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Disciplina: Análise Matemática para Engenharia II Aula 1: Cálculo Vetorial e Equações Paramétricas Apresentação Nesta aula, abordaremos as funções vetoriais, observando suas variações e algumas de suas representações. Para isso, apresentaremos alguns conteúdos introdutórios de vetores e posteriormente a aplicação de alguns conceitos de Cálculo, presente na disciplina Análise Matemática para Engenharia I. Objetivos Reconhecer uma função vetorial e sua representação; Analisar um grá�co de linha e suas possíveis oscilações; Aplicar os conceitos do Cálculo Diferencial e Integral em uma função vetorial. Funções vetoriais Atenção! Aqui existe uma videoaula, acesso pelo conteúdo online A Análise Matemática para Engenharia II preza pelo entendimento de conteúdos inerentes às disciplinas do Cálculo Diferencial e Integral e do Cálculo Vetorial de uma maneira na qual os assuntos são trabalhados simultaneamente. Fonte: Billion Photos / Shutterstock Até o presente momento foram usadas funções de valores reais para expressar grá�cos e situações problemas, a partir desta aula, veremos outro tipo, as Funções Vetoriais, cujos valores são vetores. Essas funções são responsáveis por fazer a descrição de curvas e superfície no espaço, assim como a sua aplicação na Física pode ser vista para se deduzir as leis de Kepler, o que não é o nosso objeto de estudo, portanto passemos às de�nições e suas aplicações. De�nição de Funções Vetoriais A cada elemento do seu domínio é associado um único elemento da sua imagem, quando abordamos função vetoriais a de�nição não é muito diferente. Uma função vetorial é aquela cujos valores do domínio são reais e estão associados a um conjunto de vetores na sua imagem. Para fazer essa associação das funções vetoriais, são associadas as funções r cujos valores são tridimensionais, signi�cando que para qualquer número t no domínio r, será associado a um vetor no R3 que denotamos como sendo r(t). Com isso, temos a seguinte de�nição: Se f(t), g(t), e h(t) são componentes do vetor r(t), então f, g, h são funções a valores reais chamados funções componentes de r, tendo a sua representação da seguinte forma: → 𝒓 𝒕 = 〈𝒇 𝒕 , 𝒈 𝒕 , 𝒉 𝒕 〉 = 𝒇 𝒕 → 𝒊 + 𝒈 𝒕 → 𝒋 + 𝒉 𝒕 → 𝒌 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Figura 1: Representação gráfica de uma função vetorial. Exemplo Exemplo 1: Sendo a função vetorial: → 𝑟 𝑡 = 〈𝑡2, ln − 2 + 𝑡 , √𝑡〉, temos que as funções componentes são: 𝑓 𝑡 = 𝑡2 𝑔(𝑡) = ln ( − 2 + 𝑡) ℎ(𝑡) = √𝑡 Exemplo 2: Sendo a função vetorial: → 𝑟 𝑡 = 〈𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑡, 