MÓDULO 7 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE 2ª ORDEM (HOMOGÊNEAS E NÃO HOMOGÊNEAS)

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Módulo 7. Equações Diferenciais de 2ª ordem (Homogêneas e não homogêneas)
 
Conteúdo 1. Equações Diferenciais Lineares de 2ª ordem – Homogêneas (3º caso).
 
3º Caso: A equação auxiliar tem raízes complexas e conjugadas (m=a+bi).
Solução: y=eax(C1cos(bx)+ C2sen(bx))
 
Exemplo 1. A equação diferencial y’’- 4y’+5y=0 pode ser resolvida seguindo os seguintes passos:
1º passo: achar a equação auxiliar correspondente:
m2-4.m+5=0
 
2º passo: resolver a equação auxiliar:
m=2±i
 
3º passo: substituir os valores encontrados na equação: y=eax(C1cos(bx)+ C2sen(bx))
y=e2x(C1cosx+ C2senx)
 
 
Exemplo 2. Para encontrar a solução da equação diferencial y’’- 4y’+5y=0 para y(0) =1 e y’(0) =4 devemos
seguir os seguintes passos:
 
1º passo: Substituir x por zero e y por 1 na solução geral da equação diferencial, veja a seguir:
y=e2x(C1cosx+ C2senx)
1= e2.0(C1cos0+ C2sen0)
C1=1
 
2º passo: Derivar a equação y=e2x(C1cosx+ C1senx)
y’=2e2x(C1cosx+ C2senx)+ e2x(-C1senx+ C2cosx)
 
 
3º passo: Substituir x por zero e y’ por 4 na equação
y’=2e2x(C1cosx+ C2senx)+ e2x(-C1senx+ C2cosx)
4=2e2.0(C1cos0+ C2sen0)+ e2.0(-C1sen0+ C2cos0)
2C1+ C2=4
 
 
4º passo: Resolver o sistema
C1=1
2C1+ C2=4
C2=2
 
Solução: y=e2x(cosx+ 2senx)
 
 
Exercício Resolvido:
Encontre a solução geral da equação diferencial y’’+y=0.
Equação auxiliar: m2+1=0.
Resolução da equação auxiliar: m2+1=0.
 
Solução Geral: y= C1cosx+ C2senx
 
Conteúdo 2. Equações Diferenciais Lineares de 2ª ordem – Não Homogêneas (1º caso).
 
 
Equação Diferencial Linear de 2ª ordem (não homogênea):
a.y’’+b.y’+c.y=k(x)
 
Solução Geral da Equação Diferencial não homogênea:
y=yc+yp
Equação Complementar (yc): a.y’’+b.y’+c.y=0
Equação auxiliar: a.m2+b.m+c=0
 
Solução da Equação Complementar:
 
1º Caso: A equação auxiliar tem raízes reais e distintas (m1 e m2).
Solução: yc=C1em1x+C2em2x
 
2º Caso: A equação auxiliar tem raízes reais e iguais (m).
Solução: yc=C1emx+C2xemx
 
3º Caso: A equação auxiliar tem raízes complexas e conjugadas (m=a+bi).
Solução: yc=eax(C1cos(bx)+ C2sen(bx))
 
Solução Particular:
 
1º caso: Se k(x) é um polinômio, então a solução particular yp é um polinômio de mesmo grau.
 
Para a equação diferencial y’’-10y’+9y=9x2 temos a seguinte solução:
 
Equação Complementar: y’’-10y’+9y=0
Equação Auxiliar: m2-10m+9=0
Solução da Equação complementar: yc=C1ex+C2e9x
 
