados pelo atendente e anotou o número 1 3 9 8 2 0 7, sendo que o espaço vazio é o alga- rismo que João não entendeu. De acordo com essas informações, a posi- ção ocupada pelo algarismo que falta no número de protocolo é a de (a) centena (d) milhão (b) dezena de milhar (e) centena de milhão (c) centena de milhar 22)(Enem-2012) Jogar baralho é uma atividade que estimula o raciocínio. Um jogo tradicional é a paciência que utiliza 52 cartas. Inicialmente são formadas 7 colunas com as cartas. A primeira co- luna tem uma carta, a segunda tem duas cartas, a terceira tem três cartas, a quarta tem quatro car- tas, e assim sucessivamente até a sétima coluna, a qual tem sete cartas, e o que sobra forma o monte, que são as cartas não utilizadas. A quanti- dade de cartas que forma o monte é (a) 21 (b) 24 (c) 26 (d) 28 (e) 31 R: (b) 23)(UFES) Um shopping center possui 4 portas de entrada para o andar térreo, 5 escadas rolantes ligando o térreo ao primeiro pavimento e 3 eleva- dores que conduzem do primeiro para o segundo pavimento. De quantas maneiras diferentes uma 3 pessoa, partindo de fora do shopping center pode atingir o segundo pavimento usando os acessos mencionados? (a) 12 (b) 17 (c) 19 (d) 23 (e) 60 R: (e) 24)(CESUPA-2007/2) Suponha que você vai a um supermercado comprar 8 iogurtes e encontra os sabores: maçã, mamão e morango. Quantas são as diferentes possibilidades de fazer esta compra? (a) 11 (b) 24 (c) 83 (d) 38 R: (d) 25)(UEPA-2009) Texto 2 A Série Arte e Matemática na escola, que será apresentada pela TV ESCOLA, no Programa Salto para o Futuro, é constituída por cinco programas que pretendem oferecer um espaço de reflexão, interação e discussão sobre as múltiplas relações matemáticas existentes nas diversas linguagens. (Fonte:www.tvebrasil.com.br/SALTO/boletins2002/ame/ameimp.htm) Considere que os programas acima (Texto 2) sejam exibidos em três turnos: o primeiro pela manhã, o segundo pela tarde, e o terceiro pela noite. Então, o número de maneiras distintas que a sequência de programas pode ser exibida é: (a) 120 (b) 80 (c) 60 (d) 30 (e) 10 R: (c) 26)(UEPA-2010) Uma loja de um shopping center na cidade de Manaus divulga inscrições para um torneio de Games. Para realizar essas inscrições, a loja gerou um código de inscrição com uma sequência de quatro dígitos distintos, sendo o primeiro elemento da sequência diferente de zero. A quantidade de códigos de inscrição que podem ser gerados utilizando os elementos do conjunto {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} é: (a) 4.500 (c) 4.684 (e) 5.000 (b) 4.536 (d) 4.693 R: (b) 27)(UEPA-2002) Numa prova automobilística de que participam 10 pilotos, de quantas maneiras diferentes pode ser formado o grupo dos 3 primei- ros colocados? (a) 60 (b) 120 (c) 180 (d) 360 (e) 720 R: (e) 28)(UEPA-2004) Luciano realizou uma pesquisa para verificar a opinião dos paraenses a respeito de quem seriam os três primeiros colocados na corrida do círio de 2003, na seguinte ordem: ven- cedor, 2º colocado e 3º colocado. No momento da pesquisa, Luciano apresentava, para escolha dos entrevistados, uma lista contendo o nome dos dez favoritos dentre os atletas participantes. Descon- siderando qualquer possibilidade de empate, o número de formas diferentes de respostas é: (a) 120 (b) 240 (c) 360 (d) 540 (e) 720 R: (e) 29)(Enem-2012) O diretor de uma escola convi- dou os 280 alunos de terceiro ano a participarem de uma brincadeira. Suponha