𝑠𝑒𝑛 𝑡 , cos𝑡〉, temos que as funções componentes são: 𝑓(𝑡) = 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑔(𝑡) = 𝑠𝑒𝑛𝑡 ℎ(𝑡) = cos𝑡 Exemplo 3: Sendo a função vetorial: → 𝑟 𝑡 = 〈1 + 𝑡2, 𝑡𝑒 − 𝑡 , 𝑠 𝑒 𝑛 𝑡 t 〉, temos que as funções componentes são: 𝑓 𝑡 = 1 + 𝑡2 𝑔 𝑡 = 𝑡𝑒 − 𝑡 ℎ 𝑡 = 𝑠 𝑒 𝑛 𝑡t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Como exemplo de grá�co de uma função vetorial, temos: Figura 2: Gráfico de uma função paramétrica. A �gura 2 é conhecida como hélice, essa mesma �gura pode ser comparada com a representação do DNA, sendo ele uma hélice dupla. Figura 3: Representação do DNA. As funções vetoriais foram muito importantes no desenvolvimento das leis das órbitas desenvolvidas por Kepler, e isso será falado um pouco mais na próxima aula. Assim, observa-se que há aplicação das funções vetoriais também na área da Física. Função Vetorial representada por Funções Paramétricas Outra representação possível para as funções vetoriais é a seguinte: → 𝑟 𝑡 = 𝑥 𝑡 → 𝑖 + 𝑦 𝑡 → 𝑗 + 𝑧 𝑡 → 𝑘 ( ) ( ) ( ) ( ) Com isso, as funções paramétricas podem representar também uma função vetorial, como no exemplo abaixo. Relembrando uma função paramétrica temos que a sua representação se dá da seguinte maneira: 𝑥 𝑡 = 𝑥0 + 𝑎𝑡 𝑦 𝑡 = 𝑦0 + 𝑏𝑡𝑧 𝑡 = 𝑧0 + 𝑐𝑡 { ( )( ) ( ) Onde: 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 são pontos; (a,b,c) são vetores. ( ) Exemplo Dada a representação paramétrica da função: 𝑥(𝑡) = 3 + 𝑡 𝑦(𝑡) = 2𝑡𝑧(𝑡) = 𝑡 , escreva a sua respectiva função vetorial. Resolução: → 𝑟 𝑡 = 𝑥 𝑡 → 𝑖 + 𝑦 𝑡 → 𝑗 + 𝑧 𝑡 → 𝑘 → 𝑟 𝑡 = 3 + 𝑡 → 𝑖 + 𝟐𝒕 → 𝑗 + 𝑡 → 𝑘 Antes de continuar, veja mais alguns exemplos <galeria/aula1/anexo/exemplo01.pdf> . { ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Derivada de uma função vetorial Atenção! Aqui existe uma videoaula, acesso pelo conteúdo online http://estacio.webaula.com.br/cursos/GO0024/galeria/aula1/anexo/exemplo01.pdf Ao fazermos a abordagem de uma derivada de uma função vetorial, devemos ter em mente que seja uma função clássica ou uma função vetorial, a abordagem é a mesma, respeitando os seus conceitos, as suas de�nições e regras de derivação. A derivada de uma função vetorial r, representada por r’ (erre linha) tem a sua de�nição da mesma maneira que as funções de valores reais: dr dr = →r ´ t = lim h→ 0 → 𝑟 𝑡 + ℎ − → 𝑟 𝑡 h , caso exista o limite:( ) ( ) ( ) Geometricamente falando, o vetor derivada é tangente à trajetória feita pelo vetor, sendo assim, tangente à curva. Repare que essa é uma de�nição bem parecida com a de derivada para função de valores reais, conforme dito anteriormente. As �guras abaixo ilustram três momentos da representação geométrica de uma função vetorial: a) É a representação inicial da função vetorial: limh→ 0 → 𝑟 𝑡 + ℎ − → 𝑟 𝑡 h . ( ) ( ) b) Temos o valor da função começando a tender a 0, o que está transformando o vetor secante em vetor tangente. c) Já temos o vetor tangente no ponto t , ou seja, a derivada no ponto. 