FORUM AVALIATIVO 1 ENVIAR 17;04;20
5 pág.

FORUM AVALIATIVO 1 ENVIAR 17;04;20


DisciplinaMatemática102.374 materiais2.424.083 seguidores
Pré-visualização1 página
FORUM AVALIATIVO I 
Selecione três áreas (por exemplo: geologia, biologia e economia) e, para 
cada uma, elabore um estudo de caso em que as equações diferenciais são 
usadas para solucionar a situação problema apresentado. 
ÁREAS 
QUÍMICA 
 
A partir de resultados experimentais, elementos radioativos se desintegram a uma taxa 
proporcional à quantidade presente do elemento. Se Q = Q (t) é a quantidade presente de 
certo elemento radioativo no instante t, então a taxa de variação de Q (t) com respeito ao 
tempo t, denotada, é dada por: 
 
 
Onde k é uma constante que depende do elemento. O valor da constante k de um elemento 
radioativo pode ser determinado através do tempo de \u201cmeia-vida\u201d do elemento. A \u201cmeia-
vida\u201d é o tempo necessário para desintegrar metade da quantidade do elemento. Logo, se a 
meia-vida do elemento for conhecida, a constante k pode ser obtida e vice versa. A 
quantidade inicial do elemento radioativo é 
Q (0) = Q0. 
Percebemos mais uma vez que o problema apresentado recorre a uma equação diferencial 
que possui como solução uma função exponencial. Considerando a solução geral atribuída à 
equação diferencial que estuda o problema 
Q (t) = Q0 .\ud835\udc52\u2212\ud835\udc58\ud835\udc61 
Podemos trabalhar sobre a meia-vida do elemento radioativo, através dos seguintes 
cálculos: 
 Q (0) = c .\ud835\udc52\ud835\udc58 .0 = \ud835\udc50 \u2234 \ud835\udc50 =\ud835\udc440 
E a partir daí, considerando a meia-vida, temos que 
1
2
\ud835\udc440 = \ud835\udc440 . \ud835\udc52
\u2212\ud835\udc58\ud835\udc61 \u2234 \ud835\udc52\u2212\ud835\udc58\ud835\udc61 =
1
2
\u2234 \u2212\ud835\udc58 . \ud835\udc61 = \ud835\udc59\ud835\udc5b (
1
2
) \u2234 \ud835\udc61 \u2245 \u2212
\ud835\udc59\ud835\udc5b (
1
2)
\ud835\udc58
 
Para encontrar o tempo da meia vida do elemento parte da equação diferencial atribuída ao 
problema. 
EXEMPLO: 
 O isótopo Pb \u2013 209 decai a uma taxa proporcional à Q (t) e tem meia-vida de 3,3h. se houver 
inicialmente 1g de chumbo, quanto tempo levará para que 90% decaia? 
Solução: 
A solução do problema se dará em diversas etapas, apesar da sua simplicidade, pois temos 
que deixar a menor quantidade de variáveis possíveis e o que nos interessa é deixarmos a 
quantidade presente do elemento em razão do tempo, apenas. 
Inicialmente, temos: 
\ud835\udc44 (0) = 1\ud835\udc54 \ud835\udc61 = 0 \u2192 \ud835\udc44 (0) = \ud835\udc50. \ud835\udc52\ud835\udc58.0 = \ud835\udc50 
\ud835\udc50 = \ud835\udc440 = 1 
1
2
= 1 . \ud835\udc52\ud835\udc58.3,3 Meia-vida 3,3h 
\ud835\udc58. 3,3 = \ud835\udc59\ud835\udc5b (
1
2
) 
\ud835\udc58 =
\ud835\udc59\ud835\udc5b (
1
2)
3,3
 
