Bioestatística 4

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BIOESTATÍSTICA 
WEBCONFERÊNCIA IV 
 
Temas: Unidade IV 
Modalidade: EAD 
Professora: Marcela Pinto Moura 
Medidas descritivas 
 Medidas de dispersão 
• Indicam se os valores estão relativamente próximos uns dos outros, ou 
se estão separados. 
 
• O valor zero indica ausência de dispersão; a dispersão aumenta à 
proporção que aumenta o valor da medida. 
 
• As principais medidas de dispersão são: 
• Amplitude 
• Variância 
• Desvio padrão 
• Coeficiente de variação 
 
 
• Todas elas, exceto, a amplitude, têm na média o ponto de referência. 
 
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Medidas de dispersão 
Amplitude total (AT) 
• Expressa a variação máxima encontrada no conjunto de dados, 
sendo obtida pela diferença entre o maior e o menor valor. 
 
 
 
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Medidas de dispersão 
Amplitude total (AT) 
 
 
 
 
 
 
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Distribuição de frequência 
c/ intervalos de classe 
Medidas de dispersão 
Amplitude total (AT) – Desvantagens: 
• A amplitude total depende somente dos valores extremos, que 
são, geralmente, os menos frequentes e os menos significativos 
de uma distribuição. 
 
• Outro inconveniente é que a amplitude não leva em 
consideração as frequências das observações 
 
 
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Medidas de dispersão 
Variância 
• É a soma dos quadrados dos desvios em relação à média. 
 
• Com ela se estabelece uma medida de variabilidade para um 
conjunto de dados. 
 
• É denotada por S2 no caso amostral ou σ2 no caso populacional. 
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Medidas de dispersão 
 Variância 
• É a soma dos quadrados dos desvios em relação à média. 
• Com ela se estabelece uma medida de variabilidade para um conjunto de 
dados. 
• É denotada por S2 no caso amostral ou σ2 no caso populacional. 
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Medidas de dispersão 
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Medidas de dispersão 
Variância – sem intervalos de classe 
 
 
 
 
 
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Medidas de dispersão 
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Medidas de dispersão 
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Medidas de dispersão 
Desvio padrão 
• É a raiz quadrada positiva da variância. 
 
• É representado por S ou DP no caso amostral ou σ no caso da 
população. 
 
 
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Medidas de dispersão 
Desvio padrão 
• Um desvio padrão igual a zero indica que todos os valores são 
iguais à média. 
 
 
 
 
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Medidas de dispersão 
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Medidas de dispersão 
Observações - Desvio padrão e Variância 
 
I. A variância apresenta unidade quadrática. 
 
II. Quanto mais afastado o valor se encontrar em relação à média, 
maior será sua contribuição para o valor da variância (desvio 
padrão). 
 
III. Ambas as medidas (variância e desvio padrão) indicam a 
variação absoluta. 
 
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Medidas de dispersão 
Coeficiente de variação 
• Trata-se de uma medida de dispersão relativa e expressa a razão entre o 
desvio padrão e a média. 
 
• Pode ser apresentado na forma de proporção ou porcentagem. 
 
 
 
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Medidas de dispersão 
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Medidas de dispersão 
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Medidas de dispersão 
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Medidas de dispersão 
Observações sobre o coeficiente de variação 
I. Quanto menor o coeficiente de variação, mais homogêneo o conjunto 
de valores. 
 
II. Trata-se de uma medida de variação relativa e adimensional. 
 
• O CV é utilizado quando: 
 
1) Dois grupos apresentam mesmo desvio padrão e médias diferentes; 
 
2) Para se comparar duas ou mais séries de valores, quanto a sua 
dispersão ou variabilidade, quando expressas em unidades diferentes; 
 
3) Duas médias forem muito distantes. 
 
 
 
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Probabilidade 
 A teoria de probabilidade consiste em utilizar a intuição humana 
para estudar diversos fenômenos. 
 
Em experimentos aleatórios, os acontecimentos apresentam 
resultados que a priori não podem ser previstos. 
 