que existem 5 obje- tos e 6 personagens numa casa de 9 cômodos; um dos personagens escolhe um dos objetos em um dos cômodos da casa. O objeto da brincadeira é adivinhar qual objeto foi escondido por qual per- sonagem e em qual cômodo da casa o objeto foi escolhido. Todos os alunos decidiram participar. A ca- da vez um aluno é sorteado e dá a sua resposta. As respostas devem ser sempre distintas das ante- riores, e um mesmo aluno não pode ser sorteado mais de uma vez. Se a resposta do aluno estiver correta, ele é declarado vencedor e a brincadeira é encerrada. O diretor sabe que algum aluno acertará a resposta porque há (a) 10 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. (b) 20 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. (c) 119 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. (d) 260 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. (e) 270 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. R: (a) 30)(Enem-2017) Uma empresa construirá sua página na internet e espera atrair um público de aproximadamente um milhão de clientes. Para acessar essa página, será necessária uma senha com formato a ser definido pela empresa. Existem cinco opções de formatos oferecidas pelo progra- mador, descritas no quadro, em que “L” e “D” re- presentam respectivamente, letra maiúscula e digito. As letras do alfabeto, entre as 26 possíveis, bem como os dígitos, entre os 10 possíveis, podem se repetir em qualquer das opções. A empresa quer escolher uma opção de formato cujo número de senhas distintas possíveis seja superior ao número esperado de clientes, mas que esse número não seja superior ao dobro do número esperado de clientes. A opção que mais se adequa as condições da empresa é (a) I (b) II (c) III (d) IV (e) V 31)(Enem-2013) Um banco solicitou aos seus clientes a criação de uma senha pessoal de seis dígitos, formada somente por algarismos de 0 a 9, para acesso à conta corrente pela internet. Entretanto, um especialista em sistemas de segurança eletrônica recomendou à direção do banco recadastra seus usuários, solicitando, para 4 cada um deles, a criação de uma nova senha com seis dígitos permitindo o uso agora das 26 letras do alfabeto, além dos algarismos de 0 a 9. Nesse novo sistema, cada letra maiúscula era considera- da distinta de sua versão minúscula. Além disso, era proibido o uso de outros tipos de caracteres. Uma forma de avaliar uma alteração no sis- tema de senhas é a verificação do coeficiente de melhora, que é uma razão do novo número de possibilidades de senhas em relação ao antigo. O coeficiente de melhora da alteração re- comendada é (a) 626 106 (c) 62!4! 10!56! (e) 626 – 106 (b) 62! 10! (d) 62! – 10! 3 . FATORIAL DE UM NÚMERO Seja n um número natural não-nulo, o fato- rial de n é o produto de fatores decrescentes de n até 1, isto é, n! = n ∙ (n ‒ 1).(n ‒ 2) ... 3∙2∙1; n ∈ ℕ* 3.1 Definições especiais 0! = 1 1! = 1 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 32) Simplifique as expressões: a) 4! = 24 d) 5! 4! = 5 g) 51! 50! = 51 b) 5! = 120 e) 4! 5! = 1/5 h) 4!6! 3!5! = 24 c) 6! = 720 f) 20! 18! = 380 i) n! (n−1)! = n 33) Calcule o valor ou simplifique: a) 7! = 5040 d) 101! 99! = 10.100 g) n! (n−2)! = b) 7! 4! = 210 e) 501! 500! = 501 h) (n+1)! n! = c) 4! 7! = 1/210 f) 3!5! 4!6! = 1/24 R: g) n(n – 1) ou n2 – n; h) n+1 34) Calcule o valor da expressão 100!+101! 