0 Resumidamente temos que, se r(t) é uma função vetorial tal que: → 𝑟 𝑡 = 〈𝑓 𝑡 , 𝑔 𝑡 , ℎ 𝑡 〉 = 𝑓 𝑡 → 𝑖 + 𝑔 𝑡 → 𝑗 + ℎ 𝑡 → 𝑘 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Onde: f, g e h são funções diferenciáveis Então: → 𝑟 ′ 𝑡 = 〈𝑓′ 𝑡 , 𝑔′ 𝑡 , ℎ′ 𝑡 〉 → 𝑟 ′ 𝑡 = 𝑓′ 𝑡 → 𝑖 + 𝑔′ 𝑡 → 𝑗 + ℎ′ 𝑡 → 𝑘 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) As regras de derivação da função vetorial são as mesmas das funções de valores reais: 𝑑 dt = 𝑢 𝑡 + 𝑣 𝑡 = 𝑢′ 𝑡 + 𝑣′ 𝑡[ ( ) ( )] ( ) ( ) 𝑑 𝑑 t = 𝑐𝑢 𝑡 = 𝑐𝑢′ 𝑡[ ( )] ( ) 𝑑 𝑑 t = 𝑓 𝑡 𝑢 𝑡 = 𝑓′ 𝑡 𝑢 𝑡 + 𝑓 𝑡 𝑢′ 𝑡[ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) 𝑑 𝑑 t = 𝑢 𝑡 . 𝑣 𝑡 = 𝑢′ 𝑡 . 𝑣 𝑡 + 𝑢 𝑡 . 𝑣′ 𝑡[ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) 𝑑 𝑑 t = 𝑢 𝑡 𝑥 𝑣 𝑡 = 𝑢′ 𝑡 𝑥 𝑣 𝑡 + 𝑢 𝑡 𝑥 𝑣′ 𝑡[ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) 𝑑 𝑑 t = 𝑢 𝑓 𝑡 = 𝑓′ 𝑡 𝑢′ 𝑓 𝑡 — Regra da Cadeia [ ( ( ))] ( ) (( ( )) Aplicação das derivadas vetoriais Exemplo Determine a derivada de → 𝑟 𝑡 = 𝑡2 + 3 → 𝑖 + 3𝑡 → 𝑗 + 𝑠𝑒𝑛 2𝑡 → 𝑘 Resolução: A derivada da função r(t) deve ser feita para cada componente da função vetorial, sendo assim, temos: 𝑓 𝑡 = 𝑡2 + 3 ⟶ 𝑓′ 𝑡 = 2𝑡 𝑔(𝑡) = 3𝑡 ⟶ 𝑔′ (𝑡) = 3 ℎ(𝑡) = 𝑠𝑒𝑛 2𝑡 ⟶ ℎ′ (𝑡) = 2 cos 2𝑡 → 𝑟 ′ 𝑡 = 2𝑡 → 𝑖 + 3 → 𝑗 + 𝟐𝑐𝑜𝑠 2𝑡 → 𝑘 Antes de continuar, veja mais alguns exemplos <galeria/aula1/anexo/exemplo02.pdf> . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Integral de uma função vetorial Atenção! Aqui existe uma videoaula, acesso pelo conteúdo online http://estacio.webaula.com.br/cursos/GO0024/galeria/aula1/anexo/exemplo02.pdf Quando falamos da integral de uma função vetorial, assim como dito na derivada de uma função vetorial, a maneira da abordagem da integral se assemelha à integral das funções de valores reais, sendo a integral das funções vetoriais calculada em cada uma das suas componentes; assim como nas derivadas, seu resultado é um vetor. A representação de um integral vetorial pode ser representada da mesma forma que a integral de uma função real. ∫ba →r t d t = limn→ ∞ ∑ni - 1 →r ti * ∆ t = limn→ ∞ n ∑ f i - 1 ti * ∆ t i + ∑ n i - 1 g ti * ∆ t j + n ∑ i - 1 h ti * ∆ t k( ) ( ) [( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) ] Ou de uma forma mais conhecida: ∫ba →r t dt = ∫ba f t i + ∫ b a g t j + ∫ b a h t k ( ) ( ( )) ( ( )) ( ( )) Essa última maneira mostra que podemos fazera integração de uma função vetorial integrando cada uma das suas componentes. O teorema fundamental do cálculo, que é aplicado a funções reais, também pode ser estendido a funções vetoriais. ∫ba →r t dt = R t ]ba = R b - R a( ) ( ) ( ) ( ) Sendo R uma primitiva de r, ou seja, R’(t) = r(t) e sendo a notação ∫𝑟(𝑡)𝑑𝑡 utilizada para as integrais inde�nidas. Exemplo Integrar a função vetorial ∫ cost → 𝑗 − 𝑠𝑒𝑛𝑡 → 𝑗 + 2 → 𝑘 𝑑𝑡. Resolução: Essa integral pode ser feita integrando cada uma das componentes dessa função vetorial representada da seguinte maneira: ∫ cost → i dt - ∫ sen → j dt + ∫ 2 → k dt Integrando cada uma das componentes temos: 𝑠𝑒𝑛 𝑡 − ( − 𝑐𝑜𝑠𝑡 ) + 2𝑡 + 𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝑡 → 𝑖 + 𝑐𝑜𝑠𝑡 → 𝑗 + 2𝑡 → 𝑘 + 𝑐 Repare que na integral inde�nida, assim como na integral de uma função de valores reais, temos, ao �nal da integração, o valor da constante C. Antes de continuar, veja mais alguns exemplos <galeria/aula1/anexo/exemplo03.pdf> . ( ) ( ) ( ) Na próxima aula, continuaremos com a abordagem de funções vetoriais, igualmente com a aplicação das derivadas nessas funções. Antes disso, vamos fazer algumas atividades. Aproveite para rever o conteúdo e refazer os exercícios quantas vezes achar necessário. Isso o ajudará a internalizar os conceitos com mais propriedade. A�nal, quando aliada à teoria, a prática exercita o conhecimento. Atividade 1. Determinando a função vetorial para um segmento de reta que passa pelo ponto D e tem como direção o vetor → 𝐷𝑅, sendo D = (1,-1,-2) e R = (2,1, 0), encontramos como resposta: a) → 𝑟 𝑡 = 1 − 3𝑡 → 𝑖 + − 1 − 2𝑡 → 𝑗 + − 2 − 2𝑡 → 𝑘 ( ) ( ) ( ) ( ) b) → 𝑟 𝑡 = − 3𝑡 → 𝑖 + − 1 − 2𝑡 → 𝑗 + − 2 − 2𝑡 → 𝑘 ( ) ( ) ( ) ( ) c) → 𝑟 𝑡 = 1 − 3𝑡 → 𝑖 − 2𝑡 → 𝑗 + − 2 − 2𝑡 → 𝑘 ( ) ( ) ( ) d) → 𝑟 𝑡 = 1 − 3𝑡 → 𝑖 + − 1 − 2𝑡 → 𝑗 + → 𝑘 ( ) ( ) ( ) e) → 𝑟 𝑡 = 1 − 3𝑡 → 𝑖 + − 1 − 2𝑡 → 𝑗 + 2𝑡 → 𝑘 ( ) ( ) ( ) http://estacio.webaula.com.br/cursos/GO0024/galeria/aula1/anexo/exemplo03.pdf 2. Determinando a função vetorial para um segmento de reta que passa pelos A (0,1,2) e possui como direção o vetor → 𝑣 = 3 → 𝑖 − 4 → 𝑗 − 2 → 𝑘 , temos como resposta: a) → 𝑟 𝑡 = 3 → 𝑖 + 1 − 4𝑡 → 𝑗 + 2 − 2𝑡 → 𝑘 ( ) ( ) ( ) b) → 𝑟 𝑡 = 3𝑡 → 𝑖 − 4𝑡 → 𝑗 + 2 − 2𝑡 → 𝑘 ( ) ( ) ( ) c) → 𝑟 𝑡 = 3𝑡 → 𝑖 + 1 − 4𝑡 → 𝑗 + 2𝑡 → 𝑘 ( ) ( ) ( ) ( ) d) → 𝑟 𝑡 = 3𝑡 → 𝑖 + 1 − 4𝑡 → 𝑗 + 2 − 2𝑡 → 𝑘 ( ) ( ) ( ) ( ) e) → 𝑟 𝑡 = 3𝑡 → 𝑖 + 4𝑡 → 𝑗 + 2 − 2𝑡 → 𝑘 ( ) ( ) ( ) 3. Ao determinarmos a derivada da função vetorial → 𝑓 𝑡 = − cos3 𝑡 → 𝑖 − 𝑠𝑒𝑛𝑡 → 𝑗 + 𝑐𝑜𝑠2 𝑡 → 𝑘 , temos como resposta:( ) a) → 𝑓′ 𝑡 = 3cos3 𝑡 . 