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Taxa Nominal e Efetiva
A taxa nominal é quando o período de formação e incorporação dos juros ao capital não coincide com aquele a que a taxa está referida. se baseia no valor inicial que foi emprestado para o cliente logo no começo da transação, e não é composta por juros compostos, Por exemplo, podemos ter uma taxa anual, mas com os juros sendo calculados e acrescidos mês a mês. 
São exemplos de taxas nominais:
Exemplo 1:
Uma taxa de 15% a.a., com capitalização mensal, terá 16.08% a.a. como taxa efetiva. Acompanhe a explicação:
Como um ano tem 12 meses, a taxa mensal seria a taxa anual dividida por 12:
15/12 = 1,25
Nos 12 meses de capitalização, teríamos:
(1+1,25/100)12 = 1,012512 = 1,1608 = 16.08% a.a.
Exemplo 2:
A taxa é se eu fiz um investimento de R$ 3.000,00, que paga 20% ao ano. No final do primeiro ano eu resgatarei o meu montante bruto, que será de R$ 3.600,00. Neste caso, a taxa aqui é os 20% ao ano, ou seja, foi o que o banco disse que iria pagar e ele o fez.
Portanto, o banco está aparentemente me pagando 20% ao ano.
3 anos = 36 meses
14% a.a. = 1,167% a.m.
Exemplo 3:
Um banco, ao realizar um empréstimo, oferece taxas pré-estabelecidas, emprestando R$ 10 000,00 receberá, no prazo máximo de um ano, o valor de R$ 13 000,00. Se a inflação do período foi de 3%. Determine a taxa real de juros do empréstimo?
13 000 – 10 000 = 3 000
3 000 / 10 000 = 0,3 → 30%
Taxa nominal (in) = 30%
A taxa de juros efetiva é uma das taxas de juros mais significativas do mercado financeiro.Cada modalidade de juros possui uma forma específica de cálculo e periodicidade.A taxa de juros efetiva, por sua vez, é instituída pelos juros compostos vindos das taxas nominais e declaradas.
Esses juros incidem em um período proporcional ao da formação e incorporação de juros ao capital. Com isso, essa taxa possibilita uma demarcação do real custo de uma transação, sendo muito usada no mercado financeiro.
Explicando de um jeito mais simples: quando o período da taxa referida é igual ao dos juros cobrados, estamos falando de uma taxa de juros efetiva. Ela pode ser calculada em diferentes períodos: diário, semanal, mensal, semestral ou anual.
Exemplo 1:
Um agiota empresta Cr$ 20.000,00 para receber Cr$ 30.000,00 no final de seis meses. Entretanto, no ato, paga a um intermediário uma comissão de 5% sobre o valor emprestado, ou seja, Cr$ 1.000,00. Taxa efetiva =  =  = 0,42857 ou 42,857%
Exemplo 2 :
 Um cliente tomou um empréstimo com as seguintes características:
 Valor = R$ 1.000,00;
 Taxa de juros compostos = 4% a.m.
 Prazo = 3 meses. S = P x (1 + i)n
S = 1000 x (1 + 0,04)3
S = 1.000 x 1,124864
S = 1.124,86
S = P + J
1.124,86 = 1.000 + J 
J = 124,86
Exemplo 3:
Dada a taxa efetiva de 48% a.a., determinar a taxa equivalente ao mês, ao trimestre e ao semestre. 
Dados: ia= 48% a.a.
(1 + ia ) = (1 + is)^2 = (1+ it )^4 = (1+im )^12 = (1+id )^360
i =(1 + ia )^1/12 - 1 = 3,32% a.m.
i =(1 + ia )^1/4 - 1 = 10,30% a.t.
i =(1 + ia )^1/2 - 1 = 21,66% a.s.