99! .R: 10 200 35) Resolva a equação (x+1)! (x−1)! = 56. R: S = {7} 4 . ARRANJO SIMPLES É um caso particular de princípio funda- mental da contagem, na qual os elementos são distintos nos grupos formados. É a quantidade de agrupamentos de p ele- mentos distintos utilizando-se de n elementos, sendo n ≥ p. An,p = 𝐧! (𝐧−𝐩)! ,onde: An,p = é a quantidade de grupos formados; n = é a quantidade total de elementos dados (maior); p = é a quantidade de elementos nos grupos (menor). Exemplos: a) Calcular A5,2: Resolução: A5,2 = 5! (5‒2)! = 5! 3! = 5∙4∙3! 3! = 5 ∙ 4 = 20 ou simplesmente, A5,2 = 5 ∙ 4 = 20 b) Quantos números de dois algarismos di- ferentes podemos escrever com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9? Resolução: n = 9 p = 2 } → A9,2 = 9! (9−2)! = 9! 7! = 9∙8∙7! 7! = 72 Observação: Nada impede que seja feito pelo princípio fundamental da contagem. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 36) Calcule: a) A4,2 12 c) A8,2 56 e) A5,1 5 g) A8,5 6.720 b) A6,3 120 d) A4,4 24 f) A7,0 1 h) An,0 1 37) Calcule A6,2 + A4,3 − A5,2 A9,2 + A8,1 . R: 17/40 38) Usando os algarismos 2, 3, 5, 7 e 9, quantos números naturais de dois algarismos distintos po- demos formar? R: podemos formar 20 números 39) De quantas maneiras 5 meninos podem sen- tar-se num banco que tem apenas 3 lugares? R: 60 maneiras 40) Um estudante tem 6 lápis de cores dife- rentes. De quantas maneiras ele poderá pintar os estados da região sudeste do Brasil (São Paulo, Rio de Janeiro, Minas Gerais e Espírito Santo), cada um de uma cor? R: 360 maneiras 41) Quantas frações diferentes (e não iguais a 1) podemos escrever usando os números 2, 3, 5, 7, 11 e 13? R: 30 frações 42) A diretoria de um clube é composta por 10 membros, que podem ocupar a função de presi- dente, secretário ou tesoureiro. De quantas ma- neiras possíveis podemos formar com os 10 mem- bros, chapas que contenham presidente, secretá- rio e tesoureiro? R: 720 maneiras 43) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos números de 3 algarismos distintos maiores que 300 podemos formar? R: 80 números 44) Quantos números ímpares de 4 algarismos não repetidos podemos escrever com os algaris- mos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9? R: 1 680 números 45) Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar com o algarismos do sistema de- cimal 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 de modo que: 5 a) comecem com 1; R: 72 números b) comecem com 2 e termine com 5; R: 8 números c) sejam divisíveis por 5. R: 136 números 46) Tenho 6 livros diferentes de Português e 6 diferentes de Matemática. Quero colocar 4 livros de Português e 3 de Matemática na prateleira de uma estante. De quantas maneiras posso fazer isso, de modo que livros da mesma matéria fi- quem juntos? R: 86 400 maneiras 5 . PERMUTAÇÃO SIMPLES É um caso particular de arranjo simples, na qual n é igual a p, isto é An,n = n! (n−n)! = n! 0! = n! 1 = n! Esse tipo de arranjo recebe o nome de permutação simples. Indicamos por Pn o número de permutações simples de n elementos: Pn = n! ,onde: Pn = é a quantidade de grupos formados; n = é a quantidade total de elementos dados e a quantidade de elementos nos grupos. Exemplos: 1º) Calcular: a) P2 b) P4 c) P5 Resolução: a) P2 = 2! = 2.1 = 2 b) P4 = 4! = 4.3.2.1 = 24 c) P5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120 2º) Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar com os algarismos 1, 2 e 3? Resolução: P3 = 3! = 3.2.1 = 6 