Aula 3 - Condução 1D em regime estacionário

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Transferência de Calor e 
Massa
Aula – Condução Unidimensional em regime estacionário
Prof.: Dalmedson G. R. de Freitas Filho
E-mail: dalmedson.filho@unilasalle.edu.br
Condução 1D em regime estacionário
• O termo “unidimensional” se refere ao fato de que apenas 
uma coordenada é necessária para descrever a variação 
espacial da temperatura.
• O sistema é caracterizado por condições de regime 
estacionário se a temperatura, em cada ponto do sistema, 
for independente do tempo.
Condução 1D em regime estacionário
• A parede plana
• A temperatura é função somente da coordenada x e o calor é 
transferido exclusivamente nesta direção.
Condução 1D em regime estacionário
• A parede plana – distribuição de temperatura
• A distribuição da temperatura na parede pode ser determinada 
através da solução da equação do calor com as condições de 
contorno pertinentes.
𝜕
𝜕𝑥
𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑥
+
𝜕
𝜕𝑦
𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑦
+
𝜕
𝜕𝑧
𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑧
+ ሶ𝑞 = 𝜌𝑐𝑝
𝜕𝑇
𝜕𝑡
Condução 1D em regime estacionário
• A parede plana – distribuição de temperatura
• Considerações:
• Condução unidimensional;
• Regime estacionário;
• Condutividade térmica constante;
• Sem fonte térmica ou sumidouro.
• Nesta situação a equação da difusão do calor é:
𝜕2𝑇
𝜕𝑥2
= 0
Condução 1D em regime estacionário
• A parede plana – distribuição de temperatura
• Nesta situação a equação da difusão do calor é:
• Integrando esta equação duas vezes obtemos
𝜕2𝑇
𝜕𝑥2
= 0
𝑇 𝑥 = 𝐶1𝑥 + 𝐶2
Condução 1D em regime estacionário
• A parede plana – distribuição de temperatura
• Através das condições de contorno obtemos o valor das constantes 
de integração, ou seja:
• Substituindo na solução geral, a distribuição de temperaturas é:
𝐶1 =
𝑇𝑠,2 − 𝑇𝑠,1
𝐿
𝐶2 = 𝑇𝑠,1
𝑇 𝑥 =
𝑇𝑠,2 − 𝑇𝑠,1
𝐿
𝑥 + 𝑇𝑠,1
Condução 1D em regime estacionário
• A parede plana – distribuição de temperatura
• De posse da equação anterior, podemos usar a lei de Fourier para 
determinar a taxa de transferência de calor por condução. Isto é:
• E o fluxo de calor será:
𝑞𝑥 = −𝑘𝐴
𝑑𝑇
𝑑𝑥
= −
𝑘𝐴
𝐿
(𝑇𝑠,2 − 𝑇𝑠,1)
𝑞𝑥
" =
𝑞𝑥
𝐴
= −
𝑘
𝐿
(𝑇𝑠,2 − 𝑇𝑠,1)
Condução 1D em regime estacionário
• A parede plana – resistência térmica
• Existe uma analogia entre as difusões de calor e de carga elétrica.
• Da mesma forma que uma resistência elétrica está associada à 
condução de eletricidade, uma resistência térmica pode ser 
associada à condução de calor.
• A resistência térmica para condução em uma parede plana é:
𝑅𝑡,𝑐𝑜𝑛𝑑 =
𝐿
𝑘𝐴
Condução 1D em regime estacionário
• A parede plana – resistência térmica
• A resistência térmica para convecção é definida como:
• A resistência térmica total é:
𝑅𝑡,𝑐𝑜𝑛𝑣 =
1
ℎ𝐴
𝑅𝑡𝑜𝑡 = 𝑅𝑡,𝑐𝑜𝑛𝑣1 + 𝑅𝑡,𝑐𝑜𝑛𝑑 + 𝑅𝑡,𝑐𝑜𝑛𝑣2
𝑅𝑡𝑜𝑡 =
1
ℎ1𝐴
+
𝐿
𝑘𝐴
+
1
ℎ2𝐴
Condução 1D em regime estacionário
• A parede composta
• Circuitos térmicos equivalentes 
também podem ser usados em 
sistemas mais complexos, 
como, por exemplo, em 
paredes compostas.
Condução 1D em regime estacionário
• A parede composta
• A taxa de transferência de calor unidimensional para este sistema 
pode ser representada por
• Onde (𝑇∞,1 − 𝑇∞,4) é a diferença de temperaturas global e o 
somatório inclui todas as resistências térmicas.
𝑞𝑥 =
(𝑇∞,1 − 𝑇∞,4)
σ𝑅𝑡
Condução 1D em regime estacionário
• A parede composta
• Em sistemas compostos é conveniente o trabalho com um 
coeficiente global de transferência de calor, U, que é definido por 
uma expressão análoga à lei de resfriamento de Newton. Assim,
• onde ∆𝑇 é a diferença de temperatura global.
• O coeficiente global de transferência de calor está relacionado à 
resistência térmica total como:
𝑞𝑥 ≡ 𝑈𝐴∆𝑇
𝑈 =
1
𝑅𝑡𝑜𝑡𝐴
Condução 1D em regime estacionário
• A parede composta
• As paredes compostas também podem ser caracterizadas por 
configurações série-paralelo.
Condução 1D em regime estacionário
• Resistência de contato
• A existência de uma resistência de contato não nula se deve 
principalmente aos efeitos da rugosidade das superfícies.