 TAXAS equivalentes 
Taxas Equivalentes são taxas que quando aplicadas ao mesmo capital, num mesmo intervalo de tempo, produzem montantes iguais. Essas taxas devem ser observadas com muita atenção, em alguns financiamentos de longo prazo, somos apenas informados da taxa mensal de juros e não tomamos conhecimento da taxa anual ou dentro do período estabelecido, trimestre, semestre entre outros. Uma expressão matemática básica e de fácil manuseio que nos fornece a equivalência de duas taxas é:
1 + ia = (1 + ip)n, onde:
ia = taxa anual
ip = taxa período
n: número de períodos
Observe alguns cálculos:
Exemplo 1:
Qual a taxa anual de juros equivalente a 2% ao mês?
Temos que: 2% = 2/100 = 0,02
1 + ia = (1 + 0,02)12
1 + ia = 1,0212
1 + ia = 1,2682
ia = 1,2682 – 1
ia = 0,2682
ia = 26,82%
A taxa anual de juros equivalente a 2% ao mês é de 26,82%.
Exemplo 2:
Qual a taxa mensal de juros equivalentes a 0,1% ao dia?
Temos que: 0,1% = 0,1/100 = 0,001
1 + im = (1 + 0,001)30
1 + im = 1,00130
1 + im = 1,0304
im = 1,0304 – 1
im = 0,0304
im = 3,04%
A taxa mensal de juros equivalente a 0,1% ao dia é de 3,04%.
Exemplo 3:
Determine a taxa de juros anual correspondente a uma taxa de 3% ao trimestre.
Temos: 3% = 3/100 = 0,03
(1 + ia) = (1 + 0,03)4
(1 + ia) = 1,034
ia = 1,1255 – 1
ia = 0,1255
ia = 12,55%
 Juros simples
Juros simples é uma remuneração dada a alguém pela aplicação de seu capital em um determinando período. Esse regime de juros é calculado aplicando uma taxa em relação ao capital aplicado inicialmente.
É muito utilizado do dia a dia quando emprestamos dinheiro a outra pessoa, por exemplo.
Ao emprestarmos queremos receber uma quantia a mais pelo empréstimo e isso nada mais é do que uma vantagem que queremos pelo empréstimo. Uma espécie de: te empresto, mas quero que me pague a mais por isso.
A pessoa que empresta a outra certa quantia, recebe uma remuneração a mais além do valor emprestado, e isso é o que denomina juros.
Devemos aplicá-lo a uma transação considerando essas quatros variáveis:
 Capital: é o valor aplicado;
Juros: é o acréscimo que recebe pelo valor aplicado;
Tempo: o tempo que é dado para receber o valor aplicado de volta mais os juros;
Taxa: taxa aplicada, em porcentagem, que determina a quantidade de juros incidente sobre o capital inicial.
Exemplo 1:
Qual o valor do montante produzido por um capital de R$ 1.200,00, aplicado no regime de juros simples a uma taxa mensal de 2% durante 10 meses?
Capital: 1200
i = 2% = 2/100 = 0,02 ao mês (a.m.)
t = 10 meses
J = C * i * t
J = 1200 * 0,02 * 10
J = 240
M = C + j
M = 1200 + 240
M = 1440
O montante produzido é de R$ 1.440,00
Exemplo 2:
Determine o valor do capital que, aplicado durante 14 meses a uma taxa de 6%, rendeu juros de R$ 2.688,00.
J = C * i * t
2688 = C * 0,06 * 14
2688 = C * 0,84
C = 2688 / 0,84
C = 3200
O valor do capital é de R$ 3.200,00.
Exemplo 3:
Qual o capital que, aplicado a juros simples de 1,5% ao mês, rende R$ 3.000,00 de juros em 45 dias?
J = 3000
i = 1,5% = 1,5/100 = 0,015
t = 45 dias = 45/30 = 1,5
J = C * i * t
3000 = C * 0,015 * 1,5
3000 = C * 0,0225
C = 3000 / 0,0225
C = 133.333,33
O capital é de R$ 133.333,33.
 Juros compostos
Os juros compostos são recorrentes nas relações comerciais, nas compras parceladas a longo prazo, nos investimentos, nos empréstimos e até mesmo no simples atraso do pagamento de contas. O juros pode ser um aliado ou um vilão. É importante dominar os fatores que influenciam o seu cálculo, que são o capital, a taxa de juros, o tempo e o montante.