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 47) Quantos números de 5 algarismos distintos podem ser formados por 1, 2, 3, 5 e 8? R: 120 números 48) De quantas maneiras podem ser arrumados de forma horizontal três selos: 1 da Argentina, 1 do Brasil e 1 do Chile? R: 6 maneiras 49) Quantos anagramas têm a palavra DEUS? R: 24 anagramas 50) Utilizando-se dos algarismos 2, 4, 6 e 8 a) Quantos números de 4 algarismos podemos formar? R: 256 números b) E de 4 algarismos distintos? R: 24 números 51) Responda: a) Quantos anagramas têm a palavra EDITORA? R: 5 040 anagramas b) E que começam com a letra A? R: 720 anagramas c) E que começam com A e terminam com E? R: 120 anagramas 52) Responda: a) Quantos são os anagramas da palavra PER- DÃO? R: 720 anagramas b) Quantos são os anagramas da palavra PERDÃO que iniciam com P e terminam por O? R: 24 anagramas c) Quantos são os anagramas da palavra PERDÃO em que as letras A e O aparecem juntas e nessa ordem (AO)? R: 120 anagramas d) Quantos são os anagramas da palavra PERDÃO em que as letras A e O aparecem juntas e em qualquer ordem? R: 240 anagramas e) Quantos são os anagramas da palavra PERDÃO em que P e O aparecem nos extremos? R: 48 anagramas 53) De quantas maneiras uma família de 5 pes- soas pode sentar-se num banco de 5 lugares para tirar uma foto? R: 120 maneiras 54) De quantas maneiras uma família de 5 pes- soas pode sentar-se num banco de 5 lugares, fi- cando duas delas (por exemplo, pai e mãe) sem- pre juntas, em qualquer ordem? R: 48 maneiras 55) Um automóvel “acomoda” duas pessoas nos bancos dianteiros e três no banco traseiro. De quantas maneiras distintas podem cinco pessoas ocupar esse automóvel? Imagine que todos sai- bam dirigir. R: 120 maneiras EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 56)(Enem-2015) Uma família composta por sete pessoas adultas, após decidir o itinerário de sua viagem, consultou o site de uma empresa aérea e constatou que o voo para data escolhida estava quase lotado. Na figura, disponibilizada pelo site, as poltronas ocupadas estão marcadas com X e as únicas poltronas disponíveis são as mostradas em branco. O número de formas distintas de se aco- modar a família nesse voo é calculado por (a) 9! 2! (c) 7! (e) 5! 4! 4! 3! (b) 9! 7!2! (d) 5! 2! 4! R: (a) 57)(UEPA-2007, modificada) Obedecendo ao código de cores disposto no quadro III (cores: amarelo, azul, verde e vermelho), o síndico de um 6 edifício de apartamentos resolveu recolher seleti- vamente os resíduos sólidos do prédio, instalando na área de serviço quatro recipientes, um de cada cor, numerados de 1 a 4 e colocados lado a lado. O número de maneiras diferentes que o síndico dis- põe para arrumar esses quatro recipientes, de modo que o azul seja sempre o número 1, é: (a) 6 (b) 8 (c) 12 (d) 18 (e) 24 R: (a) 58)(UEPA-2007, modificada) Para coleta de resíduos sólidos do prédio, o síndico pretende utili- zar os 6 recipientes que encontram-se enfileirados na área de serviço. Para tanto, deseja pintá-los, cada um de uma só cor, utilizando as quatro cores do código de cores do quadro III (cores: amarelo, azul, verde e vermelho). O número de maneiras que poderá fazer essa pintura é: (a) 4 096 (b) 1 296 (c) 972 (d) 720 (e) 360 R: (d) 59)(UEPA-2006) Os amigos Paulo, Sávio e Carla foram assistir ao jogo da Seleção Brasileira de Futebol contra a seleção da Venezuela, ocorrido no dia 12 de outubro, no Estádio Jornalista Edgar Proença, o Estádio Olímpico do