Gabarito - EUF 2018/2

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EUF 
Exame Unificado 
das Pós-graduações em Física 
Para o primeiro semestre de 2019 
 
 
 
 
 
 
 
Gabarito 
 
 
 
 
Q1. 
a) Conservação do momento linear: 
 
 
1 1 2 2 1 1 2 2
0 1 2
2 0 1
0 ( ) 2
2 1
i f ix fx i i f f
f f
f f
p p p p m v m v m v m v
m v mv mv
v v v
      
   
  
 
 
 
Conservação da energia: 
 
 
2 2 2 2
1 1 2 2 1 1 2 2
2 2 2
0 1 2
2 2 2
0 1 2
1 1 1 1
2 2 2 2
1 1 10 2
2 2 2
2 2
c c i i f fi f
f f
f f
E E m v m v m v m v
mv mv mv
v v v
    
  
 
 
 
 
(1) em (2): 
 
 
 
22 2 2 2 2
0 1 0 1 1 0 0 1 1
2
1 0 1
1 1 0
1
1 0
2 2 2 4 4
6 4 0
(3 2 ) 0
0 (o bloco 2 passa pelo bloco 1 sem colidir)
ou
2 3
3
f f f f f
f f
f f
f
f
v v v v v v v v v
v v v
v v v
v
v v
      
 
 

 
 
 
(3) em (1): 
 
2 0 1 0 0 0
2 12 2
3 3f f
v v v v v v          
 
 
Os vetores ficam: 1 0 2 0
2 1ˆ ˆx e x
3 3f f
v v v v    
 
b) Conservação da energia: 
2
2 2
1 1 0
1 1 1 22
2 2 2 3m f
k x m v m v       
0
2 2
3m
mx v
k
 
 
 
 
c) Teorema do trabalho-energia cinética: 
 
2
2 2 2
2
0
2 2
0
0
0
1
2
cos
181 1cos 1
2 3 cos cos 18
peso atrito cf i i
f
W W E E E
m gh Nd m v
N mg
v gh
vhmgh mgd m v
gd d gh


  
 
    
   

                 
 2
0 1
18
vtg
gh
     
 
 
 
 
d) 
 
 
 
Q2. 
a) Energia potencial: 
ˆ ˆ( ) ( ) x x
(0) 0 :
r r r
ref ref ref
V r F r d m d m d
V
            

  
        
 
0
( )
x
V r m dx m x    
 
 
b) Equação do vínculo: ( ) ,t t cte      . 
A força de vínculo é a força aplicada pela barra. 
Note que a força é normal à barra, visto que não há atrito. 
 
c) Energia cinética: 2 2 2 2 2 21 1 1 1
2 2 2 2
T mr mr mr mr      
Energia potencial:  cos cosV m x m r m r t            
Lagrangiana:  2 2 21 1 cos
2 2
L T V mr mr mr t        
 
 
Equação de movimento:  2; cosL Lmr mr m t
r r
       
 


 
 20 cos 0d L L mr mr m t
dt r r
                    


 
 
 2 cosr r t      
 
d) Solução da equação de movimento: 
 
 
1 2
2
2 2
0 0
0
( )
(0)
(0) 0 0 2
t t t t
r r
r t Ae Be Ae Be
r a A B a
r A B A B a
   
 
   


   
    
   
   
      


 
 
 ( ) cosh
2
t te er t a a t
 

   
 
 
 
Note que (0) 0 ( )t t       
 
Q3. 
a) Equação de Schrödinger em duas dimensões: 
     
2
2 , ( , ) , ,
2
0 dentro da caixa.
x y V x y x y E x y
m
V
      


 
     
2 22
2 2
, ,
,
2
x y x y
E x y
m x y
    
      

 
 
b) 
   
 
 
   
 
   
 
22 2
2 2
2
2
2
2
2
2
, ( )
1 1 ( )
2
1 sen( )
0 0 , 1, 2...
1 sen( )
0 0 , 1,2...
, sen sen
x x
x
x x
y y
y
y y
yx
x y x y
x y E
m x y
k x A k x
x
na k n
a
k y B k y
y
n
b k n
b
n yn xx y AB
a b
 
 
 
 

 
 


 

 
       
    

    
    

    
         

 
 
Normalização: 
 
   
 
 
*
0 0
2 2 2
0 0
2
, , 1
sen sen 1
21
2 2
a b
a b
yx
dx dy x y x y
n yn xAB dx dy
a b
a bAB AB
ab

  
        
         
 
  
 
  2, sen sen , , 1,2...
x y
yx
n n x y
n yn xx y n n
a bab
          
 
 
 
2
2 2 2 2
2
2
2x y x y
mEk k E k k
m
    

 
222 2
2 22x y
yx
n n
nnE
m a b
      
 
 
 
c) 
 
2 2
11 2 2
2
11 2 2
2 2
2
11
1 1
2
Probabilidade
Se , estiver normalizada, então 1, e
Probabilidade
E
m a b
C
C D
x y C D
C
     


  


 
 
2 2
12 2 2
2
12
1 4
2
Probabilidade
E
m a b
D
     


 
 
d) Não, pois é um estado de superposição de auto-estados de energias diferentes. 
 
