Mecânica dos Sólidos - Aula 5 - Forças em vigas

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Disciplina: Mecânica dos Sólidos
Aula 5: Forças em vigas
Apresentação
No decorrer do curso de Engenharia, aprendemos várias técnicas que, juntas, levam a um dos primeiros grandes objetivos de um engenheiro: o dimensionamento de uma estrutura. Aprenderemos uma série de técnicas que irão permitir dizer que para um dado material, sob condições de carregamento de projeto, as dimensões de uma estrutura ou parte dela.
Nas duas próximas aulas, estudaremos os esforços internos atuantes em uma viga sob determinado carregamento: o esforço normal, o esforço cortante e o momento fletor. Assim, será possível focar na parte crítica de um projeto e nos atermos a esse ponto para a escolha do material ou das dimensões, visto que cada material tem seu limite máximo, associado a cada um desses esforços internos.
Mais uma vez é importante ressaltar que o curso de Mecânica dos Sólidos é uma introdução a uma disciplina em que uma série de conceitos serão aprofundados em outras disciplinas, e o dado aprofundamento será, naquela oportunidade apresentado.
Objetivos
· Identificar as forças distribuídas atuantes em uma viga;
· Analisar os principais esforços internos (esforço normal, esforço cortante e momento fletor) e determiná-los em um dado ponto;
· Estabelecer as relações matemáticas entre esforço cortante e momento fletor.
Carga distribuída
Ao iniciarmos esta aula, devemos fazer uma distinção entre dois tipos de cargas (tipo força) que podem atuar em uma estrutura:
Exemplo
Em termos práticos, suponha um vaso de planta colocado sobre uma mesa.
Analisando as duas áreas em questão — a da mesa e a do vaso —, podemos considerar o vaso de planta como uma carga concentrada.
Agora suponha uma parede feita sobre uma viga. O seu peso está distribuído ao longo do comprimento da viga e trata-se de um exemplo de carga distribuída linearmente, como mostra a figura 2.
Ainda para ilustrar, imagine uma caixa d’água apoiada sobre uma laje. Temos o peso da água distribuído ao longo de uma área. Outro exemplo é o do vento atuando sobre a janela.
Representações dessas cargas nos problemas
Nos problemas, as representações são mais simples:
· Para as cargas concentradas, utilizamos um vetor único e a localização é coincidente com a da carga;
· Para as cargas distribuídas, utilizamos uma coleção de vetores.
Observe a figura 3 e perceba que, dependendo do carregamento distribuído, a função matemática associada pode ter maior ou menor grau de complexidade.
Agora, veja na figura 4 uma viga engastada com um carregamento senoidal, cuja equação genérica é dada por:
Onde x é a abscissa que aumenta a partir da extremidade livre da viga (x = 0) até o engaste (x = L).
Dica!
É possível fazer todos os cálculos a partir da equação da carga distribuída, porém a matemática envolvida é mais complexa.
Uma maneira de abreviar tal situação é fazer a troca da carga distribuída por uma concentrada equivalente, com intensidade e localização conhecidos.
Substituição de uma carga distribuída por uma concentrada
No item anterior, foi abordado o assunto sobre as cargas concentradas e distribuídas, de acordo com uma dada função da abscissa da viga. Como vimos, é um grande facilitador fazer a substituição da carga distribuída por uma concentrada equivalente.
“Essa troca implica em determinar o ponto de aplicação e a intensidade da carga concentrada equivalente, que é numericamente igual à área sob a curva abaixo da função que descreve o carregamento distribuído.”
Quando a área é de uma figura geométrica simples, a determinação dessa área pode ser realizada diretamente pela utilização de uma expressão.
Contudo, para distribuições em que a figura geométrica não tem uma “expressão matemática pronta” para o cálculo da área, será preciso utilizar a integração definida.
Assim, para determinar a intensidade da resultante dessa carga distribuída utilizaremos a equação 1:
Aqui, a e b são os limites, no comprimento da viga, em que ocorre a carga distribuída.
Outra questão que precisa ser definida é o ponto de aplicação da resultante R. Essa força atuará na linha vertical que passa pelo centroide da área correspondente à carga distribuída. Observe a figura 5:
Exemplo
Suponha uma carga distribuída triangular sobre uma viga bi apoiada de 3m de comprimento, conforme a figura. Determine a carga concentrada equivalente (intensidade e local).
SOLUÇÃO
R = Área = (60 x 3)/2 = 90kN
Centroide do triângulo: 1/3 da base, a partir do ângulo reto, ou seja, 3/3 = 1m.
Assim:
Atenção
É importante conhecer as abscissas dos centroides e as áreas de algumas figuras planas simples:
Atividade
1. Considere a carga distribuída sobre a viga bi apoiada. Determine a intensidade e a localização da carga concentrada equivalente.