Condução 1D em regime estacionário
• Resistência de contato
Condução 1D em regime estacionário
• Resistência de contato
Condução 1D em regime estacionário
• Exemplo 1 - As paredes de uma geladeira são tipicamente construídas
com uma camada de isolante entre dois painéis de folhas de metal. Considere
uma parede feita com isolante de fibra de vidro com condutividade térmica
𝑘 = 0,046𝑊/(𝑚 ∙ 𝐾), e espessura de 50 mm, e painéis de aço, cada um com
condutividade térmica 𝑘 = 60𝑊/(𝑚 ∙ 𝐾) de espessura de 3 mm. Com a parede
separando ar refrigerado a 4 °C do ar ambiente a 25 °C determine o ganho
de calor por unidade de área superficial. Os coeficientes associados à
convecção natural nas superfícies interna e externa podem ser aproximados
por ℎ𝑖 = ℎ𝑒 = 5𝑊/(𝑚² ∙ 𝐾).
Condução 1D em regime estacionário
• Exemplo 1
Condução 1D em regime estacionário
• Sistemas radiais – cilindro
Condução 1D em regime estacionário
• Sistemas radiais – cilindro
• Da equação do calor sabemos que
• Para sistemas unidimensionais em regime estacionário e sem fonte 
térmica, a equação se reduz a
1
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
𝑘𝑟
𝜕𝑇
𝜕𝑟
+
1
𝑟2
𝜕
𝜕ϕ
𝑘
𝜕𝑇
𝜕ϕ
+
𝜕
𝜕𝑧
𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑧
+ ሶ𝑞 = 𝜌𝑐𝑝
𝜕𝑇
𝜕𝑡
1
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
𝑘𝑟
𝜕𝑇
𝜕𝑟
= 0
Condução 1D em regime estacionário
• Sistemas radiais – cilindro
• Integrando a equação anterior chegamos na seguinte distribuição 
de temperaturas
𝑇 𝑟 =
𝑇𝑠,1 − 𝑇𝑠,2
ln(
𝑟1
𝑟2
)
ln
𝑟
𝑟2
+ 𝑇𝑠,2
Condução 1D em regime estacionário
• Sistemas radiais – cilindro
• Substituindo a distribuição da temperatura na lei de Fourier obtemos:
• Desta forma, a resistência térmica será
𝑞𝑟 =
2𝜋𝐿𝑘(𝑇𝑠,1 − 𝑇𝑠,2)
ln(
𝑟2
𝑟1
)
𝑅𝑡,𝑐𝑜𝑛𝑑 =
𝑙𝑛( Τ𝑟2 𝑟1)
2π𝐿𝑘
Condução 1D em regime estacionário
• Sistemas radiais – cilindro: Cilindro com parede composta
Condução 1D em regime estacionário
• Exemplo 2: Um tubo de aço inoxidável (𝑘=14,4 𝑊/(𝑚∙𝐾)) usado para
transportar um fluido farmacêutico refrigerado tem um diâmetro interno de 36
mm e uma espessura de parede de 2 mm. O fluido farmacêutico e o ar estão,
respectivamente, nas temperaturas de 6 °C e 23 °C, enquanto os coeficientes
convectivos interno e externo são 400 𝑊/(𝑚²∙𝐾) e 6 𝑊/(𝑚²∙𝐾) , respectivamente.
Qual é o ganho de calor por unidade de comprimento do tubo? Qual é o
ganho de calor por unidade de comprimento se uma camada de 10 mm de
isolante de silicato de cálcio (𝑘=0,05 𝑊/(𝑚∙𝐾)) for colocada sobre a superfície
externa do tubo?
Condução 1D em regime estacionário
• Sistemas radiais – a esfera: 
• A forma apropriada da lei de Fourier é
• Resolvendo a equação anterior temos que
• E a resistência térmica é definida como
𝑞𝑟 = −𝑘𝐴
𝑑𝑇
𝑑𝑟
= −𝑘(4𝜋𝑟2)
𝑑𝑇
𝑑𝑟
𝑞𝑟 =
4𝜋𝑘(𝑇𝑠,1 − 𝑇𝑠,2)
Τ(1 𝑟1) − ( Τ1 𝑟2)
𝑅𝑡,𝑐𝑜𝑛𝑑 =
1
4𝜋𝑘
1
𝑟1
−
1
𝑟2
Condução 1D em regime estacionário
Condução 1D em regime estacionário
• Atividade: Uma esfera oca de alumínio (𝑘=17 𝑊/(𝑚∙𝐾)), com um
aquecedor elétrico no centro, é usada em testes para determinar a
condutividade térmica de materiais isolantes. Os raios interno e
externo da esfera são 0,15 e 0,18 metros, respectivamente, e os
testes são realizados em condições de regime estacionário com a
superfície interna do alumínio mantida a 250 °C. Para um teste
específico, uma casca esférica de isolante é moldada sobre a
superfície externa da esfera até uma espessura de 0,12 m.
Condução 1D em regime estacionário
• Atividade: O sistema encontra-se em uma sala na qual a 
temperatura do ar é de 20 °C e o coeficiente de convecção na 
superfície externa do isolante é de 6 𝑊/(𝑚²∙𝐾) . Se 80 watts são 
dissipados pelo aquecedor em condições de regime estacionário, 
qual é a condutividade térmica do isolante?