Solução Particular:
K(x)=x2
yp=Ax2+Bx+C
y’=2Ax+B
y’’=2A
y’’-10y’+9y=x2
2A-10.(2Ax+B)+9(Ax2+Bx+C)= 9x2
2A-20Ax-10B+9Ax2+9Bx+9C=9x2
9Ax2-20Ax+9Bx+2A-10B+9C=9x2
9A=9
A=1
-20.A+9.B=0
9B=20
B=2,25
2.A-10.B+9.C=0
2-22+9C=0
C=2,2
Solução Particular: yp= x2+2,2x+2,2C
Solução Geral: y=C1ex+C2e9x +x2+2,2x+2,25C
 
Exercício Resolvido:
 
Considere as seguintes afirmações e assinale a alternativa correta:
 
I. A equação y’’-y’=0 é uma equação diferencial linear de 1ª ordem.
II. A equação y’’-4y’=0 é uma equação diferencial linear de 2ª ordem não homogênea.
III. A equação y’’-16y=0 é uma equação diferencial linear de segunda ordem homogênea.
 
a) Todas as afirmações são verdadeiras.
b) Todas as afirmações são falsas.
c) Apenas a afirmação I é correta.
d) Apenas a afirmação II é correta.
e) Apenas a afirmação III é correta.
 
Resposta: E
A afirmação I está incorreta, pois se trata de uma equação diferencial de 2ª ordem.
A afirmação II está incorreta, pois se trata de uma equação diferencial de 2ª ordem homogênea.
 
 
Exercício 1:
Resolvendo a equação diferencial y''-4y'+5y=0, obtemos:
A)
 y=e4x(C1cos2x+C2sen2x)
B)
 y=ex(C1cos2x+C2sen2x)
C)
y=e-4x(C1cos2x+C2sen2x)
D)
y=e4x(C1cosx-C2senx)
E)
y=e2x(C1cosx+C2senx)
Comentários:
Essa disciplina não é ED ou você não o fez comentários
Exercício 2:
A solução geral para a equação diferencial y''+4y=0 é:
A)
y=C1cos4t+C2sen4t
B)
y=C1cos2t+C2sen2t
C)
y=C1cost+C2sent
D)
y=C1etcos4t+C2etsen4t
E)
y=C1e2t+C2e-2t
Comentários:
Essa disciplina não é ED ou você não o fez comentários
Exercício 3:
A solução geral da equação diferencial y''-6y'+13y=0 é:
A)
y=e3t(C1cos2t+C2sen2t)
B)
 y=e2t(C1cos3t+C2sen3t)
C)
y=C1e2t+C2e3t
D)
y=C1e2t+C2te3t
E)
y=e3t(C1cost+C2sent)
Comentários:
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Exercício 4:
Resolvendo a equação diferencial 0,05y''+2y'+100y=0 para y(0)=5 e y’(0)=0, obtemos:
 
A)
y=e-20x(5cos40x+2,5sen40x).
 
B)
y=e-x(cos40x+sen40x).
 
C)
y=e-40x(10cos20x+5sen20x).
 
D)
y=e-20xcos40x.
 
E)
y=e-20xsen40x.
 
Comentários:
Essa disciplina não é ED ou você não o fez comentários
Exercício 5:
A solução da equação diferencial y''-8y'+17y=0 quando y(0)=2 e y'(0)=10 é:
A)
y=e4x(cosx+senx)
B)
y=e4x+2e-4x
C)
y=2e4x+2xe-4x
D)
y=2e4xcosx
E)
y=e4x(2cosx+2senx)
Comentários:
Essa disciplina não é ED ou você não o fez comentários
Exercício 6:
Resolvendo a equação diferencial y’’+36y=0 obtemos a solução geral:
A)
y=C1cost+C2sent
B)
y=Ccost
C)
y=C1cos(6t)+C2sen(6t)
D)
y=Csen(6t)
E)
y=C1e
6t+C2e
-6t
Comentários:
Essa disciplina não é ED ou você não o fez comentários
Exercício 7:
A)
B)
C)
D)
E)
Comentários:
Essa disciplina não é ED ou você não o fez comentários
Exercício 8:
A)
B)
C)
D)
E)
Comentários:
Essa disciplina não é ED ou você não o fez comentários