PDF - Aula 202 - Máximo Divisor Comum - MDC

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MÁXIMO DIVISOR COMUM DE INTEIROS 
 
 MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC) 
 
Definição: O máximo divisor comum de dois ou 
mais números é o maior de seus divisores 
comuns. 
 
D(18) = { 1, 2, 3, 6, 9, 18 } 
D(30) = { 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 } 
D(42) = { 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42 } 
Divisores Comuns: { 1, 2, 3, 6 } 
 
MDC ( 18, 30, 42) = 6 
 
 PROCESSOS PARA O CÁLCULO DO MDC 
 
1º Processo: Decomposição de fatores primos em 
separado. 
a) Decompõem-se os números em fatores 
primos; 
b) Toma-se o produto dos fatores primos 
comuns, elevados ao menor de seus 
expoentes; 
 
2º Processo: Decomposição de fatores primos em 
conjunto. 
a) Decompõem-se em fatores primos, dividindo 
os números somente pelos fatores comuns. 
b) Toma-se o produto desses fatores primos 
comuns. 
 
3º Processo: Divisões sucessivas ou Algoritmo de 
Euclides. 
a) Divide-se o maior número pelo menor. Depois 
o menor número pelo resto da divisão. Em 
seguida o resto da primeira divisão pelo resto 
da segunda divisão, o resto da segunda 
divisão pelo resto da terceira divisão, e assim 
sucessivamente até encontrar uma divisão 
exata. 
b) O último divisor encontrado é o máximo divisor 
comum. 
 
 CONSEQUÊNCIAS DO MDC 
 
1ª) O MDC entre dois ou mais números primos 
entre si é 1. 
mdc (15,28) = 1 
mdc (9, 16, 25) = 1 
 2ª) O MDC entre dois ou mais números, em que 
os maiores são divisíveis pelo menor, é o 
menor número inteiro. 
mdc (50, 150) = 50 
mdc (70, 210, 280) = 70 
3ª) Os divisores comuns de dois ou mais números 
são os divisores do MDC entre esses 
números. 
D(18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18} 
D(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} 
 
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D(42) = {1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42} 
mdc (18, 30, 42) = 6 
Os divisores comuns a 18, 30 e 42 são os 
divisores de 6. D(6) = { 1, 2, 3, 6} 
4ª) Multiplicando-se ou dividindo-se dois ou mais 
números por um mesmo valor, o MDC entre 
eles ficará multiplicado ou dividido, 
respectivamente, por esse valor. 
mdc (24, 36) = 12 
Multiplicando-se os números por 4, o MDC 
ficará multiplicado por 4. 
mdc (96, 144) = 12 x 4 = 48 
Dividindo-se os números por 3, o MDC ficará 
dividido por 3. 
mdc (8, 12) = 12 : 3 = 4 
 EXERCÍCIOS 
1. Calcule o m.d.c dos números abaixo: 
a) m.d.c ( 24 , 30 ) 
b) m.d.c ( 60 , 100 ) 
c) m.d.c ( 90 , 135 , 180 ) 
d) m.d.c ( 54 , 108 , 144 ) 
 
2. Deseja-se cortar três barras de ferro de 
comprimentos 18m, 12m e 9m em pedaços de 
mesmo comprimento e de modo que este 
comprimento seja o maior possível. Quantos 
pedaços serão obtidos? 
 
3. Duas peças de tecidos devem ser cortadas em 
pedaços de tamanhos iguais, sendo este 
tamanho o maior possível. Se uma peça tem 
90 metros e a outra 78 metros, de que 
tamanho será cada pedaço? 
 
4. O M.D.C de dois números é 13. Na procura 
desse M.D.C pelo processo das divisões 
sucessivas os quocientes obtidos foram 1, 2, 3 
e 5 respectivamente. Determine a soma 
desses dois números. 
 
5. Multiplicando-se dois números naturais não nulos 
por 3, o seu mdc: 
a) fica multiplicado por 3; 
b) fica dividido por 3; 
c) aumenta em 3; 
d) não se altera; 
 
6. Verifique se as sentenças a seguir são 
verdadeiras ou falsas. 
Todo número divisível por 3 é divisível por 9. 
Todo número múltiplo de 2 é divisível por 4. 
Todo número divisível por 10 é divisível por 2. 
Todo número divisível por 9 é divisível por 3. 
 Todo múltiplo de 15 é divisível por 5. 
 
7. Seja 12XY um número de quatro algarismos 
distintos, onde X e Y são, respectivamente, os 
algarismos das dezenas e das unidades. 
Se Y < 5 e 12XY é múltiplo de 6, então a 
 
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quantidade de valores que 12XY pode assumir 
é: 
a) 4 
b) 5 
c) 6 
d) 7 
 
8. Complete corretamente: 
 3 2 1 2 
 13 
 0 
 
 2 3 5 
 12 
 0 
 
 2 1 2 3 
 7 
 0 
 
9. Substitua a e b por algarismos tais que o 
M.D.C de 2a . 3² . 45 e 2³ .5b . 7² seja 100. 
 
 
10. Achar todos os divisores comuns aos números 
468, 396 e 252. 
 
 
11. Calcule o M.D.C entre X, Y e Z. 
X= 3² . 5 . 7 
Y= 2 . 3 . 5² . 7 
Z= 5² . 7² 
 
12. Determinar os dois menores números pelos 
quais devemos dividir 144 e 160, a fim de 
obter quocientes iguais. 
 
13. Pedem-se os 3 menores números pelos quais 
devem ser divididos, respectivamente, os 
números 2.480, 1320 e 1640, para que os três 
quocientes obtidos sejam iguais. 
 
14. Calcule o m.d.c dos números abaixo: 
3 2 2
2 2 2
4 3
A = 2 . 3 . 5 . 7
B = 2 . 3 . 5 . 7 . 11
C = 2 . 3 . 5 . 11