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<p>72 ÁLGEBRA LINEAR Determinante e Matriz Inversa 73 Note que na primeira passagem usamos a sétima propriedade ao somarmos a se- Vamos efetuar, neste exemplo, A gunda coluna multiplicada por 2 à primeira coluna. Nosso intuito foi o de obter uma segunda linha com apenas um elemento não nulo, e então abaixar a ordem do determinante, usando menos cálculos. Seguindo este raciocínio, você 0 1 0 0 =-19 0 1 19 pode também obter o determinante inicial, por exemplo, igualando o último elemento da primeira linha a zero. Além disto, podemos verificar que det = resultado não foi obtido por acaso, mas é válido para toda matriz quadrada A de ordem n. 3.5.2 Teorema: 3.5 MATRIZ ADJUNTA - MATRIZ INVERSA Para demonstrarmos esta proposição, usamos a propriedade (v), segundo a Dada uma matriz A, lembramos que o cofator Aii do elemento da matriz é det Aij, onde é a submatriz de A, obtida extraindo-se a i-ésima linha qual o determinante de uma matriz que tem duas linhas (colunas) iguais é zero. e o desenvolvimento de Vamos fazê-la esquematicamente, para matrizes e j-ésima coluna. Com estes cofatores podemos formar uma nova matriz A, de- 3 X 3. A demonstração é a mesma para matrizes n X n. nominada matriz dos cofatores de A. Prova: a13 a22 A12 A22 = 2 0 A13 A = -3 4 165 Calculando os elementos Cii, achamos que 1 4 = det A. -19 C12 + + -3 4 = 19, etc. Usando o desenvolvimento de Laplace em relação à segunda linha, temos: A12 = det -19 -5 4 -8 19 10 -19 -11 5 = a33 pois duas linhas são iguais. Analogamente, det A e Cij = 0 se Então 3.5.1 Dada uma matriz quadrada A, chamaremos de matriz adjunta de A det A 0 0 à transposta da matriz dos cofatores de A. = 0 det A = = 0 0 det A No exemplo anterior 3.5.3 Definição: Dada uma matriz quadrada A de ordem n, chamamos de -19 -5 4 inversa de A a uma matriz B tal que A A = In, onde In é a matriz adj A = identidade de ordem Escrevemos para a inversa de A. -19 -11 5</p><p>74 ÁLGEBRA LINEAR Determinante e Matriz Inversa 75 ou seja, A B = I. Também 3.5.4 Exemplos Exemplo 1: 4 -3 2 11 6 4 = 0 1 0 Seja = 2 Então = 5 5 5 5 2 ou seja, portanto, pois A = (Verifique!) B = 2 -1 3 Exemplo 2: Seja A = 6 4 2 é a inversa da matriz A. Observações: Procuremos sua inversa, isto é, i) Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem, ambas inversíveis (isto é, existem e B-1), então A B é inversível e B = tal que . = De fato, basta observar que = = I e que, analogamente Impondo a primeira condição, ii) Se A é uma matriz quadrada e existe uma matriz B tal que BA = I, 11 6 4 2 a 1 0 então A é inversível, ou seja existe e, além disso, A B Em outras palavras, basta verificar uma das condições para a inversa de uma matriz, e esta será única. 6a + 2c 6b + 2d = 1 A prova da primeira parte, ou seja, de que existe, será feita em 11a + 4c 11b + 4d 3.8.6. Por ora, mostraremos apenas que B = De fato, se existe, temos a seguinte B = BI = = = = Portanto, iii) Nem toda matriz tem inversa. 6a + 6b + 2d = 0 e 11b + 4d = 1 Por exemplo, para que não tem inversa, é suficiente mostrar Resolvendo os sistemas, temos a=2 mostrar que equação matricial 0 não tem solução. a Isto é verdade, pois Teremos então, 2c 2d d = 1 0 I 11 6 4 2 2 = implica que 2c = e não podemos ter estas igualdades simultanea- mente.</p><p>Determinante e Matriz Inversa 77 76 ÁLGEBRA LINEAR 3.6 REGRA DE CRAMER Suponhamos agora que Anxn tenha inversa, isto é, existe tal que A = In. Usando o determinante temos cálculo da inversa de uma matriz fornece um outro método de resolução de = det A det e sistemas lineares de equações. Este só se aplica a sistemas lineares em que o nú- Então mero de equações é igual ao número de incógnitas. Suponhamos que desejásse- det A det = mos resolver o sistema linear de n-equações e n-incógnitas. Desse produto concluímos que se A tem inversa, i) det A # 0 1 e + + = bn det A Ou seja, det A # 0 é uma condição necessária para que A tenha uma inversa, Podemos escrever este sistema na forma matricial Vamos ver que esta condição também é suficiente. Já vimos em 3.5.2 que b A = (det A)I. Se det A # 0, A det A = I e como a inversa é : ca. então = 1 ... ann Xn bn det A ou Em resumo: onde 3.5.5 Teorema: Uma matriz quadrada A admite uma inversa se, e somente se det A 0. A = : é a matriz dos coeficientes e Neste caso: ann = det A Este resultado nos fornece um novo método de calcular a inversa de uma : é a matriz dos termos independentes, e matriz. Consideremos a matriz do Exemplo 2 anterior: bn Xn A = 11 6 4 2 a matriz das incógnitas. Para esta equação suponhamos que det A # 0 e por- tanto, que A tenha a inversa Então a inversa de A. Calculemos sua = = inversa pela relação = det A (adj A). -2 4 -11 6 e A = -11 4 -2 6 Na forma matricial -1 ain b Então -1 = = -11 -2 6 = 11 2 3 = an ann bn Xn</p><p>Exemplo : 2 3 C = 3 1 2 3 Encontre a do C. Compartilhado por Leitor de PDF. Com ele, é muito fácil e conveniente visualizar e editar PDFs.</p><p>Baixe de graça</p>