Principais elementos: 
 EVENTOS (A) 
 ESPAÇO AMOSTRAL (E) 
 
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Probabilidade 
Espaço amostral 
 Consiste no conjunto de todos os resultados possíveis do 
experimento. 
 
 Exemplo: Se o experimento é lançar um dado de seis faces, o ESPAÇO 
AMOSTRAL é S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 
 
 
Eventos 
 São todas as perguntas (ou conjecturas) formuladas a respeito do 
experimento. 
 Exemplo: Ao lançar um dado, podemos ter os seguintes EVENTOS: 
 A = {sair número par} → {2,4,6} 
 B = {sair número ímpar} → {1,3,5} 
 C = {sair número maior do que 3} → {4,5,6} 
 
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Probabilidade 
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OU E 
Ac 
OU 
Probabilidade 
Probabilidade da união 
 P (A U B) = P(A) + P(B) – P(AՈB) 
 
 Exemplo: 
 Escolhendo-se aleatoriamente um número natural de 1 a 20, qual é a probabilidade 
desse número ser múltiplo de 2 ou 3? 
 A: Múltiplo de 2 
 B: Múltiplo de 3 
 A U B: múltiplo de 2 ou 3 → A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20} B = {3, 6, 9, 12, 15, 18} 
 A Ո B: múltiplo de 2 e 3 → {6, 12, 18} 
 
 Temos então: P (A U B) = P(A) + P(B) – P(AՈB) → 10/20 + 6/20 – 3/20 → 13/20 
 
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Probabilidade 
Evento complementar 
 Se Ac for complementar de A, então P(Ac) = 1 – P(A) 
 
 Exemplo: 
 A probabilidade de um equipamento sair de fábrica com defeito é de 0,5%. Qual é a 
probabilidade do equipamento sair funcionando corretamente? 
 A: Sair com defeito 
 Ac: não sair com defeito (sair funcionando corretamente) 
 P(A): 0,5% → P(A): 0,005 
 
 Temos então: P(Ac) = 1 – P(A) → 1 – 0,005 → 0,995 → 99,5% 
 
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Probabilidade 
Eventos mutuamente exclusivos 
 P (A U B) = P(A) + P(B) 
 
 Exemplo: 
 Uma urna contém 20 bolas idênticas numeradas de 1 a 20. Extraindo-se uma bola ao 
acaso dessa urna, qual a probabilidade de o número da bola sorteada ser múltiplo de 5 
ou 7? 
 S (espaço amostral) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20} 
 A: múltiplo de 5 → A = {5, 10, 15, 20} 
 B: múltiplo de 7 → B = {7, 14} 
 
 Temos então: P (A U B) = P(A) + P(B) → 4/20 + 2/20 → 6/20 → 0,3 → 30% 
 
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Probabilidade 
Eventos independentes 
 P (A Ո B) = P(A) x P(B) 
 
 Exemplo: 
 Uma experiência consiste em lançar, simultaneamente, um dado e uma moeda. Qual é 
a probabilidade de obter a face quatro no dado e uma cara? 
 S (espaço amostral) = {(1,K); (2,K); (3,K); (4,K); (5,K); (6,K)} 
 A: Dado → A = {4} 
 B: Moeda → B = {K} 
 
 Temos então: P (A Ո B) = P(A) x P(B) → 1/6 x 1/2 → 1/12 → 0,083 → 8,3 % 
 
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Probabilidade 
Interseção de eventos 
 P (A Ո B) 
 
 Exemplo: 
 Em um grupo de 500 estudantes, 80 estudam Fisioterapia, 150 estudam Biomedicina, 
10 estudam Fisioterapia e Biomedicina. Se um aluno é escolhido ao acaso, qual é a 
probabilidade de que ele estude Fisioterapia e Biomedicina? 
 A: Estudam Fisioterapia → A = {80} 
 B: Estudam Biomedicina → B = {150} 
 A Ո B → 10 Estudam Fisioterapia e Biomedicina 
 
 Temos então: P (A Ո B) = 10/500 → 0,02 → 2% 
 
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Distribuição normal 
• Ao representarmos de forma gráfica um conjunto de dados 
quantitativos de uma distribuição simétrica, chamada Normal ou 
Gaussiana, a maioria dos dados: 
 