Ao comparar o juros composto com o juros simples, precisamos entender que o primeiro é calculado sempre sobre o valor do exercício anterior, já o segundo é calculado sempre em cima do valor inicial. O juros composto terá maior crescimento com o passar do tempo, em comparação com o juros simples.
1. Capital (C): é o primeiro valor investido. Conhecemos como capital o valor inicial da negociação, ou seja, ele é o valor de referência para calcularmos os juros com o passar do tempo.
2. Juros (J): é o valor de compensação para o rendimento. Quando uma instituição financeira faz um empréstimo, ela está abdicando-se de estar com esse dinheiro em um determinado prazo, porém, quando ela for recebê-lo, seu valor será corrigido pelo que chamamos de juros, e é com base nele que a empresa vê uma compensação pelo empréstimo. Em um investimento, trata-se do valor dos rendimentos adquiridos.
3. Taxa de juros (i): é a porcentagem cobrada em cima do capital a cada instante. Essa taxa pode ser ao dia (a.d.), ao mês (a.m.), ao bimestre (a.b.) ou ao ano (a.a.). A taxa de juros é uma porcentagem geralmente representada na forma percentual, porém, para calcular-se o juros composto, é importante escrevê-la sempre na forma decimal.
4. Tempo (t): é o tempo em que o capital ficará aplicado. É importante que a taxa de juros (i) e o tempo (t) estejam sempre na mesma unidade de medida.
5. Montante (M): é o valor final da transação. O montante é calculado pela somado capital com os juros — M = C + J.
Exemplos: Um capital de R$1400 foi aplicado a juros compostos em um fundo de investimento que rende 7% a.a. Qual será o juros acumulado após 24 meses
M = C (1 + i) t
Exemplo 1:
Um capital de R$1400 foi aplicado a juros compostos em um fundo de investimento que rende 7% a.a. Qual será o juros acumulado após 24 meses?
M = 1400 (1 + 0,07)²
M = 1400 (1,07)²
M = 1400 . 1,1449
M = 1602,86.
Para encontrar o juros temos que:
J = M – C
1602,86 – 1400 = 202,86
Exemplo 2:
Qual o montante produzido por um capital de R$ 2.000,00, aplicado a juros compostos de 2% ao mês, durante um ano?
Dados
M = ?
C = 2000
i = 2% = 2/100 = 0,02
t = 1 ano = 12 meses (pois a taxa é ao mês)
M = C* (1 + i)t
M = 2000* (1+0,02)12
M = 2000 * 1,0212
M = 2000*1,268242
M = 2.536,48
O montante produzido ao final de um ano será de R$ 2.536,48.
Exemplo 3:
Qual deve ser o capital que, no sistema de juros compostos, à taxa de 4% ao mês, gera um montante de R$ 12.154,90 ao final de 1 ano e 6 meses?
M = 12.154,90
C = ?
i = 4% = 4/100 = 0,04
t = 1 ano e 6 meses = 18 meses
M = C* (1 + i)t
12.154,90 = C * (1 + 0,04)18
12.154,90 = C * 1,0418
12.154,90 = C * 2,0258
C = 12.154,90 / 2,0258
C = 6.000
O capital será de R$ 6.000,00.
 
 
Descontos simples comercial e bancário
No sistema financeiro, as operações de empréstimo são muito utilizadas pelas pessoas, tais movimentações geram ao credor um título de crédito, que é a justificativa da dívida. Esses títulos possuem datas de vencimento pré-determinadas, mas o devedor tem o direito de antecipar o pagamento; caso isto aconteça, um abatimento chamado de desconto é efetuado. Existem vários produtos utilizados nas operações financeiras, como principais temos:
Duplicata: papel emitido por pessoas jurídicas contra clientes físicos ou jurídicos, especificando vendas de mercadorias com prazo ou prestação de serviços a serem pagos mediante contrato firmado entre as partes.
Nota promissória: título que comprova uma aplicação com vencimento determinado. Este produto é muito utilizado entre pessoas físicas e ou pessoas físicas e instituições financeiras credenciadas.
