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FORUM AVALIATIVO I 
Selecione três áreas (por exemplo: geologia, biologia e economia) e, para 
cada uma, elabore um estudo de caso em que as equações diferenciais são 
usadas para solucionar a situação problema apresentado. 
ÁREAS 
QUÍMICA 
 
A partir de resultados experimentais, elementos radioativos se desintegram a uma taxa 
proporcional à quantidade presente do elemento. Se Q = Q (t) é a quantidade presente de 
certo elemento radioativo no instante t, então a taxa de variação de Q (t) com respeito ao 
tempo t, denotada, é dada por: 
 
 
Onde k é uma constante que depende do elemento. O valor da constante k de um elemento 
radioativo pode ser determinado através do tempo de “meia-vida” do elemento. A “meia-
vida” é o tempo necessário para desintegrar metade da quantidade do elemento. Logo, se a 
meia-vida do elemento for conhecida, a constante k pode ser obtida e vice versa. A 
quantidade inicial do elemento radioativo é 
Q (0) = Q0. 
Percebemos mais uma vez que o problema apresentado recorre a uma equação diferencial 
que possui como solução uma função exponencial. Considerando a solução geral atribuída à 
equação diferencial que estuda o problema 
Q (t) = Q0 .𝑒−𝑘𝑡 
Podemos trabalhar sobre a meia-vida do elemento radioativo, através dos seguintes 
cálculos: 
 Q (0) = c .𝑒𝑘 .0 = 𝑐 ∴ 𝑐 =𝑄0 
E a partir daí, considerando a meia-vida, temos que 
1
2
𝑄0 = 𝑄0 . 𝑒
−𝑘𝑡 ∴ 𝑒−𝑘𝑡 =
1
2
∴ −𝑘 . 𝑡 = 𝑙𝑛 (
1
2
) ∴ 𝑡 ≅ −
𝑙𝑛 (
1
2)
𝑘
 
Para encontrar o tempo da meia vida do elemento parte da equação diferencial atribuída ao 
problema. 
EXEMPLO: 
 O isótopo Pb – 209 decai a uma taxa proporcional à Q (t) e tem meia-vida de 3,3h. se houver 
inicialmente 1g de chumbo, quanto tempo levará para que 90% decaia? 
Solução: 
A solução do problema se dará em diversas etapas, apesar da sua simplicidade, pois temos 
que deixar a menor quantidade de variáveis possíveis e o que nos interessa é deixarmos a 
quantidade presente do elemento em razão do tempo, apenas. 
Inicialmente, temos: 
𝑄 (0) = 1𝑔 𝑡 = 0 → 𝑄 (0) = 𝑐. 𝑒𝑘.0 = 𝑐 
𝑐 = 𝑄0 = 1 
1
2
= 1 . 𝑒𝑘.3,3 Meia-vida 3,3h 
𝑘. 3,3 = 𝑙𝑛 (
1
2
) 
𝑘 =
𝑙𝑛 (
1
2)
3,3
 
𝑘 ≅ −0,23 
Logo, como o valor de k foi negativo, constatamos o decaimento, daí, 
𝑄 (0) − 90% = 0,1𝑔 
0,1 = 1 . 𝑒−0,23.𝑡 
−0,23 . 𝑡 = 𝑙𝑛(0,1) 
𝑡 =
𝑙𝑛(0,1)
−0,23
 
