AULA_07_ESTRUTURAS_DE_CONCRETO_ARMADO_I_2013_1

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20/07/2013
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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PAMPA
CAMPUS DE ALEGRETE
Estruturas de 
Concreto Armado I
Curso: Engenharia Civil
Semestre: 2013/1
Professor: Telmo E. C. Deifeld
Aula 07
FLEXÃO SIMPLES NA RUÍNA: EXERCÍCIOS
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 07 2
EXERCÍCIO 03
Calcular a altura útil (d) e da área de aço (As) para seção
retangular cujos dados são os que seguem:
� Concreto C25
� Aço CA-50
� bw = 30 cm
� h = 45 cm
� Mk = 252 kN.m
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FLEXÃO SIMPLES NA RUÍNA: EXERCÍCIOS
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 07 3
EXERCÍCIO 03
estimar d = h – 3 cm ou d= 0,9h
FLEXÃO SIMPLES NA RUÍNA: EXERCÍCIOS
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 07 4
EXERCÍCIO 04
Calcular a altura útil (d) e da área de aço (As) para seção 
retangular cujos dados são os que seguem:
� Concreto C25
� Aço CA-50
� bw = 30 cm
� h = 45 cm
� Mk = 315 kN.m
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FLEXÃO SIMPLES NA RUÍNA: EXERCÍCIOS
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 07 5
EXERCÍCIO 04
estimar d = h – 3 cm ou d= 0,9h
FLEXÃO SIMPLES NA RUÍNA: EXERCÍCIOS
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 07 6
EXERCÍCIO 05
Dimensionar a armadura de flexão para a seção do meio do vão
da viga esquematizada a seguir.
Concreto C-20 
Aço CA-50
12 cm
40 cm
Seção Transversal
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FLEXÃO SIMPLES NA RUÍNA: EXERCÍCIOS
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 07 7
EXERCÍCIO 05
b = 12 cm
h = 40 cm d = 0,9*h = 0,98*40cm = 36 cm
Concreto C-20 fck = 20 MPa = 2,0 kN/cm
2
Aço CA-50 fyk = 500 MPa = 50 kN/cm
2
Mk = qL
2/8 = 18*4,22/8 =39,7 kN.m
Md = γf.Mk = 1,4*39,7 = 55,6 kN.m = 5560 kN.cm
Concreto: fcd = fck/γc =2,0/1,4 = 1,43 kN/cm2
Armadura: fyd = fyk /γs =50/1,15 = 43,48 kN/cm2
FLEXÃO SIMPLES NA RUÍNA: EXERCÍCIOS
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 07 8
EXERCÍCIO 05
Equações de equilíbrio:
Posição da linha neutra (equação 2, com armadura simples):
Cálculo da armadura (equação 1)
( ) ( )2
0,68 0 (1)
0,68 1 0, 4 (2)
x cd s s s s
d cd x x s
b d f A A
M b d f A d d
β σ σ
β β σ
′ ′⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ =
′ ′ ′= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ −
( )2
2
2,0
5560 0,68 12 36 1 0,4
1, 4
0, 4 0,36803 0
x x
x x
β β
β β
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −
− + − = 1
2
0, 4484 16,14 
2,0515 73,85 (descartado)
x
x
x cm
x cm
β
β
= ⇒ =
= ⇒ =
DOMÍNIO 3!
2,0 50
0,68 12 36 0,4484 0 
1,4 1,15s
A⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ = 24,33sA cm=
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FLEXÃO SIMPLES NA RUÍNA: EXERCÍCIOS
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 07 9
EXERCÍCIO 06
Dimensionar a armadura de flexão para a seção do meio do vão
da viga esquematizada a seguir.
Concreto C-20 
Aço CA-50
12 cm
35 cm
Seção Transversal
FLEXÃO SIMPLES NA RUÍNA: EXERCÍCIOS
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 07 10
EXERCÍCIO 06
b = 12 cm
h = 35 cm d = 0,9*h = 0,9*35 = 31,5 cm
Concreto C-20 fck = 20 MPa = 2,0 kN/cm
2
Aço CA-50 fyk = 500 MPa = 50 kN/cm
2
Mk = qL
2/8 = 18*4,22/8 =39,7 kN.m
Md = γf.Mk = 1,4*39,7 = 55,6 kN.m = 5560 kN.cm
Concreto: fcd = fck/γc =2,0/1,4 = 1,43 kN/cm2
Armadura: fyd = fyk /γs =50/1,15 = 43,48 kN/cm2
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FLEXÃO SIMPLES NA RUÍNA: EXERCÍCIOS
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 07 11
EXERCÍCIO 06
Equações de equilíbrio:
Posição da linha neutra (equação 2, com armadura simples):
Como seria o dimensionamento no domínio 4?
( ) ( )2
0,68 0 (1)
0,68 1 0, 4 (2)
x cd s s s s
d cd x x s
b d f A A
M b d f A d d
β σ σ
β β σ
′ ′⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ =
′ ′ ′= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ −
( )2
2
2,0
5560 0,68 12 31,5 1 0, 4
1, 4
0, 4 0, 48069 0
x x
x x
β β
β β
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −
− + − = 1
2
0,6487 20, 44 
1,8513 58,31 (descartado)
x
x
x cm
x cm
β
β
= ⇒ =
= ⇒ =
DOMÍNIO 4!