Pará, conhecido popularmente como Mangueirão. Quando chega- ram, encontraram uma fila com 8 cadeiras, nume- radas de 11 a 18, todas desocupadas, uma ao lado da outra. Sabendo que os três amigos sentaram nessa fileira em lugares distintos e que ninguém quis sentar nas cadeiras de número 11 e 12, pois estavam sujas, então o número de maneiras dis- tintas que as cadeiras puderam ser ocupadas pelos três amigos foi: (a) 20 (b) 56 (c) 90 (d) 120 (e) 336 R: (d) 60)(UEPA-2008) Visando obter mais infor- mações sobre a denúncia de que uma tribo da região Amazônica estava sendo dizimada, um re- pórter recorreu a seu computador para acessar a Internet, entretanto não lembrou a senha de aces- so, que era composta por três algarismos. Lem- brava apenas que a senha era composta por três dos cinco algarismos: 1, 3, 5, 6 e 9. Para encon- trar a senha, o repórter escreveu num papel todos os possíveis agrupamentos com esses algarismos. O número de agrupamentos escritos por esse re- pórter, na tentativa de encontrar a senha de aces- so à Internet, é: (a) 120 (b) 108 (c) 84 (d) 60 (e) 56 R: (d) 61)(UEPA-2012) Um profissional de design de interiores precisa planejar as cores que serão utilizadas em quatro paredes de uma casa, para isso possui seis cores diferentes de tinta. O número de maneiras diferentes que esse profissional poderá utilizar as seis cores nas paredes, sabendo-se que somente utilizará uma cor em cada parede, é: (a) 24 (b) 30 (c) 120 (d) 360 (e) 400 R: (d) 62)(UEPA-2011) Texto VII Os 33 mineiros presos, em uma mina no norte do Chile, se alimentavam com uma dieta racionada de duas colheres de atum enlatado, um gole de leite e meio biscoito a cada 48 ho- ras. Esse é um exemplo de sobrevivência e da manutenção das melhores condições de vida possível, de acordo da situação que se apresen- ta. O resgate deles ocorreu de forma individual e em uma determinada sequência Suponha, então, que, no momento do res- gate, os 33 mineiros tenham sido divididos em 3 subgrupos de 11, de acordo com suas condições físicas, sendo assim, o número de formas e ordens diferentes em que poderiam ser escolhidos os 5 primeiros mineiros, do primeiro subgrupo a ser resgatado, seria: (a) 55 (b) 66 (c) 462 (d) 1 087 (e) 55 440 R: (e) 6 . COMBINAÇÃO SIMPLES É a quantidade de conjuntos de p elemen- tos utilizando-se de n elementos, sendo n ≥ p. Indica-se por Cn,p, Cn p , ou ( n p) o número to- tal de combinações de n elementos tomados p a p e calcula-se por: Cn,p = 𝐧! 𝐩!(𝐧−𝐩)! ou Cn,p = 𝐀𝐧,𝐩 𝐩! , onde: cn,p = é a quantidade de conjuntos formados; n = é a quantidade total de elementos dados (maior); p = é a quantidade de elementos nos conjuntos (menor). Observação: Vale lembrar, que em conjunto a ordem dos elementos não importa. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 63) Calcule o valor de: a) C6,4 =15 d) C5,4 =5 g) ( 7 6 ) = 7 j) C45,44=45 b) C5,3 =10 e) C6 5 =5 h) ( 6 2 ) =15 l) C30,26 = c) C4,1 = 4 f) C7 5 =21 i) ( 6 0 ) =1 m) ( 20 18 ) = l) 27 405; m) 190 64) Quantas equipes de 3 astronautas podem ser formados com 20 astronautas? R: 1 140 equipes 65) Quantos times diferentes de basquete pode- mos formar com 12 atletas? (obs.: um time de basquete tem 5 jogadores) R: 792 times 7 66) Numa prova de 10 questões, o aluno pode fazer apenas 6. De quantas maneiras diferentes ele poderá escolher essas questões? R: 210 maneiras 67) Quantas comissões de 5 elementos podem formar com os 30 alunos de uma