𝑡 ≅ 11ℎ 
Temos, então, que após decorridas 11 horas, aproximadamente, chegamos na quantidade 
procurada. 
ECONOMIA 
Em muitas situações, o atual sistema financeiro utiliza o regime de juros compostos, pois ele 
oferece uma maior rentabilidade se comparado ao regime de juros simples. As modalidades de 
investimentos e financiamentos são calculadas de acordo com esse sistema, portanto é de 
grande utilidade estudá-lo. Aplicações financeiras baseadas em juros compostos podem ser 
modeladas por uma equação diferencial. Suponha que uma quantia de dinheiro é depositada 
em um banco que paga juros a uma taxa ao mês. 
O valor S (t) do investimento em qualquer instante depende tanto da frequência de 
capitalização dos juros, ou seja, da periodicidade em que os juros são aplicados, quanto da 
taxa de juros. Se supusermos que a capitalização é feita continuamente, pode-se montar um 
problema de valor inicial simples que descreve o crescimento do investimento. 
A taxa de variação do valor do investimento é dS/dt. Essa quantidade é igual a taxa segundo a 
qual os juros acumulam, que é a taxa de juros r, vezes o valor atual do investimento S (t). 
Então obtemos a equação diferencial de primeira ordem que descreve o processo: dS/dt=rS. 
Ao consideramos o atual sistema financeiro em que o mesmo utiliza do regime de juros 
compostos tendo em vista a oportunidade de maior rentabilidade se comparado ao regime 
de juros simples. Pensando nisso, é de suma importância fazermos um estudo das aplicações 
financeiras baseadas em juros compostos através de modelagem por uma equação 
diferencial. 
Para início de conversa, suponhamos a seguinte situação, onde a capitalização é feita de 
forma continua: 
“Determinada quantia é aplicada num banco que paga juros a uma taxa k ao mês. O valor de 
do investimento S (t) em qualquer instante t depende tanto da frequência de capitalização 
dos juros (periodicidade) quanto da taxa de juros”. 
Daí surge um problema de valor inicial cujo objetivo principal é descrever, então, o 
crescimento do investimento. 
A partir da situação apresentada, podemos agora pensar sobre a taxa de variação do valor do 
. Portanto, assim, do princípio de regulação do regime de juros investimento 
compostos, percebemos que a quantidade atribuída à taxa de variação é igual a taxa segundo 
a qual os juros acumulam, que é a taxa k vezes o valor atual do investimento. Ao relacionar 
todo esse processo, obtemos a equação diferencial a seguir: 
𝑑𝑆
𝑑𝑡
= 𝑘 . 𝑆(𝑡) 
Supondo que o valor inicial do investimento é S0, encontramos os valores para S (t) em 
qualquer instante t. veja: 
𝑑𝑆
𝑑𝑡
= 𝑘 . 𝑆(𝑡) 
𝑑𝑆
𝑆(𝑡)
= 𝑘 . 𝑑𝑡 
Integrando ambos os lados temos que 
∫
𝑑𝑆
𝑑𝑡
= ∫ 𝑘 . 𝑑𝑡 
𝑙𝑛|𝑆(𝑡)| = 𝑘𝑡 + 𝑐 
Aplicando a propriedade da função exponencial 
𝑆(𝑡) = 𝑒𝑘𝑡+𝑐 
𝑆(𝑡) = 𝑒𝑘𝑡. 𝑒𝑐 
Considerando que 𝑒𝑐 = 𝑆0, temos, então, a solução para o problema 
𝑆(𝑡)=𝑆0 .𝑒
𝑘𝑡 
e que ao encontramos essa última expressão, tida como uma exemplificação do fenômeno, 
sendo que a mesma é resultante da equação diferencial apresentada, concluímos que um 
investimento feito em uma conta bancária com juros capitalizados continuamente cresce 
exponencialmente. 
Fazendo uma comparação ao caso estudando anteriormente – dinâmica populacional – 
observamos que suas soluções são desencadeadas por funções exponenciais e que as 
equações que assim descreve os problemas são de primeira ordem, o que nos afirma que são 
problemas iniciais mais simples e de fácil interpretação. 
EXEMPLO: Suponha que uma aplicação renda juros continuamente. Qual será o saldo após 
12 meses se: a) a taxa de juros for de 1% a.m. e o depósito inicial for R$ 100,00? E se for a 
uma taxa de 10% a. m. com o mesmo valor inicial? 
SOLUÇÃO: 
𝑆0 = 100 𝑡 = 0 → 𝑆(0) = 𝑐 . 𝑒
𝑘 .0 = 𝑐 ∴ 𝑐 = 𝑆0 = 100 
𝐾 = 1%𝑎. 𝑚. = 0,01 𝑎)𝑆(𝑡) = 𝑐 . 𝑒𝑘.𝑡 → 𝑆(12) = 100. 𝑒0,01.12 ≅ 𝑅𝑆112,75 
𝐾 = 10%𝑎. 𝑚. = 0,1 𝑏)𝑆(𝑡) = 𝑐 . 𝑒𝑘.𝑡 → 𝑆(12) = 100. 𝑒0,1.12 ≅ 𝑅𝑆332,01 
MATEMÁTICA 
Outro exemplo é o caso dos jogos compostos aplicados em diversos bancos, onde uma quantia 
𝒎 em dinheiro é depositada em um banco a uma taxa de juros continuar 𝒓. Logo, conseguimos 
deduzir a quantia de dinheiro que terá em um tempo 𝒕. 
𝑑𝑁
𝑑𝑡
𝑟𝑀 
A modelagem de muitos problemas do mundo real, utilizando as equações diferenciais 
ordinárias (EDO), é uma ferramenta importante que tem grande potencial e pode descrever 
inúmeros fenômenos. Seguindo este contexto, o presente trabalho objeta abordar aplicações 
de modelos matemáticos que usam as EDO em sistemas químicos em algumas condições 
especificas. A metodologia usada envolveu estudo de literatura padrão na área, tanto de EDO 
como de sistemas químicos, com o objetivo de tornar clara a relação matemática-Química do 
sistema, fomentando material útil para um ensino menos superficial de cálculo em cursos de 
Química. Os resultados indicam que o meio matemático utilizado é de grande emprego em 
sistemas químicos na determinação de fatores complexos. Palavras-chave: Matemática 
Aplicada, Sistemas Químicos, Equações diferenciais Ordinárias. 
ALUNO: ELTON MOURA DOS SANTOS.