• Se encontra próximo de um determinado valor central (média, 
moda ou mediana); 
 
• Os demais dados se distribuem igualmente afastando-se dos 
valores centrais. 
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Distribuição normal 
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Distribuição normal 
Distribuição normal 
• Características gerais da curva Gaussiana: 
 O gráfico da distribuição normal é uma curva em forma de sino 
 
 A área total da curva vale 1 ou 100% 
 
 Valores maiores e menores do que a média têm a mesma probabilidade de 
ocorrer 
 
 A configuração da curva é dada por dois parâmetros: a média, μ, e o desvio 
padrão 
 
 É uma curva unimodal (Mo = Md = M) 
 
 A curva normal aproxima-se mais do eixo x à medida que se afasta da média 
em ambos os lados, mas nunca toca o eixo 
 
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Distribuição normal 
• Valores padronizados na curva de Gauss 
 Todas as curvas normais de distribuições de frequências podem ser 
transformadas em uma curva normal padrão (valores padronizados z). 
 A Distribuição Normal Padrão é caracterizada por média igual a zero (μ = 
0) e desvio padrão igual a 1 (σ = 1). 
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Distribuição normal 
• Cálculo da distribuição normal: 
• Qualquerconjunto de valores (x), normalmente distribuídos, pode 
ser convertido em valores normais padronizados (z) pelo uso da 
fórmula: 
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μ= média (x-) 
σ= desvio padrão (s) 
Distribuição normal reduzida 
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• Exemplo 
• O peso de 600 estudantes são normalmente distribuídos com média 65,3 kg e 
desvio padrão de 5,5 kg. Determine o número de estudantes que pesam: 
a) Entre 70 e 80 kg 
b) Mais que 63,2 kg 
c) Mais que 72 kg 
 
 a) P(70 <X<80) = P (70 - 65,3 < Z < 80 – 65,3) = P (0,85 < Z < 2,67) 
 5,5 5,5 
 P = 0,4962 – 0,3023 = 0,1939 ou 19,39% 
 
 19,39% de 600 → 0,1939 x 600 = 116,34 (116 estudantes) 
 
Dados: 
X: peso; μ: 65,3; σ: 5,5 
 
Distribuição normal reduzida 
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• Exemplo (cont.) 
• O peso de 600 estudantes são normalmente distribuídos com média 65,3 kg e 
desvio padrão de 5,5 kg. Determine o número de estudantes que pesam: 
a) Entre 70 e 80 kg 
b) Mais que 63,2 kg 
c) Mais que 72 kg 
 
 b) P(X > 63,2) = P (Z > 63,2 – 65,3) = P (Z >-0,38) 
 5,5 
 P = 0,5 + 0,1480 = 0,6480 ou 64,80% 
 
 64,80% de 600 → 0,6480 x 600 = 388,8 (389 estudantes) 
 
Dados: 
X: peso; μ: 65,3; σ: 5,5 
 
Distribuição normal reduzida 
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• Exemplo (cont.) 
• O peso de 600 estudantes são normalmente distribuídos com média 65,3 kg e 
desvio padrão de 5,5 kg. Determine o número de estudantes que pesam: 
a) Entre 70 e 80 kg 
b) Mais que 63,2 kg 
c) Mais que 72 kg 
 
 c) P(X > 72) = P (Z > 72 – 65,3) = P (Z > 1,22) 
 5,5 
 P = 0,5 - 0,3888 = 0,1112 ou 11,12% 
 
 11,12% de 600 → 0,1112 x 600 = 66,72 (67 estudantes) 
 
Dados: 
X: peso; μ: 65,3; σ: 5,5 
 
Teste de hipótese 
• O teste de hipótese é uma técnica que nos permite aceitar ou rejeitar a 
hipótese estatística, a partir dos dados da amostra dessa população. 
 
• O objetivo do teste de hipótese é confirma ou não o valor do parâmetro 
populacional informado, com base em dados amostrais. 
 