Gabarito
Intensidade: Área do trapézio (4 + 1) . 20/2 = 50kN
Ponto de aplicação:
2. Considere as afirmativas a seguir a respeito de cargas distribuídas. Julgue-as como Verdadeira ou Falsa.
a) Uma carga distribuída possui uma equivalente concentrada cuja intensidade é igual à área sob a curva e aplicação no ponto médio.
b) A carga distribuída triangular tem a sua carga concentrada equivalente, aplicada no centroide, isto é, a 2/3 do vértice do ângulo agudo da base.
c) A carga uniformemente distribuída corresponde a um retângulo.
d) Se a carga distribuída tiver a forma de um trapézio, podemos dividir em um retângulo mais um ou dois triângulos.
e) A carga distribuída não possui uma carga concentrada equivalente.
Gabarito
a) Falso - A aplicação é no centroide.
b) Verdadeiro - Localiza-se no centroide. A 1/3 do ângulo reto ou a 2/3 do ângulo agudo da base.
c) Verdadeiro - Corresponde a um retângulo e a carga concentrada equivalente atua no ponto médio da base.
d) Verdadeiro - Quando o trapézio é retângulo, podemos dividir em um retângulo e um triângulo retângulo, caso contrário serão dois triângulos retângulos.
e) Falso - A intensidade equivale à área sob a curva e o ponto de aplicação é no centroide.
Forças em vigas
Um elemento estrutural muito utilizado nas Engenharias Civil e Mecânica é a viga: elemento prismático em que a maior dimensão é o comprimento.
É comumente utilizada na posição horizontal, mas existem as vigas inclinadas, como, por exemplo, as presentes em uma escada.
Dependendo do carregamento a que esteja submetida, a viga pode ter, em suas seções retas internas, os esforços normal ou cortante e, ainda, os momentos torsor ou fletor.
Em nosso estudo, a viga estará no plano xy e o carregamento tipo força também, enquanto o carregamento tipo momento (fletor) estará em um eixo perpendicular ao plano que contém a viga.
Observe a figura 6 com os elementos de carregamento supracitados:
Atenção
Nesta aula, estudaremos apenas as vigas isostáticas simples, em que o número de incógnitas é igual ao número de equações.
Cabe relembrar o que já foi visto em aulas anteriores: apoios de 1º, 2º e 3º gêneros, onde teremos uma, duas ou três restrições.
A figura 7 mostra esquematicamente esses apoios e suas reações.
O estudo dos esforços atuantes nas seções de uma viga se inicia com a determinação das reações nos apoios, que foi visto na aula 2.
A partir dessa determinação, a viga é seccionada e passa a ser possível “enxergar” os esforços internos atuantes.
Partiremos de uma ideia elementar, mas fundamental: se o todo “a viga” encontra-se em equilíbrio, qualquer parte desse todo também estará em equilíbrio.
Esforços internos em uma viga
Reveja a figura 6 e suponha a viga.
Inicialmente desenhamos o seu diagrama do corpo livre (DCL) e determinamos as reações nos apoios, utilizando as três equações do equilíbrio já estudadas:
Depois disso, é feito um corte fictício na viga, na seção de interesse. Duas partes serão formadas: à esquerda do corte e à direita do corte.
 A partir da terceira lei de Newton, é possível verificar os pares que surgirão em cada “lado” da seção que fica exposta a partir do corte feito.
A figura 8 ilustra o que foi descrito anteriormente:
Esforço cortante (V)- tangente à seção reta;
Esforço normal (N) - perpendicular à seção reta;
Momento fletor (M) - é um vetor perpendicular ao plano, onde a viga se encontra.
Atenção
Perceba, ainda, a terceira lei de Newton, visto que temos sempre os pares de vetores V; –V, N; –N e M; –M.
Convenção de sinais para os esforços internos
Os esforços internos que ocorrem nas seções de uma viga apresentam uma convenção para sinais.
Em primeiro lugar, precisamos ter em mente qual “lado” da seção exposta estamos analisando. A tabela abaixo mostra os valores de acordo com o lado analisado.
A figura 8 representa a convenção para valores positivos e a figura 9 para valores negativos da convenção.
Exemplo
Suponha uma viga bi apoiada em que exista o carregamento distribuído sobre a mesma. O comprimento da barra AB é de 5m e o ponto C está localizado a 3m da extremidade A.
Desprezando o peso da barra, determine:
· As reações nos apoios A e B;
· Os esforços internos na seção que passa por C.
SOLUÇÃO
Incialmente, trocaremos a carga distribuída pela concentrada equivalente.
Intensidade de 10 x 5 = 50kN, atuando no ponto médio da base, ou seja, em um ponto M tal que AM = 2,5m.
Pela simetria, as reações verticais nos apoios A e B são iguais. Logo, RA = RB = 25kN.
A reação horizontal em A é nula, pois não existem forças na horizontal. B não apresenta reação horizontal visto se tratar de um apoio de 1º gênero.
Na segunda etapa, faremos um corte na barra, passando pelo ponto C. Dessa forma, surgem os esforços internos NC, VC e MC (escolhemos o lado à esquerda do corte).
A carga distribuída sobre a viga, na parte à esquerda do corte, equivale a uma carga concentrada R de 30kN, atuando no ponto médio de AC, 1,5m.