classe? R: 142 506 comissões 68) Quantas duplas diferentes podemos formar com um grupo de 8 tenistas? R: 28 duplas 69) Uma associação tem uma diretoria formada por 10 pessoas: 6 homens e 4 mulheres. De quan- tas maneiras podemos formar uma comissão des- sa diretoria que tenha 3 homens e 2 mulheres? R: 120 comissões 70) Num grupo de 4 rapazes e 7 moças, quantas comissões com 2 rapazes e 2 moças podemos formar? R: 126 comissões 71) O conselho desportivo de uma escola é for- mado por 2 professores e 3 alunos. Candidataram- se 5 professores e 30 alunos. De quantas maneiras diferentes esse conselho pode ser eleito? R: 4 060 maneiras 72) Quantas comissões de 3 pessoas podem ser formadas com 10 pessoas, sendo que uma deter- minada pessoa deve figurar em todas as comis- sões? R: 36 comissões EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 73)(UF-BA) Dispondo-se de abacaxi, acerola, goiaba, laranja, maçã, mamão e melão, calcule de quantos sabores diferentes pode-se preparar um suco, usando-se três frutas distintas? R: 35 sabores diferentes 74)(Enem-2017, modificada) Um brinquedo infantil caminhão-cegonha é formado por uma carreta e dez carrinhos nela transportados, con- forme a figura. No setor de produção dessa empresa que fabrica esse brinquedo, é feita a pintura de todos os carrinhos para que o aspecto do brinquedo fi- que mais atraente. São utilizadas as cores ama- relo, branco, laranja e verde, e cada carrinho é pintado apenas de uma cor. O caminhão-cegonha tem uma cor fixa [de um carrinho]. A empresa determinou que em todo o caminhão cegonha de- ve haver pelo menos um carrinho de cada uma das quatro cores disponíveis. Mudança de posição de posição dos carrinhos no caminhão-cegonha não gera um novo tipo de brinquedo. Com base nessas informações, quantos são os modelos distintos do brinquedo caminhão- cegonha que essa empresa poderá produzir? (a) C6,4 (b) C9,3 (c) C10,4 (d) 64 (e) 46 75)(UFPA-2006) Por ocasião dos festejos da Semana da Pátria, uma escola decidiu exibir seus melhores atletas e as respectivas medalhas. Des- ses atletas, em número de oito e designados por a1, a2, a3, ..., a8, serão escolhidos cinco para, no momento do desfile, fazerem honra à Bandeira Nacional. Do total de grupos que podem ser for- mados, em quantos o atleta a2 estará presente? (a) 18 (b) 21 (c) 35 (d) 41 (e) 55 R: (c) 76)(UFPA-2007) No cartão da mega-sena existe a opção de aposta em que o apostador marca oito números inteiros de 1 a 60. Suponha que o apos- tador conheça um pouco de Análise Combinatória e que ele percebeu que é mais vantajoso marcar um determinado número de cartões, usando ape- nas os oito números, de modo que, se os seis nú- meros sorteados estiverem entre os oito números escolhidos, ele ganha, além da sena, algumas qui- nas e algumas quadras. Supondo que cada aposta seja feita usando apenas seis números, a quanti- dade de cartões que o apostador deve apostar é: (a) 8 (b) 25 (c) 28 (d) 19 (e) 17 R: (c) 77)(UEPA-2006) O presidente de uma Comissão Parlamentar Mista de Inquérito (CPMI) escolheu 5 senadores e 6 deputados federais para formação de subcomissões com 5 parlamentares, sendo 2 senadores e 3 deputados federais. Assim, o núme- ro de subcomissões que podem ser formadas com os parlamentares escolhidos é: (a) 30 (b) 90 (c) 150 (d) 200 (e) 240 78)(UEPA-2005) Para a formação de uma equipe de trabalho, uma empresa realizou um concurso para preenchimento de vagas em seu