       
11 12
ˆ
11 12, , , , 0 , ,
E EHi t i t i t
x y t e x y t Ce x y De x y
  
          
 
 
 
Q4. 
a) Lei de Wien: 
1
3
max 1 2,898 10 m KT W    
 Do gráfico, 
 
1
-6
max 3000 nm 3,0 10 m   
 
3
1 -6
2,898 10 m K 966K
3,0 10 m
T
  
 
 
b) 
 
4
48 4
2 4 2
W W5,67 10 966 K 4,9 10
m K m
T
T
R T
R



    
 
 
c) 
4
2
6000 8000 6000 8000
total
6000 8000
total
W4,9 10
márea grf 
área grf
área grf 4
área grf 31
R  






 
 
4 3
6000 8000 2 2
4 W W4,9 10 6,3 10
31 m m
R      
 
 
 
d) 
2 13T T 
 
A Lei de Wien resulta em: 
 
1 1 1
1
max 1 max 2 2 max 2 max max
2
1
3
TT T
T
       
 
max 2
3000 nm 1000 nm
3
   
 
 
Q5. 
a) Expansão livre: 0, 0 0Q W U     
Gás ideal: ( ) 0U U T T    
 0 0 1 1 1 05T cte PV PV P V    
1 0 5P P 
 
 
b) Processo reversível ligando (0) a (1): expansão isotérmica 
1
0 1
0
, pois 0.
ln
dQ PdVdS dU
T T
P nR dV VdS nR S nR
T V V V
  
 
       
 
 
     0 1 J2 mols ln 5 16,6 ln 5 KS R   
 
 
c) 
   
1 1
2/50
0 0 0
1 2/5
5 5
5
5 5 1 2 / 5
f fPV P V
P V P V
 
 
 


   
 
 
7 5 1,4   . O gás é diatômico. 
 
 
d) 
2/ 5
0 0
0 0 0 0
5
f f
V V
i i
f f f
i
U T
U C T nc T
U T
U P V PV
U PV PV
   
 
 
 
2/ 55 1,9f
i
U
U
  
 
 
Q6. 
a) 
 
2 2
2
; ;
4
2 2 2
B
B
B
dI
R dt
t d a B a Ba B
dt
 
    
 
 
        
 
2
2
a BI
R
 
 
b) 
- sentido horário: + (corrente positiva); 
- sentido anti-horário: - (corrente negativa) 
- espira entrando na região de campo 
magnético: aumenta 0B I   
- espira saindo na região de campo magnético:
diminiu 0B I   
2T 

 
 
c) 
4 2 2
2
4 2 2
0
nos trechos em que 0
4
2 1( ) 2
8 4 4 4
T
dissipada
a BP RI I
R
T PT a BE P t dt P
R

 

  
   
 
4 2
8dissipada
a BE
R
  
 
d) 
(o vetor torque entra no plano do papel)
dF Id B
dN r dF
 
 
 

 
 
No arco o torque é nulo. No raio .d dr
dN rdF r Id B IBrdr

  



 
 
2 2 4
0
4
2 4
4
a IBa B aN IB rdr
R
BaN B
R


  



  
 
Q7. 
a) 
No interior do condutor, 0 [0,1 pt]E 

 e V cte . 
Por continuidade, ( ) ( )V r R V r R A R    . 
 
b) 
2 2
ˆ ˆ( ) ( ) A AE r V r r r
r r
        
   
1
1 1 2
2
2 2 2
ˆ( ) ( )
ˆ( ) ( )
AD r E r r
r
AD r E r r
r


 
 
  
   
 
c) 
Lei de Gauss para o vetor deslocamento elétrico: 
 ˆ ˆ
ˆ ˆ0
fora dentro
S
dentro fora forar R r R
D nda Q D D n
D D n D r

 
     
     
  

  
  

 
1
1 1 2
2
2 2 2
ˆ
ˆ
r R
r R
AD r
R
AD r
R




  
  



 
 
d) 
ˆ
ˆ ˆ ˆComo e , 0
Pi i
i Pi
P n
P r n r


 
 


 
 
 
Q8. 
a) 
O elemento ij da matriz Hˆ é dado por ˆi H j . Assim, 
1
2
1
0
ˆ 0 0
0
E W
H E
W E
 
   
  
. 
b) 
Autovalores: 
     
1
2 2
2 1 2 2
1
0
0 0 0 0
0
E W
E E E W E
W E

   


       
 
1 1
2 2
3 1
E W
E
E W



 
 
  
 
 
Autovetores: 
ˆ ; 1 2 3H           
 
 
 
 
  