FLEXÃO SIMPLES NA RUÍNA: EXERCÍCIOS
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 07 12
EXERCÍCIO 06
Como a deformação na armadura é menor do que εyd, a tensão
correspondente é menor do que fyd. A tensão σsd é obtida no trecho linear
do diagrama σ-ε, considerando a deformação efetiva da armadura:
Deformação da armadura
‰( )3,5 3,5 = sd sd d xd x x x
ε ε⇒ = −
− ( )
3,5
31,5 20, 44 1,895
20,44sd
ε = − =
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FLEXÃO SIMPLES NA RUÍNA: EXERCÍCIOS
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 07 13
EXERCÍCIO 06
Tensão na armadura
Da equação (1) ( para armadura armadura simples)
2 2
kN 1,895 kN
 =21000 39,797
cm 1000 cmsd
σ ⋅ =
0,68 0 (1)x cd s s s sb d f A Aβ σ σ′ ′⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ =
2,0
0,68 12 31,5 0,6493 39,69 0
1,4 s
A⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ =
25,99 sA cm=
FLEXÃO SIMPLES NA RUÍNA: EXERCÍCIOS
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 07 14
EXERCÍCIO 07
Dimensionar a armadura de flexão para a seção do meio do vão
da viga esquematizada a seguir.
Concreto C-20 
Aço CA-50
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FLEXÃO SIMPLES NA RUÍNA: EXERCÍCIOS
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 07 15
EXERCÍCIO 07
b = 12 cm
h = 35 cm d = 0,9*h = 0,9*33 = 29,25 cm
Concreto C-20 fck = 20 MPa = 2,0 kN/cm
2
Aço CA-50 fyk = 500 MPa = 50 kN/cm
2
Mk = qL
2/8 = 18*4,22/8 =39,7 kN.m
Md = γf.Mk = 1,4*39,7 = 55,6 kN.m = 5560 kN.cm
Concreto: fcd = fck/γc =2,0/1,4 = 1,43 kN/cm2
Armadura: fyd = fyk /γs =50/1,15 = 43,48 kN/cm2
FLEXÃO SIMPLES NA RUÍNA: EXERCÍCIOS
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 07 16
EXERCÍCIO 07
Equações de equilíbrio:
Posição da linha neutra (equação 2, com armadura simples):
Como seria o dimensionamento no domínio 4?
( ) ( )2
0,68 0 (1)
0,68 1 0, 4 (2)
x cd s s s s
d cd x x s
b d f A A
M b d f A d d
β σ σ
β β σ
′ ′⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ =
′ ′ ′= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ −
( )2
2
2,0
5560 0,68 12 29, 25 1 0, 4
1, 4
0, 4 0,5575 0
x x
x x
β β
β β
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −
− + − = 1
2
0,8381 24,51 
1,6619 48,61 (descartado)
x
x
x cm
x cm
β
β
= ⇒ =
= ⇒ =
DOMÍNIO 4!
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FLEXÃO SIMPLES NA RUÍNA: EXERCÍCIOS
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 07 17
EXERCÍCIO 07
Como a deformação na armadura é menor do que εyd, a tensão
correspondente é menor do que fyd. A tensão σsd é obtida no trecho linear do
diagrama σ-ε, considerando a deformação efetiva da armadura:
Deformação da armadura
‰( )3,5 3,5 = sd sd d xd x x x
ε ε⇒ = −
− ( )
3,5
31,5 24,51 0,676
24,51sd
ε = − =
FLEXÃO SIMPLES NA RUÍNA: EXERCÍCIOS
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 07 18
EXERCÍCIO 07
Tensão na armadura
Da equação (1) ( para armadura armadura simples)
2 2
kN 0,676 kN
 =21000 14, 20
cm 1000 cmsd
σ ⋅ =
0,68 0 (1)x cd s s s sb d f A Aβ σ σ′ ′⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ =
2,0
0,68 12 29,25 0,8381 14,20 0
1,4 s
A⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ =
220,13 sA cm=
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FLEXÃO SIMPLES NA RUÍNA: EXERCÍCIOS
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 07 19
EXERCÍCIO 07
Tensão na armadura
Da equação (1) ( para armadura armadura simples)
2 2
kN 0,930 kN
 =21000 19,53
cm 1000 cmsd
σ ⋅ =
0,68 0 (1)x cd s s s sb d f A Aβ σ σ′ ′⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ =
2,0
0,68 12 29,7 0,7901 19,53 0
1,4 s
A⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ =
214,01 sA cm=
FLEXÃO SIMPLES NA RUÍNA: EXERCÍCIOS
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 07 20
Comparativo da armadura em função da posição da linha 
neutra 
Domínio 4Domínio 3
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FLEXÃO SIMPLES NA RUÍNA: EXERCÍCIOS
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 07 21
Comparativo da armadura em função da altura da viga 
Domínio 3Domínio 4