setor de informática, sendo 2 vagas para Analista de Sistemas e 3 para Técnico. O primeiro colocado no cargo de analista de sistemas terá função de coordenador da equipe e os aprovados no cargo de técnico terão funções idênticas. Todos os aprovados no concurso serão chamados juntos, independente da classificação de cada um. Inscreveram-se 5 pessoas para concorrer ao cargo de analista de sistemas e 6 ao cargo de técnico. Então o número de maneiras distintas que essas 5 vagas podem ser preenchidas, para a formação da equipe de trabalho, pelos candidatos é: (a) 200 (b) 400 (c) 800 (d) 1200 (e) 2400 R: (a) 79)(UEPA-2003) Uma organização não gover- namental de proteção ao meio ambiente possui em seu quadro 8 técnicos do sexo feminino e 8 do sexo masculino. Para sua representação em um encontro internacional, esta organização deverá, com seus técnicos, formar uma equipe de 5 pes- soas, sendo 3 homens e 2 mulheres. O número de equipes que podem ser formadas com esses técni- cos é: (a) 18 806 (b) 1 568 (c) 936 (d) 392 (e) 84 R: (b) 80)(UEPA-2011) Na floresta amazônica, há vá- rios animais em processo de extinção e, dentre 8 eles, vários mamíferos. O peixe-boi é um deles. O processo de extinção está ligado, principalmente, a pesca predatória. Se decidirmos pela procriação do peixe-boi em cativeiro, num lago especialmente preparado para isso, e tivermos 10 desses ani- mais, sendo 6 machos e 4 fêmeas, a quantidade de maneiras distintas de escolha de um casal para ocupar o lago será: (a) 10 (b) 24 (c) 40 (d) 48 (e) 60 R: (b) 81)(UF-SE) Uma classe de tem 17 alunos, sendo 10 rapazes e 7 moças. Quantas comissões de 4 alunos podem ser formadas com os alunos dessa classe, nas qual participou somente uma moça? R: 840 comissões 7 . ARRANJO OU COMBINAÇÃO Tanto arranjo como combinação são agrupa- mentos de p elementos distintos escolhidos a partir de um conjunto de n elementos. A dife- rença é que, no arranjo se mudarmos a ordem dos elementos de certo agrupamento, obtere- mos um novo agrupamento (altera a natureza), enquanto que na combinação mudando a ordem dos elementos de certo agrupamento, obtemos o mesmo agrupamento (não altera a natureza). EXERCÍCIOS PROPOSTOS 82) Marque com “A” se for arranjo ou “C” se for combinação: a)( ) Utilizando-se de 1, 2, 3 e 4 quantos núme- ros de 2 algarismos distintos dão para formar? b)( ) Utilizando-se de 1, 2, 3 e 4 quantos núme- ros de 4 algarismos distintos dão para formar? c)( ) Um hospital tem 10 médicos quantas du- plas diferentes de plantonistas dão para formar? 83) Marque com “A” se for arranjo, “C” se for combinação, “P” para permutação ou “PFC” para princípio fundamental da contagem: a)( ) Utilizando-se de 1, 2 e 3 quantos números de 2 algarismos podemos formar? b)( ) Utilizando-se de 1, 2 e 3 quantos números de 2 algarismos distintos podemos formar? c)( ) Utilizando-se de 1, 2 e 3 quantos números de 3 algarismos podemos formar? d)( ) Utilizando-se de 1, 2 e 3 quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar? e)( ) Um hospital tem 10 médicos quantas du- plas diferentes de plantonistas dão para formar? f)( ) Seis times de futebol disputam um torneio. Quantas são as possibilidades para os três primei- ros lugares? g)( ) Dispondo-se de 4 frutas de quantas manei- ras diferentes pode-se fazer um suco com 2 fru- tas? h)( ) Em uma sorveteria há 4 sabores de sorve- tes de quantas maneiras pode-se fazer um copo de sorvete de 2 sabores? i)( ) Em uma sorveteria há 4 sabores de sorve- tes de quantas maneiras pode-se fazer um copo de sorvete de 2 sabores diferentes? j)( ) Um globo de sorteios tem bolas enumera- das de 1 a 60, quantas são as possibilidades de retirar duas bolas com resultados diferentes? 