1 1
1 1 1
2 1 2 1
1 1 1
:
0 qq.
0 0 0
0 qq.
E W
E W E W E W
E E W E E W
W E W E E W
 
      
    
      
  
          
                                 
 
1
1 3
2
  
 
 
2 2
1 1 2
2 2 2 2
1 1 2
:
0 0
0 0 qq.
0 0
E
E W E W E
E E E E
W E W E E
 
      
    
      
 
         
                              
 
2 2 
 
 
 
 
  
3 1
1 1 1
2 1 2 1
1 1 1
:
0 qq.
0 0 0
0 qq.
E W
E W E W E W
E E W E E W
W E W E E W
 
      
    
      
  
           
                                  
 
3
1 3
2
  
 
c) 
Na base  1 2 3, ,   o elemento ij da matriz 0Hˆ é dado por 0ˆi jH  . 
 
Partindo da base  1 , 2 , 3 : 
1 1
0 1 2 1 1 1
1 1
0 0 1 2 2 1 2
ˆ 0 0 0 0 0
0 0 1 2 2 1 2
E E
H E E E
E E
 
      
               
              
 
1
0 2 2 2 2 2 2
1
0 0 0 0 0
ˆ 0 0 1 1
0 0 0 0 0
E
H E E E E
E
 
       
                 
               
 
1 1
0 3 2 1 1 3
1 1
0 0 1 2 2 1 2
ˆ 0 0 0 0 0
0 0 1 2 2 1 2
E E
H E E E
E E
 
      
               
                 
 
 
Assim, na base ortonormal  1 2 3, ,   , 
1
0 2
1
0 0
ˆ 0 0
0 0
E
H E
E
 
   
  
, ou 0 1 1 1 2 2 2 1 3 3Hˆ E E E        
 
 
 
d) 
Possibilidades de degenerescência: 
1 2 1 2 2 1
1 3 1 1
2 3 2 1 1 2
0
E W E W E E
E W E W W
E E W W E E
 
 
 
      
      
       
 
Os valores não nulos de W que geram degenerescência são 
 2 1W E E  e  1 2W E E  . 
 
 
Q9. 
a) 
 
12
2
0 9
0
1/ 22
1/ 22 2
5 10 eV 5000
1 10 eV
11 1 1 1
2
EE mc E
E
v v
c c
  
  

 
     

               

 
  22 81 1 5000 2 10
2 2
       
 
b) 
Conservação do momento: 
; 0 0i f i iA iB fP P P p p P     
    
 
X está em repouso em S. 
 
Conservação da energia: 
2
2
(repouso)
X A B A
X X
E E E E
E m c
  

 
2
2 A
X
Em
c
 
 
c) 
Conservação do momento: 0 0 (1)Y Ym v m v   
Conservação da energia:
   2 2 20 0 0 0
1
1 (2)Y Y Ym c m c m c m m m m
   

       
 
 
 
 
0 0 0 0
22 2
2 0
2 2 2
2
2 22 2
20
2
1
(2) em (1): 1
1
Mas 1 1
1 1 1 21 1
1 111 e 1
2
1
Y Y
Y
m v m v v v
vv
c c
v
c
 


   
  







   

                               
 

 
 
   0 0
1 2Novamente em (2): 1
1Y
m m m
 
 

  
 
 
  02 1Ym m  
Q10. 
a) 
Energia dos microestados para um par de íons:
 
 1 2 1 2
1 2 1 2
,
1 1 2
1 1 2
1 1
1 1
B
B B
E
J h
E J h J h
J
J
   

     
   
       
  
  
 
 
 
     1 2
1 2
, 2 2 2 2
,
2 2B B B BE J h J h h hJ J JparZ e e e e e e e e
          
 
              
 
 2 cosh 2J Jpar BZ e e h      
b) 
Para 2 pares de íons: 
 
 
   
 
 
 
 
 
 
 
1 2 3 41 2 3 4
1 2 3 4 1 2 3 4
1 2 3 4 1 2
1 2 3 4 1 2
, ,, , ,
2
, , , , , ,
2
, , , 2
, , ,
E EE
pares
E E E
par
Z e e
e e e Z
        
       
        
     
    
  
  
 
     
 
  
 Para N/2 pares de íons: 
 
  
/ 2
/ 2
/ 2
/ 2 2 cosh 2
N
N pares par
NJ J
N pares B
Z Z
Z e e h  

   
 
c) 
   
 
 
ln ln 2 cosh 2
2
2 senh 2 2
2 2 cosh 2
J J
B B B
J
B B
B J J
B
Z NM k T k T e e h
h h
e hNM k T
e e h
 

 

 



       

  
 
 
 
senh 2
cosh 2
J
B
B J J
B
e h
M N
e e h

 



  
 
d) 
0
Como sinh(0) 0, lim 0
h
M

  
Não pode representar um material ferromagnético, pois não há magnetização residual 
(ou espontânea).