Equilíbrio:
a) Forças horizontais: NC = 0;
b) Forças verticais (para cima vetores positivos): RA – R – VC = 0 →→ 25 – 30 - VC = 0 →→ VC = - 5kN (o sinal negativo significa que o esforço cortante é para cima);
c) Soma dos Momentos em relação ao ponto C: MC + 30 x 1,5 – 25 x 3 = 0 →→ MC + 45 – 75 = 0 →→ MC = 30kN.
Atividade
3. Considere uma viga AB de 6m de comprimento em balanço (engastada na extremidade A e livre na extremidade B). Sobre toda a viga, atua um carregamento uniformemente distribuído de 20kN/m.
Determine:
· As reações no engaste A;
· Os esforços internos na seção que passa pelo ponto médio da viga.
Gabarito
· Soma das forças em x = 0, logo NA = 0;
· Soma das forças em y = 0 (vetor para cima positivo): VA – 120 = 0, logo VA = 120kN;
· Soma dos momentos em relação ao ponto A é nulo (sentido anti-horário é positivo): MA – 120 x 3 = 0, Logo MA = 360kN.m.
· Soma das forças em x = 0, logo NC = 0;
· Soma das forças em y = 0 (vetor para cima positivo): 120 – 60 - VC = 0, logo VC = 60kN;
· Soma dos momentos em relação ao ponto C é nulo (sentido anti-horário é positivo): 360 + 60 x 1,5 + MC – 120 x 3 = 0, Logo MC = - 90kN.m.
4. Considere a viga bi apoiada ABC com um balanço. Sobre a viga atua um carregamento triangular, conforme a figura.
Determine:
· As reações nos apoios A e B;
· Os esforços internos atuantes no ponto C.
Gabarito
· Soma das forças na direção vertical igual a zero: RA + RB = 15;
· Soma dos momentos em relação ao ponto A igual a zero: - 15 x 1 + RB x 3 = 0, RB = 5 kN e RA = 10kN.
· Soma das forças na direção horizontal igual a zero: NC = 0;
· Soma das forças na direção vertical igual a zero: RA + RB = 15 + VC, logo VC = 0;
· Soma dos momentos em relação ao ponto C é igual a zero: MC + 15 . 3 – 5 x 1 – 10 x 4 = 0, logo MC = 0
Atenção: Esses valores no ponto C já eram esperados, pois se trata da extremidade livre de um balanço.
Relação matemática entre W(x), V(x) e M(x)
Na próxima aula, aprenderemos a traçar os diagramas do esforço cortante (DEC) e do momento fletor (DMF).
É importante conhecer as relações matemáticas que envolvem a carga distribuída W(x) ao longo da viga e as funções que determinam o esforço cortante em qualquer ponto x da viga, ou seja, V(x) e o momento fletor correspondente M(x).
Suponha uma viga horizontal sob determinado carregamento. Escolhendo-se um elemento infinitesimal da viga de comprimento dx, teremos que:
Atividade
5. Considere que exista uma carga distribuída sobre uma viga bi apoiada de comprimento 1m.
O momento fletor, ao longo da abscissa x dessa viga, é dado pela expressão M(x)= - 80x2 + 80x (kN . m).
Determine:
a) A expressão do esforço cortante atuante nessa viga, ao longo da abscissa x;
b) A expressão da carga distribuída atuante na viga ao longo da abscissa x;
c) O momento fletor máximo que atua na viga e sua posição;
d) O esforço cortante associado ao momento fletor máximo.
Gabarito
O momento é dado pela expressão M(x)= -80x2 + 80x.
É fato que:
Substituindo em M(x) = -80x2 + 80x, encontramos M máximo = - 80.(0,5)2 + 80.(0,5) = 20 kN.m
d) V(x) = -160x + 80, Para x = 0,5, V(x) = 0
6. Considere as afirmativas a seguir a respeito da relação entre as funções que expressam a carga distribuída, o esforço cortante e o momento fletor. Julgue-as como Verdadeiras ou Falsas.
a) Para se determinar o momento máximo atuante em uma viga, basta derivar a função do momento, em relação a x, e igualar a zero.
b) No ponto de abscissa x = a para o momento fletor máximo, o esforço cortante pode ser nulo.
c) É verdadeira a relação 
d) A partir das relações aprendidas no capítulo, é possível chegar à seguinte igualdade. 
e) As relações envolvendo o esforço cortante e o momento fletor apenas são válidas para funções polinomiais.
Gabarito
a) Verdadeiro - Para funções contínuas, derivando-se o momento fletor, em relação à variável x, encontramos o valor de x que leva ao momento máximo. Basta, portanto, substituir esse valor x na expressão do momento fletor.
b) Falso - Para o momento fletor máximo, o esforço cortante é necessariamente nulo.
c) Falso - A expressão correta é 
d) Verdadeiro – 
e) Falso - Valem para quaisquer funções.
Explore mais
Para saber mais sobre os assuntos abordados nesta aula, sugerimos:
· Leia o capítulo 7 (páginas 249 a 270) do livro Mecânica para Engenharia, de Hibeller (12ª edição);
Assista aos vídeos:
· Exercícios sobre cargas distribuídas;
· “Troca de carga distribuída pela concentrada equivalente”.