8 . PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO A permutação de n elementos, na qual ∝ é a quantidade de elementos de um tipo, é a quantidade de elemento de outro tipo e de outro, é dada por: 𝐏𝐧 𝛂,,𝛄 = 𝐧! 𝛂!! 𝛄! , onde: Pn = é a quantidade de grupos formados; n = é a quantidade total de elementos dados e a quantidade de elementos nos grupos; ∝, e γ = é a quantidade de elementos que se repetem; ∝ + + γ = n. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 84) Quantos são os anagramas da palavra BATA- TA? R: 60 anagramas 85) Quantos são os anagramas da palavra PAPA? R: 6 anagramas 86) Quantos são os anagramas da palavra ARA- RA? R: 10 anagramas 87) Quantos são os anagramas da palavra CAMA- RADA que começa por C? R: 210 anagramas EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 88)(UEPA-2011) O termo SUSTENTABILIDADE está relacionado a manutenção das condições eco- nômicas, sociais, culturais e ambientais da socie- dade humana. O número de anagramas possíveis, com as 6 letras que se repetem desse termo será: (a) 720 (b) 540 (c) 120 (d) 48 (e) 24 R: (a) 89)(CEFET-PA, 2008) O número de anagramas que se pode formar com as letras da palavra CEFETPA é n vezes o número de anagramas da palavra IFETPA. O valor de n é: (a) 5 (b) 7 (c) 3,5 (d) 4,8 (e) 2,1 R: (c) 90)(UEPA-2005, modificada) O cacique, ao homenagear a filha, deu o nome à fruta, fazendo apenas a inversão das letras da palavra IAÇA. 9 Porém, com essas letras, o total de anagramas que poderiam ser formados é de: (a) 36 (b) 24 (c) 18 (d) 12 (e) 6 R: (d) 91)(CEFET-PA, 2008) Uma associação comunitária fez o sorteio de cinco prêmios a um grupo de casais, sendo que de cada casal sorteado só recebeu o prêmio o marido ou a esposa, nunca os dois. Se 7 maridos e 4 esposas ficaram sem prêmios, quantos casais não foram sorteados? (a) 3 (b) 5 (c) 7 (d) 4 (e) 6 92)(UFPA-2010) É do grande poeta português Fernando Pessoa a belíssima frase: “Tudo vale a pena se a alma não é pequena” Tomados pelo espírito dessa frase, queremos formar novas sequências de palavras, permutando-se as palavras do verso, indiferentemente de constituir ou não frases, por exemplo: “A pena não vale tudo se pequena é a alma” ou “A a é pena não se vale pequena tudo alma”. É correto afirmar que o número de sequências distintas de palavras que se pode construir, utilizando todas as dez palavras, é igual a: (a) 453.600 (c) 1.814.400 (e) 7.257.600 (b) 907.200 (d) 3.628.800 R: (c) “Por que nos torna tão pouco felizes esta maravilhosa ciência aplicada que economiza trabalho e torna a vida mais fácil? A resposta é simples: porque ainda não apren- demos a nos servir dela com bom senso”. Albert Einstein. Atualizada em 25/8/2018 Gostou da Apostila? Você a encontra no site: http://gilsilva10.wixsite.com/inicio/apostilas- de-matematica Link! Dê uma olhada. Referências DANTE, L.R. Matemática: Contexto & Aplicações. 2. Ed. São Paulo: Ática, 2000, v.2. IEZZI, G.; DOCE, O.; MACHADO, A. Matemática e Reali- dade: Ensino Fundamental. 4. Ed. São Paulo: Atual, 2000. (8ª Série). http://gilsilva10.wixsite.com/inicio/apostilas-de-matematica http://gilsilva10.wixsite.com/inicio/apostilas-de-matematica
Compartilhar