• Tipos de hipóteses: 
• Hipótese nula 
• Hipótese alternativa 
 
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Teste de hipótese 
• Hipótese nula 
 
• É a hipótese a ser testada. 
• Usamos a notação H0 para indicar a hipótese nula. 
• Ausência de diferença entre os parâmetros (hipótese de não efeito). 
• É uma hipótese estatística que contém uma afirmação verdadeira de igualdade, 
tal como ≤, = ou ≥. 
 
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Teste de hipótese 
• Hipótese alternativa 
 
• É a hipótese a ser considerada como uma alternativa à hipótese nula. 
• Usamos a notação Ha para indicar a hipótese alternativa. 
• Hipótese contrária à hipótese nula. Geralmente é o que o pesquisador quer 
confirmar. 
• É geralmente o complemento da hipótese nula. Contém uma afirmação de 
desigualdade estrita, tal como <, ≠ ou >. 
 
 
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Teste de hipótese 
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Teste de hipótese 
• Erros Tipo 1 e Tipo 2: 
• Ao fazer um teste de hipótese, corre-se o risco de: 
1) Rejeitar uma hipótese que era verdadeira ou 
2) Aceitá-la quando era falsa. 
• Temos, portanto, dois tipos possíveis de erro: 
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Teste de hipótese 
• Um erro do tipo 1 é, mais importante que um erro do tipo 2. 
 
• Por exemplo, suponhamos a decisão de aprovar ou reprovar um aluno na 
prova final. 
 
 
 
 
• Ou seja, o objetivo principal é não cometer o erro tipo 1, o qual só é possível 
de ocorrer, quando se rejeita H0. 
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Teste de hipótese 
• Nível de Significância: 
 
• É a probabilidade de se cometer um erro do tipo 1. 
 
• Dizemos, por exemplo, que nosso teste de hipótese está planejado ao 
nível de significância igual a 5% ou 1% que são os níveis mais utilizados. 
 
• Vamos chamá-lo de α (no caso, α = 5%). Ou seja, existe uma chance de 
5% de cometermos o erro tipo 1. 
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Teste de hipótese 
• Etapas: 
1) Escreva a hipótese nula (H0), usando os símbolos ≤, = ou ≥, e a hipótese 
alternativa (Ha), usando os símbolos <, ≠ ou >; 
 
2) Calcule o valor observado (Zobs , tobs, ...) através da fórmula correspondente ao 
caso que está sendo analisado; 
 
3) Faça um gráfico da distribuição amostral. De acordo com a hipótese alternativa 
marque a região crítica (RC) do teste; 
 
 
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Teste de hipótese 
• Etapas: 
4) Obtenha o valor crítico do teste (Zobs , tobs, ...) de acordo com o nível de 
significância do teste (ɑ) e com a região crítica (RC), utilizando a tabela de 
distribuição correspondente (Normal, t de student,...). Marque esse valor no 
gráfico; 
 
5) Marque o valor observado (Zobs , tobs, ...) no gráfico; 
 
6) Conclua o teste; 
- Se o valor observado Ε RC, então rejeite H0 (aceite Ha); 
- Se o valor observado Ɇ RC, então aceite H0 (rejeite Ha); 
 
7) Interprete, em palavras, a conclusão feita. 
 
 
 
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Teste de hipótese 
• Exemplo: 
• Uma fábrica anuncia que o índice de nicotina dos cigarros da marca X apresenta-se 
abaixo de 26 mg por cigarro. Um laboratório realiza 10 análises do índice, obtendo: 
26, 24, 23, 22, 28, 25, 27, 26, 28 e 24. Sabe-se que índice de nicotina da marca X 
distribui-se normalmente com variância de 5,36 mg2. Pode-se aceitar a afirmação do 
fabricante, ao nível de significância 5%? 
 
• Resolução: 
• n = 10 Zobs = 25,3 – 26 = - 0,959 
• x = 253 = 25,3 0,73 
 10 
• σx
 = Ѵ5,36/10 = Ѵ0,536 = 0,73 Zɑ = Z5% = 1,64 
• Conclusão: Ao nível de 5%, não se rejeita H0 , ou seja, a afirmação do fabricante é 
falsa. 
 
 
 
 
 
 
 
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