\ud835\udc58 \u2245 \u22120,23 
Logo, como o valor de k foi negativo, constatamos o decaimento, daí, 
\ud835\udc44 (0) \u2212 90% = 0,1\ud835\udc54 
0,1 = 1 . \ud835\udc52\u22120,23.\ud835\udc61 
\u22120,23 . \ud835\udc61 = \ud835\udc59\ud835\udc5b(0,1) 
\ud835\udc61 =
\ud835\udc59\ud835\udc5b(0,1)
\u22120,23
 
\ud835\udc61 \u2245 11\u210e 
Temos, então, que após decorridas 11 horas, aproximadamente, chegamos na quantidade 
procurada. 
ECONOMIA 
Em muitas situações, o atual sistema financeiro utiliza o regime de juros compostos, pois ele 
oferece uma maior rentabilidade se comparado ao regime de juros simples. As modalidades de 
investimentos e financiamentos são calculadas de acordo com esse sistema, portanto é de 
grande utilidade estudá-lo. Aplicações financeiras baseadas em juros compostos podem ser 
modeladas por uma equação diferencial. Suponha que uma quantia de dinheiro é depositada 
em um banco que paga juros a uma taxa ao mês. 
O valor S (t) do investimento em qualquer instante depende tanto da frequência de 
capitalização dos juros, ou seja, da periodicidade em que os juros são aplicados, quanto da 
taxa de juros. Se supusermos que a capitalização é feita continuamente, pode-se montar um 
problema de valor inicial simples que descreve o crescimento do investimento. 
A taxa de variação do valor do investimento é dS/dt. Essa quantidade é igual a taxa segundo a 
qual os juros acumulam, que é a taxa de juros r, vezes o valor atual do investimento S (t). 
Então obtemos a equação diferencial de primeira ordem que descreve o processo: dS/dt=rS. 
Ao consideramos o atual sistema financeiro em que o mesmo utiliza do regime de juros 
compostos tendo em vista a oportunidade de maior rentabilidade se comparado ao regime 
de juros simples. Pensando nisso, é de suma importância fazermos um estudo das aplicações 
financeiras baseadas em juros compostos através de modelagem por uma equação 
diferencial. 
Para início de conversa, suponhamos a seguinte situação, onde a capitalização é feita de 
forma continua: 
\u201cDeterminada quantia é aplicada num banco que paga juros a uma taxa k ao mês. O valor de 
do investimento S (t) em qualquer instante t depende tanto da frequência de capitalização 
dos juros (periodicidade) quanto da taxa de juros\u201d. 
Daí surge um problema de valor inicial cujo objetivo principal é descrever, então, o 
crescimento do investimento. 
A partir da situação apresentada, podemos agora pensar sobre a taxa de variação do valor do 
. Portanto, assim, do princípio de regulação do regime de juros investimento 
compostos, percebemos que a quantidade atribuída à taxa de variação é igual a taxa segundo 
a qual os juros acumulam, que é a taxa k vezes o valor atual do investimento. Ao relacionar 
todo esse processo, obtemos a equação diferencial a seguir: 
\ud835\udc51\ud835\udc46
\ud835\udc51\ud835\udc61
= \ud835\udc58 . \ud835\udc46(\ud835\udc61) 
Supondo que o valor inicial do investimento é S0, encontramos os valores para S (t) em 
qualquer instante t. veja: 
\ud835\udc51\ud835\udc46
\ud835\udc51\ud835\udc61
= \ud835\udc58 . \ud835\udc46(\ud835\udc61) 
\ud835\udc51\ud835\udc46
\ud835\udc46(\ud835\udc61)
= \ud835\udc58 . \ud835\udc51\ud835\udc61 
Integrando ambos os lados temos que 
\u222b
\ud835\udc51\ud835\udc46