𝑠𝑒𝑛𝑡 → 𝑖 - 𝑐𝑜𝑠𝑡 → 𝑗 - 2𝑐𝑜𝑠𝑡 . 𝑠𝑒𝑛𝑡 → 𝑘 ( ) ( ) b) → 𝑓′ 𝑡 = 3cos2 𝑡 . 𝑠𝑒𝑛𝑡 → 𝑖 - 𝑐𝑜𝑠𝑡 → 𝑗 + 2𝑐𝑜𝑠𝑡 . 𝑠𝑒𝑛𝑡 → 𝑘 ( ) ( ) c) → 𝑓′ 𝑡 = 3cos2 𝑡 . 𝑠𝑒𝑛𝑡 → 𝑖 + 𝑐𝑜𝑠𝑡 → 𝑗 - 2𝑐𝑜𝑠𝑡 . 𝑠𝑒𝑛𝑡 → 𝑘 ( ) ( ) d) → 𝑓′ 𝑡 = - 3cos2 𝑡 . 𝑠𝑒𝑛𝑡 → 𝑖 - 𝑐𝑜𝑠𝑡 → 𝑗 - 2𝑐𝑜𝑠𝑡 . 𝑠𝑒𝑛𝑡 → 𝑘 ( ) ( ) e) → 𝑓′ 𝑡 = 3cos2 𝑡 . 𝑠𝑒𝑛𝑡 → 𝑖 - 𝑐𝑜𝑠𝑡 → 𝑗 - 2𝑐𝑜𝑠𝑡 . 𝑠𝑒𝑛𝑡 → 𝑘 ( ) ( ) 4. A derivada da função vetorial → 𝑟 𝑡 = 3 − 𝑡2 → 𝑖 + 𝑡2 → 𝑗 − 1 /𝑡2 → 𝑘 tem como resposta:( ) ( ) a) 𝑟 ⃗ ′ ( 𝑡 ) = − 2𝑡 → 𝑖 − 2𝑡 → 𝑗 + 2 𝑡3 → 𝑘 b) 𝑟 ⃗ ′ ( 𝑡 ) = + 2𝑡 → 𝑖 + 2𝑡 → 𝑗 + 2 𝑡3 → 𝑘 c) 𝑟 ⃗ ′ t = - 2𝑡 → 𝑖 + 2𝑡 → 𝑗 + 2 𝑡2 → 𝑘 ( ) d) 𝑟 ⃗ ′ t = - 2𝑡 → 𝑖 + 2𝑡 → 𝑗 + 1 𝑡3 → 𝑘 ( ) e) 𝑟 ⃗ ′ t = - 2𝑡 → 𝑖 + 2𝑡 → 𝑗 + 2 𝑡3 → 𝑘 ( ) 5. Ao resolvermos a integral da função vetorial ∫ 1 20 → f t dt → → f t = 5t2 - 2 → i - e t 2→ j + 2 → k temos como resposta:( ) ( ) ( ) a) 41 3 → i + 1 2 . e 2 1 2 . e 2 - 1 → j - 2 → k( ) ( ( )) b) - 41 3 → i + 1 2 . e 2 1 2 . e 2 - 1 → j - 2 → k( ) ( ( )) c) 41 3 → i + 1 2 . e 2 1 2 . e 2 + 1 → j - 2 → k( ) ( ( )) d) 41 3 → i + 1 2 . e 2 1 2 . e 2 - 1 → j - 2 → k( ) ( ( )) e) 41 3 → i + 1 2 . e 2 1 2 . e 2 - 1 → j + 2 → k( ) ( ( )) Notas Referências BROCHI, A. Cálculo diferencial e integral II (livro proprietário). Rio de Janeiro: SESES, 2015. FINNEY, Ross L.; WEIR, Maurice D.; GIORDANO, Frank R. (Ed.). Cálculo George B. Thomas. São Paulo: Pearson, 2009. v. 1 e 2. FLEMMING, D. M., GONÇALVES, M. B. Cálculo B. 2. ed. São Paulo: Pearson, 2007. Próxima aula Curvas no espaço; Aplicação da derivada vetorial na Física. Explore mais Nos links abaixo você poderá usufruir de objetos de aprendizagem, eles darão uma visão mais ampla do conteúdo apresentado até aqui: BARBOZA, Rafael de Oliveira. Funções paramétricas. Disponível em: https://www.geogebra.org/m/FTqXnG3f <https://www.geogebra.org/m/FTqXnG3f> . Acesso em: 31 out. 2018. KHANACADEMY. Derivação de equações paramétricas. Disponível em: https://pt.khanacademy.org/math/ap-calculus-bc/bc- derivatives-advanced/bc-diff-param-vec-func/v/parametric-function-differentiation <https://pt.khanacademy.org/math/ap- calculus-bc/bc-derivatives-advanced/bc-diff-param-vec-func/v/parametric-function-differentiation> . Acesso em: 31 out. 2018. LEMKE, Raiane. Equações paramétrica para as quádricas. Disponível em: https://www.geogebra.org/m/HJ97EJDy <https://www.geogebra.org/m/HJ97EJDy> . Acesso em: 31 out. 2018. https://www.geogebra.org/m/FTqXnG3f https://pt.khanacademy.org/math/ap-calculus-bc/bc-derivatives-advanced/bc-diff-param-vec-func/v/parametric-function-differentiation https://www.geogebra.org/m/HJ97EJDy
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