Letra de câmbio: como a promissória, é um título que comprova uma aplicação com estabelecimento prévio do vencimento. No caso da letra, o título ao portador somente é emitido por uma instituição financeira credenciada.
Ao descontar um dos títulos citados ou qualquer outro produto do mercado financeiro, são levadas em conta algumas condições:
Dia do vencimento: o dia estabelecido para vencimento do título.
Tempo ou prazo: diferença entre o dia do vencimento e o dia da negociação. Essa diferença costuma ser definida em dias.
Valor nominal: valor mostrado no título e que deve ser pago no dia do vencimento.
Valor atual: valor a ser pago ou recebido em data anterior ao vencimento. Comumente efetuado com desconto.
O desconto simples comercial pode ser calculado aplicando a seguinte expressão matemática:
d = N * i * n
Na expressão para cálculo do desconto simples temos:
d = valor do desconto
N = valor nominal do título
i = taxa de desconto
n = tempo (antecipação do desconto)
Com base na expressão para o cálculo do desconto, podemos estabelecer outra expressão matemática capaz de determinar o valor atual comercial, que é dado por:
A = N – d, lembrando que d = N * i * n.
A = N – N * i * n
A = N*(1 – i * n)
É importante ressaltar que as operações de desconto comercial devem ser efetuadas em períodos de curto prazo, já que em períodos longos o valor do desconto pode ser maior que o valor nominal do título.
Exemplo 1:
Um título de R$ 10 000,00 é descontado à taxa de 1,5% ao mês, faltando 25 dias para o vencimento. Determine:
a) o valor do desconto simples comercial.
b) o valor atual comercial do título.
Temos:
N = 10 000
n = 25
i = 1,5% = 1,5/100 = 0,015 ao mês = 0,0005 ao dia
a) d = N * i * n
d = 10 000 * 0,0005 * 25
d = 125
Desconto comercial de R$ 125,00.
b) A = 10 000 – 125
A = 9875
Valor atual, o desconto simples comercial será de R$ 9 875, 00.
Exemplo 2:
Um título no valor de R$ 4 800,00 foi resgatado anterior ao seu vencimento por R$ 4 476,00 e a taxa de desconto comercial utilizada foi de 32,4% ao ano. Determine o tempo de antecipação do resgate.
N = 4 800
A = 4 476
i = 32,4% a.a. = 32,4/100 = 0,324 a.a. = 0,324/12 = 0,027 a.m.
A = N*(1 – i *n)
4476 = 4800*(1 – 0,027 * n)
4476/4800 = 1 – 0,027n
0,9325 = 1 – 0,027n
0,9325 – 1 = – 0,027n
– 0,0675 = – 0,027n (multiplicar por –1)
0,0675 = 0,027n
0,0675/0,027 = n
n = 2,5
O tempo de resgate do título foi o correspondente a 2,5 meses ou 2 meses e 15 dias.
Exemplo 3:
Um título de R$ 6.000,00 vai ser descontado à taxa de 2,1% ao mês. Faltando 45 dias para o vencimento do título, determine:
a) O valor do desconto comercial;
b) O valor atual comercial
A) Dc = FV . Ia . N
Dc = 6.000,00 . (1 - 0,021 . 45/30)
Dc = 6.000,00 – 0,021 . 1,5
Dc = R$ 189,00
B) PVc = FV . (1 - ia. N)
PVc = 6.000,00 . (1 – 0,021 . 45/30 )
PVc = 6.000,00 . ( 1 – 0,0315)
PVc = 6.000,00 – 0,9685
PVc = R$ 5.811,00
Bibliográfia:
https://www.melhortaxa.com.br/entenda-o-credito/o-que-e-taxa-efetiva-e-quais-suas-caracteristicas/140828/
https://andrebona.com.br/taxa-de-juros-efetiva-entenda-o-que-e-e-conheca-outras-taxas-de-juros-existentes/
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/taxas-equivalentes.htm
https://matematicabasica.net/juros-simples/
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/juros-compostos.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/desconto-simples-comercial.htm
https://matematicafinanceira.webnode.com.br/capitaliza%C3%A7%C3%A3o%20simples/desconto-simples-comercial-ou-bancario-por-fora-/