\ud835\udc51\ud835\udc61
= \u222b \ud835\udc58 . \ud835\udc51\ud835\udc61 
\ud835\udc59\ud835\udc5b|\ud835\udc46(\ud835\udc61)| = \ud835\udc58\ud835\udc61 + \ud835\udc50 
Aplicando a propriedade da função exponencial 
\ud835\udc46(\ud835\udc61) = \ud835\udc52\ud835\udc58\ud835\udc61+\ud835\udc50 
\ud835\udc46(\ud835\udc61) = \ud835\udc52\ud835\udc58\ud835\udc61. \ud835\udc52\ud835\udc50 
Considerando que \ud835\udc52\ud835\udc50 = \ud835\udc460, temos, então, a solução para o problema 
\ud835\udc46(\ud835\udc61)=\ud835\udc460 .\ud835\udc52
\ud835\udc58\ud835\udc61 
e que ao encontramos essa última expressão, tida como uma exemplificação do fenômeno, 
sendo que a mesma é resultante da equação diferencial apresentada, concluímos que um 
investimento feito em uma conta bancária com juros capitalizados continuamente cresce 
exponencialmente. 
Fazendo uma comparação ao caso estudando anteriormente \u2013 dinâmica populacional \u2013 
observamos que suas soluções são desencadeadas por funções exponenciais e que as 
equações que assim descreve os problemas são de primeira ordem, o que nos afirma que são 
problemas iniciais mais simples e de fácil interpretação. 
EXEMPLO: Suponha que uma aplicação renda juros continuamente. Qual será o saldo após 
12 meses se: a) a taxa de juros for de 1% a.m. e o depósito inicial for R$ 100,00? E se for a 
uma taxa de 10% a. m. com o mesmo valor inicial? 
SOLUÇÃO: 
\ud835\udc460 = 100 \ud835\udc61 = 0 \u2192 \ud835\udc46(0) = \ud835\udc50 . \ud835\udc52
\ud835\udc58 .0 = \ud835\udc50 \u2234 \ud835\udc50 = \ud835\udc460 = 100 
\ud835\udc3e = 1%\ud835\udc4e. \ud835\udc5a. = 0,01 \ud835\udc4e)\ud835\udc46(\ud835\udc61) = \ud835\udc50 . \ud835\udc52\ud835\udc58.\ud835\udc61 \u2192 \ud835\udc46(12) = 100. \ud835\udc520,01.12 \u2245 \ud835\udc45\ud835\udc46112,75 
\ud835\udc3e = 10%\ud835\udc4e. \ud835\udc5a. = 0,1 \ud835\udc4f)\ud835\udc46(\ud835\udc61) = \ud835\udc50 . \ud835\udc52\ud835\udc58.\ud835\udc61 \u2192 \ud835\udc46(12) = 100. \ud835\udc520,1.12 \u2245 \ud835\udc45\ud835\udc46332,01 
MATEMÁTICA 
Outro exemplo é o caso dos jogos compostos aplicados em diversos bancos, onde uma quantia 
\ud835\udc8e em dinheiro é depositada em um banco a uma taxa de juros continuar \ud835\udc93. Logo, conseguimos 
deduzir a quantia de dinheiro que terá em um tempo \ud835\udc95. 
\ud835\udc51\ud835\udc41
\ud835\udc51\ud835\udc61
\ud835\udc5f\ud835\udc40 
A modelagem de muitos problemas do mundo real, utilizando as equações diferenciais 
ordinárias (EDO), é uma ferramenta importante que tem grande potencial e pode descrever 
inúmeros fenômenos. Seguindo este contexto, o presente trabalho objeta abordar aplicações 
de modelos matemáticos que usam as EDO em sistemas químicos em algumas condições 
especificas. A metodologia usada envolveu estudo de literatura padrão na área, tanto de EDO 
como de sistemas químicos, com o objetivo de tornar clara a relação matemática-Química do 
sistema, fomentando material útil para um ensino menos superficial de cálculo em cursos de 
Química. Os resultados indicam que o meio matemático utilizado é de grande emprego em 
sistemas químicos na determinação de fatores complexos. Palavras-chave: Matemática 
Aplicada, Sistemas Químicos, Equações diferenciais Ordinárias. 
ALUNO: ELTON MOURA DOS SANTOS.